Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi
|
|
- Väinö Aro
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi ohdatus tilastotieteeseen Useampisuuntainen varianssianalsi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi: Mitä opimme? arkastelemme tässä luvussa seuraavaa ksmstä: Miten tavanomainen kahden riippumattoman otoksen t-testi leistetään tilanteeseen, jossa rhmiä on useampia kuin kaksi? Yksisuuntaisessa varianssianalsissa perusjoukko on jaettu rhmiin hden tekijän suhteen ja tavoitteena on testata rhmistä poimittuihin toisistaan riippumattomiin ksinkertaisiin satunnaisotoksiin perustuen hpoteesia, jonka mukaan tarkasteltavan muuttujan rhmäkohtaiset odotusarvot ovat htä suuria. aksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalsissa perusjoukko on jaettu rhmiin kahden tai useamman tekijän suhteen ja tavoitteena on testata rhmistä poimittuihin toisistaan riippumattomiin ksinkertaisiin satunnaisotoksiin perustuen hpoteesia, jonka mukaan tarkasteltavan muuttujan rhmäkohtaiset odotusarvot ovat htä suuria. Useampisuuntainen varianssianalsi >> (c) lkka Mellin (005) 3 (c) lkka Mellin (005) 4 ahden otoksen t-testi Avainsanat ahden riippumattoman otoksen t-testi m-suuntainen varianssianalsi Odotusarvo Rhmä esti Varianssi Yksisuuntainen varianssianalsi Suhdeasteikollisille muuttujille tarkoitettuja testejä käsitelleessä kappaleessa tarkasteltiin kahden riippumattoman otoksen t-testiä. estin testausasetelma on seuraava: (i) Perusjoukko koostuu kahdesta rhmästä. (ii) Havainnot noudattavat kummassakin rhmässä normaalijakaumaa. (iii) ummastakin rhmästä on poimittu toisistaan riippumattomat ksinkertaiset satunnaisotokset. (iv) ehtävänä on testata rhmäkohtaisten odotusarvojen htäsuuruutta. (c) lkka Mellin (005) 5 (c) lkka Mellin (005) 6
2 (c) lkka Mellin (005) 7 Varianssianalsin perusongelma Rhmiin jako varianssianalsissa Varianssianalsi voidaan mmärtää kahden riippumattoman otoksen t-testin leistkseksi tilanteisiin, jossa perusjoukko koostuu useammasta kuin kahdesta rhmästä: (i) Perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta rhmästä. (ii) Havainnot noudattavat jokaisessa rhmässä normaalijakaumaa. (iii) okaisesta rhmästä poimitaan toisistaan riippumattomat ksinkertaiset satunnaisotokset. (iv) ehtävänä on testata rhmäkohtaisten odotusarvojen htäsuuruutta. Perusjoukon jako rhmiin voidaan tehdä hden tai useamman tekijän perusteella. os perusjoukon jako rhmiin perustuu hteen tekijään, puhutaan ksisuuntaisesta varianssianalsista. os perusjoukon jako rhmiin perustuu m tekijään, puhutaan m-suuntaisesta varianssianalsista. Huomautus: ässä luvussa käsitellään kolmisuuntaista varianssianalsia. (c) lkka Mellin (005) 8 Varianssianalsin nimi Useampisuuntainen varianssianalsi Varianssianalsin nimi on harhaanjohtava. Varianssianalsissa testataan rhmäkohtaisten odotusarvojen htäsuuruutta tilanteessa, jossa perusjoukko on jaettu kahteen tai useampaan rhmään. Varianssianalsin nimi johtuu siitä, että rhmäkohtaisten odotusarvojen htäsuuruuden testaaminen perustuu eri tavoilla määrättjen varianssien htäsuuruuden testaamiseen F-testeillä. >> (c) lkka Mellin (005) 9 (c) lkka Mellin (005) 0 olmisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma /6 Avainsanat F-testi nteraktio äännösneliösumma aksisuuntainen varianssianalsi χ -testi okonaiskeskiarvo okonaisneliösumma okonaisvaihtelu olmisuuntainen