7. VEDYNKALTAISEN ATOMIN KVANTTITEORIA

Transkriptio

1 7. VDYNKALTAISN ATOMIN KVANTTITORIA 53 Vtyatoi käsitty kvattitoia avua o ataattissti hakaa, utta ataa kvatittuis uooisa tavaa SCHRÖDINGRIN YHTÄLÖ VDYN KALTAISLLA ATOMILLA Vtyatoissa ytiä o potoi, jota kitää 1836 ktaa kvypi ktoi. ktoi iikkuu yti aihuttaassa sähköktässä. Ottaa, ttä potoi pysyy paikoiaa (Bohi toia ukaa tuisi käyttää usoitua assaa assa tiata, ku hautaa ottaa yti iik huoioo). Schöigi yhtäö ) ( ) ( ) ( ) ( x U x U z y x

2 ktoi vyssä koka sähköstaatti pottiaaigia U 4 iippuu potoi ja ktoi väisstä täisyystä, skä opi vaauksista (- ktoi ja + vty-yti). Pottiaaigiaa i saisaa voi sijoittaa Schöigi yhtäöö, vaa täytyy joko ioittaa katsisssa kooiaatistossa x:, y: ja z: fuktioa tai uuttaa Schöigi yhtäö paokooiaatistoo. Vaitaa jäkiäi. Paokooiaatisto: = täisyys - P (atoissa ktoi täisyys ytistä) x y z θ = sävktoi täisyys z-aksista 1 z 1 z cos cos x y z Josta voiaa ääittää z= cos θ φ = sävktoi xy-taso pojktio ja x-aki väi kua y ta 1 x 54

3 Kovaaaa katsis kooiaatisto Lapac opaattoi paokooiaatisto vastaavaa opaattoia, saaaa Schöigi yhtäö uotoo: si si si U Ku sijoittaa tähä pottiaai U ja kotaa si θ saaaa vtyatoi Schöigi yhtäö paokooiaatistossa: si si si si 4 Yhtäö o osittaisivaattayhtäö vtyatoi aatofuktio. Aatofuktio Ψ o otava oittuva, ivaattoi jatkuva ja yksikäsitti, kut jo aii o ääittty. Ku Schöigi yhtäö atkaistaa, huoataa, ttä atoi tia kuvaais tavitaa 3 kvattiukua (+spi), ku Bohi aissa tavittii vai yksi kvattiuku. 55

4 1-isioi aatikko 1 kvattiuku 3-isioi aatikko uahot Ψ= x-, y- ja z-suuissa O hppo ajata, ttä vtyatoissa tavitaa 3 kvattiukua, koska ktoi iik o koiuotti, vaikka ktoia i o ajattukaa skää aatikkoo vaa iikttä ajoittaa yti sähkökttä. 56

5 7.. MUUTTUJIN ROTTAMINN Paokooiaatistossa sittty Schöigi yhtäö voiaa ottaa koksi yhtäöksi, joista jokai iippuu vai yhstä uuttujasta, θ tai φ. Vtyatoi aatofuktio voiaa sittää uoossa: (,, ) R( ) ( ) ( ) Fuktio R() kuvaa, kuika aatofuktio Ψ vaiht : (=täisyys ytistä) ukaa ku θ ja φ ovat vakioita. Fuktio Θ(θ) kuvaa, kuika aatofuktio Ψ vaiht, ku ja φ ovat vakioita. Fuktio Φ(φ) kuvaa, kuika aatofuktio Ψ vaiht, ku ja θ ovat vakioita. 57

6 58 R R R R R R Vy katais atoi aatofuktio osittaisivaatat i uuttuji suht voiaa kijoittaa: ) ( ) ( ) ( ),, ( R Sijoittaa ää osittaisivaatat ja Ψ=RΘΦ Schöigi yhtäöö ja jataa puoittai aatofuktioa saaaa: 4 si 1 si si si R R Vai φ: fuktio Muut osat ovat skä : ttä θ: fuktioita. Jäjsttää yhtäö sit, ttä φ:stä iippuva osa tu yhtäö oika puo ja :stä ja θ:sta iippuvat osat vasa puo

