Verkkojen elementaarinen ekvivalenssi

Transkriptio

1 Verkkojen elementaarinen ekvivalenssi Mikko Männikkö pro gradu -tutkielma Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Lokakuu 2004

2 Sisältö 1. Johdanto 3 2. Perusteet Verkot Ensimmäisen kertaluvun logiikka Ehrenfeucht-Fraïssé peli verkoille Elementaarinen ekvivalenssi Konstruktio Verkko G n Verkko X(G n ) Päätulos Lähteet 24 2

3 1. Johdanto Verkot ovat yksinkertainen tapa esittää meitä ympäröivän maailman ja matematiikan ilmiötä. Verkkojen avulla monien ilmiöiden tutkiminen saadaan eksaktiin matemaattiseen muotoon. Loogiset pelit, kuten tässä esityksessä esiintyvä Ehrenfeucht-Fraїsse peli, ovat puolestaan tehokkaita menetelmiä verkkojen välisten yhtäläisyyksien tai eroavaisuuksien tutkimisessa. Elementaarisella ekvivalenssilla kuvataan sitä yhtäläisyyttä, mikä vallitsee tietyn mittaisten loogisten lauseiden ja tietyn mittaisten loogisten pelien välillä. Esityksessäni osoitan, pitkälti päälähteeni Cai, Fürer, Immerman, An Optimal Lower Bound on the Number of Variables for Graph Identification keinoin, että jokaiselle luonnolliselle luvulle n 0, 1, 2, on tietyssä mielessä olemassa hyvin samanlaiset mutta kuitenkin ei-isomorfiset verkot, joiden välillä pelaaja II voittaa n:n siirron Ehrenfeucht-Fraїsse pelin. Ideana on, että vaikka verkot ovat selvästi erilaiset, pelaaja I ei pysty osoittamaan tätä Ehrenfeucht-Fraїsse pelissä jossa on rajoitettu määrä kierroksia. Toisaalta tämä tarkoittaa, että jokaista ensimmäisen kertaluvun logiikan lausetta φ kohti voidaan muodostaa kaksi verkkoa siten, että lause φ pätee molemmissa verkoissa, mutta verkot ovat erilaiset. 3

4 2. Perusteet Tässä kappaleessa käydään läpi ne matemaattiset perusteet, joita tarvitaan tämän esityksen ymmärtämiseen. Kohdassa 2.1 määritellään verkkojen yleisimmät ominaisuudet ja valaistaan niitä esimerkein. Kohdassa 2.2 käsitellään ensimmäisen kertaluvun logiikkaa ja määritellään kielet L k ja C k. Kohdassa 2.3 määritellään Ehrenfeucht-Fraïssé peli ja C k, n peli verkoille. Kohdassa 2.4 esitetään elementaarisen ekvivalenssin käsite. Verkkojen osalta merkintöjen ja määritelmien muodostamisessa on apuna ollut pääosin Heikki Junnilan Diskreettiä matematiikkaa [2]. Poikkeuksena on aliverkon määritelmä joka on diskreetin matematiikan sijasta logiikan määritelmä. Logiikassa aliverkon määritelmä perustuu alistruktuurin määritelmään [3]. Ensimmäisen kertaluvun logiikka sekä C k, n peli pohjautuvat päälähteeseeni [1]. Ehrenfeucht-Fraïssé pelin ja elementaarisen ekvivalenssin määrittelyissä on apuna ollut Jouko Väänäsen On Games and Models [3]. 2.1 Verkot Määritelmä Suhteikko on pari G = ( V, E), missä V on joukko alkioita ja E on joukon V binaarirelaatio. Joukon V alkioita kutsutaan verkon G pisteiksi ja joukkoa E kutsutaan suhteikon G relaatioksi. Merkitään V = V G ja E = E G jos on tarpeellista selventää mistä suhteikosta on kysymys. Suhteikkojen havainnollistamiseen käytämme esitysmuotona geometrista kaaviota, missä joukon V alkiot esitetään tason pisteinä ja relaatio xey esitetään pisteiden x ja y välisenä viivana. Pistettä kutsutaan usein myös solmuksi (engl. vertex, node.) Tässä esityksessä sanalla solmu on kuitenkin toinen merkitys. Viivoja kutsutaan usein myös reunoiksi (engl. edge, arc, line). Jos viiva alkaa ja loppuu samaan pisteeseen, niin kyseinen piste on refleksiivinen. Jos kahdella tai useammalla viivalla on sama alku- ja loppupiste, niin viivoja sanotaan rinnakkaisiksi. Sellaista suhteikkoa jossa ei ole refleksiivisiä pisteitä tai rinnakkaisia viivoja sanotaan yksinkertaiseksi suhteikoksi. Jos suhteikon pisteille a ja b pätee, että aeb ja bea, niin suhteikon väli (a, b) on antisymmetrinen. Antisymmetristä väliä (a, b) kuvataan nuolella pisteestä a, pisteeseen b. Suhteikko on symmetrinen jos kaikille sen pisteille a ja b pätee, että jos aeb niin bea. Määritelmä Verkko on yksinkertainen ja irrefleksiivinen suhteikko. 4

5 Tässä esityksessä verkoilta odotetaan lisäksi, että niissä ei ole rinnakkaisia viivoja. Eli tässä esityksessä verkko on yksinkertainen ja symmetrinen suhteikko. Esimerkki. Kuvassa suhteikko G on selvästi verkko, koska se on yksinkertainen ja symmetrinen. V G = {1, 2, 3, 4} ja E G = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}. Vastaavasti suhteikko H ei ole verkko, koska se ei ole yksinkertainen eikä symmetrinen. Suhteikko H ei ole yksinkertainen, koska piste c on refleksiivinen ja pisteiden b ja d välillä on kaksi rinnakkaista viivaa. Suhteikko H ei ole symmetrinen koska viiva (a, b) on antisymmetrinen. 1 2 a b 3 G 4 c H d Kuva a b 5 3 e c G 4 H d Kuva

