. C. C Kirjoitetaan sitten auki lineaarisuuden määritelmän oikea puoli: αt{i c1 } + βt{i c2 } = α

Transkriptio

1 SMG-00 Pranals II Ehdotuset harjotusen s ratasus Jotta järjestelmän lneaarsuutta psttään tarastelemaan, on ensn muodostettava htes järjestelmän ssäänmenon ja ulostulon vällle Tällä ertaa tuo htes saadaan ondensaattorn vrta-jännte-htälöstä, jona muaan u = d C c c dt, jossa u c on ondensaattorn jännte, C apastanss ja c ondensaattorn vrta Nt ss c on ssäänmeno ja u c ulostulo El llä olevassa lauseeessa ssäänmeno on lmastu ulostulon avulla Lneaarsuuden tarastelua varten järjestelmän ulostulo ptää utenn lmasta ssäänmenon avulla, joten ratastaan u c : duc = cdt u c = cdt + U c0 C C Tässä U c0 edustaa matemaattsest ntegromsvaoa ja fsaalsest ondensaattorn l olevaa jänntettä ntegronnn aluhetellä Nt ulostulo u c on lmastu ssäänmenon c avulla, ja vodaan tarastella järjestelmän lneaarsuutta Krjotetaan ensn au lneaarsuuden määrtelmän vasen puol: T{α c + β c } = ( αc + βc ) dt + U c0 = [ α cdt + β cdt] + U c0 C C Krjotetaan stten au lneaarsuuden määrtelmän oea puol: αt{ c } + βt{ c } = α cdt + U c0 + β cdt + U c0 C C = α dt + β dt + U α β [ ] ( ) c c c0 + C Huomataan, että lneaarsuuden ehto toteutuu, un U c0 = 0 V Tämä tarottaa ss stä, että alunpern varaamaton ondensaattor on lneaarnen järjestelmä Mutta jos ondensaattoren levjen välllä on nollasta poeava jännte tarastelun aluhetellä, järjestelmä on epälneaarnen Yhtes ssäänmenon u(t) ja ulostulon (t) vällle saadaan jänntteenjaon avulla Kosa vastuset R ja R ovat sarjassa, ja u(t) on sarjaantennän l oleva oonasjännte, R :n l oleva jännte (t) on: R = u R + R (a) R u Nt R = R Tällön ( ) ( ) t = u t = R + R Krjotetaan au lneaarsuuden määrtelmän vasen puol: αu + βu u u T{αu (t) + βu (t)} = = α + β Krjotetaan stten au lneaarsuuden määrtelmän oea puol: u u αt{u (t)} + βt{u (t)} = α + β

2 Vasen ja oea puol ovat htäsuuret, joten järjestelmä on lneaarnen (b) Nt R = u(t)/r Tällön R R R u = u = u = u ( u + R ) R R + u + R / R Krjotetaan au lneaarsuuden määrtelmän vasen puol: T{αu (t) + βu (t)} R [ αu + βu ] R u R u = = α + β R + αu + βu R + αu + βu R + αu + βu Krjotetaan stten au lneaarsuuden määrtelmän oea puol: R u R u αt{u (t)} + βt{u (t)} = α + β R + u R + u Vasenta ja oeaa puolta e saada htäsuurs, joten järjestelmä on epälneaarnen 5 Vastusen ottama teho p(t) vodaan rjottaa p(t) = u(t)(t), jossa u(t) on vastusen l oleva jännte ja (t) on vastusen vrta Kosa vastus ja jänntelähde ovat sarjaantennän anoat omponentt, saadaan: ( ) u ( t ) u t p = u ( t ) = u ( t ) = R R Nt on ss lausuttu järjestelmän ulostulo järjestelmän ssäänmenon avulla Krjotetaan lneaarsuuden määrtelmän vasen puol { α ( ) β ( )} ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) αu t βu t u t u t u t u t α αβ β T u t + u t = = R Krjotetaan au lneaarsuuden määrtelmän oea puol ( ) ( ) u t u t αt { u } + βt { u } = α + β R R Huomataan, että lneaarsuuden määrtelmän vasenta ja oeaa puolta e saada htäsuurs, joten järjestelmä on epälneaarnen Tehtävän dfferensshtälö on homogeennen, osa snä e ole htään termä, joa e ssällä ratastavaa muuttujaa Tehtävässä e mösään ole annettu :lle mtään aluehtoja, joten :lle haetaan van lenen ratasu (a) 0 Sjotetaan ratasurte = r + + = + r + r r = 0 Jaetaan termllä, jona esponentt on penn, el r :lla r r = 0 Tämä on ns araterstnen htälö (KY), jona juursta homogeensen htälön ratasu päätellään ( ) ± r = r = r = Karaterstnen htälö on tosta astetta, ja htälön ratasuna saatn as ersuurta reaaljuurta Juuret ovat sten snertasa, ja homogeensen htälön ratasus saadaan: R

