Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download ""

Transkriptio

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88 Luento 9: Permutaatiot ja symmetriat 1 MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet, syksy 2014 Harri Varpanen Aalto-yliopisto Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Keskiviikko

89 Ryhmän toiminta Esimerkki Tarkastellaan tasasivuista kolmiota M kolmiulotteisessa avaruudessa:

90 Ryhmän toiminta Esimerkki (jatkuu) Kolmiota M voidaan kiertää kuudella eri tavalla siten, että M:n asento ei muutu (kärkien numerointia lukuunottamatta): e r r 2 s r 2 s rs e = ei tehdä mitään r = kierretään kulman 2π/3 (120 ) verran vastapäivään sen akselin ympäri, joka on kohtisuorassa kolmion tasoa vastaan ja kulkee kolmion keskipisteen kautta s = kierretään kulmanπ(180 ) verran sen akselin ympäri, joka on kolmion tasossa ja puolittaa kulman paikassa (ei kärjessä) 1.

91 Ryhmän toiminta Esimerkki (jatkuu) Edellä siis: Kiertojen kertolasku tapahtuu suorittamalla kierrot peräkkäin (merkinnöissä oikealta vasemmalle). Valitut kaksi kiertoakselia pysyvät avaruudessa paikallaan. Kolmion kierrot voidaan samaistaa joukon{1, 2, 3} permutaatioihin. Esimerkiksi permutaatio (1)(23) tulkitaan siten, että kolmion kärki avaruuden paikassa numero 1 pysyy paikallaan ja kärjet paikoissa 2 ja 3 vaihtavat paikkaa.

92 Ryhmän toiminta Edellä sanotaan, että ryhmä S 3 toimii kolmiossa M. Jokainen ryhmän S 3 permutaatio voidaan tulkita kolmion symmetrian säilyttäväksi kierroksi kolmiulotteisessa avaruudessa. Sama ei päde neliölle, esimerkiksi permutaatio (123)(4) rikkoisi neliön. Säännöllisen n-kulmion kaikkien kiertojen ryhmää sanotaan diedriryhmäksi ja merkitään D n.

93 Ryhmän toiminta Diedriryhmässä D n on 2n alkiota (taululla n = 4): Merkitään r:llä kiertoa kulman 2π/n verran sen akselin ympäri, joka on kohtisuorassa n-kulmion tasoa vastaan ja kulkee n-kulmion keskipisteen kautta. Tällöin r n = e ja kierron r monikertoja on n kappaletta: e, r, r 2,...,r n 1. Lisäksi voidaan kiertää kulmanπverran minkä tahansa n-kulmion lävistäjän tai sivun kohtisuoran puolittajan suhteen, näin saadaan n kiertoa lisää. Osoittautuu, että jälkimmäiset n kiertoa saadaan, kun valitaan vain yksi lävistäjä tai puolittaja (mikä tahansa) ja merkitäänπ-kiertoa sen suhteen s; sen jälkeen muut n 1 ovat rs, r 2 s,...,r n 1 s. Pätee myös rs = sr 1.

94 Ryhmän toiminta D n generoituu kierroista r ja s, ts merkitään D n = r, s. D n ={r j s k : j, k Z}, Yllä s 2 = e ja r n = e; joukossa D n on 2n alkiota. Diedriryhmä voidaan samaistaa permutaatioryhmän S n aliryhmän kanssa.

95 Aliryhmä Neliön kiertoryhmä (vrt. aiempi kuva): D 4 = r, s ={e, r, r 2, r 3, s, rs, r 2 s, r 3 s}. Jos samaistetaan ryhmän D 4 alkiot joukon{1, 2, 3, 4} permutaatioihin, niin D 4 = { (1)(2)(3)(4), ( ), (1 3)(2 4), ( ), (1)(3)(2 4), (1 2)(3 4), (1 3)(2)(4), (1 4)(3 2) }. Tämä on joukon S 4 aliryhmä, sillä D 4 S 4 ja D 4 muodostaa itsessään ryhmän.