7 Yhtäö voi oa oiki vai, jos oat puot ovat saa vakio (koska yhtäö vas ja oika puoi iippuvat i uuttujista). Mkitää tätä vakiota :a. Yhtäö oikata puota saaaa Ja vasata puota: Jataa puoittai si θ ja jäjstää tjä uu: si si si si R R 4 si si si si R R R R si si 1 si 4 1

8 6 Yhtäö vas puoi o vai : fuktio ja oika puoi θ: fuktio. Saaa tavaa kui äsk, opi puoi yhtäöstä täytyy oa joki vakio. Kutsutaa tätä vakiota (+1) ja saaaa kaksi yhtäöä: 1) ( 4 1 R R 1) ( si si 1 si Yhtvtoa voiaa kijoittaa vy Schöigi yhtäö koksi iisksi yhtäöksi: 1) ( 4 1 yhtäö: R si 1 si si 1 yhtäö: yhtäö: R R Yhtäöistä vai R-yhtäö iippuu pottiaaista U().

9 7.3. KVANTTILUVUT Aoittaa ä ovi yhtäöi käsitty Φ- yhtäöstä: Yhtäö atkaisu o uotoa: ( i ) A Φ(φ) o osa aatofuktiota Ψ, jot yös s täytyy oa yksikäsitti (i siä täytyy oa tityssä pistssä vai yksi avo). ui kaava : i cos isi Kuvasta voiaa huoata, ttä φ ja φ+π ääittävät saa taso i yös fuktio avo äissä pistissä tu oa saa: Φ(φ) = Φ(φ+ π) i A i i ( ) i i i A cos( A Tää totutuu vai, jos =, ±1, ±, ±3, = vtyatoi agtti kvattiuku ) isi( ) 1 61

10 Takastaa suaavaksi ifftiaaiyhtäöä Θ(θ) 1 si ( 1) si si Yhtäöä o atkaisuja vai, ku o kokoaisuku ja yhtä suui tai pipi kui. Tää ääittää agttis kvattiuvu aksiiavo, 1,,..., o vtyatoi atakvattiuku (obita quatu ub) Viiisstä, aiaaiosa R() ifftiaaiyhtäöstä 1 R R 4 ( 1) gia tu oa positiivi (vapaa ktoi) tai s tu saaa yksi gatiivisista avoista (atoii siottu ktoi): ,, 3,... o vtyatoi pääkvattiuku ja s ääittää atakvattiuvu aksiiavo,1,,..., ( 1) 6

11 Yhtvtoa kvattiuvut vtyatoi: Pääkvattiuku Ratakvattiuku Magtti kvattiuku = 1,, 3, =, 1,,, (-1) =, ±1, ±,, ± Vtyatoi aatofuktio iippuu kvattiuvuista suaavasti R Aatofuktioi oitushot: R,, ( ) 1 ( )si 1 ( ) 1 63

12 Vtyatoi yhtäöi fysikaaissti hyväksyttävät ja oittut atkaisut ovat: 64

13 65 Määitä vtyatoi pustia gia sijoittaaa aatofuktio R (vastaa =1 ja =) aiaaifuktio osittaisivaatta-yhtäöö. 1) ( 4 1 R R SIMRKKI 7.1

14 SIMRKKI 7. Systi oiaisfuktioi täkä oiaisuus o otogoaaisuus, ikä takoittaa: V Osoita, ttä aatofuktiot ' ' ovat otogoaaisia askaa 66

15 Pääkvattiuku vastaa Bohi atoiai ukais gia kvattiukua : = 1 / Pääkvattiuku kuvaa kakasti sitä, it kaukaa ytistä ktoi kuoi sijaits. Ratakvattiuvu tukita i o iha iistä. Takastaa aiaaista aatoyhtäöä: 1 R 4 ( 1) R Tää yhtäö iittyy ktoi iikks kohti ja poispäi ytistä (fuktio). Yhtäö sisätää kokoaisgia, joka sisätää yös ktoi ataiikks sisätyvä iik-gia, joa i pitäisi oa itää tkistä aiaais iikk kassa. ktoi kitti gia K sisätää kaksi osaa: K_aia = kitti gia, joka iittyy iikks kohti ja poispäi ytistä K_obita = kitti gia, joka iittyy iikks yti ypäi 67

