Mat Investointiteoria Laskuharjoitus 4/2008, Ratkaisut

Transkriptio

1 Projektien valintapäätöksiä voidaan pyrkiä tekemään esimerkiksi hyöty-kustannus-suhteen (so. tuottojen nykyarvo per kustannusten nykyarvo) tai nettonykyarvon (so. tuottojen nykyarvo - kustannusten nykyarvo) perusteella. Hyöty-kustannus-suhteen perusteella yksittäinen projekti kannattaa toteuttaa mikäli hyötykustannus-suhde > 1 eli ts. tuottojen nykyarvo on suurempi kuin kustannusten nykyarvo. Vastaavasti nettonykyarvon perusteella yksittäinen projekti kannattaa toteuttaa mikäli NPV > 1 eli ts. tuottojen nykyarvo on suurempi kuin kustannusten nykyarvo. Mikäli mahdollisia projekteja on useampia järjestetään projektit hyöty-kustannus-suhteen tai nettonykyarvon perusteella ja valitaan parhaimmat siten, että budjetti ei ylity. Tasatilanteissa ei ole selkeätä ratkaisua kumpi projekteista on parempi mikäli käytettävissä ei ole lisäinformaatiota. Mikäli projekteista saatava arvo on rahassa mitattava voidaan projektien valintaongelma formuloida muotoon max s.e m i=1 a ix i x i {, 1}, i = 1,..., m x X F, missä a i on projektista i saatava rahamäärä, x = [x 1 x 2... x m ] kuvastaa projekteista muodostettavaa portfoliota siten, että x i = 1, jos projekti i toteutetaan ja x i =, jos projektia i ei toteuteta. X F on ns. käypien portfolioiden joukko, joka voi koostua esimerkiksi resurssirajoituksista tai projektien välisiä riippuvuussuhteita kuvastavista rajoituksista. Riippuvuussuhteet saattavat vaikuttaa myös projekteista saataviin rahamääriin, jolloin kohdefunktion muotoa joudutaan muuttamaan. Jos käytettävissä on esimerkiksi rahaa yhteensä C euroa ja projekti i vaatii toteutettaessa c i euroa voidaan rajoitusehdoksi asettaa m i=1 c ix i C. Jos taas projektit i ja j ovat toisensa poissulkevia (so. molempia ei voi toteuttaa yhtäaikaa) voidaan asettaa rajoitusehto x i + x j 1. Rajoitusehtojen avulla voidaan myös formuloida useassa erässä tapahtuvia maksuja. Yrityksen arvoksi voidaan määrittää tulevien osinkojen nykyarvo (so. osinkovirran nykyarvo). Tehtävässä 4 johdetaan kaavat yrityksen arvon määrittämiseksi ns. kaksivaiheisen kasvun mallissa.

2 1. (L5.1) Yritys harkitsee vaihtoehtoisten projektien rahoittamista. Kunkin projektin arvioitu investointikustannus ja odotettujen tuottojen nykyarvo on annettu taulukossa 1. Käytettävissä oleva budjetti on 6 euroa. Mitkä projektit tulevat valituksi kustannus-hyöty-suhteen perusteella? Entä nykyarvon perusteella? Ratkaisu: Määritellään kustannus-hyötysuhteeksi φ = Taulukko 1: Tehtävän 1 projektit. Investointikustannus Tuottojen nykyarvo Projekti (1 euroa) (1 euroa) Tuottojen nykyarvo Investointikustannus ja järjestetään projektit φ:n perusteella. Nykyarvon perusteella valinta tehdään laskemalla nettonykyarvo NPV=TUOTTOJEN NYKYARVO - INVESTOINTIKUSTANNUS (investointikustannus=investointikustannusten nykyarvo). Molemmissa menetelmässä projektit valitaa sijajärjestyksessä kunnes budjetti tulee täyteen. Taulukko 2: Tehtävän 1 projektit järjestettynä φ:n perusteella. Investointikustannus Tuottojen nykyarvo φ Projekti (1 euroa) (1 euroa) Hyöty-kustannus-suhteen perusteella valitaan siis projektit 1,2 ja 5, jolloin kokonaiskustannuksista tulee 55 < 6 euroa ja nettonykyarvo NPV=4 euroa. Nykyarvon perusteella valitaan projektit 1,2 ja 3 (kokonaiskustannus 6 ) tai projektit 1,2 ja 5 (kokonaiskustannus 55. Molempien nettonykyarvo NPV=4. On kuitenkin huomioitava, että valittaessa projektit 1,2 ja 5 projektien 1,2 ja 3 asemesta jää 5 euroa budjetista käytettäväksi, joka voitaisiin investoida joihinkin muihin projekteihin.

