Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
|
|
- Mika Tamminen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Usea selittää lieaarie regressiomalli Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, evät lueto: Usea selittää lieaarie regressiomalli Selitettävä muuttua havaittue arvoe vaihtelu halutaa selittää selittävie muuttuie havaittue arvoe vaihtelu avulla Oletetaa muuttuie välille lieaarie tilastollie riippuvuus y = β 0 + β + β + L+ β + ε, =,, K, Usea selittää lieaarie regressiomalli y = selitettävä y satuaie a havaittu arvo havaitoysiössä i = selittää i ei-satuaie a havaittu arvo havaitoysiössä, i=,, ε = ääös- eli virhetermi ε satuaie a ei-havaittu arvo havaitoysiössä β 0 = vaioselittää regressioerroi, ei-satuaie a tutemato vaio β i = selittää i regressioerroi, i=,,, ei-satuaie a tutemato vaio Kai Virtae Kai Virtae Stadardioletuset Stadardioletuset => malli aalysoitii voidaa äyttää tavaomaisia estimoiti- a testausmeetelmiä (ii Selittäie i arvot i ovat iiteitä eli ei-satuaisia vaioita, =,,,, i =,,, Selittäie välillä ei ole lieaarisia riippuvuusia (iii E(ε = 0, =,,, (iv Var(ε = σ, =,,, (v Cor(ε, ε l = 0, l (vi ε ~ N(0, σ, =,,, Stadardioletuset, (ii a (iii Selittäie i arvot i ovat iiteitä eli ei-satuaisia vaioita, =,,,, i=,,, Peruste urssilla esiteltävälle teorialle Raoittava, toteutuu äytäössä vai u selittäie arvot voidaa valita (puhtaat oeasetelmat Esitettävää teoriaa voidaa soveltaa os sopivat lisäehdot pätevät satuaisille selittäille (multiormaaliaauma (ii Selittäie välillä ei ole lieaarisia riippuvuusia Jos selittää riippuu lieaarisesti muista selittäistä, se o selittäää redudatti a voidaa poistaa mallista Pieimmä eliösumma meetelmä tuottaa regressioertoimille ysiäsitteiset estimaattorit (iii E(ε = 0, =,,, Kaiilla ääöstermeillä sama odotusarvo Mallissa ei ole systemaattista virhettä Kai Virtae 3 Kai Virtae 4
2 Stadardioletuset (iv, (v a (vi (iv Var(ε = σ, =,,, Kaiilla ääöstermeillä sama variassi Jos oletus pätee, ääöstermit homosedastisia muute heterosedastisia Heterosedastisuus => regressioertoimie estimaattorit tehottomia Voidaa testata tilastollisesti (v Cor(ε, ε l = 0, l Jääöstermit eivät orreloi eseää Korreloitueisuus => regressioertoimie estimaattorit tehottomia a harhaisia Voidaa testata tilastollisesti (vi ε ~ N(0, σ, =,,, Jääöstermit ormaaliaautueita Voidaa testata tilastollisesti. Malli parametrit Regressiomalli y = β 0 + β + β + L+ β + ε, =,, K, parametrea ovat - regressioertoimet β 0, β, β,, β - ääöstermieε variassi (ääösvariassi Var( ε = σ, =,, K, Parametrit yleesä tutemattomia Parametrit estimoitava muuttuie,,, a y havaituista arvoista Kai Virtae 5 Kai Virtae 6 Usea selittää lieaarise regressiomalli matriisiesitys Yleie lieaarie malli voidaa esittää muodossa y = Xβ + ε ossa y = selitettävä muuttua y havaittue arvoe muodostama satuaie -vetori X = selittäie,,, havaittue arvoe a yöste muodostama ( + -matriisi β = regressioertoimie muodostama tutemato a iiteä eli ei-satuaie ( + -vetori ε = ääöstermie