Jaollisuus kymmenjärjestelmässä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Jaollisuus kymmenjärjestelmässä"

Transkriptio

1 Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Lauseen 4.5 mukaan jokaiselle n N on yksikäsitteiset kokonaisluvut s 0 ja a 0, a 1,..., a s, joille n = a s 10 s + a s 1 10 s a a 0 = a s a a 1... a 0, (1) 0 a i 9 kaikilla i = 0, 1,..., s ja a s > 0. Jaollisuussäännöt luvuille 2, 5 ja 10 saadaan kaavasta (1) Jaollisuuslauseen 1.2. avulla. Muista, että jos n a ja n b, niin n (ka + lb) kaikilla k, l Z.

2 Jaollisuus kymmenjärjestelmässä Lauseen 4.5 mukaan jokaiselle n N on yksikäsitteiset kokonaisluvut s 0 ja a 0, a 1,..., a s, joille n = a s 10 s + a s 1 10 s a a 0 = a s a a 1... a 0, (1) 0 a i 9 kaikilla i = 0, 1,..., s ja a s > 0. Jaollisuussäännöt luvuille 2, 5 ja 10 saadaan kaavasta (1) Jaollisuuslauseen 1.2. avulla. Muista, että jos n a ja n b, niin n (ka + lb) kaikilla k, l Z.

3 1. jaollisuuslause Lause (1. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen 1 luvulla 2 (eli parillinen) jos ja vain jos a 0 on jaollinen luvulla 2 eli jos ja vain jos a 0 {0, 2, 4, 6, 8}, 2 luvulla 5 jos ja vain jos a 0 = 0 tai a 0 = 5, 3 luvulla 10 jos ja vain jos a 0 = 0. Todistus. Lause 1.2 (3).

4 1. jaollisuuslause Esimerkki Luku 1035 = on jaollinen luvulla 5 ei ole jaollinen luvulla 2 eikä luvulla 10. Luku = on jaollinen luvulla 2 ei ole jaollinen luvulla 5 eikä luvulla 10.

5 1. jaollisuuslause Esimerkki Luku 1035 = on jaollinen luvulla 5 ei ole jaollinen luvulla 2 eikä luvulla 10. Luku = on jaollinen luvulla 2 ei ole jaollinen luvulla 5 eikä luvulla 10.

6 1. jaollisuuslause Esimerkki Luku 1035 = on jaollinen luvulla 5 ei ole jaollinen luvulla 2 eikä luvulla 10. Luku = on jaollinen luvulla 2 ei ole jaollinen luvulla 5 eikä luvulla 10.

7 1. jaollisuuslause Esimerkki Luku 1035 = on jaollinen luvulla 5 ei ole jaollinen luvulla 2 eikä luvulla 10. Luku = on jaollinen luvulla 2 ei ole jaollinen luvulla 5 eikä luvulla 10.

8 1. jaollisuuslause Esimerkki Luku 1035 = on jaollinen luvulla 5 ei ole jaollinen luvulla 2 eikä luvulla 10. Luku = on jaollinen luvulla 2 ei ole jaollinen luvulla 5 eikä luvulla 10.

9 1. jaollisuuslause Esimerkki Luku 1035 = on jaollinen luvulla 5 ei ole jaollinen luvulla 2 eikä luvulla 10. Luku = on jaollinen luvulla 2 ei ole jaollinen luvulla 5 eikä luvulla 10.

10 Lohkaisuperiaate Onko luku n N jaollinen luvulla t N? Etsitään luvut k, l N, jolle n = l + k ja t l. (2) Lukua l sanotaan lohkaisutermiksi ja lukua k kriittiseksi termiksi. Jaollisuuslauseen 1.2. perusteella n on jaollinen luvulla t jos ja vain jos t k. Käyttökelpoinen esimerkiksi silloin, kun t on jonkin kymmenen potenssin 10, 100, 1000,... tekijä.