6 Määritelmä Verkot G ja H ovat isomorfiset, jos on olemassa sellainen bijektio φ: G H, että kaikilla x, y V G on voimassa (x, y) E G jos ja vain jos (φ(x), φ(y)) E H. Tällaista bijektiota φ kutsutaan verkkojen G ja H väliseksi isomorfismiksi ja merkitään φ: G H. Jos lisäksi G = H, kutsumme bijektiota φ automorfismiksi. Esimerkki. Kuvassa määritellään bijektio φ: G H seuraavasti: φ(1) = a, φ(2) = c, φ(3) = e, φ(4) = b ja φ(5) = d. Bijektio φ on selvästi isomorfismi ja verkot G ja H ovat siis isomorfiset. Verkolla G on 10 eri automorfismia. Piste 1 voidaan kuvata viidelle eri pisteelle verkossa G ja muiden pisteiden numerointi voidaan suorittaa kiertämällä verkkoa kumpaan suuntaan tahansa. Määritelmä Olkoot G ja H verkkoja. Verkko H on verkon G aliverkko, jos V H V G ja E H = E G (x, y) missä x, y V H. Jos H on G:n aliverkko, niin merkitään H G [3]. Tässä yhteydessä aliverkon määritelmä eroaa diskreetin matematiikan [2] määritelmästä siinä, että logiikan aliverkoissa ei saa jättää viivoja pois. Diskreetissä matematiikassa aliverkoille riittää, että V H V G ja E H E G. Esimerkki. Kuvassa verkko H {2} on verkon G aliverkko G 4 H 4 Kuva Määritelmä Verkon G = ( V, E) pisteen x aste on niiden G:n viivojen määrä, joilla on piste x yhtenä päänä. Pisteen x astetta merkitään deg(x). 6

7 Jos pisteen aste on nolla, sitä kutsutaan eristetyksi pisteeksi. Jos verkon kaikkien pisteiden aste on nolla, niin verkkoa kutsutaan nollaverkoksi. Jos verkon kaikkien pisteiden aste on n, niin verkkoa kutsutaan n-säännölliseksi verkoksi. Jos verkon kaikista pisteistä on viiva verkon jokaiseen muuhun pisteeseen, verkkoa kutsutaan täydelliseksi verkoksi. Esimerkki. Kuvassa verkon G kaikkien pisteiden aste on 4. Verkko G on 4- säännöllinen ja täydellinen verkko. Verkossa H pätee deg(1) = deg(4) = deg(5) = 2 ja deg(2) = 0. Verkon H piste 2 on eristetty piste. Määritelmä Verkossa sanotaan olevan polku pisteestä x pisteeseen y, jos pisteestä x pääsee viivoja pitkin kulkemalla pisteeseen y. Verkossa voi olla useita eri polkuja pisteestä x pisteeseen y. Polut ovat eri polkuja jos niissä ei ole alku- ja loppupisteitä lukuun ottamatta samoja pisteitä. Esimerkki. Kuvassa verkon H pisteestä 1 on kaksi eri polkua pisteeseen 4 ja kaksi eri polkua pisteeseen 5. Pisteestä 1 ei ole polkua pisteeseen 2. Määritelmä Verkko G on yhtenäinen, jos jokaisesta verkon G pisteestä on polku jokaiseen muuhun verkon G pisteeseen. Esimerkki. Kuvassa verkko G on yhtenäinen ja verkko H ei ole yhtenäinen. Määritelmä Verkon G aliverkko H on G:n yhtenäinen komponentti, jos H on yhtenäinen, eikä millään G:n yhtenäisellä aliverkolla J ole voimassa J H ja H < J. Esimerkki. Kuvassa verkon G yhtenäinen komponentti on verkko G itse. Verkon H yhtenäisiä komponentteja ovat aliverkko A, V A = {1, 4, 5} ja E A = {(1, 4), (1, 5), (4, 5)}, sekä aliverkko B, V B = {2} ja E B = { }. Määritelmä Verkko on n-yhtenäinen jos se säilyy yhtenäisenä vaikka siitä poistettaisiin n - 1 pistettä. Lemma Verkko on n-yhtenäinen jos verkon jokaisesta pisteestä johtaa jokaiseen toiseen pisteeseen n eri polkua. 7

8 Todistus. Oletetaan, että jokaisesta mielivaltaisen verkon A pisteestä v johtaa n eri polkua jokaiseen toiseen verkon A pisteeseen w. Määritelmän nojalla tiedetään, että kaikki n eri polkua pisteestä v pisteeseen w, koostuvat eri pisteistä alku- ja loppupisteitä lukuun ottamatta. Ei siis voida valita n 1 pistettä verkosta A siten, että valittaisiin jokaisesta n:stä eri polusta yksi piste, alku ja loppu pisteitä lukuun ottamatta. Eli vaikka poistettaisiin n 1 pistettä {v 1,, v n-1 } verkosta A, niin verkossa A {v 1,, v n-1 } on edelleen ainakin yksi polku jokaisesta pisteestä v jokaiseen toiseen pisteeseen w. Eli verkko A {v 1,, v n-1 } on yhtenäinen ja verkko A on n-yhtenäinen. Esimerkki. Kuvassa verkko G on 3-yhtenäinen. Verkon G jokaisen pisteen aste on kolme, joten yhden pisteen eristäminen on mahdotonta poistamalla vain kaksi pistettä. Myös kaikista kahden toisiinsa yhteydessä olevan pisteen muodostamista aliverkoista johtaa verkossa G pois ainakin kolme viivaa. Tällaisia aliverkkoja ei voi eristää poistamalla vain kaksi pistettä. Kolmen tai neljän pisteen aliverkon eristäminen verkossa G vaatisi, että eristettäisiin samalla yhden tai kahden pisteen aliverkko. Eli ei ole mahdollista eristää verkosta G aliverkkoa poistamalla vain kaksi pistettä. Verkko G on siis selvästi 3-yhtenäinen. Toisaalta jokaisesta verkon G pisteestä on helppo löytää kolme eri polkua jokaiseen toiseen verkon G pisteeseen. Määritelmä verkon G pisteiden määrää merkitään G. Verkon G = (V, E) separaattori on alijoukko S V siten, että aliverkossa V S ei ole yhtenäistä komponenttia jossa olisi enemmän kuin V / 2 pistettä G 4 5 H 4 Kuva

