Johdatus graafiteoriaan
|
|
|
- Riitta Mäkinen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta
2 126 Luku 3 Puut 3.1 Puu 3.2 Virittävä puu 3.3 Virittävän puun konstruointi 3.4 Minimaalinen virittävä puu 3.5 Metsä 3.6 Silmukka ja irrotusjoukko 3.7 Perussilmukka ja perusirrotusjoukko 3.8 Graafin vektoriavaruus
3 3.1 Puu Tässä luvussa tarkastellaan yhtenäisiä silmukattomia graafeja eli puita. Määritelmä 3.1 Puu on suuntaamaton yhtenäinen silmukaton graafi. Jos puu on graafin G aligraafi, kyseessä on graafin G alipuu. 127
4 3.1 Puu Tässä luvussa tarkastellaan yhtenäisiä silmukattomia graafeja eli puita. Määritelmä 3.1 Puu on suuntaamaton yhtenäinen silmukaton graafi. Jos puu on graafin G aligraafi, kyseessä on graafin G alipuu. Esimerkki 3.1 Kuvassa 3.1 on muutamia puita. Kuvassa 3.2 taas on pari esimerkkiä orgaanisesta kemiasta, jossa avoketjuisia hiilivetyjä mallinnetaan puiden avulla. 127
5 128 T 1 : T 2 : T 3 : Kuva 3.1. Esimerkkejä puista. H H H H - C - H H - C - C - H H H H Kuva 3.2. Metaani- ja etaanimolekyylien rakennekaavat.
6 Todistamme ensiksi, että n-solmuisessa puussa on n 1 särmää ja m-särmäisessä puussa vastaavasti m + 1 solmua. 129
7 Todistamme ensiksi, että n-solmuisessa puussa on n 1 särmää ja m-särmäisessä puussa vastaavasti m + 1 solmua. Lause 3.1 Puun kahden solmun välillä on täsmälleen yksi suora polku 129
8 Todistamme ensiksi, että n-solmuisessa puussa on n 1 särmää ja m-särmäisessä puussa vastaavasti m + 1 solmua. Lause 3.1 Puun kahden solmun välillä on täsmälleen yksi suora polku Lause 3.2 Jos puussa on n solmua ja m särmää, niin m = n
9 Todistamme ensiksi, että n-solmuisessa puussa on n 1 särmää ja m-särmäisessä puussa vastaavasti m + 1 solmua. Lause 3.1 Puun kahden solmun välillä on täsmälleen yksi suora polku Lause 3.2 Jos puussa on n solmua ja m särmää, niin m = n 1. Lause 3.3 Olkoon G silmukaton (n 1)-särmäinen graafi, jossa on korkeintaan n solmua. Tällöin G on puu, jossa on n solmua. 129
10 130 Lause 3.4 Olkoon G jokin n-solmuinen m-särmäinen graafi. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. 1. Graafi G on puu.
11 130 Lause 3.4 Olkoon G jokin n-solmuinen m-särmäinen graafi. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. 1. Graafi G on puu. 2. Graafin G jokaisen kahden solmun välillä on täsmälleen yksi suora polku eikä graafissa G ole luuppeja.
12 130 Lause 3.4 Olkoon G jokin n-solmuinen m-särmäinen graafi. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. 1. Graafi G on puu. 2. Graafin G jokaisen kahden solmun välillä on täsmälleen yksi suora polku eikä graafissa G ole luuppeja. 3. Graafi G on yhtenäinen ja m = n 1.
13 130 Lause 3.4 Olkoon G jokin n-solmuinen m-särmäinen graafi. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. 1. Graafi G on puu. 2. Graafin G jokaisen kahden solmun välillä on täsmälleen yksi suora polku eikä graafissa G ole luuppeja. 3. Graafi G on yhtenäinen ja m = n Graafi G on silmukaton ja m = n 1.
14 130 Lause 3.4 Olkoon G jokin n-solmuinen m-särmäinen graafi. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. 1. Graafi G on puu. 2. Graafin G jokaisen kahden solmun välillä on täsmälleen yksi suora polku eikä graafissa G ole luuppeja. 3. Graafi G on yhtenäinen ja m = n Graafi G on silmukaton ja m = n Graafi G on silmukaton ja lisäämällä graafiin G mikä tahansa uusi särmä saadaan graafi, jossa on täsmälleen yksi silmukka.
15 130 Lause 3.4 Olkoon G jokin n-solmuinen m-särmäinen graafi. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. 1. Graafi G on puu. 2. Graafin G jokaisen kahden solmun välillä on täsmälleen yksi suora polku eikä graafissa G ole luuppeja. 3. Graafi G on yhtenäinen ja m = n Graafi G on silmukaton ja m = n Graafi G on silmukaton ja lisäämällä graafiin G mikä tahansa uusi särmä saadaan graafi, jossa on täsmälleen yksi silmukka.
16 130 Lause 3.4 Olkoon G jokin n-solmuinen m-särmäinen graafi. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. 1. Graafi G on puu. 2. Graafin G jokaisen kahden solmun välillä on täsmälleen yksi suora polku eikä graafissa G ole luuppeja. 3. Graafi G on yhtenäinen ja m = n Graafi G on silmukaton ja m = n Graafi G on silmukaton ja lisäämällä graafiin G mikä tahansa uusi särmä saadaan graafi, jossa on täsmälleen yksi silmukka. Lause 3.5 Vähintään kaksisolmuisessa puussa on ainakin kaksi loppusolmua.
17 Lause 3.4 Olkoon G jokin n-solmuinen m-särmäinen graafi. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. 1. Graafi G on puu. 2. Graafin G jokaisen kahden solmun välillä on täsmälleen yksi suora polku eikä graafissa G ole luuppeja. 3. Graafi G on yhtenäinen ja m = n Graafi G on silmukaton ja m = n Graafi G on silmukaton ja lisäämällä graafiin G mikä tahansa uusi särmä saadaan graafi, jossa on täsmälleen yksi silmukka. Lause 3.5 Vähintään kaksisolmuisessa puussa on ainakin kaksi loppusolmua. Lause 3.5 voidaan todistaa myös osoittamalla, että puussa ei-irrotussolmut ovat loppusolmuja. (Totea.) 130
18 Virittävä puu Määritelmän 1.25 mukaan aligraafi, jossa on kaikki graafin solmut, on virittävä aligraafi. Virittävä puu on tämän erikoistapaus. Määritelmä 3.2 Graafin G virittävä puu on graafin G alipuu, joka sisältää kaikki graafin G solmut. Jos T on graafin G virittävä puu, niin T = G T on graafin G virittävä vastapuu. Virittävän puun särmiä sanotaan myös oksiksi ja virittävän vastapuun särmiä siteiksi tai kaariksi.