3 ( ) (h) = Cr + Cr = C + C, jossa ländes (h) tarottaa 'homogeensta', ja termt C ja C ovat tuntemattoma vaoertoma Kosa aluperänen dfferensshtälö on homogeennen, homogeensen osan ratasu on samalla dfferensshtälön lenen oonasratasu Täten ( ) = C + C Mustutettaoon velä, että ratasua utsutaan 'leses', osa se ssältää tuntemattomat vaoertomet C ja C (b) = 0 = r r + r + + r = 0 : r ± r r + = 0 Tämä on KY r = r = Karaterstnen htälö on tosta astetta, ja htälön ratasuna saatn s reaaljuur Ksenen juur on ss monnertanen, tässä tapausessa asnertanen Homogeensen htälön ratasus saadaan täten (h) = Cr + Cr = C + C Kosa aluperänen htälö on homogeennen, homogeensen osan ratasu on samalla dfferensshtälön lenen oonasratasu, joten + C = C (c) = 0 = r r + r + + r = 0 : r ± r r + = 0 Tämä on KY r = r = ± Karaterstnen htälö on tosta astetta, ja htälön ratasuna saatn omplesonjugaattpar Homogeensen htälön ratasu on täten: (h) = C + j + C j Kosa aluperänen htälö on homogeennen, homogeensen osan ratasu on samalla dfferensshtälön lenen oonasratasu, joten + j + C j = C Tässä tehtävässä hmetellään epähomogeensa dfferensshtälötä, osa htälössä esnt nollasta poeava term D, joa e ssällä ratastavaa muuttujaa (a) j

4 + + = Epähomogeensen dfferensshtälön ratasemnen alaa homogeensen htälön ratasemsella Epähomogeensesta htälöstä tehdään ss ensn homogeennen, el mertään aluperäsen htälön epähomogeennen osa nollas Yhtälön oealla puolella oleva önen on nt epähomogeennen term, osa se e ssällä ratastavaa muuttujaa Homogeennen htälö on täten + + = 0 Huomataan, että homogeennen htälö on täsn sama un tehtävässä (a) Täten: (h) ( ) = Cr + Cr = C + C Etstään stten epähomogeensen dfferensshtälön toteuttava stsratasu Prtään ss lötämään sellanen term, että un se sjotetaan aluperäseen epähomogeenseen htälöön :n paalle, htälöstä tulee denttsest tos Tällasta termä etstään 'svstneen arvausen' avulla Tämän tehtävän epähomogeennen osa on snertasn mahdollnen, el vaoterm (e ss rpu :sta) Tällön mös stsratasus annattaa oella vaotermä Sjotetaan ss aluperäseen epähomogeenseen dfferensshtälöön :n paalle vaoterm A Kosa A on vao eä ss rpu :sta, mös + :n ja + :n paalle sjotetaan A Saadaan A A A = A = A = Kun ss aluperäseen epähomogeenseen dfferensshtälöön sjotetaan ratastavan muuttujan paalle -/, htälöstä tulee denttsest tos Täten -/ elpaa stsratasus Vodaan ss rjottaa ( p) =, jossa ländes (p) tarottaa stsratasua (tulee sanasta 'prvate') Ylenen oonasratasu on summa homogeensen osan ja epähomogeensen osan ratasusta Täten ( h ) ( p) = + = C + C ( ) (b) Homogeennen osa on sama un ohdassa (a), joten saadaan: (h) ( ) = C + C Haetaan stten epähomogeensen htälön toteuttava stsratasu Epähomogeennen osa on nt 5 Nätetään ensn, että (a)-ohdan vaorte e elpaa nt stsratasus Sjotetaan ss aluperäseen epähomogeenseen dfferensshtälöön :n paalle vaoterm A Kosa A on vao eä ss rpu :sta, mös + :n ja + :n paalle sjotetaan A Saadaan 5 A A A = 5 A = A:n tulee olla vao, eä se ss saa rppua :sta Täten vaorte e johda elvollseen stsratasuun 'Svstnt arvaus' on nt muotoa G 5, jossa G on vao Sjotetaan rte epähomogeenseen htälöön :n paalle, jollon saadaan + + G 5 G 5 G 5 = 5 : 5 G 5 G 5 G = 8 G = G = 8 Kun epähomogeenseen htälöön sjotetaan :n paalle (/8) 5, htälöstä tulee denttsest tos (/8) 5 elpaa ss stsratasus Täten

