Luentorunko Kevät Matti Peltola.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Luentorunko Kevät Matti Peltola."

Transkriptio

1 GRAAFITEORIA S Luentorunko Kevät 2009 Matti Peltola

2 Hyödyllistä tietoa Matematiikan jaoksen tuottamasta opetuksesta löytyy osoitteesta Kurssin kotisivun osoite on Tämä moniste on tarkoitettu luentorungoksi, johon luennoilla annetaan lisäyksiä, selvennyksiä ja esimerkkejä. Moniste yksin ei ole sovelias itseopiskeluun.

3 i Sisältö 1 Johdanto 1 2 Merkintöjä ja peruskäsitteitä Merkintöjä Graan määritelmä Graaen yleistyksiä Graaen isomora Graaen esitysmuotoja Graan aste Graatyyppejä Aligraat Polut ja piirit. Graan yhtenäisyys Keveimmät polut. Dijkstran algoritmi Graaen operaatioita Puut Puun määritelmä ja puiden perusominaisuuksia Puun lehtien lukumäärä Graan virittävä puu Kaksijakoiset graat ja sovitukset Kaksijakoisten graaen ominaisuuksia Sovitukset Sovitukset kaksijakoisissa graafeissa Etäisyys Määritelmiä Puut ja etäisyys Keskus graafeissa Graan yhtenäisyys Graan yhtenäisyyttä kuvaavat luvut Mengerin teoreema Siirtoverkon luotettavuus Eulerin ja Hamiltonin graat Eulerin graat Postimies ongelma

4 ii 7.3 Hamiltonin graa Kauppamatkustaja ongelma Graaen väritykset Pisteiden väritykset Viivojen väritykset Graat pinnoilla Tasograat Tasograan karakterisointi Tasograan väritykset Upotukset muissa pinnoissa Suunnatut graat Määritelmiä ja perustuloksia Virtaukset siirtoverkoissa

5 1 Graateoria 1 Johdanto 2 Merkintöjä ja peruskäsitteitä 2.1 Merkintöjä Reaaliluvulle x on suurin kokonaislukualaraja ja pienin kokonaislukuyläraja x = max{k Z k x} x = min{k Z x k} Äärelliselle joukolle X on X joukon alkioiden lukumäärä. Jos X i X, i = 1, 2,... n ovat X:n osajoukkoja, joille n i=1 X i = X ja X i X j = aina kun i j, niin {X 1, X 2,..., X n } on joukon X ositus (partition). Kahden joukon X ja Y karteesinen tulo on joukko erotus ja symmetrinen erotus. X Y = {(x, y) x X ja y Y }, X \ Y = {x x X ja x / Y }, X Y = (X \ Y ) (Y \ X) Algoritmien aikakompleksisuusluokka P (deterministisesti polynomiaikaiset tehtävät)koostuu niistä tehtävistä, joissa N:n pituisen ongelman ratkaisemiseen deterministisellä algoritmilla kuluu enintään p(n) askelta, missä p on jokin tehtävästä riippuva N:n polynomi. Algoritmien aikakompleksisuusluokka NP (epädeterministisesti polynomiaikaiset tehtävät) koostuu niistä tehtävistä joissa N:n pituisen ongelman ratkaisemiseen epädeterministisellä algoritmilla kuluu enintään p(n) askelta, missä p on jokin tehtävästä riippuva N:n polynomi. 2.2 Graan määritelmä Olkoon V äärellinen joukko ja joukko E(V ) = {{u, v} u, v V, u v} V :n kaksialkioisten (eri alkiot) osajoukkojen joukko. Määritelmä Graa on järjestetty pari G = (V G, E G ), missä V G on äärellinen joukko (pisteet)ja E G E(V ) (viivat).

6 2 Pistettä kutsutaan myös solmuksi (vertex, point, node), viivaa linkiksi ja särmäksi (edge, line, link) ja graaa verkoksi (graph, simple graph, network). Graan pisteiden joukkoa V G merkitään myös V :llä ja viivojen joukkoa E G E:llä. Viivaa {u, v} merkitään usein uv. Huomaa, että uv = vu. Usein merkitään myös u G, kun u V G. Määritelmä Graalle G = (V G, E G ) on γ G = V G G:n pisteiden lukumäärä (order of G), ja ɛ G = E G G:n viivojen lukumäärä (size of G). Pisteet u ja v ovat viivan uv päätepisteet (endpoints). Pisteet u ja v ovat vierekkäisiä eli vieruspisteitä (neighbours, adjacent points), jos uv on G:n viiva. Piste on irtopiste (isolated point) jos sillä ei ole vieruspisteitä. Viivat e 1 ja e 2 ovat vierekkäiset, jos niillä on yhteinen päätepiste. 2.3 Graaen yleistyksiä Määritelmä Multigraa on järjestetty kolmikko G = (V, E, ψ), missä E = {e 1, e 2,..., e n } on joukko symboleja ja ψ : E E(V ) {vv v V G } on funktio, joka liittää jokaiseen alkioon e E kaksi V :n alkiota. Määritelmä Suunnattu graa (Directed graph, Digraph) D = (V, E) on järjestetty pari, missä V on äärellinen joukko ja E V V. Lisäksi aina kun (u, v) E, on u v. Suunnatussa graassa on viiva uv vu, kun u ja v ovat eri pisteet. Funktio α : V G K on pisteiden väritys (vertex colouring)joukon K väreillä. Funktio α : E G K on viivojen väritys (edge colouring) joukon K väreillä. Yleensä K = {1, 2,..., k}. Jos K R, niin α:aa kutsutaan myös paino- tai etäisyysfunktioksi. Määritelmä Hypergraa (Hypergraph) on järjestetty pari G = (V, E), missä E:n alkiot ovat V :n ei-tyhjiä osajoukkoja. 2.4 Graaen isomora Määritelmä Kaksi graaa G ja H ovat isomorset, merkitään G = H, jos on olemassa bijektio α : V G V H, jolle uv E G jos ja vain jos α(u)α(v) E H aina kun u, v V G. Isomorset graat usein samaistetaan. Graa-isomorsmi ongelma: Onko olemassa tehokas algoritmi joka tarkistaa onko kaksi graaa isomorsia? Kuvaus ψ on graa invariantti(graph invariant), jos sen arvo on aina sama isomorsille graafeille. 2.5 Graaen esitysmuotoja Graa esitetään tietokoneessa yleensä matriisin avulla.

7 3 Määritelmä Graan G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on G:n pisteiden lukumäärä ja M ij = { 0 v i v j / E, 1 v i v j E. Selvästi vieruspistematriisi M on aina symmetrinen, eli M T = M. Suoraan yo. määritelmistä seuraa tulos. Lause Kaksi graaa ovat isomorsia täsmälleen silloin kun niillä on yhteinen vieruspistematriisi. Kahdella isomorsella graalla on täsmälleen samat vieruspistematriisit. Graa voidaan määritellä myös joukkojen avulla. Määritelmä Olkoon X joukko ja χ = {X 1, X 2,..., X n } jokin X:n osajoukkojen joukko. Joukon χ leikkausgraa (intersection graph) G χ = (χ, E χ ), missä E χ = {X i X j i j ja X i X j }. Lause Jokainen graa on jonkin osajoukkojen joukon leikkausgraa. Graat voidaan esittää myös luonnollisten lukujen avulla. Olkoon A N äärellinen ja G A = (A, E) graa, jonka pisteet muodostuvat A:n luvuista ja rs E jos ja vain jos luvuilla r ja s on yhteinen tekijä > 1. Lause Jos G = (V G, E G ) on graa, niin on olemassa sellainen äärellinen luonnollisten lukujen joukko A, että graat G ja G A ovat isomorset. 2.6 Graan aste Määritelmä Graan G = (V, E) pisteen v naapurusto (neighbourhood) on joukko N G (v) = {u V vu E} ja aste (degree) deg G (v) (tai lyhyemmin deg(v)) on v:n naapuruston pisteiden lukumäärä, eli deg G (v) = N G (v). Jos deg G (v) = 0, niin v on irtopiste. Jos deg G (v) = 1, niin v on G:n lehti tai loppupiste (leaf, endpoint). Graan G pienin aste (minimum degree) on ja suurin aste (maximum degree) on δ(g) = min{deg G (v) v G} (G) = max{deg G (v) v G} Apulause (Euler 1736, Handshaking lemma)jokaiselle graalle G = (V, E) on deg G (v) = 2 E v G eli G:n pisteiden asteiden summa on kaksi kertaa G:n viivojen lukumäärä. Lisäksi parittoman asteen omaavien pisteiden lukumäärä on aina parillinen.