3 Taulukko 3: Tehtävän 1 projektit järjestettynä NPV:n perusteella. Investointikustannus Tuottojen nykyarvo NPV Projekti (1 euroa) (1 euroa) (1 euroa) (L5.3) Yrityksellä on seitsemän lupaavaa projektia. Taulukossa 4 on esitetty projektien kahden ensimmäisen vuoden kassavirrat, jotka ovat kaikki negatiivisia. Loppuvuosien kassavirrat ovat positiivisia, ja niiden nykyarvo on taulukon viimeisessä sarakkeessa. Yrityksen johto on päättänyt budjetoida kahdelle ensimmäiselle vuodelle yhteensä 25 euroa. Mikäli ensimmäisenä vuotena käytetään alle 25 euroa, voidaan jäljelle jäävä erä investoida vuodeksi 1% korolla. Mitkä projektit tulisi valita? Formuloi ongelma optimointitehtävänä. Ratkaisu: Taulukko 4: Tehtävän 2 projektit. Kassavirta (1 euroa) Projekti 1 2 Nykyarvo (3 ) Lasketaan ensin projektien nettonykyarvot 1% korkokannalla: Projekti 1 2 Loput (nykyarvo) NPV (1 euroa) Määritetään binäärimuuttujat x i, i = 1,..., 7 siten, että x i = 1, jos projekti i valitaan ja x i =, jos projektia i ei valita.

4 Formuloidaan optimointitehtävä siten, että kohdefunktiona on 7 f(x, NP V ) = x i NP V (i) = 2.25x x x x x x x 7, missä i=1 NP V (i) on projektin i nettonykyarvo. Alle 25 euron investointi otetaan tehtävään mukaan rajoitusehdoissa ei-negatiivisina yli-/ ja alijäämämuuttujina. Ajatellaan kertoimia tuhansina euroina ja saadaan optimointitehtäväksi: max f(x, NP V ) x 25 9x 1 8x 2 5x 3 2x 4 4x 5 8x 6 8x 7 s + 1 = 1.1s x 1 8x 2 1x 3 64x 4 5x 5 2x 6 1x 7 s + 2 = x i {, 1} i = 1,..., 7 s + 1, s+ 2 Tehtävässä s + 1 on siis se rahamäärä, joka jää jäljelle 25 eurosta ja joka voidaan invetoida vuodeksi 1% korolla. s + 2 puolestaan on se rahamäärä, joka budjetista jää loppujen lopuksi käyttämättä. Tehtävä voidaan ratkaista esim. Excelin solverilla ja ratkaisuksi saadaan x 4 = x 7 = 1, x 1 = x 2 = x 3 = x 5 = x 6 =, s + 1 = 15 ja s+ 2 = 1. Toisin sanoen valitaan projektit 4 ja 7.

5 3. Kassavirtojen täsmäämisongelmassa etsitään portfoliota, jonka kassavirrat kattavat sitoumusten kassavirrat kunakin vuonna. Tämä ongelma voidaan esittää matriisimuodossa. Olkoon joukkovelkakirjoja m kappaletta ja aikahorisontti n vuotta. Joukkovelkakirjan j vuosittaisia kassavirtoja voidaan kuvata (n-ulotteisella) pystyvektorilla c j. Vuosittaiset sitoumukset voidaan vastaavasti esittää (n-ulotteisena) pystyvektorina b. Kun vektorit c j asetetaan vierekkäin, ne muodostavat joukkovelkakirjamatriisin C. Olkoon lisäksi p joukkovelkakirjojen hinnat sisältävä (m-ulotteinen) pystyvektori ja x joukkovelkakirjojen määrää portfoliossa esittävä (m-ulotteinen) pystyvektori. Näillä merkinnöillä kassavirtojen täsmäämisongelma voidaan esitää seuraavasti: min s.e. p T x Cx b x. a) Taulukossa 6 on kuvattu eräs kassavirran täsmäämisongelma. Määritä tästä C, b, p ja x. b) Jos joukkovelkakirjat on hinnoiteltu tavallisen korkokäyrän mukaan, niin silloin hintavektori p muodostuu yhtälön C T v = p mukaisesti, missä v on diskonttokertoimet sisältävä pystyvektori. Jos portfolio x täsmää sitoumuksiin, niin tällöin pätee Cx = b. Osoita, että portfolion x hinta p T x on v T b ja tulkitse tämä. c) Yllä oleva optimointitehtävä pyrkii valitsemaan sellaiset joukkovelkakirjat, joiden kassavirrat kattavat sitoumukset kaikkina vuosina. Ellei kassavirtoja saada täsmäämään täysin, on tuloksena portfolio, jonka nykyarvo on suurempi kuin sitoumusten nykyarvo. Kuinka tämä lähestymistapa eroaa portfolion immunisoinnissa käytetystä ajattelumallista? Mitä portfolion immunisoinnissa sovellettuja tekijöitä yllä olevassa optimointitehtävässä on jätetty huomiotta? Kumpi on parempi lähestymistapa? Taulukko 5: Joukkovelkakirjat tehtävään 3. Joukkovelkakirjat Vuosi Sit. Tod p x Hinta

