Altistusaika 1 kk 2 kk 3 kk

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Altistusaika 1 kk 2 kk 3 kk 1.35 1.53 1.38 1.35 1.63 1.51 1.60 1.40 2.18 1.77 1.66 1.98 1.73 1.76 1.60 1.72"

Transkriptio

1 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut iheet: vainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Lohkoasetelmat Latinalaiset neliöt ritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi, Interaktio, äännösneliösumma, Kaksisuuntainen varianssianalsi, Keskiarvodiagrammi, Kiusatekijä, Kokonaisvaihtelu, Kolmisuuntainen varianssianalsi, Latinalainen neliö, Lohkoasetelma, Merkitsevstaso, p-arvo, äävaikutus, Reunakeskiarvo, Rhmien sisäinen vaihtelu, Rhmien välinen vaihtelu, Rhmä, Rhmäkeskiarvo, Testi, Testisuure, Vapausaste, Varianssi, Varianssianalsi, Varianssianalsihajotelma, Yhteisvaihtelu, Yleiskeskiarvo Tehtävä 9.. Tutkimuksen kohteena oli lehtinippujen hajoamisnopeus. Nippujen hajoamista tutkittiin neljässä erilaisessa mpäristössä kolmella erilaisella altistusajalla. okaisen mpäristöaltistusaika-hdistelmän kohteeksi valittiin satunnaisesti kaksi nippua. Niput punnittiin kokeen alussa ja kätettjen altistusaikojen jälkeen ja nipuista kirjattiin painon pudotus (grammoina). Tulokset kokeesta on annettu alla olevassa taulukossa. ainon pudotus (g) Ympäristö E E.6.03 E E ltistusaika kk kk 3 kk Mitä vaikutuksia mpäristöllä ja altistusajalla on painonpudotukseen? Tarkastele asiaa sekä graafisesti että sopivilla testeillä. Formuloi mös analsissa kättämäsi tilastollinen malli. Ilkka Mellin (005) /46

2 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tehtävä 9.. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan kaksisuuntaista varianssianalsia. Kaksisuuntaisen varianssianalsin tutkimusasetelma (i) (ii) Oletetaan, että haluamme tutkia kahden rhmittelevän tekijän ja B vaikutusta vastemuuttujan keskimääräiseen arvoon. Oletetaan, että tekijällä on I tasoa ja tekijällä B on tasoa, jolloin havainnot voidaan luokitella ristiin I rhmään. (iii) oimitaan kokeen mahdollisten kohteiden joukosta jokaiseen rhmään satunnaisesti K ksilöä. (iv) Mitataan vastemuuttujan arvot. Havainnot Olkoon kij = muuttujan k. havaintoarvo rhmässä, jonka määrittelee tekijän taso i ja tekijän B taso j, k =,,, K, i =,,, I, j =,,, Kaksisuuntaisen varianssianalsin tilastollinen malli ja sen parametrointi Kaksisuuntaisen varianssianalsin tilastollisella mallilla on seuraavat ekvivalentit esitsmuodot: () = µ + ( µ µ ) + ( µ µ ) + ( µ µ µ + µ ) + ( µ ) () kij = µ ij + ε kij kij ii i j ij ìi i j kij ij (3) = µ + α + β + ( αβ) + ε kij i j ij kij k =,,, K, i =,,, I, j =,,, äännöstermit ε kij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: Mallissa () ε kij N(0, σ ) µ ìi = µ ij k =,,, K, i =,,, I, j =,,, j = I µ i j = µ ij I i= µ = µ = µ = I I I I µ ij ii i j i= j= i= j= Ilkka Mellin (005) /46

3 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mallien (), () ja (3) parametrien välillä on seuraavat htälöt: α = µ µ i j ii β = µ µ i j ( αβ ) = µ µ µ +µ ij ij ìi i j ε = µ kij kij ij Mallin (3) parametrit toteuttavat htälöt I I α = β = ( αβ ) = ( αβ ) = 0 i i ij ij i= j= i= j= Kaksisuuntaisen varianssianalsin nollahpoteesit Kaksisuuntaisella varianssianalsilla tarkoitetaan seuraavien nollahpoteesien testaamista: H B : Ei hdsvaikutusta H H B : Ei -vaikutusta : Ei B-vaikutusta Nämä nollahpoteesit voidaan ilmaista mallin (3) parametrien avulla seuraavassa muodossa: H : ( αβ ) = 0, i =,,, I, j =,,, B ij H : α = α = $ = α = 0 H : β = β = $ = β = 0 B I Keskiarvot Rhmän (i, j) havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo eli rhmäkeskiarvo on K i =, i =,,, I, j =,,, ij K k = Tekijän tasoon i liittvä reunakeskiarvo on kij K = =, i =,,, I ii i i kij ij K j= k= j= Tekijän B tasoon j liittvä reunakeskiarvo on I K I = =, j =,,, ii i j kij ij IK i= k= I i= Kaikkien havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo eli leis- eli kokonaiskeskiarvo on iii I K I = = IK kij i= j= k= I i= j= iij Ilkka Mellin (005) 3/46

4 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Kaksisuuntaisen varianssianalsin varianssianalsihajotelma Testit nollahpoteeseille H B, H, H B perustuvat varianssianalsihajotelmaan Neliösumma SST = SS + SSB + SSB + SSE I K kij iii ) i= j= k= SST = ( ) = ( IK s kuvaa havaintojen kokonaisvaihtelua. Neliösumma I K I ( iii iii) ( iii iii) i= j= k= i= SS= = K kuvaa tekijän osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta eli tekijän päävaikutusta. Neliösumma I K ( ii j iii) ( ii j iii) i= j= k= j= SSB = = IK kuvaa tekijän B osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta eli tekijän B päävaikutusta. Neliösumma I K I ( iij iii ii j iii) ( iij iii ii j iii ) i= j= k= i= j= SSB = + = K + kuvaa tekijöiden ja B hteisvaihtelun osuutta kokonaisvaihtelusta eli tekijöiden ja B interaktiota. Neliösumma (jäännösneliösumma) I K I ( kij i ij ) ( ) ij i= j= k= i= j= SSE = = K s kuvaa rhmien sisäisen vaihtelun osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta. Kaksisuuntaisen varianssianalsin testisuureet Määritellään F-testisuureet F F F B B I ( K ) SSB = ( I )( ) SSE I ( K ) SS = ( I ) SSE I ( K ) SSB = ( ) SSE Ilkka Mellin (005) 4/46