96 (Ryhmäaksioomat) Joukko S varustettuna kertolaskulla on ryhmä, jos kertolasku ei johda ulos joukosta S: f, g S fg S kertolasku on liitännäinen: f, g, h S: (fg)h = f(gh) kertolaskulle on olemassa neutraalialkio: e S f S: ef = fe = f käänteisalkion olemassaolo: f S g S: fg = gf = e.

97 Lagrangen lause Lause (Lagrange) Jos G on äärellinen ryhmä ja H on sen aliryhmä, niin H on G :n tekijä. Esimerkiksi S 4 = 24 ja D 4 = 8, joka on 24:n tekijä. Todistus Määritellään alkion g G sivuluokka: gh ={gh : h H} G. Voidaan osoittaa (osoittamalla, että funktio H gh, h gh on bijektio), että sivuluokat ovat yhtäsuuria; lisäksi ne jakavat G:n erillisiin osiin. Siten, koska eh = H on yksi sivuluokka, niin G :n on oltava H :n monikerta.

98 Määritelmä Rata Olkoon G S n ryhmä, joka toimii joukossa M (esim. kolmion kärjet). Pisteen x M rata on [x] G :={g(x) : g G} M. Usein merkitään vain [x]. Voidaan osoittaa, että joukon M relaatio x y x [y] G on ekvivalenssi, joten radat jakavat M:n erillisiin luokkiin. Esimerkki Jos M ={1, 2,...,6}, f = (1 2)( ) S 6 ja G = f, niin G:n määräämät radat joukossa M ovat [1] = [2] ={1, 2} ja [3] = [4] = [5] = [6] ={3, 4, 5, 6}.

99 Kiinnittäjä Määritelmä Jos ryhmä G toimii joukossa M ja jos x M, niin pisteen x kiinnittäjä(aliryhmä) on G x :={g G : g(x) = x} G. Kiinnittäjä todellakin on aliryhmä, joten Lagrangen lauseen nojalla G x jakaa G :n kaikilla x M.

100 Kiinnittäjä Esimerkki (jatkoa edelliseen) Jos M ={1, 2,...,6}, f = (1 2)( ) S 6 ja G = f = { e, f, f 2, f 3} = { e, f, (1)(2)(3 5)(4 6), (1 2)( ) }, niin kiinnittäjäaliryhmät ovat ovat G 1 = G 2 ={e, f 2 } ja G 3 = G 4 = G 5 = G 6 ={e}. Näiden koot (2 ja 1) jakavat luvun G = 4.

101 Kiintopistejoukko Määritelmä Jos ryhmä G toimii joukossa M ja jos g G, niin g:n kiintopistejoukko on M g :={x M : g(x) = x} M. Esimerkki (jatkoa edelliseen) Jos M ={1, 2,...,6}, f = (1 2)( ) S 6 ja G = f = { e, f, f 2, f 3} = { e, f, (1)(2)(3 5)(4 6), (1 2)( ) }, niin kiintopistejoukot ovat M e = M, M f = M f 3 = ja M f 2 ={1, 2}.

102 Radan koko Lause Jos ryhmä G toimii joukossa M ja jos x M, niin radan [x] koko saadaan laskettua kaavasta [x] = G / Gx. Todistus Merkitään G x = H (aliryhmä) ja merkitään kaikkien H:n sivuluokkien joukkoa G/H. Tällöin funktio G/H [x] G, gh gx on bijektio, joten joukon [x] G koko on sama kuin sivuluokkien lukumäärä, joka puolestaan saadaan jakamalla G:n koko H:n koolla (kaikki sivuluokat olivat yhtä suuria).