19 132 G: T 1 : T 2 : T 1 * : * T 2 : Kuva 3.3. Graafin G virittävät puut T 1 ja T 2 sekä virittävät vastapuut T 1 ja T 2. Kaikilla graafeilla ei ole virittävää puuta (ks. lause 3.9). Toisaalta graafilla voi olla useita virittäviä puita (ks. kuva 3.3). Virittävä vastapuu ei yleensä ole puu.
20 133 Lause 3.6 Olkoon H jonkin n-solmuisen graafin G jokin n-solmuinen ja m-särmäinen aligraafi. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. 1. Graafi H on graafin G virittävä puu.
21 133 Lause 3.6 Olkoon H jonkin n-solmuisen graafin G jokin n-solmuinen ja m-särmäinen aligraafi. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. 1. Graafi H on graafin G virittävä puu. 2. Graafin H jokaisen kahden solmun välillä on täsmälleen yksi suora polku eikä graafissa H ole luuppeja.
22 133 Lause 3.6 Olkoon H jonkin n-solmuisen graafin G jokin n-solmuinen ja m-särmäinen aligraafi. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. 1. Graafi H on graafin G virittävä puu. 2. Graafin H jokaisen kahden solmun välillä on täsmälleen yksi suora polku eikä graafissa H ole luuppeja. 3. Graafi H on yhtenäinen ja m = n 1.
23 133 Lause 3.6 Olkoon H jonkin n-solmuisen graafin G jokin n-solmuinen ja m-särmäinen aligraafi. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. 1. Graafi H on graafin G virittävä puu. 2. Graafin H jokaisen kahden solmun välillä on täsmälleen yksi suora polku eikä graafissa H ole luuppeja. 3. Graafi H on yhtenäinen ja m = n Graafi H on silmukaton ja m = n 1.
24 133 Lause 3.6 Olkoon H jonkin n-solmuisen graafin G jokin n-solmuinen ja m-särmäinen aligraafi. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. 1. Graafi H on graafin G virittävä puu. 2. Graafin H jokaisen kahden solmun välillä on täsmälleen yksi suora polku eikä graafissa H ole luuppeja. 3. Graafi H on yhtenäinen ja m = n Graafi H on silmukaton ja m = n Graafi H on silmukaton ja lisäämällä graafiin H mikä tahansa uusi särmä saadaan graafi, jossa on täsmälleen yksi silmukka.
25 133 Lause 3.6 Olkoon H jonkin n-solmuisen graafin G jokin n-solmuinen ja m-särmäinen aligraafi. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. 1. Graafi H on graafin G virittävä puu. 2. Graafin H jokaisen kahden solmun välillä on täsmälleen yksi suora polku eikä graafissa H ole luuppeja. 3. Graafi H on yhtenäinen ja m = n Graafi H on silmukaton ja m = n Graafi H on silmukaton ja lisäämällä graafiin H mikä tahansa uusi särmä saadaan graafi, jossa on täsmälleen yksi silmukka.
26 133 Lause 3.6 Olkoon H jonkin n-solmuisen graafin G jokin n-solmuinen ja m-särmäinen aligraafi. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. 1. Graafi H on graafin G virittävä puu. 2. Graafin H jokaisen kahden solmun välillä on täsmälleen yksi suora polku eikä graafissa H ole luuppeja. 3. Graafi H on yhtenäinen ja m = n Graafi H on silmukaton ja m = n Graafi H on silmukaton ja lisäämällä graafiin H mikä tahansa uusi särmä saadaan graafi, jossa on täsmälleen yksi silmukka. Koska (n 1)-särmäisessä, silmukattomassa ja yhtenäisessä graafissa on n solmua, lauseen 3.6 kohdista 3 ja 4 seuraa edelleen seuraava lause.
27 Lause 3.7 Olkoon G jokin n-solmuinen graafi. Tällöin graafin G aligraafi H on graafin G virittävä puu täsmälleen silloin, kun graafissa H on n 1 särmää ja H on yhtenäinen sekä silmukaton. 134
28 Lause 3.7 Olkoon G jokin n-solmuinen graafi. Tällöin graafin G aligraafi H on graafin G virittävä puu täsmälleen silloin, kun graafissa H on n 1 särmää ja H on yhtenäinen sekä silmukaton. Virittävän puun määritelmän ja edellä olevien lauseiden perusteella n-solmuisen graafin G aligraafi H on graafin G virittävä puu, jos graafilla H on jotkin kolme seuraavasta neljästä ominaisuudesta. 1. Graafissa H on n solmua. 2. Graafi H on yhtenäinen. 3. Graafissa H on n 1 särmää. 4. Graafi H on silmukaton. 134
29 Lause 3.7 Olkoon G jokin n-solmuinen graafi. Tällöin graafin G aligraafi H on graafin G virittävä puu täsmälleen silloin, kun graafissa H on n 1 särmää ja H on yhtenäinen sekä silmukaton. Virittävän puun määritelmän ja edellä olevien lauseiden perusteella n-solmuisen graafin G aligraafi H on graafin G virittävä puu, jos graafilla H on jotkin kolme seuraavasta neljästä ominaisuudesta. 1. Graafissa H on n solmua. 2. Graafi H on yhtenäinen. 3. Graafissa H on n 1 särmää. 4. Graafi H on silmukaton. Itse asiassa pelkästään ominaisuudet 3 ja 4 yhdessä riittävät takaamaan, että aligraafi H on virittävä puu. 134
30 Lause 3.8 Olkoon G jokin n-solmuinen graafi. Tällöin graafin G aligraafi H on graafin G virittävä puu täsmälleen silloin, kun graafissa H on n 1 särmää ja H on silmukaton. 135
31 135 Lause 3.8 Olkoon G jokin n-solmuinen graafi. Tällöin graafin G aligraafi H on graafin G virittävä puu täsmälleen silloin, kun graafissa H on n 1 särmää ja H on silmukaton. Lause 3.9 Graafi on yhtenäinen täsmälleen silloin, kun sillä on virittävä puu.
32 135 Lause 3.8 Olkoon G jokin n-solmuinen graafi. Tällöin graafin G aligraafi H on graafin G virittävä puu täsmälleen silloin, kun graafissa H on n 1 särmää ja H on silmukaton. Lause 3.9 Graafi on yhtenäinen täsmälleen silloin, kun sillä on virittävä puu. Lause 3.10 Olkoon G = (V, E) yhtenäinen graafi ja F E. Tällöin G F on epäyhtenäinen täsmälleen silloin, kun F sisältää ainakin yhden särmän jokaisesta graafin G virittävästä puusta.
33 135 Lause 3.8 Olkoon G jokin n-solmuinen graafi. Tällöin graafin G aligraafi H on graafin G virittävä puu täsmälleen silloin, kun graafissa H on n 1 särmää ja H on silmukaton. Lause 3.9 Graafi on yhtenäinen täsmälleen silloin, kun sillä on virittävä puu. Lause 3.10 Olkoon G = (V, E) yhtenäinen graafi ja F E. Tällöin G F on epäyhtenäinen täsmälleen silloin, kun F sisältää ainakin yhden särmän jokaisesta graafin G virittävästä puusta. Lause 3.11 Yhtenäisen graafin G aligraafi H on jonkin graafin G virittävän puun aligraafi täsmälleen silloin, kun H on silmukaton.