8 4 Graan G = (V, E) 2-vaihto (2-switch) (u, v : x, y), missä u, v, x, y V uv, xy E ja ux, vy / E, poistaa G:stä viivat uv ja xy ja lisää viivat ux ja vy. Lause (Berge 1973)Kahdelle saman pistejoukon V omaavalle graalle G ja H on deg G (v) = deg H (v) kaikilla v V jos ja vain jos H saadaan G:stä äärellisellä määrällä 2 vaihtoja. Määritelmä Olkoon d 1, d 2,..., d n laskeva äärellinen jono ei-negatiivisia kokonaislukuja, eli d 1 d 2 d n. Jono on esitettävissä graalla (graphical), jos on olemassa sellainen graa G = (V, E), missä V = {v 1, v 2,... v n } ja deg G (v i ) = d i, aina kun i = 1, 2,..., n. Jono d 1, d 2,..., d n on silloin G:n astejono (degree sequence). Lause Lukujono d 1, d 2,..., d n, (d 1 1 ja n 2) on esitettävissä graalla jos ja vain jos jono d 2 1, d 3 1,..., d d1 +1 1, d d1 +2, d d1 +3,..., d n on esitettävissä graalla (kun jono järjestetään laskevaan järjestykseen). 2.7 Graatyyppejä Graa on triviaali (trivial), jos se sisältää vain yhden pisteen. Graa G = K V on täydellinen graa pistejoukossa V, jos se sisältää kaikki mahdolliset viivat eli jokainen piste on kaikkien muiden pisteiden vieruspiste. Kaikki täydelliset n pistettä sisältävät graat ovat isomorsia. Niitä merkitään K n :llä. Graan G komplementti (complement)on graa G, missä V G = V G ja E G = {e E(V ) e / E G }. Täydellisten graaen komplementteja K n kutsutaan erillisiksi graafeiksi (discrete graphs). Graa on säännöllinen (regular), jos jokaisella graan pisteellä on sama aste. Jos tämä aste on r, niin graaa kutsutaan r-säännölliseksi (r-regular). Graa G = (V, E) on kaksijakoinen (bipartite) jos pistejoukolla V on sellainen ositus X, Y, että jokaisen viivan uv E toinen päätepiste on joukon X ja toinen päätepiste joukon Y piste. Silloin (X, Y ) on graan G kaksijako (bipartition of G) ja G on (X, Y )-kaksijakoinen ((X, Y )-bipartite). Kaksijakoinen graa G = (V, E) on täydellinen (m, k)-kaksijakoinen graa (complete (m, k)-bipartite graph), jos X = m, Y = k ja uv E aina kun u X ja v Y. Kaikki täydelliset (m, k)-kaksijakoiset graat ovat isomorsia keskenään. Merkitään niitä K m,k :lla. Graa on täydellinen kaksijakoinen graa, jos se on täydellinen (m, k)-kaksijakoinen graa jollain luvuilla m, k. Graa K 1,n on tähti (star). Se on täydellinen kaksijakoinen graa, jossa yhden pisteen aste on n ja muut pisteet ovat lehtiä.

9 5 2.8 Aligraat Määritelmä Graa H = (V H, E H ) on graan G = (V G, E G ) aligraa (subgraph), jos V H V G ja E H E G. Silloin merkitään H G. Jos H G ja V H = V G, niin H on G:n virittävä aligraa (spanning subgraph). Jos H G ja E H = E G E(V H ) (eli H sisältää kaikki G:n viivat, joiden molemmat päätepisteet ovat V H :n pisteitä), niin H on pistejoukon V H indusoima G:n aligraa (induced subgraph). Jos H on G:stä indusoitu aligraa, niin sen viivojen joukko E H sisältää kaikki G:n viivat, joissa molemmat päätepisteet ovat H:n pisteitä. Silloin jokaisella pistejoukolla A V G on olemassa yksikäsitteinen G:stä indusoitu aligraa G[A] = (A, E G E(A)). Joukko A V G on vakaa (stable), jos G[A] on erillinen graa. Vastaavasti jokaisella G:n viivojen osajoukolle F E G on olemassa yksikäsitteinen G:n virittävä aligraa G[F ] = (V G, F ). 2.9 Polut ja piirit. Graan yhtenäisyys Määritelmä Olkoot e i = u i u i+1 E G graan G viivoja aina kun i = 1, 2,..., k. Viivat e i ja e i+1 ovat vierekkäisiä, sillä niillä on yhteinen päätepiste u i+1. Jono W = e 1 e 2 e k on k:n pituinen kulku (walk) pisteestä u 1 pisteeseen u k+1 Kulusta käytetään myös merkintöjä W : u 1 u 2 u k u k+1, ja W : u 1 u 2 u k+1 sekä W : u k 1 u k+1. Merkintä u 1 u k+1 tarkoittaa, että on olemassa kulku pisteestä u 1 pisteeseen u k+1. Merkintä W : u 1 u k+1 tarkoittaa aina tiettyä kulkua W = e 1 e 2 e k. Kulun W pituutta merkitään W :llä. Määritelmä Kulku W = e 1 e 2 e k (e i = u i u i+1 ) on a)suljettu (closed), jos u 1 = u k+1, b)polku (path), jos u i u j aina kun i j, c) reitti (trail),jos e i e j aina kun i j, d) piiri (cycle), jos u 1 = u k+1 ja muulloin u i u j aina kun i j, e)triviaali polku (trivial path), jos W = 0. Kulun W : u = u 1 u 2 u k+1 = v käänteiskulku (inverse of W) on kulku. W 1 : v = u k+1 u k u 1 = u Piste u on polun P päätepiste (end of P ), jos P alkaa tai päättyy pisteeseen u. Kahden kulun W 1 : u v ja W 2 : v w yhdiste (join) on kulku W 1 W 2 : u w Polut P ja Q ovat erilliset (disjoint), jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä (eikä siis myöskään yhteisiä viivoja) ja riippumattomat (independent), jos vain niiden päätepisteet ovat samat.

10 6 Selvästi polun P käänteispolku P 1 on myös polku. Kahden polun yhdiste ei välttämättä ole polku. Graa (tai aligraa) P k on graa joka muodostuu k 1:sen pituisesta polusta (k 1 viivaa, k pistettä). Graa (tai aligraa) C k on k:n pituinen piiri. Jos k on parillinen, niin polkua P k (piiriä C k ) kutsutaan parilliseksi poluksi (parilliseksi piiriksi). Jos k on pariton, niin P k (vastaavasti C k ) on pariton polku (piiri). Apulause Aina kun W : u v on kulku ja u v, niin on olemassa polku P : u v, joka on saatu W :stä poistamalla siitä pisteitä ja viivoja. Määritelmä Jos graassa G esiintyy kulku (eli myös polku) pisteestä u pisteeseen v, niin pisteen u etäisyys (distance) pisteestä v on Jos kulkua ei ole, niin d G (u, v) =. d G (u, v) = min{k u k v} Graa G on yhtenäinen (connected), jos d G (u, v) < aina kun u, v V G, muulloin G on epäyhtenäinen (disconnected). Jos graasta ei ole epäselvyyttä, pudotetaan merkinnästä d G (u, v) alaindeksi pois. Määritelmä Aligraa H G on G:n komponentti (connected component), jos H on yhtenäinen ja aina kun piste v / H, niin aligraa G[V H {v}] on epäyhtenäinen. Graan G komponenttien lukumäärää merkitään c(g):llä. Määritelmä Piste v on graan G irrotuspiste (cut point vertex), jos graa, joka saadaan G:stä poistamalla piste v ja kaikki siihen liittyvät viivat, sisältää enemmän komponentteja kuin G. Viiva e on irrotusviiva eli silta (bridge), jos graa, joka saadaan G:stä poistamalla viiva e, sisältää enemmän komponentteja kuin G. Lause Viiva e E G on silta jos ja vain jos e ei esiinny missään G:n piirissä. Määritelmä Graa on separoitumaton (non-separable), jos se on yhtenäinen, eitriviaali ja se ei sisällä irrotuspisteitä. Graan G blokki (block) on G:n maksimaalinen separoitumaton aligraa. Lause Olkoon G = (V, E) yhtenäinen graa ja V 3. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. (1) Graa G on blokki (2) Jos v, v V, niin on olemassa molemmat pisteet sisältävä G:n piiri. (3) Jos v V ja e E, niin on olemassa v:n ja e:n sisältävä G:n piiri. (4) Jos e, e E, niin on olemassa e:n ja e :n sisältävä G:n piiri. (5) Aina kun v, v V ja e E, niin on olemassa sellainen polku P : v v, että e P. (6)Aina kun v, v, v V, niin on olemassa sellainen polku P : v v, että v P. (7)Aina kun v, v, v V, niin on olemassa sellainen polku P : v v, että v / P.