muodostama ei-havaittu a satuaie -vetori Kai Virtae 7 Odotusarvovetori a ovariassimatriisi Oloo z = (z, z,, z p satuaismuuttuie z, z,, z p muodostama p-vetori Satuaisvetori z odotusarvovetori µ o µ = E( z = (E( z, E( z, K, E( z p ossa i. alio o satuaismuuttua z i odotusarvo µ = E( z, i =,, K, p Satuaisvetori z ovariassimatriisi Σ o Σ = Cov( z = E ( z E( z( z E( z ossa i. rivi a. saraee alio o satuaismuuttuie z i a z ovariassi σ = Cov( z, z i i [ ] i i = E ( zi E( zi ( z E( z Kai Virtae 8
3 Stadardioletuset matriisimuodossa Regressiomalli ( selittäää, + regressioerroita y = Xβ + ε stadardioletuset matriisimuodossa: Matriisi X aliot ovat iiteitä eli ei-satuaisia vaioita (ii Matriisi X o täysiasteie, r(x = + (iii E(ε = 0 (iv&(v - r o matriisi rai (= lieaarisesti riippumattomie saraeide tai rivie luumäärä Cov(ε = σ I (vi ε N (0, σ I Regressioertoimie PNS-estimoiti Regressioertoimet estimoidaa pieimmä eliösumma (PNS- meetelmällä Miimoidaa ääöstermieε eliösumma ε = ( y β 0 β β L β = = regressioertoimie suhtee Derivoiti regressioertoimie suhtee a derivaatat ollisi => => Lieaarisee yhtälöryhmä, + yhtälöä a + tutematota => PNS-estimaattorit b 0, b, b,, b Yhtälöryhmällä o rataisu, os stadardioletus (ii r(x = + pätee Kai Virtae 9 Kai Virtae 0 Estimaattoreide matriisiesitys Oloo y = Xβ + ε stadardioletuse (ii toteuttava malli Regressioertoimie vetori β PNS-estimaattori o b= ( X X X y Jos stadardioletuset -(v pätevät E( b = β Cov( b = σ ( X X Kosa E(b = β => PNS-estimaattori o regressioertoimie vetori harhato estimaattori Jos stadardioletuset -(vi pätevät ~ ( σ b N β, ( X X + Sovitteet a residuaalit Sovite: Estimoidu malli selitettävälle muuttualle y atama arvo havaitopisteessä (,, K, yˆ = b0 + b + b + L+ b, =,, K, Residuaali: Selitettävä muuttua y havaitu arvo y a sovittee erotus e = y yˆ = y b b b L b 0, =,, K, Jos stadardioletuset -(v pätevät E( y = β + β + β + L+ β, =,, K, ˆ 0 E( e = 0, =,, K, Kai Virtae Kai Virtae 3
4 Sovitteet, residuaalit a regressiomalli hyvyys Sovitteide a residuaalie äyttö regressiomalli hyvyyde tutimisessa: (ii Regressiomalli selittää selitettävä muuttua havaittue arvoe vaihtelu sitä paremmi mitä lähempää estimoidu malli sovitteet ovat selitettävä muuttua havaittua arvoa Regressiomalli selittää selitettävä muuttua havaittue arvoe vaihtelu sitä paremmi mitä pieempiä ovat estimoidu malli residuaalit Jääösvariassi estimoiti Jos stadardioletuset -(v pätevät, ääösvariassi Var(ε = σ harhato estimaattori o ossa s = e = e = estimoidu malli residuaali, =,,, = havaitoe luumäärä = selittäie i luumäärä Estimaattori s o residuaalie e variassi, osa e = ei = 0 i => = ( s = e e = e = = Kai Virtae 3 Kai Virtae 4 Estimoitu regressiotaso Variassiaalyysihaotelma Regressiomalli regressioertoimie estimaattorit b 0, b, b,, b määrittelevät taso y= b + b + b + L+ b 0 Estimoitu regressiotaso Jääösvariassi σ estimaattori s uvaa havaitopisteide + (,, K,, y R, =,, K, vaihtelua estimoidu regressiotaso ympärillä Regressiomalli hyvyys variassiaalyysihaotelma Variassiaalyysihaotelmassa Kooaiseliösumma SST = Mallieliösumma SSM + Jääöseliösumma SSE selitettävä arvoe vaihtelua uvaava SST esitetää ahde osateiä SSM a SSE summaa (ii SSM uvaa sitä osaa selitettävä vaihtelusta, oa estimoitu malli o selittäyt SSE uvaa sitä osaa selitettävä vaihtelusta, ota estimoitu malli ei ole selittäyt Kai Virtae 5 Kai Virtae 6 4
