Pisteet ja viivat. Multigraafi

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Pisteet ja viivat. Multigraafi"

Akseli Jääskeläinen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Pisteet ja viivat Josuv on viiva, niin pisteetujav ovat viivanuv päätepisteet (endpoints) ja u jav ovat vierekkäisiä eli vieruspisteitä (neighbours, adjacent points). Piste on irtopiste (isolated point) jos sillä ei ole vieruspisteitä. Viivate 1 jae 2 ovat vierekkäiset, jos niillä on yhteinen päätepiste. 1 / 30 Multigraafi Multigraafi: Kahden pisteen välillä sallitaan yhtä useampi viiva ja viivan päätepisteet voivat olla samat Multigraafissa muotoa uu olevia viivoja Useita viivoja kahden eri pisteen välillä. Jokainen graafi on myös multigraafi. 2 / 30 1

2 Graafin 2. määrittely Toinen määrittely: Graafi Yksinkertainen graafi (=Simple graph) Multigraafi Graafi 3 / 30 Suunnattu graafi Suunnattu graafi (Directed graph, Digraph)D = (V,E) on järjestetty pari, missäv on äärellinen joukko ja E V V.Lisäksi aina kun(u,v) E, onu v. Suunnatussa graafissa on viivauv vu, kunujav ovat eri pisteet. 4 / 30 2

3 Esimerkki suunnatusta graafista a c b d 5 / 30 Väritys ja etäisyys Funktioα : V G K on pisteiden väritys (vertex colouring)joukonk väreillä. Funktioα : E G K on viivojen väritys (edge colouring) joukonk väreillä. YleensäK = {1,2,...,k}. JosK R, niinα:aa kutsutaan myös paino- tai etäisyysfunktioksi. 6 / 30 3

4 Graafien isomorfia Kaksi graafiagjah ovat isomorfiset, merkitääng = H, jos on olemassa bijektioα : V G V H, jolleuv E G jos ja vain josα(u)α(v) E H aina kunu,v V G. SiisGjaH ovat pisteiden nimeämistä vaille yksinkäsitteisiä. 7 / 30 Esimerkki 8 / 30 4

5 Lukumääriä Graafien ja ei-isomorfisten graafien lukumääriä: Pisteitä Graafeja Ei-isomorfisia / 30 Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. GraafinG = (V,E),V = {v 1,v 2,...,v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)onn nmatriisi M = (M ij ), missänong:n pisteiden lukumäärä ja { 0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E. Vieruspistematriisi on aina symmetrinen. Lause 9.1. Kaksi graafia ovat isomorfisia täsmälleen silloin kun niillä on yhteinen vieruspistematriisi. Kahdella isomorfisella graafilla on täsmälleen samat vieruspistematriisit. 10 / 30 5

6 Graafin aste GraafinG = (V,E) pisteenv naapurusto (neighbourhood) on joukko N G (v) = {u V vu E} Pisteenv aste (degree) graafissagdeg G (v) (lyhyemmindeg(v)) onv:n naapuruston pisteiden lukumäärä. deg G (v) = N G (v). Irtopiste:deg G (v) = 0 lehti, loppupiste (leaf, endpoint):deg G (v) = 1 11 / 30 Handshaking lemma Lause 9.2.(Euler 1736, Handshaking lemma): Jokaiselle graafille G = (V, E) on deg G (v) = 2 E v G elig:n pisteiden asteiden summa on kaksi kertaag:n viivojen lukumäärä. Lisäksi parittoman asteen omaavien pisteiden lukumäärä on aina parillinen Tod / 30 6

7 Graafityyppejä Graafi on nollagraafi, jos se ei sisällä yhtään pistettä. Graafi on triviaali (trivial), jos se sisältää korkeintaan yhden pisteen. GraafiG = K V on täydellinen graafi pistejoukossav,jos se sisältää kaikki mahdolliset viivat eli jokainen piste on kaikkien muiden pisteiden vieruspiste. Kaikki täydellisetnpistettä sisältävät graafit ovat isomorfisia. Niitä merkitäänk n :llä. Selvästi E Kn = n(n 1) 2 E G n(n 1) 2 aina kungonn:n pisteen graafi,n / 30 Graafin komplementti GraafinGkomplementti (complement)on graafig, missä V G = V G jae G = {e E(V) e / E G }. Täydellisten graafien komplementteja K n kutsutaan erillisiksi graafeiksi (discrete graphs). 14 / 30 7

8 Säännöllinen graafi Graafi on säännöllinen (regular), jos jokaisella graafin pisteellä on sama aste. Jos tämä aste onr, niin graafia kutsutaan r-säännölliseksi (r-regular). Erillinen graafi on0-säännöllinen. K n onn 1-säännöllinen. 15 / 30 Petersenin graafi Petersenin graafi on3-säännöllinen. 16 / 30 8