103 Radan koko Esimerkki (jatkoa edelliseen) Jos M ={1, 2,...,6}, f = (1 2)( ) S 6 ja G = f = { e, f, f 2, f 3} = { e, f, (1)(2)(3 5)(4 6), (1 2)( ) }, niin aiemmin saimme radoiksi [1] = [2] ={1, 2} ja [3] = [4] = [5] = [6] ={3, 4, 5, 6} ja kiinnittäjäaliryhmiksi G 1 = G 2 ={e, f 2 } ja G 3 = G 4 = G 5 = G 6 ={e}. Lause radan koosta toimii; esimerkiksi [1] = G / G1.

104 Ratojen lukumäärä Lause (Burnsiden lemma) Jos ryhmä G toimii joukossa M, niin ratojen lukumäärä on kiintopistejoukkojen kokojen keskiarvo: 1 G. M g g G

105 Ratojen lukumäärä Todistus Merkitään n = { }. (g, x) G M : gx = x Permutaatiota g G vastaavien parien (g, x) lukumäärä on, M g joten. n = M g g G Toisaalta alkiota x M vastaavien parien (g, x) lukumäärä on G x, joten n = G x, x M

106 Ratojen lukumäärä Todistus (jatkuu) saadaan M g = G x. g G x M Radan [x] G koko on G / G x ja rata on sama kaikille y [x] G, joten G y = [x]g Gx = G. y [x] G Merkitään ratojen lukumäärää k:lla, jolloin ylläolevan nojalla G x = k G, x M ja jakamalla G :llä ollaan valmiita.

107 Ratojen lukumäärä Esimerkki (jatkoa edelliseen) Jos M ={1, 2,...,6}, f = (1 2)( ) S 6 ja G = f = { e, f, f 2, f 3} = { e, f, (1)(2)(3 5)(4 6), (1 2)( ) }, niin aiemmin saimme radoiksi{1, 2},{3, 4, 5, 6} ja kiintopistejoukoiksi M e = M, M f = M f 3 =, M f 2 ={1, 2}. Kiintopistejoukkojen kokojen keskiarvo on 1 4 ( M e + M f + Mf 2 + Mf 3 ) = 1 4 ( ) = 2 eli sama kuin ratojen lukumäärä.

108 Neliön värittäminen Kysymys Monellako tavalla neliön kärjet voidaan värittää kahdella värillä, jos ei tehdä eroa niiden väritysten välillä, jotka saadaan toisistaan kääntelemällä neliötä kolmiulotteisessa avaruudessa?

109

110

111

112

113

114

115

116

117 Verkot MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet, kevät 2016 Harri Varpanen Aalto-yliopisto Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Keskiviikko

118 Terminologiaa Käytämme sanoja linkki ja kaari (eng. link / edge) samassa merkityksessä. Linkki sopii paremmin suunnattujen verkkojen yhteyteen; käytännöt vaihtelevat. Myös termejä verkko ja graafi (eng. network / graph) käytetään vaihtelevasti.

119 Motivaatiota (...) networks may be used to model a huge array of phenomena across all scientific and social disciplines. Examples include the World Wide Web, citation networks, social networks (e.g., Facebook), recommendation networks (e.g., Netflix), gene regulatory networks, neural connectivity networks, oscillator networks, sports playoff networks, road and traffic networks, chemical networks, economic networks, epidemiological networks, game theory, geospatial networks, metabolic networks, protein networks and food webs, to name a few. (Grady & Polimeni: Discrete Calculus. Springer 2010.)

120 Yksinkertainen, suuntaamaton verkko Määritelmä Yksinkertainen, äärellinen, suuntaamaton verkko on järjestetty pari (V, E), missä V on äärellinen, epätyhjä joukko (verkon solmut) E on kokoelma V:n kaksialkioisia osajoukkoja (solmujen väliset linkit tai kaaret). Toisin sanoen: (V, E), missä V, V < ja E P(V) siten, että A E : A = 2. Emme siis salli kaaria solmusta itseensä (loop) emmekä useampikertaisia kaaria (multigraph) ellei toisin mainita.

