v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4
|
|
- Hanna-Mari Niemelä
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi sovelluksessa pisteet voivat olla kaupunkeja ja viivat - suorat yhteydet, eli tiet joita pitkiin kaupungista pääsee toiseen suoraan (ei muiden verkon kaupunkien kautta). Tässä kuva tyypillisestä verkosta. Käytämme sitä esimerkkinä usein jatkossa. v 1 B v 6 D E v 7 A v 8 v 9 v 5 v 2 F C v 3 v 4 G Viiva voi olla kaksisuuntainen, jolloin se voidaan kulkea molempiin suuntiin tai yhdensuuntainen, jolloin sitä voi kulkea vain yhteen suuntaan. Jälkimmäisessä tapauksessa viivalla on alkupiste ja loppupiste ja kuvissa se merkitään nuolena. Myös kaksisuuntaisen viivan tapauksessa puhumme alku-ja loppupisteestä, jolloin jompikumpi päätepiste voidaan sanoa alkupisteeksi (toinen on silloin loppupiste), riippuen siitä, mihin suuntaan halutaan kulkea. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa v 2 ja v 9 ovat yhdensuuntaisia, muut viivat kaksisuuntaisia. Hyväksymme myös silmukoita, eli viivoja, jotka yhdistävät piste itseensä (kuvassa v 7 ) ja monikertaisia viivoja eli erilaisia viivoja samojen pisteiden välillä - kuvassa viivoilla v 3 ja v 4 samat päätepisteet, mutta ne ajatellaan erilaisiksi viivoiksi. Painotettu verkko, on sellainen verkko, jossa jokaiseen viivaan on liitetty 1
2 joku lukuarvo, joka sanotaan viivan painoksi (weight). Esimerkiksi jos verkon pisteet edustavat kaupunkeja ja viivat- teitä, viivan paino voi olla kaupunkien välinen etäisyys eli tien pituus. Painotettu verkko näyttää seuraavanlaiselta - 1 B 2 D E 2 A 4 5 4,3 F 9 C 3 2 G Jos verkosta otetaan kaksi pistettä, niiden välillä ei välttämättä ole viivoja, mutta voi olla, että toisesta pääsee toiseen muutamaa viivaa pitkin. Tällaista kulkua sanotaan reitiksi tai poluksi. Formaalisti siis reitti pisteestä a pisteseen b on ketju viivoja w 0,w 1,...,w n, missä vivan w 0 alkupiste on a, w n loppupiste on b ja jokaisen seuraavan viivan v i alkupiste on edellisen viivan v i 1 loppupiste. Tällöin a on reitin alkupiste ja b reitin loppupiste. Jos verkko on painotettu, reitillä on pituus - se on summa siihen sisältyvien viivojen painoista. Esimerkiksi yllätarkastellussa verkossa (v 1,v 6 ) onpolkua:stä D:hen. Tietysti niiden välillä on olemassa myös lyhyempi polku, jossa on vain yksi viiva v 8. Mutta jos sama verkko tarkastellaan painotettuna verkkona kuten yllä, niin ensimmäisen reitin paino on 1+2 = 3, kun taas toisen reitin paino on 5. Jos nämä painot edustavat joitakin kustannuksia, ensimmäinen onkin edullisempi. Verkko, jossa jokaisesta pisteestä päästään jokaiseen toiseen pisteeseen polkua pitkin, sanomme yhtenäiseksi. 2
3 Optimisaatio verkossa. Verkkoihin liittyy luonnollisella tavalla monta tärkeätä optimointi-ongelmaa. Tarkastelemme niistä kaksi - minimaalisen virittävän puun ongelma ja lyhyemmän reitin ongelma. Minimaalisen virittävän puun ongelma Sykli verkossa on sellainen reitti, joka yhdistää pisteen itseensä eli jonka alku-jaloppupisteetovatsamapiste.esimerkiksi verkossaylläviivatv 1,v 6,v 8 muodostavat syklin, joka yhdistää A:n itseensä. Myös (v 3,v 4 ) on sykli. Puu on sellainen yhtenäinen verkko, jossa ei ole sykliä. Puussa ei ole turhia viivoja, vaan jokaisesta pisteestä päästään toiseen vain yhtä reittiä pitkin. Puu yhtenäisessä verkossa G on sellainen kokoelma sen pisteitä ja viivoja (aliverkko) joka on itse verkkona puu. Virittävä puu verkossa, on puu verkossa, joka sisältää kaikki sen pisteet. Virittävä puu on siis ikäänkuin minimaalinen tapa valita annetussa verkossa yhteyksiä (viivoja), niin