11 Lohkaisuperiaate Onko luku n N jaollinen luvulla t N? Etsitään luvut k, l N, jolle n = l + k ja t l. (2) Lukua l sanotaan lohkaisutermiksi ja lukua k kriittiseksi termiksi. Jaollisuuslauseen 1.2. perusteella n on jaollinen luvulla t jos ja vain jos t k. Käyttökelpoinen esimerkiksi silloin, kun t on jonkin kymmenen potenssin 10, 100, 1000,... tekijä.

12 Lohkaisuperiaate Onko luku n N jaollinen luvulla t N? Etsitään luvut k, l N, jolle n = l + k ja t l. (2) Lukua l sanotaan lohkaisutermiksi ja lukua k kriittiseksi termiksi. Jaollisuuslauseen 1.2. perusteella n on jaollinen luvulla t jos ja vain jos t k. Käyttökelpoinen esimerkiksi silloin, kun t on jonkin kymmenen potenssin 10, 100, 1000,... tekijä.

13 Lohkaisuperiaate Onko luku n N jaollinen luvulla t N? Etsitään luvut k, l N, jolle n = l + k ja t l. (2) Lukua l sanotaan lohkaisutermiksi ja lukua k kriittiseksi termiksi. Jaollisuuslauseen 1.2. perusteella n on jaollinen luvulla t jos ja vain jos t k. Käyttökelpoinen esimerkiksi silloin, kun t on jonkin kymmenen potenssin 10, 100, 1000,... tekijä.

14 2. jaollisuuslause Lause (2. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 4 jos ja vain jos luku a 1 a 0 on jaollinen luvulla 4. Todistus ja Lause 1.2 (3). Esimerkki Luvut 324 ja 2008 ovat jaollisia luvulla 4. Luvut 941 ja 2011 eivät ole jaollisia luvulla 4.

15 2. jaollisuuslause Lause (2. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 4 jos ja vain jos luku a 1 a 0 on jaollinen luvulla 4. Todistus ja Lause 1.2 (3). Esimerkki Luvut 324 ja 2008 ovat jaollisia luvulla 4. Luvut 941 ja 2011 eivät ole jaollisia luvulla 4.

16 3. ja 4. jaollisuuslause Lause (3. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 50 jos ja vain jos a 1 = 0 ja a 0 = 0 tai a 1 a 0 = 50. Luku n on jaollinen luvulla 25 jos ja vain jos a 1 = 0 ja a 0 = 0 tai a 1 a 0 {25, 50, 75}. Lause (4. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 8 jos ja vain jos luku a 2 a 1 a 0 on jaollinen luvulla 8.

17 3. ja 4. jaollisuuslause Lause (3. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 50 jos ja vain jos a 1 = 0 ja a 0 = 0 tai a 1 a 0 = 50. Luku n on jaollinen luvulla 25 jos ja vain jos a 1 = 0 ja a 0 = 0 tai a 1 a 0 {25, 50, 75}. Lause (4. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 8 jos ja vain jos luku a 2 a 1 a 0 on jaollinen luvulla 8.

18 Esimerkki Luvut ja 2300 ovat jaollisia sekä luvulla 50 että luvulla 25. Luku 1205 ei ole jaollinen luvulla 25 eikä luvulla 50. Luvut 4032 ja 1160 ovat jaollisia luvulla 8, mutta Onko lukujen ja summa jaollinen luvulla 8? Riittää tarkastella summan kolmea viimeistä numeroa eli lukua = 160. Koska 160 = 20 8, niin 8 ( ).

19 Esimerkki Luvut ja 2300 ovat jaollisia sekä luvulla 50 että luvulla 25. Luku 1205 ei ole jaollinen luvulla 25 eikä luvulla 50. Luvut 4032 ja 1160 ovat jaollisia luvulla 8, mutta Onko lukujen ja summa jaollinen luvulla 8? Riittää tarkastella summan kolmea viimeistä numeroa eli lukua = 160. Koska 160 = 20 8, niin 8 ( ).