121 Yksinkertainen, suuntaamaton verkko Jos e = {u, v} E, niin u ja v ovat kaaren e päätepisteet; lisäksi u ja v ovat naapureita. Esimerkki (kuvat taululla) täydellinen (eng. complete) verkko täydellinen kaksijakoinen (eng. bipartite) verkko sykli polku puu

122 Yksinkertainen, suuntaamaton verkko Kysymys Montako kaarta n-solmuisessa verkossa voi enintään olla? ( ) n Vastaus:, sillä kaarten joukko on kokoelma solmujen joukon 2 2-alkioisia osajoukkoja.

123 Solmun aste Määritelmä Verkon (V, E) solmun v V aste on deg(v) = {A E : v A} eli solmusta v lähtevien kaarien lukumäärä.

124 Kättelylemma Lause (kättelylemma) Kullekin verkolle (V, E) pätee deg(v) = 2 E. Todistus v V Poistetaan verkosta kaikki kaaret. Lisätään ne takaisin yksi kerrallaan ja pidetään kirjaa solmujen astelukujen summasta. Kukin kaari kasvattaa solmujen astelukujen summaa kahdella, sillä kunkin kaaren molemmissa päissä on solmu, jonka astelukuun kaari kertaalleen lasketaan. Siispä solmujen astelukujen summa on yhtä kuin kaarten lukumäärä kerrottuna kahdella. (Mielikuva: solmut = ihmiset, kaaret = ihmisten väliset kättelyt.)

125 Kaarien enimmäislukumäärä uudelleen Esimerkki (taululla) Lasketaan kättelylemman avulla kaarien lukumäärä verkossa (V, E), jossa V = n ja E sisältää kaikki mahdolliset kaaret. Toisaalta deg(v) = n 1 kaikilla v V, joten deg(v) = n(n 1). v V Toisaalta (kättelylemma) 2 E = deg(v), joten v V E = 1 ( n 2 n(n 1) =. 2 )

126 Solmujen värittäminen Määritelmä Verkon G = (V, E) solmuväritys on funktio (jollekin k) siten, että c : V {1, 2,..., k} {u, v} E c(u) c(v). Pienintä lukua k, jolle tällainen funktio löytyy, sanotaan verkon G kromaattiseksi luvuksi ja merkitään χ(g).

127 Solmujen värittäminen Esimerkki Viereiselle verkolle on χ(g) = 3. χ(k n ) = n (K n : verkko, jossa maksimimäärä kaaria) χ(g) = 1 E = 0 χ(g) = 2 G kaksijakoinen χ(g) 3: ei tunnettua kriteeriä.

128 Sovellus: konfliktiverkot Esimerkki Viisi opiskelijaa A, B, C, D ja E tekevät kuutta eri projektityötä seuraavissa ryhmissä: 1. A, B, C 2. B, D 3. B, C 4. B, E 5. A, C 6. D, E. Jos kunkin projektin tekeminen valmiiksi kestää kokonaisen päivän kultakin ryhmän jäseneltä, onko mahdollista saada kaikkia projekteja valmiiksi vähemmässä kuin kuudessa päivässä?

129 Esimerkki (jatkuu) Sovellus: konfliktiverkot Muodostetaan konfliktiverkko G, jonka kuusi solmua numeroidaan ryhmien mukaisilla numeroilla 1 6 ja jossa solmujen välillä on kaari ryhmillä on yhteisiä jäseniä Tällöin kaikkien projektien saaminen valmiiksi on mahdollista χ(g) päivässä.

130 Sovellus: konfliktiverkot Esimerkki (jatkuu) Koska solmut {1, 2, 3, 4} ja niitä yhdistävät kaaret muodostavat täydellisen verkon K 4, niin on oltava χ(g) 4. Toisaalta näemme kuvasta, että solmut 5 ja 2 voidaan värittää samalla värillä, samoin solmut 6 ja 3. Siten χ(g) = 4 eli neljä päivää riittää.