16 ktoi kokoaisgia o siis: K _ aia K _ obita U K _ aia K _ obita 4 Sijoittaa tää aiaais aatoyhtäöö: 1 R 4 ja jäjstää hia tjä: 1 ( 1) 4 R K _ aia K _ obita R ( 1) R K _ aia K _ obita Jos ää osat kuoavat toissa, R() o vai :stä iippuva ifftiaai-yhtäö. Kijoittaa siis: K _ obita ( 1) Rataiikks iittyvä kitti gia o 1 K _ obita (vobita) 68

17 ja ata/kuaiikäääotti L=v obita K _ obita 1 (v obita ) 1 L L Yhisttää tää aia K_obita auskk kassa ja saaaa: L ( 1) Josta saaaa ktoi kuaiikäääotti L ( 1) Koska =, 1,,, (-1), yös kuaiikäääotti o kvatittuut. Liikäääoti uooi yksikkö o ħ=1.54x1-34 Js 69

18 SIMRKKI 7.3 Lask ktoi kuaiikäääotti, ku ktoi atakvattiuku =. 7

19 Atoi ktoi kuaiikäääottja kitää = s p f g h i Kijaisyboit ovat pitöä ajata atoitoiaa, ku spktjä uokittii sajoihi shap, picipa, iffus ja fuata. Atoi ktoi tioja ( obitaaja ) voiaa kitä pääkvattiuvu ja atakvattiuvu avua: = =1 = =3 =4 =5 =1 1s = s p =3 3s 3p 3 =4 4s 4p 4 4f =5 5s 5p 5 5f 5g =6 6s 6p 6 6f 6g 6h 71

20 Magtti kvattiuku ääittää ataiikäääoti L agttiktä suutais kopoti. (Ratakvattiuku äääsi ataiikäääoti suuuu L) ktoi kitoiik aihuttaa agttiktä ja ktoi siis vuoovaikuttaa ukois agttiktä B kassa. Jos agttikttä o saa suutai z-aksi kassa, L: kopotit agttiktä suuassa (i z-aksi suuassa) ovat L z, 1,,..., Mahoist suuti ukuäää o +1. Ukoisssa agttiktässä atoi voi oa joissai tiassa (giat oavat toisistaa). Ukoi agttikttä ataa fssisuua. Jos ukoista agttikttää i o, z-suuta voi oa ikä tahasa. 7

21 sikki: Ku atakvattiuvu avo =, ahoisia : avoja o 5. i jos ktoi o vy kataisssa atoissa tiassa, jossa atakvattiuku o =, s voi oa ukoisssa agttiktässä viissä i giatiassa. Paataa tähä yöhi Zaiiö yhtyssä. 73

22 pätakkuuspiaat ja tia kvatittui Vai kuaiikäää L: pojktio z-aksi suuassa (L z = ħ) o kvatittuut. Jos kaikia L: pojktioia L x, L y ja L z oisi tityt avot, L: ossa z- aksi suutai, ktoi oisi xy-tasossa, jooi p z äättöä pätakka, joka i o ahoista vy ktoi. Ku vai L z ja L ovat kvatittut ja L > L z ktoi i o ajattu vai yht tasoo. L: suuta i o kiiittty, kskiavot L x : ja L y : =, vaikka L z = ħ 74

23 7.4. TODNNÄKÖISYYSTIHYS Bohi aissa ktoi kitää yitä tityä aaa. i ktoi öytyy aia täisyytä = a ytistä ja θ=9 ja φ uuttuu aja fuktioa. Kvattitoia uokkaa Bohi atoiaia suaavasti: ktoia i voia saoa ova tittyä paikkaa tai ataa vaa o oassa vai toäköisyys öytää s jostai titystä paikasta. ktoi i iiku, Ψ o ajasta iippuato, utta vaiht paikasta iippu. Toäköisyystihys vtyatoi o R (Kut aiiki, jos fuktio o kopksi, fuktio iö saaaa fuktio ja s kopksikojugaati tuoa.) 75

24 Lasktaa si aatofuktio osa A i A i A A ( i ) A iö: i toäköisyys öytää ktoi titystä kuasta φ o vakio (i i iipu kuasta φ sikää). ktoi toäköisyystihys o sit syti z-aksi suht. Raiaaiaatofuktio o iai: s vaiht täisyy : fuktioa ja s uoto o iai jokais kvattiukuj ja kobiaatio. 76