9 Esimerkki. Kuvassa G = 6 ja H = 6. Verkon H pienin separaattori on piste 2. Pisteen 2 poistaminen jakaa verkon H kahteen aliverkkoon joissa kummassakaan ei ole yli kolmea pistettä. Täydellisen viiden pisteen verkon, kuten kuvassa verkko G, pienin separaattori on mikä tahansa kolmen eri pisteen alijoukko joukosta V G. Täydellistä verkkoa ei voi jakaa osiin, koska jokaisesta pisteestä on viiva jokaiseen toiseen pisteeseen. Täydellisen verkon separaattori muodostetaan valitsemalla vähintään puolet kyseisen verkon pisteistä. 2.2 Ensimmäisen kertaluvun logiikka Ensimmäisen kertaluvun logiikka verkoille muodostetaan tavalliseen tapaan muuttujista x 1, x 2,, relaatio symboleista E, ja =, loogisista konnektiiveista,,, ja kvanttoreista ja [3]. Esimerkki. Tarkastellaan seuraavaa ensimmäisen kertaluvun lausetta: φ x y(xey yex x y) Lause φ sanoo, että verkko on symmetrinen ja irrefleksiivinen. Tässä esityksessä käsitellään vain verkkoja joille pätee φ. Merkitään G φ jos lause φ pätee verkossa G. Määritelmä Mille tahansa kielelle L sanotaan, että verkot G ja H ovat L- ekvivalentit, jota merkitään G L H, jos kaikille lauseille φ L pätee: G φ H φ. Määritelmä Kieli L k on joukko ensimmäisen kertaluvun lauseita φ, siten että lauseen φ muuttujat ovat alijoukko joukosta {x 1, x 2,, x k }. Esimerkki. Tarkastellaan seuraavaa kielen L 2 lausetta: ψ x 1 x 2 (x 1 Ex 2 x 1 ( x 1 Ex 2 )) Lause ψ sanoo, että kaikki pisteet ovat relaatiossa E jonkin pisteen kanssa joka ei ole relaatiossa E kaikkien pisteiden kanssa. Huomaa, että kvanttori x 1 koskee vain ensimmäisenä esiintyvää muuttujaa x 1, jälkimmäisenä oleva muuttuja x 1 ei ole vapaana kvanttorille x 1 koska kvanttori x 1 sitoo sen. 9

10 Määritelmä Jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle i esitetään uudet laskijakvanttorit i ja!i. Kun x tarkoittaa on olemassa x, niin vastaavasti ix tarkoittaa on olemassa ainakin i kappaletta x ja!ix tarkoittaa on olemassa tasan i kappaletta x. Määritelmä Kieli C k on kieli L k lisättynä laskijakvanttoreilla i ja!i. Esimerkki. Tarkastellaan seuraavaa kielen C 2 lausetta: π 17x 1!5x 2 (x 1 Ex 2 ) Lause π sanoo, että löytyy ainakin 17 alkiota jotka ovat kaikki relaatiossa E tasan viiden alkion kanssa. Huomaa, että jokainen kielen C k lause on ekvivalentti kielen L k lauseen kanssa jossa on mahdollisesti enemmän muuttujia ja kvanttoreita. Määritelmä Lauseen φ kvanttoriaste, jota merkitään rank(φ), määritellään seuraavasti: rank(x = y) = rank(xey) = 0, rank( φ) = rank(φ), rank(φ ψ) = rank(φ ψ) = max{rank(φ), rank(ψ)}, rank( xφ) = rank( xφ) = rank(φ) + 1. Esimerkki. Lauseen x 1 x 2 x 3 (x 1 Ex 2 x 1 Ex 3 ) kvanttoriaste on 3. Määritelmä Kieli L k, m on kielen L k rajoittuma niihin lauseisiin joiden kvanttoriaste m. Kieli C k, m määritellään vastaavasti. 2.3 Ehrenfeucht-Fraïssé peli verkoille Ehrenfeucht-Fraïssé peli on kahden pelaajan peli, jota pelataan kahdella verkolla. Pelaaja I yrittää näyttää eron verkkojen välillä. Pelaaja II yrittää puolustaa väitettä, että verkkojen välillä ei ole eroa. Pelaajan I ongelmana on, että vaikka verkkojen välillä olisi ero, sen osoittaminen on vaikeaa pelissä jossa on rajoitettu määrä kierroksia. Joka kierroksella pelaaja I valitsee yhden pisteen jommastakummasta verkosta, pelaaja II vastaa valitsemalla pisteen toisesta verkosta. Pelaajan kaksi täytyy pystyä valitsemaan piste siten, että valittujen pisteiden väliset relaatiot ovat loogisesti samanlaiset molemmissa verkoissa. 10

11 Määritelmä Oletetaan, että G = ( V, E) ja G = ( V, E ) ovat verkkoja, joille pätee G G = ja n Ν. Merkitään EF n (G, G ) kun tarkoitetaan n- kierroksen pituista Ehrenfeucht-Fraïssé peliä verkoilla G ja G. Merkitään pelaajan I pelaamia pisteitä x 0, x 1,, x n-1, missä x 0 on pelaajan I ensimmäisenä pelaama piste ja x n-1 pelaajan I viimeisenä pelaama piste. Vastaavasti pelaajan II pelaamia pisteitä merkitään y 0, y 1,, y n-1. Joukko W = (x 0, y 0, x 1, y 1,, x n-1, y n-1 ) on n-kierroksen pituisessa Ehrenfeucht-Fraïssé pelissä pelattujen pisteiden joukko. Pelaaja II voittaa pelin EF n (G, G ) jos joukossa W pätee: (1) kaikille i < n: x i V jos ja vain jos y i V. (2) jos kaikilla i < n merkitään symbolilla v i sitä alkioista x i ja y i joka on joukossa V ja symbolilla v i sitä alkioista x i ja y i joka on joukossa V, niin (2.1) v i = v j jos ja vai jos v i = v j. (2.2) v i Ev j jos ja vain jos v i Ev j. v 0 v 0 v 1 v 1 G G Kuva Esimerkki. Peli EF 2 (G, G ) voisi edetä seuraavasti (kuva 2.3.1). Pelaaja I valitsee ensimmäisellä kierroksella verkosta G pisteen v 0 = x 0, ja pelaaja II valitsee verkosta G pisteen v 0 = y 0. Toisella kierroksella pelaaja I valitsee verkosta G pisteen v 1 = x 1 ja pelaaja II valitsee verkosta G pisteen v 1 = y 1. Kahden kierroksen jälkeen peli loppuu ja pelaaja II on voittaja jos: 11

