Ito-prosessit. Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma. S ysteemianalyysin. Laboratorio

Transkriptio

1 Ito-prosessit Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1

2 Ito-prosessit Brownin liikkeen yleistys (Ito prosessi) x(t) : dx = a(x,t)dt+b(x,t)dz dz Wiener-prosessin inkrementti a(x,t) trendikerroin (drift rate), E(dx)=a(x,t)dt b(x,t) 2 varianssikerroin, V(dx)=b(x,t) 2 dt Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 2

3 Geometrinen Brownin liike dx = α x dt + σ x dz α määrää trendin ja σ varianssin Aika (kk) Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 3

4 Geometrinen Brownin liike E[x(t)] = x 0 e α t ja V[x(t)] = x 0 e 2α t (e σ 2 t - 1), eli kasvavat eksponentiaalisesti Esim. x(t) tuotto, tuoton nykyarvon odotusarvo E rt rt [ x( t) e dt] = E[ x( t)] e dt = x0 /( r α 0 0 ) Mallinnetaan mm. arvopapereiden hintoja, korkoja yms. Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 4

5 Keskiarvoon palautuvat prosessit dx =η (x*-x) dt+σ dz (nk. Ornstein-Uhlenbeck prosessi) η kuvaa palautumisnopeutta ja x* normaalitasoa Jos x(0)=x 0 niin E[x(t)]=x*+(x 0 -x*)e -η t V[x(t)]=σ 2 /(2η) (1- e -2η t ) Aika (kk) Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 5

6 Keskiarvoon palautuvat prosessit Ornstein-Uhlenbeck saadaan erään AR(1) prosessin raja-arvona kun t 0 Sovittamalla dataan malli x t -x t-1 =a+bx t +ε t saadaan estimaatit x*:lle η:lle ja σ:lle Yleistyksiä mm. a(x,t)= η x(x*-x) ja/tai b(x,t)= σ x Mallinnetaan mm. raaka-aineiden hintoja Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 6

7 Pohdintoja Millä prosessilla mallintaa ilmiöitä esim. raakaaineiden hintoja? Mallin estimointi tilastollisilla testaamalla (unit root tests) ongelmana datan vähyys Muut kriteerit mallin valinnassa intuitio ja teoreettiset argumentit helppokäyttöisyys (geometrinen Brownin liike) Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 7

8 Iton lemma Olkoon x(t) Ito-prosessi ja funktio F(x,t) kahdesti differentioituva Mikä on F:n differentiaali? Vastaus Iton lemma: df=f t dt +F x dx +1/2 F xx (dx) 2 Voidaan differentioida ja integroida Ito-prosessien funktioita! Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 8

9 Iton lemma Esim. optio kuparikaivokseen investoimiseen option arvo riippuu kuparin hinnasta, joka noudattaa Ito-prosessia Iton lemmalla saadaan stokastinen prosessi option arvolle Lemma yleistyy myös funktioille, jotka riippuvat useista Ito-prosesseista, F(x 1,...,x m, t), dx i =a i (x 1,...,x m )dt+b i (x 1,...,x m )dz i df = Ft dt + Fx dxi + 1/ 2 F dx dx i i i j i j x x i j Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 9

10 Iton lemma Intuitiivinen perustelu Taylorin kehitelmällä: df=f t dt +F x dx +1/2 F xx (dx) 2 +1/6 F xxx (dx) (dx) 2 = b(x,t) 2 dt + dt:n korkeampia potensseja siis kehitelmän kolmas termi on huomioitava df=[f t dt+a(x,t) F x +1/2 b(x,t) 2 F xx ]dt+b(x,t) F x dz Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 10

11 Geometrinen Brownin liike (jatkoa) x noudattaa geom. Brownin liikettä Millaista prosessia F(x,t)=log(x) noudattaa? Nyt F t = 0, F x =1/x ja F xx =-1/x 2 Iton lemma df=1/x dx - 1/(2 x 2 ) (dx) 2 = (α -1/2 σ 2 )dt+σ dz, eli kyseessä on Brownin liike (trendillä) Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 11

12 Esimerkki x(t) geom. Brownin liike, F(x)=x θ, lasketaan F:n nykyarvon odotusarvo, eli Iton lemma => df = α Fdt+σ Fdz, missä α = (θα +1/2 θ(1-θ)σ 2 ) ja σ = θσ, saadaan E E[ 0 F( x( t)) e dt] rt rt θ [ F( x( t)) e dt] = E[ F( x( t))] e dt = x0 /( r α 0 0 rt *) Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 12

13 Kotitehtävä x (t) ja y(t) noudattavat geometrista Brownin liikettä: dx=α x xdt+σ x xdz x, dy=α y ydt+σ y ydz y ja E[dz x dz y ]=ρdt F(x,y)=log(x,y), laske df Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 13