5 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit os nollahpoteesi H B : Ei hdsvaikutusta pätee, niin F F(( I )( ), I( K )) B Suuret testisuureen F B arvot johtavat nollahpoteesin H B hlkäämiseen. os nollahpoteesi H : Ei -vaikutusta pätee, niin F F(( I ), I( K )) Suuret testisuureen F arvot johtavat nollahpoteesin H hlkäämiseen. os nollahpoteesi H B : Ei B-vaikutusta pätee, niin F F(( ), I( K )) B Suuret testisuureen F B arvot johtavat nollahpoteesin H B hlkäämiseen. Kaksisuuntaisen varianssianalsin testien tulokset ilmaistaan tavallisesti varianssianalsitaulukon muodossa: Vaihtelun lähde Neliösumma SS Vapausasteet df Varianssiestimaattori MS F-testisuure SS I SS MS = F = MS I MSE B SSB MSB = SSB F = MSB MSE B SSB (I )( ) SSB MSB = ( I )( ) F = MSB MSE äännös SSE I(K ) MSE = SSE I ( K ) Kokonaisvaihtelu SST IK Ilkka Mellin (005) 5/46

6 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Varianssianalsitaulukon neliösummat toteuttavat varianssianalsihajotelman SST = SS + SSB + SSB + SSE ja neliösummia vastaavat vapausasteet toteuttavat htälön IK = (I ) + ( ) + (I )( ) + I(K ) Laskutoimitusten järjestel kaksisuuntaisessa varianssianalsissa os varianssianalsihajotelman neliösummat SST, SS, SSB, SSB, SSE joudutaan laskemaan käsin tai laskimella, kannattaa laskutoimituksissa kättää alla esitettäviä kaavoja. Määritellään seuraavat summat: T iij = K k = kij K T = = T ii i kij iij j= k= j= I K I T = = T ii j kij iij i= k= i= I K I I T = = T = T = iii kij iij iii ii j i= j= k= i= j= i= j= i =,,, I, j =,,, Tällöin llä määritellt keskiarvot saadaan kaavoilla iij ii i ii j iii = Tiij K = Tii i K = Tii j IK = Tiii IK i =,,, I, j =,,, Havaintoarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SST = = T IK I K I K ( kij iii) kij i= j= k= i= j= k= Tekijän päävaikutusta kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SS = K = T T I I ( iii iii) iii iii i= K i= IK T iii Ilkka Mellin (005) 6/46

7 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tekijän B päävaikutusta kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SSB = IK = T T I ( ii j iii) ii j iii j= IK i= IK Tekijöiden ja B hdsvaikutusta kuvaava neliösumma kannattaa laskea kahdessa vaiheessa. Lasketaan ensin rhmäkeskiarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma Tällöin SS = K = T T I I ( iij iii) iij iii i= j= K i= j= IK I SSB = K( iij iii ii j + iii) = SS SS SSB i= j= Rhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma saadaan kaavalla SSE = SST SSB SS SSB = SST SS Käsin tai laskimella laskettaessa havainnot kannattaa järjestää seuraavan taulukon muotoon: $ I B,,,,,, $,,, B,,,,,, $,,, % % % % B,,,,,, $,,, k k I I ki k k I I ki k k I I ki Tästä taulukosta lasketaan solukohtaiset summat K Ti =, i =,,, I, j =,,, ij k = ja kaikkien havaintojen neliöiden summa I K i= j= k= kij kij Solusummat Ti ij, i =,,, I, j =,,, järjestetään seuraavaksi taulukoksi, josta kaikki loput tarvittavista summista saadaan rivi- ja sarakesummina: $ I Summa B Ti Ti $ TiI Tii B Ti Ti $ TiI Tii % % % % % B Ti Ti $ TiI Tii Summa T T $ T T ii ii ii i iii Ilkka Mellin (005) 7/46

8 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tehtävä 9.. Ratkaisu: Tehtävän tapauksessa Tekijä = ika; tasot: altistusaika kk, kk, 3 kk Tekijä B = Ympäristö; tasot: mpäristö E, E, E 3, E 4 Siten I = 3 ja = 4 ja luokituksessa snt rhmää. I = 3 4 = okaisesta rhmästä on kerätt havaintoa. (i, j), i =,, 3, j =,, 3, 4 K = Satunnaistamista voidaan kuvata seuraavalla lokeromallilla: (i) (ii) Muodostetaan lokerikko, jossa on I = 3 4 = lokeroa, jotka indeksoidaan lukupareilla (i, j), i =,, 3, j =,, 3, 4 Tehdään 4 samanlaista lehtinippua ja sijoitetaan lehtiniput satunnaisesti lokeroihin niin, että jokaiseen lokeroon tulee nippua. Lokeron (i, j) molempiin lehtinippuihin kohdistetaan lokeron indeksointia vastaava käsittelkombinaatio (i, j), i =,, 3, j =,, 3, 4 Tehtävän tapauksessa kokeen tuloksena saatiin seuraava taulukko: ainon pudotus (g) Ympäristö E E.6.03 E E ika kk kk 3 kk Ilkka Mellin (005) 8/46

9 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Neliösummien laskeminen Lasketaan kaikkien havaintojen neliöiden summa: I K i= j= k= kij = Lasketaan seuraavaksi jokaisesta solusta havaintojen summa ja järjestetään summat taulukoksi, josta lasketaan lisäksi rivi- ja sarakesummat. Lasketaan solusummat: T = = =.5 i k k = T = = =.88 i k k = T = = = 3.00 i3 k3 k = T = = =.9 i k k = T = = =.73 i k k = T = = = 3.95 i3 k 3 k = T = = =.05 i3 k 3 k = T = = = 3.4 i3 k 3 k = T = = = 3.64 i33 k 33 k = T = = =.93 i4 k 4 k = T = = = 3.3 i4 k 4 k = T = = = 3.49 i43 k 43 k = Ilkka Mellin (005) 9/46

10 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Lasketaan rivisummat: 3 T = T = = 8.03 ii ii i= 3 T = T = = 8.87 ii ii i= 3 T = T = = 8.83 ii3 ii3 i= 3 T = T = = 8.74 ii4 ii4 i= Lasketaan sarakesummat: 4 T = T = = 8.3 ii ij j = 4 T = T = =.07 ii i j j = 4 T = T = = 4.08 i3i i3j j = Lasketaan kokonaissumma: 3 T = T = = iii i= iii T ij ika kk kk 3 kk Summa E Ympäristö E E E Summa Ilkka Mellin (005) 0/46

11 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Lasketaan kaksisuuntaisen varianssianalsin varianssianalsihajotelman neliösummat: I K SST = T IK i= j= k= kij iii = = I SS = Ti ii Tiii K i= IK = = ( ) SSB = T T IK ii j iii j = IK = = ( ) I SS = Ti T K IK i= j= ij iii ( = =.4963 SSB = SS SS SSB ) = = SSE = SST SS SSB SSB = SST SS = = Ilkka Mellin (005) /46