34 Virittävän puun konstruointi Seuraavaksi esitetään kolme eri menetelmää annetun yhtenäisen graafin virittävän puun konstruoimiseksi: silmukoiden poistaminen, syvyyssuuntainen etsintä ja leveyssuuntainen etsintä.
35 Virittävän puun konstruointi Seuraavaksi esitetään kolme eri menetelmää annetun yhtenäisen graafin virittävän puun konstruoimiseksi: silmukoiden poistaminen, syvyyssuuntainen etsintä ja leveyssuuntainen etsintä. Algoritmi 3.1 (Silmukoiden poistaminen) Virittävän puun muodostaminen silmukoita poistamalla perustuu lauseen 3.9 todistukseen. Tällöin siis virittävä puu muodostetaan seuraavasti. 1. Jos (jäljellä olevassa) graafissa ei ole silmukoita, lopetetaan. 2. Muussa tapauksessa valitaan jokin (jäljellä olevan) graafin silmukka ja poistetaan siitä yksi särmä. 3. Jatketaan kohdasta 1.
36 Virittävän puun konstruointi Seuraavaksi esitetään kolme eri menetelmää annetun yhtenäisen graafin virittävän puun konstruoimiseksi: silmukoiden poistaminen, syvyyssuuntainen etsintä ja leveyssuuntainen etsintä. Algoritmi 3.1 (Silmukoiden poistaminen) Virittävän puun muodostaminen silmukoita poistamalla perustuu lauseen 3.9 todistukseen. Tällöin siis virittävä puu muodostetaan seuraavasti. 1. Jos (jäljellä olevassa) graafissa ei ole silmukoita, lopetetaan. 2. Muussa tapauksessa valitaan jokin (jäljellä olevan) graafin silmukka ja poistetaan siitä yksi särmä. 3. Jatketaan kohdasta 1. Tämä algoritmi vaatii alirutiinin, jonka avulla etsitään silmukoita. Se on siksi raskas toteuttaa ja sillä on lähinnä teoreettista mielenkiintoa.
37 G: Poistetaan silmukat: Virittävä puu: Kuva 3.4. Graafin G virittävän puun muodostaminen poistamalla silmukat. 137
38 138 Algoritmi 3.2 (Syvyyssuuntainen etsintä) Syvyyssuuntaisessa etsinnässä virittävä puu muodostetaan seuraavasti. 1. Valitaan aloitussolmu mielivaltaisesti. 2. Edetään aloitussolmusta lähtien särmiä ja solmuja peräkkäin lisäämällä niin pitkälle kuin mahdollista ilman, että syntyy silmukoita. 3. Jos tarpeen, palataan polulla niin monta solmua taaksepäin, että voidaan jatkaa uuteen suuntaan lisäämällä särmiä ja solmuja peräkkäin. 4. Jatketaan menettelyä (kohta 3) kunnes kaikki solmut on saavutettu.
39 G: v Vaihe 1 ja vaihe 2 v Vaihe 3 v Vaihe 4 v Kuva 3.5. Syvyyssuuntainen etsintä. Aloitussolmuna on solmu u. 139
40 Algoritmi 3.3 (Leveyssuuntainen etsintä) Leveyssuuntaisessa etsinnässä virittävä puu muodostetaan seuraavasti. 1. Valitaan aloitussolmu mielivaltaisesti. 2. Lisätään kaikki särmät, joiden päätesolmuna aloitussolmu on, ja särmiä vastaavat toiset päätesolmut, mutta kuitenkin niin, että ei synny silmukoita. 3. Jos tarpeen, toimitaan kunkin lisätyn solmun osalta kuten kohdassa Jatketaan menettelyä (kohta 3) kunnes kaikki solmut on saavutettu. 140
41 Algoritmi 3.3 (Leveyssuuntainen etsintä) Leveyssuuntaisessa etsinnässä virittävä puu muodostetaan seuraavasti. 1. Valitaan aloitussolmu mielivaltaisesti. 2. Lisätään kaikki särmät, joiden päätesolmuna aloitussolmu on, ja särmiä vastaavat toiset päätesolmut, mutta kuitenkin niin, että ei synny silmukoita. 3. Jos tarpeen, toimitaan kunkin lisätyn solmun osalta kuten kohdassa Jatketaan menettelyä (kohta 3) kunnes kaikki solmut on saavutettu. Jos leveyssuuntaisen etsinnän lähtögraafi on yksinkertainen graafi, ei kohdassa 2 tarvitse aloitussolmusta lähdettäessä varmistaa, että silmukoita ei synny. 140
42 G: Vaihe 1 Vaihe 2 u u u Vaihe 3 Vaihe 4 Vaihe 5 u u u Kuva 3.6. Leveyssuuntainen etsintä. Aloitussolmuna on solmu u. 141
43 Silmukoita poistamalla on mahdollista saada tulokseksi mikä tahansa yksittäinen virittävä puu. Syvyyssuuntaisella tai leveyssuuntaisella etsinnällä tämä ei välttämättä ole mahdollista. Esimerkki 3.2 Kuvan 3.7 puu T 1 on graafin G virittävä puu, jota ei ole mahdollista saada syvyyssuuntaisella etsinnällä, ja T 2 on graafin G virittävä puu, jota ei ole mahdollista saada leveyssuuntaisella etsinnällä. G: T 1 : T 2 : Kuva 3.7. Graafi G ja kaksi graafin G virittävää puuta. 142
44 3.4 Minimaalinen virittävä puu Painotetun graafin särmille on määritelty paino ja graafin jonkin virittävän puun särmien painojen summa on pienin. Tämän puun etsiminen on yksi algoritmisen graafiteorian ongelmista. 143
45 3.4 Minimaalinen virittävä puu Painotetun graafin särmille on määritelty paino ja graafin jonkin virittävän puun särmien painojen summa on pienin. Tämän puun etsiminen on yksi algoritmisen graafiteorian ongelmista. Määritelmä 3.3 Yhtenäisen painotetun graafin minimaalinen virittävä puu on graafin virittävä puu, jonka särmien painojen summa on pienin. 143
46 3.4 Minimaalinen virittävä puu Painotetun graafin särmille on määritelty paino ja graafin jonkin virittävän puun särmien painojen summa on pienin. Tämän puun etsiminen on yksi algoritmisen graafiteorian ongelmista. Määritelmä 3.3 Yhtenäisen painotetun graafin minimaalinen virittävä puu on graafin virittävä puu, jonka särmien painojen summa on pienin. Minimaalinen virittävä puu ei välttämättä ole yksikäsitteinen (ks. kuva 3.8). G: 1 T 1 : 1 T 2 : Kuva 3.8. Graafin G minimaaliset virittävät puut T 1 ja T
47 Minimaalisen virittävän puun konstruoimiseen on olemassa kaksi perusalgoritmia: Primin algoritmi ja Kruskalin algoritmi. 144