20 Esimerkki Luvut ja 2300 ovat jaollisia sekä luvulla 50 että luvulla 25. Luku 1205 ei ole jaollinen luvulla 25 eikä luvulla 50. Luvut 4032 ja 1160 ovat jaollisia luvulla 8, mutta Onko lukujen ja summa jaollinen luvulla 8? Riittää tarkastella summan kolmea viimeistä numeroa eli lukua = 160. Koska 160 = 20 8, niin 8 ( ).

21 Esimerkki Luvut ja 2300 ovat jaollisia sekä luvulla 50 että luvulla 25. Luku 1205 ei ole jaollinen luvulla 25 eikä luvulla 50. Luvut 4032 ja 1160 ovat jaollisia luvulla 8, mutta Onko lukujen ja summa jaollinen luvulla 8? Riittää tarkastella summan kolmea viimeistä numeroa eli lukua = 160. Koska 160 = 20 8, niin 8 ( ).

22 5. jaollisuuslause Entäpä jaollisuus luvuilla 3 ja 9? Lohkaisutermi saadaan kolmella ja yhdeksällä jaollisten lukujen 9 = 10 1, 99 = 100 1, 999 = ,... avulla, esimerkiksi 2481 = 2( ) + 4(99 + 1) + 8(9 + 1) + 1 = ( ) + ( ) = ( ) Koska 3 15 ja 9 15, niin 2481 on jaollinen luvulla 3 mutta ei luvulla 9.

23 5. jaollisuuslause Entäpä jaollisuus luvuilla 3 ja 9? Lohkaisutermi saadaan kolmella ja yhdeksällä jaollisten lukujen 9 = 10 1, 99 = 100 1, 999 = ,... avulla, esimerkiksi 2481 = 2( ) + 4(99 + 1) + 8(9 + 1) + 1 = ( ) + ( ) = ( ) Koska 3 15 ja 9 15, niin 2481 on jaollinen luvulla 3 mutta ei luvulla 9.

24 5. jaollisuuslause Jos lohkaisutermiksi valitaan luvuilla 3 ja 9 jaollinen summa a s (10 s 1) + + a 1 9, niin kriittinen termi on luvun n = a s a s 1... a 0 = a s (10 s 1 + 1) + + a 1 (9 + 1) + a 0, numerosumma a s + a s a 0.

25 5. jaollisuuslause Jos lohkaisutermiksi valitaan luvuilla 3 ja 9 jaollinen summa a s (10 s 1) + + a 1 9, niin kriittinen termi on luvun n = a s a s 1... a 0 = a s (10 s 1 + 1) + + a 1 (9 + 1) + a 0, numerosumma a s + a s a 0.

26 5. jaollisuuslause Lause (5. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 3 (9) jos ja vain jos sen numerosumma on jaollinen luvulla 3 (9). Esimerkki Luvun 3006 numerosumma on = 9, joten 3006 on jaollinen luvuilla 3 ja 9 Luvun numerosumma = 15 on jaollinen luvulla 3, mutta ei luvulla 9. Siten ja

27 5. jaollisuuslause Lause (5. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 3 (9) jos ja vain jos sen numerosumma on jaollinen luvulla 3 (9). Esimerkki Luvun 3006 numerosumma on = 9, joten 3006 on jaollinen luvuilla 3 ja 9 Luvun numerosumma = 15 on jaollinen luvulla 3, mutta ei luvulla 9. Siten ja

28 6. jaollisuuslause Entäpä jaollisuus luvulla 11? Lohkaisutermi saadaan luvulla 11 jaollisten lukujen 11 = , 99 = 100 1, 1001 = ,... avulla, esimerkiksi 2849 = 2 (1001 1) + 8 (99 + 1) + 4 (11 1) + 9 = ( ) + ( ) = ( ) + 11 Koska 11 11, niin 2849 on jaollinen luvulla 11.

29 6. jaollisuuslause Entäpä jaollisuus luvulla 11? Lohkaisutermi saadaan luvulla 11 jaollisten lukujen 11 = , 99 = 100 1, 1001 = ,... avulla, esimerkiksi 2849 = 2 (1001 1) + 8 (99 + 1) + 4 (11 1) + 9 = ( ) + ( ) = ( ) + 11 Koska 11 11, niin 2849 on jaollinen luvulla 11.