5 Variassiaalyysihaotelma eliösummat Selitettävä havaittue arvoe vaihtelua mitataa ooaiseliösummalla SST = ( y y Residuaalie vaihtelua mitataa ääöseliösummalla SSE = = e = Sovitteide vaihtelua mitataa mallieliösummalla SSM = ( yˆ y = Selitysaste Variassiaalyysihaotelmasta regressiomalli hyvyyde mittarisi selitysaste SSE SSM R = = SST SST Mittaa regressiomalli selittämää osuutta selitettävä muuttua ooaisvaihtelusta 0 R Kts. selitysastee muut omiaisuudet 6. lueo alvoilta Huom! Uohda totuus selitettävä a selittää välisestä orrelaatioertoimesta!!!! Mallii uusia selittäiä => selitysaste asvaa (tai ei aiaaa pieee => ei voida äyttää malli valiassa!! Vrt. orattu selitysaste, lueto ro. 0 Kai Virtae 7 Kai Virtae 8 Yhteisorrelaatio a osittaisorrelaatio [ ] R = Cor( y, y ossa Cor( y, yˆ o selitettävä muuttua a sovitteide otosorrelaatioerroi, yhteisorrelaatioerroi ˆ Selittävät orreloivat yleesä eemmä a vähemmä eseää => suora orrelaatio r yi ei aa oieaa uvaa muuttuie yhteispelistä Harhato uva orrelaatiosta osittaisorrelaatio p : a y: osittaisorrelaatioerroi: ( Muodosta mallit y=b 0 +b +...+b p- p- a p =a 0 +a +...+a p- p- ( Lase residuaalit e i =y i -b 0 -b i... a f i = pi -a 0 -a i... (3 Lase residuaalie orrelaatioerroi r ef = osittaisorrelaatioerroi Kai Virtae 9 Päättely usea selittää lieaarisesta regressiomallista Regressioerroi b i lähellä ollaa => y ei riipu i :stä auaa ollasta => y ei riippuu i :stä meri => riippuvuude suuta, + / - i asvaa yhde ysiö => y asvaa b i Selitysaste R lähellä ollaa => ei riippuvuutta, malli ei selitä aluuaa selitettävä muuttua vaihtelua lähellä yästä => riippuvuus, malli selittää hyvi selitettävä muuttaa vaihtelu Mitä taroittaa lähellä / auaa? Rataisu: regressioertoimie luottamusvälit yleistesti regressio olemassaololle testit regressioertoimille Selitettävä eustamie aetulla selittää arvolla ysittäise arvo a esimääräise arvo euste a luottamusväli Selittäie täreysärestys Kai Virtae 0 5
6 Regressioertoimie luottamusvälit Jos ääöstermie stadardioletuset o, regressioertoimie PNS-estimaattorit ormaaliaautueita Jaaumie avulla luottamusvälit Regressioertoime β i (+ pl luottamusväli luottamustasolla ( α ossa b ˆD( i ± t / bi - b i = regressioertoime β i estimaattori α -±t α/ = luottamustasoa ( α vastaavat luottamusertoimet, t-aautueet vapausastei - ˆD ( bi = s ( X X = regressioertoime estimaattori i+, i+ variassi estimaattori, s = ääösvariassi estimaattori Kai Virtae Yleistesti regressio olemassaololle Nollahypoteesi H 0 : β = β = L= β = 0 Evivaletisti R =0 Nollahypoteesi pätee => selitettävä muuttua ei riipu yhdestäää selittäästä Nollahypoteesi ei päde => selitettävä muuttua riippuu aiai yhdestä selittäästä F-testisuure (F-aauma, vapausasteet a -- R SSM F = = ossa R SSE R = estimoidu malli selitysaste SSM = estimoidu malli mallieliösumma SSE = estimoidu malli ääöseliösumma Testisuuree ormaaliarvo oi ysi p-arvo = P(F > testisuuree arvo Suuri testisuuree arvo / piei p-arvo => ollahypoteesi ei päde Kai Virtae Testit regressioertoimille Nollahypoteesi H 0i : β i = 0, i = 0,,, K, Nollahypoteesi H 00 o => mallissa ei vaiota Nollahypoteesi H 0i, i=,,, o => selitettävä muuttua y ei riipu selittäästä i Nollahypoteesi H 0i, i=,,, ei päde => selitettävä muuttua y riippuu selittäästä i t-testisuureet (t-aautuut, vapausasteet bi ti =, i= 0,,, K, ossa ˆD( bi b i = regressioertoime β i estimaattori ˆD ( b i = regressioertoime β i estimaattori variassi estimaattori Testisuuree ormaaliarvo olla Itseisarvoltaa suuri testisuure / piei p-arvo => H 0i hylyy Vaihtoehtoie hypoteessi voi olla ysi- tai asisuutaie Kai Virtae 3 Eustamie usea selittää lieaarisella regressiomallilla Tavoitteea eustaa selitettävää muuttuaa y y% = β + β % + β % + L + β % + % ε u selittävät muuttuat,,, saavat arvot Kasi aatusmallia: (ii 0 %, %, K, % Eustetaa selitettävä muuttua y odotettavissa oleva eli esimääräie arvo Eustetaa selitettävä muuttua y ysittäie arvo Kai Virtae 4 6
7 y: odotusarvo a y: ysittäise arvo luottamusvälit Odotusarvo luottamusväli luottamustasolla ( α + % + % + L+ % ± α z% X X z% b0 b b b t / s ( Ysittäise arvo luottamusväli luottamustasolla ( α b0 + b % + b % + L+ b % ± tα / s + z% ( X X z% Edellä t α/ a +t α/ luottamustaso ( α luottamusertoimet, t-aautueet vapausastei s ääösvariassi estimaattori z% = (, %, %, K, % y: arvo luottamusvyö vs. y: odotusarvo luottamusvyö Luottamusvälit muodostavat selittäie arvoe futioa luottamusvyö estimoidu regressiotaso ympärille Ysittäise arvo luottamusvyö o leveämpi ui odotettavissa oleva arvo luottamusvyö Kesimääräise arvo eustamie o helpompaa ui ysittäise arvo eustamie Ysittäise arvo luottamusvälissä otetaa huomioo mittausvirhe / oevirhe, oa poistuu esiarvoistamalla Kumpaa äytäössä äytetää? Philosööffie ysymys vrt. löpiä lueolla ro. 7 Kai Virtae 5 Kai Virtae 6 Selittävie muuttuie esiäie täreys Selittävät muuttuat usei fysiaalisesti eri laatua => regressioertoimie arvoilla suuria eroa Mitä selittäät ovat täreimpiä / mitä selittäät vaiuttavat selittäää eite? Osittaisorrelaatiot Uusi regressiomalli, stadardoidut muuttuat: Aluperäiset havaiot (y i, i,..., i, i=,..., Käytetää aluperäisiä selitettävä arvoa y i Uudet selittäie arvot z i =( i - /s, =,...,, i=,...,, ossa a s muuttua havaioista lasettu esiarvo a esihaota Uusi regressiomalli datalle (y i,z i,...,z i, i=,..., Uudet selittäät laaduttomia suureita Regressiertoimie itseisarvot uvaavat selittäie esiäistä täreyttä Oleaiste tilastolliste tuusluue arvot säilyvät aluperäisiä, esim. selitysaste Kai Virtae 7 7
Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme? 2/4. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme?