48 Minimaalisen virittävän puun konstruoimiseen on olemassa kaksi perusalgoritmia: Primin algoritmi ja Kruskalin algoritmi. Algoritmi 3.4 (Primin algoritmi) Primin algoritmilla minimaalinen virittävä puu muodostetaan seuraavasti. 1. Otetaan särmä, jonka paino on pienin ja joka ei ole luuppi. 2. Lisätään pienipainoisin särmä, joka on yhteydessä jo muodostettuun virittävän puun osaan ja joka ei synnytä silmukkaa. 3. Jatketaan menettelyä (kohta 2) kunnes särmiä on yksi vähemmän kuin alkuperäisen graafin solmuja. 144
49 G: v 1 v 2 v 1 v 2 v 1 v 2 v v 4 1 v 5 1 Vaihe 1 Vaihe v 5 1 v 2 v v 1 v 3 v 5 v v 2 v 4 1 v 5 Vaihe 3 Vaihe 4 Kuva 3.9. Graafin G minimaalinen virittävä puu Primin algoritmilla. 145
50 Algoritmi 3.5 (Kruskalin algoritmi) Kruskalin algoritmilla minimaalinen virittävä puu muodostetaan seuraavasti. 1. Otetaan särmä, jonka paino on pienin ja joka ei ole luuppi. 2. Lisätään pienipainoisin särmä, joka ei synnytä silmukkaa. 3. Jatketaan menettelyä (kohta 2) kunnes särmiä on yksi vähemmän kuin alkuperäisen graafin solmuja. 146
51 G: v 1 1 v v 1 1 v 2 v 1 1 v 2 1 v 3 v 4 v 1 5 Vaihe 1 Vaihe 2 v 5 v 1 1 v 2 v 1 1 v v 3 v 4 v 5 v 3 v 4 1 v 5 Vaihe 3 Vaihe 4 Kuva Graafin G minimaalinen virittävä puu Kruskalin algoritmilla. 147
52 Seuraavaksi osoitamme, että jokainen pienipainoisin särmä kuuluu aina johonkin minimaaliseen virittävään puuhun. 148
53 Seuraavaksi osoitamme, että jokainen pienipainoisin särmä kuuluu aina johonkin minimaaliseen virittävään puuhun. Lause 3.12 Jokainen pienipainoisin särmä, joka ei ole luuppi, kuuluu painotetun graafin johonkin minimaaliseen virittävään puuhun. 148
54 3.5 Metsä Seuraavaksi määritellään (virittäviä) metsiä ja k-puita eli graafeja, joiden komponentit ovat puita. Määritelmä 3.4 Metsä on suuntaamaton silmukaton graafi. Metsän aligraafi on metsän alimetsä. Jos metsä on graafin G aligraafi, kyseessä on graafin G alimetsä. Metsää, jossa on k komponenttia, kutsutaan k-puuksi. G 1 : G 2 : Kuva Graafi G 1 on metsä, mutta graafi G 2 ei ole metsä. 149
55 3.5 Metsä Seuraavaksi määritellään (virittäviä) metsiä ja k-puita eli graafeja, joiden komponentit ovat puita. Määritelmä 3.4 Metsä on suuntaamaton silmukaton graafi. Metsän aligraafi on metsän alimetsä. Jos metsä on graafin G aligraafi, kyseessä on graafin G alimetsä. Metsää, jossa on k komponenttia, kutsutaan k-puuksi. G 1 : G 2 : Kuva Graafi G 1 on metsä, mutta graafi G 2 ei ole metsä. Metsän komponentit ovat siis puita. Yhtenäinen metsä on puu, metsän yhtenäinen aligraafi on metsän alipuu ja 1-puu on puu. 149
56 Määritelmä 3.5 Graafin G virittävä k-puu on graafin G k-komponenttinen alimetsä, joka sisältää kaikki graafin G solmut. Jos T = (V, E) on graafin G virittävä k-puu, niin T = G E on graafin G virittävä k-vastapuu. G: T 5 : T 5 *: Kuva 3.12a. Graafi G ja graafin G virittävä 5-puu T 5 ja sen virittävä 5-vastapuu T
57 Määritelmä 3.6 Graafin G virittävä k-puu on graafin G virittävä metsä, jos k on graafin G komponenttien lukumäärä. Jos T = (V, E) on graafin G virittävä metsä, niin T = G E on graafin G virittävä vastametsä. G: T 3 : T 3 *: Kuva 3.12b. Graafi G ja graafin G virittävä metsä T 3 ja sen virittävä vastametsä T
58 Graafilla voi olla useita virittäviä k-puita ja virittäviä metsiä. Virittävä k-vastapuu (metsä) ei yleensä ole k-puu (metsä). Yhtenäisen graafin virittävä metsä on graafin virittävä puu. 152
59 152 Graafilla voi olla useita virittäviä k-puita ja virittäviä metsiä. Virittävä k-vastapuu (metsä) ei yleensä ole k-puu (metsä). Yhtenäisen graafin virittävä metsä on graafin virittävä puu. Lause 3.13 Olkoon G jokin n-solmuinen m-särmäinen graafi ja T jokin graafin G virittävä k-puu. Tällöin k-puussa T on n k särmää ja virittävässä k-vastapuussa T on m n + k särmää.
60 152 Graafilla voi olla useita virittäviä k-puita ja virittäviä metsiä. Virittävä k-vastapuu (metsä) ei yleensä ole k-puu (metsä). Yhtenäisen graafin virittävä metsä on graafin virittävä puu. Lause 3.13 Olkoon G jokin n-solmuinen m-särmäinen graafi ja T jokin graafin G virittävä k-puu. Tällöin k-puussa T on n k särmää ja virittävässä k-vastapuussa T on m n + k särmää. Koska n-solmuisen, m-särmäisen ja k-komponenttisen graafin G aste on n k ja nulliteetti m n + k, erikoistapaus lauseen 3.13 tuloksesta voidaan esittää myös graafin asteen ρ(g) ja nulliteetin µ(g) avulla.
61 152 Graafilla voi olla useita virittäviä k-puita ja virittäviä metsiä. Virittävä k-vastapuu (metsä) ei yleensä ole k-puu (metsä). Yhtenäisen graafin virittävä metsä on graafin virittävä puu. Lause 3.13 Olkoon G jokin n-solmuinen m-särmäinen graafi ja T jokin graafin G virittävä k-puu. Tällöin k-puussa T on n k särmää ja virittävässä k-vastapuussa T on m n + k särmää. Koska n-solmuisen, m-särmäisen ja k-komponenttisen graafin G aste on n k ja nulliteetti m n + k, erikoistapaus lauseen 3.13 tuloksesta voidaan esittää myös graafin asteen ρ(g) ja nulliteetin µ(g) avulla. Seuraus 3.14 Olkoon T jokin graafin G virittävä metsä ja T vastaava virittävä vastametsä. Tällöin metsässä T on ρ(g) särmää ja vastametsässä T on µ(g) särmää.