5 ( p) = 5 8 Ja leses oonasratasus saadaan ( h ) ( p) = + = C + C ( ) (c) Homogeennen osa on edelleen sama un ohdassa (a), joten saadaan: (h) ( ) = C + C Haetaan stten epähomogeensen htälön toteuttava stsratasu Epähomogeennen osa on nt Kosa epähomogeensuusterm on asteen polnom :sta, 'svstnt arvaus' on lestä muotoa oleva asteen polnom :sta, el a + b, jossa a ja b ovat vaota Sjotetaan senen rte epähomogeenseen htälöön :n paalle: a( + ) + b [ a( + ) + b] ( a + b) = a + a + b a a b a b = a + a b = Nt verrataan :n ertoma ja vaoertoma htälön er puollla Saadaan htälöpar a = a = ( p) Ystsratasus saadaan ss = a b = 0 b = / ( h ) ( p) Täten lenen oonasratasu on = + = C + C ( ) Muodostetaan ensn järjestelmää uvaava dfferensshtälö Ulostulo otetaan het summamen jäleen, joten on htäsuur un summameen tuleva tavara Kun ' ' on vve-elementt, joa penentää ndesä hdellä, vodaan rjottaa = + u = u Kseessä on ss epähomogeennen dfferensshtälö, osa stä löt term u, joa e ssällä ratastavaa muuttujaa Tehtävänannossa u :lle on annettu vaoarvo, joten ratastava dfferensshtälö on = Ratastaan ensn homogeennen htälö Mertään ss epähomogeensen osa (el ) nollas: = 0 = r r r = 0 : r - r = 0 r = Karaterstnen htälö on ensmmästä astetta, ja htälön ratasus saatn s reaaljuur Juur on ss snertanen, ja homogeensen htälön ratasu on: ( h ) = Cr = C Haetaan stten epähomogeensen htälön toteuttava stsratasu Epähomogeennen osa on jälleen vaoterm, joten oellaan stsratasus vaotermä H: ( p ) H H = H = = Yleses oonasratasus saadaan ( h ) ( p) = + = C Kosa tehtäväpaperssa on annettu aluehto :lle, nt vodaan ratasta lesen oonasratasun tuntematon vaoerron C Sjotetaan leseen oonasratasuun = 0: 5