12 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit F-testisuureiden laskeminen Olkoon nollahpoteesina H B : Ei hdsvaikutusta Testisuureen F B arvoksi saadaan F B I ( K ) SSB = ( I )( ) SSE 3 4 ( ) = (3 ) (4 ) =.75 os nollahpoteesi H B pätee, niin F F(( I )( ), I( K )) = F(6,) B Olkoon nollahpoteesina H : Ei -vaikutusta Testisuureen F arvoksi saadaan F I ( K ) SS = ( I ) SSE 3 4 ( ) = (3 ) = 6.67 os nollahpoteesi H pätee, niin F F(( I ), I( K )) = F(,) Olkoon nollahpoteesina H B : Ei B-vaikutusta Testisuureen F B arvoksi saadaan F B I ( K ) SS = ( ) SSE 3 4 ( ) = (4 ) =.53 os nollahpoteesi H B pätee, niin F F(( ), I( K )) = F(3,) B Ilkka Mellin (005) /46

13 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Testien tekeminen Olkoon nollahpoteesina H B : Ei hdsvaikutusta Testisuureen arvoksi saatiin F B =.75 Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla r( F.75) = Siten nollahpoteesi H B voidaan hlätä merkitsevstasolla 0.0, mutta ei aivan merkitsevstasolla Taulukoiden mukaan jossa Koska r(f.996) = 0.05 F F(( I )( ), I( K )) = F(6,) F B =.75 <.996 voimme todeta (kuten edellä), että nollahpoteesia H B ei voida hlätä merkitsevstasolla Olkoon nollahpoteesina H : Ei -vaikutusta Testisuureen arvoksi saatiin F = 6.67 Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla r( F 6.67) < Siten nollahpoteesi H voidaan hlätä kaikilla tavanomaisilla merkitsevstasoilla. Taulukoiden mukaan jossa Koska r(f 6.97) = 0.0 F F(( I ), I( K )) = F(,) F = 6.67 > 6.97 voimme todeta, että nollahpoteesi H voidaan hlätä merkitsevstasolla 0.0. Ilkka Mellin (005) 3/46

14 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Olkoon nollahpoteesina H B : Ei B-vaikutusta Testisuureen arvoksi saatiin F =.53 B Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla r( F.53) = 0.58 Siten nollahpoteesia H B ei voida hlätä edes merkitsevstasolla 0.. Taulukoiden mukaan jossa Koska r(f 3.490) = 0.05 F F(( ), I( K )) = F(3,) F =.53 B < voimme todeta, että nollahpoteesia H B ei voida hlätä merkitsevstasolla Varianssianalsitaulukko Testien tuloksista voidaan rakentaa seuraava varianssianalsitaulukko: Vaihtelun lähde SS df MS F p < B B E T Ilkka Mellin (005) 4/46

15 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit ohtopäätös: os kätämme 5 %:n merkitsevstasoa, voimme hlätä kaksisuuntaisen varianssianalsin nollahpoteeseista vain hpoteesin H : Ei -vaikutusta Testien mukaan vain altistusajalla on vaikutusta lehtinippujen hajoamiseen. os kätämme hieman tavanomaista suurempaa 0 %:n merkitsevstasoa, voimme hlätä nollahpoteesit: H B : Ei hdsvaikutusta H : Ei -vaikutusta Siten mpäristöllä ja altistusajalla saattaa olla (lievää) hdsvaikutusta, vaikka vain altistusajalla on vaikutusta erillisenä tekijänä lehtinippujen hajoamiseen. Ilkka Mellin (005) 5/46

16 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Ncss-ohjelma antaa tehtävän 9.. aineistosta seuraavan tulostuksen: nalsis of Variance Report Expected Mean Squares Section Source Term Denominator Expected Term DF Fixed? Term Mean Square : ika Yes S(B) S+bs B: Ymparisto 3 Yes S(B) S+asB B 6 Yes S(B) S+sB S(B) No S Note: Expected Mean Squares are for the balanced cell-frequenc case. nalsis of Variance Table Source Sum of Mean rob ower Term DF Squares Square F-Ratio Level (lpha=0.0) : ika * B: Ymparisto E E B E * S E-0 Total (djusted) Total 4 * Term significant at alpha = 0.0 Means and Standard Error Section Standard Term Count Mean Error ll : ika E E E-0 B: Ymparisto E E E E-0 B: ika,ymparisto, E-0, E-0, E-0, E-0, E-0, E-0, E-0, E-0 3, E-0 3, E-0 3, E-0 3, E-0 Ilkka Mellin (005) 6/46

17 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit lots Section Means of ainonudotus.0.85 ainonudotus ika Means of ainonudotus.0.85 ainonudotus Ymparisto Means of ainonudotus ainonudotus Ymparisto ika Ilkka Mellin (005) 7/46

18 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Bonferroni (ll-airwise) Multiple Comparison Test Response: ainonudotus Term : ika lpha=0.050 Error Term=S(B) DF= MSE= E-0 Critical Value= Different Group Count Mean From Groups 8.04, , , Bonferroni (ll-airwise) Multiple Comparison Test Response: ainonudotus Term B: Ymparisto lpha=0.050 Error Term=S(B) DF= MSE= E-0 Critical Value=3.568 Different Group Count Mean From Groups Bonferroni (ll-airwise) Multiple Comparison Test Response: ainonudotus Term B: ika,ymparisto lpha=0.050 Error Term=S(B) DF= MSE= E-0 Critical Value= Different Group Count Mean From Groups, (,3), (,4), (3,4), (3,3), (3,),3.05 (,4), (3,4), (3,3), (3,),.075 (,4), (3,4), (3,3), (3,),.095 (3,4), (3,3), (3,),.365 (3,),.44 3,.5,3.57 (,4),4.66 (,4), (,3), (,) 3,4.745 (,4), (,3), (,), (,) 3,3.8 (,4), (,3), (,), (,) 3,.975 (,4), (,3), (,), (,), (,) Ilkka Mellin (005) 8/46

19 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tehtävä 9.. Laadunvalvontainsinööri tutki kokemuksen merkitstä kokoonpanolinjalla kokoonpanotehtävään kuluvan ajan avulla. Insinööri valitsi satunnaisesti kahdeksan töntekijää neljästä eri rhmästä kustakin: Rhmä : vuoden tökokemus Rhmä B: vuoden tökokemus Rhmä C: 3 vuoden tökokemus Rhmä D: 4 vuoden tökokemus Kokoonpanotehtävät arvottiin töntekijöille. Tuloksena kokeesta saatiin alla oleva taulukko. Tehtävään kulunut aika (s) Tökokemuksen pituus v v 3 v 4 v Tehtävä Mitä vaikutus kokemuksella on tötehtävään kuluneeseen aikaan? Tarkastele asiaa sekä graafisesti että sopivilla testeillä. Formuloi mös analsissa kättämäsi tilastollinen malli. Tehtävä 9.. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan satunnaistettua tädellistä lohkoasetelmaa. Ilkka Mellin (005) 9/46