11 7 Todistus.... (3) (4): Olkoot uv, u v E. Silloin (3):n perusteella on olemassa piiri Kaksi tapausta: C : u v v u. (i) Jos u esiintyy piirissä C, niin samoin kuin kohdan (2) (3) todistuksessa voidaan osoittaa, että on olemassa piiri C : u v u v u. (ii) Jos u / C, niin koska (3):sen perusteella on olemassa uv:n ja u :n sisältävä piiri, niin on olemassa polku P : u u, joka ei sisällä pistettä v. Olkoon u lähinnä pistettä u oleva piste, joka esiintyy sekä piirissä C, että polussa P. Silloin on olemassa piiri C : u v v u u u. (4) (5): Koska G on yhtenäinen, niin jokainen sen piste on silloin ainakin yhden viivan päätepiste. Koska (4):n perusteella jokaista viivaparia kohti on olemassa molemmat viivat sisältävä piiri, niin silloin myös jokaista pisteparia kohti on olemassa ne sisältävä piiri. Siis (2) ja silloin myös (3) on voimassa. Olkoot u ja v kaksi G:n eri pistettä ja e G:n viiva. Tuloksen (3) perusteella on olemassa sellaiset piirit C 1 : u u ja C 2 : v v, että u, e C 1 ja v, e C 2. Jos nyt v C 1 tai u C 2, niin on olemassa kyseisen piirin osapolku P : u v, jossa viiva e esiintyy. Voidaan olettaa, että v / C 1 ja u / C 2. Koska viiva e esiintyy molemmissa piireissä, niin on olemassa sellainen piste w joka esiintyy molemmissa piireissä. Valitaan w lisäksi niiin, että piirin C 2 osapolku v w ei sisällä muita piirin C 1 pisteitä kuin w:n. Silloin pisteet u, v ja viivan e sisältävä polku P = P 1 P 2, missä P 1 on piirin C 1 osapolku u w ja P 2 on piirin C 2 osapolku w v. (5) (6): Jos u, v, w ovat G:n eri pisteitä, niin koska G on yhtenäinen, on olemassa viiva e, jonka eräs päätepiste on w. Kohdan (5) perusteella on olemassa sellainen polku P : u v, joka sisältää viivan e. Silloin polku sisältää myös pisteen w Keveimmät polut. Dijkstran algoritmi Olkoon G α painotettu graa. Toisin sanoen G α sisältää graan G ja painofunktion α : E G R (paino viivoilla). Jos H G, niin H:n paino α(h) = Polun P = e 1 e 2 e k paino on α(p ) = α(e i ). e E H α(e). Pienin painotettu etäisyys pisteiden u ja v välillä on d α G(u, v) = min{α(p ) P : u v} Ääriarvo-ongelmissa etsitään usein joidenkin ehtojen mukaan optimaalista aligraaa H G. Tällaisia ongelmia ovat esimerkiksi:

12 8 (1) Jakelu- tai kuljetus verkko, jossa viivojen painot ovat etäisyyksiä tai kuljetuskustannuksia. (2) Tietoliikenne- tai tietokoneverkko, jossa viivojen painot kuvaavat yhteyden vikaantumistodennäköisyyttä. (3) Kemiallisten sidosten mallit, joissa viivojen paino mittaa molekyylien vetovoimaa. Edelläolevissa esimerkeissä etsitään pienimmän painon omaavaa aligraaa, joka yhdistää pisteitä. Jos graa mallintaa esimerkiksi siirtoverkkoa, voi viivan paino kuvata myös yhteyden kapasiteettia. Silloin etsitään usein suurimman painon omaavaa aligraaa. Seuraavassa tarkastellaan minimointiongelmaa. Maksimointiongelma voidaan aina muuntaa minimointiongelmaksi määrittelemällä graalle uusi painofunktio α esimerkiksi seuraavasti: α (e) = k + 1 α(e) missä k = max{α(e ) e E G }. Seuraavassa painofunktion arvoa α(uv) kutsutaan viivan uv pituudeksi. Lyhimmän polun ongelma: Löydettävä kevein (lyhyin) polku pisteestä u pisteeseen v painofunktiolle α. Toisin sanoen on määrättävä d α G (u, v). Dijkstran algoritmi: Input: Painotettu graa G α, lähtöpiste u ja päätepiste v (1) Olkoon (2) Aina kun i = 0, 1,..., V G 1. Jokaiselle v / {u 0, u 1,..., u i } u 0 = u, t(u 0 ) = 0 ja t(w) = kaikilla w u 0 t(v) min{t(v), t(u i ) + α(u i v)} Valitaan pisteeksi u i+1 / {u 0, u 1,..., u i } jokin pisteistä w, jolle arvo t(w) on pienin. Seuraava i (3) Output d α G (u, v) = t(v) Graaen operaatioita Usein graa saadaan yhdistämällä eri tavoin yksinkertaisempia graafeja. Seuraavassa määritellään keskeisimmät graaen yhdistämisoperaatiot ja esitellään eräitä operaatioilla saatavia graatyyppejä. Määritelmä Olkoot G = (V G, E G ) ja H = (V H, E H ) kaksi erillistä graaa (V G V H = ). Graaen unioni on graa ja graaen summa (join)on graa missä E = {uv u V G ja v V H }. G H = (V G V H, E G E H ) G + H = (V G V H, E G E H E),

13 9 Pyörä (wheel) W 1,n = K 1 + C n. Määritelmä Olkoon G = (V, E) graa ja A V. Graa G A on joukon V \ A indusoima G:n aligraa G A = G[V \A]. Erityisesti G v on graa,joka saadaan poistamalla G:stä piste v ja kaikki ne viivat joiden päätepisteenä on v, ja graa G e = (V, E \ {e}). Määritelmä Olkoot G = (V G, E G ) ja H = (V H, E H ) kaksi erillistä graaa, missä V G = {u 1, u 2,..., u m }, V H = {v 1, v 2,..., v n } ja V G V H =. Graaen G ja H karteesinen tulo (cartesian product) on graa G H = (V G V H, E), missä (u, v)(u, v ) E täsmälleen silloin kun u = u ja vv E H, tai uu E G ja v = v Määritelmä Hyperkuutio Q 1 = K 2 ja Q n = K 2 Q n 1 aina kun n = 1, 2,.... Lause Hyperkuutiolle Q n, n = 1, 2,... on voimassa (i) Q n on n-säännöllinen. (ii) Q n :ssä on 2 n pistettä. (iii) Q n :n pisteet voidaan nimetä n:n pituisella bittijonolla niin, että jokainen bittijono on täsmälleen yhden pisteen nimi ja kaksi pistettä ovat vieruspisteitä täsmälleen silloin kun niiden nimet eroavat täsmälleen yhden bitin verran. Todistus. (i) Q 1 = K 2 on 1-säännöllinen. Induktio-oletus: Q k on k-säännöllinen. Graa Q k+1 = K 2 Q k, joten Q k+1 käsittää kaksi Q K :n kopiota, joiden vastinpisteet on yhdistetty viivalla. Siis Q k+1 on k + 1-säännöllinen. (ii) Koska V Q1 = K 2 ja Q n+1 = K 2 Q n, niin V Qn+1 = 2 V Qn, mistä väite seuraa. (iii) Matemaattinen induktio n:n suhteen. Nyt Q 1 = K 2, joten vaadittu pisteiden nimitys saadaan, kun toinen merkitään 0:lla ja toinen 1:llä. Induktio-oletus: Q k toteuttaa ehdon. Olkoon pistettä u vastaava bittijono u k. Graassa Q k+1 esiintyy kaksi Q k :n kopiota Q 0 K ja Q 1 K. Nimetään pisteet seuraavasti: Q k :ssa u merkitään bittijonolla 0u k ja graassa Qk 1 u merkitään bittijonolla 1u k. Saadaan ehdot täyttävät Q k+1 :n pisteiden nimeäminen. Hilat (meshes, grid, lattice) ovat toinen graatyyppi, joka määritellään graatulon avulla. 2-hila M(m, n) on P m :n ja P n :n tulograa, eli M(m, n) = P m P n. Vastaavasti 3-hila M(a, b, c) = (P a P b ) P c ja n-hila M(a 1, a 2,..., a n ) = P a1 P a2 P an. Määritelmä Graan G = (V, E) viivagraa (line graph) L(G) = (E, E L ), missä L(G):n pisteet ovat E:n viivat ja e 1 e 2 E L jos ja vain jos G:n viivoilla e 1 ja e 2 on yhteinen päätepiste graassa G.

14 10 3 Puut Puut ovat tärkeä graaluokka. Ne esiintyvät käytännön sovellutuksissa, kuten tarkasteltaessa organisaatiokaavioita tai minimoitaessa siirtoverkkoa. Ne ovat myös perusmalli erilaisille tietorakenteille. Puita käytetään myös etsintä- ja lajittelualgoritmeissa. Graateorian kannalta puut ovat monesti se ensimmäinen graaluokka, jolla tutkittavaa otaksumaa voidaan testata. Seuraavassa määritellään puut, todistetaan puiden perusominaisuuksia ja selvitetään, miten graasta määritetään graan rakenteesta oleellista tietoa sisältävä, graan virittävä puu. 3.1 Puun määritelmä ja puiden perusominaisuuksia Määritelmä Graa joka ei sisällä yhtään piiriä on asyklinen (acyclic) eli metsä. Puu (tree) on yhtenäinen asyklinen graa Lause Olkoon G = (V G, E G ) graa. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (1) G on puu (2) Jokaisen G:n pisteparin yhdistää yksikäsitteinen polku. (3) G on asyklinen ja E G = V G 1. Edellisen lauseen ja Lauseen perusteella saadaan Seuraus Yhtenäinen graa on puu jos ja vain jos kaikki sen viivat ovat siltoja. Puiden astejonot Edellisessä luvussa tarkasteltiin graaen astejonoja. Seuraavan tuloksen avulla voidaan päätellä onko äärellinen lukujono puun astejono. Lause Olkoon d 1, d 2,... d n laskeva äärellinen jono positiivisia kokonaislukuja. Jono d 1, d 2,..., d n on puun astejono jos ja vain jos d 1 + d d n = 2(n 1). Todistus " "Jos d 1, d 2,..., d n on puun T astejono, niin silloin T :ssä on n pistettä. Edellisen lauseen perusteella on puussa T silloin n 1 viivaa ja koska jokainen viivoista tulee huomioitua kahden pisteen asteessa, niin d 1 + d d n = 2(n 1). " "Todistetaan väite matemaattisella induktiolla puun pisteiden lukumäärän n suhteen. Jos n = 1 tai n = 2, niin väite on voimassa. Induktio-oletus: Aina kun α 1 α 2 α k on äärellinen jono positiivisia kokonaislukuja, joille α 1 + α α k = 2(k 1) niin on olemassa puu, jonka astejono on α 1, α 2,..., α k. Olkoon d 1, d 2,... d k+1 jono jolle d 1 d 2... d k d k+1 > 0, jolle d 1 + d d k+1 = 2(k + 1 1) = 2k. Osoitetaan, että on olemassa puu T jonka astejono on d 1, d 2,..., d k+1.