varianssianalsi Marginaalikeskiarvo Neliösumma Odotusarvo Päävaikutus Reunakeskiarvo Rhmien sisäinen vaihtelu Rhmien välinen vaihtelu Rhmä Rhmäkeskiarvo Rhmäneliösumma aso esti Vapausaste Varianssi Varianssianalsihajotelma Varianssianalsitaulukko Yhdsvaikutus Yleinen lineaarinen malli Oletetaan, että tutkimuksen kohteena oleva perusjoukko voidaan jakaa rhmiin kolmen tekijän (tai muuttujan) A, B ja C suhteen. Oletetaan, että tekijällä A on tasoa, tekijällä B on tasoa ja tekijällä C on tasoa, jolloin jaossa snt rhmiä kappaletta. Oletetaan, että rhmistä on poimittu toisistaan riippumattomat ksinkertaiset satunnaisotokset, joiden koko on. (c) lkka Mellin (005) (c) lkka Mellin (005)
3 (c) lkka Mellin (005) 3 olmisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma /6 Olkoon l. havainto tekijän A tason i, tekijän B tason j ja tekijän C tason k määräämässä rhmässä (i, j, k) l,,, i,,,, j,,,, k,,, ätetstä otantamenetelmästä seuraa, että havainnot voidaan olettaa riippumattomiksi (ja siten mös korreloimattomiksi) satunnaismuuttujiksi. olmisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma 3/6 Oletetaan, että havainnot ovat normaalijakautuneita: N(µ ijk, σ ) l,,, i,,,, j,,,, k,,, (c) lkka Mellin (005) 4 olmisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma 4/6 Havainnoista tehdstä oletuksesta seuraa: (i) aikilla samaan rhmään (i, j, k) kuuluvilla havainnoilla on sama odotusarvo: E( ) µ ijk l,,, i,,,, j,,,, k,,, (ii) aikilla havainnoilla on rhmästä riippumatta sama varianssi: D ( ) σ l,,, i,,,, j,,,, k,,, olmisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma 5/6 Haluamme testata nollahpoteesia siitä, että rhmäkohtaiset odotusarvot E( ) µ ijk, l,,, i,,,, j,,,, k,,, ovat htä suuria. Asetetaan siis nollahpoteesi H 0 : µ ijk µ i,,,, j,,,, k,,, os nollahpoteesi rhmäkohtaisten odotusarvojen htäsuuruudesta pätee, rhmät voidaan hdistää kaikissa havaintojen keskimääräisiä arvoja koskevissa tarkasteluissa. (c) lkka Mellin (005) 5 (c) lkka Mellin (005) 6 olmisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma 6/6 olmisuuntaisessa varianssianalsissa nollahpoteesi H 0 : µ ijk µ i,,,, j,,,, k,,, on tapana jakaa seitsemäksi nollahpoteesiksi, jotka koskevat tekijöiden A, B ja C päävaikutuksia, tekijöiden A, B ja C pareittaisia interaktiota eli hdsvaikutuksia ja tekijöiden A, B ja C hdsvaikutusta. olmisuuntaisen varianssianalsin nollahpoteesit /3 olmisuuntaisessa varianssianalsissa testattavia nollahpoteeseja on seitsemän kappaletta. ekijöiden A, B ja C hdsvaikutusta koskeva nollahpoteesi on muotoa H ABC : Ei hdsvaikutusta ABC (c) lkka Mellin (005) 7 (c) lkka Mellin (005) 8
4 (c) lkka Mellin (005) 9 olmisuuntaisen varianssianalsin nollahpoteesit /3 ekijöiden A ja B hdsvaikutusta koskeva nollahpoteesi on muotoa H AB : Ei hdsvaikutusta AB ekijöiden A ja C hdsvaikutusta koskeva nollahpoteesi on muotoa H AC : Ei hdsvaikutusta AC ekijöiden A ja B hdsvaikutusta koskeva nollahpoteesi on muotoa H BC : Ei hdsvaikutusta BC os nollahpoteesit H ABC, H AB, H AC, H BC jäävät voimaan, tekijöiden A, B ja C vaikutusta voidaan tutkia erillisinä. olmisuuntaisen varianssianalsin nollahpoteesit 3/3 ekijän A vaikutusta koskeva nollahpoteesi on muotoa H A : Ei A-vaikutusta ekijän B vaikutusta koskeva nollahpoteesi on muotoa H B : Ei B-vaikutusta ekijän A vaikutusta koskeva nollahpoteesi on muotoa H C : Ei C-vaikutusta Huomautus: Nollahpoteesit