12 (1) v 1 = v 0 jos ja vain jos v 1 = v 0 ja (2) v 1 Ev 0 jos ja vain jos v 1 E v 0. Kuvassa peli etenee juuri tällä tavoin ja pelaaja II voittaa pelin. Esimerkki. Kuvassa Pelaaja II voittaa pelin EF n (G, H ) kaikilla n = 0, 1,, koska verkot G ja H ovat isomorfiset. Isomorfian takia verkoilla ei ole Ehrenfeucht-Fraïssé pelin maailmassa mitään eroa. Jokaista pelaajan I valitsemaa pistettä kohden Pelaaja II voi aina valita isomorfian avulla vastaavan pisteen toisesta verkosta. Esimerkki. Kuvassa Pelaaja I voittaa pelin EF n (G, H ) kun n > 1. Pelaajan I voittostrategia on seuraava: Pelaaja I valitsee ensimmäisellä kierroksella pisteen 2 verkosta H. Pelaaja II joutuu vastaamaan valitsemalla pisteen verkosta G. Toisella kierroksella pelaaja I valitsee sellaisen pisteen verkosta G, joka on viivalla yhteydessä pelaajan II ensimmäisellä kierroksella valitsemaan pisteeseen. Nyt pelaaja II ei voi valita tällaista pistettä verkosta H koska pelaajan I ensimmäisellä kierroksella valitsema piste 2 on eristetty piste, eikä siis yhteydessä mihinkään muuhun pisteeseen. Määritelmä Oletetaan, että G = ( V, E) ja G = ( V, E ) ovat verkkoja, joille pätee G G = ja n Ν. Merkitään C k, n (G, G ) kun tarkoitetaan n- kierroksen pituista C k, n peliä verkoilla G ja G. Peli C k, n (G, G ) on muuten kuten peli EF n (G, G ), mutta jokainen vuoro koostuu nyt kahdesta eri vaiheesta. (1) Pelaaja I kiinnittää joukon A pisteitä toisesta verkosta G tai G. Pelaaja II vastaa kiinnittämällä joukon B pisteitä eri verkosta. Joukon B tulee olla yhtä suuri kuin joukon A. (2) Pelaaja I valitsee pisteen joukosta B. Pelaaja II vastaa valitsemalla pisteen joukosta A. Pelin C k, n (G, G ) voittaja määräytyy kuten pelissä EF n (G, G ). Ideana vuoron koostumisessa kahdesta eri vaiheesta on, että ensiksi pelaaja I väittää, että toisessa verkoista on A pistettä joilla on tietty ominaisuus. Pelaaja II vastaa väittämällä, että eri verkossa on sama määrä pisteitä B joilla on sama ominaisuus kuin pisteillä A. Seuraavaksi pelaaja I haastaa yhden pisteistä joukosta B. Pelaaja II vastaa valitsemalla ekvivalentin pisteen joukosta A. 12

13 2.4 Elementaarinen ekvivalenssi Korollaari Oletetaan, että G ja G ovat kaksi verkkoa. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentteja: (1) G ja G toteuttavat samat lauseet joiden kvanttoriaste n. (2) G L k, n G (3) Pelaajalla II on voittostrategia pelissä EF n (G, G ). Todistus. Määritelmässä kielen L k, n lauseet määriteltiin siten, että niiden kvanttoriaste n, näin ollen 1 2 pätee. Todistus tapaukselle 1 3 löytyy lähteestä [3]. Korollaari Oletetaan, että G ja G ovat kaksi verkkoa. Jos pelaajalla II on voittostrategia pelissä C k, n (G, G ) niin G C k, n G. Otetaan korollaarin todistusta varten käyttöön seuraavat merkinnät: Merkitään p = (x 0, y 0,, x i-1, y i-1 ) kun tarkoitetaan pelin C k, n (G, G ) asemaa kierroksen i n jälkeen. Jos p on pelin C k, n (G, G ) asema, niin merkitään f p = {(v 0, v 0 ),, (v i-1, v i-1 )} kun tarkoitetaan osittaista kuvausta verkon G pisteiltä verkon G pisteille asemassa p. Huomaa, että jos pelaaja II ei ole vielä hävinnyt peliä, niin dom( f p ) V G ja rng( f p ) V G. Merkitään G s φ kun tarkoitetaan niitä lauseita φ jotka pätevät verkossa G tulkintajonolla s. Tulkintajono s[a/x] määritellään seuraavasti: s[a/x](y) = a jos y = x ja s[a/x](y) = s(y) jos y x. Jos s on verkon G tulkintajono ja f on osittainen kuvaus V G V G jolle pätee, että rng(s) dom( f ), niin yhtälö ( f s)(x) = p(s(x)) määrittelee verkon G tulkintajonon f s. Todistus. Todistetaan seuraava yleisempi väite josta korollaari seuraa: 13