että kaikki pisteet ovat yhteydessä, mutta viivoja on mahdollisimman vähän. Jos verkko on painotettu, haluamme löytää siinä minimaalinen virittävä puu, eli sellainen verkon alipuu, jolla on pienin mahdollinen paino (sen viivojen yhteenlaskettu paino). Minimaalisen virittävän puun löytäminen. Minimaalinen virittävä puu rakennetaan vaiheittain tietyn algoritmin mukaan, lisämällä siihen yksi uusi piste ja yksi viiva kerrallaan. Algoritmin jokaisessa vaiheessa verkon pisteet ovat jaettu kahteen luokkaan - luokka A, jossa on ne pisteet, jotka ovat jo lisätty puuhun ja luokka B, jossa on ne pisteet, jotka eivät ole vielä puussa. Algoritmin alussa A koostuu vain yhdestä pisteestä, jonka saa valittaa mielivaltaisesti. 3
4 Algoritmin jokainen välivaihe on samanlainen- tarkastellaan kaikki viivat, joiden toinen päätepiste on A:ssä ja toinen B:ssä. Valitaan niistä viivoista sen, jolla on pienin paino ja lisätään se, sekä sen toinen päätepiste puuhun. Tällöin joukko A kasvaa ja joukko B pienenee. Jos viivoja jolla on pienin paino on enemmän kuin yksi, niistä valitaan kuitenkin vain yksi. Sen saa ottaa mielivaltaisesti. Algoritmi päättyy kun kaikki verkon pisteet kuuluvat puuhun. Esimerkki: Tarkastellaan seuraavaa verkkoa: b e a d 5 c 8 Aloitetaan minimaalisen puun konstruktio esim. pisteestä a (alkupisteen valinnalla ei ole merkitystä). Tarkastellaan kaikki a:sta lähtevät viivat (paitsi silmukat, joita ei nyt verkossa olekaan joka tapauksessa). Niistä painoltaan pienin on viiva ab, jonka paino 1. Lisätään siis tämä viiva ja sen loppupiste b puuhun. Seuraavaksi tarkastellaan viivoja, joiden toinen päätepiste on a tai b, mutta toinen ei ole. Nyt näistä pienin on be, sen paino on 3. Lisätään siis puuhun piste e ja viiva be. Jatketaan samalla tavalla. Seuraavassa vaiheessa pienin viiva on bd (paino 4), sitten seuraavassa vaiheessa df (paino 3). Nyt jäljellä on vain piste c. Kaikista viivoista, jotka johtavat pisteeseen c kaksi painoltaan pienintä ovat ac tai dc, molempien paino on 5. Näistä valitaan jompikumpi (mutta ei molempia, tällöin ei tule puuta!!!) f 4
5 Saadaan siis kaksi mahdollista ratkaisua. Näin ollen minimaalinen puu ei ole välttämättä yksikäsitteinen, mutta kaikilla mahdollisilla vastauksilla on sama pituus. Tässä tapauksessa minimaalisen puun pituus = 16. Sama lopputulos saadaan kun lähdetään liikkeelle mistä tahansa muusta pisteestä. Lyhyemmän reitin ongelma Olkoot a ja b jonkun painotetun verkon pisteitä. Halutaan löytää pituudeltaan mahdollisimman pieni reitti niiden välisssä. Tarkastelemme niin sanottua Dijekstran algoritmia, jonka avulla lyhyemmän reitin ongelma voidaan ratkaista. Algoritmi on monimutkaisempi kuin virittävän puu algoritmi. Edelleenkin jokaisessa algoritmin vaiheessa verkon pisteet jakautuvat kahteen luokkaan. Luokassa A ovat niin sanotut pysyvät pisteet, eli sellaiset pisteet joille on jo löydetty pienin reitti, joka yhdistää niitä pisteseen a. Jokaiselle pysyvälle pisteelle x on lisäksi annettu niin sanottu leima, joka on muodoltaan pari (t, y). Tämän parin ensimmäinen osa t on luku, joka kertoo, kuinka pitkä pituudeltaan on lyhin mahdollinen reitti pisteestä a tähän pisteeseen x. Toinen osa y on taas pisteen x edeltäjä tällaisessa reitissä. Leiman toisen osan avulla voidaan siis jäljittää myöhemmin lyhin reitti piste kerrallaan. Pysyvien pisteiden leimat eivät enää koskaan muutu vaikka algoritmi jatkuisi vielä. Algoritmi pysähtyy silloin, kun pisteestä b tulee pysyvä. Tällöin voidaan leimojen avulla jäljittää haluttu lyhin reitti. Miten se tapahtuu käytännössä selviää esimerkkeistä alla. Toisessa luokassa B on verkon kaikki muu, ei-pysyvät (tässä vaiheessa) pisteet, joihin asti, emme vielä löytäneet lyhintä reittiä pisteestä a. Joillakin ei-pysyvillä pisteillä on myös leimoja, jotka ovat muotoa (t, x), mutta ei välttämättä kaikilla. Lisöksi nämä leimat saattavat muuttua niiden kohdalla algoritmin edetessä, kun taas pysyvien pisteiden leimat eivät koskaan enää päivitty. 5