15 11 Isomorset puut Luvussa 2.4 käsiteltiin graaen välistä isomoraa. Selvästi eräs graa-invariantti on pisteiden asteet. On voimassa Apulause Jos G = H ja α on bijektio graaen välillä, niin deg G (u) = deg H (α(u)) aina kun u V G. Tehokkaimpia menetelmiä kahden puun isomoraa selvitettäessä on verrata astejonoja, tarkastella puiden pisimpiä polkuja ja tarkastella lyhimpiä polkuja joissa päätepisteinä olevien pisteiden asteet eivät esiinny muiden pisteiden asteina. 3.2 Puun lehtien lukumäärä Seuraavassa tarkastellaan miten puun pisteiden asteet määräävät puun lehtien lukumäärän. Aluksi tarkastellaan puun piirtämistä. Puu T on esitetty juurrettuna puuna (rooted tree), juurena piste u V T, jos puu on piirretty seuraavasti: -Juuri on piirretty ylimmälle riville (tai tasolle 0). -Juuren naapurit (eli juuren lapset) on piirretty yhden tason verran juuren alapuolelle. -Kaikki juuren lapsien lapset on piirretty seuraavalle tasolle jne. -Prosessi päättyy, kun kaikki T :n pisteet on käyty läpi. Puun korkeus (height) on juuren alla olevien tasojen lukumäärä. Jokaisesta puusta voidaan tuottaa juurrettu puu seuraavalla menettelyllä, joka yhdistää myös puun pisteiden asteet ja lehtien lukumäärän. -Valitaan juureksi jokin puun lehti. - Piirretään aluksi juurrettuna puuna jokin T :n polku P juuresta lehteen. -Jos tämä on T, niin T:ssä on lehtiä 2, jos V T 2 ja lehtiä on 1, jos V T = 1. -Jos T ei ole polku, niin silloin on olemassa P :n piste u, jonka aste on 2. Piirretään u:sta alkavat polut aina lehteen asti aloittamalla jokaisesta viivasta joka ei esiinny P :ssä. -Jokainen u:sta lähtevä polku päättyy lehteen, joten näin saaduissa poluissa on deg T (u) 2 lehteä. -Toteutetaan edelläkuvattu prosessi jokaiselle P :n pisteelle v i, jolla deg T (v i ) > 2. Lehtiä löytyy deg T (v i ) 2 kappaletta. i -Tehdään edelläkuvattu prosessi jokaisen T:n polun pisteelle w, jonka aste on > 2. Jokaista w:n viivaa, joka ei ole jo aikaisemmin käsitellyissä poluissa, kohti löytyy polku uuteen lehteen. Koska T on äärellinen, niin edelläkuvattu prosessi päättyy, ja koska T on yhtenäinen, niin prosessi tuottaa koko puun (eli myös kaikki lehdet). Silloin jokaista T:n pistettä w vastaa deg T (w) 2 lehteä. On todistettu

16 12 Lause Olkoon n i puun T asteen i omaavien pisteiden lukumäärä ja V T 2 (eitriviaali puu). Silloin puun lehtien lukumäärä n 1 = 2 + (i 2)n i = 2 + n 3 + 2n 4 + 3n 5 +. i=3 3.3 Graan virittävä puu Graan virittävä puu on G:n virittävä aligraa, joka on puu. Lause Yhtenäisellä graalla on virittävä puu. Todistus. Poistetaan yhtenäisestä graasta G = (V, E) ei-sillat seuraavasti: Olkoon H 0 = G. Olkoon H i+1 = H i e i, missä e i ei ole graan H i silta, i = 1, 2, 3,... ja H i+1 = H i, jos jokainen H i :n viiva on H i :n silta. Koska e i ei ole H I :n silta, niin H i+1 on H I :n eli myös graan H 0 = G yhtenäinen virittävä aligraa. Koska G on äärellinen, niin on olemassa sellainen H k, että kaikki sen viivat ovat siltoja. Seurauksen perusteella H k on puu. Seuraus Jokaiselle yhtenäiselle graalle G on E G V G 1. Rakennettaessa verkkoa, jossa on yhdistettävä n solmua (kaupunkeja, tietokoneita, komponentteja, jne) on usein toivottavaa pienentää rakentamisen kustannukset ja/tai linkkien määrä minimiin. Tätä kutsutaan yhdistämisongelmaksi (connector problem). Graateoreettisesti tarkoituksena on löytää painotetun graan kevyin yhtenäinen virittävä aligraa. Tällainen graa on selvästi puu, koska ei-siltojen poistaminen keventää graaa. Etsitään siis kevyintä graan virittävää puuta, kun puun paino on sen viivojen painojen summa. Olkoon G α painotettu graa, missä α : E G R + painofunktio. Kruskalin algoritmi antaa ratkaisun yhdistämisongelmaan. Kruskalin algoritmi Olkoon G α = (V, E) painotettu yhtenäinen graa ja V = n. (i) Olkoon e 1 E viiva, jonka paino α(e 1 ) on pienin viivojen painoista. Olkoon E 1 = {e 1 }. (ii) Aina kun i = 1, 2,..., n 1 (tässä järjestyksessä) valitaan sellainen viiva e i / E i 1, että paino α(e i ) on pienin ja graa G[E i 1 {e i }] ei sisällä piiriä. Kun prosessi pysähtyy, on saatu graa T = (V, E n 1 ). Koska T ei sisällä piiriä ja V = E n 1 + 1, niin Lauseen perusteella T on puu, joten T on G α :n virittävä puu. Lause Kruskalin algoritmi tuottaa painotetun graan G α painoltaan keveimmän virittävän puun. Graan kevein virittävä puu voidaan etsiä myös Primin algoritmilla (Jarnikin algoritmi), jossa algoritmin jokaisessa vaiheessa saatu graa on alipuu keveimmästä virittävästä puusta. Primin algoritmi Olkoon G α = (V, E) painotettu graa ja V = n. (i) Olkoon u 1 V eräs piste, V 1 = {u 1 } ja E 1 =.

17 13 (ii)aina kun i = 2, 3,..., n (tässä järjestyksessä) olkoon e i = uv kevein sellainen viiva, että u V i 1 ja v / V i 1. Olkoon E i = E i 1 {e i }, V i = V i 1 {v}. Lopulta saadaan yhtenäinen graa T = (V n, E n ). Selvästi T ei sisällä piiriä, koska uv E i jos ja vain jos v / V i 1, u V i 1. Koska E n = n 1 ja V n = n, niin T on G α :n virittävä puu lauseen perusteella. Lause Koko Primin algoritmin suorituksen ajan puu T i = (V i, E i ) on jonkin G α :n virittävän keveimmän puun alipuu. Todistus. Matemaattinen induktio V i :n suhteen. Tapaus V 1 = {u 1 }, E 1 = selvä. Induktio-oletus:Puu T k = (V k, E k ) on jonkin G α :n virittävän keveimmän puun T min = (V min, E min ) alipuu. Induktioväite:Puu T k+1 = (V k+1, E k+1 ) on jonkin G α :n virittävän keveimmän puun alipuu. Koska Primmin algoritmi tuottaa prosessin päätyttyä G α :n virittävän puun, niin edellisen lauseen perusteella saadaan. Seuraus Primmin algoritmi tuottaa painotetun graan G α puun. keveimmän virittävän

18 14 4 Kaksijakoiset graat ja sovitukset Sovitusongelmissa on yleensä annettu joukko alkioita ja relaatioita alkioiden välillä. Tehtävänä on löytää sellaiset alkioparit, että jokaiselle alkiolle löytyy yksikäsitteinen sopiva pari. Eräs tällainen ongelma on ns. Henkilökunnan sijoitteluongelma (job assignment problem): Yrityksessä on p työntekijää ja q työtehtävää. Kukin työntekijä osaa tehdä ainakin yhtä työtehtävää. Onko mahdollista sijoittaa kukin työntekijä hänen osaamaansa työtehtävään? Seuraavassa tarkastellaan aluksi kaksijakoisten graaen ominaisuuksia, määritellään erilaisia sovituksia ja lopuksi tarkastellaan sovituksia kaksijakoisissa graafeissa. 4.1 Kaksijakoisten graaen ominaisuuksia Seuraava algoritmi tarkistaa onko graa G = (V, E) kaksijakoinen. Input: Graa G = (V, E) (1) Valitaan jokin G:n piste u ja väritetään se värillä 1. (2) Väritetään kaikki u:n vieruspisteet värillä 2. (3) Väritetään kaikki värillä 2 väritettyjen pisteiden vieruspisteet värillä 1 ja värillä 1 väritettyjen pisteiden vieruspisteet värillä 2. (4) Jos kaikki G:n pisteet saadaan yksikäsitteisesti väritettyä, niin G on kaksijakoinen eli (X 1, X 2 )-kaksijakoinen, missä X i on värillä i väritettyjen pisteiden joukko. Lause Graa G on kaksijakoinen jos ja vain jos G ei sisällä paritonta piiriä. Todistus " "Olkoon G (X, Y )-kaksijakoinen graa ja C : v 1 v 2 v k+1 = v 1 sen k:n pituinen piiri. Jos v 1 X (tapaus v 1 Y on vastaava), niin v 2 Y, v 3 X,.... Siis v 2i Y ja v 2i+1 X. Välttämättä on sillloin k + 1 = 2m + 1 eli C = k = 2m. " ". Oletetaan, että kaikki G:n piirit ovat parillisisia. Voidaan olettaa, että G yhtenäinen. Olkoon v G piste, X = {x d G (v, x) on parillinen} ja Y = {y d G (v, y) on pariton}. Koska G on yhtenäinen, niin V G = X Y ja lisäksi X Y =. Olkoot u, w X (tapaus u, w Y on vastaava) ja olkoot P : v u ja Q : v w lyhyimmät polut v:stä u:hun ja v:stä w:hen. Osoitetaan, että uw / E G. Olkoot x piste, joka esiintyy sekä P :ssä, että Q:ssa ja on tällaisista pisteistä kauimmaisena v:stä. Silloin P = P 1 P 2 ja Q = Q 1 Q 2, missä... Koska puu ei sisällä yhtään piiriä, on voimassa. Seuraus Jokainen puu on 2-jakoinen graa. Edellisen lauseen perusteella saadaan myös