62 Lause 3.15 Olkoon G graafi, jossa on n solmua ja p komponenttia. Tällöin graafilla G on virittävä k-puu täsmälleen silloin, kun p k n. 153
63 153 Lause 3.15 Olkoon G graafi, jossa on n solmua ja p komponenttia. Tällöin graafilla G on virittävä k-puu täsmälleen silloin, kun p k n. Seuraus 3.16 Graafilla on aina virittävä metsä.
64 3.6 Silmukka ja irrotusjoukko Seuraavaksi tarkastelemme silmukoiden ja irrotusjoukkojen suhdetta virittäviin puihin ja vastapuihin. 154
65 3.6 Silmukka ja irrotusjoukko Seuraavaksi tarkastelemme silmukoiden ja irrotusjoukkojen suhdetta virittäviin puihin ja vastapuihin. Lause 3.17 Yhtenäisen graafin G irrotusjoukko sisältää ainakin yhden särmän jokaisesta graafin G virittävästä puusta. 154
66 3.6 Silmukka ja irrotusjoukko Seuraavaksi tarkastelemme silmukoiden ja irrotusjoukkojen suhdetta virittäviin puihin ja vastapuihin. Lause 3.17 Yhtenäisen graafin G irrotusjoukko sisältää ainakin yhden särmän jokaisesta graafin G virittävästä puusta. Lause 3.18 Yhtenäisen graafin G silmukka sisältää ainakin yhden särmän jokaisesta graafin G virittävästä vastapuusta. 154
67 155 G: I: T 1 : T 2 : T 3 : C: T 1 * : T 2 * : T 3 * : Kuva Silmukka C sisältää särmän jokaisesta graafin G virittävästä vastapuusta, ja irrotusjoukko I särmän jokaisesta virittävästä puusta.
68 Lause 3.19 Yhtenäisen graafin G särmäjoukko I on graafin G irrotusjoukko täsmälleen silloin, kun I on minimaalinen joukko, joka sisältää särmän jokaisesta graafin G virittävästä puusta. 156
69 156 Lause 3.19 Yhtenäisen graafin G särmäjoukko I on graafin G irrotusjoukko täsmälleen silloin, kun I on minimaalinen joukko, joka sisältää särmän jokaisesta graafin G virittävästä puusta. Lause 3.20 Yhtenäisen graafin G aligraafi C on graafin G silmukka täsmälleen silloin, kun C on minimaalinen graafi, joka sisältää särmän graafin G jokaisesta virittävästä vastapuusta.
70 156 Lause 3.19 Yhtenäisen graafin G särmäjoukko I on graafin G irrotusjoukko täsmälleen silloin, kun I on minimaalinen joukko, joka sisältää särmän jokaisesta graafin G virittävästä puusta. Lause 3.20 Yhtenäisen graafin G aligraafi C on graafin G silmukka täsmälleen silloin, kun C on minimaalinen graafi, joka sisältää särmän graafin G jokaisesta virittävästä vastapuusta. Lause 3.21 Yhtenäisen graafin silmukalla ja irrotusjoukolla on aina parillinen määrä yhteisiä särmiä.
71 Esimerkki 3.3 Kuvan 3.14 graafin G irrotusjoukolla I on silmukan C 1 kanssa kaksi yhteistä särmää ja silmukan C 2 kanssa nolla yhteistä särmää. G: v 5 v 1 v 2 v 3 I: v 1 v 2 C 1 : C 2 : v 1 v 2 v 2 v 4 v 5 v 4 v 5 v 3 v v 4 4 Kuva Graafi, sen irrotusjoukko ja kaksi silmukkaa. 157
72 Perussilmukka ja perusirrotusjoukko Graafin virittävien puiden ja -vastapuiden avulla voidaan muodostaa graafin irrotusjoukkoja ja silmukoita. Seuraava tulos seuraa suoraan lauseesta 3.6. Lause 3.22 Olkoon G = (V, E) yhtenäinen graafi ja T = (V, F) jokin graafin G virittävä puu sekä T vastaava virittävä vastapuu. Jos c on virittävän vastapuun T särmä, niin graafissa (V, F {c}) on täsmälleen yksi silmukka.
73 Määritelmä 3.7 Olkoon G = (V, E) yhtenäinen graafi, T = (V, F) jokin graafin G virittävä puu ja c E \ F. Tällöin graafin (V, F {c}) ainoaa silmukkaa sanotaan graafin G särmää c vastaavaksi perussilmukaksi puun T suhteen. G: T: T *: b 2 c b 4 1 b 1 b 3 c 3 c 2 b 2 b 4 b 1 b 3 c 1 c 3 c 2 C 1 : C 2 : C 3 : c 1 c 2 c 3 Kuva 3.15a. Graafin G perussilmukat puun T suhteen. 159
74 Määritelmä 3.8 Olkoon G jokin n-solmuinen ja m-särmäinen yhtenäinen graafi, T graafin G jokin virittävä puu ja T puuta T vastaava virittävä vastapuu. Olkoot edelleen c 1, c 2,..., c m n+1 virittävän vastapuun T särmät ja C 1, C 2,..., C m n+1 näitä särmiä vastaavat perussilmukat. Tällöin joukkoa {C 1, C 2,..., C m n+1 } sanotaan graafin G perussilmukkajoukoksi puun T suhteen. 160
75 160 Määritelmä 3.8 Olkoon G jokin n-solmuinen ja m-särmäinen yhtenäinen graafi, T graafin G jokin virittävä puu ja T puuta T vastaava virittävä vastapuu. Olkoot edelleen c 1, c 2,..., c m n+1 virittävän vastapuun T särmät ja C 1, C 2,..., C m n+1 näitä särmiä vastaavat perussilmukat. Tällöin joukkoa {C 1, C 2,..., C m n+1 } sanotaan graafin G perussilmukkajoukoksi puun T suhteen. Puun perusominaisuuksiin nojautuen on helppo osoittaa, että jos b on puun T särmä, niin graafissa T b on täsmälleen kaksi komponenttia.
76 160 Määritelmä 3.8 Olkoon G jokin n-solmuinen ja m-särmäinen yhtenäinen graafi, T graafin G jokin virittävä puu ja T puuta T vastaava virittävä vastapuu. Olkoot edelleen c 1, c 2,..., c m n+1 virittävän vastapuun T särmät ja C 1, C 2,..., C m n+1 näitä särmiä vastaavat perussilmukat. Tällöin joukkoa {C 1, C 2,..., C m n+1 } sanotaan graafin G perussilmukkajoukoksi puun T suhteen. Puun perusominaisuuksiin nojautuen on helppo osoittaa, että jos b on puun T särmä, niin graafissa T b on täsmälleen kaksi komponenttia. Lause 3.23 Olkoon G yhtenäinen graafi, T jokin graafin G virittävä puu ja b jokin virittävän puun T särmä. Olkoot edelleen T 1 = (V 1, E 1 ) ja T 2 = (V 2, E 2 ) graafin T b komponentit. Tällöin irrotus V 1, V 2 on graafin G irrotusjoukko.