6 Leimoissa varastetaan samaa informaatiota kuin pysyvien pisteiden leimoissa, paitsi, että nyt kyse on mahdollisesta eli ainoastaan tähän mennessä löydetystä lyhimmästä reitistä. Jos löydetään lyhyempi, leima siis päivitetään. Algoritmin jokainen välivaihe näyttää seuraavalta. Tarkastellaan taas kaikki viivat, joiden alkapiste on A:ssä (pysyvien pisteiden luokassa) ja loppupiste on B:ssä. Olkoon v sellainen viiva, olkoon c sen alkupiste A:ssä ja d sen loppupiste B:ssä. Olkoon p(v) viivan v paino ja (t,y) pisteen c:n leima. Huomaa, että t on tällöin sellaisen reitin paino, joka yhdistää pisteitä a ja d, lisäksi lyhyemmän sellaisen. Jos tähän reittiin lisätään perään viiva v, saadaan eräs reitti pisteestä a pisteseen d. Jos pisteellä d ei vielä ole leimaa, asetetaan sen leimaksi (t + p(v),a). Ajatus tämän takana on seuraava - jos lyhin reitti pisteestä a pisteseen c on jo konstruoitu, niin eräs reitti pisteseen d saadaan, kun jatketaan edellinen reitti viivalla v. Tämä on ainakin jokin reitti a:stä d:hen, ja koska d:llä ei ole leimoja vielä, tämä reitti on ainakin toistaiseksi paras kandidaatti pienempään reittiin. Jos taas pisteellä d on jo leima (t,z), tämä tarkoittaa, että aikaisemmin löydettiin jo jokin mahdollisesti lyhin reitti a:stä d:hen, ja sen pituus on t. Toisaalta nyt meillä on myös uusi reitti pisteestä a pisteseen d pisteen c kautta ja sen paino on t+p(v). Verrataan tämä uusi reitti aikaisemman löydettyyn eli katsotaan onko t + p(v) mahdollisesti pienempi kuin t. Jos on, vanha reitti ei ollutkaan lyhin mahdollinen, joten muutetaan (eli päivitetään) d:n leima muotoon (t+p(v),a). Jos taas uusi reitti ei ollut pidempi kuin vanha eli t t+p(v), ei muuteta mitään. Näin siis tehdään jokaisen sopivan viivan kohdalla. Sopiva tässä yhteydessä siis tarkoittaa sellaista viiva jonka alkupiste on pysyvien joukossa ja loppupiste ei ole. Kierroksen lopussa tarkastellaan kaikki B:n pisteet, joilla on leima, ja valitaan niistä se piste, jolla on pienin leiman ensimmäinen osa (reitin pituus). Tämä piste siirretään leimaineen pysyvien joukkoon ja seuraava kierros alkaa. Jos pisteitä joilla on sama pienin leiman ensimmäinen osa on enemmän 6
7 kuin yksi, siirretään niistä joku yksi pysyvien joukkoon, ei ole väliä mikä. Algoritmi jatketaan kunnes b on siirtynyt pysyvien joukkoon. Esimerkki: Tarkastellaan vaihtelun vuoksi seuraavaa järjestettyä verkkoa, jossa siis kaikki viivat yhdensuuntaisia eli nuoleja. 100 b d 50 a c Halutaan löytää lyhyin reitti pisteiden a ja b välillä. e Alussa piste a on ainoa pysyvä piste ja se saa leiman (0,a) (ei tarvita mitään viivoja, että pääse a:stä a:han). Tarkastellaan kaikki viivat, jotka lähtevät a:stä. Niitä on- viiva ab, jonka paino 100 ja viiva ac, jonka paino 30. Koska pisteillä b ja c ei ole vielä leimoja, b saa leiman (100,a) ja c saa leiman (30, a). Leimoista kannattaa pitää erikseen kirjaa, esim. taulukkomuodossa. Nyt joukossa B sijaitsevat kaikki pisteet paitsi a ja niistä leimoja ovat saaneet b ja c. Pienin leima on c:llä (30), joten c siirretään pysyvien joukkoon. Algoritmin ensimmäinen kierros päättynyt. Kierros 2: Nyt pysyvien pisteiden joukossa on pisteet a ja c. Nyt pitäisi