19 15 Seuraus Jokaisen 2-jakoisen graan aligraa on 2-jakoinen. Erdös (1965) osoitti seuraavan tuloksen. Lause Jokaisella graalla G on olemassa 2-jakoinen aligraa H G, jolle E H 1 2 E G. Todistus. Olkoon V G = X Y sellainen V G :n ositus, että viivojen uv, u X, v Y määrä on mahdollisimman suuri. Olkoon F = E G {uv u X, v Y } ja H = G[F ] (viivojen joukon F indusoima aligraa). Selvästi H on G:n virittävä aligraa. Lisäksi H on kaksijakoinen Sovitukset Määritelmä Graalle G on viivojen joukko M E G G:n sovitus (matching), jos M ei sisällä vierekkäisiä viivoja. Sovitus M on maksimisovitus (maximum matching), jos kaikille G:n sovituksille M on M M. Sovitus M on maksimaalinen sovitus (maximal matching),jos viivajoukko M {e} ei ole G:n sovitus millään viivalla e E G \ M. Ero maksimisovituksen ja maksimaalisen sovituksen välillä: Maksimaalista sovitusta ei voi enää suurentaa, niin että se pysyy sovituksena. Sen ei kuitenkaan tarvitse olla viivojen lukumäärältään suurin, eli maksimisovitus. Määritelmä Graan G sovitus M sovittaa (saturates) pisteen v, jos v on jonkin M:n viivan päätepiste. Sovitus M sovittaa joukon A V G jos M sovittaa jokaisen A:n pisteen. Sovitus M on täydellinen sovitus (perfect matching), jos se sovittaa V G :n. Selvästi jokainen täydellinen sovitus on maksisovitus ja siis myös maksimaalinen sovitus. Etsittäessä graan maksimisovitusta, on eräs tehokas menetelmä tarkastella ns. vuorottelevia polkuja. Määritelmä Olkoon M graan G = (V, E) sovitus. Graan G polku P : e 1 e 2 e n on M- vuorotteleva (M-alternating) G:ssä, jos polun ensimmäinen piste ei ole M-sovitettu, e 2i+1 / M ja e 2i M. M-vuorotteleva polku P on sovituksen M M-lisäyspolku (M-augmented), jos myöskään polun viimeinen piste ei ole M-sovitettu. Selvästi jokainen M-lisäys polku on pituudeltaan pariton. Seuraavassa yhdistetään edellämääritetyt polut ja sovitukset toisiinsa. Apulause Jokainen yhtenäinen graa G, jonka suurin aste (G) 2 on polku tai piiri.

20 16 Lisäyspolkujen ja maksimisovitusten olemassaolo liittyy toisiinsa. Olkoon G = (V G, E G ) graa,m G:n sovitus ja P : u v sovituksen M lisäyspolku. Olkoon viivajoukko M p = {e i e i P ja e i M} ja viivajoukko M p = {e i e i P ja e i / M}. Koska P on pariton ja pisteet u ja v eivät ole M-sovitettuja, niin M p = M p + 1. Silloin M = (M \ M p ) M P on G:n sovitus ja M > M + 1. Siis M ei ole G:n maksimisovitus. Berge (1957) on osoittanut seuraavan tuloksen Lause Sovitus M on graan G maksimisovitus jos ja vain jos G ei sisällä M:n lisäyspolkua. Todistus" "on todistettu edellä. " "Oletetaan, että G ei sisällä M:n lisäyspolkua. Vastaoletus: M ei ole G:n maksimisovitus. On siis olemassa G:n sovitus M, jolle M > M. Olkoon M = (M \ M ) (M \ M) ja olkoon H = G[M ] viivojen virittämä aligraa. Selvästi deg H (v) 2 aina kun v H, sillä v on päätepiste korkeintaan yhdessä sovituksen M ja yhdessä sovituksen M viivassa. Edellisen lemman perusteella jokainen H:n komponentti A on polku tai piiri. Koska mikään joukon A piste ei voi olla kahden M:n tai M :n viivan päätepiste, niin A:n viivat vuorottelevat M:n ja M :n viivoilla. Jos A on piiri, niin silloin A on parillinen. Vastaoletuksen perusteella on M > M, joten on olemassa sellainen H:n komponentti A, että A:ssa on enemmän M :n kuin M:n viivoja. Silloin välttämättä A on polku u v.... Huomio: Edelläolevan tuloksen alkuosaa voidaan käyttää maksimisovituksen muodostamiseen, kun lähtökohtana on mikä tahansa graan G sovitus M ja G:n M-lisäyspolku. 4.3 Sovitukset kaksijakoisissa graafeissa Vaikka sovitukset voidaan määritellä kaikille ei-triviaaleille graafeille, useimmat sovitusongelmat koskevat kaksijakoisia graafeja. Esimerkki Projektiin osallistuu 5 työntekijää T 1, T 2,..., T 5 ja projektissa on 5 tehtävää t 1, t 2,..., t 5. Työntekijöiden taidot eri tehtävissä on esitetty graan avulla seuraavasti... Tehtävänä on sijoittaa työntekijät eri tehtäviin niin, että jokaiseen tehtävään tulee siihen kykenevä henkilö.

21 17 Selvästi täydellisen sovituksen omaavassa graassa on oltava parillinen määrä pisteitä. Jos lisäksi G on (X, Y )-kaksijakoinen graa, niin sillä on täydellinen sovitus vain jos X = Y. Toisinpäin tulos ei ole voimassa. Seuraava tulos antaa välttämättömän ja riittävän ehdon sille, milloin kaksijakoinen graa sisältää täydellisen sovituksen. (X, Y ) kaksijakoinen graa G toteuttaa naapuruusehdon (Hall's condition), jos N G (S) S aina kun S X. Lause (Hall's Matching Theorem)Olkoon G (X, Y )-kaksijakoinen graa. Graalla G on joukon X sovittava sovitus M jos ja vain jos G toteuttaa naapuruusehdon. Todistus. " "Jos M on G:n joukon X sovittava sovitus, niin aina kun u X, on olemassa v Y, jolle uv M. Koska M on sovitus, niin aina kun x X ja x u on voimassa xv / M. Silloin jokaista joukon S X pistettä vastaa ainakin yksi joukon N G (S) piste. Siis aina kun S X, on N G (S) S. " "Olkoon G (X, Y ) kaksijakoinen naapuruusehdon toteuttava graa. Todistetaan tulos matemaattisella induktiolla X :n suhteen. Jos X = 1, niin tarvittava sovitus löytyy. Induktio-oletus: Jos X k, niin G:llä on joukon X sovittava sovitus. Olkoon X = k + 1. Kaksi mahdollisuutta... Eellisen lauseen perusteella on voimassa Seuraus (X, Y )-kaksijakoisella graalla G, missä X = Y, on täydellinen sovitus jos ja vain jos N G (S) S aina kun S X. Todistus. Tulos seuraa edellisestä lauseesta, sillä jos sovitus M sovittaa joukon X, niin koska X = Y ja jokainen X:n piste on täsmälleen yhden sovituksen M viivan päätepiste, on myös jokainen Y :n piste täsmälleen yhden M:n viivan päätepiste. Siis M on täydellinen. Edelläolevaa muotoilua kutsutaan myös Hallin naittamisteoreemaksi (Hall's Marriage Theorem), sillä se voidaan muotoilla myös seuraavasti: Jos X on joukko miehiä ja Y on yhtäsuuri joukko naisia, niin aina kun mitä tahansa n:n miehen joukkoa vastaa ainakin n:n sopivan naisen joukko, voidaan kaikista miehistä ja naisista muodostaa sopivat parit. Seuraavassa tarkastellaan säännöllisen kaksijakoisen graan sovituksia. Aluksi todistetaan Apulause Jos säännöllinen graa on (X, Y )-kaksijakoinen, niin X = Y. Todistus. Olkoon X = k ja G r-säännöllinen. Silloin E G = kr. Koska jokaisen viivan toinen päätepiste on Y :n piste ja koska G on r-säännöllinen, niin r Y = rk, siis Y = k. Lause Jokaisella säännöllisellä 2-jakoisella graalla G on täydellinen sovitus. Todistus. Olkoon G (X, Y )-kaksijakoinen r-säännöllinen graa. Edellisen apulauseen perusteella on X = Y. Olkoon S X mielivaltainen. Koska G on r-säännöllinen, niin S:n pisteet ovat r S :n viivan päätepisteitä. Näiden viivojen toinen päätepiste on aina Y :n piste. Koska myös jokaisen Y :n