30 6. jaollisuuslause Kun a, b Z ja m N, niin a m b m = (a b)(a m 1 + a m 2 b + + ab m 2 + b m 1 ). Valitsemalla a = 10 ja b = 1, nähdään, että luku on jaollinen luvulla m ( 1) m Koska ( 1) m = 1 parittomilla m ja ( 1) m = 1 parillisilla m, niin luvut ovat jaollisia luvulla m + 1, kun m on pariton 10 m 1, kun m on parillinen

31 6. jaollisuuslause Kun a, b Z ja m N, niin a m b m = (a b)(a m 1 + a m 2 b + + ab m 2 + b m 1 ). Valitsemalla a = 10 ja b = 1, nähdään, että luku on jaollinen luvulla m ( 1) m Koska ( 1) m = 1 parittomilla m ja ( 1) m = 1 parillisilla m, niin luvut ovat jaollisia luvulla m + 1, kun m on pariton 10 m 1, kun m on parillinen

32 6. jaollisuuslause Kun a, b Z ja m N, niin a m b m = (a b)(a m 1 + a m 2 b + + ab m 2 + b m 1 ). Valitsemalla a = 10 ja b = 1, nähdään, että luku on jaollinen luvulla m ( 1) m Koska ( 1) m = 1 parittomilla m ja ( 1) m = 1 parillisilla m, niin luvut ovat jaollisia luvulla m + 1, kun m on pariton 10 m 1, kun m on parillinen

33 6. jaollisuuslause Jos lohkaisutermiksi valitaan luvulla 11 jaollinen summa niin kriittinen termi on luvun a s (10 s ( 1) s ) + + a a 1 11, n = a s (10 s ( 1) s +( 1) s )+ +(99+1)a 2 +a 1 (11 1)+a 0, vuorotteleva numerosumma a 0 a 1 + a 2 + ( 1) s a s. Huomaa, että vuorottelevan numerosumman laskeminen kannattaa aloittaa termistä a 0!

34 6. jaollisuuslause Jos lohkaisutermiksi valitaan luvulla 11 jaollinen summa niin kriittinen termi on luvun a s (10 s ( 1) s ) + + a a 1 11, n = a s (10 s ( 1) s +( 1) s )+ +(99+1)a 2 +a 1 (11 1)+a 0, vuorotteleva numerosumma a 0 a 1 + a 2 + ( 1) s a s. Huomaa, että vuorottelevan numerosumman laskeminen kannattaa aloittaa termistä a 0!

35 6. jaollisuuslause Jos lohkaisutermiksi valitaan luvulla 11 jaollinen summa niin kriittinen termi on luvun a s (10 s ( 1) s ) + + a a 1 11, n = a s (10 s ( 1) s +( 1) s )+ +(99+1)a 2 +a 1 (11 1)+a 0, vuorotteleva numerosumma a 0 a 1 + a 2 + ( 1) s a s. Huomaa, että vuorottelevan numerosumman laskeminen kannattaa aloittaa termistä a 0!

36 6. jaollisuuslause Lause (6. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 11 jos ja vain jos sen vuorotteleva numerosumma on jaollinen luvulla 11. Esimerkki sillä vuorotteleva numerosumma = 2 ei ole jaollinen luvulla sillä vuorotteleva numerosumma = 22 on jaollinen luvulla 11.

37 6. jaollisuuslause Lause (6. jaollisuuslause) Olkoon n N. Luku n on jaollinen luvulla 11 jos ja vain jos sen vuorotteleva numerosumma on jaollinen luvulla 11. Esimerkki sillä vuorotteleva numerosumma = 2 ei ole jaollinen luvulla sillä vuorotteleva numerosumma = 22 on jaollinen luvulla 11.