77 161 Määritelmä 3.9 Olkoon G yhtenäinen graafi, T jokin graafin G virittävä puu ja b virittävän puun T särmä. Olkoot edelleen T 1 = (V 1, E 1 ) ja T 2 = (V 2, E 2 ) graafin T b komponentit. Tällöin irrotusjoukkoa V 1, V 2 sanotaan graafin G särmää b vastaavaksi perusirrotusjoukoksi puun T suhteen. G: T: T * : b 2 c b 4 1 b 1 b 3 c 3 c 2 b 2 b 4 b 1 b 3 c 1 c 3 c 2 I 1 : I 2 : b 2 I 3 : I 4 : b 4 b 1 b 3 Kuva 3.15b. Graafin G perusirrotusjoukot puun T suhteen.
78 Määritelmä 3.10 Olkoot b 1, b 2,..., b n 1 jonkin n-solmuisen yhtenäisen graafin G virittävän puun T oksat ja olkoot I 1, I 2,..., I n 1 näitä oksia vastaavat perusirrotusjoukot puun T suhteen. Tällöin joukkoa {I 1, I 2,..., I n 1 } sanotaan graafin G perusirrotusjoukkojen joukoksi puun T suhteen. 162
79 162 Määritelmä 3.10 Olkoot b 1, b 2,..., b n 1 jonkin n-solmuisen yhtenäisen graafin G virittävän puun T oksat ja olkoot I 1, I 2,..., I n 1 näitä oksia vastaavat perusirrotusjoukot puun T suhteen. Tällöin joukkoa {I 1, I 2,..., I n 1 } sanotaan graafin G perusirrotusjoukkojen joukoksi puun T suhteen. Koska yhtenäisen n-solmuisen ja m-särmäisen graafin jokaisessa virittävässä puussa on n 1 särmää ja jokaisessa virittävässä vastapuussa on m n + 1 särmää, niin perussilmukoita on m n + 1 kappaletta ja perusirrotusjoukkoja on n 1 kappaletta. Perussilmukat muodostetaan lisäämällä virittävään puuhun T vuorotellen kaikki virittävän vastapuun särmät ja etsimällä muodostuneet silmukat. Perusirrotusjoukot taas muodostetaan poistamalla virittävästä puusta vuorotellen kaikki särmät ja etsimällä muodostuneita kahta solmujoukkoa vastaavat irrotusjoukot.
80 Kukin perussilmukka C i sisältää virittävästä vastapuusta T täsmälleen yhden särmän c i, joka ei esiinny missään muussa perusssilmukkajoukon silmukassa. Samoin kukin virittävän puun T särmä b i kuuluu täsmälleen yhteen perusirrotusjoukkojen joukon irrotusjoukkoon I i. 163
81 163 Kukin perussilmukka C i sisältää virittävästä vastapuusta T täsmälleen yhden särmän c i, joka ei esiinny missään muussa perusssilmukkajoukon silmukassa. Samoin kukin virittävän puun T särmä b i kuuluu täsmälleen yhteen perusirrotusjoukkojen joukon irrotusjoukkoon I i. Lause 3.24 Yhtenäisen graafin G virittävän vastapuun T särmää c vastaava perussilmukka (virittävän puun T suhteen) sisältää täsmälleen ne puun T särmät, joita vastaavat perusirrotusjoukot ( puun T suhteen) sisältävät särmän c.
82 163 Kukin perussilmukka C i sisältää virittävästä vastapuusta T täsmälleen yhden särmän c i, joka ei esiinny missään muussa perusssilmukkajoukon silmukassa. Samoin kukin virittävän puun T särmä b i kuuluu täsmälleen yhteen perusirrotusjoukkojen joukon irrotusjoukkoon I i. Lause 3.24 Yhtenäisen graafin G virittävän vastapuun T särmää c vastaava perussilmukka (virittävän puun T suhteen) sisältää täsmälleen ne puun T särmät, joita vastaavat perusirrotusjoukot ( puun T suhteen) sisältävät särmän c. Lause 3.25 Yhtenäisen graafin G virittävän puun T särmää b vastaava perusirrotusjoukko (virittävän puun T suhteen) sisältää täsmälleen ne vastapuun T särmät, joita vastaavat perussilmukat ( puun T suhteen) sisältävät särmän b.
83 G: T: T *: v 1 v 2 v 1 v 2 v 1 v 2 v 3 b v 3 v 3 v 5 v 4 v 5 v 4 v 5 v 4 v 1 v 2 v 2 v 2 v 1 v 2 b b v b 3 v 5 v 5 v 4 v 4 perussilmukat v 5 v 4 särmää b vastaava perusirrotusjoukko Kuva Särmää b vastaava perusirrotusjoukko sisältää ne vastapuun T särmät, joita vastaavat perussilmukat sisältävät särmän b. 164
84 165
Johdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste
Johdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 166 Luku 4 Erilaisia graafeja 4.1 Eulerin graafi 4.2 Hamiltonin graafi 4.3 Tasograafi 4.4 Graafin värittäminen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
GRAAFITEORIAA. Pertti Koivisto Riitta Niemistö
GRAAFITEORIAA Pertti Koivisto Riitta Niemistö Esipuhe Tämän monisteen tarkoituksena on tutustuttaa lukija graafiteorian peruskäsitteisiin ja -tuloksiin. Vaikka algoritminen graafiteoria on tietokoneiden
Pertti Koivisto ja Riitta Niemistö. Graafiteoriaa
Pertti Koivisto ja Riitta Niemistö Graafiteoriaa TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 60/2018 TAMPERE 2018 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 60/2018 TAMMIKUU
Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )
Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä
Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?
7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,
Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä
Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko
Algoritmit 1. Luento 13 Ma Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ma 26.2.2018 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi
Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan.
5. Verkkoalgoritmeja Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. Palauttaminen edellyttää usein ongelman ja algoritmin pientä modifioimista,
Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin
verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
13 Lyhimmät painotetut polut
TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 297 13 Lyhimmät painotetut polut BFS löytää lyhimmän polun lähtösolmusta graafin saavutettaviin solmuihin. Se ei kuitenkaan enää suoriudu tehtävästä, jos kaarien
AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta
AVL-puut eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta pohjana jo esitetyt binäärihakupuiden operaatiot tasapainotus vie pahimmillaan lisäajan lisäys- ja
58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe ratkaisuja (Jyrki Kivinen)
58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe 12.9.2018 ratkaisuja (Jyrki Kivinen) 1. [10 pistettä] Iso-O-merkintä. (a) Pitääkö paikkansa, että n 3 + 5 = O(n 3 )? Ratkaisu: Pitää paikkansa.