22 18 pisteen aste on r, niin näillä r S :llä viivalla on ainakin S eri pistettä päätepisteinä Y :ssä. Siis N G (S) S ja väite seuraa Lauseesta Erilliset edustajat Hallin teoreemaa voidaan soveltaa myös tilanteessa, jossa on tietystä joukosta erilliset edustajat. Esimerkiksi poliitikoilla voi olla useita eri intressiryhmiä. Oletetaan, että poliitikoista olisi kerättävä toimikunta, jossa jokainen poliitikko edustaa yhtä intressiryhmää. Kysymys onko toimikunnan perustaminen mahdollista ratkeaa Hallin teoreeman avulla. Yleisesti: Määritelmä Olkoon J S = {S 1, S 2,..., S n } äärellisten ei-tyhjien joukon S osajoukkojen joukko (S i :t eivät välttämättä ole erillisiä). Joukkojen joukon J S erilliset edustajat (transversals tai system of distinct representatives)ovat joukko T S,missä T = n ja T sisältää yhden alkion jokaisesta joukosta S i. Erilliset edustaja liittyvät Hallin teoreemaan seuraavasti. Olkoon J S = Y ja ja X = {1, 2,..., n}. Määritellään (X, Y )-kaksijakoinen graa G seuraavasti: Viiva (i, s) E G jos ja vain jos s S i. Jos G:llä on sovitus M, joka sovittaa X:n, niin erillisten edustajien joukko saadaan valitsemalla edustajiksi sovituksen M viivojen ne päätepisteet, jotka ovat Y :n pisteitä. Seuraus Olkoon J S äärellinen äärellisten ei-tyhjien joukkojen joukko (eli joukkoperhe). Perheellä J S on erillisten edustajien joukko jos ja vain jos jokainen perheen J S k:n joukon unioni sisältää ainakin k alkiota. Todistus. Olkoon S joukoissa S i esiintyvien alkioiden joukko, S = {a 1, a 2,..., a n } ja olkoon graa G = (V G, E G ), missä ja V G = {a 1, a 2,..., a n } X, X = {1, 2, 3,..., m} Selvästi G on (X, S)-kaksijakoinen graa.... E G = {(i, a j ) a j S i } Myös painotettujen graaen sovituksilla on sovelluksia. Aikaisemmin sijoiteltiin työntekijöitä eri tehtäviin. Soveltuvuutta voidaan myös kuvata painotetulla graalla G α, missä viivan T i t j paino α(t i t j ) kuvaa työntekijän T i soveltuvuutta tehtävään t j. Tyypillisesti tarkoituksena on maksimoida sovituksen viivojen painojen summa. Edelläkuvattu M-lisäyspolku tekniikka soveltuu myös muille kuin kaksijakoisille graafeille. Kurssin lopussa tarkastellaan siirtoverkon vuota, jota voidaan myös käyttää maksimisovituksen etsimisessä.

23 19 5 Etäisyys Etäisyyden käsite esiintyy graaen yhteydessä mm. tutkittaessa graaen isomoraa (graa invariantit) ja graaen operaatioita. Etäisyyden avulla määritellään graan keskeisimpiin osiin liittyviä käsitteitä ja tarkastellaan esimerkiksi palveluiden sijoittamisongelmaa. Useat graaalgoritmit tutkivat tietynpituisia polkuja graafeissa. Seuraavassa määritellään etäisyyteen liittyviä keskeisiä käsitteitä graafeissa, tarkastellaan etäisyyttä puissa ja tarkastellaan miten voidaan määritellä puun ja yleisemmin graan keskeiset osat. 5.1 Määritelmiä Aikaisemmin määriteltiin, että kahden pisteen u ja v etäisyys graassa G, d G (u, v) on lyhyimmän u v polun viivojen lukumäärä. Tämä etäisyysfunktio toteuttaa samat aksiomit kuin etäisyysfunktiot (metriikat) muussa matematiikassa, eli (1) d G (u, v) 0 ja d G (u, v) = 0 jos ja vain jos u = v. (2) d G (u, v) = d G (v, u) kaikilla u, v V G. (3) d G (u, v) d G (u, w) + d G (w, v) aina kun u, v, w V G. Vastaavat aksiomit ovat voimassa myös silloin kun etäisyyttä kuvataan viivapainoilla. Määritelmä Graan G = (V, E) pisteen u eksentrisyys (eccentricity) e G (u) = max d G(u, v). v V Piste v on u:n eksentrinen piste (eccentric vertex), jos Esimerkki d G (u, v) = e G (u) Huomio. Jos e G (u) = k jollakin u V G, niin pisteen u etäisyys mistä tahansa pisteestä on k ja on olemassa ainakin yksi piste v, jolle d G (u, v) = k. Määritelmä Graan G = (V, E) säde (radius) on rad(g) = min{e G (u) u V }. Säde on siis G:n pisteiden pienin eksentrisyys. Graan G keskus (center) C(G) = {u e G (u) = rad(g)}

24 20 Graan keskus esiintyy mm. palvelun sijoittamisongelmassa (facility location problem) Tässä ongelmassa graalla mallinnetaan kaupungin katuverkostoa. Viivat ovat teitä ja pisteet esimerkiksi kaupunginosia. Silloin keskus sisältää ideaaliset sijainnit esimerkiksi poliisi- ja paloasemalle, sairaalalle jne. Pisteen v eksentrisyys kuvaa vasteaikaa v:stä kauimmaiseen pisteeseen. Edellämainittujen palveluiden sijoittelussa pyritään maksimivasteaika eli siis eksentrisyys, minimoimaan. Määritelmä Graan G = (V, E) halkaisija (diameter) on diam(g) = max{e G (u) u V }, jos G on yhtenäinen ja diam(g) =, jos G on epäyhtenäinen. Graan G periferia (periphery) P (G) = {u e G (u) = diam(g)} Määritelmä Graan G = (V, E) pistepari u, v on antipodaalinen (antipodal), jos d G (u, v) = diam(g). Lyhin polku u (radial path). v, missä u C(G) ja v on u:n eksentrinen piste on radiaalinen polku Seuraavassa kaksi perustulosta graan eksentrisyydestä, säteestä ja halkaisijasta. Lause Jos u ja v ovat yhtenäisen graan G vieruspisteitä, niin Todistus.... e G (u) e G (v) 1 Lause Aina kun G on yhtenäinen graa, niin rad(g) diam(g) 2rad(G) Todistus. Selvästi on voimassa rad(g) diam(g), joten riittää osoittaa, että diam(g) 2rad(G) Puut ja etäisyys Tarkastellaan etäisyyden käsitettä puissa. Seuraavassa on joukko puun ominaisuuksia. Lause Puulle T = (V T, E T ) on voimassa: (i) Aina kun u ja v ovat vieruspisteitä ja w V T piste, niin d T (u, w) d T (v, w) = 1. (ii)kaikki T :n eksentriset pisteet ovat lehtiä. (iii)kaikki antipodaalisissa pareissa esiintyvät pisteet ovat lehtiä. (iv) P (T ) sisältää vain T :n lehtiä. (v)jos polku P : u v on T:n lyhimmistä poluista pisin, niin kaikki keskuksen C(T ) pisteet esiintyvät polussa P.

25 21 Todistus.(i) Koska T on puu, niin on olemassa vain yksi polku P u : u w ja vain yksi polku P v : v w. Silloin joko u P V tai v P u. (ii) Vastaoletus: On olemassa v joka ei ole lehti ja e T (u) = d T (u, v). Koska v ei ole lehti, niin sillä on ainakin 2 vieruspistettä. Olkoon v se vieruspiste, joka ei esiinny polussa P : u v. Silloin u v v on T:n polku ja koska T on puu, on se ainoa ploku pisteestä u pisteeseen v. Silloin on d T (u, v ) = d T (u, v) + 1 = e T (u) + 1, mikä on ristiriita. (iii)vastaoletus: Pistepari u, v on antipodaalinen pari ja v ei ole lehti. Jos pisteellä v on vieruspiste v, joka ei esiinny polussa P : u v, niin vastaavasti kuin kohdassa (ii) voidaan osoittaa, että polku P vv : u v v on pidempi kuin polku P. (iv) seuraa kohdasta (ii) (v)vastaoletus: On olemassa sellainen piste w C(T ) ja sellainen polku P : u v, P = diam(t ), että w ei esiinny polussa P. Koska T ei sisällä piiriä ja T on yhtenäinen, niin joko u esiintyy polussa w v tai v esiintyy polussa w u. Silloin on mikä on ristiriita. rad(t ) = e T (w) max{d T (u, w), d T (v, w)} > d T (u, v) = diam(t ), Puun keskuksen muoto on yksinkertainen. Lause Puun keskuksen muodostaa joko yksi piste tai kaksi vieruspistettä. Todistus. Osoitetaan tulos matemaattisella induktiolla V T :n suhteen. Jos n 2, niin lause on voimassa. Olkoon n 3ja olkoon L = {v v V T ja v on lehti }. Induktio-oletus: Aina kun V T k, niin T:n keskuksen muodostaa yksi piste, tai kaksi vierekkäistä pistettä. Olkoon V T = k + 1 ja olkoon L puun T lehtien joukko.... Edellisen lauseen todistus antaa myös menetelmän puun keskuksen etsimiseen. Poistetaan puusta aina lehdet. Viimeiseksi jäävä piste tai pistepari on alkuperäisen puun keskus. Puun keskeisimpiä osia voidaan arvioida myös muulla kuin keskuksella. Määritelmä Puun T = (V T, E T ) pisteeseen v liittyvä oksa (branch) on sellainen T :n indusoima alipuu, jossa v on lehti. Pisteen v oksapaino (branch weight) b W (v) = max{ E T puu T on pisteeseen v liittyvä oksa} eli b W (v) on v viivojen määrältään suurimman oksan viivojen lukumäärä. Määritelmä Puun sentroidin (centroid) muodostavat ne pisteet, joiden oksapaino on pienin. Lause Puun sentroidi käsittää yhden pisteen tai kaksi vierekkäistä pistettä.