H A, H B, H C ovat ksisuuntaisen varianssianalsin nollahpoteeseja. (c) lkka Mellin (005) 0 olmisuuntainen varianssianalsi: Määritelmä olmisuuntainen varianssianalsi tarkoittaa em. testausasetelman nollahpoteesien H ABC : Ei hdsvaikutusta ABC H AB : Ei hdsvaikutusta AB H AC : Ei hdsvaikutusta AC H BC : Ei hdsvaikutusta BC H A : Ei A-vaikutusta H B : Ei B-vaikutusta H C : Ei C-vaikutusta testaamista. olmisuuntaisen varianssianalsin tilastollinen malli /4 olmisuuntaisen varianssianalsin tilastollinen malli voidaan parametroida seuraavalla tavalla: µ + αi + β j + γk + ( αβ) ij + ( αγ ) ik + ( βγ ) jk + ( αβγ ) ijk + ε l,,,, i,,,, j,,,, k,,, jossa jäännöstermit ε ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: ε N(0, σ ) l,,,, i,,,, j,,,, k,,, (c) lkka Mellin (005) (c) lkka Mellin (005) olmisuuntaisen varianssianalsin tilastollinen malli /4 Ei-satunnaiset vakiot µ α i, β j, γ k (αβ) ij, (αγ) ij, (βγ) jk, (αβγ) ijk i,,,, j,,,, k,,, ja jäännösvarianssi σ ovat kolmisuuntaisen varianssianalsin tilastollisen mallin parametreja. olmisuuntaisen varianssianalsin tilastollinen malli 3/4 olmisuuntaisen varianssianalsin tilastollisen mallin parametreja sitoo htälöt: α β γ 0 i j k i j k ( αβ ) ij ( αβ ) ij 0 i j ( αγ ) ik ( αγ ) ik 0 i k ( βγ ) jk ( βγ ) jk 0 j k αβγ ijk αβγ ijk αβγ ijk i j k ( ) ( ) ( ) 0 (c) lkka Mellin (005) 3 (c) lkka Mellin (005) 4
5 (c) lkka Mellin (005) 5 olmisuuntaisen varianssianalsin tilastollinen malli 4/4 Mallia koskevista oletuksista seuraa, että E( ) µ + αi + β j + γk + ( αβ) ij + ( αγ ) ik + ( βγ ) jk + ( αβγ ) ijk l,,,, i,,,, j,,,, k,,, ja D( ) σ l,,,, i,,,, j,,,, k,,, olmisuuntaisen varianssianalsin tilastollinen malli ja mallia koskevat nollahpoteesit olmisuuntaisen varianssianalsin nollahpoteesit voidaan ilmaista mallin parametrien avulla seuraavassa muodossa: H ABC : (αβγ) ijk 0 i, j, k H AB : (αβ) ij 0 i, j H AC : (αγ) ik 0 i, k H BC : (βγ) jk 0 j, k H A : α i 0 i H B : β j 0 j H C : γ k 0 k (c) lkka Mellin (005) 6 olmisuuntainen varianssianalsi ja sen suorittaminen olmisuuntainen varianssianalsi ja koesuunnittelu / olmisuuntaista varianssianalsiä voidaan kättää koetulosten analsiin seuraavassa koeasetelmassa: (i) Oletetaan, että kokeen tavoitteena on verrata, miten käsittelt A, A,, A ja B, B,, B ja C, C,, C vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan muuttujan keskimääräisiin arvoihin. olmisuuntainen varianssianalsi ja sen suorittaminen olmisuuntainen varianssianalsi ja koesuunnittelu / (ii) Valitaan käsittelkombinaation (A i, B j, C k ) kohteeksi kaikkien kokeen kohteiksi valittujen ksilöiden joukosta satunnaisesti ksilöä, i,,,, j,,,, k,,, ja N. (iii) Mitataan vasteet ijkl eli kiinnostuksen kohteena olevan muuttujan arvot: ijkl, l,,, i,,,, j,,,, k,,, Huomaa, että koeasetelma on tädellisesti satunnaistettu: Sattuma määrää tädellisesti millaisen käsitteln kohteeksi kokeen kohteiksi valitut ksilöt joutuvat. (c) lkka Mellin (005) 7 (c) lkka Mellin (005) 8 Useampisuuntainen varianssianalsi Rhmäkeskiarvot >> Määritellään havaintoarvojen rhmäkeskiarvot eli rhmäkohtaiset aritmeettiset keskiarvot tekijän A tason i, tekijän B tason j ja tekijän C tason k määräämässä rhmässä (i, j, k): iijk l i,,,, j,,,, k,,, (c) lkka Mellin (005) 9 (c) lkka Mellin (005) 30
