MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5"

Transkriptio

1 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien valittujen lukujen keskiarvosta, jakavat voiton. Minkä luvun sinä arvaat? Koko ryhmälle jaetaan paperilaput, joihin kukin opiskelija kirjoittaa jonkin luvun väliltä [0,100]. Laput kerätään pois ja assistentti laskee vastausten keskiarvon. Lähimmäksi päässyt voittaa palkinnon. Onneksi olkoon voittajalle! :) Mikä olisi järkevin tapa vastata? Jos jokainen osallistuja vastaisi täysin satunnaisesti jonkin luvun, vastausten keskiarvon odotusarvo olisi 50/3 = 16,66. Fiksu opiskelijahan ei luonnollisesti vastaa täysin satunnaisesti, vaan juuri tuon 16,66. Toisaalta, jos kaikki ajattelevat samalla tavalla, keskiarvon kolmasosaksi saadaan 16,66/3 = 5,55. Edelleen, jos kaikki vastaavat näin, keskiarvon kolmasosaksi saadaan 5,55/3 = 1,85. Peliteorian yksi tärkeimmistä oletuksista on pelaajien rationaalisuus, eli se, että kaikki pelaajat valitsevat aina omalta kannaltaan parhaan vaihtoehdon. Edellistä päättelyketjua seuraamalla rationaalinen pelaaja päätyisi lopulta valitsemaan luvun 0. Tämän pelin tapauksessa näin harvemmin käy, sillä todelliset pelaajat eivät ole täysin rationaalisia. Demo 2: Matriisipeli Ratkaise seuraavien normaalimuotoisten matriisipelien Nashin tasapainot. Matriisissa on esitettynä pelaajien saamat hyödyt (pelaajan A hyöty, pelaajan B hyöty) pelaajien strategioille. Esimerkiksi a-kohdassa jos pelaaja A pelaa strategiaa U ja pelaaja B strategiaa R, A saa hyödyn 1 ja B saa hyödyn 2. a) b) U 3, 2 1, 1 D 0, 1 5, 6 Nashin tasapaino on strategiapari, josta kummankaan pelaajan ei kannata poiketa kun toinen pelaaja pelaa tasapainostrategian mukaisesti. Nashin tasapainot eivät aina välttämättä ole pelin parhaita tuloksia. Mahdollisen paremman tuloksen saamiseksi pelaajien olisi tehtävä yhteistyötä. Tämä johtaisi uuteen, yleensä dynaamiseen peliin. Matriisipelin Nashin tasapaino voidaan ratkaista selvittämällä vuorotellen kummankin pelaajan reaktiot jokaiseen toisen pelaajan strategiaan, ja etsimällä tämän jälkeen ruudut, jotka kuuluvat molempien pelaajien reaktiofunktioihin. 1

2 a) Kiinnitetään aluksi pelaajan B strategia L. Nyt pelaajan A kannattaa valita strategia U, jolla hän saa hyödyn 4, koska toisella strategialla D hän saisi hyödyn 2. Merkitään valinta alleviivaamalla pelaajan A hyöty toteutuneen strategian ruudusta (4). Nyt kiinnitetään pelaajan B strategia R, jolloin pelaajan A kannattaa pelata myös U. Alleviivataan pelaajan A hyöty toteutuneen strategian ruudustua (1). Nyt toistetaan sama pelaajalle B. Kiinnitetään pelaajan A strategia U, jolloin B:n kannattaa valita L. Kiinnitetään pelaajan A strategia D, jolloin B:n kannattaa valita R. Alleviivataan vastaavat hyödyt (4 ja 0). Strategiaparin (U, L) molemmat hyödyt ovat alleviivatut, eli pelaajien reaktiot leikkaavat tässä pisteessä. Tämä piste on pelin Nashin tasapaino. b) Kiinnitetään aluksi pelaajan B strategiat, ja selvitetään pelaajan A reaktiot. Vastaavasti kiinnitetään pelaajan A strategiat ja selvitetään pelaajan B reaktiot, jolloin edellisen tehtävän tavoin saadaan taulukko: U 3, 2 1, 1 D 0, 1 5, 6 Huomaa. Nashin tasapainoja voi olla useita. Lisäksi kannattaa muistaa, että toinen Nash-tasapaino, tai mikä tahansa muukin strategiapari, saattaa olla molempien pelaajien kannalta parempi lopputulos pelille. Demo 3: Cournot n duopolimalli Kaksi yritystä myy tuotetta, jonka hinta määrätyy markkinoilla tarjonnan mukaan noudattaen funktiota p(q 1, q 2 ) = a b(q 1 + q 2 ), missä p(q 1, q 2 ) on tuotteen hinta, q i yrityksessä i tuotettu määrä ja a ja b positiivisia vakioita. Kumpikin yritys tuottaa voittoa π = (p(q 1, q 2 ) c) q i, missä c on yhden tuotteen yksikkökustannus. Laske markkinan Nashin tasapaino, kun yritykset asettavat hintansa yhtäaikaa. Vertaa tasapainoa tilanteeseen, jossa markkinoilla olisi vain yksi monopolistinen yritys. 2