26 22 Todistus.Vastaoletus: On olemassa kaksi puun T sentroidin pistettä u ja v, jotka eivät ole vieruspisteitä.... Vaikka keskus ja sentroidi molemmat "mittaavat"puun keskeisiä osia, niin silti ne voivat olla erillisiä toisistaan. Lause Olkoon T puu. Silloin on voimassa: (i) Jos T :n keskus käsittää yhden pisteen, niin diam(t ) = 2rad(T ). (ii)jos T :n keskuksen muodostaa 2 pistettä, niin diam(t ) = 2rad(T ) 1. Todistus. (i) Olkoon C(T ) = {v}. Jos T käsittää vain yhden pisteen, niin silloin T = K 1 ja rad(t ) = 0 = 2 0 = 2 diam(t ). Oletetaan, että T on ei-triviaali puu. Silloin on V T 3. (ii) Olkoon C(T ) = {u, v}, V u = {x V T d T (u, x) < d T (v, x)} ja... V v = {x V T d T (v, x) < d T (u, x)}. 5.3 Keskus graafeissa Puille keskuksen muoto on yksinkertainen. Muille graafeille tilanne on ongelmallisempi. Lause Yhtenäisen graan G keskus sisältyy yhteen G:n blokkiin. Todistus. Jos G on yhtenäinen graa ilman irrotuspisteitä, niin G koostuu yhdestä blokista. Voidaan siis olettaa, että on olemassa G:n irrotuspiste v. Silloin graalla G v on ainakin kaksi komponenttia. Vastaoletus: On olemassa pisteet x, y C(G), missä x V H ja y V J ja H ja J ovat G v:n eri komponentteja.... Keskuksen sisältävää blokkia kutsutaan keskusblokiksi (central block).

27 23 6 Graan yhtenäisyys Esimerkki Tarkastellaan allaolevia graafeja.... Kaikki graat ovat yhtenäisiä, mutta yhtenäisyys on "erilaista". Graa G 1 on puu. Minkä tahansa viivan poistaminen muuntaa G 1 :sen epäyhtenäiseksi. Graaa G 2 ei viivan poistaminen tee epäyhtenäiseksi, mutta keskimmäisen pisteen poistaminen kyllä. Graaa G 3 ei saa epäyhtenäiseksi yhden viivan tai pisteen poistolla, mutta silti se on vähemmän yhtenäinen kuin täydellinen graa G 4. Graaen yhtenäisyyteen liittyvillä käsitteillä ja tuloksilla on sovellutuksia mm. tietoliikenneja tietokoneverkkoja tarkasteltaessa. Seuraavassa määritellään graan yhtenäisyyttä kuvaavia tunnuslukuja ja niiden välisiä suhteita ja tarkastellaan miten erillisten polkujen lukumäärä kuvaa graan yhtenäisyyttä. 6.1 Graan yhtenäisyyttä kuvaavat luvut Graan virittävä puu on yleensä optimaalinen ratkaisu, kun verkon rakentamisen rakennuskulut ovat tärkein kriteeri. Muita kriteereitä voi olla esimerkiksi verkon viansieto. Voidaan esimerkiksi haluta varmistaa että kaksi verkon solmua (tietokonetta, komponenttia jne.) on liitetty toisiinsa niin, että yhden solmun ja/tai linkin (esim. kaapelin) vikaantuminen ei poista kaikkia yhteyksiä solmujen välillä. Aikaisemmin määriteltiin, että graa G on separoitumaton, jos G v on yhtenäinen aina kun v V G. Separoitumattomasta graastakin saadaan epäyhtenäinen poistamalla tarpeeksi pisteitä. Määritelmä Graan G pisteiden joukko A V G on separoiva joukko (separating set), jos graa G A on epäyhtenäinen. Apulause Jos yhtenäisellä graalla G = (V, E) ei ole separoivaa joukkoa, niin se on täydellinen graa. Todistus. Jos V 2, niin G on täydellinen. Oletetaan, että V 3. Jos u, v V ovat eri pisteet ja uv / E, niin silloin graa G[{u, v}] on epäyhtenäinen, eli V \ {u, v} on G:n separoiva joukko. Jos siis G:llä ei ole separoivaa joukkoa, niin on oltava, että uv E aina kun u, v V ja u v. Silloin G on täydellinen graa. Määritelmä Graan G (piste) yhtenäisyysluku (connectivity number) κ(g) = min{ A A V G ja G A on epäyhtenäinen tai triviaali}. Graa G on k-yhtenäinen (k-connected), jos κ(g) k. Vastaavasti voidaan määritellä Määritelmä Graan G viivojen joukko F E G on viivairrotusjoukko (edge cut), jos graa G F on epäyhtenäinen. Jos lisäksi viivajoukko F \ {e} ei ole viivairrotusjoukko millään e F, niin F on side (bond). Graan G viivayhtenäisyysluku (edge connectivity number) λ(g) = min{ F F E G ja G F on epäyhtenäinen }.

28 24 Triviaaleille graafeille λ(g) = 0. Graa G on k-viivayhtenäinen (k-edge connected), jos λ(g) k. Seuraavassa muutamia edellä määriteltyihin lukuihin liittyviä ominaisuuksia. Apulause Olkoon e yhtenäisen graan G silta. Silloin (i) c(g e) = 2. (ii)jos H on graan G e komponetti ja e E H on H:n silta, niin e on myös G:n silta. Todistus. (i) Olkoon e = uv G:n silta. Silloin on c(g e) 2 ja graa G e ei sisällä polkua u v. Jos w on G:n piste, niin on olemassa G:n polku P : w u. Jos e / P, niin P on myös graan G e polku. Jos e P, niin on olemassa graan G e polku w u. Siis jokaisella pisteellä w G e sisältää joko polun w u tai polun w v. Eli c(g e) 2. (ii)... Apulause Jos e = uv on yhtenäisen graan G silta, niin joko G = K 2 tai ainakin yksi pisteistä u, v on irrotuspiste. Edellä olevien tulosten avulla voidaan osoittaa: Apulause Jos F on yhtenäisen graan G side, niin Lause Kaikille graafeille G on c(g F ) = 2. κ(g) λ(g) δ(g). Todistus. Voidaan olettaa, että G on ei-triviaali. Jos v V G, niin kaikkien viivojen, joissa v on toisena päätepisteenä, poistaminen tekee graasta epäyhtenäisen. Siis λ(g) δ(g). Riittää osoittaa, että κ(g) λ(g). Jos λ(g) = 0, niin G on epäyhtenäinen, joten myös κ(g) = 0. Jos λ(g) = 1, niin G on yhtenäinen ja G sisältää sillan. Lemman perusteella G = K 2 tai G sisältää irrotuspisteen. Molemmissa tapauksissa κ(g) = 1. Voidaan olettaa, että λ(g) 2. Olkoon F sellainen G:n viivairrotusjoukko, että F = λ(g) ja olkoon e = uv F. Silloin F on side ja lemman perusteella c(g F ) = 2. Olkoon H = G (F \ {e}) = (G F ) + e. Koska λ(g) = F, niin H on yhtenäinen G:n aligraa. Koska c(g F ) = 2, niin e on graan H silta. Aina kun viiva f F \ {e}, niin ainakin toiselle sen päätepisteelle w on voimassa w u ja w v. Valitaan jokaiselle joukon F \ {e} viivalle yo. ehdon täyttävä piste(valinnan eri viivoille ei tarvitse olla eri piste) ja olkoon S näin valittujen pisteiden joukko. Silloin on S F 1 = λ(g) 1 ja graa G S ei sisällä joukon F \ {e} viivoja. Jos G S on epäyhtenäinen, niin silloin S on G:n separoiva joukko ja κ(g) S F 1 λ(g). Oletetaan lopuksi, että graa G S on yhtenäinen. Koska u, v / S, niin S:n määritelmän perusteella on H S = G F + uv S = G S ja silloin G S on graan H indusoitu aligraa. Koska viiva uv G S ja uv on H:n silta, niin uv on myös graan G S silta.