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, 652013, vastauksia 1 [6 pistettä] Vastaa jokaisesta alla olevasta väittämästä onko se tosi vai epätosi ja anna lyhyt perustelu Jokaisesta kohdasta
v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4
Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi
b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan
Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla
Ratkaisu. Tulkitaan de Bruijnin jonon etsimiseksi aakkostossa S := {0, 1} sanapituudelle n = 4. Neljän pituisia sanoja on N = 2 n = 16 kpl.
iskreetti matematiikka, syksy 00 arjoitus, ratkaisuista. seta 8 nollaa ja 8 ykköstä renkaaksi niin, että jokainen yhdistelmä 0000, 000,..., esiintyy täsmälleen kerran. Vihje: Tulkitse de ruijnin jonon
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut
Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 0) Toinen välikoe, malliratkaisut. (a) Alussa puu näyttää tältä: Lisätään 4: 4 Tasapaino rikkoutuu solmussa. Tehdään kaksoiskierto ensin oikealle solmusta ja sitten
Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 11 Ti 24.4.2018 Timo Männikkö Luento 11 Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Kauppamatkustajan ongelma Paikallinen etsintä Lyhin virittävä puu Vaihtoalgoritmit Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento
Graafin virittävä puu 1 / 20
Graafin virittävä puu 1 / 20 Graafin virittävä puu PuuT on graafingvirittävä puu (spanning tree), jos se sisältää kaikkig:n pisteet. Virittäviä puita: 2 / 20 Yhdistämisongelma Yhdistämisongelma:(Connector
Pienin virittävä puu (minimum spanning tree)
Pienin virittävä puu (minimum spanning tree) Jatkossa puu tarkoittaa vapaata puuta (ks. s. 11) eli suuntaamatonta verkkoa, joka on yhtenäinen: minkä tahansa kahden solmun välillä on polku syklitön: minkä
Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria
Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:
Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.
Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on
TKT20001 Tietorakenteet ja algoritmit Erilliskoe , malliratkaisut (Jyrki Kivinen)
TKT0001 Tietorakenteet ja algoritmit Erilliskoe 5.1.01, malliratkaisut (Jyrki Kivinen) 1. [1 pistettä] (a) Esitä algoritmi, joka poistaa kahteen suuntaan linkitetystä järjestämättömästä tunnussolmullisesta
Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.
Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.
10. Painotetut graafit
10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä
14. Luennon sisältö. Kuljetustehtävä. Verkkoteoria ja optimointi. esimerkki. verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 14. Luennon sisältö Kuljetustehtävä esimerkki Verkkoteoria ja optimointi verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti
Puiden karakterisointi
Puiden karakterisointi LuK-tutkielma Airta Ella 2502661 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Johdatus verkkoteoriaan 3 1.1 Verkko käsitteenä.........................
j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!
Diskreetit rakenteet
Diskreetit rakenteet 811120P 5 op 7. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 Mikä on verkko? verkko (eli graafi) koostuu solmuista ja väleistä, jotka yhdistävät solmuja
VERKKOTEORIAN ALKEITA. Martti E. Pesonen 28.2.2013
VERKKOTEORIAN ALKEITA Martti E. Pesonen 28.2.2013 1 Sisältö 1 VERKOISTA 1 1.1 Mitä matemaattiset verkot ovat?................ 1 1.1.1 Verkkoteorian synty.................... 1 1.2 Suuntaamaton verkko.......................
Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward
Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto
Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen
GRAAFITEORIA. Keijo Ruohonen
GRAAFITEORIA Keijo Ruohonen 2013 Sisältö 1 I MÄÄRITELMIÄ JA PERUSTULOKSIA 1 1.1 Määritelmiä 5 1.2 Kulku. Reitti. Polku. Piiri. Yhtenäisyys. Komponentti 10 1.3 Graafien operaatioita 14 1.4 Irrotus 17 1.5
Liite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Liite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 : Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli-ja päätösteoriassa
Johdatus graafiteoriaan
Johdatus graafitoriaan Syksy 2017 Lauri Hlla Tamprn yliopisto Luonnontitidn tidkunta 2 Luku 1 Pruskäsittitä 1.1 Määritlmiä 1.2 Esimrkkjä 1.3 Trminologiaa 1.4 Joitakin rikoisia yksinkrtaisia graafja 1.5
2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti.
Tietorakenteet, laskuharjoitus 11, ratkaisuja 1. Leveyssuuntaisen läpikäynnin voi toteuttaa rekursiivisesti käsittelemällä jokaisella rekursiivisella kutsulla kaikki tietyllä tasolla olevat solmut. Rekursiivinen
811312A Tietorakenteet ja algoritmit V Verkkojen algoritmeja Osa1 : Leveys- ja syvyyshaku
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 V Verkkojen algoritmeja Osa1 : Leveys- ja syvyyshaku Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi 811312A
10. Painotetut graafit
10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä
Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
Silmukkaoptimoinnista
sta TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. joulukuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe F maanantai 14.12. klo 12 rekisteriallokaatio Arvostelukappale
6.4. Järjestyssuhteet
6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli
MC-pelien ratkaisualgoritmeista Timo Poranen Tampereen yliopisto Tietojenkäsittelyopin laitos Pro gradu -tutkielma 16.2.1999 Tampereen yliopisto Tietojenkäsittelyopin laitos Timo Poranen: MC-pelien ratkaisualgoritmeista
Hakupuut. tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina
Hakupuut tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina hakupuun avulla voidaan toteuttaa kaikki joukko-tietotyypin operaatiot (myös succ ja pred) pahimman tapauksen aikavaativuus on tavallisella
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 6: Verkkoteoria Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Verkkojen peruskäsitteitä Motivaatiota (...) networks may
Algoritmit 2. Luento 6 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 To 28.3.2019 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 6 To 28.3.2019 2/30 B-puu 40 60 80 130 90 100
1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005
Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T-79.165 Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Mikko Malinen, 36474R 29. maaliskuuta, 2005 Tiivistelmä Artikkelissa käydään läpi teoriaa, jonka avulla
58131 Tietorakenteet Erilliskoe , ratkaisuja (Jyrki Kivinen)
58131 Tietorakenteet Erilliskoe 11.11.2008, ratkaisuja (Jyrki Kivinen) 1. (a) Koska halutaan DELETEMAX mahdollisimman nopeaksi, käytetään järjestettyä linkitettyä listaa, jossa suurin alkio on listan kärjessä.
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 6: Verkkoteoria Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Verkkojen peruskäsitteitä Motivaatiota (...) networks
Algoritmit 2. Luento 12 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 12 Ke 26.4.2017 Timo Männikkö Luento 12 Rajoitehaku Kauppamatkustajan ongelma Lyhin virittävä puu Paikallinen etsintä Vaihtoalgoritmit Geneettiset algoritmit Simuloitu jäähdytys Algoritmit
Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut
3. Hakupuut. B-puu on hakupuun laji, joka sopii mm. tietokantasovelluksiin, joissa rakenne on talletettu kiintolevylle eikä keskusmuistiin.