6 (c) lkka Mellin (005) 3 okonaiskeskiarvo Reunakeskiarvot os rhmäkohtaiset otokset hdistetään hdeksi otokseksi, hdistetn otoksen havaintoarvojen leis- eli kokonaiskeskiarvo on i j k l jossa N on havaintojen kokonaislukumäärä. Määritellään havaintoarvojen. kertaluvun marginaali-eli reunakeskiarvot kaavoilla: iii i kijl, i,,, j k l ii ji, j,,, iiik, k,,, kijl i i l kijl i j l (c) lkka Mellin (005) 3 Reunakeskiarvot Poikkeamat keskiarvoista Määritellään havaintoarvojen. kertaluvun marginaali-eli reunakeskiarvot kaavoilla: iiji kijl, i,,,, j,,, k l ii i k kijl, i,,,, k,,, j l ii jk kijl, j,,,, k,,, i l irjoitetaan identiteetti ( ) + ( ii ji ) + ( iii k ) + ( iiji ii ji + ) + ( iik i iiik + ) + ( ii jk ii ji iiik + ) + ( iijk iiji iiik ii jk + + ii ji + iiik ) + ( ) iijk 3-suuntaisen varianssianalsin testit perustuvat näiden sulkulausekkeilla esitettjen poikkeamien neliösummille. (c) lkka Mellin (005) 33 (c) lkka Mellin (005) 34 okonaisneliösumma Päävaikutusten neliösummat Määritellään havaintoarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava kokonaisneliösumma: SS ( ) i j k l os rhmäkohtaiset otokset hdistetään hdeksi otokseksi, saadun hdistetn otoksen varianssi on s SS jossa N on havaintojen kokonaislukumäärä. Määritellään tekijöiden A ja B ja C päävaikutuksia kuvaavat neliösummat: SSA ( ) i SSB ( ) j k ii ii ii ji SSC ( ) iiik (c) lkka Mellin (005) 35 (c) lkka Mellin (005) 36
7 (c) lkka Mellin (005) 37. kertaluvun hdsvaikutusten neliösummat Määritellään tekijöiden A ja B, A ja C, B ja C hdsvaikutuksia kuvaavat neliösumma: SSAB ( + ) i j SSAC ( + ) i k k iiji ii ii ii ji iik i ii ii iiik SSBC ( + ) ii jk ii ji iiik. kertaluvun hdsvaikutuksen neliösumma ja jäännösneliösumma Määritellään tekijöiden A ja B ja C hdsvaikutusta kuvaava neliösumma: ( iijk iiji iiik ii jk i j k + + ii ji + iiik ) SSABC Määritellään rhmien sisäistä vaihtelua kuvaava (jäännös-) neliösumma: ( ) i j k l iijk (c) lkka Mellin (005) 38 äännösneliösumman tulkinta Varianssianalsihajotelma Havaintoarvojen rhmävarianssit eli rhmäkohtaiset varianssit saadaan lausekkeista s ijk ( ijk ) i k i,,,, j,,,, k,,, Siten rhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumman lauseke voidaan esittää mös muodossa ( ) s ijk i j k Neliösummat SS, SSA, SSB, SSC, SSAB, SSAC, SSBC, SSABC, toteuttavat varianssianalsihajotelman SS SSA + SSB + SSC + SSAB + SSAC + SSBC + SSABC + ja neliösummiin liittvät vapausasteiden lukumäärät toteuttavat htälön ( ) + ( ) + ( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( )( ) + ( ) (c) lkka Mellin (005) 39 (c) lkka Mellin (005) 40 estisuure. kertaluvun hdsvaikutukselle ABC ja ( ) SSABC FABC ( )( )( ) jossa SSABC on tekijöiden A ja B ja C hdsvaikutusta kuvaava neliösumma ja on rhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma. os nollahpoteesi H ABC : Ei hdsvaikutusta ABC FABC F(( )( )( ), ( )) Suuret testisuureen F ABC arvot johtavat nollahpoteesin hlkäämiseen. (c) lkka Mellin (005) 4 estisuure. kertaluvun hdsvaikutukselle AB ja ( ) SSAB FAB ( )( ) jossa SSAB on tekijöiden A ja B hdsvaikutusta kuvaava neliösumma ja on rhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma. os nollahpoteesi H AB : Ei hdsvaikutusta AB FAB F(( )( ), ( )) Suuret testisuureen F AB arvot johtavat nollahpoteesin hlkäämiseen. (c) lkka Mellin (005) 4