6 Ratkaisu: a) Taulukosta voidaan lukea (kts. excel): C = b = p = x =

7 b) Tehtävänannosta C T v = p ja Cx = b, missä v:n alkiot ovat muotoa [v] k = 1 1+s k k Koska (AB) T = B T A T niin saadaan C T v = p p T = v T C. Portfolion hinnaksi saadaan: p T x = v T Cx = v T b m.o.t. Tulkinta: Portfolion hinta vastaa portfolion nykyarvoa niin kuin pitääkin, koska portfolion ja sitoumusten kassavirrat ovat täsmälleen samat. c) Tässä portfolion kassavirtojen ei tarvitse samalla tavalla kattaa sitoumusten kassavirtoja kuten immunisoinnissa, jossa täsmätään portfolion ja sitoumusten nykyarvot sekä ensimmäiset derivaatat. Immunisoinnissa oletetaan, että osan portfolioista voidaan myydä pois silloin, kun rahalle on tarvetta. Tässä lähestymistavassa unohdetaan myöskin se, että rahaa voidaan säästää periodilta toiselle, jolloin kaikkia sitoumuksia ei ole aina järkevä kattaa samana periodina saatavilla kassavirroilla. Tällä mallilla voitaisiin huomioida ylijäämien siirtymiset esimerkiksi ns. keinotekoisilla joukkovelkakirjoilla.

8 4. Finanssi-instrumenttien hinnoittelussa perusosinkomallia usein laajennetaan ottamalla huomioon enemmän kuin yksi kasvuvaihe osingonmaksussa. Tarkastellaan Nokia Oyj:tä, joka jakoi osinkoina noin 1439 miljoonaa euroa vuodelta 23 (noin 7% enemmän kuin vuonna 22). Oletetaan kuitenkin, että osinkotuotto kasvaisi vuoden 23 tasosta 3% vuosittain tuota seuraavina viitenä vuotena (24-28) ja 5% joka vuosi sen jälkeen. a) Muodosta yleinen kaava yrityksen arvolle kaksivaiheisen kasvun mallissa. Kasvunopeus on G ensimmäiset k vuotta ja g sen jälkeen. Ensimmäinen maksettava osinko on D, ja se maksetaan välittömästi. b) Mikä on Nokia Oyj:n markkina-arvo vuonna 23, jos se lasketaan yksinomaan osinkotuoton perusteella 1% diskonttokorolla? Oleta, että ensimmäinen osinko maksetaan välittömästi. Ratkaisu: a) Kasvunopeus on G ensimmäiset k vuotta eli ts. 1+osinkojen kasvuprosentti. Osinkoina jaettiin noin D = 1439 miljoonaa euroa vuodelta 23. Olkoon diskonttokorko r jolloin saadaan ensimmäiseltä k:lta vuodelta osinkovirran nykyarvoksi P V 1 = D + D G 1+r + + D G k (1+r) k (1) Ensimmäisten k vuoden jälkeen kasvunopeus on g, joten vuosien k + 1, k + 2,... osinkovirran nykyarvoksi saadaan P V 2 = D G k g (1+r) k 1+r + D G k g 2 + (2) (1+r) k (1+r) 2 Yhdistämällä (1) ja (2) saadaan koko osinkovirran nykyarvoksi (so. yrityksen arvo) P V = D + D G 1+r + + D G k (1 + g (1+r) k 1+r + g2 + ) (1+r) 2 Ääretön geometrinen summa ( q 1 < 1): S(q 1 ) = a 1 q1 i S(q 1 ) qs(q 1 ) = (1 q 1 )S(q 1 ) = a 1 S(q 1 ) = a 1. 1 q 1 i= Äärellinen geometrinen summa ( q 2 < 1): n 1 S(q 2, k 1) = a 2 q2 i = a 2 q2 i a 2 q2 i = i= i= i=k a 2 q2 i q2 k i= a 2 q2 i = a 2 q k a 2 2 = a 2 ( 1 qk 2 ) 1 q 2 1 q 2 1 q 2 i=

9 Nyt a 2 = D, q 2 = G 1+r, a G 1 = D k 1+r ja q 1 = g 1+r ja yrityksen arvoksi saadaan P V = D ( 1 G k (1+r) k 1 G 1+r ) + D G k 1+r 1 g 1+r b) Sijoitetaan a-kohdan johdettuun kaavaan lukuarvot G = 1.3, g = 1.5, r =.1, D = 1439, k = 5 ja saadaan markkina-arvoksi miljoonaa euroa.