3 Nashin tasapaino löytyy pelaajien reaktiofunktioiden leikkauspisteestä. Selvitetään pelaajan i reaktio, kun toista pelaajaa merkitään j:llä. Tunnetulla q i :llä Yritys i maksimoi tuottoaan, eli sen optimointitehtävä on max q i π(q i, q j ) = (p(q 1, q 2 ) c) q i = (a b(q i + q j ) c)q i. Tehtävän optimi löytyy derivaatan nollakohdasta: π q i = (a b(q i + q j ) c) bq i = 0 q i = a bq j c Tämä on pelaajan i reaktiofunktio. Vastaavasti pelaajalle j saadaan reaktiofunktio q j = a bq i c Ratkaistaan reaktiofunktioiden leikkauspiste, eli piste, jossa molemmat pelaajat pelaavat tasapainostrategiaa: q 1 q 2 = a bq 2 c = a bq 1 c Sijoittamalla alempi ylempään ja ratkaisemalla q 1 saadaan q 1 q 2 = a c 3b = a c 3b Tämä on pelin Nashin tasapaino. Tasapainossa hinta on ja kokonaiskysyntä p = a b(q 1 + q 2 ) = a + 2c, 3 q 1 = 2(a c). 3b Sen sijaan, jos markkinoilla olisi vain yksi yritys, ja hinta määräytyisi vastaavalla tavalla: p = a bq, missä q on yrityksen tuottantomäärä, yrityksen optimointitehtävä olisi max π(q) = (p(q) c)q = (a bq c) q. q Tehtävän optimi löytyy derivaatan nollakohdasta: Tällä tuotantomäärällä hinta on dπ dq = (a bq c) bq = 0 q i = a c p = a bq = (a + c)/2. Verrattuna kahden yrityksen markkinaan, hinta on korkeampi ja tuotantomäärä matalampi. Tämän perusteella voidaan esimerkiksi perustella, miksi kilpailu on kuluttajien kannalta parempi kuin monopoli. 3

4 Tehtävä 1: Stackelbergin duopolimalli Tutkitaan edellisen tehtävän kaltaista kahden yrityksen duopolimarkkinaa pienellä muutoksella. Toinen yritys valitsee tuotantomääränsä ensin, jonka jälkeen toinen yritys reagoi ensimmäisen yrityksen tuotantomäärään optimaalisesti. Laske tämän kaksivaiheisen pelin Nashin tasapaino. Vinkki. Voit käyttää edellisessä tehtävässä laskettuja reaktiofunktioita apunasi. Peli on kaksivaiheinen. Aluksi ensimmäinen pelaaja asettaa tuotantomääränsä q 1, jonka jälkeen toinen pelaaja reagoi tähän ja asettaa oman tuotantomääränsä q 2. Tutkitaan peliä takaperininduktion avulla ja tarkastellaan aluksi pelin jälkimmäistä vaihetta. Nyt pelaaja 1 on jo asettanut tuotantomäärän q 1 ja edellisessä tehtävässä lasketun reaktiofunktion nojalla voimme päätellä, että toinen pelaaja valitsee tuotantomäärän q 2 (q 1 ) = a bq 1 c. Nyt ensimmäisessä vaiheessa pelaaja 1 tietää miten pelaaja 2 tulee reagoimaan hänen asettamaansa tuotantomäärään. Pelaaja 1:n optimointitehtävä on siis max q 1 π(q 1, q 2 (q 1 )) = (p(q 1, q 2 (q 1 )) c) q 1 = (a b(q 1 + q 2 (q 1 )) c) q 1. Sijoitetaan q 2 (q 1 ) reaktiofunktiosta, jolloin saadaan ( π(q 1, q 2 (q 1 )) = a b ( q 1 + a bq 1 c ) ) c q 1 Optimi on derivaatan nollakohdassa: = 1 2 (a bq 1 c)q 1 dπ dq 1 = 1 2 ((a bq 1 c) bq 1 ) = 0 q i = a c Nyt pelaajan 2 reaktio on q 2 (q 1 ) = a c 4b. Selvästi ensimmäinen pelaaja tuottaa suuremman määrän ja koska hinnat ovat samat kaikille markkinan yrityksille, pelaaja saa myös suuremmat voitot. Tilanteen voi tulkita esimerkiksi siten, että pelaajalla 2 on pelaajaa 1 selvästi heikompi markkinaosuus eikä se voi yksin vaikuttaa tuotettaviin määriin. Verrattuna edellisen tehtävän monopoli- ja duopoliratkaisuihin, ensimmäinen pelaaja tuottaa nyt monopolimäärän, ja toinen pelaaja vähemmän kuin kumpikaan yritys duopolissa. Ensimmäisen pelaajan tuotot ovat kuitenkin monopolia heikommat sillä pelaajan 2 tuotanto laskee markkinan hintoja. 4