TKK (c) Ila Melli (004) Yleie lieaarie malli Johdatus tilastotieteesee Yleie lieaarie malli Usea selittää lieaarie regressiomalli Yleise lieaarise malli matriisisesitys Yleise lieaarise malli estimoiti
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007 6. lueto: Johdatus regressioaalyysii S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Kai Virtae 1 Regressioaalyysi idea Tavoitteea selittää selitettävä tekiä/muuttua
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli: Lisätiedot. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
TKK (c) Ilkka Melli (4) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.4 Tlastollse aals perusteet, evät 7 8. lueto: Usea selttää leaare regressomall Usea selttää leaare regressomall Seltettävä muuttua havattue arvoe vahtelu halutaa selttää selttäve muuttue havattue
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli
Lisätiedot2.1. Parametrien estimointi 2.2. Regressiokertoimien estimointi kovariansseista ja korrelaatioista
Moimuuttujameetelmät: Ilkka Melli. Yleise lieaarise malli määrittelemie.. ja malli oletukset.. Yleise lieaarise malli matriisiesitys. Yleise lieaarise malli parametrie estimoiti.. Parametrie estimoiti..
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.4 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 7 9. lueto: Regressiomalli validoiti Kai Virtae Regressiomalli validoiista Estimoitu hieo regressiomalli: Kuvaako malli tutkittavaa ilmiötä oikei? Kuika hyvi
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
Lisätiedot8.3. Yleinen lineaarinen malli ja yleistetty pienimmän neliösumman menetelmä
Mat-1.361 Tilastollie päättely Tilastollie päättely 8. Yleie lieaarie malli 8.1. Yleie lieaarie malli ja se parametrie estimoiti Estimoiti, Estimaattori hyvyys, Gaussi ja Markovi lause, Harhattomuus, Homoskedastisuus,
LisätiedotRegressiomallin valinta. Regressiomallin valinta. Regressiomallin valinta: Esitiedot. Regressiomallin valinta: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Regressiomalli valita Eälieaariste riiuvuuksie liearisoiti Johdatus tilastotieteesee Regressiomalli valita TKK (c) Ilkka Melli (004) Regressiomalli valita: Mitä oimme? Tässä luvussa
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.4 Tilatollie aali peruteet, kevät 7 6. lueto: Johdatu regreioaalii Regreioaali idea Tavoitteea elittää elitettävä tekiä/muuttua havaittue arvoe vaihtelu elittävie tekiöide/muuttuie havaittue arvoe
LisätiedotRegressiodiagnostiikka. Regressiodiagnostiikka. Regressiodiagnostiikka: Mitä opimme? 2/2. Regressiodiagnostiikka: Mitä opimme? 1/2
TKK (c) Ilkka Melli (004) Regressiodiagostiikka Jodatus tilastotieteesee Regressiodiagostiikka Yleie lieaarie malli a regressiodiagostiikka Poikkeavat avaiot Regressiokertoimie vakioisuus Multikollieaarisuus
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi
Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi- a useampisuutaie variassiaalsi Ila Melli 44 Variassiaalsi Ila Melli 44 Variassiaalsi Sisälls
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi
Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotErityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Johdatus regressioanalyysiin. Johdatus regressioanalyysiin: Mitä opimme? 2/3
TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Johdatus regressioaalsii Johdatus tilastotieteesee Johdatus regressioaalsii Regressioaalsi lähtökohdat a tavoitteet Determiistiset mallit a regressioaalsi Regressiofuktiot a
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
LisätiedotTestit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
LisätiedotYleinen lineaarinen malli
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: 1 Määritelmä ja standardioletukset 2
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri 3.3.3. muaa momettimeetelmä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
LisätiedotOrtogonaalisuus ja projektiot
MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Moimuuujameeelmä: Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Ilkka Melli. Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli, se esimoii ja esaus.. Yhde seliäjä lieaarie
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
Lisätiedot2. Teoriaharjoitukset
2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien
Lisätiedot4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
Lisätiedot8. Ortogonaaliprojektiot
44 8 Ortogoaaliprojetiot Avaruus R o eemmäi ui pelä vetoriavaruus, osa siiä o mahdollisuus määritellä vetoreide pituus, välie ulma ja erityisesti ohtisuoruus ähä päästää ottamalla äyttöö vetoreide välie
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Tilastollie riippuvuus ja korrelaatio Tilastollie riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahde muuttuja havaitoaieisto
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Regressiomallin valinta Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit Mallinvalintakriteerit Epälineaaristen riippuvuuksien
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotTA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen
Lisätiedot1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept
LisätiedotVastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiomallin valinta >> Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
Lisätiedot, sanotaan niiden sääntöjen ja menetelmien kokonaisuutta, joilla otos poimitaan määritellystä perusjoukosta.
Y - Otatameetelmät / Sysy 009 (Risto Letoe) TEKIE YTEEVETO I Otata-asetelmat ja estimoitiasetelmat Perusjouo ja muuttujat Äärellie perusjouo U = {,...,,..., } Tulosmuuttuja y tutemattomat arvot Y,,Y,,Y
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin erusteet, kevät 2007 10. luento: Regressiomallin (selittäjien) valinta Kai Virtanen 1 Regressiomallin selittäjien valinnasta Mallista uuttuu selittäjiä => harhaiset regressiokertoimien
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Regressiodiagnostiikka TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Regressiodiagnostiikka Yleinen lineaarinen malli ja regressiodiagnostiikka Regressiografiikka Poikkeavat havainnot Regressiokertoimien
LisätiedotKertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja
LisätiedotSisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.
Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
LisätiedotKURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA
KURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA X = S = s = Otossuureita X i tai x = x i (otoskeskiarvo) (X i X) = (x i x) = Xi x i E(X) =µ, var(x) = σ X x tai, E(S )=σ (otosvariassi) Normaalijakautuee populaatio
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotAalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 2016 Laskuharjoitus 5, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
LisätiedotMiehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin erusteet, kevät 007 Regressiomallin (selittäjien valinta Kai Virtanen 1 Regressiomallin selittäjien valinnasta Mallista uuttuu selittäjiä => harhaiset regressiokertoimien
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tlastollsen analyysn perusteet, evät 007. luento: Johdatus varanssanalyysn S ysteemanalyysn Laboratoro Ka Vrtanen Kertaus: ahden rppumattoman otosen t-test () () Perusjouo oostuu ahdesta ryhmästä
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiodiagnostiikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiodiagnostiikka >> Yleinen lineaarinen malli ja regressiodiagnostiikka
LisätiedotTilastolliset luottamusvälit
Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude
LisätiedotTeoria. Tilastotietojen keruu
S-38.348 Tietoverkkoje simuloiti / Tuloste keruu ja aalyysi Teoria Johdato simuloitii Simuloii kulku -- prosessi realisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tuloste keruu ja aalyysi
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Lisätiedoton tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli, jossa jäännöstermit ε i toteuttavat seuraavat oletukset:
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Ylee leaare mall Artmeette keskarvo,
Lisätiedot1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 5 RATKAISUEHDOTUKSET 232215 1 Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia Y i = β + β 1 X 1,i + β 2 X 2,i + u i (a) Kirjoita regressiomalli muodossa
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille 0. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille. Testejä laatueroasteikollisille
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotKorrelaatiokertoinen määrittely 165
kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
Lisätiedot