6 0 0 = C = C Tosaalta tedetään, että 0 = Saadaan C = C = 6 Koonasratasu on ss = 6 Tarasteltavana on epähomogeennen dfferensshtälö: P P 000 = Ratastaan ensn homogeennen htälö, el mertään epähomogeensuusterm (000) nollas: P = 0 P = r r r = 0 :r - P r = 0 r = Homogeensen htälön ratasu on ss: ( h) P = Cr = C Haetaan stten epähomogeensen htälön toteuttava stsratasu Kosa epähomogeensuusterm on vao (000 e rpu :sta), oellaan vaortettä H: ( p) H H = 000 H = 000 P = 000 Yleses oonasratasus saadaan: ( h) ( p) P = P + P = C 000 Yllä olevassa lauseeessa P tarottaa Paveln plumaaltodennäösttä, un hän on vettänt uuautta rangastuspotuursslla Tehtävänannon muaan Pavel teee tällä hetellä plusta maaln 0%:n todennäösdellä Ja tuo "tällä hetellä" tarottaa stä, että Pavel on vettänt nolla uuautta pluursslla Täten saadaan: 0 P = C 000 = 0 C = 00 0 Koonasratasus saadaan ss: P = Ksttn, una monta uuautta Paveln on ursslla vetettävä, jotta todennäöss saavuttaa ösen P 0 = 0%, P = 0%, P = 80%, P = 607% olme uuautta rttää 5 Ulostulo on summanelementn jälenen tla Täten ulostulo on htäsuur un summanelementtn tuleva tavara, ss = + u + = u 6 6 Tarastellaan tlannetta, un 0 Tällön + = 6 Kseessä on epähomogeennen dfferensshtälö Ratastaan ensn homogeennen htälö, el mertään epähomogeensuusterm ( ) nollas + = 0 = r r r + r = 0 : r - r r + = r = / r = / 6

7 Karaterstsen htälön juuret ovat reaalsa ja ersuura, joten homogeensen htälön ratasu on ( h ) = C + C Aluperänen htälö ol epähomogeennen, joten haetaan seuraavas epähomogeensen htälön toteuttava stsratasu Kosa epähomogeensuusterm on, oellaan stsratasurttees termä A, jossa A on vao A A + A = : - 6 A A + A = A = ( p) 6 = 5 Epähomogeensen htälön lenen oonasratasu on ss ( h ) ( p) 6 = + = C + C + 5 Ratastaan velä lesen oonasratasun tuntemattomat vaot C ja C Aluehtoja e ole suoraan annettu, mutta ne psttään pommaan tehtävänannosta Ssäänmeno on nolla, un < 0 Ss mös = 0, un < 0 Ss: = 0: (/6) - = 0 0 = = : (/6) - = = + 0 = 0 = C + C + 6 / 5 = C = 9 /0 = (/ ) C + (/ ) C + (6 / 5) = C = / Koonasratasu on ss 9 6 = Impulssvaste h on järjestelmän ulostulo, un ssäänmenona on mpulss δ Impulssvaste uvaa ss stä, mten järjestelmä vastaa mpulssn Kun järjestelmän mpulssvaste tunnetaan, ulostulo saadaan selvlle onvoluutosumman avulla mlle tahansa ssäänmenolle Kun tehtävän 5 järjestelmää uvaavaan htälöön sjotetaan ulostulon paalle h ja ssäänmenon paalle δ, saadaan:, = 0 h h + h = δ Dsreett mpulss δ = 6 0, 0 Kun > 0, saadaan ss homogeennen dfferensshtälö: h h + h = 0 6 Tämä ratastn :lle tehtävässä 5, joten vastaavast nt saadaan 7

8 h = C + C, un > 0 Ssäänmeno δ on nolla, un < 0 Ss mös h = 0, un < 0 Määrtetään as aluarvoa ahden tuntemattoman vaon (C ja C ) lasemses = 0: h 0 - h - + (/6)h - = δ 0 = h 0 = = : h - h 0 + (/6)h - = δ = 0 h = h 0 = 0 0 h0 = (/ ) C + (/ ) C = C = / h = (/ ) C + (/ ) C = C = / Impulssvasteen lausee on ss h =, un 0 Lasetaan velä ulostulo onvoluutosummalla h \ u /6 /6 /8 / / 5/8 5/8 5/ 5/ 5 Ulostulo saadaan, un summataan lävstäjän alota llä olevasta tauluosta 0 =, = + =, = + + /6 = 09/6, = /8 + 5/8 = 5 Tehtävästä 5 saadaan 9 6 = + + = Merntätennen juttu: huomaa, että x tarottaa samaa asaa un x() Tässä tehtävässä ätetään jälmmästä merntätapaa, osa alandest on varattu uvaamaan saraematrsn alota Tlamuuttujaestsen lenen muoto: x ( + ) = Ax( ) + Bu( ) ( ) = Cx( ) + Du( ) Dsreettaasten järjestelmen tlamuuttujaests on melo snertasta muodostaa, sllä tlamuuttujs annattaa ana valta vve-elementten jäleset tlat Perustelu tälle valnnalle on, että sllä saadaan ana penennettä aluperäsen dfferensshtälön astetta, mä on juur tlamuuttujaestsen dea Kosa tarasteltavassa lohoaavossa on as vve-elementtä, järjestelmän tlamuuttujaestsessä tarvtaan as tlamuuttujaa Tehtäväpapern lohoaavolle saadaan: () = ( ) /6 ( ) + u() Kun tlamuuttuja x on vasemmanpuolesen vve-elementn jälenen tla ja x vastaavast oeanpuolesen vve-elementn jälenen tla, saadaan: 8

