Ratkaisu. Tulkitaan de Bruijnin jonon etsimiseksi aakkostossa S := {0, 1} sanapituudelle n = 4. Neljän pituisia sanoja on N = 2 n = 16 kpl.

Transkriptio

1 iskreetti matematiikka, syksy 00 arjoitus, ratkaisuista. seta 8 nollaa ja 8 ykköstä renkaaksi niin, että jokainen yhdistelmä 0000, 000,..., esiintyy täsmälleen kerran. Vihje: Tulkitse de ruijnin jonon etsimiseksi sopivassa aakkostossa, sopivalle sanapituudelle. Ratkaisu. Tulkitaan de ruijnin jonon etsimiseksi aakkostossa S := {0, } sanapituudelle n =. Neljän pituisia sanoja on N = n = kpl. Tässä X = S n = S = {000, 00, 00, 0, 00, 0, 0, }, U = S n = S = {0000,..., }, ja Ψ : S n (S n ) on yhden kirjaimen siirros Ψ(x x x x ) = (x x x, x x x ). Kuvataan kaikki -binääriluvut yllä kuvatulla tavalla: Ψ(0000) = (000, 000) Ψ(000) = (000, 00) Ψ(000) = (00, 00) Ψ(00) = (00, 0) Ψ(000) = (00, 00) Ψ(00) = (00, 0) Ψ(00) = (0, 0) Ψ(0) = (0, ) Ψ(000) = (00, 000) Ψ(00) = (00, 00) Ψ(00) = (0, 00) Ψ(0) = (0, 0) Ψ(00) = (0, 00) Ψ(0) = (0, 0) Ψ(0) = (, 0) Ψ() = (, ) tsitään nyt ulerin polku p, jolloin saadaan sellainen de ruijnin jono, että kolmen numeron sarjat ovat solmuja ja neljän nuolia; ks. kuvio räs ratkaisu on de ruijnin jono: (000). Muitakin ratkaisuja on!

2 . Olkoon äärellinen suunnattu juurellinen puu, jossa on k lehteä, h haarasolmua ja jokaisella haarasolmulla d kappaletta seuraajia. Osoita, että (d )h = k. Ratkaisu. Olkoon = (X, U, Ψ) juurellinen suunnattu puu, haaroilla d seuraajaa, haaroja h, lehtiä k. simerkiksi kun d =, h = ja k = 9, on puu seuraavanlainen y u x Jokainen solmu on haara tai lehti, joten #X = h + k. Jos u U, on olemassa täsmälleen yksi haarasolmu x ja sen seuraaja y, joille Ψ(u) = (x, y). Täten nuolia on #U = hd kappaletta. Koska puussa #X = #U +, on eli (d )h = k. #X = h + k = #U + = hd +,. Näytä seuraavat verkot isomorfisiksi määritelmän mukaan, ts. keksi sopivat bijektiot solmujoukkojen ja kaarijoukkojen välille, sekä tarkasta sitten itse isomorfisuusvaatimus. e 8 x e y f y x e e e x e e f f f f 9 y e f x x 9 8 f f e y = (X,, ψ) = (Y,, θ) y f Ratkaisu. Tutkimalla rinnakkaisen kaarten ja luuppien tilannetta päästään jyvälle: Määritellään f(x ) := y ja f(x ) := y. Sitten päätellään f(x ) := y ja f(x ) := y ja lopuksi f(x ) := y. delleen muodostetaan g: f(x ) = y f(x ) = y f(x ) = y f(x ) = y f(x ) = y g(e ) = f g(e ) = f g(e ) = f g(e ) = f g(e ) = f g(e ) = f g(e ) = f g(e 8 ) = f 8 g(e 9 ) = f 9