5 Tehtävä 2: Tuhatjalkaispeli Pelaa vieruskaverisi kanssa peliä, jossa pelaajat A ja B vuorotellen päättävät lopetetaanko peli vai jatketaanko sitä. Jos peli jatkuu, vuoro siirtyy seuraavalle pelaajalle. Riippuen siitä, kuinka kauan peliä pelataan, pelaajat saavat eri määrän pisteitä. Pisteet on esitetty kuvassa. Esimerkki pelin kulusta: Pelaaja A aloittaa, ja hän valitsee pelin jatkumisen. Pelaaja B valitsee samoin, mutta kolmannessa vaiheessa A päättää pelin. Tällöin A saa 6 pistettä ja B 1 pisteen. Pelatkaa muutama kierros sopivilla panoksilla. Miettikää miten peliä kannattaa pelata A:na ja miten B:nä. Pelin kokonaispotti kasvaa mitä pidemmälle peli etenee. Jatkamiseen kuitenkin sisältyy riski, että toinen pelaaja lopettaa pelin ennen kuin oma vuoro tulee uudestaan. Tarkastellaan peliä taaksepäininduktiolla. Oletetaan, että peli on viimeisessä vaiheessa, ja pelaajan B on päätettävä jaetaanko 10 pisteen kokonaispotti (5,5) vai (3,7). Rationaalinen pelaaja valitsee jälkimmäisen, sillä tällöin hän saa suuremman hyödyn. Edellisessä vaiheessa rationaalinen A taas tietää, että seuraavassa vaiheessa B tulee valitsemaan vaihtoehdon (3,7). A:n kannattaa nyt keskeyttää peli, jolloin hän saa yhteensä 7 pistettä. Jatketaan päättelyä taaksepäin, ja huomataan että jokaisessa vaiheessa pelaajan kannataa keskeyttää peli, sillä hän tietää, että seuraavassa vaiheessa toinen pelaaja keskeyttää pelin. Pelaajat voisivat myös tehdä yhteistyötä, jolloin he sopisivat yhdessä strategiansa. He voisivat esimerkiksi sopia, että molemmat jatkavat peliä niin pitkään kuin mahdollista, jolloin molemmat saisivat hyödyn 5. Tehtävä 3: Matriisipeli Ratkaise seuraavien normaalimuotoisten matriisipelien Nashin tasapainot. a) b) A \ B L C R U 0, 1 3, 2 4, 5 D 1, 3 0, 1 2, 2 U 1, 1 1, 1 D 1, 1 1, 1 5

6 Selvitetään kummankin pelaajan reaktiot kiinnittämällä vuorotellen toisen pelaajan kukin strategia ja valitsemalla pelaajan kannalta paras vaihtoehto. a) b) A \ B L C R U 0, 1 3, 2 4, 5 D 1, 3 0, 1 2, 2 Reaktiot leikkaavat strategiapareilla (D,L) ja (U,R), joten nämä ovat pelin kaksi Nashin tasapainoa. U 1, 1 1, 1 D 1, 1 1, 1 Koska reaktiot eivät leikkaa missään ruudussa, pelillä ei ole Nashin tasapainoa puhtailla strategioilla. Pelillä on kuitenkin sekastrategiatasapaino, missä kumpikin pelaaja pelaa strategioitaan todennäköisyyksillä 1 2 ja 1 2. Kiva tietää. Tätä peliä kutsutaan myös kolikonheittopeliksi. Pelaajat valitsevat joko kruunan (strategian U tai L) tai klaavan (strategian D tai R). Jos molemmat valitsevat saman strategian pelaaja B voittaa, jos strategiat eriävät A voittaa. 6

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan lyhyesti peliteoriaan. Peliteorian ratkaisukäsite on Nashin tasapaino, jonka jo Augustin Cournot esitti duopolimallinsa ratkaisuna v. 1838. Cournot n

Lisätiedot

12 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu

12 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu 12 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, 2nd ed., chs 16-17; Taloustieteen oppikirja, s. 87-90) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä

Lisätiedot

11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17)

11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17) 11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä valintojen seurauksien eli voittojen riippuvan

Lisätiedot

Täydellinen kilpailu: markkinoilla suuri määrä yrityksiä. ----> Yksi yritys ei vaikuta hyödykkeen markkinahintaan.

Täydellinen kilpailu: markkinoilla suuri määrä yrityksiä. ----> Yksi yritys ei vaikuta hyödykkeen markkinahintaan. 5. EPÄTÄYDELLINEN KILPAILU Täydellinen kilpailu: markkinoilla suuri määrä yrityksiä. ----> Yksi yritys ei vaikuta hyödykkeen markkinahintaan. Epätäydellinen kilpailu: markkinoilla yksi tai vain muutama

Lisätiedot

SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA

SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA Matti Estola 8. joulukuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Ratkaistaan sukupuolten välinen taistelu sekastrategioiden avulla 5 Teksti on suomennettu kirjasta: Gibbons: A Primer

Lisätiedot

Johdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2

Johdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2 Aalto-yliopiston TKK Mat-2.4142 K2010 Esitelmä 1 Ilkka Leppänen 1 Johdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2 Ilkka Leppänen 20.1.2010 Aalto-yliopiston TKK Mat-2.4142 K2010 Esitelmä 1 Ilkka Leppänen 2 Aiheet Laajennettu