20 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Satunnaistettu tädellinen lohkoasetelma (i) (ii) Oletetaan, että haluamme tutkia rhmittelevän tekijän tai käsitteln vaikutusta vastemuuttujan keskimääräiseen arvoon koetilanteessa, jossa mukana on kiusatekijä B, jonka tasojen suhteen kokeen mahdollisten kohteiden joukko voidaan lohkoa eli jakaa homogeenisiin rhmiin. Oletetaan, että tekijällä on I tasoa ja kiusatekijällä B on tasoa, jolloin havainnot voidaan lohkoa I rhmään. (iii) oimitaan jokaisesta kiusatekijän B tason määräämästä lohkosta satunnaisesti I ksilöä ja arvotaan käsittelt ko. ksilöille. (iv) Mitataan vastemuuttujan arvot. Havainnot Olkoon ij = muuttujan havaintoarvo rhmässä, jonka määrittelee tekijän taso i ja kiusatekijän B taso j, i =,,, I, j =,,, Satunnaistetun tädellisen lohkoasetelman tilastollinen malli ja sen parametrointi Satunnaistetun tädellisen lohkoasetelman tilastollisella mallilla on seuraava esitsmuoto: () ij = µ + αi + β j + εij i =,,, I, j =,,, äännöstermit ε ij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: ε ij N(0, σ ) i =,,, I, j =,,, Mallin () parametrit toteuttavat htälöt I α = β = 0 i i= j= i Satunnaistetun tädellisen lohkoasetelman nollahpoteesi Lohkoasetelman analsi tarkoittaa seuraavan nollahpoteesien testaamista: H : Ei -vaikutusta kun asetelmassa on mukana kiusatekijä B. Tämä nollahpoteesi voidaan ilmaista mallin () parametrien avulla seuraavassa muodossa: H : α = α = $ = α = 0 I Ilkka Mellin (005) 0/46

21 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Keskiarvot Varsinaisen kiinnostuksen kohteena olevan tekijän tasoon i liittvä käsittelkeskiarvo on =, i =,,, I ii j = ij Kiusatekijän B tasoon j liittvä lohkokeskiarvo on I =, j =,,, i j I i = ij Kaikkien havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo eli leis- eli kokonaiskeskiarvo on ii I ij I i = j = = Satunnaistetun tädellisen lohkoasetelman varianssianalsihajotelma Testi nollahpoteesille H perustuu varianssianalsihajotelmaan Neliösumma SST = SS + SSB + SSE I ( ij ii) ( i= j= SST = = I ) s kuvaa havaintojen kokonaisvaihtelua. Neliösumma I I ( ii ii) ( ii ii ) i= j= i= SS = = kuvaa varsinaisen kiinnostuksen kohteena olevan tekijän osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta. Neliösumma I ( i j ii) ( i j ii ) i= j= j= SSB = = I kuvaa kiusatekijän B osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta. äännösneliösumma on I ij ii i j ii i= j= SSE = ( + ) Ilkka Mellin (005) /46

22 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Satunnaistetun tädellisen lohkoasetelman testisuure Määritellään F-testisuure F ( I )( ) SS = I SSE os nollahpoteesi H : Ei -vaikutusta pätee, niin F F(( I ),( I )( )) Suuret testisuureen F arvot johtavat nollahpoteesin H hlkäämiseen. Satunnaistetun tädellisen lohkoasetelman testin tulos ilmaistaan tavallisesti varianssianalsitaulukon muodossa: Vaihtelun lähde Neliösumma SS Vapausasteet df Varianssiestimaattori MS F-testisuure SS I SS MS = F = MS I MSE B SSB MSB = SSB äännös SSE (I )( ) SSE MSE = ( I )( ) Kokonaisvaihtelu SST I Varianssianalsitaulukon neliösummat toteuttavat varianssianalsihajotelman SST = SS + SSB + SSE ja neliösummia vastaavat vapausasteet toteuttavat htälön I = (I ) + ( ) + (I )( ) Ilkka Mellin (005) /46

23 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Laskutoimitusten järjestel satunnaistetussa tädellisessä lohkoasetelmassa os varianssianalsihajotelman neliösummat SST, SS, SSB, SSE joudutaan laskemaan käsin tai laskimella, kannattaa laskutoimituksissa kättää alla esitettäviä kaavoja. Määritellään seuraavat summat: T T T ii i j ii = = = j = I i= I ij ij i= j= ij i =,,, I, j =,,, Tällöin llä määritellt keskiarvot saadaan kaavoilla ii i j ii = Tii = Ti j I = Tii I i =,,, I, j =,,, Havaintoarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SST = = T ii I I I ( ij ii) ij i= j= i= j= Käsitteln vaikutusta kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SS = = T T I I I ( ii ii) ii i= i= Kiusatekijän B vaikutusta kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SSB = I = T T ii ( i j ii) i j iii j= I j= I äännösvaihtelua kuvaava neliösumma saadaan kaavalla SSE = SST SS SSB Ilkka Mellin (005) 3/46

24 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Käsin tai laskimella laskettaessa havainnot kannattaa järjestää seuraavan taulukon muotoon: $ I B $ B $ % % % % B $ I I I Tästä taulukosta lasketaan kaikkien havaintojen neliöiden summa I i= j= ij Samaan taulukkoon lasketaan mös loput tarvittavista summista rivi- ja sarakesummina: $ I Summa B $ I Ti B $ I Ti % % % % % B $ TI Ti Summa T T $ T T i i I i ii Tehtävä 9.. Ratkaisu: Tehtävän tapauksessa Tekijä = Tökokemuksen pituus; tasot: v, v, 3 v, 4 v Kiusatekijä B = Tötehtävä; tasot: tehtävä,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Siten I = 4 ja = 8 ja luokituksessa snt I = 4 8 = 3 rhmää. okaisesta rhmästä (i, j), i =,, 3, 4, j =,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 on kerätt havainto. Satunnaistamista voidaan kuvata seuraavalla lokeromallilla: (i) Muodostetaan lokerikko, jossa on I = 4 8 = 3 lokeroa, jotka indeksoidaan pareilla (i, j), i =,, 3, 4, j =,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Ilkka Mellin (005) 4/46