3 Tarkastus osoittaa, että isomorfisuus on totta: Ψ(e ) = {x, x } ja Θ(g(e )) = Θ(f ) = {y, y } = {f(x ), f(x )} Ψ(e ) = {x, x } ja Θ(g(e )) = Θ(f ) = {y, y } = {f(x ), f(x )} Ψ(e ) = {x, x } ja Θ(g(e )) = Θ(f ) = {y, y } = {f(x ), f(x )} Ψ(e ) = {x, x } ja Θ(g(e )) = Θ(f ) = {y, y } = {f(x ), f(x )} Ψ(e ) = {x, x } ja Θ(g(e )) = Θ(f ) = {y, y } = {f(x ), f(x )} Ψ(e ) = {x, x } ja Θ(g(e )) = Θ(f ) = {y, y } = {f(x ), f(x )} Ψ(e ) = {x, x } ja Θ(g(e )) = Θ(f ) = {y, y } = {f(x ), f(x )} Ψ(e 8 ) = {x, x } ja Θ(g(e 8 )) = Θ(f 8 ) = {y, y } = {f(x ), f(x )} Ψ(e 9 ) = {x, x } ja Θ(g(e 9 )) = Θ(f 9 ) = {y, y } = {f(x ), f(x )}. Ovatko seuraavat verkot isomorfiset? Ratkaisu. ivät, sillä esimerkiksi oikeanpuoleisessa on -pituisia suljettuja ketjuja, vasemmanpuoleisessa ei.. Piirrä kaikki suunnatut puut, joilla on solmut,, ja sekä juurena solmu. Kuinka monta eri isomorfiatyyppiä niitä on? Ratkaisu.. tyyppi, kpl. tyyppi, kpl. tyyppi, kpl. tyyppi, kpl. Onko seuraavan matriisin kuvaama verkko tasoverkko? Ratkaisu. Verkko on seuraavannäköinen:

4 0 9 8 Osoitetaan Kuratowskin lauseen perusteella, että verkko ei ole tasoverkko: etsitään K :ksi supistuva aliverkko. Olkoot X := {,,,..., 0} ja Y := {,,,, }. Siirellään solmuja sopivasti (voi esimerkiksi käyttää jotain piirto-ohjelmaa tai dynaamisen geometrian ohjelmaa kuten eoebra, tai vaikka nappeja ja lankoja etc.): Nyt d (y) kaikilla y Y ja jokaisesta y on pääsy jokaiseen jotakin kautta (, 8, 9). Saadaan aliverkko 8 9 josta edelleen saadaan K poistamalla -asteiset solmut, 8 ja 9. Kuratowskin lauseen perusteella se ei ole tasoverkko, koska on olemassa aliverkko, josta saadaan tietyillä sallituilla operaatioilla Kuratowskin verkko K (tai K, ).

5 . tsi lyhimmät ketjut verkon solmusta muihin solmuihin. Ratkaisu. Lyhimmät ketjut solmusta muihin solmuihin saadaan ijkstran menetelmällä kasvattamalla lähtösolmusta lähtien virittävä puu: vaihe solmut kaari paino ) solmu ) solmu {, } ) solmu {, } ) solmu {, } ) solmu {, } ) solmu {, } ) solmu {, } 8) solmu {, } ) ) ) ) ) ) 8) Paino yhteensä. Lyhimmät ketjut solmusta saadaan helposti virittävästä puusta, jossa on vain yksi reitti lähtösolmusta kuhunkin solmuun: 0 8. tsi tehtävän verkosta minimaalinen virittävä puu a) Primin menetelmällä. b) Krushkalin menetelmällä. Ratkaisu. a) alvin virittävä puu saadaan Primin menetelmässä lähtemällä rakentamaan puuta halvimmasta kaaresta ja valiten puuhun lisäoksia aina halvimmasta päästä. Mukaan otetaan vaiheittain

6 Puun hinta on yhteensä. vaihe solmut kaari paino ) solmut ja {, } ) solmu {, } ) solmu {, } ) solmu {, } ) solmu {, } ) solmu {, } ) solmu {, } ) ) ) ) ) ) ) b) alvin virittävä puu saadaan Krushkalin menetelmässä lähtemällä rakentamaan puuta halvimmasta kaaresta ja valiten aina halvin mahdollinen, pitäen kuitenkin syntyvä aliverkko syklittömänä. Mukaan otetaan vaiheittain Puun hinta on yhteensä. vaihe solmut kaari paino ) solmut ja {, } ) solmut ja {, } ) solmu {, } ) {, } ) solmu {, } ) solmu {, } 8) solmu {, } ) ) ) ) ) ) )