tarkastella kaikki nuolet, jotka alkavat a:ssä tai c:ssä ja päättyvät muihin pisteisiin. Mutta nuoli ab on jo tarkasteltu ensimmäisen kierroksen aikana, joten siitä ei tarvitse enää välitä. Sama havainto pätee itse asiassa jokaisen kierroksen kohdalla - riittää tarkastella vain niitä viivoja, jotka alkavat uudessa pisteessä, joka lisättiin siis edellisen kierroksen lopussa. Viiva cd tuo pisteelle d leiman (30+10 = 40,c) ja viiva ce - leiman (90,c) pisteelle e. Näistä pienin on pisteellä d, joten se siirtyy pysyvien pisteiden joukkoon. Kierros 3: Pysyvien pisteiden joukossa pisteet a, c, d. Tarkastellaan taas viivat, jotka alkavat tuoreessa pysyvässä pisteessä d ja loppuvat ei-pysyvään 7
8 pisteeseen. Tällaisia on kaksi - viiva de ja viiva db. Näistä de määrää reitin a c d e, jonka pituus on = 90. Tämä ei ole parempi kuin d leiman (90, c) ensimmäinen osa, joten sitä leimaa ei tarvitse päivitä. Sen sijaan jos tarkastellaan viivaa db, jonka pituus 15, niin koska = 55 < 100, tästä saadaan parempi tulos kuin aikaisempi b:n leima (100, 1). Muutetaan b:n leima siis leimaksi (55, d). Nyt ei-pysyvistä pisteistä b:llä on leima (55, d) ja e:llä leima (90, c). Näistä 55 on pienin, joten b:stä tulee pysyvä piste. Koska olemme etsineet lyhintä reittiä a:stä b:hen, voimme lopettaa. Pienin reitti on siis pituudeltaan 55. Sen viivoja voidaan jäljittää nyt menemällä leimoja pitkin taaksepäin. b:n leima on (55,d), joten sen edeltäjä on d. d:n leima puolestaan (40,c), joten sen edeltäjä c ja niin edelleen. Haluttu polku on siis a c d b. Alla kuva samasta verkosta, jossa lisätty informaatiota kaikista leimoista, jotka algoritmin suorituksen aikana tulivat esille (55, d) 100 (100, a) b d (40, c) 50 (0, a) a 30 c (30, a) 60 e (90, c) Huomaa, että lyhimmän reitin jokainen osa on myös lyhin mahdollinen. Näin ollen samalla olemme laskeneet, että lyhin reitti a:stä c:hen on a c ja lyhin reitti a:stä d:hen on a c d. Näitä ei tarvitse siis laskea samalla algoritmilla uudestaan. Lyhimmän reitin ongelma lineaarisena optimointiongelmana Lyhimmän reitti ongelma voidaan muotoilla myös lineaarisena optimointiongelmana. Sen jälkeen se voidaan ratkaista esimerkiksi Solverilla. 8
9 Malli konstruoidaan seuraavalla tavalla. Muuttujat vastaavat verkon viivoja - yksi muuttuja per viiva. Yleensä muuttujat merkitään x ij, missä ij on se viiva, joka alkaa pisteessä i ja loppuu pisteeseen j. Objektifunktio saadaan kertomalla viiva ij vastaava muuttuja viivan painolla ja laskemalla kaikki nämä yhteen. Tämä funktio edustaa polun pituutta, joten se pitää minimoida. Esimerkiksi edellisessä esimerkissä ongelmassa olisi 7 muuttujaa - x ab,x ac, x cd, x db, x bc, x de ja x ce. Ajatus on siinä, että ratkaisussa muuttujan x ij arvosta nähdään onko vastaava viiva ij parhaassa reitissä vai eikö seuraavasti - jos vastaavan muuttujan arvo 0, viiva ei ole reitissä mukana, jos se on taas > 0, viiva on mukana. Yleensä jälkimmäisessä tapauksessa arvo on 1, mutta jos ratkaisu ei yksikäsitteinen (vähintään kaksi erilaista lyhintä reittiä), näin ei välttämättä ole. Reunaehtoja saadaan seuraavan periaatteen mukaisesti - jokaisessa verkon pisteessä sisään menevien nuolten summan pitää olla sama kuin ulospäin menevien. Lisäksi verkkoon lisätään yksi pisteeseen a menevä nuoli (ilman alkupistettä), jonka arvo 1, samoin yksi viiva joka lähtee b:stä. Eli edellisessä esimerkissä näin: 1 15 b d a c e Huomaa, nämä arvot 1 EIVÄT ole painoja, vaan vakioita, joita kohdellaan samalla tavalla kuin muuttujia. Nyt jokaista verkon pistettä vastaa yhtälö, jossa vasemmalla puolella - kaikki viivat (tai siis niitä vastaavat muuttujat tai vakiot) jotka tulevat pisteeseen sisään ja oikealla puolella - kaikki jotka menevät ulos. Siis: Piste a - 1 = x ab +x ac, Piste b - x ab +x db = x bc +1, Piste c - x ac +x bc = x cd +x ce, Piste d - x cd = x db +x de, Piste e - x ce +x de = 0. Nämä siis ovat vastaavan lineaarisen ongelman reunaehdot. 9