3. Hakupuut Hakupuu on listaa tehokkaampi dynaamisen joukon toteutus. Erityisesti suurilla tietomäärillä hakupuu kannattaa tasapainottaa, jolloin päivitysoperaatioista tulee hankalampia toteuttaa mutta
Luonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe malliratkaisut ja arvosteluperusteet
58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe 15.6.2018 malliratkaisut ja arvosteluperusteet 1. [10 pistettä] Hakemistorakenteet. Vertaa linkitettyjen listojen, tasapainoisten hakupuiden ja
TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 9. marraskuuta 2009
TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 9. marraskuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe D tiistai 10.11. klo 10 välikielen generointi Vaihe E tiistai
Tietorakenteet ja algoritmit. Verkot. Ari Korhonen
Tietorakenteet ja algoritmit Verkot Ari Korhonen 1 10. VERKOT ( graphs ) 10.1 Yleistä 10.2 Terminologiaa 10.3 Verkon esittäminen 10.4 Verkon läpikäyntialgoritmit (graph traversal) 10.5 Painotetut verkot
Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19
8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 Määritelmä Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä).
Voidaanko verkkoteoriaa opettaa lukiolaisille?
Voidaanko verkkoteoriaa opettaa lukiolaisille? Tuotetun oppimateriaalin analysointia aiheesta painotetut verkot Pro gradu -tutkielma Mika Koponen Itä-Suomen yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 1.
Algoritmit 2. Luento 5 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 5 Ti 28.3.2017 Timo Männikkö Luento 5 Puurakenteet B-puu B-puun korkeus B-puun operaatiot Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 5 Ti 28.3.2017 2/29 B-puu Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 5 Ti
Graafiteoria matematiikkaako?
Koostanut: Elina Viro, Juho Lauri Opettajalle Graafiteoria matematiikkaako? Kohderyhmä: 7.-9.-luokkalaiset Esitiedot: - Taustalla oleva matematiikka: Graafiteoria, looginen ajattelu Ajankäyttö: Varsinainen
Johdatus verkkoteoriaan 4. luento
Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,
Algoritmit 2. Luento 2 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 2 To 14.3.2019 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento
Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 7 Ti 31.1.2017 Timo Männikkö Luento 7 Järjestetty binääripuu Binääripuiden termejä Binääripuiden operaatiot Solmun haku, lisäys, poisto Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 7 Ti 31.1.2017
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
Miten käydä läpi puun alkiot (traversal)?
inääripuut ieman lisää aidon binääripuun ominaisuuksia lehtisolmuja on yksi enemmän kuin sisäsolmuja inääripuut tasolla d on korkeintaan 2 d solmua pätee myös epäaidolle binääripuulle taso 0: 2 0 = 1 solmu
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 14. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 14. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Otosavaruuden ositus Kokonaistodennäköisyyden
Algoritmit 2. Luento 5 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 5 Ti 26.3.2019 Timo Männikkö Luento 5 Puurakenteet B-puu B-puun korkeus B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 5 Ti 26.3.2019 2/34 B-puu B-puut ovat tasapainoisia
5.1 Semanttisten puiden muodostaminen
Luku 5 SEMNTTISET PUUT 51 Semanttisten puiden muodostaminen Esimerkki 80 Tarkastellaan kysymystä, onko kaava = (( p 0 p 1 ) (p 1 p 2 )) toteutuva Tätä voidaan tutkia päättelemällä semanttisesti seuraavaan
Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea.
Roolit Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 25.3.2011 J. Kleinberg kehitti -algoritmin (Hypertext Induced Topic Search) hakukoneen osaksi. n taustalla
Algoritmit 2. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 2 Demot 4 24.-25.4.2019 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) int laske(n) { if (n
811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2014-2015, Harjoitus 7, ratkaisu
832A Tietorakenteet ja algoritmit, 204-205, Harjoitus 7, ratkaisu Hajota ja hallitse-menetelmä: Tehtävä 7.. Muodosta hajota ja hallitse-menetelmää käyttäen algoritmi TULOSTA_PUU_LASKEVA, joka tulostaa
Algoritmit 2. Luento 4 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 4 To 21.3.2019 Timo Männikkö Luento 4 Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Avoin osoitteenmuodostus Hajautusfunktiot Puurakenteet Solmujen läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 4
Datatähti 2019 loppu
Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio
Algoritmit 2. Luento 2 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 2 Ke 15.3.2017 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento
811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2018-2019 Kertausta jälkiosasta V Hashtaulukot ja binääriset etsintäpuut Hashtaulukot Perusajatus tunnettava Tiedettävä mikä on tiivistefunktio Törmäysongelman hallinta:
Tehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2
Tehtävä 0 : Kuvassa Etelä-Amerikan valtioita vastaavat solmut on sijoitettu toisiinsa nähden niiden pääkaupunkien keskinäistä sijaintia vastaavalla tavalla. Kuvioon on joukon {0,, 2, 3 alkioilla merkitty
Stabiloivat synkronoijat ja nimeäminen
Stabiloivat synkronoijat ja nimeäminen Mikko Ajoviita 2.11.2007 Synkronoija Synkronoija on algoritmi, joka muuntaa synkronoidun algoritmin siten, että se voidaan suorittaa synkronoimattomassa järjestelmässä.
9. Graafit. 9.1. Graafin abstrakti tietotyyppi
9. Graafit Graafeilla eli verkoilla esitetään yhteystietoja. Esimerkkejä niistä ovat kaupunkikartan kadut ja tietoverkon tietokoneet. Tämä luku tarkastelee verkkojen perusasioita. 9.1. Graafin abstrakti
Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto)
811 Tietorakenteet (kevät 9) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto) 1. Bellmanin-Fordin algoritmin alustusvaiheen jälkeen aloitussolmussa on arvo ja muissa solmuissa on arvo ääretön. Kunkin solmun arvo
Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
7.4. Eulerin graafit 1 / 22
7.4. Eulerin graafit 1 / 22 Viivojen läpikäynti Graafin pisteiden/viivojen läpikäyminen esiintyy usein sovelluksissa: Etsintäalgoritmit, reititykset Läpikäyminen tehdään nopeimmin, kun yhtäkään viivaa/pistettä
OULUN YLIOPISTO, BIOLOGIAN LAITOS Puututkimus
OULUN YLIOPISTO, BIOLOGIAN LAITOS Puututkimus Puu on yksilö, lajinsa edustaja, eliöyhteisönsä jäsen, esteettinen näky ja paljon muuta. Tässä harjoituksessa lähestytään puuta monipuolisesti ja harjoitellaan
Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys
Algoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 7 Ti 4.4.2017 Timo Männikkö Luento 7 Joukot Joukko-operaatioita Joukkojen esitystapoja Alkiovieraat osajoukot Toteutus puurakenteena Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 7 Ti 4.4.2017 2/26