25 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (ii) Valitaan satunnaisesti kahdeksan töntekijää, joiden tökokemuksen pituus on i vuotta, i =,, 3, 4 lokeroihin (i, j), j =,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Lokeroon (i, j) töntekijä tekee tötehtävän j, i =,, 3, 4, j =,, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Tehtävän tapauksessa kokeen tuloksena saatiin seuraava taulukko: Tehtävään kulunut aika (s) Tökokemuksen pituus v v 3 v 4 v Tehtävä Neliösummien laskeminen Lasketaan kaikkien havaintojen neliöiden summa: I i= j= ij = 94.5 Lasketaan seuraavaksi käsittel- ja lohkosummat. Lasketaan käsittelsummat eli taulukon sarakesummat: 8 T = = = 70. i j j = 8 T = = = 35.8 i j j = 8 T = = = i 3j j = 8 T = = =.8 4i 4 j j = Ilkka Mellin (005) 5/46

26 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Lasketaan lohkosummat eli taulukon rivisummat: 4 T = = = 9.9 i i i= 4 T = = = 0. i i i= 4 T = = = 04.0 i3 i3 i= 4 T = = =.6 i4 i4 i= 4 T = = = 9.9 i5 i5 i= 4 T = = =. i6 i6 i= 4 T = = = 8.6 i7 i7 i= 4 T = = = 4. i8 i8 i= Lasketaan kokonaissumma: 4 T = T = = 95.4 ii i= ii Tehtävään kulunut aika (s) Tökokemuksen pituus v v 3 v 4 v Summa Tehtävä Summa Ilkka Mellin (005) 6/46

27 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Lasketaan satunnaistetun tädellisen lohkoasetelman varianssianalsihajotelman neliösummat: I SST = T I i= j= kij ii = = I SS = Ti i Tii i= I = = ( ) 95.4 SSB = T T I i j ii j = I ( = = SSE = SST SS SSB ) 95.4 = = F-testisuureen laskeminen Olkoon nollahpoteesina H : Ei -vaikutusta Testisuureen F arvoksi saadaan F ( I )( ) SS = ( I ) SSE (4 )(8 ) = (4 ) = 3.36 os nollahpoteesi H pätee, niin F F(( I ),( I )( )) = F(3,) Ilkka Mellin (005) 7/46

28 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Testin tekeminen Olkoon nollahpoteesina H : Ei -vaikutusta Testisuureen arvoksi saatiin F = 3.36 Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla r( F 3.364) = Siten nollahpoteesi H voidaan hlätä merkitsevstasolla 0.05, mutta ei merkitsevstasolla 0.0. Taulukoiden mukaan jossa Koska r(f 3.07) = 0.05 r(f 4.874) = 0.0 F F(( I ), ( I )( )) = F(3, ) 3.07 < F = 3.36 < voimme todeta (htäpitävästi llä esitetn kanssa), että nollahpoteesi H voidaan hlätä merkitsevstasolla 0.05, mutta ei merkitsevstasolla 0.0. Testien tuloksista voidaan rakentaa seuraava varianssianalsitaulukko: Vaihtelun lähde SS df MS F p B E T Ilkka Mellin (005) 8/46

29 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit ohtopäätös: os kätämme 5 %:n merkitsevstasoa, voimme hlätä nollahpoteesin H : Ei -vaikutusta Testin mukaan tökokemuksella on vaikutusta tötehtäviin kätettn aikaan. Ilkka Mellin (005) 9/46

30 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Ncss-ohjelma antaa tehtävän 9.. aineistosta seuraavan tulostuksen: nalsis of Variance Report Expected Mean Squares Section Source Term Denominator Expected Term DF Fixed? Term Mean Square : Experience 3 Yes S(B) S+bs B: Task 7 Yes S(B) S+asB S(B) No S Note: Expected Mean Squares are for the balanced cell-frequenc case. nalsis of Variance Table Source Sum of Mean rob ower Term DF Squares Square F-Ratio Level (lpha=0.05) : Experience * B: Task S Total (djusted) Total 3 * Term significant at alpha = 0.05 Means and Standard Error Section Standard Term Count Mean Error ll : Experience B: Task Ilkka Mellin (005) 30/46

31 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit lots Section Means of Time Time Experience Means of Time Time Task Ilkka Mellin (005) 3/46

32 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Bonferroni (ll-airwise) Multiple Comparison Test Response: Time Term : Experience lpha=0.050 Error Term=S(B) DF= MSE=.4576 Critical Value=.9086 Different Group Count Mean From Groups Bonferroni (ll-airwise) Multiple Comparison Test Response: Time Term B: Task lpha=0.050 Error Term=S(B) DF= MSE=.4576 Critical Value= Different Group Count Mean From Groups Ilkka Mellin (005) 3/46

33 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tehtävä 9.3. Tutkimuksessa haluttiin verrata autojen keskimääräistä bensiininkulutusta kolmella eri bensiinilaadulla ( = Regular, B = Super, C = Extra). Tunnistettiin kaksi ulkopuolista vaihtelun lähdettä: ajaja (,, 3) ja auton tppi (4 slinteriä, 6 slinteriä, 8 slinteriä). Tulokset testistä (annetulla bensiinimäärällä ajetut matkat maileina) on annettu alla olevassa taulukossa. jettu matka (mile) uton tppi 4 s 6 s 8 s 36.0 B 33.0 C 6.5 jaja B 36.5 C C B 6.0 Testaa onko keskimääräinen bensiininkulutus eri bensiinilaaduilla erilainen. Tehtävä 9.3. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan latinalaisten neliöiden koeasetelmaa. Latinalaisten neliöiden koeasetelma (i) (ii) Oletetaan, että haluamme tutkia jonkin rhmittelevän tekijän tai käsitteln vaikutusta vastemuuttujan keskimääräiseen arvoon tilanteessa, jossa mukana on kaksi kiusatekijää R ja C, joiden tasojen suhteen kokeen mahdollisten kohteiden joukko voidaan lohkoa eli jakaa homogeenisiin rhmiin. Oletetaan, että kiinnostuksen kohteena olevalla käsittelllä on tasoa ja mös kiusatekijöillä R ja C on tasoa, jolloin havainnot voidaan lohkoa = rhmään. (iii) oimitaan jokaisesta kiusatekijöiden R ja C tasojen määräämästä lohkosta satunnaisesti ksilö kokeeseen ja arvotaan käsittelt ko. ksilöille niin, että kiinnostuksen kohteena olevan käsitteln tasot muodostavat tekijöiden R ja C määräämässä -matriisissa ns. latinalaisen neliön. -matriisi on latinalainen neliö, jos kirjaimet, B, C, ( kpl) esiintvät täsmälleen kerran matriisin jokaisella rivillä ja sarakkeella. (iv) Mitataan vastemuuttujan arvot. Ilkka Mellin (005) 33/46

34 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Havainnot Olkoon ijk = muuttujan havaintoarvo rhmässä, jonka määrittelee rivitekijän R taso i ja saraketekijän C taso j ja käsittel k, i =,,,, j =,,,, k =,,, Latinalaisten neliöiden koeasetelman tilastollinen malli ja sen parametrointi Latinalaisten neliöiden koeasetelman tilastollisella mallilla on seuraava esitsmuoto: () ijk = µ + αi + β j + τk + εijk i =,,,, j =,,,, k =,,, äännöstermit ε ijk ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: ε ijk σ N(0, ) i =,,,, j =,,,, k =,,, Mallin () parametrit toteuttavat htälöt α = β = τ = 0 i i k i= j= k= Latinalaisten neliöiden koeasetelman nollahpoteesi Latinalaisten neliöiden analsi tarkoittaa seuraavan nollahpoteesien testaamista: H : Ei -vaikutusta kun asetelmassa on mukana rivitekijä R ja saraketekijä C. Tämä nollahpoteesi voidaan ilmaista mallin () parametrien avulla seuraavassa muodossa: H : τ = τ = $ = τ = 0 Keskiarvot Varsinaisen kiinnostuksen kohteena olevan tekijän tasoon i liittvä käsittelkeskiarvo on =, k =,,, ii k i = j = Rivitekijän R tasoon i liittvä rivikeskiarvo on =, i =,,, iii j = k = ijk ijk Ilkka Mellin (005) 34/46

35 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Saraketekijän C tasoon j liittvä sarakekeskiarvo on =, j =,,, i ji i = k = ijk Kaikkien havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo eli leis- eli kokonaiskeskiarvo on iii ijk i = j = k = = Latinalaisten neliöiden koeasetelman varianssianalsihajotelma Testi nollahpoteesille H perustuu varianssianalsihajotelmaan Neliösumma SST = SSR + SSC + SS + SSE SST = ( ijk iii) = ( ) s i= j= k= kuvaa havaintojen kokonaisvaihtelua. Neliösumma iik iii k = SS = ( ) kuvaa varsinaisen kiinnostuksen kohteena olevan tekijän osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta eli tekijän päävaikutusta. Neliösumma iii iii i= SSR = ( ) kuvaa rivitekijän R osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta. Neliösumma i ji iii j = SSC = ( ) kuvaa saraketekijän C osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta. äännösneliösumma on SSE = ( + I K ) ijk iii i ji iik iii i= j= k= Ilkka Mellin (005) 35/46

36 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Latinalaisten neliöiden koeasetelman testisuure Määritellään F-testisuure F os nollahpoteesi pätee, niin H ( )( ) SS = SSE : Ei -vaikutusta F F(( ),( )( )) Suuret testisuureen F arvot johtavat nollahpoteesin H hlkäämiseen. Satunnaistetun tädellisen lohkoasetelman testin tulos ilmaistaan tavallisesti varianssianalsitaulukon muodossa: Vaihtelun lähde Neliösumma SS Vapaus-asteet df Varianssiestimaattori MS F-testisuure SS MS = SS F = MS MSE R SSR MSR = SSR C SSC MSC = SSC SSE MSE = äännös SSE ( )( ) ( )( ) Kokonaisvaihtelu SST Varianssianalsitaulukon neliösummat toteuttavat varianssianalsihajotelman SST = SS + SSR + SSC + SSE ja neliösummia vastaavat vapausasteet toteuttavat htälön = ( ) + ( ) + ( ) + ( )( ) Ilkka Mellin (005) 36/46

37 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Laskutoimitusten järjestel latinalaisten neliöiden koeasetelmassa os varianssianalsihajotelman neliösummat SST, SS, SSB, SSC, SSE joudutaan laskemaan käsin tai laskimella, kannattaa laskutoimituksissa kättää alla esitettäviä kaavoja. Määritellään seuraavat summat: T T iii i ji j= k= i= k= T = T iik iii = = = i= j= ijk ijk ijk i= j= k= ijk i =,,,, j =,,,, k =,,, Tällöin llä määritellt keskiarvot saadaan kaavoilla iii i ji iik = Tiii = Ti ji = Tiik i =,,,, j =,,,, k =,,, Havaintoarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SST = = T ( ijk iii) ijk i= j= k= i= j= k= Käsittelvaikutusta kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SS = = T T ( iik ii) iik iii k= k= Rivivaikutusta kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SSR = = T T ( iii ii) iii iii i= i= Sarakevaikutusta kuvaava neliösumma saadaan kaavalla SSC = = T T ( i ji ii) i ji iii j= i= äännösvaihtelua kuvaava neliösumma saadaan kaavalla SSE = SST SS SSR SSC iii Ilkka Mellin (005) 37/46

38 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tehtävä 9.3. Ratkaisu: Tehtävän tapauksessa Tekijä = Bensiinilaatu; tasot: = regular, B = super, C = extra Rivitekijä R = jaja; tasot: ajaja,, 3 Saraketekijä C = uton tppi; tasot: 4 slinteriä, 6 slinteriä, 8 slinteriä Siten = 3 ja luokituksessa snt rhmää. okaisesta rhmästä = = 3 = 9 (i, j), i =,, 3 (rivi), j =,, 3 (sarake) on kerätt havainto siten, että jokaista käsittelä (k = ), B (k = ), C (k = 3) on sovellettu täsmälleen kerran indeksien i ja j määräämällä rivillä ja sarakkeella. Satunnaistamista voidaan kuvata seuraavalla lokeromallilla: (i) (ii) Muodostetaan lokerikko, jossa on = = 3 = 9 lokeroa, jotka indeksoidaan rivitekijän R ja saraketekijän C tasojen määräämillä lukupareilla (i, j), i =,, 3, j =,, 3 Valitaan satunnaisesti ksi kaikista mahdollisista latinalaisista 3 3-neliöistä. Lokeroa (i, j) vastaava ajaja-auto-kombinaatio kättää sitä bensiinilaatua, jota vastaava kirjain on osunut ko. lokeroon, i =,, 3, j =,, 3. Tehtävän tapauksessa kokeen tuloksena saatiin seuraava taulukko: jettu matka (mile) uton tppi 4 s 6 s 8 s 36.0 B 33.0 C 6.5 jaja B 36.5 C C B 6.0 Ilkka Mellin (005) 38/46

39 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Neliösummien laskeminen Lasketaan kaikkien havaintojen neliöiden summa: i= j= k= ijk Lasketaan käsittelsummat: = 9343 : Tii ii j= i= = = = 93.5 B: Tii ii j= i= = = = 95.5 C: Tii3 ii3 j= i= Lasketaan rivisummat: = = = 98.0 T = = = 95.5 ii ii j= k= T = = = 95.0 ii ii j= k= T = = = ii 3ii j= k= Lasketaan sarakesummat: T = = = 0.5 ii ii i= k= T = = = 99.0 ii ii i= k= T = = = 77.5 i3i i3i i= k= Lasketaan kokonaissumma: 3 T = T = = 87.0 iii j = i ji Ilkka Mellin (005) 39/46

