Investointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen

Transkriptio

1 Investointimahdollisuudet ja investoinnin ajoittaminen Ajoituksen ratkaisu dynaamisella optimoinnilla Optimointiopin seminaari - Syksy 000 /

2 Esitelmän sisältö Investoinnin ajoitusongelman esittely Ongelman formulointi ja ongelman tarkastelua Ongelman ratkaisu dynaamisella optimoinilla Ratkaisun tarkastelua ja vertailua Optimointiopin seminaari - Syksy 000 /

3 Investoinnin ajoituksen ongelma Tarkastellaan yksinkertaista projektia: projektilla kiinteä investointikustannus I projekti tuottaa vasta investoinnin jälkeen projektin nettotuotto V t stokastinen prosessi I V T t T Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 3

4 Investoinnin ajoituksen ongelma Investoinnin vaihtoehdot: Investoidaan heti? Investoidaan hetkellä T? Vt? Vt? T 0 T 0 T t Ongelmana on määrittää ajankohta T, jolloin investointi kannattaa tehdä t Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 4

5 Investoinnin ajoituksen ongelma NPV menetelmän perusteella investointi on kannatava mikäli V t > I V t :n tulevaisuudessa saamia arvoja ei tunneta, joten nyt tehtävään investointiin liittyy vaihtoehtoiskustannus NPV:ssä ei huomioida tätä... Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 5

6 Investoinnin ajoituksen ongelma Huomioidaan vaihtoehtoiskustannus investointikustannuksen I lisäksi Intuitiivisesti: Investointisääntö nyt muotoa V t > V*=K+I, jossa K vaihtoehtoiskustannus Ongelmana on siis määrittää kriittinen rajaarvo V* Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 6

7 Ongelman formulointi Oletetaan projektin nettotuoton V noudattavan geometrista Brownin liikettä dv = αvdt + σvdz Ei kuvaa hyvin todellisten projektien tuottoa V:n malli kuitenkin riittävä ajoitusongelman tarkasteluun Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 7

8 Ongelman formulointi Merkitään investointimahdollisuuden arvoa F(V t ):llä F( VT ) = ( VT I ) e T investoinnin ajankohta, ρ diskonttokorko Optimaalinen investointistrategia saadaan maksimoimalla F(V T ):n odotusarvoa F( V ) = max E[( V V ρτ T I ) e ρτ Jotta ongelma mielekäs, oletetaan α < ρ (muutoin kannattaisi odottaa ikuisesti) ] Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 8

9 Ongelman tarkastelua: V t deterministinen Oletetaan σ = 0, V t deterministinen V t :lle ja F(V t ):lle saadaan tällöin αt V ( t) = V e 0 αt ρt F( V0) = ( V0e I ) e Etsitään investoinnin arvon F(V 0 ) maksimoiva strategia Alkuhetki voidaan aina sitoa tarkasteluhetkeen, joten merkitään jatkossa alkuhetken nettotuottoa V 0 yleisesti V:llä Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 9

10 Ongelman tarkastelua: V t deterministinen Tapaus α 0: V t laskeva, joten investoidaan heti vain jos V > I Muutoin ei kannata investoida lainkaan F(V) = max(v - I, 0) Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 0

11 Ongelman tarkastelua: V t deterministinen Tapaus 0 < α < ρ: Etsitään F(V):n maksimi T:n suhteen df( V ) ( ρα ) t ρt = ( ρ α) Ve + ρie = 0 dt Edellisestä saadaan optimaalinen hetki T* investoinnin suorittamiselle T * = ρi max log, α ( ρ α) V 0 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 /

12 Ongelman tarkastelua: V t deterministinen Tapaus 0 < α < ρ, jatkoa: Ratkaistaan df(v)/dt:n lausekkeesta V*, kun T*=0 Investoinnin suorittamiselle saadaan määritettyä raja nettotuotoon V perustuen ρ V V*, V* = I ρ α Investointimahdollisuuden arvoksi saadaan F( V ) [ αi /( ρ α)][( ρ α) V / ρi ] ρ / α, V V = * V I, V Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / > V *

13 Ongelman tarkastelua: V t deterministinen Investointimahdollisuuden arvo F(V),5 0,5 0 α =0,06 α =0,03 α 3 =0 0 0,5,5,5 3 V V * V * Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 3

14 Ongelman tarkastelua: σ > 0, V t stokastinen V t stokastinen V t etenee stokastisesti, joten ei voida määrittää tiettyä optimaalista investointiajanhetkeä T* Pyritään määrittämään nettotuottoon sidottu investointiehto V V* Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 4

15 Ongelman esittäminen dynaamisena optimointitehtävänä Investoinnin ajoitusongelma voidaan käsittää optimaalisena pysäytysongelmana Kassavirtoja ei ole ennen investointihetkeä T Lopetustuotto vastaa investoinnista saatavaa kokonaistuottoa (nettotuotto - investointikulut) Jatka-alueessa Bellmanin yhtälö tällöin muotoa ρfdt = E[dF] Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 5