131 Sovellus: ohjelmointikielen kääntäjä Ohjelman silmukan (for, while) suorittaminen nopeutuu, kun kääntäjä tallentaa silmukassa toistuvasti käytetyt muuttujat tavallisen muistin asemesta suorittimen muistiin. Toisaalta suorittimen muistia käytettävissä vähän. Muodostetaan verkko G, jonka solmut ovat silmukassa käytetyt muuttujat ja solmujen välillä on kaari jos niitä vastaavien muuttujien on silmukkaa suoritettaessa oltava käytössä yhtäaikaa. Tarvittavien suoritinmuistipaikkojen määrä on tällöin χ(g).

132 Määritelmä Kävely verkolla Kävely verkolla (V, E) on jono solmuja siten, että (v 0,..., v n ) i {0,..., n 1} : {v i, v i+1 } E. Luku n on kävelyn pituus. Kävely alkaa solmusta v 0 ja päättyy solmuun v n. Jos v 0 = v n, niin kävely on suljettu. Kävely voidaan ilmaista myös jonona kaaria (e 1,..., e n ) siten, että kahdella peräkkäisellä kaarella on yhteinen solmu. Ero polun (path) ja kävelyn (walk) välillä: polussa ei saa olla syklejä.

133 Määritelmä Eulerin kävely Verkon Eulerin kävely on kävely, joka käy läpi verkon kaikki kaaret täsmälleen kerran. Vastaavasti Eulerin sykli: Eulerin kävely, jossa lähtöpiste on sama kuin päätepiste. Sovellus (Chinese postman problem) Postimiehen kannattaa etsiä jakelualueelleen reitti, jossa samaa katua ei kävellä kahdesti ja jossa lopuksi palataan lähtöpisteeseen. Tällainen löytyy täsmälleen silloin, kun jakelualueen ruutukaavasta löytyy Eulerin sykli. (Kadut = kaaret, katujen risteykset = solmut.)

134 Yhtenäisyys Määritelmä Verkko on yhtenäinen, jos sen jokaisen kahden solmun välillä on kävely. (Yhtäpitävästi: polku.) Solmujen joukon relaatio u v u:n ja v:n välillä on kävely on ekvivalenssi, joka jakaa verkon solmut yhtenäisiin ekvivalenssiluokkiin eli komponentteihin.

135 Eulerin kävely Lause (Euler 1736) Yhtenäisellä verkolla on Eulerin sykli täsmälleen silloin, kun sen jokaisen solmun aste on parillinen. Todistus (esimerkki taululla) ( ) Jos verkolla on Eulerin sykli, niin kävellään se ympäri. Tällöin kuhunkin solmuun saavutaan yhtä monta kertaa kuin siitä lähdetään. Siispä kunkin solmun asteluku on parillinen (kaikki kaaret käytiin läpi). ( ) Olkoon verkon (V, E) jokaisen solmun aste parillinen. Verkolla (V, E) on ainakin yksi sykli:

136 Eulerin kävely Todistus (jatkuu) Aloitetaan kävely mielivaltaisesta solmusta ja valitaan kullakin askeleella uusi kaari kunnes joku solmu toistuu. (Verkko on äärellinen, joten joku solmu toistuu lopulta. Siihen asti voidaan asteiden parillisuuden nojalla valita aina uusi kaari.) Kun edellä löydetyn syklin kaaret poistetaan E:stä, niin saadun verkon (V, E ) kaikkien solmujen aste on edelleen parillinen. (Huom. poistettiin syklistä pelkät kaaret.) Siten verkolla (V, E ) on jälleen vähintään yksi sykli, ja voidaan toistaa syklien poistamista kunnes yhtään kaarta ei jää jäljelle. Näin alkuperäinen kaarien joukko E on yhdiste erillisistä sykleistä.