14 Jos pelaajalla II on voittostrategia pelissä C k, n (G, G ) asemassa p = (x 0, y 0, x n-i- 1, y n-i-1 ), niin G s φ jos ja vain jos G f p s φ kaikilla lauseilla φ C k, i ja kaikilla verkon G tulkintajonoilla s joilla pätee rng(s) dom( f p ). Todistetaan väite induktiolla i:n suhteen. Jos i = 0 niin väite pätee triviaalisti. Tehdään induktio oletus, että väite pätee tapauksessa i, ja todistetaan sen avulla tapaus i + 1. Oletetaan, että pelaajalla II on voittostrategia pelissä C k, n(g, G ) asemassa p = (x 0, y 0, x n-i-2, y n-i-2 ). Oletetaan lisäksi, että φ C k, i+1 ja s on verkon G tulkintajono siten, että pätee rng(s) dom( f p ). Näytetään, että nyt G s φ jos ja vain jos G f p s φ. Tapaus 1. φ on atomilause. Väite seuraa siitä, ettei pelaaja II ole vielä hävinnyt peliä. Tapaus 2. φ on muotoa xψ, missä ψ C k, i. Nyt induktio oletus pätee lauseelle ψ. Osoitetaan, että jos G s xψ niin G f p s xψ. Pelissä C k, n (G, G ) asemassa p = (x 0, y 0, x n-i-2, y n-i-2 ) pelaaja I valitsee ensimmäisellä kierroksella verkosta G joukon A = {a G G s[a/x] ψ}, A =. Pelaaja II vastaa voittostrategiansa mukaan valitsemalla verkosta G joukon B siten, että B = A. Ensimmäisen kierroksen toisessa vaiheessa pelaaja I valitsee minkä tahansa pisteen x n-i-1 = b joukosta B. Pelaaja II vastaa voittostrategiansa mukaan valitsemalla pisteen y n-i-1 = a joukosta A. Nyt on saavutettu pelissä C k, n (G, G ) uusi asema p = (x 0, y 0,, x n-i-1, y n-i-1 ) ja pelaajalla II on yhä voittostrategia asemassa p. Pelaajan II valitsemalle pisteelle a pätee aina, että G s[a/x] ψ. Jos pelaajalla II on pelannut voittostrategiansa mukaan, niin pelaajan I valitsemalle pisteelle täytyy nyt päteä, että G ( f p ) (s[b/x]) ψ. Huomaa, että ( f p ) (s[a/x]) = ( f p s)[b/x]. Eli jos G s xψ niin G f p s xψ. Vastaavasti voidaan todistaa, että jos G f p s xψ niin G s xψ. Tapaus 3. φ on muotoa ψ, ψ φ tai ψ φ. Nyt väite seuraa tapauksista 1 ja 2. Huomaa, että äärellisessä verkossa G voidaan lause joka on muotoa xψ korvata lauseella xψ, missä = G. 14

15 3. Konstruktio Tässä kappaleessa konstruoidaan jokaista luonnollista lukua n kohti kaksi 3- säännöllistä verkkoa X(G n ) ja X 1 (G n ). Verkoilla X(G n ) ja X 1 (G n ) ei ole muuta eroa kuin että verkossa X 1 (G n ) on tietyt viivat solmussa. Tämä solmu tekee verkot ei-isomorfisiksi. Pelaaja I ei kuitenkaan pysty voittamaan n:n siirron Ehrenfeucht- Fraïssé peliä verkoilla X(G n ) ja X 1 (G n ), koska pelaaja II pystyy siirtämään solmua kauas pelattavista pisteistä. Lisäksi osoitetaan, että pelaaja II voittaa myös n:n siirron C k, n pelin. Tapauksissa n = 0 ja n = 1 halutun kaltaisten verkkojen muodostaminen on triviaalia. Pelaaja II voittaa aina nollan siirron Ehrenfeucht- Fraïssé pelin koska ilman siirtoja Pelaaja I ei voi osoittaa eroa verkkojen välillä. Yhden siirron Ehrenfeucht-Fraïssé pelissä riittää, että molemmissa verkoissa on ainakin yksi piste jolloin pelaaja I ei pysty näyttämään eroa verkkojen välillä. Toisaalta jos pystytään osoittamaan että halutun kaltaiset verkot löytyvät jollekin n:n arvolle c, voidaan tapauksissa n < c käyttää näitä samoja verkkoja. Tämä ominaisuus seuraa siitä, että jos pelaaja II voittaa n:n kierroksen Ehrenfeucht- Fraïssé pelin, voittaa hän myös kaikki tätä lyhyemmät pelit. Kohdissa 3.1 ja 3.2 esitetään kaksi tapaa joiden avulla voidaan konstruoida halutun kaltaiset verkot X(G n ) ja X 1 (G n ) kaikille n 2. Kohdassa 3.3 todistamme näiden tapojen avulla esityksemme päätuloksen. Kohdat 3.2 ja 3.3 pohjautuvat päälähteeseeni [1], sekä kohdan 3.3 voittostrategian osalta myös Jouko Väänäsen luentomonisteeseen [3]. 3.1 Verkko G n Määritelmä Jokaista n 2 kohti muodostetaan 3-säännöllinen verkko G n seuraavasti: Muodostetaan aluksi n + 2 pisteen kokoinen täydellinen verkko. Seuraavaksi korvataan tässä täydellisessä verkossa jokainen piste v, jonka aste on k = n + 1, silmukalla S(v) jossa on k pistettä. Lopuksi jokaiseen silmukan S(v) pisteeseen yhdistetään yksi pisteeseen v tulevista viivoista. Näin saatu verkko G n on 3-säännöllinen. Huomaa, että jokaisesta silmukasta on viiva jokaiseen toiseen silmukkaan (Kuva 3.1.1). Esimerkki. Kuvassa on kyseessä tapaus n = 3. Aluksi on muodostettu pisteen kokoinen, täydellinen verkko H. Verkko G 3 on muodostettu verkosta H, korvaamalla jokainen verkon H piste v neljän pisteen silmukalla S(v), johon on yhdistetty pisteeseen v tulevat viivat. Katkoviivoilla on kuvattu verkon jakamista silmukoihin. 15

16 S(a) S(b) a b S(e) S(c) e c d S(d ) Kuva Verkko H Verkko G Verkko X(G n ) Määritelmä Jokaista k 2 kohti määritellään verkko X k = (V k, E k ) seuraavasti: V k = A k B k M k missä A k = {a i 1 i k}, B k = {b i 1 i k} ja M k = {m S S {1,, k}, S on parillinen}. E k = {(m S, a i ) i S} {(m S, b i ) i S}. Näin ollen verkko X k koostuu verkon keskellä olevista pisteistä M k, joista jokainen on yhteydessä yhteen pisteeseen jokaisessa parissa {a i, b i }. Lisäksi jokainen M k :n pisteistä on yhteydessä parilliseen määrään pisteitä a i. Määritelmä Mielivaltaisesta verkosta G muodostetaan verkko X(G) siten, että jokainen verkon G astetta k 2 oleva piste korvataan verkolla X k. 16