9 x ( + ) = () = ( ) /6 ( ) + u() = x () /6 x () + u() x ( + ) = x () Nt tlaestseen tarvttavat htälöt on rjotettu Tlaestses saadaan: x( + ) /6 x ( ) x ( ) = + u( ) x ( ) x ( ), ( ) = [ /6] [ ] u( ) x ( ) A B C D Dsreettaajärjestelmä on stabl, jos < λ <, mssä λ ovat A:n omnasarvot Lasetaan A:n omnasarvot: /6 0 λ /6 A λ I = 0 λ = = 0 λ / ( λ )( λ ) ( /6) = 0 λ λ + /6 = 0 λ = stabl! / 8 Tlamatrsn A omnasarvot vastaavat järjestelmää uvaavan htälön araterstsen htälön juura Tehtävässä 7 saatn omnasarvos / ja / Tehtävässä 5 araterstsen htälön juurs saatn samat arvot Järjestelmän stablsuutta vodaan ss tarastella mös homogeensen htälön ratasusta, joa tehtävässä 5 ol ( h ) = C + C (h) Jos 0, un, järjestelmä on stabl Tämä ehto toteutuu, un araterstsen htälön juuret ovat tsesarvoltaan östä penempä Samasta sstä seuraa ss tlamatrsn omnasarvohn lttvä stablsuusehto 0 Konvoluutosumma votasn lasea uten tehtävässä 6, jossa ätettn ns tauluomenetelmää Tauluomenetelmällä saadaan llä ulostulon alota selvlle, mutta ulostulon lausee saattaa olla hanala päätellä nosta alosta Tässä tehtävässä nmenomaan stään ulostulon lauseetta, joten rtetään vääntää onvoluutosumma au lman tauluomenetelmää Tarotus on ss hödntää onvoluutosumman aavaa: = u h j j j= Huomaa, että ssäänmenon u paalle sötetään nt ss u j, el ndes on orvattu ndesllä j Tehtävänannon perusteella huomataan utenn, että ssäänmeno saa nollasta poeava arvoja van sllon, un j 0 Vastaavast mpulssvasteen h paalle sötetään nt h -j, el ndes on orvattu ndesllä j Tehtävänannon perusteella huomataan, että mpulssvaste saa nollasta poeava arvoja van sllon, un j 0 Kosa onvoluutosumman lauseeessa juoseva ndes on j, ja osa ssäänmeno menee nollas nollaa penemmllä j:n arvolla, summan alaraja saadaan muutettua 9

10 :stä nollas Vastaavast mpulssvaste menee nollas, un j > Täten onvoluutosumman lärajas saadaan : j j j j a = a b = b a b = b j= 0 j= 0 j= 0 b j Summalausee on geometrnen sarja, osa ahden perääsen termn osamäärä (utsutaan mös suhdeluvus) on vao, tässä tapausessa a/b Geometrnen sarja on suppeneva, jos suhdeluu on tsesarvoltaan östä penemp Nt suppenemsesta e utenaan psttä sanomaan mtään, joten rjotetaan senen summa leses geometrsen sarjan summas, jollon saadaan ( a / b) ( ( a / b) ) ( a / b) b = b, a b = a / b a / b, 0 b ( + ), a = b Tuohon lauseeeseen päädtään, osa lesessä muodossa geometrnen sarja a aq aq aq aq n = a n ( q ) q, un suhdeluu q 0