137 Eulerin kävely Todistus (jatkuu) Erilliset syklit voidaan edelleen asettaa järjestykseen siten, että peräkkäisillä sykleillä on yksi yhteinen solmu. (Jos tämä ei onnistuisi, niin verkko ei olisi yhtenäinen.) Etsitty Eulerin sykli saadaan, kun kävellään erilliset syklit läpi järjestyksessä seuraavasti: siirrytään seuraavaan sykliin heti kun kohdataan yhteinen solmu, viimeinen sykli kierretään kokonaan, ja lopuksi peruutetaan samojen yhteisten solmujen kautta ja kierretään syklit loppuun.

138 Hamiltonin kävely Määritelmä Verkon Hamiltonin kävely on kävely, joka käy läpi verkon kaikki solmut täsmälleen kerran. Vastaavasti Hamiltonin sykli: Hamiltonin kävely, jossa lähtöpiste = päätepiste ja välissä olevat solmut käydään läpi täsmälleen kerran. Siinä missä Eulerin kävelylle löytyi helppo kriteeri algoritmeineen, niin Hamiltonin kävely on vaikeampi: yleistä kriteeriä ei tunneta.

139 Hamiltonin kävely Riittävä ehto: Lause (G. Dirac 1952) Jos verkolla on n 3 solmua siten, että kullekin solmulle v pätee deg(v) n/2, niin verkolla on Hamiltonin sykli. Todistus Sivuutetaan. Ks. esim. s_theorem Loppuviikon tuntitehtävässä 1 sovelletaan Diracin lausetta.

140

141

142

143

144

145

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos meillä

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 6: Verkkoteoria Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Verkkojen peruskäsitteitä Motivaatiota (...) networks may

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 6: Verkkoteoria Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Verkkojen peruskäsitteitä Motivaatiota (...) networks

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 5 / vko 41

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 5 / vko 41 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 5 / vko 4 Tuntitehtävät 4-42 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 45-46 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 43-44 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. huhtikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 2.

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. huhtikuuta 2015 1 Modulaariaritmetiikka Eukleideen algoritmi RSA-algoritmi 2 Ryhmät ja permutaatiot Ryhmät

Lisätiedot

DMP / Kevät 2016 / Mallit Harjoitus 6 / viikko 13 / alkuviikko

DMP / Kevät 2016 / Mallit Harjoitus 6 / viikko 13 / alkuviikko DMP / Kevät 2016 / Mallit Harjoitus 6 / viikko 13 / alkuviikko Alkuviikon tuntitehtävä 1: Montako kahdeksaan yhtäsuureen sektoriin leikattua pitsaa voidaan tehdä kolmesta täytteestä siten, että kukin sektori

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. lokakuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 14.

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. lokakuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 14.

Lisätiedot

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. lokakuuta 2015 1 Modulaariaritmetiikka Eukleideen algoritmi RSA-algoritmi 2 Ryhmät ja permutaatiot Permutaatiot

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 4. lokakuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä4. ym.,

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 4. lokakuuta 0 Modulaariaritmetiikka Eukleideen algoritmi RSA-algoritmi Ryhmät ja permutaatiot Permutaatiot

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto. huhtikuuta 0 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E. Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 1 Modulaariaritmetiikka Eukleideen algoritmi RSA-algoritmi 2 Permutaatiot ja ryhmät Ryhmät

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 4. lokakuuta 0 Modulaariaritmetiikka Eukleideen algoritmi RSA-algoritmi Ryhmät ja permutaatiot

Lisätiedot

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. 3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. lokakuuta 0 Modulaariaritmetiikka Eukleideen algoritmi RSA-algoritmi Ryhmät ja permutaatiot

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät 6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. huhtikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin

Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin 16. marraskuuta 2006 1 Symmetrisistä ryhmistä... Bijektiivistä kuvausta {1,..., n} {1,..., n} kutsutaan n-permutaatioksi. Merkitään n-permutaatioden joukkoa S n.