10 Jos ne kirjoittaa kuten on tapana sillä tavalla, että vasemmalla puolella on muuttujat ja oikealla vakiot, saadaan ehdot muotoon Piste a - x ab +x ac = 1, Piste b - x bc x ab x db = 1, Piste c - x ac +x bc x cd +x ce = 0, Piste d - x cd x db x de = 0, Piste e - x ce +x de = 0. Huomataan, että jos näiden kertoimia kootaan taulukoksi, jossa sarakkeet vastaavat muuttujia eli viivoja ja rivit pisteitä, se näyttää seuraavanlaiselta - Tyhjät kohdat vastaavat nollia. x ab x ac x bc x cd x ce x db x de a b c d e Tällainen taulukko konstruoidaan seuraavalla yksinkertaisella tavalla - jokaisessa sarakkeessa laitetaan 1 saraketta vastaavan viivan alkupisteen kohdalle ja 1 loppupisteen kohdalle. Loput alkiot nollia. Viimeinen sarake vastaa ehtojen oikeanpuoleisia vakioita- niistä etsityn reitin alkupisteettä vastaa 1, loppupistettä 1 ja loput nollia. Minimoittava objekti funktio on 100x x x x x x x 45. Katso myös sama esimerkki Excel-tiedostona ratkaistuna Solverin avulla. 10
Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Verkko eli graafi: Määritelmä 1/2 Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 11 Ti 24.4.2018 Timo Männikkö Luento 11 Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Kauppamatkustajan ongelma Paikallinen etsintä Lyhin virittävä puu Vaihtoalgoritmit Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento
LisätiedotV. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 126 Luku 3 Puut 3.1 Puu 3.2 Virittävä puu 3.3 Virittävän puun konstruointi 3.4 Minimaalinen virittävä puu
LisätiedotJohdatus verkkoteoriaan 4. luento
Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,
LisätiedotLiite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Liite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 : Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli-ja päätösteoriassa
LisätiedotAlgoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotLuku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä
Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut
Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 0) Toinen välikoe, malliratkaisut. (a) Alussa puu näyttää tältä: Lisätään 4: 4 Tasapaino rikkoutuu solmussa. Tehdään kaksoiskierto ensin oikealle solmusta ja sitten
LisätiedotHarjoitus 3 (3.4.2014)
Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
Lisätiedot13 Lyhimmät painotetut polut
TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 297 13 Lyhimmät painotetut polut BFS löytää lyhimmän polun lähtösolmusta graafin saavutettaviin solmuihin. Se ei kuitenkaan enää suoriudu tehtävästä, jos kaarien
LisätiedotKönigsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )
Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,
LisätiedotDemo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
LisätiedotLuku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko
Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa
LisätiedotHarjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Lisätiedotj n j a b a c a d b c c d m j b a c a d a c b d c c j
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos S-38.115 Liikenneteorian perusteet, Kevät 2008 Demonstraatiot Luento 12 29.2.2008 D12/1 Tarkastellaan verkkoa, jossa on solmua ja linkkiä.
LisätiedotHilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
LisätiedotA274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut
LisätiedotLineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 6 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 To 28.3.2019 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 6 To 28.3.2019 2/30 B-puu 40 60 80 130 90 100
Lisätiedot3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
LisätiedotKuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij
Kuljetustehtävä Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Lähtöpaikan i kapasiteetti on a i (oletetaan, että a i > 0
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 7 Ti 31.1.2017 Timo Männikkö Luento 7 Järjestetty binääripuu Binääripuiden termejä Binääripuiden operaatiot Solmun haku, lisäys, poisto Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 7 Ti 31.1.2017
Lisätiedotb) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan
Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla
LisätiedotNäytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
LisätiedotA = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 13 Ma Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ma 26.2.2018 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 12 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 12 Ke 26.4.2017 Timo Männikkö Luento 12 Rajoitehaku Kauppamatkustajan ongelma Lyhin virittävä puu Paikallinen etsintä Vaihtoalgoritmit Geneettiset algoritmit Simuloitu jäähdytys Algoritmit
LisätiedotHelsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13
Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3
LisätiedotRekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä
Rekursiolause Laskennan teorian opintopiiri Sebastian Björkqvist 23. helmikuuta 2014 Tiivistelmä Työssä käydään läpi itsereplikoituvien ohjelmien toimintaa sekä esitetään ja todistetaan rekursiolause,
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 4 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 4 To 21.3.2019 Timo Männikkö Luento 4 Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Avoin osoitteenmuodostus Hajautusfunktiot Puurakenteet Solmujen läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 4
LisätiedotAlgoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 30.4.2019 Timo Männikkö Luento 13 Simuloitu jäähdytys Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 13 Ti 30.4.2019
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
LisätiedotP (A)P (B A). P (B) P (A B) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (B = 1) P (A = 1)P (B = 1 A = 1) P (B = 1)
Harjoitustehtäviä (erä 1) 1 1. Käytetään yksinkertaisesti Bayesin kaavaa: P (A B) = P (A)P (B A). P (B) Tapauksessa B = 1 saadaan P (A = 0 B = 1) = P (A = 1 B = 1) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (A = 1)P
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
Lisätiedot4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä
LisätiedotTKT20001 Tietorakenteet ja algoritmit Erilliskoe , malliratkaisut (Jyrki Kivinen)
TKT0001 Tietorakenteet ja algoritmit Erilliskoe 5.1.01, malliratkaisut (Jyrki Kivinen) 1. [1 pistettä] (a) Esitä algoritmi, joka poistaa kahteen suuntaan linkitetystä järjestämättömästä tunnussolmullisesta
LisätiedotAki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI
Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen
LisätiedotYhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi
Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
LisätiedotA-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.
MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään
LisätiedotKombinatorinen optimointi
Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, 652013, vastauksia 1 [6 pistettä] Vastaa jokaisesta alla olevasta väittämästä onko se tosi vai epätosi ja anna lyhyt perustelu Jokaisesta kohdasta
LisätiedotVektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)
Vektorit Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus Vektorit Vektoreilla
Lisätiedot58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto)
811 Tietorakenteet (kevät 9) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto) 1. Bellmanin-Fordin algoritmin alustusvaiheen jälkeen aloitussolmussa on arvo ja muissa solmuissa on arvo ääretön. Kunkin solmun arvo
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotMatemaatiikan tukikurssi
Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon
Lisätiedot58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen)
58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 1. Avaimet 1, 2, 3 ja 4 mahtuvat samaan lehtisolmuun. Tässä tapauksessa puussa on vain yksi solmu, joka on samaan aikaan juurisolmu
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
Lisätiedot10. Painotetut graafit
10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotMarkov-ketjut pitkällä aikavälillä
MS-C2111 Stokastiset prosessit 2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton;
LisätiedotGraafin virittävä puu 1 / 20
Graafin virittävä puu 1 / 20 Graafin virittävä puu PuuT on graafingvirittävä puu (spanning tree), jos se sisältää kaikkig:n pisteet. Virittäviä puita: 2 / 20 Yhdistämisongelma Yhdistämisongelma:(Connector
LisätiedotOta tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
LisätiedotAlgoritmit 2. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 2 Demot 4 24.-25.4.2019 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) int laske(n) { if (n
LisätiedotValitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.
Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
LisätiedotAlgoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään
Ohjelmointi Ohjelmoinnissa koneelle annetaan tarkkoja käskyjä siitä, mitä koneen tulisi tehdä. Ohjelmointikieliä on olemassa useita satoja. Ohjelmoinnissa on oleellista asioiden hyvä suunnittelu etukäteen.
LisätiedotYhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
Lisätiedotj(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotRatkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).
Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi
LisätiedotTietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja
Tietorakenteet, laskuharjoitus, ratkaisuja. Seuraava kuvasarja näyttää B + -puun muutokset lisäysten jälkeen. Avaimet ja 5 mahtuvat lehtisolmuihin, joten niiden lisäys ei muuta puun rakennetta. Avain 9
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotMohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa
Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
Lisätiedot6.4. Järjestyssuhteet
6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotHarjoitus 1 (20.3.2014)
Harjoitus 1 (20.3.2014) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Hämeenlinna 4 = Imatra 5 = Jyväskylä. 5 2 149(5) 190(4) 113(1)
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2018-2019 Kertausta jälkiosasta V Hashtaulukot ja binääriset etsintäpuut Hashtaulukot Perusajatus tunnettava Tiedettävä mikä on tiivistefunktio Törmäysongelman hallinta:
Lisätiedot1 Aritmeettiset ja geometriset jonot
1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään
LisätiedotVastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
Lisätiedot