17 Tässä esityksessä on tarkoituksena muodostaa verkko X(G n ). Koska verkko G n on määritelmän nojalla 3-säännöllinen, voimme rajoittua tarkastelemaan vain astetta 3 olevan pisteen korvaavaa verkkoa X 3 (kuva 3.2.1). a 1 b 1 m {1, 2} m {1, 3} m {2, 3} m { } a 2 b 2 a 3 b 3 Verkko X 3 kuva Esimerkki. Kuvassa on esitetty astetta 3 olevan pisteen korvaava verkko X 3. Katkoviivoilla on kuvattu verkon X 3 jakamista keskusjoukkoon M 3 ja pareihin {a i, b i }. Lemma Jaetaan verkko X 3 neljään eri joukkoon, pareihin {a 1, b 1 }, {a 2, b 2 }, {a 3, b 3 } ja keskusjoukkoon M 3 = {m {1, 2}, m {1, 3}, m {2, 3}, m { } } (kuva 3.2.1). Kun kiinnitetään nämä joukot, eli rajoitetaan pisteiden nimeämisen vaihtaminen näiden joukkojen sisälle, on verkolla X 3 tasan 4 eri automorfismia (kuva 3.2.2). Todistus. Kuvasta nähdään, että verkon X 3 automorfismit saadaan kääntämällä parillinen määrä verkon X 3 pareista {a i, b i }. Jos käännetään vain yksi pareista {a i, b i }, niin kaksi joukon M 3 pisteistä on tämän jälkeen yhteydessä parittomaan määrään pisteitä a i. Jos taas käännetään kaikki kolme paria {a i, b i }, niin jokainen joukon M 3 neljästä pisteestä on yhteydessä parittomaan määrään pisteitä a i. Määritelmän perusteella verkon X 3 kanssa automorfisen verkon X 3 keskuspisteiden M 3 tulee olla yhteydessä parilliseen määrään pisteitä a i. 17

18 a 1 b 1 b 1 a 1 m {1, 2} m {1, 3} m {2, 3} m { } m { } m {2, 3} m {1, 3} m {1, 2} a 2 b 2 a 3 b 3 b 2 a 2 a 3 b 3 X 3 X 3 b 1 a 1 a 1 b 1 m {2, 3} m { } m {1, 2} m {1, 3} m {1, 3} m {1, 2} m { } m {2, 3} a 2 b 2 b 3 a 3 b 2 a 2 b 3 a 3 X 3 X 3 Kuva Esimerkki. Kuvassa on esitetty verkon X 3 kaikki neljä eri automorfismia X 3, X 3, X 3 ja X 3. Lemma Minkä tahansa verkon X 3 keskusjoukon M 3 pisteen kiinnittäminen, määrää koko verkon X 3. Todistus. Määritelmän perusteella tiedetään, että jokaiselle verkon X 3 keskusjoukon M 3 pisteelle on määrätty kumpaan pisteeseen a i vai b i se on missäkin parissa {a i, b i } yhdistetty. Tämän takia yhden keskusjoukon M 3 pisteen 18

19 kiinnittäminen, määrittelee kaikki verkon X 3 parit {a i, b i }. Parit puolestaan määrittelevät loput keskusjoukon M 3 pisteistä. Määritelmä Tiedetään määritelmän nojalla, että verkko G n on 3- säännöllinen. Määritellään verkko X(G n ) seuraavasti: Jokainen verkon G n piste v korvataan verkolla X(v), joka on verkon X 3 kopio. Jokaista kolmea verkon G n pisteeseen v tulevaa viivaa (v, w) kohti valitaan yksi pari {a 1, b 1 } verkosta X(v). Merkitään tätä paria a(v, w) ja b(v, w). Lopuksi yhdistetään a-pisteet ja b-pisteet, eli piirretään viivat (a(v, w), a(w, v)) ja (b(v, w), b(w, v)). Huomaa, että myös verkko X(G n ) on 3-säännöllinen. Muodostettaessa verkko X(G n ) jokaista n kohti, on aluksi luotu n + 2 pisteen kokoinen täydellinen verkko. Tämän täydellisen verkon jokainen piste on korvattu silmukalla, jossa on n + 1 pistettä. Näin on saatu verkko G n. Kun verkon G n jokainen piste korvataan kymmenen pisteen verkolla X 3, niin jokaista n kohti on saatu verkko X(G n ) jossa on 10(n 2 + 3n + 2) pistettä. Koska jo tapauksessa n = 2 verkko X(G n ) on 120 pisteen kokoinen, ei tässä esityksessä esitetä kuvallisia esimerkkejä kokonaisista verkoista X(G n ). Määritelmä Edellisen määritelmän nojalla määritellään verkko X 1 (G n ) seuraavasti: Verkosta X(G n ) valitaan satunnainen verkon G n viiva (v, w) ja laitetaan se solmuun. Viivan (v, w) solmiminen tarkoittaa, että verkosta X(G n ) poistetaan viivat (a(v, w), a(w, v)) ja (b(v, w), b(w, v)) ja piirretään niiden sijaan viivat (a(v, w), b(w, v)) ja (b(v, w), a(w, v)). Lemma Oletetaan, että verkot G n, X(G n ) ja X 1 (G n ) ovat, kuten edellä on määritelty. Määritellään verkko X t (G n ) seuraavasti: Verkko X t (G n ) on kuten verkko X(G n ), mutta siinä on tasan t solmua. Verkko X t (G n ) on isomorfinen verkon X(G n ) kanssa jos t on parillinen ja isomorfinen verkon X 1 (G n ) kanssa jos t on pariton. Todistus. Havaitaan verkossa X t (G n ) seuraava ominaisuus: Valitaan mikä tahansa verkon G n alkio v, ja kaksi siitä lähtevää viivaa (v, x) ja (v, y). Jos verkossa X t (G n ) solmitaan molemmat verkon G n viivat (v, x) ja (v, y) niin syntyvä verkko on lemman nojalla isomorfinen verkon X t (G n ) kanssa. Eli verkko X(v) on automorfinen verkon X (v) kanssa, joka on kuin verkko X(v) mutta siinä on kaksi paria {a(v, x), b(v, x)} ja {a(v, y), b(v, y)} käännetty. Oletetaan, että solmujen lukumäärä t 2 verkossa X t (G n ). Edellä havaittu ominaisuus antaa meidän siirtää solmuja toisiaan kohti (Kuva 3.2.3), kunnes samaan verkon G n pisteeseen liittyy kaksi solmua ja solmut näin automorfismin vuoksi mitätöivät toisensa. Näin ollen 19