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.

0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E. Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on

Lisätiedot

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla? 7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,

Lisätiedot

6.4. Järjestyssuhteet

6.4. Järjestyssuhteet 6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste

Lisätiedot

PARITUS KAKSIJAKOISESSA

PARITUS KAKSIJAKOISESSA PARITUS KAKSIJAKOISESSA GRAAFISSA Informaatiotekniikan t iik seminaari i Pekka Rossi 4.3.2008 SISÄLTÖ Johdanto Kaksijakoinen graafi Sovituksen peruskäsitteet Sovitusongelma Lisäyspolku Bipartite matching-algoritmi

Lisätiedot

Pisteet ja viivat. Multigraafi

Pisteet ja viivat. Multigraafi Pisteet ja viivat Josuv on viiva, niin pisteetujav ovat viivanuv päätepisteet (endpoints) ja u jav ovat vierekkäisiä eli vieruspisteitä (neighbours, adjacent points). Piste on irtopiste (isolated point)

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Hamiltonin sykleistä graateoriassa

Hamiltonin sykleistä graateoriassa Hamiltonin sykleistä graateoriassa Pro gradu -tutkielma Ohto Nordberg 1335868 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Historiaa 3 1.1 Euler................................

Lisätiedot

Graafin virittävä puu 1 / 20

Graafin virittävä puu 1 / 20 Graafin virittävä puu 1 / 20 Graafin virittävä puu PuuT on graafingvirittävä puu (spanning tree), jos se sisältää kaikkig:n pisteet. Virittäviä puita: 2 / 20 Yhdistämisongelma Yhdistämisongelma:(Connector

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 126 Luku 3 Puut 3.1 Puu 3.2 Virittävä puu 3.3 Virittävän puun konstruointi 3.4 Minimaalinen virittävä puu

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi

Lisätiedot

Puiden karakterisointi

Puiden karakterisointi Puiden karakterisointi LuK-tutkielma Airta Ella 2502661 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Johdatus verkkoteoriaan 3 1.1 Verkko käsitteenä.........................

Lisätiedot

Johdatus graafiteoriaan

Johdatus graafiteoriaan Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 166 Luku 4 Erilaisia graafeja 4.1 Eulerin graafi 4.2 Hamiltonin graafi 4.3 Tasograafi 4.4 Graafin värittäminen

Lisätiedot

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan

Lisätiedot

8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19

8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 Määritelmä Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä).

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut

Lisätiedot

10. Painotetut graafit

10. Painotetut graafit 10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 13 Ma Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ma Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ma 26.2.2018 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I. Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.

Lisätiedot

Johdatus verkkoteoriaan 4. luento

Johdatus verkkoteoriaan 4. luento Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005

Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T-79.165 Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Mikko Malinen, 36474R 29. maaliskuuta, 2005 Tiivistelmä Artikkelissa käydään läpi teoriaa, jonka avulla

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

7.4. Eulerin graafit 1 / 22

7.4. Eulerin graafit 1 / 22 7.4. Eulerin graafit 1 / 22 Viivojen läpikäynti Graafin pisteiden/viivojen läpikäyminen esiintyy usein sovelluksissa: Etsintäalgoritmit, reititykset Läpikäyminen tehdään nopeimmin, kun yhtäkään viivaa/pistettä

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 0) Toinen välikoe, malliratkaisut. (a) Alussa puu näyttää tältä: Lisätään 4: 4 Tasapaino rikkoutuu solmussa. Tehdään kaksoiskierto ensin oikealle solmusta ja sitten

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

10. Painotetut graafit

10. Painotetut graafit 10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä

Lisätiedot

Tehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2

Tehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2 Tehtävä 0 : Kuvassa Etelä-Amerikan valtioita vastaavat solmut on sijoitettu toisiinsa nähden niiden pääkaupunkien keskinäistä sijaintia vastaavalla tavalla. Kuvioon on joukon {0,, 2, 3 alkioilla merkitty

Lisätiedot

13 Lyhimmät painotetut polut

13 Lyhimmät painotetut polut TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 297 13 Lyhimmät painotetut polut BFS löytää lyhimmän polun lähtösolmusta graafin saavutettaviin solmuihin. Se ei kuitenkaan enää suoriudu tehtävästä, jos kaarien

Lisätiedot

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)

j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

Esipuhe Tämä gradu on tehty Teknologian tutkimuskeskus VTT:llä tietoturvan tutkimustiimissä vuosien aikana. Opinnäytetyöni on osa Tekesin ja

Esipuhe Tämä gradu on tehty Teknologian tutkimuskeskus VTT:llä tietoturvan tutkimustiimissä vuosien aikana. Opinnäytetyöni on osa Tekesin ja Tietoturvallisten verkkojen suunnittelu graateorian avulla FM-tutkielma Visa Vallivaara 1800283 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2014 Esipuhe Tämä gradu on tehty Teknologian tutkimuskeskus

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 6: Verkkoteoria Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Verkkojen peruskäsitteitä Motivaatiota (...) networks may

Lisätiedot

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Eulerin verkkojen karakterisointi

Eulerin verkkojen karakterisointi Eulerin verkkojen karakterisointi Pro Gradu -tutkielma Jenni Heikkilä 373175 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 018 Sisältö Johdanto 1 Verkkojen peruskäsitteet 3 1.1 Verkon määrittely.........................

Lisätiedot

Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2

Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2 Tehtävä 5 : 1 Merkitään kirjaimella H kuvan punaisten solmujen virittämää verkon G yhtenäistä aliverkkoa, jossa on yhteensä kolme särmää. Aliverkosta H voidaan kahdella tavalla valita kahden solmun joukko

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Todistus (2.2) Todistus (2.2) jatkoa. (2.2): Oletetaan, että0 n 1,1 n 1 / P i (F) aina kuni = 1,2,...,n. Olkoonf F painoltaan pienin joukonf alkio.

Todistus (2.2) Todistus (2.2) jatkoa. (2.2): Oletetaan, että0 n 1,1 n 1 / P i (F) aina kuni = 1,2,...,n. Olkoonf F painoltaan pienin joukonf alkio. Todistus (2.2) (2.2): Oletetaan, että0 n 1,1 n 1 / P i (F) aina kuni = 1,2,...,n. Olkoonf F painoltaan pienin joukonf alkio. Selvästi bittijono f sisältää ainakin yhden1:sen. Voidaan olettaa, että f 1

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä 1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta kurssin alkuosasta

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta kurssin alkuosasta 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018 Kertausta kurssin alkuosasta II Perustietorakenteet Pino, jono ja listat tunnettava Osattava soveltaa rakenteita algoritmeissa Osattava päätellä operaatioiden

Lisätiedot

Graateorian maksimivirtausalgoritmi

Graateorian maksimivirtausalgoritmi Graateorian maksimivirtausalgoritmi LuK-tutkielma Visa Vallivaara 800283 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 203 Sisältö Johdanto 2 Peruskäsitteitä 3 2 Graateoriaa 6 2. Suunnattu graa.........................

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta

AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta AVL-puut eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta pohjana jo esitetyt binäärihakupuiden operaatiot tasapainotus vie pahimmillaan lisäajan lisäys- ja

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, , vastauksia

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, , vastauksia 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, 652013, vastauksia 1 [6 pistettä] Vastaa jokaisesta alla olevasta väittämästä onko se tosi vai epätosi ja anna lyhyt perustelu Jokaisesta kohdasta

Lisätiedot

Graafiteoria matematiikkaako?

Graafiteoria matematiikkaako? Koostanut: Elina Viro, Juho Lauri Opettajalle Graafiteoria matematiikkaako? Kohderyhmä: 7.-9.-luokkalaiset Esitiedot: - Taustalla oleva matematiikka: Graafiteoria, looginen ajattelu Ajankäyttö: Varsinainen

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 6: Verkkoteoria Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Verkkojen peruskäsitteitä Motivaatiota (...) networks

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä

Lisätiedot

Diskreetit rakenteet

Diskreetit rakenteet Diskreetit rakenteet 811120P 5 op 7. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 Mikä on verkko? verkko (eli graafi) koostuu solmuista ja väleistä, jotka yhdistävät solmuja

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jenna Laine. Ramseyn teoria

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jenna Laine. Ramseyn teoria TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jenna Laine Ramseyn teoria Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta LAINE, JENNA: Ramseyn teoria Pro

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys

Lisätiedot

Liite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Liite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Liite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 : Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli-ja päätösteoriassa

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Berge-perfektit graafit ja Shannonin kapasiteetti

Berge-perfektit graafit ja Shannonin kapasiteetti TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Joel Syvänen Berge-perfektit graafit ja Shannonin kapasiteetti Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

VERKKOTEORIAN ALKEITA. Martti E. Pesonen 28.2.2013

VERKKOTEORIAN ALKEITA. Martti E. Pesonen 28.2.2013 VERKKOTEORIAN ALKEITA Martti E. Pesonen 28.2.2013 1 Sisältö 1 VERKOISTA 1 1.1 Mitä matemaattiset verkot ovat?................ 1 1.1.1 Verkkoteorian synty.................... 1 1.2 Suuntaamaton verkko.......................

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Datatähti 2019 loppu

Datatähti 2019 loppu Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio

Lisätiedot

Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia

Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia Kukin alkio (viite) talletettuna solmuun (node) vastaa paikan käsitettä

Lisätiedot