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto. huhtikuuta 0 Modulaariaritmetiikka Eukleideen algoritmi RSA-algoritmi Ryhmät ja permutaatiot

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa II

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa II MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa II

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa II MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa II G. Gripenberg Modulaariaritmetiikka 2 Permutaatiot ja ryhmät Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 204 3 Verkot G. Gripenberg (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

4. Ryhmien sisäinen rakenne

4. Ryhmien sisäinen rakenne 4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.

Lisätiedot

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S

Lisätiedot

Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}.

Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}. Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa suuriin, helpommin käsiteltäviin osiin. Tämän jälkeen voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet

Diskreetit rakenteet Diskreetit rakenteet 811120P 5 op 7. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 Mikä on verkko? verkko (eli graafi) koostuu solmuista ja väleistä, jotka yhdistävät solmuja

Lisätiedot

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I. Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla? 7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T-79.165 Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Mikko Malinen, 36474R 29. maaliskuuta, 2005 Tiivistelmä Artikkelissa käydään läpi teoriaa, jonka avulla

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 1 Ti 10.1.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin toteutus Ongelman ratkaiseminen Algoritmin tehokkuus Algoritmin suoritusaika Algoritmin analysointi Algoritmit 1 Kevät 2017

Lisätiedot

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137 Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi...

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

6.4. Järjestyssuhteet

6.4. Järjestyssuhteet 6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa

Lisätiedot

PARITUS KAKSIJAKOISESSA

PARITUS KAKSIJAKOISESSA PARITUS KAKSIJAKOISESSA GRAAFISSA Informaatiotekniikan t iik seminaari i Pekka Rossi 4.3.2008 SISÄLTÖ Johdanto Kaksijakoinen graafi Sovituksen peruskäsitteet Sovitusongelma Lisäyspolku Bipartite matching-algoritmi

Lisätiedot

Tarkennamme geneeristä painamiskorotusalgoritmia

Tarkennamme geneeristä painamiskorotusalgoritmia Korotus-eteen-algoritmi (relabel-to-front) Tarkennamme geneeristä painamiskorotusalgoritmia kiinnittämällä tarkasti, missä järjestyksessä Push- ja Raise-operaatioita suoritetaan. Algoritmin peruskomponentiksi

Lisätiedot

ja siten kyseisen symmetriaryhmä on toinen dihedraaliryhmä (D 2 )

ja siten kyseisen symmetriaryhmä on toinen dihedraaliryhmä (D 2 ) APPROBATUR (MATP170) Harjoitus 7, Ratkaisut 1. Kuvaa kirjaimen H smmetriarhmä permutaatioiden avulla ja tee saadulle rhmälle kertotaulu. (Nimeä tätä varten kirjaimesta smmetrian mielessä tärkeitä kohtia

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause

Lisätiedot

5 Platonin kappaleet ja niiden symmetriaryhmät

5 Platonin kappaleet ja niiden symmetriaryhmät 5 Platonin kappaleet ja niiden symmetriaryhmät Ensimmäisissä luvussa käsittelimme ryhmäteorian peruskonsepteja niin kuin ne on 1800- ja 1900-luvuilla määritelty. Nyt palaamme ajassa taaksepäin, ja tutkimme,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

10. Painotetut graafit

10. Painotetut graafit 10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014

Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 8,

Algebra I, harjoitus 8, Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A23 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 216 Laskuharjoitus 2A (Vastaukset) Alkuviikolla

Lisätiedot

Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot

Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot T-79.5101 kevät 2006 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M : a, Q b c d Lauseen X( UQ) sulkeuma: CL ( X( UQ) ) = { X( UQ), X( UQ), UQ, X ( UQ), ( UQ),, Q, X ( UQ),, } Muodostetaan

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot