Hamiltonin sykleistä graateoriassa
|
|
- Aarno Haapasalo
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Hamiltonin sykleistä graateoriassa Pro gradu -tutkielma Ohto Nordberg Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2013
2 Sisältö Johdanto 2 1 Historiaa Euler Hamiltonin sykli Peruskäsitteitä Piste, viiva ja graa Naapuri ja aste Polku, sykli ja kulku Aligraa Indusoitu aligraa Yhtenäisyys Mengerin lause Euleriaanisuus 15 5 Hamiltonilaisuus Välttämättömiä ehtoja hamiltonilaisuudelle Riittäviä ehtoja hamiltonilaisuudelle Diracin lause Riippumattomuuden suhde yhtenäisyyteen Asratian & Khachatrian lause Chvátalin lause Lähdeluettelo 30 1
3 Johdanto Tässä tutkielmassa tärkeimpänä tavoitteena on esittää ehtoja sille, millaisista graafeista Hamiltonin syklin voi löytää, eli mitkä graat ovat hamiltonilaisia. Hamiltonin syklin löytäminen graasta on NP-täydellinen ongelma [2, ss ], minkä vuoksi aihe on mielenkiintoinen matemaattisesti. Lisäksi hamiltonin sykliin liittyy sovellusmahdollisuuksia informaatioteknologiassa, mikä tekee aiheesta ajankohtaisen. Tutkielman aluksi tutustutaan graateorian historiaan. Ensin käsitellään Leonhard Eulerin ratkaisua Königsbergin siltojen ongelmaan ja sitten Hamiltonin syklin alkuhistoriaa. Tässä lähteenä on käytetty pääasiassa N. L. Biggin, E. K. Lloydin ja R. J. Wilsonin teosta Graph Theory [1]. Seuraavaksi määritellään niitä graateorian peruskäsitteitä, joita tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. Tämän jälkeen siirrytään graaen yhtenäisyyteen ja todistetaan Mengerin lause, jota tarvitaan myöhemmin hamiltonilaisuuden ehtoja käsiteltäessä. Ennen hamiltonilaisuuteen siirtymistä käsitellään euleriaanisuutta ja todistetaan Eulerin lauseen moderni versio. Lopuksi keskitytään itse hamiltonilaisuuteen, ensisijaisesti siihen, millaisista graafeista Hamiltonin syklin voi löytää. Päälähteenä työn matemaattisessa osassa käytetään R. Diestelin Graph Theory -kirjan neljättä painosta [2]. Käsitteiden suomennoksia on runsaasti M. Peltolan Graateoria-kurssilta ja sen luentomonisteesta [4]. 2
4
5 Julkaistun artikkelin koko englanninkielinen käännös on saatavilla esimerkiksi lähteestä [1]. Artikkeli alkaa näin (käännetty englanninkielisestä artikkelin käännöksestä) : Lisäyksenä siihen geometrian haaraan, joka koskee etäisyyksiä, ja mikä on aina saanut eniten huomiota, on olemassa toinen haara, tähän asti melkein tuntematon, jonka Leibniz ensin mainitsi, kutsuen sitä sijainnin geometriaksi [Geometriam situs]. Kyseinen haara koskee vain sijainnin määrittämistä ja sen ominaisuuksia; siihen eivät kuulu etäisyydet, eikä niistä tehtävät laskelmat. Siten, silloin kun tämä ongelma minulle mainittiin, se vaikutti geometriseltä, mutta oli niin konstruoitu, ettei siinä ollut tarvetta etäisyyksien mittaamiselle, eikä laskenta auttanut ollenkaan, minulla ei ollut epäilystäkään, etteikö se koskenut sijainnin geometriaa - varsinkin kun sen ratkaisuun liittyi ainoastaan sijainti, eikä laskennasta ollut mitään hyötyä. Tästä syystä olen päättänyt esittää löytämäni menetelmän, joka ratkaisee tämän ongelman, esimerkkinä sijainnin geometriasta. 2. Ongelma, joka on kuulemani mukaan laajasti tunnettu, on seuraavanlainen: Königsbergissä Preussissa on saari A, nimeltään Kneiphof; joki joka sitä ympäröi on jaettu kahteen haaraan, kuten kuvassa (...), ja nämä haarat ylittävät seitsemän siltaa, a, b, c, d, e, f ja g. Näiden siltojen ollessa kyseessä, minulta kysyttiin voiko joku kulkea sellaisen reitin, että hän ylittäisi kunkin sillan täsmälleen kerran.... [1, alk. s. 3] 4
6 Euler ei pidä itse Königsbergin siltojen ongelmaa sinänsä mielenkiintoisena, vaan kiinnittää huomionsa ongelman yleiseen muotoon. Hän kuvailee eri asetelmia ja muodostaa asetelmista taulukoita [1, ss. 6-7]. Hän päätyy kolmeen johtopäätökseen: Jos on enemmän kuin kaksi aluetta, mihin pariton määrä siltoja johtaa, silloin sellainen reitti on mahdoton. Jos, kuitenkin, siltojen määrä on pariton täsmälleen kahdella alueella, niin silloin sellainen reitti on mahdollinen, jos se alkaa jommasta kummasta tällaisesta alueesta. Jos, lopulta, ei ole yhtään aluetta, johon johtaa pariton määrä siltoja, silloin haluttu reitti voidaan kulkea alkaen mistä tahansa alueesta. [3, ss ] Artikkeli on kiinnostava sekä graateorian synnyn kannalta, että myöskin siksi, että siinä on vahvoja viitteitä topologian syntyhistoriaan. 1.2 Hamiltonin sykli Itse Hamiltonin syklin historiaan liittyy vuonna 1855 Thomas Penyngton Kirkmannin ( ) kirjoittama artikkeli, jossa hän käsittelee seuraavanlaista kysymystä: voiko monitahokkaan graasta löytyä aina sykli, joka kulkee jokaisen pisteen kautta täsmälleen kerran. Toinen, kuuluisampi matemaatikko loi vuonna 1857 pelin Icosian game (kuva 2), jossa piti löytää sykli dodekaedrista muodostetusta graasta. Hänen nimensä oli William Rowan Hamilton ( ), ja hänen nimensä jäi kuvaamaan tätä käsitettä, vaikka Kirkman julkaisi tästä aiheesta aiemmin ja käsitteli yleistä 5
7
8
9 2.2 Naapuri ja aste Määritelmä 2.2. Pisteet u ja v ovat naapureita, jos niitä yhdistää viiva. Pisteen u naapureiden joukkoa merkitään N(u). Piste on irtopiste, jos sillä ei ole naapureita. Viivat e 1 e 2 ovat naapureita, jos niillä on yhteinen päätepiste. Viivat (tai pisteet) ovat riippumattomia, jos ne eivät ole pareittain naapureita. Graa on täydellinen, jos kaikki graan pisteet ovat pareittain naapureita. Riippumattomassa pistejoukossa mitkään sen kaksi pistettä eivät ole naapureita. [2, ss. 2-5] Määritelmä 2.3. Pisteen v aste d(v) on pisteen v naapureiden lukumäärä. Jos graan G kaikilla pisteillä on aste k, graaa kutsutaan k-säännölliseksi. Graan G minimiaste on luku δ(g) := min{d(v) v V }. [2, s. 5] 2.3 Polku, sykli ja kulku Määritelmä 2.4. Polku on ei-tyhjä graa P = (V, E), missä pistejoukko V = {x 0, x 1,..., x k }, viivajoukko E = {x 0 x 1, x 1 x 2,..., x k 1 x k } ja pisteet x i ovat erilliset. Pisteet x 0 ja x k ovat yhdistetyt polussa P ja niitä kutsutaan päätepisteiksi. Pisteet x 1,..., x k 1 P ovat polun P sisäpisteitä. Polun viivojen määrä on polun pituus ja k:n pituista polkua merkitään P k. Polkua voidaan merkitä myös x 0 x k. Polut ovat riippumattomat, jos niillä ei ole yhtään yhteistä sisäpistettä. Polku, jossa on vain yksi piste, on triviaali. [2, ss. 6-7] Määritelmä 2.5. Jos P = x 0... x k 1 on polku ja k > 3, niin graaa C := P + x k 1 x 0 kutsutaan sykliksi. Syklin pituus on sen pisteiden (tai viivojen) lukumäärä ja k-pituista sykliä kutsutaan k-sykliksi ja merkitään C k. Viiva, 8
10 joka yhdistää kaksi syklin pistettä, mutta ei itse ole syklin viiva, on syklin säie. Sykli, jossa on vain yksi piste, on triviaali. [2, s. 8] Määritelmä 2.6. Kulku on ei-tyhjä alternoiva sarja v 0 e 1 e 2... e k 1 v k pisteitä ja viivoja, missä e i = v i v i+1 aina, kun i < k. [2, s. 10] Huomattakoon, että polku ja sykli ovat kulkuja. 2.4 Aligraa Määritelmä 2.7. Olkoon G = (V, E) ja G = (V, E ) graafeja ja G G := (V V, E E ). Jos V V ja E E, niin G on graan G aligraa. Jos G Gja V V, niin G on graan G aito aligraa. [2, ss. 3-4] Aligraa G ei siis sisällä yhtään viiva tai pistettä, joita graa G ei sisällä Indusoitu aligraa Määritelmä 2.8. Pistejoukon U V (G) indusoima graa on graan G aligraa, joka sisältää kaikki viivat, joiden molempina päätepisteinä on joukon U piste. Kyseistä graaa merkitään G [V (U)]. [2, s. 4] 9
11 3 Yhtenäisyys Käsite yhtenäisyys on tärkeä graateoriassa. Se ilmaisee, kuinka vahvasti graan pisteet on yhteydessä toisiinsa. Tätä vahvuutta mitataan sillä, kuinka monta pistettä tai viivaa pitää graasta poistaa, jotta siitä tulisi epäyhtenäinen. Toisaalta sitä voidaan myös arvioida sillä, kuinka monta erillistä polkua eri pisteiden välillä on. Itse asiassa nämä näkökulmat ovat saman asian eri puolia, jonka todistaa klassinen Mengerin lause vuodelta 1927 (ks. 3.10), jota usein kuvataan yhdeksi graateorian kulmakivistä. [2, s. 59] Määritelmä 3.1. Ei-tyhjä graa G on yhtenäinen, jos mitkä tahansa sen kaksi pistettä on yhdistetty jollain polulla. Muulloin se on epäyhtenäinen. [2, s. 10] Määritelmä 3.2. Merkintä G S tarkoittaa, että graasta G poistetaan joukon S pisteet ja niihin liittyvät viivat. [2, s. 11] Määritelmä 3.3. Olkoon G = (V, E) graa ja u, v V. Pistejoukko S V \{u, v} erottaa eli separoi pisteet u ja v toisistaan, jos graa G S ei sisällä yhtään polkua u v. Tätä joukkoa S sanotaan separoivaksi joukoksi tai separaattoriksi. [4, s. 29] Määritelmä 3.4. Yhtenäisyysluku κ(g) = min{ A A VG ja G A on epäyhtenäinen tai triviaali}. Graa G on k-yhtenäinen, jos yhtenäisyysluku κ(g) k. [2, s. 11] Toisin sanoen graa G on k-yhtenäinen, jos se pysyy yhtenäisenä aina, kun siitä poistaa vähemmän kuin k mielivaltaisesti valittua pistettä. Minkä tahansa pisteparin separoimiseen tarvitaan siis vähintään k pisteen poistoa. 10
12 Esimerkiksi kaikki syklit ovat 2-yhtenäisiä, koska yhden pisteen poistaminen ei separoi yhtään pisteparia. 3.1 Mengerin lause Mengerin lauseelle on esitetty useita todistuksia, joista osa vahvempia kuin Mengerin esittämä ja osa virheellisiä [6, s. 167]. Diestel esittää kolme eri todistusta [2, ss ], joista tässä käsitellään ensimmäinen. Määritellään ennen itse lausetta sen esittämiseen ja todistamiseen tarvittavia käsitteitä. Määritelmä 3.5. Kun A ja B ovat graan G pistejoukkoja ja pisteet x 0,..., x k graan G pisteitä, kutsumme polkua P = x 0,..., x k A B poluksi, jos V (P ) A = x 0 ja V (P ) B = x k. [2, s. 7] Toisin sanoen joukossa A on polun ensimmäinen piste ja joukossa B polun viimeinen piste, eikä yksikään polun sisäpiste ole joukossa A tai B. Määritellään sitten separointi myös joukoille, eli laajennetaan aiempaa pisteparien separoimiseen liittyvää määritelmää 3.3. Määritelmä 3.6. Jos A, B V (G) ja X V (G) E(G) ovat sellaisia joukkoja, että jokainen A B polku graassa G sisältää pisteen tai viivan joukosta X, sanotaan, että X separoi joukot A ja B graassa G. [2, s. 11] Huomattakoon, että tässä joukot A ja B eivät välttämättä ole erilliset. Myös triviaalit polut (eli yksittäiset pisteet) voivat separoida joukot A ja B silloin, kun A B, B A tai A = B. Määritelmä 3.7. Merkintä G e tarkoittaa graaa G, josta on poistettu viiva e = xy, mutta ei pisteitä x ja y. [2, s. 4] 11
13 Määritelmä 3.8. Merkintä G/e tarkoittaa, että graasta G on supistettu viiva e = xy sekä pisteet x ja y ja niiden tilalle on laitettu piste v e. Tähän pisteeseen v e liitetään viivat, jotka ennen supistamista liittyivät pisteisiin x ja y. [2, s. 20] Määritelmä 3.9. Luku k = k(g, A, B) on minimimäärä pisteitä, jotka separoivat joukot A ja B graassa G. [2, s. 66] On selvää, että G sisältää enintään k erillistä A B polkua. Jos erillisiä polkuja olisi enemmän, separoivan joukon koko olisi suurempi kuin k, mikä on ristiriita luvun k määritelmän perusteella. Lause (Menger 1927). Olkoon G = (V, E) yhtenäinen graa ja A, B V kaksi pistejoukkoa. Silloin A:n ja B:n separoivan pistejoukon pisteiden minimimäärä on sama kuin erillisten A B polkujen maksimimäärä. Lauseen 3.10 todistuksessa on tavoitteena osoittaa, että on olemassa täsmälleen k erillistä A B polkua graassa G. Se tehdään induktiolla niin, että ensimmäisessä osassa käytetään graaa G/e osoittamaan, että graassa G on A B separaattori, missä on täsmälleen k pistettä. Toisessa osassa käytetään graaa G e osoittamaan, että on olemassa k erillistä polkua joukosta A joukkoon X ja k erillistä polkua joukosta X joukkoon B niin, että ne voidaan yhdistää muodostamaan k erillistä polkua joukosta A joukkoon B graassa G. Todistus. [2, ss ] Todistetaan lause 3.10 induktiolla graan G viivojen lukumäärän suhteen. Tehdään induktio-oletus: Mengerin lause on totta kaikille graafeille, joissa on vähemmän viivoja kuin graassa G. Jos viivoja ei ole 12
14 yhtään, niin joukkojen A ja B yhteisten pisteiden lukumäärä on k ja triviaaleja A B polkuja on siten k kappaletta ja Mengerin lause pätee. Oletetaan siis, että graassa G on vähintään yksi viiva e = xy, eli G 1. Käsitellään sitten graaa G/e, jossa on siis yksi viiva vähemmän kuin graassa G, eli G/e < G. Valitaan pisteet x ja y niin, että jos jompikumpi (tai molemmat) pisteistä on joukossa A G, niin supistettu piste v e lasketaan kuuluvaksi joukkoon A G/e (vastaavasti B). Huomattakoon, että jos a A ja b B, niin piste v e ajatellaan kuuluvan molempiin joukkoihin. Jos graassa G on vähemmän kuin k erillistä A B polkua, niin selvästi näin on myös graassa G/e. Nyt voidaan soveltaa induktio-oletusta, eli lause pätee kun G/e < G. Koska siis G/e = G 1 < G, graalla G/e on A B separaattori Y, missä on vähemmän kuin k pistettä. Joukossa Y G/e täytyy olla myös piste v e, koska muuten joukko Y V olisi A B separaattori graassa G. Silloin X := (Y/{v e }) {x, y} on A B separaattori graassa G, missä X = k. Lyhyesti: koska X k, mutta toisaalta X = Y + 1 ja Y < k, niin X = k ja lauseen ensimmäinen osa on todistettu. Käsitellään seuraavaksi graaa G e. Olkoon pistejoukko S G e A X separaattori. Tällöin jokainen A B polku sisältää joukon X pisteen ja siten myös joukon S pisteen, joten S on A B separaattori graassa G. Siten S k. Koska G e = G 1 < G, niin Mengerin lause pätee graalle G e, jolla siten on k erillistä A X polkua. On siis olemassa k riippumatonta A X polkua graassa G e, ja vastaavasti on olemassa k erillistä X B polkua graassa G e. Koska X separoi joukot A ja B, näillä poluilla ei ole yhteisiä pisteitä joukon X ulko- 13
15 puolella, joten ne pystytään yhdistämään k erilliseksi A B poluksi. Täten induktioperiaatteen nojalla Mengerin lause pätee kaikille graafeille. 14
16 4 Euleriaanisuus Seuraavaksi esitellän moderni versio Eulerin lauseesta ja todistetaan se. Määritelmä 4.1. Graalla G = (V, E) on Eulerin reitti, jos se sisältää kulun, jossa jokainen graan G viiva esiintyy täsmälleen kerran. Suljettu Eulerin reitti on Eulerin kierros. Yhtenäinen graa on Eulerin graa tai euleriaaninen, jos se sisältää Eulerin kierroksen. [2, s. 23] Eulerin reitti voi siis alkaa eri pisteestä kuin mihin se päättyy, mutta Eulerin kierroksella on sama alku- ja loppupiste. Eulerin reitin alku- ja loppupiste voivat olla asteeltaan parittomia, koska reitin ei tarvitse sekä lähteä että tulla kyseiseen pisteeseen. Lause 4.2. (Euler 1736) Yhtenäinen graa on euleriaaninen, jos ja vain jos sen jokaisen pisteen aste on parillinen. Todistus. [2, ss ] Oletetaan ensin, että graa G on euleriaaninen. Tällöin jokaisen pisteen aste on välttämättä parillinen, koska reitin täytyy jonkin kulkusuunnan mukaan sekä saapua pisteeseen että poistua siitä. Oletetaan sitten, että yhtenäisen, ei-triviaalin graan G kaikkien pisteiden aste on parillinen ja siinä on kulku v 0 e 0... e l 1 v l. Olkoon tämä kulku W graan G pisin kulku, missä kukin viiva esiintyy enintään kerran. Tämä kulku sisältää graan G kaikki viivat, koska jos se ei sisältäisi viivaa e G(E), tämän viivan e kautta menevä kulku olisi pitempi kuin W. Tämä on ristiriita kulun W pituusoletuksen perusteella. Jos kulku W ei olisi suljettu, eli v 0 v l, niin pisteestä v l lähtevien viivojen määrä olisi 2(k 1) + 1 eli sen aste olisi pariton. Tämä on ristiriita graan pisteiden asteen parillisuuden kanssa, joten v 0 = v l eli kulku W on suljettu. 15
17 Eli W on suljettu, G on yhtenäinen ja W sen pisin kulku. Jos G ei ole euleriaaninen, on olemassa viiva e = uv i E(G), joka ei ole kulun W viiva, mutta joka on liittynyt johonkin kulun W pisteeseen. Tällöin kulku uev i e i... e l 1 v l e 0... e i 1 v i on pitempi kuin W. Tämä on ristiriita, joten G on euleriaaninen, W on Eulerin reitti ja lause on todistettu. Kun ajatellaan Königsbergin sillat (kuva 1) viivoiksi ja niihin liittyvät maa-alueet pisteiksi, nähdään selvästi, että pisteiden parillisuusehto euleriaanisuudelle ei toteudu. Täten Eulerin reitti tai kierros kyseisessä asetelmassa ei ole mahdollinen. 16
18 5 Hamiltonilaisuus Lopuksi käsitellään sitä, millaisista graafeista Hamiltonin syklin voi löytää eli käsitellään ehtoja graan hamiltonilaisuudelle. Graan hamiltonilaisuuden selvittäminen on paljon vaativampaa kuin euleriaanisuuden ja se onkin ensimmäisiä NP-täydellisiä ongelmia. Graan hamiltonilaisuudelle ei vielä tunneta hyvää karakterisointia, toisin kuin graan euleriaanisuudelle. [2, ss ] Määritelmä 5.1. Suuntaamattoman graan Hamiltonin polku on polku, joka käy graan jokaisessa pisteessä täsmälleen yhden kerran. Hamiltonin sykli on Hamiltonin polku, joka on sykli. Graaa, joka sisältää Hamiltonin syklin, sanotaan hamiltonilaiseksi. [2, s. 293] Eulerin kierroksella ja Hamiltonin syklillä on siis se olennainen ero, että euleriaanisuus koskee graan kaikkien viivojen läpikäyntiä, hamiltonilaisuus pisteiden. 5.1 Välttämättömiä ehtoja hamiltonilaisuudelle Triviaaleja välttämättömiä ehtoja graan hamiltonilaisuudelle ovat yhtenäisyys ja se, että jokaisen pisteen aste on vähintään kaksi. Graassa täytyy tietysti olla myös vähintään kolme pistettä. Jokaisella hamiltonilaisella graalla siis on nämä ominaisuudet, mutta jokainen graa, jolla on nämä ominaisuudet, ei välttämättä ole hamiltonilainen. Esimerkiksi kuvan 4 graa toteuttaa nämä triviaalit ehdot, muttei ole hamiltonilainen. Esitellään seuraavaksi graan komponenttien määrään liittyvä välttämätön ehto hamiltonilaisuudelle. Tämä ehto ei ole yhtä triviaali kuin juuri mai- 17
19
20
21
22 5.2 Riittäviä ehtoja hamiltonilaisuudelle Tämän tutkielman lopuksi esitetään ja todistetaan neljä lausetta, joissa jokaisessa esitetään riittävät ehdot graan hamiltonilaisuudelle Diracin lause Ensimmäisenä käsitellään Diracin klassinen lause vuodelta Siinä oleellinen ehto liittyy graan minimiasteeseen. Lause 5.5. (Dirac 1952). Jokaisessa graassa G, missä on vähintään kolme pistettä ja minimiaste vähintään G /2, on Hamiltonin sykli. Todistus. [2, s. 294] Olkoon G = (V, E) graa, jolle G = n 3 ja δ(g) n/2. Tällöin G on yhtenäinen graa, koska jos se ei olisi yhtenäinen, siinä olisi vähintään yksi komponentti C. Tämä ei graassa G ole mahdollista, koska vaikka pienin komponentti olisi täydellinen graa, sen minimiaste olisi vähemmän kuin C n/2. Jos taas olisi C n/2, niin C ei olisi pienin komponentti. Olkoon P = v 0... v k graan G pisin polku. Kaikki pisteiden v 0 ja v k naapurit ovat polussa P, koska muutoin P ei olisi graan G pisin polku. Oletetaan, että pisteet v 0 ja v k eivät ole naapureita, koska saataisiin Hamiltonin syklin, eikä olisi muuta näytettävää. Tällöin molempien pisteiden v 0 ja v k kaikki naapurit ovat joukossa {v 1,..., v k 1 }. Alkuoletuksen perusteella tiedetään, että pisteellä v k on vähintään n/2 naapuria. Tutkitaan sitten niitä pisteen v k naapureiden naapureita, jotka eivät ole pisteen v k naapureita. Niitäkin on vähintään n/2 kappaletta. Tutkitaan vielä pisteen v 0 naapureita. Niitäkin on vähintään n/2 kappaletta. Koska sekä pisteen v 0 että v k naapureita on vähintään n/2, eivätkä v 0 ja v k 21
23
24 Todistus. [2, s. 295] Asetetaan κ(g) =: k ja olkoon C graan G pisin sykli. Nimetään syklin C pisteet niin, että V (C) = {v i i Z n }, missä v i v i+1 E(C) aina, kun i Z n. Jos sykli on Hamiltonin sykli, muuta ei tarvitse tehdä. Oletetaan siis, että C ei ole Hamiltonin sykli. Valitaan siis piste u G C ja u C viuhka F = {P i i I} graassa G, missä I Z n ja jokainen polku P i päättyy pisteeseen v i. Piste u on siis syklin C ulkopuolinen piste, ja pisteet v i ovat syklissä C. Olkoon F mahdollisimman suuri. Tällöin uv j / E(G) aina, kun j / I ja F min {k, C } (1) Mengerin lauseen 3.10 perusteella. Huomataan, että aina, kun i I, niin i+1 / I. Jos näin ei olisi, (C P i P i+1 ) v i v i+1 olisi pitempi sykli kuin C, mikä olisi ristiriidassa alkuoletuksen kanssa. Siten F < C ja siten I = F k kohdan (1) perusteella. Lisäksi v i+1 v h+1 v i v i+1 v j v j+1 olisi pitempi sykli kuin C. Täten {v i+1 i I} {u} on vähintään k + 1 riippumattoman pisteen joukko graassa G, aiheuttaen ristiriidan oletuksen α(g) k kanssa. Näin ollen syklin C ulkopuolella ei ole yhtään pistettä ja siten C on Hamiltonin sykli graassa G. 23