20 jos t on parillinen niin verkko X t (G n ) on isomorfinen verkon X(G n ) kanssa. Muuten se on isomorfinen verkon X 1 (G n ) kanssa. y y v v z x z x a(y, v) b(y, v) a(y, v) b(y, v) a(v, y) b(v, y) b(v, y) a(v, y) m {y, z} m {x, y} m {x, z} m { } m {x, z} m { } m {y, z} m {x, y} a(v, z) b(v, z) a(v, x) b(v, x) a(x, v) b(x, v) a(v, z) b(v, z) b(v, x) a(x, v) a(v, x) b(x, v) Kuva Esimerkki. Kuvassa havainnollistetaan miten solmu saadaan siirrettyä viivalta (v, x) viivalle (v, y) korvaamalla verkko X(v) automorfismilla X (v), jossa parit {a(v, x), b(v, x)} ja {a(v, y), b(v, y)} on käännetty. Huomaa, että 20

21 Automorfismi kyllä sekoittaa joukon M 3 = {m {y, z}, m {x, y}, m {x, z}, m { } } pisteet, mutta ei käännä kolmatta paria {a(v, z), b(v, z)}. Huomaa, että solmun siirto ei tarkoita verkon ristiin piirrettyjen viivojen siirtämistä, vaan verkon pisteiden uudelleen nimeämistä automorfismien avulla, siten että solmu näyttää siirtyvän. Verkossa X 1 (G n ) olevaa solmua voidaan siis siirtää ympäri verkkoa siten, että verkko on aina isomorfinen lähtöverkon kanssa huolimaatta siitä mihin solmu on siirretty. Lemma Verkko X(G n ) ei ole isomorfinen verkon X 1 (G n ) kanssa. Todistus. Tehdään vastaoletus ja oletetaan, että on olemassa kuvaus φ joka on isomorfismi X(G n ) X 1 (G n ). Ajatellaan mitä tahansa verkon X(G n ) paria {a(v, w), b(v, w)} X(v), millä tahansa verkon G n viivalla (v, w). Verkon X 3 rakenteen takia φ:n täytyy kuvata pari {a(v, w), b(v, w)} jollekin parille {a(v, w ), b(v, w )} verkossa X 1 (G n ). Näin ollen φ kuvaa myös parin {a(w, v), b(w, v)} parille {a(w, v ), b(w, v )}. Märitellään φ olemaan kaikkien niiden verkon X(G n ) parien lukumäärä mod 2 joissa φ kuvaa a:n b:lle. Jos tarkastellaan mielivaltaiseen verkon G n viivaan (v, w) liittyviä verkon X(G n ) pareja {a(v, w), b(v, w)} ja {a(w, v), b(w, v)}, niin kuvausten a:lta b:lle lukumäärä on aina joko 0 tai 2. Tämä pätee koska verkossa X(G n ) ei ole solmuja. Sen sijaan verkossa X 1 (G n ) on yksi verkon G n viiva (v, w) joka on solmussa ja johonka liittyvillä verkon pareilla kuvausten a:lta b:lle lukumäärä on 1. Tämä seuraa suoraan määritelmästä Näin ollen φ mod 2 = 0 verkossa X(G n ) ja φ mod 2 = 1 Verkossa X 1 (G n ). Tämä on ristiriidassa vastaoletuksen kanssa, että on olemassa kuvaus ρ joka on isomorfismi X(G n ) X 1 (G n ). Näin ollen lemman oletus pätee. 3.3 Päätulos Teoreema X(G n ) L k, n X 1 (G n ) Todistus. Korollaarin nojalla riittää näyttää, että Pelaajalla II on voittostrategia pelissä EF n (X(G n ), X 1 (G n )). Määritelmän nojalla tiedetään, että verkossa G n on n + 2 silmukkaa. Sanotaan että pelissä EF n (X(G n ), X 1 (G n )) pelaaja valitsee pisteen v silmukasta S(y), jos verkon X(G n ) tai X 1 (G n ) piste v kuuluu verkkoon X(w) ja piste w kuuluu silmukkaan S(y). Huomaa, että verkot X(G n ) ja X 1 (G n ) koostuvat täsmälleen samoista pisteistä, joten ei ole väliä kumpaan verkkoon piste v kuuluu. Ehrenfeucht-Fraïssé pelissä jossa on vain n kierrosta, pelaaja I pystyy valitsemaan pisteen enintään n:stä eri silmukasta S(y). Pelaaja II valitsee 21