Lisätiedot

Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C00100 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 2017

Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C00100 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 2017 Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C1 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 17 Mallivastaukset 7. 1. Kaupungissa on kaksi suurta taidemuseoa (pelaajat) ja 5 asukasta. Taidemuseoilla on

Lisätiedot

1. Kuntosalilla on 8000 asiakasta, joilla kaikilla on sama salikäyntien kysyntä: q(p)= P, missä

1. Kuntosalilla on 8000 asiakasta, joilla kaikilla on sama salikäyntien kysyntä: q(p)= P, missä A31C00100 Mikrotaloustiede Kevät 2017 1. Kuntosalilla on 8000 asiakasta, joilla kaikilla on sama salikäyntien kysyntä: q(p)= 18 1.5P, missä q on käyntejä kuukaudessa keskimäärin. Yhden käyntikerran rajakustannus

Lisätiedot

PELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA

PELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA PELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA Matti Estola 29 marraskuuta 2013 Sisältö 1 Cournot'in duopolimalli 2 2 Pelin Nash -tasapainon tulkinta 3 3 Cournot'in mallin graanen ratkaisu 4 4 Bertrandin duopolimalli

Lisätiedot

Hintakilpailu lyhyellä aikavälillä

Hintakilpailu lyhyellä aikavälillä Hintakilpailu lyhyellä aikavälillä Virpi Turkulainen 5.3.2003 Optimointiopin seminaari - Kevät 2003 / 1 Sisältö Johdanto Bertrandin ristiriita ja sen lähestyminen Bertrandin ristiriita Lähestymistavat:

Lisätiedot

Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu

Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu Tommi Lehtonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Bayesilainen tasapaino Täysi informaatio Vajaa informaatio Staattinen Nash Bayes Dynaaminen Täydellinen

Lisätiedot

Y56 laskuharjoitukset 6

Y56 laskuharjoitukset 6 Y56 Kevät 00 Y56 laskuharjoitukset 6 Palautus joko luennolle/mappiin tai Katjan lokerolle (Koetilantie 5, 3. krs) to.4. klo 6 mennessä (purku luennolla ti 7.4.) Ole hyvä ja vastaa suoraan tähän paperiin.

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

Osa 12b Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Chs 16-17)

Osa 12b Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Chs 16-17) Osa 12b Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Chs 16-17) Oligopoli on markkinamuoto, jossa markkinoilla on muutamia yrityksiä, jotka uskovat tekemiensä valintojen seurauksien eli voittojen

Lisätiedot

Prof. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen

Prof. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen Mallivastaukset 6. 1. (a) Molemmilla yrityksillä on kaksi mahdollista toimenpidettä, joten pelissä on 2 2 = 4 potentiaalisesti erilaista tulemaa. i. Jos Row Corporation valitsee Mainosta ja Column Industries

Lisätiedot

Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopiston 31C00100 Syksy 2015 Assist. Salla Simola kauppakorkeakoulu

Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopiston 31C00100 Syksy 2015 Assist. Salla Simola kauppakorkeakoulu Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopiston 31C00100 Syksy 2015 Assist. Salla Simola kauppakorkeakoulu Mallivastaukset - Loppukoe 10.12. Monivalinnat: 1c 2a 3e 4a 5c 6b 7c 8e 9b 10a I (a) Sekaniputus

Lisätiedot

Prof. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen

Prof. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen Harjoitukset 3. 1. (a) Dismalandissa eri puolueiden arvostukset katusiivoukselle ovat Q A (P ) = 60 6P P A (Q) = 10 Q/6 Q B (P ) = 80 5P P B (Q) = 16 Q/5 Q C (P ) = 50 2P P C (Q) = 25 Q/2 Katusiivous on

Lisätiedot

Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2

Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2 Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2 Ilkka Männistö Esitelmä 10 - Ilkka Männistö Optimointiopin seminaari - Kevät 2003 / 1 Kilpailun aste Markkinahinta ei kerro mitään kilpailun asteesta jos kustannusrakennetta

Lisätiedot

Pelien teoriaa: tasapainokäsitteet

Pelien teoriaa: tasapainokäsitteet Pelien teoriaa: tasapainokäsitteet Salanién (2005) ja Gibbonsin (1992) mukaan Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Jukka Luoma 1 Sisältö Staattinen Dynaaminen Staattinen Dynaaminen Pelityyppi Täydellinen

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoria

Luento 5: Peliteoria Luento 5: Peliteoria Portfolion optimointi Sijoittajan tehtävä Nashin tasapaino Vangin ongelma Nashin neuvotteluratkaisu 1 Portfolion optimointi Varallisuus A sijoitetaan n:ään sijoituskohteeseen (osake,

Lisätiedot

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10 Harjoitukset 3 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. a) Autonrenkaita valmistavalla yhtiöllä on 100 000 :n kiinteät kustannukset vuodessa. Kun yritys tuottaa 10 000 rengasta,