16 Ongelman esittäminen dynaamisena optimointitehtävänä Kirjoitetaan df auki käyttäen Iton lemmaa, ja määrittämällä F =df/dv, F =df/dv, jne df = F' ( V ) dv + F' '( V )( dv Sijoitetaan dv ja huomioidaan E(dz)=0,saadaan E [ df] =α VF' ( V ) dt + σ V F' '( V ) dt Bellmanin yhtälö saadaan tällöin muotoon ) σ V F' '( V ) + αvf' ( V ) ρf = 0 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 6

17 DY:n ratkaiseminen Bellmanin yhtälö toisen asteen DY Valitaan myöhempiä tarkasteluita varten α=ρ-δ σ V F' '( V ) + ( ρ δ ) VF' ( V ) ρf = 0 Lisäksi F(V):n pitää täyttää reunaehdot F (0) = 0, () F( V*) = V * I, () F ( V*) =, (3) (jos V(t)=0, V(T)=0, T>t) (optimaalisen investoinnin arvo) (smooth-pasting ehto) Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 7

18 DY:n ratkaiseminen Ratkaistaan DY yritteellä F ( V ) = AV β A ja β vakiota F(V) toteuttaa reunaehdon () A ja V* saadaan reunaehdoista () ja (3) V* = A = ( V β β * I, I) /( V*) β = ( β ) /[ β I β β β ] Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 8

19 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 9 DY:n ratkaiseminen Sijoittamalla yrite DY:öön, saadaan β:lle Yhtälön juuret 0 ) ( ) ( = + ρ δ β ρ β β σ 0 / ] ) / [( ) / ( / ] ) / [( ) / ( < + = > + + = σ ρ σ δ ρ σ δ ρ β σ ρ σ δ ρ σ δ ρ β

20 DY:n ratkaiseminen Koska F toisen asteen homogeeninen lineaarinen differentiaaliyhtälö, yleinen ratkaisu muotoa β F ( V ) = AV + A V Jotta reunaehto () täyttyy, pitää olla A = 0 Lopullinen muoto F(V):lle F ( V ) = AV β β Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 0

21 Ajoitusongelman ratkaisu Investointimahdollisuuden arvo F(V) F ( V ) = β A = = ( β AV ( ρ ) β δ ) / σ β β β /[ β I [( ρ Optimaalinen investointistrategia + ] δ ) / σ ] + ρ / σ Investoi, kun V V*, V* = β β I Optimointiopin seminaari - Syksy 000 /

22 Ratkaisun tarkastelu Parametrien ρ, δja σ vaikutus nettotuoton raja-arvoon V* V:n epävarmuuden, ts. σ vaikutus σ kasvaa fi Investointiraja V* kasvaa σfi fi Investointiraja V*fi σfi 0 fi Investointiraja V*fi ρ / δ I, α I, α > 0 0 Optimointiopin seminaari - Syksy 000 /

23 Ratkaisun tarkastelu Diskonttokoron ρ vaikutus ρ kasvaa fi Investointiraja V* kasvaa Diskonttokoron ρ ja V:n kasvun α erotuksen,ts δ vaikutus δkasvaa fi Investointiraja V* laskee Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 3

24 000 Ratkaisun tarkastelu Parametrien vaikutus V*:een, I= δ =0,0 00 δ =0,06 V* 0 ρ =0,07 ρ =0, σ Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 4

25 Vertailua NPV menetelmään Esimerkkinä tehdas, joka antaa rakentamisen jälkeen kassavirran π t äärettömyyteen asti π t noudattaa geometrista Brownin liikettä dπ= α πdt+ σ πdz Nettotuotolle V saadaan V t = E t π s e ρ ( s t) ds = π t ρ α jolloin myös V noudattaa geometrista Brownin liikettä, Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 5

26 Vertailua NPV mentelmään Rakentamispäätös: Investointikustannus I muuttumaton Perinteinen NPV menetelmä: Investoidaan tehtaaseen, kun V t > I, ts. π t > (ρ- α)i Vaihtoehtoiskustannuksen huomioivalla menetelmällä: Investoidaan, kun * β π t > π = ( ρ α ) I > ( ρ α ) I β Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 6

27 Kotitehtävä Arvioit investointia 300 M maksavaan kaasuautojen kaasunjakeluverkkon: Tällä hetkellä markkinanäkymät huonot, kaasun jakelusta arvioitu nettotuotto V 0 = 00 M. On arvioitu, että kaasun myynnistä saatava nettotuotto kasvaa % vuosittain ja siihen liittyvä riskitaso on 0%. Nettotuoton oletetaan noudattavan geometrista Brownin liikettä. Muodosta vaihtoehtoiskustannuksen huomioiva jakeluverkon investointistrategia.(diskonttokorko 8%) Optimointiopin seminaari - Syksy 000 / 7