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET. 1. Luonnolliset luvut. N = {1, 2, 3,... } luonnolliset luvut Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } kokonaisluvut

LUKUTEORIAN ALKEET. 1. Luonnolliset luvut. N = {1, 2, 3,... } luonnolliset luvut Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } kokonaisluvut LUKUTEORIAN ALKEET Alkusanat Tässä on Heli Tuomisen luentomonisteeseen perustuvat muistiinpanot kevään 2013 Lukuteorian alkeet -kurssista. Kurssi on suunnattu erityisesti aineenopettajiksi opiskeleville

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET KL 2007

LUKUTEORIAN ALKEET KL 2007 LUKUTEORIAN ALKEET KL 2007 HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 5 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

Kongruenssin sovelluksia

Kongruenssin sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Filosofian maisterin tutkielma Tiina Vuorimaa Kongruenssin sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Toukokuu 006 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

ALKULUVUISTA (mod 6)

ALKULUVUISTA (mod 6) Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9) 1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)

Lisätiedot

41 s. Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides Euler teoreema,

41 s. Neljännessä luvussa käsitellään erikseen parillisia täydellisiä lukuja. Luvussa osoitetaan Eukleides Euler teoreema, Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis luonnontieteellinen tiedekunta Tekijä/Författare Author Katja Niemistö Työn nimi / Arbetets titel Title Täydelliset luvut Oppiaine /Läroämne Subject

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Kontraharmonisesta keskiarvosta ja Pythagoraan luvuista

Kontraharmonisesta keskiarvosta ja Pythagoraan luvuista J Pahikkala Kontraharmonisesta keskiarvosta ja Pythagoraan luvuista Erilaisia lukujen keskiarvoja on useita tunnetuimmat ovat tavallinen eli aritmeettinen keskiarvo ja keskiverto eli geometrinen keskiarvo

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä Anne-Maria Ernvall-Hytönen 14. tammikuuta 2011 Sisältö 1 Jaollisuus, alkuluvut, ynnä muut perustavanlaatuiset asiat 2 1.1 Lukujen tekijöiden

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa) Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät 6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma:

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5 Kerta 2 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: 2. Tulosta Pythonilla seuraavat luvut allekkain a. 0 10 (eli, näyttää tältä: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b. 0 100 c. 50 100 3.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus: Diofantoksen yht al oit a

Matematiikan olympiavalmennus: Diofantoksen yht al oit a Matematiikan olympiavalmennus: Diofantoksen yht al oit a Heikki M antysaari 25. helmikuuta 2007 V ah an teoriaa Diofantoksen yht al o: tuntemattomia enemm an kuin yht al oit a. Lukiossa esim. 4x + 8y =

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 42. Luvuista keskimmäinen on a) 13 b) 14 c) 15 d) 16. Ratkaisu. Jos luvut

Lisätiedot

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 %% % 1.11.!#"$ 2011 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 2. Oheinen kuvio muodostuu yhdeksästä neliöstä, joista jokaisen

Lisätiedot

LUONNOLLISTEN LUKUJEN JAOLLISUUS

LUONNOLLISTEN LUKUJEN JAOLLISUUS Luonnollisten lukujen jaollisuus 0 Calculus Lukion Täydentävä aineisto Alkuluv,,,,,,,..., ut 11 1 1 1 411609 -, 4 6 8 9 10 11 1 1 14 1 16 1 18 19 0 1 4 6 8 9 0 1 4 6 8 9 40 41 4 4 44 4 46 4 48 49 0 1 4

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

2 j =

2 j = 1. Modulaariaritmetiikkaa Yksinkertaisissa salausjärjestelmissä käytettävä matematiikka on paljolti lukuteoriaan pohjautuvaa suurten lukujen modulaariaritmetiikkaa (lasketaan kokonaisluvuilla modulo n).