Lisätiedot

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä

Lisätiedot

Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9

Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9 Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9 (1) Yritys Valmistaa kuukaudessa q tuotetta. Kysyntäfunktio on p = 15 0, 05q ja kustannusfunktio on C(q) = 350 + 2q + 0, 05q 2. a) Yritys valmistaa nyt tuotteita kuukaudessa

Lisätiedot

Yhteistyötä sisältämätön peliteoria

Yhteistyötä sisältämätön peliteoria Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jarkko.murtoaro@hut.fi Optimointiopin seminaari Kevät 2003 / 1 Sisältö Johdanto Käsitteistö Työkalut Nashin tasapaino Täydellinen tasapaino Optimointiopin seminaari

Lisätiedot

Peliteoria luento 1. May 25, 2015. Peliteoria luento 1

Peliteoria luento 1. May 25, 2015. Peliteoria luento 1 May 25, 2015 Tavoitteet Valmius muotoilla strategisesti ja yhteiskunnallisesti kiinnostavia tilanteita peleinä. Kyky ratkaista yksinkertaisia pelejä. Luentojen rakenne 1 Joitain pelejä ajanvietematematiikasta.

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE : Mallivastaukset KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE.6.016: Mallivastaukset Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti Pohjola, Taloustieteen oppikirja, 014] sivuihin. (1) (a) Julkisten menojen kerroin (suljetun

Lisätiedot

Pohdiskeleva ajattelu ja tasapainotarkennukset

Pohdiskeleva ajattelu ja tasapainotarkennukset Pohdiskeleva ajattelu ja tasapainotarkennukset Sanna Hanhikoski 24.3.2010 Sisältö Pohdiskeleva ajattelu Nashin tasapainotarkennukset Täydellinen tasapaino Täydellinen bayesiläinen tasapaino Vaiheittainen

Lisätiedot

Sekastrategia ja Nash-tasapainon määrääminen

Sekastrategia ja Nash-tasapainon määrääminen May 24, 2016 Sekastrategia Monissa peleissä ei ole Nash-tasapainoa puhtaissa strategioissa H T H 1, 1 1, 1 T 1, 1 1, 1 Ratkaisu ongelmaan löytyy siitä, että laajennetaan strategiat käsittämään todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

4. www-harjoitusten mallivastaukset 2016

4. www-harjoitusten mallivastaukset 2016 TU-91.1001 Kansantaloustieteen perusteet 4. www-harjoitusten mallivastaukset 2016 Tehtävä 1. Oikea vastaus: C Voitto maksimoidaan, kun MR=MC. Kyseisellä myyntimäärällä Q(m) voittomarginaali yhden tuotteen

Lisätiedot

Kysyntä (D): hyötyfunktiot, hinta, tulot X = X(P,m) Tarjonta (S): tuotantofunktiot, hinta, panoshinta y = y(p,w)

Kysyntä (D): hyötyfunktiot, hinta, tulot X = X(P,m) Tarjonta (S): tuotantofunktiot, hinta, panoshinta y = y(p,w) 4. MARKKINOIDEN TASAPAINOTTUMINEN 4.1. Tasapainoperiaate Kysyntä (D): hyötyfunktiot, hinta, tulot X = X(P,m) Tarjonta (S): tuotantofunktiot, hinta, panoshinta y = y(p,w) Markkinat tasapainossa, kun löydetään

Lisätiedot

Dynaaminen hintakilpailu ja sanattomat sopimukset

Dynaaminen hintakilpailu ja sanattomat sopimukset Dynaaminen hintakilpailu ja sanattomat sopimukset Pasi Virtanen 12.3.2003 Johdanto Hintakilpailu jossa pelaajat kohtaavat toisensa toistuvasti Pelaajien on otettava hintaa valittaessa huomioon hintasodan

Lisätiedot

Luento 9. June 2, Luento 9

Luento 9. June 2, Luento 9 June 2, 2016 Otetaan lähtökohdaksi, että sopimuksilla ei voida kattaa kaikkia kontingensseja/maailmantiloja. Yksi kiinnostava tapaus on sellainen, että jotkut kontingenssit ovat havaittavissa sopimusosapuolille,

Lisätiedot

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä.

A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä. 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. HUUTOKAUPOISTA A. Huutokaupat ovat tärkeitä ainakin kolmesta syystä 1. Valtava määrä taloudellisia transaktioita tapahtuu huutokauppojen välityksellä. 2. Huutokauppapelejä voidaan käyttää taloustieteen

Lisätiedot

Harjoitus 7: vastausvihjeet

Harjoitus 7: vastausvihjeet Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.