22 pisteen aina samasta silmukasta kuin pelaaja I. Verkossa G n on n:n siirron jälkeen siis ainakin kaksi sellaista silmukkaa joista ei ole pelattu pistettä. Lisäksi näiden silmukoiden välillä on määritelmän mukaan aina viiva. Selvästi jos verkossa X 1 (G n ) solmu on näiden silmukoiden sisässä tai niiden välisessä viivassa, ei pelaaja I ole voinut saada näytetyksi solmun olemassaoloa. Pelaaja II on voittanut pelin EF n (X(G n ), X 1 (G n )), pelaamalla vain, pelaajan I pelaamia pisteitä, vastaavat pisteet toisesta verkosta. Kun pelaaja II pelaa aina, pelaajan I pelaamaa pistettä, vastaavan pisteen, on verkoista X(G n ) ja X 1 (G n ) pelattujen pisteiden välillä isomorfia. Osoitetaan, että pelaaja II voi aina pelata, pelaajan I pelaamaa pistettä, vastaavan pisteen toisesta verkosta. Osoitetaan myös, että pelaaja II voi aina siirtää solmua siten, että se on lopuksi halutussa paikassa. Verkot X(G n ) ja X 1 (G n ) ovat sama verkko, lukuun ottamatta sitä verkon G n viivaa joka on verkossa X 1 (G n ) solmittu. Tämän vuoksi pelaajan II voittostrategiassa ei ole väliä kummasta verkosta pelaaja I kulloinkin valitsee pelattavan pisteen. Jos pelaaja I valitsee pisteen sellaisesta silmukasta S(y) jonka sisässä ei ole solmua tai johon tulevissa viivoissa ei ole solmua, voi pelaaja II pelata vastaavan saman pisteen toisesta verkosta. Jos taas pelaaja I valitsee pisteen sellaisesta silmukasta S(y) jonka sisässä on solmu tai johonka tulevassa viivassa on solmu, ei pelaaja II voi pelata vastaavaa samaa pistettä toisesta verkosta. Solmu on ensin siirrettävä turvaan sellaiseen silmukkaan josta ei ole pelattu pistettä tai kahden tällaisen pelaamattoman silmukan väliselle viivalle. Kun pelaaja II siirtää solmua turvaan verkon G n viivalta (x 0, x 1 ) viivojen (x 1, x 2 ),, (x n-2, x n-1 ) kautta viivalle (x n-1, x n ), niin pisteet {x 1,, x n-1 } verkossa X 1 (G n ) korvaaville verkoille X(x i ), i = 1,, n-1 muodostetaan automorfismit. Kun solmu siirretään viivalta (x 0, x 1 ) viivalle (x 1, x 2 ) niin verkko X(x 1 ) korvataan automorfismilla, jossa parit {a(x 1, x 0 ), b(x 1, x 0 )} ja {a(x 1, x 2 ), b(x 1, x 2 )} on käännetty. Siirrettäessä solmua eteenpäin muut automorfismit muodostetaan vastaavasti. Kun solmu on siirretty turvaan, niin solmun siirrossa muodostettujen automorfismien avulla pelaaja II voi pelata, pelaajan I pelaamaa pistettä, vastaavan pisteen automorfismin osoittamaan paikkaan. Tämä piste sijaitsee edelleen samassa verkossa X(v), kuin pelaajan I pelaama piste, mutta mahdollisesti eri kohdassa. Pisteen sijaitseminen eri kohdassa verkkoa X(v) ei estä sitä olemasta, pelaajan I pelaamaa pistettä, vastaava piste, koska verkon X(v) automorfismien takia verkoista X(G n ) ja X 1 (G n ) pelattujen pisteiden välillä valitsee edelleen isomorfia. Huomaa, että pelaaja II ei voi siirtää solmua sellaisen pisteen v läpi, jonka korvaavasta verkosta X(v) on pelattu piste jo aikaisemmilla kierroksilla. 22

23 Verkolle X(v) ei tällöin voi enää muodostaa automorfismia sotkematta verkoista X(G n ) ja X 1 (G n ) pelattujen pisteiden välillä vallitsevaa isomorfiaa. Kun pelaaja I valitsee pisteen sellaisesta silmukasta S(y) jonka sisässä on solmu tai johonka tulevassa viivassa on solmu, voi pelaaja II aina siirtää solmun turvaan. Jokaisesta verkon G n n + 2 silmukasta johtaa määritelmän mukaan viiva jokaiseen muuhun verkon G n silmukkaan. Pelaaja I ei ole voinut n:llä siirrolla pelata pistettä jokaiselta reitiltä joita pitkin pelaaja II voi kuljettaa solmun turvaan. Näin ollen pelaaja II voi aina kuljettaa solmun turvaan haluttuun paikkaan. Pelaaja II voi siis pelata pelin EF n (X(G n ), X 1 (G n )) siten, että verkosta X(G n ) ja verkosta X 1 (G n ) pelattujen pisteiden välillä vallitsee isomorfia. Teoreema X(G n ) C k, n X 1 (G n ) Todistus. Korollaarin nojalla riittää näyttää, että Pelaajalla II on voittostrategia pelissä C k, n (X(G n ), X 1 (G n )). Jokaisella pelin C k, n (X(G n ), X 1 (G n )) kierroksella pelaaja II toimii samalla tavalla. Jokaista pelaajan I joukkoon A kiinnittämää pistettä kohti pelaaja II kiinnittää joukkoon B pisteen, joka on valittu teoreemassa esiintyvän pelaajan II voittostrategian mukaan seuraavasti: Jos joukon A piste on sellaisesta silmukasta S(y) jonka sisässä ei ole solmua tai johon tulevissa viivoissa ei ole solmua, voi pelaaja II kiinnittää joukkoon B vastaavan saman pisteen toisesta verkosta. Jos taas joukon A piste on sellaisesta silmukasta S(y) jonka sisässä on solmu tai johonka tulevassa viivassa on solmu, ei pelaaja II voi kiinnittää joukkoon B vastaavaa samaa pistettä toisesta verkosta. Tässä tapauksessa pelaaja II kiinnittää joukkoon B, teoreeman osoittamalla tavalla, solmun siirrossa syntyneiden automorfismien osoittaman vastaavan pisteen. Huomaa, että jokaisen tällaisessa silmukassa olevan joukon A pisteen kohdalla on solmu siirrettävä turvaan samaa reittiä. Näin automorfismit kuvaavat kaikki joukon A eri pisteet eri pisteille joukossa B ja A = B. Kun pelaaja I haastaa kierroksen toisessa vaiheessa yhden pisteen joukosta B, voi pelaaja II vastata valitsemalla yhden pisteen joukosta A samalla tavalla kun valinta tapahtuisi teoreemassa Huomaa, että pelaajalle I ei ole mitään apua C k, n pelissä olevasta pisteiden kiinnityksestä. Pelaajalle I riittää kiinnittää vain yksi piste kerrallaan. Tässä tapauksessa peli C k, n (X(G n ), X 1 (G n )) vastaa täysin peliä EF n (X(G n ), X 1 (G n )) ja pelaajalle II pätee sama voittostrategia kuin pelissä EF n (X(G n ), X 1 (G n )). 23

24 4. Lähteet [1] Jin-yi Cai, Martin Fürer, Neil Immerman, An Optimal Lower Bound on the Number of Variables for Graph Identification, 30th IEEE FOCS Symp. (1989), [2] Heikki Junnila, Diskreettiä matematiikkaa, luentomoniste, HY syyslukukausi 2003 [3] Jouko Väänänen, On Games and Models, luentomoniste, HY kevätlukukausi