9 Kaksijakoinen graafi Kaksijakoinen(bipartite) graafi G = (V, E): pistejoukollav on sellainen ositusx,y,että jokaisen viivanuv E toinen päätepiste on joukonx ja toinen päätepiste joukony piste. Silloin(X, Y) on graafin G kaksijako (bipartition of G) ja G on(x, Y)-kaksijakoinen ((X, Y)-bipartite). 17 / 30 Kaksijakoiset graafit 2 Kaksijakoinen graafi G = (V, E) on täydellinen(m, k)-kaksijakoinen graafi (complete(m, k)-bipartite graph), jos X = m, Y = k jauv E aina kunu X jav Y. Kaikki täydelliset(m,k)-kaksijakoiset graafit ovat isomorfisia keskenään. Merkitään niitä K m,k :lla Graafi on täydellinen kaksijakoinen graafi, jos se on täydellinen(m,k)-kaksijakoinen graafi jollain luvuillam,k. GraafiK 1,n on tähti (star). 18 / 30 9

10 Aligraafit 19 / 30 Määritelmiä Määritelmä. GraafiH = (V H,E H ) on graafing = (V G,E G ) aligraafi (subgraph), josv H V G jae H E G. Silloin merkitäänh G. JosH G jav H = V G, niinh ong:n virittävä aligraafi (spanning subgraph). Viivojen osajoukkof E G muodostaa yksikäsitteisen graafingvirittävän aligraafin G[F] = (V G,F). 20 / 30 Indusoitu aligraafi JosH G jae H = E G E(V H ) (elih sisältää kaikkig:n viivat, joiden molemmat päätepisteet ovatv H :n pisteitä), niinh on pistejoukonv H indusoimag:n aligraafi (induced subgraph). PistejoukollaA V G on olemassa yksikäsitteineng:stä indusoitu aligraafi G[A] = (A,E G E(A)). 21 / 30 10

11 9.2. Polut ja piirit. Graafin yhtenäisyys 22 / 30 Polut Sovelluksissa usein oleellista: Pisteiden läpikäyminen (esimerkiksi etsintäalgoritmit) Pisteiden välinen etäisyys (esimerkiksi sähköpostin kulkemien solmukoneiden lukumäärä) 23 / 30 Kulku Olkoote i = u i u i+1 E G graafingviivoja aina kuni = 1,2,...,k. Viivate i jae i+1 ovat vierekkäisiä, sillä niillä on yhteinen päätepisteu i+1. JonoW = e 1 e 2 e k onk:n pituinen kulku (walk) pisteestäu 1 pisteeseenu k+1 Kulusta käytetään myös merkintöjä W : u 1 u 2 u k u k+1, k jaw : u 1 u 2 u k+1 sekäw : u 1 uk+1. u 1 uk+1 : On olemassa kulku pisteestäu 1 pisteeseenu k+1. W : u 1 uk+1 tarkoittaa aina tiettyä kulkuaw = e 1 e 2 e k. Kulun W pituutta merkitään W :llä. 24 / 30 11

12 Polku ja piiri KulkuW = e 1 e 2 e k (e i = u i u i+1 ) on a)suljettu (closed), josu 1 = u k+1, b)polku (path), josu i u j aina kuni j, c) reitti (trail),jose i e j aina kuni j, d) piiri (cycle), josu 1 = u k+1 ja muulloinu i u j aina kuni j, e)triviaali polku (trivial path), jos W = / 30 Esimerkki kuluista Kulku, joka ei ole reitti: g e d c b e d Kulku, joka ei ole polku: g e d c b e c 26 / 30 12

13 Esimerkki jatkoa: Polkujab d: b e d,b e c d b c d,b c e d b a f c d jab a f c e d. Piiri: b a f c b b a f c e d c b ei ole piiri 27 / 30 Käsitteitä KulunW : u = u 1 u 2 u k+1 = v käänteiskulku (inverse of W) on kulku W 1 : v = u k+1 u k u 1 = u. Pisteuon kulunp päätepiste (end ofp ), josp alkaa tai päättyy pisteeseenu. PolutP jaqovat erilliset (disjoint), jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä (eikä siis myöskään yhteisiä viivoja) ja riippumattomat (independent), jos vain niiden päätepisteet ovat samat. 28 / 30 13

14 Käsitteitä 2 PolunP käänteispolkup 1 on polku. Kahden polun yhdiste ei välttämättä ole polku. Graafi (tai aligraafi)p k on graafi joka muodostuuk 1:sen pituisesta polusta (k 1viivaa,k pistettä). Graafi (tai aligraafi)c k onk:n pituinen piiri. Josk on parillinen, niin polkuap k (piiriäc k ) kutsutaan parilliseksi poluksi (parilliseksi piiriksi). Josk on pariton, niinp k (vastaavastic k ) on pariton polku (piiri). 29 / 30 Lause 9.3. Lause 9.3. Aina kunw : u v on kulku jau v, niin on olemassa polkup : u v, joka on saatuw :stä poistamalla siitä pisteitä ja viivoja. Tod / 30 14

Samankaltaiset tiedostot

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E. Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on