Lisätiedot

Informaatio ja Strateginen käyttäytyminen

Informaatio ja Strateginen käyttäytyminen Informaatio ja Strateginen käyttäytyminen Nuutti Kuosa 2.4.2003 Sisältö Johdanto Duopoli ja epätietoisuutta kilpailijan kustannuksista Kilpailijan tietämyksen manipulointi Duopoli ja epätietoisuutta kysynnästä

Lisätiedot

TALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT

TALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT TALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT 1. Suhteellisen edun periaate 1. Maassa A: 1 maito ~ 3 leipää 1 leipä ~ 0,33 maitoa Maassa B: a. b. 3 maitoa ~ 5 leipää 1 maito ~ 1,67 leipää 1 leipä ~ 0,6 maitoa i. Maalla

Lisätiedot

Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C00100 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 2017

Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C00100 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 2017 Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopisto BIZ 31C00100 Assist. Jan Jääskeläinen Syksy 2017 Mallivastaukset 8. 1. Esimerkki 1: Peli on symmetrinen, joten riittää, että tarkastelemme, mikä on tasapaino

Lisätiedot

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla

Lisätiedot

Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit. Mika Viljanen Peliteorian seminaari

Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit. Mika Viljanen Peliteorian seminaari Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit Mika Viljanen Peliteorian seminaari Erityispiirteitä Erityispiirteitä Epätäydellinen tieto aiemmista toiminnoista Erityispiirteitä Epätäydellinen tieto aiemmista toiminnoista

Lisätiedot

4. www-harjoitusten mallivastaukset 2017

4. www-harjoitusten mallivastaukset 2017 TU-91.1001 Kansantaloustieteen perusteet 4. www-harjoitusten mallivastaukset 2017 Tehtävä 1. Oikea vastaus: C Voitto maksimoidaan, kun MR=MC. Kyseisellä myyntimäärällä Q(m) voittomarginaali yhden tuotteen

Lisätiedot

suurtuotannon etujen takia yritys pystyy tuottamaan niin halvalla, että muut eivät pääse markkinoille

suurtuotannon etujen takia yritys pystyy tuottamaan niin halvalla, että muut eivät pääse markkinoille KILPAILUMUODOT Kansantaloustieteen lähtökohta on täydellinen kilpailu. teoreettinen käsitteenä tärkeä Yritykset ovat tuotantoyksiköitä yhdistelevät tuotannontekijöitä o työvoimaa o luonnon varoja o koneita

Lisätiedot

Yleinen tietämys ja Nashin tasapaino

Yleinen tietämys ja Nashin tasapaino Yleinen tietämys ja Nashin tasapaino 24.3.2010 Nashin tasapaino Ratkaisumalli kahden tai useamman pelaajan pelille. Yleisesti: Jos jokainen pelaaja on valinnut strategiansa eikä yksikään pelaaja voi hyötyä

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu

Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Haitallinen valikoituminen: yleinen malli ja sen ratkaisu Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Matias Leppisaari 29.1.2008 Esityksen rakenne Yleinen malli Käypyys ja rajoitusehdot Mallin ratkaisu Kotitehtävä

Lisätiedot

Luento 8. June 3, 2014

Luento 8. June 3, 2014 June 3, 2014 Luokka pelejä, joissa pelaajilla on epätäydellistä informaatiota toistensa preferensseistä ja joissa valinnat tehdään samanaikaisesti. Tämä tarkoittaa, että pelaajat eivät tiedä toistensa

Lisätiedot

Laskuharjoitus 1. Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016

Laskuharjoitus 1. Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016 Laskuharjoitus 1 Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016 Tässä laskusetissä on kymmenen tehtävää (10 pistettä ), yksi per luento (6 Saaran, 4

Lisätiedot

MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI

MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI 1a. Täydellisen kilpailun vallitessa yrityksen A tuotteen markkinahinta on 18 ja kokonaiskustannukset

Lisätiedot

Peliteorian soveltaminen hajautettujen järjestelmien protokollasuunnittelussa (valmiin työn esittely)

Peliteorian soveltaminen hajautettujen järjestelmien protokollasuunnittelussa (valmiin työn esittely) Peliteorian soveltaminen hajautettujen järjestelmien protokollasuunnittelussa (valmiin työn esittely) Riku Hyytiäinen 23.02.2015 Ohjaaja: Harri Ehtamo Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa

Lisätiedot

Monopoli. Tommi Välimäki S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu

Monopoli. Tommi Välimäki S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu Monopoli Tommi Välimäki 29.1.2003 Peruskäsitteitä: kysyntä ja tarjonta Hyödykkeen arvo kuluttajalle on maksimihinta, jonka hän olisi siitä valmis maksamaan Arvon raja-arvo vähenee määrän funktiona, D=MV

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x

Lisätiedot

Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 3, viikko 4

Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 3, viikko 4 Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 3, viikko 4 1. Tarkastellaan pulloja valmistavaa yritystä, jonka päiväkohtainen tuotantofunktio on esitetty alla olevassa taulukossa. L on työntekijöiden

Lisätiedot

https://xlitemprod.pearsoncmg.com/api/v1/print/en-us/econ

https://xlitemprod.pearsoncmg.com/api/v1/print/en-us/econ 06 www4 Page of 5 Student: Date: Instructor: hannele wallenius Course: Kansantaloustieteen perusteet 06 Assignment: 06 www4. Mikä seuraavista alueista vastaa voittoa maksimoivan monopoliyrityksen ylisuuria