40 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit jettu matka (mile) uton tppi 4 s 6 s 8 s Summa 36.0 B 33.0 C jaja B 36.5 C C B Summa Lasketaan latinalaisten neliöiden koeasetelman varianssianalsihajotelman neliösummat: SST = T i= j= k= = = ijk iii SS = Tiik T iii k = = = ( ) 87 SSR = Ti ii T iii i= = = ( ) 87 SSC = T T i ji iii j = = = ( ) 87 SSE = SST SS SSR SSC = = Ilkka Mellin (005) 40/46

41 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit F-testisuureen laskeminen Olkoon nollahpoteesina H : Ei -vaikutusta Testisuureen F arvoksi saadaan F ( )( ) SS = ( ) SSE (3 )(3 ) = (3 ) = 6.00 os nollahpoteesi H pätee, niin F F(( ),( )( )) = F(,) Testin tekeminen Olkoon nollahpoteesina H : Ei -vaikutusta Testisuureen arvoksi saatiin F = 6.00 Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla r( F 6.00) = 0.06 Siten nollahpoteesi H voidaan hlätä merkitsevstasolla 0.05, mutta ei merkitsevstasolla 0.0. Taulukoiden mukaan jossa Koska r(f 9.000) = 0.05 r(f ) = 0.0 F F(( ),( )( )) = F(,) 9.00 < F = 6.00 < voimme todeta (htäpitävästi llä esitetn kanssa), että nollahpoteesi H voidaan hlätä merkitsevstasolla 0.05, mutta ei merkitsevstasolla 0.0. Ilkka Mellin (005) 4/46

42 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Testien tuloksista voidaan rakentaa seuraava varianssianalsitaulukko: Vaihtelun lähde SS df MS F p R C E T ohtopäätös: os kätämme 5 %:n merkitsevstasoa, voimme hlätä nollahpoteesin H : Ei -vaikutusta Testin mukaan bensiinin laadulla on vaikutusta annetulla bensiinimäärällä ajettuun matkaan. Ilkka Mellin (005) 4/46

43 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Ncss-ohjelma antaa tehtävän 9.3. aineistosta seuraavan tulostuksen: nalsis of Variance Report Expected Mean Squares Section Source Term Denominator Expected Term DF Fixed? Term Mean Square : Driver Yes S(BC) S+bcs B: Tpeofuto Yes S(BC) S+acsB C: Gasoline Yes S(BC) S+absC S(BC) No S Note: Expected Mean Squares are for the balanced cell-frequenc case. nalsis of Variance Table Source Sum of Mean rob ower Term DF Squares Square F-Ratio Level (lpha=0.05) : Driver B: Tpeofuto * C: Gasoline * S E E-0 Total (djusted) Total 9 * Term significant at alpha = 0.05 Means and Standard Error Section Standard Term Count Mean Error ll : Driver E E E-0 B: Tpeofuto E E E-0 C: Gasoline E E E-0 Ilkka Mellin (005) 43/46

44 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit lots Section Means of Mileage Mileage Driver Means of Mileage Mileage Tpeofuto Means of Mileage Mileage Gasoline Ilkka Mellin (005) 44/46

45 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Bonferroni (ll-airwise) Multiple Comparison Test Response: Mileage Term : Driver lpha=0.050 Error Term=S(BC) DF= MSE= E-0 Critical Value= Different Group Count Mean From Groups Bonferroni (ll-airwise) Multiple Comparison Test Response: Mileage Term B: Tpeofuto lpha=0.050 Error Term=S(BC) DF= MSE= E-0 Critical Value= Different Group Count Mean From Groups , , , Bonferroni (ll-airwise) Multiple Comparison Test Response: Mileage Term C: Gasoline lpha=0.050 Error Term=S(BC) DF= MSE= E-0 Critical Value= Different Group Count Mean From Groups Ilkka Mellin (005) 45/46

46 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tehtävien 9., 9., 9.3 laskutoimitusten suorittaminen Microsoft Excel -ohjelmalla: Tehtävä Tehtävä 9.. Tehtävä 9.. Tehtävä 9.3. Tiedosto KsHt9.xls > Ht9.. KsHt9.xls > Ht9.. KsHt9.xls > Ht9.3. Tehtävien 9., 9., 9.3 laskutoimitusten suorittaminen Ncss-ohjelmalla: Tehtävä Tehtävä 9.. Tehtävä 9.. Tehtävä 9.3. Tiedostot Lehtiniput.S0, Lehtiniput.S Tokokemus.S0, Tokokemus.S GasMileage.S0, GasMileage.S Ilkka Mellin (005) 46/46

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa: Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Lohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa

Lisätiedot

Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Latinalaiset neliöt Latinalaisten neliöiden koeasetelma ja sen malli Latinalaisten neliöiden koeasetelman analysointi Laskutoimitusten suorittaminen

Lisätiedot

Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi

Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi ohdatus tilastotieteeseen Useampisuuntainen varianssianalsi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi: Mitä opimme? arkastelemme tässä

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

Toimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1

Toimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Hierarkkiset koeasetelmat -faktorikokeet Vastepintamenetelmä Aritmeettinen keskiarvo, Estimaatti, Estimaattori, -testi, aktorikokeet,

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen

Lisätiedot

Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1

Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

2 2 -faktorikokeen määritelmä

2 2 -faktorikokeen määritelmä TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tai useamman tekijän vaikutusta

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma aetaan perusoukko rhmiin kahden tekän A a B suhteen

Lisätiedot

1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA

1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalyysi Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, Kaksisuuntainen varianssianalyysi Kokonaiskeskiarvo,

Lisätiedot

Osafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1

Osafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kurssipalautetta voi antaa Oodissa 27.4.-25.5. Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeen

Lisätiedot

VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE

VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE 1 Suomalaisten aikuisten pituusjakauma:.8.7.6.5.4.3.2.1 14 15 16 17 18 19 2 21 Jakauma ei ole normaali, sen olettaminen sellaiseksi johtaa virheellisiin päätelmiin.

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yksisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Kokonaiskeskiarvo,

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 ohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) Kaksisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen

Lisätiedot

Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1 Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Perusnäkymä yksisuuntaiseen ANOVAaan

Perusnäkymä yksisuuntaiseen ANOVAaan Metsämuuronen 2006. TTP Tutkimuksen tekemisen perusteet ihmistieteissä Taulukko.51.1 Analyysiin mukaan tulevat muuttujat Mja selite Merkitys mallissa F1 Ensimmäinen faktoripistemuuttuja Selitettävä muuttuja

Lisätiedot

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n = 1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Kertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja

Lisätiedot

Testaa onko myrkkypitoisuus eri ryhmissä sama. RATK. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: k T i = = 486.