25 Määittää aiaai toäköisyystihys: Toäköisyystihys P ktoi pistssä (,θ,φ) o vaoi aatofuktio iöö Ψ, ja toäköisyys öytää ktoi tiavuusakiosta V o P(V)= Ψ V. Tiavuustti paokooiaatistossa: V=()( θ) ( siθ φ)= siθ θ φ P(V)= Ψ siθ θ φ Ku Θ ja Φ ovat oaisoituja fuktioita, aiaai toäköisyys i toäköisyys öytää ktoi paokuota, joka sä o ja paksuus o P( ) V R si R 77

26 Toäköisyystihys P ktoi pistssä (,θ,φ) o vaoi aatofuktio iöö Ψ, ja toäköisyys öytää ktoi tiavuusakiosta V o P(V)= Ψ V. Tiavuustti V= paokuo pita-aa kuo paksuus V= 4π i aiaai toäköisyys i toäköisyys öytää ktoi paokuota, joka sä o ja paksuus o o P()= Ψ V= Ψ 4π P() = Ψ 4π, issä Ψ=RΘΦ 78

27 Toäköisyys s-ktoi (=) öytyis ähtä yitä o vasi suui; ktoi voi suktaa yti (ktoikaappaus). Muia : avoia jakaua kaupaa ytistä. Ku kasvaa, jakaua siityy suupii : avoihi. Saaa : avoa, piiää : avoa pääaksii o kaupaa ytistä, utta tihys yti ähä o suupi kui suuaa :ä. 79

28 SIMRKKI 7.4 Kuika pajo toäköisi 1s ktoi o vtyatoissa täisyyä a ytistä kui täisyyä a /? 8

29 SIMRKKI 7.5 Missä kohtaa vtyatoi pustia aiaai toäköisyys o aksiissaa? Mikä o : ootusavo tässä tiassa? 81

30 1s Toäköisyys 1s-ktoi öytyis tästä o aksiissaa = Bohi sä (kuoiai) Ootusavo hiukkas paika o kitty ustaa koioa. S o hia kaupaa ytistä, paiopistssä =3/ Bohi sä. s p 3s 3p 3 Obitaait kasvavat : kasvassa 1s ktoi voi tua yti kaappaaaksi Noakohtia väiä < < o --1 kp Saa pii - suui tihys yti ähä, utta pääaksii kaupaa. 8

31 Toäköisyystihy kuaiippuvuus Fuktio Θ vaiht θ: fuktioa kaiki ui kvattiuvui paitsi ku = = i s-tioi. Kaiki s-tioi fuktio iö Θ o vakio= ½. Koska yös Φ o vakio, ktoi toäköisyystihys s-tioia o paosyti i siä o saa avo kaikissa suuissa täisyyä ytistä. Mui ktoi toäköisyystihyksiä o kuaiippuvuus, usi jopa hyvi oiutkai sai. 83

32 3s Toäköisyystihyksiä s (,, ) p, = p, =±1 4s Pii o z-aksi suutaa, Suui o kohtisuoa z-aksi suht 84

33 Viiko vikki: Käsistää kätvä vaistaa its hkuist atoiobitaai-kksit 85

34 7.5. SÄTILVÄT SIIRTYMÄT Ku atoi siityy yätä giatiata aa tia, s säti sähköagttista sätiyä taajuua f h Tuos saaaa kvattikaiikasta: Takastaa systiä, jossa ktoi iikkuu (yksiktaisuu vuoksi) vai x-aksi suuassa. Ajasta iippuva Schöigi yhtäö atkaisufuktio o paikasta iippuva fuktio ja ajasta iippuva fuktio tuo ( i / ) t ( i / ) t (joka kopksikojugaatti ) Täaisssa kvattitiassa ova ktoi paika ootusavo saaaa askttua x x x x [( i / ) ( i Ootusavo i iipu ajasta, koska ψ ja ψ ovat vai paika fuktioita. ktoi i oskioi ja itää sätiyä i systissä syy. 86 / )] t x x x