25 5.2.3 Asratian & Khachatrian lause Tässä kolmannessa lauseessa käsitellään paikallisen minimiasteen merkitystä hamiltonilaisuuteen, ei koko graan minimiasteen, kuten Diracin lauseessa. Lause 5.8. (Asratian & Khachatrian 1990). Yhtenäinen graa G, jossa on pisteitä vähintään 3, sisältää Hamiltonin syklin, jos jokaiselle indusoidulle polulle uvw pätee d(u) + d(w) N(u) N(v) N(w). Toisin sanoen jos pisteiden u ja w asteiden summa on vähintään yhtä suuri kuin pisteiden u, v ja w G(V ) naapurustojen unionin pisteiden lukumäärä aina, kun uvw on graan G indusoitu polku, niin graassa G on Hamiltonin sykli. Tämä polku sisältää siis vain kolme pistettä, mutta ne voivat olla graan G mitkä tahansa kolme pistettä niin, että v on sisäpiste ja u ja w sen naapureita. Indusoidussa polussa uvw, joka on siis graan G aligraa, on siis vain kolme pistettä. Todistus. [2, ss ] Olkoon uvw jokin graan G indusoitu polku. Koska d(u) + d(w) = N(u) N(w) + N(u) N(w) ja graan aste on vähintään 3, niin N(u) N(w) N(v) \ N({u, w}) {u, w} 2. (2) Yllä olevan perusteella ja koska yhtenäisessä graassa G on vähintään kolme pistettä, on graassa sykli. Olkoon C pisin sykli G:ssä. Olettaen, että G ei ole hamiltonilainen, valitaan piste u / C. Valitaan piste niin, että sillä on naapuri syklissä C:ssä ja määritellään V := N(u) V (C). Lisäksi merkitään 24
26 v + niitä pisteitä, jotka ovat pisteen v V jälkeen syklin C jonkin kiertosuunnan mukaan. Määritellään lisäksi joukon V + := {v + v V }. Koska C on pisin sykli, ei joukoilla V ja V + ole yhteisiä pisteitä, eikä joukossa V + {u} ole kahta vierekkäistä pistettä. Tämän unionin pisteillä ei täten myöskään ole yhteistä naapuria (3) syklin C ulkopuolella. Koska polut uvv + ovat indusoituja, kohdan (2) perusteella aina, kun v V, on N(u) N(v + ) N(v) \ N({u, v + }) N(v) V Viimeinen epäyhtälö tulee siitä, että kohdan (3) perusteella sekä piste u että joukon V + pisteet eivät kuulu pisteiden u ja v+ naapurustoon. Viivat, jotka ovat joukkojen V ja V+ pisteitä yhdistäviä viivoja, toteuttavat lukumäärällään lauseen V, V + = N(v) V + ( N(v) N(v + ) 1)= V, V + V. v inv v inv Tämä on ristiriita, joten C on Hamiltonin sykli ja lause on todistettu Chvátalin lause Neljäntenä käsitellään lause, jonka ehto liittyy graan astejonoon. Määritelmä 5.9. Olkoon d 1, d 2,... d n laskeva äärellinen jono ei-negatiivisia kokonaislukuja, eli d 1 d 2... d n. Jono on esitettävissä graalla, jos on olemassa sellainen graa G = (V, E), missä V = v 1, v 2,... v n ja deg G (v i ) = d i aina, kun i = 1, 2,..., n. Jono d 1, d 2,..., d n on silloin graan G astejono. Jos 25
27 astejonon (a 1,..., a n ) jokainen termi a i on vähintään yhtä suuri kuin astejonon (d 1,..., d n ) jokainen termi d i, niin sanotaan, että astejono (a 1,..., a n ) on pisteittäin suurempi kuin astejono (d 1,..., d n ) Mielivaltaista astejonoa (a 1,..., a n ) kutsutaan hamiltonilaiseksi, jos jokainen graa, missä on n pistettä ja astejono, joka on pisteittäin suurempi kuin (a 1,..., a n ), on hamiltonilainen. [2, s. 297] Lause (Chvátal 1972) Astejono (a 1,..., a n ), missä 0 a 1,..., a n < n ja n 3, on hamiltonilainen, jos ja vain jos a i i a n i n i aina, kun i < n/2. Chvátalin ehto hamiltonilaisuudelle on siis se, että jos kyseisen astejonon i:s termi on enintään yhtä suuri kuin luku i, niin termien a n i, a n i+1..., a n on oltava vähintään yhtä suuria kuin luku n i aina, kun i < n/2. Eli jos astejonossa on pieniasteisia termejä, silloin se sisältää myös termejä, joiden aste on suuri. Todistus. [2, ss ] Todistetaan lause kahdessa osassa. Ensin oletuksena on Chvátalin ehto ja seurauksena graan hamiltonilaisuus. Toisessa osassa oletuksena hamiltonilaisuus ja seurauksena ehto. Olkoon (a 1,..., a n ) mielivaltainen astejono niin, että 0 a 1,..., a n n 0 a 1 a n < n ja n 3. Oletetaan, että tämä sarja toteuttaa lauseen ehdot ja todistetaan, että se on hamiltonilainen. Tehdään vastaoletus. Silloin on olemassa graa, jonka astejono (d 1,..., d n ) toteuttaa ehdon d i a i kaikille i, (4) mutta jolla ei ole Hamiltonin sykliä. Olkoon G = (V, E) sellainen graa, jos- 26