Lisätiedot

Rationalisoituvuus ja yleinen tieto rationaalisuudesta

Rationalisoituvuus ja yleinen tieto rationaalisuudesta Rationalisoituvuus ja yleinen tieto rationaalisuudesta Keskeiset termit: Rationalizability rationalisoituvuus ratkaisukonsepti peliteoriassa Rationalizable rationalisoituva Rationality rationaalisuus pelaajat

Lisätiedot

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100 HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat

Lisätiedot

A31C00100 Mikrotaloustiede. Kevät 2017 HARJOITUKSET 6

A31C00100 Mikrotaloustiede. Kevät 2017 HARJOITUKSET 6 A31C00100 Mikrotaloustiede Kevät 2017 HARJOITUKSET 6 1. Monopolin kysyntäkäyrä on P = 11-Q (P on hinta per yksikkö ja Q on mitattu tuhansina yksiköinä). Monopolin vakioinen keskikustannus (AC) on 6. a.

Lisätiedot

Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli

Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Mikko Hyvärinen 29.1.2008 Haitallinen valikoituminen kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen tarkoittaa että päämies

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

2. Uusiutuvat luonnonvarat: Kalastuksen taloustiede

2. Uusiutuvat luonnonvarat: Kalastuksen taloustiede YLE5 / YET-09 Luonnonvarataloustieteen jatkokurssi. Uusiutuvat luonnonvarat: alastuksen taloustiede Marko Lindroos & Maija Holma Uusiutuvat luonnonvarat alastuksen taloustiede: Luentoteemat.1 Johdanto.

Lisätiedot

Paljonko maksat eurosta -peli

Paljonko maksat eurosta -peli Paljonko maksat eurosta -peli - Ajattele todellinen tilanne ja toimi oman näkemyksesi mukaisesti - Tee tarjous eurosta: * Korkein tarjous voittaa euron. * Huonoimman tarjouksen esittäjä joutuu maksamaan

Lisätiedot

YLE 5 Luonnonvarataloustieteen jatkokurssi Kalastuksen taloustiede

YLE 5 Luonnonvarataloustieteen jatkokurssi Kalastuksen taloustiede YLE 5 Luonnonvarataloustieteen jatkokurssi alastuksen taloustiede Marko Lindroos Luentoteemat I Johdanto II SchäferGordon malli III Säätely IV ansainväliset kalastussopimukset SchäferGordon malli Gordon

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

Sekastrategiat ja intensiiviyhteensopivuus

Sekastrategiat ja intensiiviyhteensopivuus Sekastrategiat ja intensiiviyhteensopivuus Petteri Räty 2010-03-14 God does not play dice with the universe Albert Einstein Agenda Intensiiviyhteensopivuuden käsite Yrittää vastata kysymykseen, mitä sekastrategiat

Lisätiedot

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14)

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) 8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14) Markkinat ovat kilpailulliset silloin, kun siellä on niin paljon yrityksiä, että jokainen pitää markkinoilla määräytyvää hintaa omista toimistaan

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi

Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi Helsinki 11.09.2006 Peliteoria Tomi Pasanen HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö

Lisätiedot

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Taloustieteen oppikirja, luku 4) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen

Lisätiedot

I MIKROTALOUSTIEDE LUKU 5 KILPAILUMUODOT

I MIKROTALOUSTIEDE LUKU 5 KILPAILUMUODOT I MIKROTALOUSTIEDE LUKU 5 KILPAILUMUODOT Tehtävä 1! " # $%& ' ( ' % %' ' ) ) * ' + )$$$!," - '$ '' ' )'( % %' ) '%%'$$%$. /" 0 $$ ' )'( % %' +$%$! &" - $ * %%'$$%$$ * '+ ' 1. " - $ ' )'( % %' ' ) ) * '

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

TU Kansantaloustieteen perusteet Syksy www-harjoitusten mallivastaukset

TU Kansantaloustieteen perusteet Syksy www-harjoitusten mallivastaukset TU-91.1001 Kansantaloustieteen perusteet Syksy 2017 5. www-harjoitusten mallivastaukset Tehtävä 1: Tuotteen X kysyntäkäyrä on P = 25-2Q ja tarjontakäyrä vastaavasti P = Q + 10. Mikä on markkinatasapinopiste

Lisätiedot

Mainonta ja laatu tuotteiden erilaistamisessa

Mainonta ja laatu tuotteiden erilaistamisessa Mainonta ja laatu tuotteiden erilaistamisessa Samuel Aulanko Optimointiopin seminaari Kevät 2003 / 1 Sisältö Johdanto Mainonta Tiedollinen ja ohjaileva mainonta Monopolistinen kilpailu Oligopolinen kilpailu

Lisätiedot

Laskuharjoitus 1. Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016

Laskuharjoitus 1. Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016 Laskuharjoitus 1 Markkinoitten mallintaminen ja Internet-markkinat Saara Hämäläinen, Helsingin yliopisto, syksy 2016 Tässä laskusetissä on kahdeksan tehtävää, yksi per luento (5 Saaran, 3 Benin). Katso

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

Johdatus go-peliin. 25. joulukuuta 2011

Johdatus go-peliin. 25. joulukuuta 2011 Johdatus go-peliin 25. joulukuuta 2011 Tämän dokumentin tarkoitus on toimia johdatuksena go-lautapeliin. Lähestymistapamme poikkeaa tavallisista go-johdatuksista, koska tässä dokumentissa neuvotaan ensin