35 Takastaa suaavaksi ktoia, joka siityy giatiata tois (joko saaasa isägia voiaa tai uovuttaasa gia takia). Siityätiassa ova ktoi fuktio o iaaikobiaatio pustia ja viitystia aatofuktioista: a b issä aa o toäköisyys, ttä ktoi o tiassa ja bb o toäköisyys, ttä ktoi o tiassa. Luooissti aa+bb=1. Ku ktoi o pustiassa, a=1 ja b=. Ku ktoi o siityyt viitttyy tiaa, a= ja b=1. Sätiyä sytyy, ku ktoi siityy tiasta tois i skä a:a ttä b:ä o saaa aikaa oasta poikkavat avot. Lasktaa hiukkas paika ootusavo <x> iaaikobiaatio tapauksssa: x x( a x( a b b a )( a b ) x a b b ) x 87

36 88 Koska aatofuktio saaaa ä ova yhtäö uotoo: Koska yhtäö kaksi kskiäistä itgaaia tuvat uotoo t i ) / ( x x x x x x x x x ) / ( ) / ( ) / ( ) / ( b b a a b a t i t i t i t i si cos ja si cos i i i i x x si x x cos b a a b t i b a a b t Itgaai siäi ja viii ti ivät iipu ajasta aikaiippuvuu aihuttaa kaksi kskiäistä tiä.

37 Tää aaiosa vaiht aja suht cos t cos t cos ft h i ktoi paikka oskioi taajuua f h Statioääisissä tioissa ktoi paika ootusavo o vakio. Siityä tapahtussa ktoi paikka oskioi taajuua f tioj ja väiä i ktoi vastaa sähköistä ipoia, joka säti sähköagttista sätiyä saaa taajuua. 89

38 7.6. VALINTASÄÄNNÖT Osa siityistä ovat toisia siityiä toäköispiä. Siityässä sytyvä sätiy taajuu ääittäis i tavita titoa tioj aatofuktioista tai toäköisyyksiä a ja b, utta siityä tapahtua toäköisyy ääittäis tavitaa. Siityätoäköisyys o vaoi itgaaii x x Saituia siityiä itgaai saa oaa suua avo. Kityiä siityiä itgaai o oa. Vtyatoissa tavitaa ko kvattiukua ääittäää siityä aku- ja opputiat. Jos akutia kvattiuvut ovat, ja ja opputia kvattiuvut ovat, ja ja kooiaatti u vastaa x, y tai z kooiaattia, saitui siityi pät u,, ', ', ' V Ku u o x, sätiy sytyy ipoista, joka o x-aksi suutai. 9

39 Sijoittaaa itgaaii vy aatofuktiot, voiaa osoittaa, ttä siityi vaitasääöt ovat: 1, 1 ku siityät ovat k. ipoisiityiä, joissa absoboituu tai ittoituu fotoi. 3 4f s p 91 1s

40 SIMRKKI 7.6 Vtyatoi o viittty 4p-tiaa. Mihi tiaa/tioihi s voi pukautua ähttäää fotoi? 9

41 7.7. NORMAALI ZMAN ILMIÖ Ukoisssa agttiktässä ova agttis ipoi pottiaaigia iippuu ipoi agttis oti suuuusta skä oti suuasta ktä suht: U B cos Pottiaaigiaa o iii, ku agtti otti μ o saa suutai agttiktä B kassa: U B ktoi agtti otti o μ - L Suutta (-/) kutsutaa gyoagttisksi suhtksi. Sijoittaaa agtti otti pottiaaigia yhtäöö saaaa: U LBcos 93

42 Tästä aii osta kuvasta voi ääittää, ttä kua θ voi saaa vai tittyjä avoja: L L z ( 1) jot cos iikäää otti LZ L ( 1) ( 1) Sijoittaa L ja cos θ pottiaaigia auskks ja saaaa agtti gia: U LBcos Bohi agtoi : B ( 1) B J/T ( 4 5 1) V/T Noaai Za iiö: Ku atoi o ukoisssa agttiktässä, atoi giatasot sipoutuvat usaaksi giatiaksi. Tia gia iippuu : avosta ja s o vähä suupi tai vähä pipi kui atoitia gia ia agttikttää. B 94

43 95 Siityi vaitasääöstä Δ =, ±1 suaa, ttä havaitut spktiviivat jakautuvat koksi iisksi viivaksi, joi taajuut ovat: B f h B f f f f B f h B f f B B Noaai Za iiö

44 SIMRKKI 7.7 ää akuai viittty äyt o sijoitttu.3 tsa agttikttää. Mit kaukaa toisistaa ovat 45 spktiviiva Za kopotit? 96