8 (c) lkka Mellin (005) 43 estisuure. kertaluvun hdsvaikutukselle AC ja ( ) SSAC FAC ( )( ) jossa SSAC on tekijöiden A ja C hdsvaikutusta kuvaava neliösumma ja on rhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma. os nollahpoteesi H AC : Ei hdsvaikutusta AC FAC F(( )( ), ( )) Suuret testisuureen F AC arvot johtavat nollahpoteesin hlkäämiseen. estisuure. kertaluvun hdsvaikutukselle BC ja ( ) SSBC FBC ( )( ) jossa SSBC on tekijöiden B ja C hdsvaikutusta kuvaava neliösumma ja on rhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma. os nollahpoteesi H BC : Ei hdsvaikutusta BC FBC F(( )( ), ( )) Suuret testisuureen F BC arvot johtavat nollahpoteesin hlkäämiseen. (c) lkka Mellin (005) 44 estisuure päävaikutukselle A ja ( ) SSA FA jossa SSA on tekijän A päävaikutusta kuvaava neliösumma ja on rhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma. os nollahpoteesi H A : Ei päävaikutusta A FA F(( ), ( )) Suuret testisuureen F A arvot johtavat nollahpoteesin hlkäämiseen. estisuure päävaikutukselle B ja ( ) SSB FB jossa SSB on tekijän B päävaikutusta kuvaava neliösumma ja on rhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma. os nollahpoteesi H B : Ei päävaikutusta B FB F(( ), ( )) Suuret testisuureen F B arvot johtavat nollahpoteesin hlkäämiseen. (c) lkka Mellin (005) 45 (c) lkka Mellin (005) 46 estisuure päävaikutukselle C ja Varianssianalsitaulukko / ( ) SSC FC jossa SSC on tekijän C päävaikutusta kuvaava neliösumma ja on rhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma. os nollahpoteesi H C : Ei päävaikutusta C FC F(( ), ( )) Suuret testisuureen F C arvot johtavat nollahpoteesin hlkäämiseen. Vaihtelun lähde A B C AB AC BC ABC äännös okonaisvaihtelu SS SSA SSB SSC SSAB SSAC SSBC SSABC SS df ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) MS MSA MSB MSC MSAB MSAC MSBC MSABC MSE F F A MSA/MSE F B MSB/MSE F C MSC/MSE F AB MSAB/MSE F AC MSAC/MSE F BC MSBC/MSE F ABC MSABC/MSE (c) lkka Mellin (005) 47 (c) lkka Mellin (005) 48
9 (c) lkka Mellin (005) 49 Varianssianalsitaulukko / Useampisuuntainen varianssianalsi Varianssianalsitaulukon neliösummat toteuttavat htälön SS SSA + SSB + SSC + SSAB + SSAC + SSBC + SSABC + Yhtälö on varianssianalsihajotelma. Varianssianalsitaulukon neliösummien vapausasteet toteuttavat htälön ( ) + ( ) + ( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( )( ) + ( ) >> (c) lkka Mellin (005) 50 Rhmäsummat ja. kertaluvun reunasummat. kertaluvun reunasummat ja kokonaissumma Määritellään seuraavat summat: iijk iii i ii ji iiik l j k l i k l i j l i,,,, j,,,, k,,, Määritellään seuraavat summat: iiji ii i k ii jk iii k l j l i l i j k l i,,,, j,,,, k,,, (c) lkka Mellin (005) 5 (c) lkka Mellin (005) 5 Havaintoarvojen neliöiden summat Määritellään tekijän A tason i, tekijän B tason j ja tekijän C tason k määräämän rhmän (i, j, k) havaintoarvojen neliöiden summa kaavalla, i,,,, j,,,, k,,, l ja kaikkien havaintoarvojen neliöiden kokonaissumma kaavalla i j k l Rhmävarianssien ja kokonaisvarianssin laskeminen Havaintoarvojen rhmävarianssit saadaan kaavoilla s iijk ijk ijk i i l i,,,, j,,,, k,,, ja kokonaisvarianssi saadaan kaavalla s j j l (c) lkka Mellin (005) 53 (c) lkka Mellin (005) 54