Lisätiedot

LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille. Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016

LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille. Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016 LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016 Lukujonot Tarvikkeet: siniset ja vihreät lukukortit Toteutus: yksin, pareittain,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. 3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 205 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa

Lisätiedot

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja! Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Luonnolliset vs. muodolliset kielet

Luonnolliset vs. muodolliset kielet Luonnolliset vs. muodolliset kielet Luonnollisia kieliä ovat esim. 1. englanti, 2. suomi, 3. ranska. Muodollisia kieliä ovat esim. 1. lauselogiikan kieli (ilmaisut p, p q jne.), 2. C++, FORTRAN, 3. bittijonokokoelma

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen

Lyhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan. Esa V. Vesalainen yhyt johdatus alkeelliseen lukuteoriaan Esa V. Vesalainen Sisällysluettelo 1 Aritmetiikan peruslause 0 Jakoyhtälö.................................. 0 Jaollisuus.................................. 0 Alkuluvut..................................

Lisätiedot

Esitysmuotoa kutsutaan kantaluvun paikkamerkinnäksi, sillä merkinnässä jokainen numero liittyy sijaintinsa mukaan tiettyyn kantaluvun potenssiin.

Esitysmuotoa kutsutaan kantaluvun paikkamerkinnäksi, sillä merkinnässä jokainen numero liittyy sijaintinsa mukaan tiettyyn kantaluvun potenssiin. POHDIN projekti TIETOTURVA LUVUISSA ja TUNNUKSISSA (1/2) LUKUJÄRJESTELMISTÄ Lukujärjestelmällä tarkoitetaan kokonaisvaltaista tapaa, jolla luvut sanotaan, kirjoitetaan tai koodataan. Muinaisina aikakausina

Lisätiedot

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 (lukion 1. vuosikurssi) Ratkaisut

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 (lukion 1. vuosikurssi) Ratkaisut Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 3 pistettä 1. Sannalla oli neliön muotoisia paperiarkkeja, joille hän piirsi kuvioita. Kuinka monella näistä kuvioista on yhtä suuri piiri kuin paperiarkilla? (A) 2 (B)

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

Multiplikatiivisista funktioista

Multiplikatiivisista funktioista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Marita Riihiranta Multiplikatiivisista funktioista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n )

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n ) Lukuteorian alkeita Matematiikkakilpailuissa on yleensä tehtäviä, joiden aiheala on alkeellinen lukuteoria. Tässä esitellään perustellen ne lukuteorian tiedot, joihin lukuteoria-aiheisissa tehtävissä yleensä

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

IMO 2004 tehtävät ja ratkaisut

IMO 2004 tehtävät ja ratkaisut IMO 2004 tehtävät ja ratkaisut 1. Olkoon ABC teräväkulmainen kolmio ja AB AC. Ympyrä, jonka halkaisija on BC, leikkaa sivun AB pisteessä M ja sivun AC pisteessä N. Olkoon O sivun BC keskipiste. Kulmien

Lisätiedot

Tietorakenteet (syksy 2013)

Tietorakenteet (syksy 2013) Tietorakenteet (syksy 2013) Harjoitus 1 (6.9.2013) Huom. Sinun on osallistuttava perjantain laskuharjoitustilaisuuteen ja tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. Näiden laskuharjoitusten

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d.

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. Jakoyhtälö: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) n = d*q + r Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. n = d * q + r number divisor quotient residue numero

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. 3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R. 11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä

Lisätiedot

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi...

Lisätiedot

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia

Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Outi Sutinen Primitiiviset juuret: teoriaa ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Huhtikuu 2006 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Baltian Tie Ratkaisuja

Baltian Tie Ratkaisuja Baltian Tie 2007. Ratkaisuja. Tehtävän summa S n on suurin, kun P = {, 2}, P 2 = {3, 4} jne.: jos pareissa olisi {, k}, k>2ja{2, m}, m>2, olisi 2 + km k ( 2m = )( m 2 ) > 0, k joten suuurimmassa summassa

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Vinokulmainen kolmio. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Vinokulmainen kolmio. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Vinokulmainen kolmio Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Yksikköympyrä ja suunnattu kulma Yksikköympyrä 1 y 0 x -1-1 0 1 Hannu Lehto 18. maaliskuuta 2008 Lahden Lyseon lukio 2 / 8 Yksikköympyrä ja suunnattu

Lisätiedot