28 sa on maksimaalinen määrä viivoja ilman, että siinä on Hamiltonin sykli. Kohdan (4) perusteella oletus astejonolle (a 1,..., a n ) on voimassa myös astejonolle (d 1,..., d n ) graassa G, eli d i i d n i n i kaikille i < n/2. (5) Olkoon x, y erilliset ei-vierekkäiset pisteet graassa G, missä d x dy ja d(x) + d(y) mahdollisimman suuria. Helposti nähdään, että astejono G + xy on pisteittäin suurempi kuin (d 1,..., d n ) ja siten myös pisteittäin suurempi kuin (a 1,..., a n ). Siten, graan G maksimaalisuuden perusteella, uusi lisätty viiva xy on Hamiltonin syklissä H, joka on graassa G + xy. Jos näin ei olisi, alussa valittu graa G ei olisi ollut maksimaalinen. Koska minkä tahansa viivan lisääminen tekee graain G Hamiltonin syklin, on siinä oltava Hamiltonin polku. Eli polku H xy on Hamiltonin polku x 1,..., x n graassa G, ja valitaan x 1 = x ja x n = y. Käytetään samaa tekniikkaa kuin Diracin lauseen todistuksessa, ja otetaan käyttöön indeksijoukot I := {i xx i+1 E} ja J := {j x j y E}. Silloin I J {1,..., n 1} ja I J =, koska graa G ei ole hamiltonilainen. Siten d(x) + d(z) h + (n h) = n, (6) joten h := d(x) < n/2 pisteen x valinnan perusteella. Koska x i y / E aina, kun i E, niin kaikki nämä pisteet x i eivät välttämättä ole erillisiä pisteen x kanssa (tai pisteen y). Koska valittiin pisteet {x, y}, siten, että d(x) ja d(y) ovat maksimaaliset, niin d(x i ) d(x) aina, kun i I. Siten graalla G on 27
29 vähintään I = h pistettä, joiden aste on enintään h, joten dh h. Kohdan (5) perusteella d n h on vähintään yhtä suuri kuin n h. Toisin sanoen kaikilla h + 1 pisteellä, joiden aste on d n h,..., d n, on siis asteen suuruus vähintään n h. Koska d(x) = h, niin on olemassa piste z, joka ei ole pisteen x naapuri. Koska dx + dz h + (n h) = n, niin pisteiden x ja y valinta on ristiriidassa kohdan (6) perusteella. Täten Chvátalin ehdon toteuttavassa graassa on Hamiltonin sykli ja todistuksen ensimmäinen osa on todistettu. Käsitellään sitten todistuksen toinen osa. Olkoon astejono (a 1,..., a n ) niin kuin lauseessa 5.10, mutta niin, että a h h ja a n h n h 1, kun h < n/2. Oletetaan, että jokaista tällaista astejonoa kohtaan on olemassa graa, jolla on pisteittäin suurempi astejono, mutta joka ei ole hamiltonilainen. Chvátalin ehtoa muutetaan siis niin, että yhtäsuuruus jätetään pois. Kun astejono (h,..., h, n h 1,..., n h 1, n 1,..., n 1) }{{}}{{}}{{} h kertaa n-2h kertaa h kertaa on pisteittäin suurempi kuin (a 1,..., a n ), riittää, että löydetään graa, jolla on tämä astejono, mutta joka ei ole hamiltonilainen. Kuvassa 8 on kahden graan unioni. Vasemman ja oikean puolen yhdistää kaksiosainen graa K h,h, eli vasemmalla puolella on h pistettä, jotka 28
30 Kuva 8: Graa, jossa ei ole Hamiltonin sykliä yhdistyvät oikealle puolelle h pisteeseen. Vasemmalla oleva pistejoukko on riippumaton joukko, jossa kaikilla pisteillä aste on siis h. Oikealla puolella on täydellinen graa K n h. Toisin sanoen, viivajoukko {v i v j i, j > h} {v i v j i h; j > n h}; on graan K n h unioni pisteissä v h+1,..., v n ja graa K h,h, missä on ositukset {v 1,..., v n } ja {v n h+1,..., v n }. Kuvan 8 graassa ei voi olla sykliä, jossa olisi pisteiden v 1, v 2... v n lisäksi piste v h+1. Chvátalin ehtoa muuttamalla voidaan siis saada ei-hamiltonilainen graa. Näin ollen lause on tosi. 29
31 Lähdeluettelo 1. N. L. Bigg, E. K. Lloyd, R. J. Wilson: Graph Theory Oxford University Press, Bristol, R. Diestel: Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics (4. ed). Springer-Verlag, New York, electronic edition [WWW-dokumentti]. [Viitattu ]. < 3. B. Hopkins, R. J. Wilson: The Truth about Königsberg. The College Mathematics Journal, Vol. 35, No. 3, May 2004, pp [WWW-dokumentti]. [Viitattu ]. < 4. M. Peltola: Graateoria, luentorunko. Oulun yliopisto, [WWWdokumentti]. [Viitattu ]. < mpa/graau12.pdf> 5. K. Ruohonen: Graateoria. Luentomoniste. Tampereen Teknillinen Yliopisto, [WWW-dokumentti]. [Viitattu ]. < ruohonen/gt.pdf> 6. D. B. West: Introduction to graph theory (2. ed). Prentice Hall, Upper Saddle River (N.J.),
Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )
Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
Lisätiedot0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.
Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 166 Luku 4 Erilaisia graafeja 4.1 Eulerin graafi 4.2 Hamiltonin graafi 4.3 Tasograafi 4.4 Graafin värittäminen
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
Lisätiedotb) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan
Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla
LisätiedotNäytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
LisätiedotKysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?
7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,
LisätiedotTehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
LisätiedotNäin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto
Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotPuiden karakterisointi
Puiden karakterisointi LuK-tutkielma Airta Ella 2502661 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Johdatus verkkoteoriaan 3 1.1 Verkko käsitteenä.........................
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotA274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
LisätiedotGraafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005
Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T-79.165 Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Mikko Malinen, 36474R 29. maaliskuuta, 2005 Tiivistelmä Artikkelissa käydään läpi teoriaa, jonka avulla
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Lisätiedot= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
LisätiedotLuentorunko Kevät Matti Peltola.
GRAAFITEORIA 031029S Luentorunko Kevät 2009 Matti Peltola http://www.ee.oulu./mpa/graate.htm Hyödyllistä tietoa Matematiikan jaoksen tuottamasta opetuksesta löytyy osoitteesta http://s-mat-pcs.oulu./opetus
Lisätiedot7.4. Eulerin graafit 1 / 22
7.4. Eulerin graafit 1 / 22 Viivojen läpikäynti Graafin pisteiden/viivojen läpikäyminen esiintyy usein sovelluksissa: Etsintäalgoritmit, reititykset Läpikäyminen tehdään nopeimmin, kun yhtäkään viivaa/pistettä
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedotkeskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
LisätiedotGraafiteoria matematiikkaako?
Koostanut: Elina Viro, Juho Lauri Opettajalle Graafiteoria matematiikkaako? Kohderyhmä: 7.-9.-luokkalaiset Esitiedot: - Taustalla oleva matematiikka: Graafiteoria, looginen ajattelu Ajankäyttö: Varsinainen
LisätiedotYhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
Lisätiedotv 8 v 9 v 5 C v 3 v 4
Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
LisätiedotEulerin verkkojen karakterisointi
Eulerin verkkojen karakterisointi Pro Gradu -tutkielma Jenni Heikkilä 373175 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 018 Sisältö Johdanto 1 Verkkojen peruskäsitteet 3 1.1 Verkon määrittely.........................
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotAlgoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotVastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotTodistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.
3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >
LisätiedotYhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi
Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },
LisätiedotMohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa
Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain
LisätiedotTehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2
Tehtävä 0 : Kuvassa Etelä-Amerikan valtioita vastaavat solmut on sijoitettu toisiinsa nähden niiden pääkaupunkien keskinäistä sijaintia vastaavalla tavalla. Kuvioon on joukon {0,, 2, 3 alkioilla merkitty
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
LisätiedotMatemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja
Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä
Lisätiedot+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain
Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotTehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)
Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p
LisätiedotV. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jenna Laine. Ramseyn teoria
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jenna Laine Ramseyn teoria Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta LAINE, JENNA: Ramseyn teoria Pro
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
LisätiedotInduktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.
Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotRatkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Palataan Partakylään. Olkoon P partatietokanta ja M tästä saatu malli kuten Harjoitusten 1
Lisätiedotj(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotTarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.
Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA11 Koe.4.014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotLuvun π irrationaalisuus. Ilari Vallivaara
Luvun π irrationaalisuus Ilari Vallivaara 27. marraskuuta 24 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Todistuksen pääpiirteinen kulku 3 3 Todistus 4 Lähdeluettelo 9 1 1 Esipuhe Luvun π irrationaalisuus seuraa suoraan sen
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 3 Mikko Salo 1.9.2017 Sisältö 1. Logiikasta 2. Suora ja epäsuora todistus 3. Jaollisuus ja alkuluvut Todistus Tähän asti esitetyt todistukset ovat olleet esimerkinomaisia.
Lisätiedot