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot 6,

Malliratkaisut Demot 6, Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi

Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi 1 Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi TYÖMARKKINOIDEN toiminta on keskeisessä asemassa tulonjaon ja työllisyyden suhteen. Myös muut tuotannontekijämarkkinat

Lisätiedot

Prof. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen

Prof. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen 1C00100 Mallivastaukset 2. 1. Markkinahinnan aikasarja on esitetty kuvassa 1. Yksittäisten muutosten vaikutukset on kuvattu aikasarjan jälkeen. Hinta 2018 2019 2021 2022 2024 2025 Vuosi Kuva 1: Markkinahinnan

Lisätiedot

Peliteoria luento 3. May 27, Peliteoria luento 3

Peliteoria luento 3. May 27, Peliteoria luento 3 May 27, 2015 Dominanssi Mitkä ovat uskottavia tulemia? Ja miksi? Yksi päätösteoreettinen periaate on dominanssi. Kuten lähes kaikkia taloustieteessä kiinnostavia käsitteitä niitä on kahta lajia. Aito ja

Lisätiedot

Rajatuotto ja -kustannus, L7

Rajatuotto ja -kustannus, L7 ja -kustannus, L7 1 Kun yritys valmistaa tuotetta jaksossa määrän q (kpl/jakso), niin kassaan kertyvä tuotto on R(q) = p q = p(q) q. Esimerkki. Jos kysyntäfunktio on p = 20 0.1q, niin tuotto funktio on

Lisätiedot

Luento 7. June 3, 2014

Luento 7. June 3, 2014 June 3, 2014 Peli, jossa on kaksi Nash-tasapainoa. Yksi tasapaino on (1; 2) ja toinen (2; 1); P1:n valinta on ilmoitettu ensin. Ensimmäinen tasapaino ei vaikuta hyvältä; se perustuu epäuskottavaan uhkaukseen.

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Ympäristöekonomia Kansantaloustiede ja matematiikka

Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Ympäristöekonomia Kansantaloustiede ja matematiikka 1. Selitä mitä tarkoittavat a) M2 b) vaihtoehtoiskustannus. Anna lisäksi esimerkki vaihtoehtoiskustannuksesta. (7 p) Vastaus: a) Lavea raha. (1 p) M1 (Yleisön hallussa olevat lailliset maksuvälineet ja

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Y56 laskuharjoitukset 5 - mallivastaukset

Y56 laskuharjoitukset 5 - mallivastaukset Y56 Keät 010 1 Y56 laskuharjoitukset 5 - malliastaukset Harjoitus 1. Voiton maksimoia tuotannon taso & kiinteät kustannukset Taoitteena on ymmärtää kiinteiden kustannusten aikutus yrityksen tuotantopäätöksiin

Lisätiedot

Viime kerralta Luento 9 Myyjän tulo ja kysynnän hintajousto

Viime kerralta Luento 9 Myyjän tulo ja kysynnän hintajousto Viime kerralta Luento 9 Markkinatasapaino Markkinakysyntä kysyntöjen aggregointi Horisontaalinen summaaminen Eri kuluttajien kysynnät eri hintatasoilla Huom! Kysyntöjen summaaminen käänteiskysyntänä Jousto

Lisätiedot

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

Voitonmaksimointi, L5

Voitonmaksimointi, L5 , L5 Seuraavassa tullaan systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä q = tuotannon määrä (quantity) (kpl/kk) p = tuotteen hinta (price) (e/kpl) R(q) = tuotto (revenue) R(q) = pq MR(q) = rajatuotto

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x

Lisätiedot

Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot

Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot Luvut 20 ja 21 Marita Laukkanen November 3, 2016 Marita Laukkanen Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot November 3, 2016 1 / 17 Kustannusten minimointiongelma

Lisätiedot

(Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2nd ed., ch 15)

(Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2nd ed., ch 15) 12 Monopoli (Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2nd ed., ch 15) Monopoli on tilanne, jossa markkinoilla on vain yksi myyjä, jonka valmistamalle tuotteelle ei ole läheistä substituuttia yritys

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Kommunikaatio Visa Linkiö. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly

Kommunikaatio Visa Linkiö. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly Kommunikaatio MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 2.11.2016 Visa Linkiö The document can be stored and made available to the public on the open internet pages of Aalto University.

Lisätiedot

Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi

Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi 1 Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi TYÖMARKKINOIDEN toiminta on keskeisessä asemassa tulonjaon ja työllisyyden suhteen. Myös muut tuotannontekijämarkkinat

Lisätiedot

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

Peliteoria ja kalatalous YE4

Peliteoria ja kalatalous YE4 Peliteoria ja kalatalous YE4 Kansainväliset kalastussopimukset Tarve kansainväliselle yhteistyölle: Vain kestävillä kansainvälisillä sopimuksilla voidaan taata biologinen ja taloudellinen tehokkuus. Neuvottelujen

Lisätiedot