10 (c) lkka Mellin (005) 55 okonaisneliösumman laskeminen Päävaikutusten neliösummien laskeminen okonaisneliösumma SS voidaan laskea kaavalla SS i j k l ekijöiden A, B ja C päävaikutuksia kuvaavat neliösummat SSA, SSB ja SSC saadaan kaavoilla SSA i iii i SSB ii ji j iiik k SSC (c) lkka Mellin (005) 56. kertaluvun hdsvaikutusten neliösummien laskeminen ekijöiden A ja B, A ja C, B ja C hdsvaikutuksia kuvaavat neliösumma SSAB, SSAC ja SSBC saadaan kaavoilla SSAB iiji SSA SSB i j iik i i k ii jk j k SSAC SSA SSC SSBC SSB SSC. kertaluvun hdsvaikutuksen neliösumman laskeminen ekijöiden A ja B ja C hdsvaikutusta kuvaava neliösumma SSABC saadaan kaavalla SSABC SS SSA SSB SSC SSAB SSAC SSBC jossa SS ( ) i j k iijk iijk i j k on rhmäkeskiarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma. (c) lkka Mellin (005) 57 (c) lkka Mellin (005) 58 äännösneliösumman laskeminen Rhmien sisäistä vaihtelua kuvaava jäännösneliösumma saadaan varianssianalsihajotelman nojalla kaavalla SS SSA SSB SSC SSAB SSAC SSBC SSABC tai kaavalla SS SS jossa SS on rhmäkeskiarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma. (c) lkka Mellin (005) 59
Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma aetaan perusoukko rhmiin kahden tekän A a B suhteen
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotKaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,
LisätiedotKoesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
LisätiedotLohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan
LisätiedotLohkoasetelmat. Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,
LisätiedotAltistusaika 1 kk 2 kk 3 kk 1.35 1.53 1.38 1.35 1.63 1.51 1.60 1.40 2.18 1.77 1.66 1.98 1.73 1.76 1.60 1.72
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut iheet: vainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Lohkoasetelmat Latinalaiset neliöt ritmeettinen
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
Lisätiedot2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1
2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotVastepintamenetelmä. Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä
LisätiedotKoesuunnittelu Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma
LisätiedotHierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1
Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotKoesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Latinalaiset neliöt Latinalaisten neliöiden koeasetelma ja sen malli Latinalaisten neliöiden koeasetelman analysointi Laskutoimitusten suorittaminen
LisätiedotOsafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Kurssipalautetta voi antaa Oodissa 27.4.-25.5. Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotKertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja
LisätiedotVastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
ohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) Kaksisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
Lisätiedot2 2 -faktorikokeen määritelmä
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tai useamman tekijän vaikutusta
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotVastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B
Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
Lisätiedot¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.
10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
LisätiedotYleistetyistä lineaarisista malleista
Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotYhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden
LisätiedotKorrelaatiokertoinen määrittely 165
kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi
Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi- a useampisuutaie variassiaalsi Ila Melli 44 Variassiaalsi Ila Melli 44 Variassiaalsi Sisälls
Lisätiedot