Testaa onko myrkkypitoisuus eri ryhmissä sama. RATK. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: k T i = = 486. Mat-.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Harjoitus 8, kevät 004 Esimerkkiratkaisut. 1. Myrkyllistä ainetta oli kaadettu jokeen, joka johtaa suurelle kalastusalueelle. Tie- ja vesirakennusinsinöörit

Lisätiedot

Tavoite on eliminoida sen vaikutus koetuloksista. 4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat. Eliminointimenetelmiä:

Tavoite on eliminoida sen vaikutus koetuloksista. 4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat. Eliminointimenetelmiä: 4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat 4.1 Satunnaistettu lohkokoe (Randomized Block Design) Kiusatekijä (nuisance factor): Kiusatekijä on taustatekijä, joka voi vaikuttaa

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut 11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa

Lisätiedot

[MTTTA] TILASTOMENETELMIEN PERUSTEET, KEVÄT 209 https://coursepages.uta.fi/mttta/kevat-209/ HARJOITUS 5 viikko 8 RYHMÄT: ke 2.5 3.45 ls. C6 Leppälä to 08.30 0.00 ls. C6 Korhonen to 2.5 3.45 ls. C6 Korhonen

Lisätiedot

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Vastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin

Lisätiedot

OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi. Luento 3

OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi. Luento 3 OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi Luento 3 Tutkimussuunnitelman rakenne-ehdotus Otsikko 1. Motivaatio/tausta 2. Tutkimusaihe/ -tavoitteet ja kysymykset

Lisätiedot

Kaksitasoiset hierarkiset asetelmat (Two-Stage Nested Designs) 9. Muita koeasetelmia. 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs)

Kaksitasoiset hierarkiset asetelmat (Two-Stage Nested Designs) 9. Muita koeasetelmia. 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) 9. Muita koeasetelmia 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) Tietyissä koetilanteissa yhden faktorin tasot ovat samanlaisia joskaan ei täysin identtisiä toisen faktorin eri tasoilla. Tällaista asetelmaa

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n

Lisätiedot

χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta?

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Yhden otoksen suhteellisen osuuden testaus Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Hypoteesit H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 tai H 1 : p > p 0 tai H 1 : p < p 0 Suhteellinen osuus

Lisätiedot

Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. eli matriisissa on 200 riviä (havainnot) ja 7 saraketta (mittaus-arvot)

Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. eli matriisissa on 200 riviä (havainnot) ja 7 saraketta (mittaus-arvot) R-ohjelman käyttö data-analyysissä Panu Somervuo 2014 Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. 0) käynnistetään R-ohjelma Huom.1 allaolevissa ohjeissa '>' merkki on R:n

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt

Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt LuK-tutkielma Aku-Petteri Niemi Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Latinalaiset neliöt 3 1.1 Latinalainen neliö.........................

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti,

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo? MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo

Lisätiedot

4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat. Kiusatekijä on taustatekijä, joka voi vaikuttaa

4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat. Kiusatekijä on taustatekijä, joka voi vaikuttaa 4. Satunnaistetut lohkokokeet, latinalaiset neliöt ja vastaavat asetelmat 4.1 Satunnaistettu lohkokoe (Randomized Block Design) Kiusatekijä (nuisance factor): Kiusatekijä on taustatekijä, joka voi vaikuttaa

Lisätiedot

Terra Preta kasvatuskoe Pilkon pellolla 2012-2013

Terra Preta kasvatuskoe Pilkon pellolla 2012-2013 Terra Preta kasvatuskoe Pilkon pellolla 2012-2013 Karelia ammattikorkeakoulu Biotalouden keskus Simo Paukkunen Lokakuu 2013 Sisällys 1 Johdanto... 1 2 Aineisto ja menetelmät... 1 3 Tulokset... 6 3.1 Oraiden

Lisätiedot

7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking)

7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking) 7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs)

9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) 9. Muita koeasetelmia 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) Tietyissä koetilanteissa yhden faktorin tasot ovat samanlaisia joskaan ei täysin identtisiä toisen faktorin eri tasoilla. Tällaista asetelmaa

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Residuaalit. Residuaalit. UK Ger Fra US Austria. Maat

Residuaalit. Residuaalit. UK Ger Fra US Austria. Maat TAMPEREEN YLIOPISTO Tilastollisen mallintamisen harjoitustyö Teemu Kivioja ja Mika Helminen Epätasapainoisen koeasetelman analyysi Worksheet 5 Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tilastotiede

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Harjoitus 6 -- Ratkaisut

Harjoitus 6 -- Ratkaisut Harjoitus 6 -- Ratkaisut 1 Ei kommenttia. 2 Haetaan data tiedostosta. SetDirectory"homeofysjmattas" SetDirectory "c:documents and settingsmattasdesktopteachingatk2harjoitukseth06" netnfstuhome4ofysjmattas

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1 Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45

Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A

Lisätiedot

(d) Laske selittäjään paino liittyvälle regressiokertoimelle 95 %:n luottamusväli ja tulkitse tulos lyhyesti.

(d) Laske selittäjään paino liittyvälle regressiokertoimelle 95 %:n luottamusväli ja tulkitse tulos lyhyesti. 2. VÄLIKOE vuodelta -14 1. Liitteessä 1 on esitetty R-ohjelmalla saatuja tuloksia aineistosta, johon on talletettu kahdenkymmenen satunnaisesti valitun miehen paino (kg), vyötärön ympärysmitta (cm) ja

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto Kynä-paperi -harjoitukset Taina Lehtinen 43 Loput ratkaisut harjoitustehtäviin 44 Stressitestin = 40 s = 8 Kalle = 34 pistettä Ville = 5 pistettä Z Kalle 34 8 40 0.75 Z Ville 5 8 40 1.5 Kalle sijoittuu

Lisätiedot

Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä).

Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). 3. Yhden faktorin kokeet 3.1 Varianssianalyysi Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). Esimerkki 3.1: Tutkitaan kankaassa käytettävän synteettisen kuidun vetolujuutta,

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

3. Yhden faktorin kokeet. 3.1 Varianssianalyysi. Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä).

3. Yhden faktorin kokeet. 3.1 Varianssianalyysi. Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). 3. Yhden faktorin kokeet 3.1 Varianssianalyysi Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). Esimerkki 3.1: Tutkitaan kankaassa käytettävän synteettisen kuidun vetolujuutta,

Lisätiedot

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen

Lisätiedot

3. Yhden faktorin kokeet. 3.1 Varianssianalyysi. Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä).

3. Yhden faktorin kokeet. 3.1 Varianssianalyysi. Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). 3. Yhden faktorin kokeet 3.1 Varianssianalyysi Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). Esimerkki 3.1: Tutkitaan kankaassa käytettävän synteettisen kuidun vetolujuutta,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen ja mitta-asteikot TKK (c)

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot