53924 Tähtien rakenne, luentomateriaali kevät 2015

Transkriptio

1 53924 Tähtien rakenne, luentomateriaali kevät 2015 Maarit J. Käpylä & Petri J. Käpylä Fysiikan laitos, Helsingin yliopisto

2 2

3 Sisältö Johdanto 7 1 Perusyhtälöiden johtaminen Massan säilymislaki Gravitaatiokenttä Liikemäärän säilymislaki Polytrooppiset mallit Viriaaliteoreema Energian säilymislaki Energian kuljetus Säteily Johtuminen Konvektio Yhtälö kemialliselle koostumukselle Radiatiiviset alueet Diffuusio Konvektiiviset alueet Perusyhtälöiden ratkaiseminen Reunaehdot Reunaehdot tähden keskustassa Reunaehdot pinnalla Numeerisista ratkaisuista Ratkaisujen olemassaolosta ja yksiselitteisyydestä Kaasun ominaisuudet tähdissä Ideaalikaasu + säteily Keskimääräinen molekyylipaino ja säteilypaine Termodynaamisia suureita Ionisaatio Boltzmannin ja Sahan yhtälöt Vedyn ionisaatio Sahan yhtälön pätevyysalue Degeneroitunut elektronikaasu Täysin degeneroitunut elektronikaasu Osittain degeneroitunut kaasu Yhteenveto

4 3.4 Kaasun tilanyhtälö tähdissä Kiteytyminen Neutronisaatio Energian tuotanto ydinreaktiolla Yleistä asiaa ydinreaktioista Tärkeimpiä ydinreaktioita Vedyn palaminen: pp ketju Vedyn palaminen: CNO sykli Heliumin reaktioita Hiilen ja raskaampien aineiden palaminen Tähtien varhainen kehitys Prototähdet Tähtienvälisen pilven luhistuminen Prototähden rakenteeseen vaikuttavia tekijöitä Pre-main Sequence tähtien kehitys Kehitys pääsarjassa Siirtyminen pääsarjaan Nollaiän pääsarja Homologiset relaatiot Massa-luminositeetti- ja massa-säderelaatiot Sisärakenne Konvektiivisten osien sijainti Pienimassaisten tähtien kehitys pääsarjassa Auringontyyppisten tähtien kehitys pääsarjassa Keskiraskaiden tähtien kehitys pääsarjassa Raskaiden tähtien kehitys pääsarjassa Kehitys pääsarjan jälkeen Tähtien kehitys punaisina jättiläisinä M massaiset tähdet M massaiset tähdet M > 8M Tähtien elinkaaren loppuvaiheita Räjähdykset Planetaariset sumut Tyypin Ia supernovat Tyypin II supernovat Tyypin Ib ja Ic supernovat Kompaktit objektit Valkoiset kääpiöt Neutronitähdet Mustat aukot

5 9 Sykkivät tähdet Radiaalisesti sykkivät tähdet Kefeidit ja epästabiilisuuskaista Ei radiaalisesti sykkivät tähdet Yleinen teoria

6 6

7 Johdanto Tällä kurssilla johdetaan tähtien rakenteen perusyhtälöt, sekä tarkastellaan niiden ratkaisuja joissain yksinkertaisissa erikoistapauksissa. Kurssilla perehdytään myös energiantuotantoon ja -siirtoon, sekä kaasun ominaisuuksiin tähdissä. Kurssin loppuosa keskittyy näiden yhtälöiden numeerisina ratkaisuina saatuihin malleihin, jotka nykykäsityksen mukaan kuvaavat parhaiten erityyppisten tähtien kehityskaaria. Suositeltavia perustietoja: Maailmankaikkeus nyt. Tähtitieteen perusteet. Tieteellinen laskenta I. Fysiikan approbatur. Matemaattiset apuneuvot I & II (tai vastaavat matematiikan kurssit). Kirjallisuutta: Suuri osa perusteoriaa käsittelevästä materiaalista löytyy kirjasta Stellar Structure and Evolution, R. Kippenhahn & A. Weigert, Springer Verlag (3. painos 1994). Tästä lähtien kirjaan viitataan tekstissä lyhenteellä KW. Lisäksi kurssista löytyy aikaisemmilla luennoilla käytetty suomenkielinen luentomoniste (Huovelin, Schultz & Hackman 2011 (HSH); ladattavissa kurssin wikisivulta), josta löytyy myös näillä luennoilla läpikäyty perustieto, kuitenkin jonkin verran eri järjestyksessä. Käsillä olevassa luentomateriaalissa asiat käydään läpi seuraten melko läheisesti kurssikirjan sisällysluetteloa. Luentomateriaali sisältää kokoelman tarvittavista luonnonvakioista ja kaavoista, joka saa olla mukana tentissä. 7

8 8

9 Luku 1 Perusyhtälöiden johtaminen Tarkastelkaamme kaasusta koostuvaa, pyörimätöntä, yksinäistä tähteä, jolla ei ole merkittäviä magneettikenttiä. Tällaisessa systeemissä ainoat vaikuttavat voimat aiheutuvat kaasun paineen gradientista ja gravitaatiosta, joiden vaikutuksesta syntyy pallosymmetrinen konfiguraatio, jossa kaikki fysikaaliset suureet ovat vakioita samansäteisellä pallopinnalla (katso Kuva 1.1). Tällöin tarvitaan vain yksi avaruuskoordinaatti kuvaamaan niitä, nimittäin etäisyys kappaleen keskipisteessä, r. Nyt r = 0 vastaa tähden keskipistettä ja r = R tähden pintaa. Avaruuskoordinaatin lisäksi fysikaaliset suuret riippuvat ajasta. Meillä on siis kaksi riippumatonta muuttujaa, r ja t, joista relevantit fysikaaliset suureet riippuvat. Tällaista lähestymistapaa kutsutaan Eulerin konstruktioksi. Toinen mahdollisuus olisi kiinnittää koordinaatisto kappaleen säteen sijaan massaelementtiin itseensä, jolloin riippumattomat muuttujat olisivat m ja t. Tämä lähestymistapa on Lagrangen konstruktio. Seuraavassa johdamme tähtien rakenteen perusyhtälöt molemmissa tapauksissa, ja osoitamme eri lähestymistapojen erot ja hyödyt. 1.1 Massan säilymislaki Gravitoivan pallosymmetrisen kaasukappaleen tapauksessa on relevanttia kirjoittaa yhtälö säteen r sisäpuolelle jäävälle massalle m (Kuva 1.1; huomaa, että HSH käyttää m:n sijasta M:aa, joka nyt on kokonaismassa). Tämä siksi, että gravitaatiovoiman magnitudi säteellä r ei riipu massaelementeistä r:n ulkopuolella. Yleisestä massan määritelmästä m = m(r,t) = ρv, (1.1) missä ρ on tiheys ja V on tilavuus, saadaan m(r,t) = 4 3 πr3 ρ, (1.2) josta differentioimalla r:n suhteen saadaan m r = 4πr2 ρ. (1.3) 9

10 Kuva 1.1: Massan muutos säteen funktiona jollain ajanhetkellä t = t 0. Tähden pinnalla r = R, m = M ja m on säteen r sisäpuolelle jäävä massa. Ohuen pallokuoren r = r+dr, missä dr on pieni muutos säteessä, massa on dm, ja saadaan yhtälöstä (1.3). KW, s. 2. Jos systeemissä on lisäksi jokin massavirtaus v = r t ulospäin, saadaan kokonaisdifferentiaalista dm = m m dr + dt (1.4) r t = m m r dr + r r t dt = 4πr 2 ρ dr 4πr 2 ρv dt. Osittaisderivaatta ajan suhteen m t = 4πr2 ρv (1.5) antaa siis massajakauman muutoksen radiaalisen ulosvirtauksen vuoksi. Yhtälöistä (1.3) ja (1.5) voidaan johtaa yleinen massan säilymislaki, ns. jatkuvuusyhtälö, edelleen differentioimalla ensimmäinen yhtälö ajan suhteen, ja toinen paikan suhteen. Kotitehtävä 1: Johda yleinen jatkuvuusyhtälö, eli yhtälö tiheyden muutokselle ajan suhteen, edellä annetuilla ohjeilla. Ensimmäinen tähtien rakenteen perusyhtälö on massan säilymislaki, joka Eulerin koordinaatistossa voidaan kirjoittaa muotoon: m r = 4πr2 ρ. (1.6) Osittaisderivaatta / r voidaan korvata kokonaisderivaatalla d/dr, jos massa m ei riipu ajasta; tähän tapaukseen palataan myöhemmin, ja nyt jatkamme ongelman yleistä 10

11 käsittelyä. Johtakaamme nyt vastaava perusyhtälö Lagrangen koordinaatistossa, eli valitkaamme riippumattomiksi muuttujiksi m ja t. Nyt siis myös massaelementin paikka r(m,t) muuttuu. Nyt m = 0 vastaa häviävää massaa keskipisteessä (r = 0), kun taas m = M on kokonaismassa pinnalla, missä r = R. Tästä voidaan heti havaita yksi etu Eulerin koordinaatistoon: yleensä tähden massa on (lähes) säilyvä suure, kun taas säde saattaa muuttua hyvin suuresti tähden elinkaareen aikana kuten myöhemmissä luvuissa nähdään. Tällöin massan käyttö riippumattomana muuttujana on parempi vaihtoehto kuin säteen käyttö. Suoritetaan muuttujan vaihto: m = r r m, (1.7) ( ) = ( ) ( ) r t r +. (1.8) t t m Soveltamalla yhtälöä (1.7) massaan itseensä, saadaan m r m m = 1 = m r r m. (1.9) Sijoitetaan yhtälö (1.3), jolloin saadaan välittömästi tähtien rakenteen ensimmäinen perusyhtälö Lagrangen koordinaatistossa r m = 1 4πr 2 ρ, (1.10) ja yleinen muunnoskaava m = 1 4πr 2 ρ r. (1.11) Yhtälö (1.8) kuvaa ns. Lagrangen kokonaisaikaderivaattaa. Lagrangen konstruktion toinen hyöty ilmenee tätä yhtälöä tarkastelemalla: koska koordinaatisto liikkuu nyt massaelementin mukana, on aikaderivaatta paljon yksinkertaisempi laskea, kun advektionopeus ( r t ) m ei ole mukana Gravitaatiokenttä Yleisessä tapauksessa gravitaatiokenttä tähden sisällä saadaan gravitaatiopotentiaalista Φ Poissonin yhtälön avulla 2 Φ = 4πGρ, (1.12) missä G on yleinen gravitaatiovakio, ja 2 on Laplace-operaattori. Pallosymmetrisessä tapauksessa tämä yksinkertaistuu muotoon: ( 1 r 2 r 2 Φ ) = 4πGρ. (1.13) r r Yhtälön (1.6) avulla taas saadaan Φ r = Gm r 2. (1.14) 11

12 Kuva 1.2: Gravitaatiopotentiaali ja gravitaatiokiihtyvyysvektori pallosymmetrisessä tähdessä, KW s. 5. Gravitaatiovoimavektori osoittaa säteen suuntaisesti kohti tähden keskipistettä, eli pallokoordinaatistossa voidaan kirjoittaa g = ( g,0,0), ja vektoripotentiaalista saadaan g = Φ; g = Φ r = Gm r 2. (1.15) Integroimalla voidaan ratkaista gravitaatiopotentiaali Φ = r 0 Gm dr+ vakio, (1.16) r2 missä integrointivakio valitaan siten, että vektoripotentiaali häviää äärettömän kaukana (ks. Kuva 1.2), ts. vakio = 0. 12

13 1.2 Liikemäärän säilymislaki Liikemäärän säilymistä väliaineessa, jossa viskositeetti, pyöriminen ja magneettikentät ovat merkityksettömiä, kuvaa Eulerin liikeyhtälö dv dt = d2 r dt 2 = 1 P Φ, (1.17) ρ missä v on nopeusvektori, d dt on Lagrangen kokonaisaikaderivaatta, P on terminen paine, ρ on tiheys ja Φ gravitaatiopotentiaali. Yhtälö esitetään tässä ilman yksityiskohtaista johtoa, mutta asiasta kiinnostuneet löytävät sen esim. Magnetohydrodynamiikka kurssin luentomateriaalista 1. Joissakin vaiheissa tähtien kehitystä muutokset tapahtuvat niin hitaasti, että niitä kuvaavassa aikaskaalassa, olkoon se τ, ei käytännössä tapahtu mitään, jolloin liikeyhtälöstä voidaan jättää pois nopeuden aikaderivaattaa eli kiihtyvyyttä kuvaava termi. Tällöin liikemäärän säilymislaista saadaan hydrostaattisen tasapainon yhtälö, eli tilanne, jossa paineen gradientti on yhtäsuuri mutta vastakkainen kuin gravitaatiovoima. Tätä tasapainotilaa kuvaa yhtälö P r = ρ Φ = ρg = Gm r r 2 ρ (1.18) Eulerin koordinaatistossa. Lagrangen koordinaatistossa saadaan muuttujan vaihdoksella (r, t) (m, t), kaavan (1.11) mukaisesti P m = Gm 4πr4. (1.19) Hydrostaattisen tasapainon yhtälö on toinen tähtien rakenteen perusyhtälö. Määritellään vielä hydrostaattinen aikaskaala, joka kuvaa muutosten nopeutta siinä tilanteessa, että joko painetermi tai gravitaatiotermi häviäisivät äkillisesti Eulerin yhtälöstä (1.17). Paineen hävitessä kiihtyvyystermin olisi kompensoitava gravitaatiotermi, eli 2 r t 2 R τff 2 g, (1.20) missä aikaskaala τ ff kuvaa nyt äkillisestä paineen häviämisestä aiheutuvaa luhistumista. Tätä aikaskaalaa kutsutaan usein myös vapaan putoamisen aikaskaalaksi (free fall time). Gravitaatiotermin hävitessä taas painetermin olisi kompensoitava kiihtyvyys, jolloin R τ 2 expl 1 P ρr, (1.21) missä τ expl olisi äkillistä laajenemista kuvaava aikaskaala. Olkoon nyt hydrostaattinen aikaskaala, τ hydr τ ff τ expl. (1.22) Jos τ τ hydr, voidaan kiihtyvyystermit jättää huoletta pois liikeyhtälöstä. Aikaskaalaa τ hydr kutsutaan usein myös dynaamiseksi aikaskaalaksi (esim. Tähtitieteen perusteet,

14 HSH). Sijoittamalla gravitaatiokiihtyvyydeksi g GM/R 2 saadaan vapaan putoamisen aikaskaalan yhtälösta (1.20): τ hydr = R 3 GM (1.23) Kotitehtävä 2: Arvioi hydrostaattista aikaskaalaa Auringolle. Tähän mennessä olemme siis johtaneet kaksi yhtälöä, jossa on kolme tuntematonta muuttujaa, nimittäin tiheys, paine ja massa (Euler) tai tiheys, paine ja säde (Lagrange). Ratkaistaksemme tämän mekaanisen yhtälön, tarvitsisimme relaation kahden tuntemattoman välille. Joissakin erikoistapauksissa on mahdollista löytää vaadittu relaatio tiheyden ja paineen välille. Tällöin yhtälöt voidaan esittää kokonaisdifferentiaaliyhtälöinä, ja niille on mahdollista löytää yksinkertaiset ratkaisut. Kaikista yksinkertaisin oletus on vakiotiheys, ts. ρ = ρ, missä ρ on keskimääräinen tiheys. Kun tähden massa lausutaan keskimääräisen tiheyden avulla, m = 4 3 πr3 ρ, ja tämä sijoitetaan hydrostaattisen tasapainon yhtälöön (1.18), saadaan dp dr = 4 3 πgρ2 r. (1.24) Integroimalla puolittain saadaan 0 P dp = P(r) = 4 R 3 πgρ2 rdr = 2 3 πgρ2( R 2 r 2), (1.25) missä R on tähden säde. r Kotitehtävä 3: Arvioi painetta Auringossa eri syvyyksillä. Käytä ideaalikaasun tilayhtälöa P = R µ ρt, ja arvioi lämpötilaa Auringossa eri syvyyksillä. Käytä keskimääräiselle molekyylipainolle arvoa µ = Polytrooppiset mallit Muita ilman termo energetiikkaa ratkeavia tapauksia ovat barotrooppiset kaasut, joille tiheys on vain paineen funktio, esimerkiksi ideaalikaasu vakiolämpötilassa (isoterminen), jolle ρ = µ P RT, missä T on vakio, ja polytrooppiset kaasut, joille (1.26) P = Kρ Γ, (1.27) missä K on ns. polytrooppinen vakio ja Γ on polytrooppinen eksponentti. Usein polytrooppisen eksponentin sijasta käytetään polytrooppista indeksiä n = 1 Γ (1.28)

15 Isotermisessä tapauksessa Γ = 1 ja n =, kokonaan degeneroituneelle elektronikaasulle ei relativistisessä tapauksessa Γ = 5/3 ja n = 3/2, relativistisessa tapauksessa Γ = 4/3 ja n = 3. Polytrooppinen approksimaatio pätee hyvin myös tähtien sisäosien konvektiokerroksissa, missä stratifikaatio on hyvin lähellä adiabaattista. Tällöin saadaan myös Γ = 5/3 ja n = 3/2; tähän palataan kuitenkin myöhemmin energiansiirron yhteydessä. Meillä on nyt siis ratkaistavana yhtälöryhmä joka muodostuu (Eulerin koordinaatistossa) yhtälöistä (1.6), (1.18) ja (1.27). Derivoimalla hydrostaattisen tasapainon yhtälö puolittain säteen suhteen saadaan yhtälö d dr ( r 2 ρ dp dr ) = G dm dr, (1.29) minkä oikealle puolelle sijoitamme nyt massan säilymislain. Tämän jälkeen sijoitamme vielä polytrooppisen lain, jolloin lähestymme lopullista yhtälöä ( ) ( 1 d r 2 dp r 2 = 1 d r 2 d ( Kρ Γ) ) dr ρ dr r 2 = K ( d r 2 dρ Γ ) dr ρ dr r 2 = 4πGρ. (1.30) dr ρ dr Tuloksena saamme siis toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön, jonka ratkaisemiseksi tarvitaan kaksi reunaehtoa. Tähden keskustassa niiden muodostaminen on helpointa: ρ(r = 0) = ρ c (1.31) Lisäksi on fysikaalisesti perusteltua olettaa, että gravitaatiovoima häviää tähden keskipisteessä, eli g(r = 0) = Gm r 2 = 0, koska m(r = 0) = 0. (1.32) Hydrostaattisen tasapainon yhtälöstä nähdään, että tämä vaatimus keskustassa johtaa tilanteeseen ( ) dρ KΓρc Γ 1 = 0. (1.33) dr c Koska K, Γ, ja ρ c ovat kaikki nollasta poikkeavia, saadaan toinen reunaehto dρ (r = 0) = 0. (1.34) dr Nyt yhtälölle olisi mahdollista etsiä ratkaisuja parametriavaruudessa (K,Γ,ρ c ). Näppärällä muuttujanvaihdolla päästään kuitenkin tilanteeseen, jossa kolmiulotteisessa parametriavaruudessa seikkailun sijaan polytrooppinen indeksi n kiinnittää ratkaisun. Tehdään seuraavat valinnat: ξ = r (1.35) α ( ) ρ 1/n θ =, (1.36) ρ c ja sijoitetaan Γ = 1+1/n, r = αξ, d/dr = α 1 d/dξ ja ρ = ρ c θ n yhtälöön (1.30), jolloin melko suoraviivaisesti saadaan ( ) K(n+1)ρ 1/n 1 ( c 1 d 4α 2 πg ξ 2 ξ 2dθ ) = θ n. (1.37) dξ dξ 15

16 Kuva 1.3: Lane Emden yhtälön ratkaisuja eri n:n arvoilla. y akselilla on skaalattu tiheys θ ja x akselilla skaalattu säde ξ. Tähden pinta sijaitsee kohdassa θ = 0. Kun valitaan ( ) K(n+1)ρ 1/n 1 1/2 c α = (1.38) 4πG saadaan mahdollisimman yksinkertainen muoto ( 1 d ξ 2 ξ 2dθ ) = θ n, (1.39) dξ dξ jota kutsutaan Lane Emden yhtälöksi. Uudet muuttujat voidaan yksinkertaisesti käsittää olevan uudelleen skaalattu säde (ξ) ja tiheys (θ). Edellä perustellut reunaehdot uusien muuttujien avulla voidaan kirjoittaa θ(ξ = 0) = 1 (1.40) dθ (ξ = 0) = 0. dξ (1.41) Yhtälöllä on analyyttisiä ratkaisuja n:n arvoilla n = 0,1 ja 5. Kaikilla n < 5 polytrooppimallin säde saa äärellisiä arvoja, säteen kasvaessa monotonisesti polytrooppiindeksin funktiona, mutta tätä suuremmilla arvoilla säde on ääretön. Joitakin yhtälön 16

17 ratkaisuja on plotattu kuvassa 1.3. Fysikaalisesti kiinnostavat ratkaisut olisivat n = 3/2 ja n = 3, jotka on siis ratkaistava numeerisesti. Harjoituksen vuoksi tarkastellaan tapausta n = 0, joka vastaa vakiotiheyttä ρ = ρ c. Kun tämä sijoitetaan Lane Emden yhtälöön (1.39), saadaan d dξ ( ξ 2dθ dξ ) = ξ 2 (1.42) Integroimalla puolittain ξ:n suhteen saadaan dθ dξ = 1 3 ξ + C 1 ξ 2, (1.43) ja reunaehdoista huomataan, että koska dθ dξ (ξ = 0) = 0, C 1 = 0. Edelleen integroimalla saadaan siis θ = 1 6 ξ2 +C 2, (1.44) ja reunaehdosta θ(ξ = 0) = 1 saadaan C 2 = 1. Tällöin siis θ(n = 0) = ξ2. Tälle polytrooppi indeksille tähden pinta löytyy kohdasta ξ = 6, missä θ(n = 0) 0. Yhtälön analyyttiset ratkaisut indekseille n = 1 ja 5 saadaan samankaltaisesti, mutta välivaiheet ovat huomattavasti monimutkaisempia, ja sivuutetaan tässä. Kuten kuvasta 1.3 huomataan, n = 1 ratkaisu on erikoinen, koska se vastaa harmonista oskillaattoria. 17

18 1.3 Viriaaliteoreema Viriaaliteoreeman avulla yhdistetään kaksi tärkeää energiavarastoa tähdissä, nimittäin gravitaatioenergia ja tähtien kaasun sisäenergia. Gravitaatioenergia saadaan integroimallla potentiaalienergia koko tähden massajakauman yli, eli E g M 0 Gm dm. (1.45) r Tästä yhtälöstä voimme nähdä, että jos kaikki massaelementit systeemissä laajenevat yhtä aikaa, gravitaatioenergia kasvaa, ja luhistumisessa gravitaatioenergia pienenee. Tähden kokonaissisäenergia taas on E i = M 0 e dm, (1.46) missä e on kaasun sisäenergia per massayksikkö. Olettamalla, että kaasu on ideaalikaasua, voidaan sisäenergia lausua muodossa e = c v T, missä c v on ominaislämpökapasiteetti vakiotilavuudessa ja T on lämpötila. Ideaalikaasun tilanyhtälöstä (1.26) saamme kirjoitettua sisäenergian paineen avulla e = c Vµ P R ρ, (1.47) josta kerroin sievenee käyttämällä termodynamiikasta (toivottavasti) tuttuja 2 relaatioita R µ = (c P c V ), missä c P on ominaislämpökapasiteetti vakiopaineessa, ja γ = c P /c V, minkä jälkeen saamme e = 1 P γ 1 ρ. Yksiatomiselle ideaalikaasulle γ = 5/3, joten tällöin saadaan yksinkertainen muoto e = 3 P 2 ρ. (1.48) (1.49) Kokonaissisäenergialle saadaan tällöin, käyttämällä hyväksi massan säilymislakia (1.6), E i = M 0 3P 2 ρ dm = 3 2 R 0 4πr 2 Pdr (1.50) Osittaisintegrointikaavaa (9.28) hyväksikäyttäen saadaan E i = 3 [ ] 4 R 2 3 πr3 P 3 R πr3 P dr, (1.51) r missä ensimmäinen termi menee nollaksi, koska pinnalla paine on nolla, ja keskustassa säde on nolla. Jäljelle jää siis vain jälkimmäinen termi, joka hydrostaattisen tasapainoyhtälön (1.18) voidaan kirjoittaa muodossa E i = 3 2 R πr3 2 Katso esim. KW, luku 4.1. ( GM r 2 ρ ) dr. (1.52) 18

19 Käytetään taas massan säilymislakia ja sievennetään muutenkin, jolloin saadaan E i = 1 2 M 0 GM r dm = 1 2 E g. (1.53) Tästä saadaan systeemin viriaaliteoreema 2E i +E g = 0. (1.54) Määritellään vielä systeemin kokonaisenergia W = E i +E g. (1.55) Kokonaisenergia muuttuu ajan funktiona, koska tähti säteilee ympäristöönsä. Olkoon L tähden luminositeetti, eli säteilyn aiheuttama energiahäviö per aikayksikkö. Tällöin energian säilymislaista saadaan vaatimus dw dt +L = 0, (1.56) eli yksiatomiselle ideaalikaasulle hydrostaattisessa tasapainossa ( dei L = dt + de ) g = 1 de g = de i dt 2 dt dt. (1.57) Tästä nähdään, että tähden kutistuessa (de g /dt < 0) vapautuvasta energiasta puolet kuluu tähden sisäenergian muutokseen siten että kaasun lämpötila nousee, ja puolet energiasta vapautuu säteilemällä ulos tähdestä. Aikaskaalaa, jossa tähti säteilisi ulos kaiken gravitaatioenergiansa, kutsutaan Kelvin- Helmholtz aikaskaalaksi, ja se saadaan yksinkertaisesti jakamalla kokonaisgravitaatioenergia tähden luminositeetilla, eli τ KH = GM2 2RL. (1.58) Tätä kutsutaan joskus myös termiseksi aikaskaalaksi, esimerkiksi HSH, Tähtitieteen perusteet, jota merkitään yleensä τ t :llä. Kotitehtävä 4: Kuinka kauan Aurinko voisi säteillä, jos sen nykyinen luminositeetti tulisi vain sen gravitaatioenergiasta? Vertaa tätä Auringon hydrostaattiseen aikaskaalaan ja ikään. Mitä voit päätellä? 19

20 Kuva 1.4: Energiavuo ohuen massakuoren läpi, KW s Energian säilymislaki Määritellään seuraavaksi nettoenergia l(r), joka kulkee r-säteisen pallopinnan läpi per aikayksikkö (ks. Kuva 1.4). Luminositeetti voidaan kirjoittaa pinnan läpi kulkevan kokonaisenergiavuon F avulla l = 4πr 2 F. Tähden keskustassa l = 0, kun taas pinnalla l on tähden kokonaisluminositeetti L, ja välimaastossa l on monimutkainen funktio riippuen energialähteiden ja energianielujen jakaumasta. Funktion l tulee ottaa huomioon erilaiset energiankuljetusmekanismit, periaatteessa myös neutriinojen vuo. Tarkastellaan jälleen dr:n paksuista pallokuorta, jonka massa on dm (Kuva 1.4). Olkoon alapuolelta tuleva energiavuo l, ja pinnalta lähtevä energiavuo l+dl. Energiavuon muutoksen voi aiheuttaa esim. ydinreaktioissa vapautuva energia, jäähtyminen, tai massaelementin laajentuminen tai kutistuminen. Tarkastellaan aluksi stationaarista tilannetta, jossa dl:n vaikuttaa vain ydinreaktioissa vapautuva energia, olkoon se ε n, jonka yksikkö on siis energia per massayksikkö per aika. Tällöin luminositeetin muutos on dl = 4πr 2 ρε n dr = ε n dm, (1.59) josta saadaan l m = ε n. (1.60) 20

21 Käytännössä ε n riippuu lämpötilasta, tiheydestä ja alkuainepitoisuuksista, mutta tähän palataan myöhemmin. Tarkastellaan seuraavaksi ajasta riippuvia ratkaisuja, jolloin dl voi olla erisuuri kuin nolla ilman ydinreaktioitakin. Pallokuoren sisäenergia voi muuttua, ja se voi tehdä tai sille voidaan tehdä mekaanista työtä (PdV ). Esimerkkinä ei-stationaarisesta prosessista voidaan mainita gravitaatiokutistuminen, jota sivuttiin edellisessä luvussa. Stationaarisen yhtälön (1.60) sijaan kirjoitamme nyt termodynamiikan ensimmäisen pääsäännön mukaan (9.5) ( dq = ε n l ) dt = de+pdv = c P dt δ dp, (1.61) m ρ missä dq) on pallokuoreen lisätty lämpöenergia per massayksikkö aikavälillä dt ja δ = ). Termodynamiikan 1. pääsäännön johtaminen tähän muotoon on ( lnρ lnt P = T V ( V T P esitetty yksityiskohtia myöten KW, s Ratkaisemalla jälleen l m termin vasemmalle puolelle, ja niputtamalla aikaderivaattoja sisältävät termit ns. lähdefunktioon T ε g = c P t + δ P ρ t, (1.62) saadaan luminositeetille yhtälö l m = ε n +ε g. (1.63) Ydinreaktioissa syntyy myös huomattava määrä neutriinoja. Neutriinot vuorovaikuttavat varsin heikosti materian kanssa, jolloin niiden sisältämän energian voidaan ajatella tunneloituvan tähden pinnalle vuorovaikuttamatta mitenkään massaelementtien kanssa. Neutriinoilla on kuitenkin vaikutus syntypaikassaan, missä ne toimivat energianieluina. Ottaen neutriinovuon huomioon, saadaan energiayhtälö, eli tähtien rakenteen kolmas perusyhtälö Lagrangen koordinaatistossa l m = ε n ε ν +ε g. (1.64) Kotitehtävä 5: Kirjoita energiayhtälö Eulerin koordinaatistossa. Määritellään tässä yhteydessä myös adiabaattinen lämpötilagradientti ( ) lnt ad, (1.65) lnp s missä alaindeksi s viittaa siihen, että adiabaattisessa prosessissa entropia on vakio. Tälle saadaan johdettua relaatio termodynamiikan 1. pääsäännöstä, kun otetaan huomioon, että lisäksi adiabaattisessa prosessissa systeemin tuotu lämpöenergia dq = 0, mistä seuraa c P dt δ dp = 0, (1.66) ρ 21

22 ja edelleen ad = ( ) ( ) dlnt P dt = = Pδ. (1.67) dlnp s T dp s Tρc P Kotitehtävä 6: Käytä ideaalikaasun tilanyhtälöä (1.26) osoittaaksesi että ad = (γ 1)/γ. Kirjoitetaan vielä lauseke kokonaisenergian säilymiselle ottaen huomioon tässä kappaleessa mukaan otetut uudet efektit (aikaisemmin vain gravitaatio ja sisäenergia): d dt (E kin +E g +E i +E n )+L+L ν = 0, (1.68) missä E kin on minkä tahansa radiaalisen liikkeen kineettinen energia, E n on koko systeemin sisältämän ydinenergian määrä, L on säteilyn kokonaisluminositeetti, ja L ν M 0 ε ν dm kokonaisneutriinoluminositeetti. Tämä yhtälö saadaan lokaalista luminositeettiyhtälöstä (1.64) integroimalla (ks. KW s. 23). Määritellään seuraavaksi ydinaikaskaala τ n, joka kuvaa sitä, kuinka kauan tähden ydinpolttoaine riittää ylläpitämään luminositeettia L τ n E n L. (1.69) Yleensä kaikille tähdille, joiden pääasiallinen energiantuotanto tapahtuu vedyn ja heliumin reaktioilla, τ n τ KH τ hydr. (1.70) Tässä tapauksessa tähtimallien sanotaan olevan täydellisessä tasapainotilassa, sisältäen mekaanisen ja termisen tasapainon. Tällöin liikemäärän säilymislaista voidaan tiputtaa pois kiihtyvyystermi, ja käyttää hydrostaattisen tasapainon yhtälöä (mekaaninen tasapaino), sekä luminositeettiyhtälön aikaderivaatat voidaan jättää huomioimatta (terminen tasapaino). Kotitehtävä 7: Vedyn fuusioituessa heliumiksi, vapautuvan energian määrä on noin Q = J kg 1. Oleta, että Aurinko koostuu kokonaan vedystä, ja laske ydinaikaskaala Auringolle. Vertaa tätä aikaisemmin laskettuihin relevantteihin aikaskaaloihin τ KH ja τ hydr. 22

23 1.5 Energian kuljetus Jotta ydinreaktioissa vapautuva energia pääsee tähden pinnalle, mistä se säteilee ympäröivään avaruuteen, tarvitaan tehokas energiankuljetusmekanismi kuuman sisäosan ja pinnan välille. Tämän mahdollistaa nollasta poikkeava lämpötilagradientti tähden sisällä. Riippuen fysikaalisista olosuhteista tietyllä syvyydellä, joista tärkeimmät ovat partikkeleiden vapaa matka ja lämpötilagradientti (partikkeli voi olla fotoni, elektroni, atomi, kaasukupla), energiankuljetus voi tapahtua joko säteilemällä, johtumalla tai massavirtausten mukana siirtymällä eli konvektiolla. Energiankuljetusyhtälö, kirjoitettuna lämpötilagradientin muodossa, on neljäs tähtien rakenteen perusyhtälö Säteily Arvioidaan fotonien vapaata matkaa jossain tyypillisessä pisteessä tähden sisällä l ph = 1 κρ, (1.71) missä κ on kaikkien säteilytaajuuksien yli keskiarvotettu massa-absorptiokerroin (yksikkö [m 2 kg 1 ]). Tyypillisesti κ 0.1m 2 kg 1, joten käyttäen Auringon keskimääräistä tiheyttä, ρ = kg m 3, saadaan fotonien vapaaksi matkaksi noin l ph 1 cm, eli materian opasiteetti on hyvin suuri, eli se läpäisee säteilyä erittäin huonosti. Verrattuna tähden säteeseen, fotonien vapaa matka on mitättömän pieni, l ph /R Tässä tapauksessa säteilynkuljetusta voidaan kuvata diffuusioprosessina, minkä ansiosta vältytään monimutkaisen säteilynkuljetusyhtälön cosθ di ν dτ ν = j ν κ ν I ν, (1.72) missä θ on säteilyn tulokulma, I ν on säteilyn intensiteetti, j ν on emissiokerroin, ja τ ν on optinen paksuus, ratkaisemiselta. Tämän yhtälön johto ja tarkempi analyysi löytyy mm. HSH, s. 12. Diffuusioapproksimaatio pätee vain siinä tapauksessa, että fotonien vapaa matka on pieni verrattuna siihen matkaan, joka niiden olisi vielä kuljettava päästäkseen tähden pinnalle. Tämän vuoksi tähden pintaa lähestyttäessä, jolloin sekä tiheys että kuljettava matka pienenevät, diffuusioapproksimaatio ei enää päde. Tähtien pintaosien energiankuljetusta tarkasteltaessa on siis säteilyn osuus ratkaistava säteilynkuljetusyhtälöstä. Kotitehtävä 8: Arvioi, kuinka kauan fotonilta, joka ensimmäisen kerran emittoituu konvektiokerroksen pohjalla (säteellä 0.7 R ), kestää kulkea Auringon pinnalle. Oletetaan, että massa-absorptiokerroin κ 0.1m 2 kg 1 on vakio koko konvektiokerroksessa, ja että absorptioiden ja uudelleenemissioiden kokonaismäärä voidaan esittää kaavalla N = r 2. ( ) l ph Määritellään nyt partikkeleiden diffusiivinen vuo (per pintaelementti per aika) partikkelitiheydeltään n eroavien paikkojen välillä j = D n, (1.73) 23

24 missä D on diffuusiokerroin D = 1 3 vl p, (1.74) missä v on partikkeleiden keskimääräinen nopeus ja l p niiden keskimääräinen vapaa matka. Säteilylle, joka siis koostuu fotoneista, v tulee korvata valon nopeudella c, vapaa matka l p fotonien vapaalla matkalla l ph, ja partikkelitiheys n säteilyn energiatiheydellä U = at 4, (1.75) missä a = J m 3 K 4 on ns. säteilytiheysvakio. Pallosymmetriasta seuraa, että diffusiivisellä vuolla on vain säteen suuntainen komponentti, joten säteilyn energiatiheyden gradientiksi saadaan U r = 4aT3 T r. (1.76) Vertaamalla tätä yhtälöihin (1.73) ja (1.74), nähdään välittömästi, että säteilyvuo voidaan määritellä diffuusioapproksimaation avulla seuraavasti: F = c U 3κρ r = 4ac 3 T 3 T κρ r. (1.77) Ratkaistaan nyt tästä lämpötilagradientti, ja korvataan säteilyvuo lokaalilla luminositeetilla l = 4πr 2 F, (1.78) jolloin saadaan lämpötilagradientin yhtälö energian siirtyessä säteilemällä Eulerin koordinaatistossa, eli neljäs tähtien rakenteen perusyhtälö T r = 3 16πac κρl r 2 T3. (1.79) Lagrangen koordinaatistossa vastaava yhtälö saadaan samoilla periaatteilla kuin aiemmin T m = 3 64π 2 ac κl r 4 T3. (1.80) Näistä yhtälöistä nähdään heti, että suuri opasiteetti, eli suuri κ, mahdollistaa suuren radiatiivisen lämpötilagradientin, joka toisaalta mahdollistaa suuren luminositeetin. Olettakaamme nyt, että hydrostaattinen tasapaino pätee, jolloin voimme sijoittaa yhtälön (1.19) edelliseen yhtälöön. Tällöin saamme T/ m P/ m = 3 16πacG mistä seuraa T P = T P ( ) lnt = lnp κl mt3, (1.81) 3 κl 16πacGmT3. (1.82) 24

25 Määritellään nyt radiatiivinen lämpötilagradientti ( ) lnt 3 κlp rad = lnp 16πacGmT4. (1.83) rad Tämä gradientti kuvaa lämpötilan muutosta tähdessä syvyyden funktiona, joka on hydrostaattisessa tasapainossa, ja jonka sisällä energian kuljetus tapahtuu säteilemälla. Syvyyden muutosta kuvaa nyt paine, joka kasvaa monotonisesti syvemmälle mentäessä. Verrattuna adiabaattiseen lämpötilagradienttiin (1.67), on huomattava tärkeä ero näiden määritelmien välillä: rad on osittaisderivaatta, joka antaa riippuvuuden kahden vierekkäisen massalementin lämpötilan ja paineen välille. ad puolestaan kuvaa yhden ja saman massaelementin termodynaamisten suureiden muutosta adiabaattisessa kokoonpuristumisessa. Näillä kahdella gradientilla on yleisesti ottaen eri numeerinen arvo, paitsi siinä erikoistapauksessa, että lämpötilastratifikaatio on adiabaattinen. Radiatiivisen lämpötilagradientin määritelmää tullaan myöhemmin käyttämään myös yhteyksissä, joissa hydrostaattinen tasapaino ei päde. Tällöin voidaan ajatella, että rad kuvaa gradienttia, johon radiatiivinen, hydrostaattinen kerros pyrkisi joillain tietyillä (P,T,l,m) arvoilla. Lämpötilagradientin yhtälö (1.80) voidaan nyt kirjoittaa käyttämällä rad :n määritelmää T m = GmT 4πr 4 P rad. (1.84) Yleisessä tapauksessa, jolloin energia voi siirtyä muutenkin kuin säteilemällä, rad on korvattava yleisellä suureella = dlnt dlnp. Kuten seuraavissa kappaleissa tullaan yksityiskohtaisesti johtamaan, lämmönkuljetus johtumalla voidaan rinnastaa säteilynkuljetukseen diffuusioapproksimaation avulla esitettynä, mutta konvektiivisen energiankuljetuksen kyseessä ollessa on korvattava joko adiabaattisella gradientilla ad (tähtien konvektiokerrosten sisäosat) tai sekoituspituusteoriasta saatavalla ratkaisulla (superadiabaattiset ulko-osat). Kotitehtävä 9: Kirjoita lämpötilagradientin yhtälö Eulerin koordinaatistossa. Rosselandin keskimääräinen absorptiokerroin Yllä johdetut yhtälöt ovat riippumattomia säteilyn taajuudesta ν; säteilyvuo ja luminositeetti ovat näissä yhtälöissä suureita, jotka on integroitu kaikkien taajuuksien yli, ja κ on keskimääräinen, kaikkien taajuuksien yli laskettu absorptiokertoimen keskiarvo. Seuraavaksi kuvataan menetelmä, jolla keskiarvo voidaan määrittää järkevällä tavalla. Tarkastellaan ensin tyypillisen lämpötilagradientin arvoa tähdessä, laskemalla keskiarvo keskustan (T c 10 7 K) ja pinnan (T s = 10 4 K) välillä: T r T c T s R Kcm 1. (1.85) Jos r on l ph, eli suuruusluokkaa senttimetri, lämpötilaero on suuruusluokkaa T 10 4 K fotonin vapaan matkan yli, joten säteilyn näkökulmasta kerros on hyvin lähellä isotermistä. 25

26 Näistä arvioista voidaan nähda, että tähtien sisäosat ovat hyvin lähellä termistä tasapainoa, eli lokaali termodynaaminen tasapaino (LTE) on hyvä approksimaatio. Tällöin säteily noudattaa mustan kappaleen säteilylakia, missä tilanteessa säteilyn intensiteetti taajuudella ν ja lämpötilassa T saadaan Planckin funktiosta B ν (T) = 2hν3 c 2 1 e hν kt 1, (1.86) missä h on Planckin vakio, k on Boltzmannin vakio, ja c on valon nopeus. Tarkastellaan nyt tilannetta lyhyellä taajuusvälillä [ν, ν + dν], ja kirjoitetaan diffusiivinen energiavuo missä F ν = D ν U ν, (1.87) D ν = 1 3 cl ν = c 3κ ν ρ, (1.88) ja energiatiheys LTE:ssä Planckin funktiosta U ν = 4π c B(ν,T) = 8πh c 3 ν 3 e hν kt 1. (1.89) Tämän gradientti lämpötilan suhteen on U ν = 4π c B T, (1.90) T jolloin voimme ratkaista kokonaisvuon integroimalla kaikkien taajuuksien yli [ 4π ] 1 B F = 3ρ κ ν T dν T. (1.91) 0 Verrataan tätä nyt yhtälöön (1.77), jolloin voidaan suoraan huomata, että keskimääräiselle absorptiokertoimelle κ saadaan yhtälö 1 κ = π act B dν. (1.92) κ ν T Tätä keskiarvoa kutsutaan Rosselandin keskimääräiseksi absorptiokertoimeksi Johtuminen Lämmön siirtyessä johtumalla, energiansiirto tapahtuu partikkelien (elektronit ja ytimet kokonaan ionisoituneessa aineessa, tai atomit ja molekyylit neutraalissa aineessa) törmäysten välityksellä. Törmäyksiä tapahtuu partikkelien satunnaisen lämpöliikkeen takia. Ei-degeneroituneessa kaasussa johtuminen ei pysty osallistumaan merkittävästi energiankuljetukseen, koska partikkeleiden vapaa matka on useita kertaluokkia pienempi kuin fotonien vastaava, ja lisäksi partikkeleiden lämpöliikkeestä johtuva nopeus on vain muutama prosentti valonnopeudesta. Tämän vuoksi diffuusioapproksimaatiota voidaan käyttää myös johtumista kuvaamaan, vaikkakin diffuusiokerroin yhtälössä (1.74) on paljon pienempi kuin säteilylle. 26

27 Lämmön johtumista voidaan siis kuvata diffusiivisena prosessina, jolloin sen aiheuttama energiavuo voidaan kirjoittaa, analogisesti säteilyä kuvaavan energiavuon (1.77), muodossa F cd = k cd T, (1.93) missäk cd on johtumista kuvaava kerroin. Näiden kahden diffusiivisen energiavuon summa voidaan nyt kirjoittaa F = F rad +F cd = (k rad +k cd ) T, (1.94) missä k rad = 4ac 3 k cd = 4ac 3 T 3 κρ, kuten yllä johdettiin. Analogisesti tähän voidaan määritellä T 3 κ cd ρ, (1.95) missä κ cd on ns. konduktiivinen opasiteetti. Tällöin saadaan energiavuoksi F = 4ac T 3 ( ) T (1.96) 3 ρ κ rad κ cd joka on samanmuotoinen yhtälö kuin aiemmin, mutta nyt 1 κ = 1 κ rad + 1 κ cd. Eli, se mekanismi, jolle tähden sisällä oleva materiaali on läpinäkyvintä, dominoi energiavuota, kokonaisopasiteetin ollessa κ. Säteilyn yhteydessä johdettujen yhtälöiden yleiset muodot pysyvät siis samoina, mutta on muistettava, että mukaan otetaan tästä lähtien sekä energiankuljetus säteilemällä että johtumalla. Yllä kuvattu tilanne kuitenkin muuttuu tähtien kehityksen myöhäisissä vaiheissa, jolloin tähtien ytimissä elektronikaasu saavuttaa korkean degeneraatioasteen. Tiheydet ovat suuruusluokkaa 10 9 kg m 3 (vrt. Auringon keskitiheys 10 3 kg m 3 ). Degeneroituneen kaasun ominaisuuksia käsitellään tarkemmin myöhemmin, mutta tässä yhteydessä riittää todeta, että degeneroituneessa kaasussa elektronit liikkuvat paljon nopeammin. Lisäksi niiden vapaa matka kasvaa huomattavasti, koska kvanttiominaisuuksien vuoksi törmäystodennäköisyys pienenee. Tällöin lämmön johtumista kuvaava diffuusiokerroin kasvaa, saavuttaen jopa samaa suuruusluokkaa olevia arvoja kuin säteilemällä tapahtuvan energiansiirron vastaava. Tämä ei kuitenkaan muuta edellä esitettyjä yhtälöitä, kokonaisopasiteetti vain määräytyy lämmön johtumisesta säteilyn sijaan Konvektio Konvektiivinen energiankuljetus tarkoittaa sitä, että makroskooppiset massaelementit, konvektiosolut, kuljettavat energiaa dynaamisesti epästabiilissa konvektiokerroksessa. Ympäristöään kuumemmat solut liikkuvat kerrostuneessa väliaineessa kohti pienempää tiheyttä eli tähden pintaa, ja viileämmät kohti kasvavaa tiheyttä eli kohti keskustaa, kunnes sulautuvat uuteen ympäristöönsä vaihtaen energiaa sen kanssa. Tähtien rakenteen laskemisen kannalta konvektio on hyvin problemaattinen ilmiö, sillä siitä aiheutuva virtaus on tähdissä hyvin turbulenttista eikä yleispätevää turbulenssin teoriaa ole vielä olemassa. Tähtien rakenteen malleissa tarvitaan mahdollisimman yksinkertainen kuvaus turbulenttiselle konvektiiviselle energiankuljetukselle, joka toistaa vain kaikista olennaisimmat efektit. Tässä kappaleessa käsitellään ensiksi stabiilisuusehtoa, eli sitä ehtoa, joka 27

28 Kuva 1.5: Testikupla e kerroksessa S, minkä kerroksen stabiilisuutta tarkastellaan. määrää, voiko konvektiota syntyä tähden sisällä, vai kuljettuuko energia säteilemällä ja johtumalla konvektion sijaan. Sen lisäksi käytämme sekoituspituusteoriaa johtamaan haluttu yksinkertainen konvektiivisen turbulenssin kuvaus tähtien rakenteen laskemista varten. Pyrkimys on johtaa lämpötilagradientti = dlnt dlnp konvektiivisessa alueessa; tällöin edellisessä kappaleessa johdettu rad, joka kuvaa lämpötilagradienttia siinä tapauksessa, että energiankuljetus tapahtuu säteilemällä ja/tai johtumalla, korvataan vastaavalla konvektiivisella suureella. Stabiilisuuskriteeri kertoo, milloin kutakin on käytettävä. Ledoux n ja Schwarzschildin stabiilisuusehdot Lähtekäämme liikkeelle tarkastelemalla kaasukuplan stabiilisuutta kerrostuneessa kaasussa, ts. ρ = ρ(r), T = T(r) ja g = gˆr, jossa g > 0. Nostetaan pientä kaasukuplaa adiabaattisesti korkeudelta r korkeudelle r + r. Adiabaattinen muutos tarkoittaa tässä sitä että kuplan ja sen ympäristön välillä ei tapahdu energianvaihtoa. Tämän voidaan katsoa pätevän varsin yleisesti esim. Auringon konvektiokerroksessa jossa kaasu on optisesti paksua ja äänennopeus suuri, jolloin kupla ja sen ympäristö pysyvät painetasapainossa. Nostamisen taas voimme perustella sillä, että esim. partikkeleiden lämpöliikkeestä johtuen massaelementit kokevat pieniä lämpötilafluktuaatioita δt, joista johtuen paikallisesti hieman kuumemmat/kylmemmät massaelementit pyrkiessään painetasapainoon ympäristönsä kanssa, tulevat joko kevyemmiksi/raskaimmiksi, ja joko nousevat/painuvat konvektiokerroksessa ylös-/alaspäin nostevoiman vaikutuksesta. Eli kiteyttäen voidaan sanoa, että lämpötilafluktuaatioista aina seuraa pieniä radiaalisia nopeushäiriöitä, jotka voivat toimia konvektioinstabiliteetin laukaisijoina. Tarkastellaan nyt testikaasukuplaa e kerroksessa S (ks. Kuva 1.5), jossa tiheys alkukorkeudella r on ρ. Uudella korkeudella r + r kuplan ja sen ympäristön tiheys ei yleensä ole sama sillä taustatiheys ei välttämättä muutu adiabaattisesti. Olkoon taustatiheys nostokorkeudella ρ + ρ. Tällöin kuplan ja sen ympäristön välinen tiheysero 28

29 voidaan lausua differentiaalilla [( ) ( ) ] dρ dρ ρ = r, (1.97) dr dr e S missä alaindeksi e viittaa testikuplan tiheyden muutokseen sen noustessa matkan r, ja S ympäröivän kerroksen tiheyden muutokseen samalla matkalla. Mikä tahansa ρ 0 aiheuttaa nostevoiman K r = t u r = g ρ, missä g on gravitaatiokiihtyvyys. Jos ρ < 0, kupla on ympäristöään keveämpi, K r > 0, ja kupla jatkaa kohoamistaan kiihtyvällä nopeudella. Tällöin alkuperäinen tasapainotila on epästabiili. Jos taas ρ > 0, kupla on painavampi kuin sitä ympäroivä kaasu, jolloin se palaa alkuperäiselle tasolleen, ja kerros on stabiili. Ehto kerroksen stabiilisuudelle voidaan siis kirjoittaa ( ) ( ) dρ dρ > 0. (1.98) dr dr e S Valitettavasti tämä ehto on epäkäytännöllinen, koska tiheyden gradientit eivät esiinny ollenkaan tähän asti johtamissamme perusyhtälöissä. Ehto pitäisi pystyä kirjoittamaan lämpötilagradientin muodossa. Kirjoitetaan tätä varten tiheyden differentiaali tilanyhtälön avulla, joka on yleisessä muodossa ρ = ρ(p,t,µ), missä µ on kemiallinen koostumus dρ ρ = αdp P δdt T +ϕdµ µ, (1.99) missä α = lnρ lnρ lnρ lnp, jo aiemmin määritelty δ = lnt, ja ϕ = lnµ. Ideaalikaasulle, kuten jo laskuharjoituksessa tuli osoitettua, α = δ = ϕ=1. Käyttäen näitä määritelmiä, ja ottaen huomioon, että testikaasupartikkelin kemiallinen koostumus ei muutu nousun aikana, saadaan stabiilisuusehto muotoon ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α dp δ dt α dp δ dt ϕ dµ + > 0. (1.100) P dr e T dr e P dr S T dr S µ dr S Painetasapainon vallitessa painetermit kumoavat toisensa, jolloin saadaan vielä yksinkertaisempi muoto (huomaa, että nyt yhtälö on kerrottu -1:llä) ( ) ( ) ( ) δ dt δ dt ϕ dµ + < 0. (1.101) T dr T dr µ dr e Määritellään nyt paineen skaalakorkeus H P = dr dlnp S S = P dr dp. (1.102) Hydrostaattisen tasapainon yhtälöstä (1.18) saadaan H P = P ρg, (1.103) mistä nähdään, että H P > 0. Kotitehtävä 10: Arvioi paineen skaalakorkeutta Auringon konvektiokerroksessa eri syvyyksillä. Käytä hyväksesi Auringon standardimallia (Kuva 1.6; M. Stix, The Sun: An Introduction, p. 244). 29

30 Kuva 1.6: Auringon standardimalli; M. Stix: The Sun: An Introduction, p Suure on superadiabaattisuus, jolle olemme käyttäneet merkintää x. 30

31 Kertomalla stabiilisuusehto paineen skaalakorkeudella, saadaan ( ) ( ) ( ) dlnt dlnt ϕ dlnµ < +. (1.104) dlnp S dlnp e δ dlnp S Jos nyt määritellään, analogisesti aikaisemmin määriteltyihin adiabaattiseen ja radiatiiviseen lämpötilagradienttiin ( ) ( ) ( ) dlnt dlnt ϕ dlnµ =, e =, µ =, (1.105) dlnp S dlnp e δ dlnp S saadaan stabiilisuusehto kompaktiin muotoon < e + ϕ δ µ. (1.106) Olkoon nyt kerros S, jonka stabiilisuutta tarkastellaan, radiatiivinen. Oletamme siis, että energiankuljetus kerroksen läpi tapahtuu säteilemällä ja johtumalla, missä tilanteessa kerroksen lämpötilagradientti on edellisessä kappaleessa johdettu rad. Testikuplaa nostettaessa taas oletettiin, että kupla ei ehdi vaihtaa energiaa ympäristönsä kanssa, eli että se on adiabaattinen. Tällöin e voidaan siis korvata adiabaattisella lämpötilagradientilla. Radiatiivisen kerroksen stabiilisuuskriteeri adiabaattista nostehäiriötä vastaan on siis rad < ad + ϕ δ µ, (1.107) mikä kriteeri tunnetaan Ledoux n kriiteerinä. Tämä kriteeri on merkittävä tähtien kehitysvaiheissa, joissa raskaampia alkuaineita syntyy tähtien sisäosissa, ja kevyempiä niiden ulko-osissa, jolloin kemiallisella koostumuksella on nollasta poikkeava radiaalinen gradientti. Koska keskimääräinen molekyylipaino kasvaa sisäänpäin mentäessä samoin kuin paine, µ > 0, ja myös ϕ sekä δ ovat molemmat positiivisia. Tässä tapauksessa Ledoux n kriteerin kemiallisen koostumuksen gradientin sisältävä termi stabiloi kerrosta, eli siis vaikeuttaa konvektion alkamista. Kemialliselta koostumukseltaan homogeenisessa kerroksessa, jolle siis µ = 0, kriteeri yksinkertaistuu Schwarzschild n kriteeriksi rad < ad. (1.108) Jos siis epäyhtälön vasen puoli on suurempi kuin oikea puoli, on systeemi dynaamisesti epästabiili, ja konvektio käynnistyy. Tällöin pienet häiriöt kasvavat eksponentiaalisesti tiettyyn äärelliseen saturaatiotasoon, kunnes koko kerros on täynnä nousevia/laskevia ympäristöään kuumempia/kylmempiä konvektiokuplia, ja koko kerros on turbulenttisessa tilassa. Konvektiiviset liikkeet kuljettavat osan energiasta, osa jää edelleenkin säteilyn tehtäväksi. Varsinainen lämpötilagradientti konvektion käynnistymisen jälkeen voidaan yksinkertaisimmillaan määrittää seuraavassa kappaleessa esitetyn sekoituspituusteorian avulla. Edelleen on tärkeää muistaa, että edellä esitetyt kriteerit ovat lokaaleja, eivätkä ota huomioon tarkasteltavan kerroksen kytkeytymistä sen naapurikerroksiin. Tämän vuoksi esimerkiksi tähtien konvektiokerrosten rajojen määrittäminen paikallisten kriteerien pohjalta ei suoraan onnistu. Esimerkiksi, konvektiosoluilla on liikemäärää, jonka avulla ne tunkeutuvat edellä johdetuilla kriteereillä konvektiivisesti stabiileihin kerroksiin, jolloin puhutaan yliampuvasta konvektiosta (overshooting convection). 31

32 Sekoituspituusteoria Sekoituspituusteoriassa konvektion ajatellaan koostuvan suuresta määrästä erillisiä soluja, jotka sekoittuvat ympäröivään aineeseen kuljettuaan matkan l MLT, jota kutsutaan sekoittumispituudeksi. Kerrostuneessa väliaineessa tämän voidaan olettaa olevan verrannollinen paineen skaalakorkeuteen, eli l MLT = α MLT H P, (1.109) jossa α MLT on suuruusluokan yksi dimensioton vakio ja paineen skaalakorkeus on määritelty kuten edellä (1.102). Konvektion aiheuttama turbulenttinen energiavuo on suuruusluokan tarkkuudellaf conv u T, jossauon konvektiosta aiheutuva keskimääräinen nopeus ja T lämpötilafluktuaatio, kokonaisvuon ollessa F = l 4πr 2 = F rad +F conv +F cond, (1.110) missä johtumisesta aiheutuva vuo F cond on yleensä pieni. Aiemmin määriteltiin radiatiivinen lämpötilagradientti (1.83), joka tarvittaisiin kuljettamaan kaikki energia säteilemällä; nyt kokonaisvuo kuljettaa tämän energiamäärän, jolloin, lähtien energiavuon määritelmästä (1.77), käyttämällä hyväksi hydrostaattisen tasapainon yhtälöä (1.18), ja radiatiivista lämpötilagradientin määritelmää (1.83), saadaan kokonaisvuolle F = 4acG 3 T 4 m κpr 2 rad. (1.111) Osa energiankuljetuksesta tapahtuu konvektion avulla, joten säteilyn aiheuttama energiavuo on F rad = 4acG 3 T 4 m κpr2, (1.112) jossa on nyt vielä tuntematon lämpötilagradientti, joka vallitsee tähden sisällä, ja jota pyritään tämän analyysin avulla määrittämään. Ensimmäinen askel on laskea konvektiivinen energiavuo F conv, johon tarvitsemme siis yhtälön lämpötilafluktuaatiolle ja konvektiosta aiheutuvalle keskimääräiselle nopeudelle u. Lämpötilafluktuaatio voidaan kirjoittaa differentiaalina [( ) ( ) ] dt dt T = r, (1.113) dr dr e S jossa e viittaa kuplan sisäiseen ja S muutokseen ympäröivässä aineessa, seuraten samaa lähestymistapaa kuin edellisessä luvussa. Uudelleenmuotoilemalla hieman, ja sijoittamalla paineen skaalakorkeuden määritelmä (1.102) saadaan muoto T = ( e ) rt H P, (1.114) missä :t on määritelty aiemmin yhtälöillä (1.105). Voidaan ajatella, että kaikki kuplat, jotka menevät tietyn pallokuoren läpi, ovat keskimäärin liikkuneet ylös/alas matkan r = 1 2 l MLT, eli T = ( e ) Tα MLT. (1.115) 2 32

33 Konvektionopeuden määrittämiseksi tarkastellaan nostevoiman K r tekemää työtä, josta puolet arvioidaan kuluvan konvektiosolun kineettiseksi energiaksi, eli siis 1K r 2 ρ r = E kin ρ = u 2 = 1 2 g ρ r. (1.116) ρ Käytetään hyväksi differentiaalia (1.99) oletuksilla dp = 0, eli kerros on painetasapainossa, ja dµ = 0, eli kerroksen kemiallinen koostumus on vakio, jolloin saadaan (1.115) avulla konvektiiviseksi nopeudeksi u 2 = gδ( e ) r2 2H P (1.117) Kun jälleen sijoitetaan r = 1 2 l MLT, saadaan ) 1 1/2 u = l MLT (gδ( e ) = α MLT 8H P Konvektiivinen energiavuo on siis ( ) 1 1/2 8 gδh P( e ). (1.118) F conv = ρc P u T = ρc P T α2 MLT 4 2 (gδh P) 1/2 ( e ) 3/2. (1.119) Nyt meillä on koossa neljä yhtälöä (1.111, 1.112, 1.118, 1.119), mutta viisi tuntematonta: F rad (joka on nyt radiatiivisen ja konduktiivisen fluksin summa), F conv, u, e ja. On siis vielä revittävä jostain yksi yhtälö. Tämä saadaan tarkastelemalla lämpötilan muutosta konvektiivisen kuplan sisällä, kun se liikkuu kerroksessa nopeudella u. Lämpötila voi muuttua kahdesta syystä: adiabaattinen laajeneminen/supistuminen tai säteilyn aiheuttama kuumentuminen/kylmentyminen, eli siis ( ) ( ) dt dt = λ dr e dr ad ρvc P u, (1.120) missä V on kuplan tilavuus, ja λ on säteilyn aiheuttama kokonaisenergiahäviö. Kertomalla puolittain H P /T:llä saadaan e ad = λh P ρvc P ut. (1.121) Tarvitaan vielä yhtälö λ:lle, jonka yksityiskohtainen johto löytyy asiasta kiinnostuneille KW, s , λ = 6acVT4 α MLT κρhp 2 ( e ), (1.122) joten näistä yhdistelemällä saadaan vaadittu viides yhtälö e ad e = 1 Γ = 6acT 3 α MLT H P κρ 2 c P u. (1.123) 33

34 Nyt siis on viisi yhtälöä ja viisi tuntematonta lokaalien suureiden P,T,ρ,α MLT,H P, c P, ad, rad ja g avulla lausuttuina, ja yhtälöt voidaan yrittää ratkaista. Määritellään nyt kaksi uutta dimensiotonta lukua 3acT 3 8 U c p ρ 2 καmlt 2 H (1.124) P H P gδ W rad ad, (1.125) joiden avulla sekoituspituusyhtälöt voidaan kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa. Käyttämällä yhtälöitä (1.118) ja (1.123), saadaan e ad = 2U e. (1.126) Käytetään seuraavaksi yhtälöitä (1.111), (1.112), (1.119), (1.18) ja (1.102), jolloin saadaan ( e ) 3/2 = 8 9 U ( rad ). (1.127) Lisäämällä ja vähentämällä yhtälön (1.126) vasemmalle puolelle, saadaan yhtälö ( ad ) ( e ) 2U e = 0. (1.128) Jos merkitään a = e, voidaan kirjoittaa a 2 +2Ua+( ad ) = 0, (1.129) jonka ratkaisut ovat a = U ± U 2 + ad. Huolimme mukaan vain positiivisen merkin, ja merkitsemme a = U + ξ. Sijoitetaan nämä yhtälöön (1.127), jolloin saadaan koko sekoituspituushässäkkä ilmaistua yhden ainoan yhtälön muodossa (ξ U) 3 + 8U 9 ( ξ 2 U 2 W ) = 0. (1.130) Nyt on siis saatu väännettyä kolmannen asteen yhtälö ξ:lle, jonka voi ratkaista millä tahansa kombinaatiolla U ja W. Voidaan osoittaa, että yhtälöllä on vain yksi positiivinen juuri, joka antaa halutun :n, eli keskimääräisen lämpötilagradientin arvon, johon konvektiokerros asettuu. Jos W, eli radiatiivisen ja adiabaattisen lämpötilagradientin arvot tunnetaan, konvektio riippuu vain U:sta, jonka taas voidaan osoittaa kuvaavan konvektion tehokkuutta, koska U = σ rad σ conv, (1.131) missä σ:t ovat radiatiivinen ja konvektiivinen lämmönjohtuvuus. Pienet U:n arvot siis kuvaavat tehokasta konvektiota, kun taas suuret tehokasta säteilyä. Yhtälöstä (1.126) voidaan johtaa riippuvuus U:n ja Γ:n välille: e Γ =, (1.132) 2U joten tehokkaalle konvektiolle Γ:n arvot ovat suuria. Pienet U:n ja suuret Γ:n arvot ovat tyypillisiä hyvin tiheälle aineelle, missä säteilynkuljetus on hyvin tehotonta. Pienillä 34

35 Kuva 1.7: Esitys konvektion määräävistä suureista U W-tasossa. Kiinteät viivat ovat eri superadiabaattisuudelle laskettuja tasa-arvokäyriä. Katkoviivoilla esitetyille suorille Γ=vakio. Katko-pisteviivalla esitetään suora U 2 = x. tiheyksillä, eli suurilla/pienillä U:n/Γ:n arvoilla on konvektio tehotonta säteilyyn nähden. Tarkastellaan nyt näitä rajatapauksia. Rajatapaus 1: Jos U 0, Γ, eli e ad, nähdään yhtälöiden ratkaisuista, että ad. Tämä tarkoittaa sitä, että pienikin lämpötilagradientin poikkeama adiabaattisesta arvosta riittää kuljettamaan koko energiavuon. Tämä pätee tähtien tiheissä sisäosissa. Tässä tapauksessa ei siis itse asiassa tarvitse ratkaista sekoituspituusyhtälöitä, vaan riittää, vaan riittää korvata = ad. Rajatapaus 2: Jos U, Γ 0, sekoituspituusyhtälöistä nähdään, että rad, eli konvektio on tehotonta, ja koko energiavuo siirtyy säteilemällä ja/tai johtumalla, jolloin voidaan korvata = rad. Tämä pätee lähellä tähden fotosfääriä. Kun kumpikaan ylläolevista rajatapauksista ei päde, kuten esimerkiksi tähtien ulkoosien konvektiokerroksissa, on ratkaistava sekoituspituusyhtälöstä (1.130), ja se saa arvoja jostain ad :n ja rad :n välimaastosta. Tällöin konvektion sanotaan olevan superadiabaattista, eli suure x = ad = ξ 2 U 2 > 0. (1.133) Kuvassa (1.7) on plotattu x=vakio ja Γ=vakio käyriä (U,W)-tasossa. 35

36 Kotitehtävä 11: Tulkitse, mitä (U,W)-tason kuvaaja (Kuva 1.7) kertoo Auringon konvektiokerroksesta eri syvyyksillä. Oleta, että kaasu on yksiatomista ideaalikaasua, jolle κ 0.1m 2 kg 1, ja käytä hyväksesi Auringon standardimallia (Kuva 1.6). Sekoittumispituusmallin suurin etu (mutta samalla myös suurin haitta) on sen yksinkertaisuus: konvektiivinen energiavuo ja sen avulla lämpötilagradientti saadaan laskettua lähtien hyvin yksinkertaisista oletuksista. Toisaalta mallin perusoletusta ei voida johtaa fysiikan peruslaeista joten sen pätevyys on jokseenkin kyseenalainen. Numeeriset konvektiomallit tosin antavat tukea perusoletukselle ja sen avulla johdetuille relaatioille ainakin rajoitetussa parametriavaruuden osassa (Chan & Sofia 1986, ApJ, 307, 222). Perusoletuksen kyseenalaisuuden ohella mallin suurin heikkous on siinä että suuren mittakaavan virtauksia, tähden pyörimistä tai magneettikenttiä ei oteta millään tavalla huomioon. Tämän takia sekoittumispituusmallin käyttökelpoisuus astrofysiikassa rajoittuu lähinnä yksiulotteisiin tähtien rakenteen ja kehityksen malleihin joissa sen pääasiallinen funktion on antaa energiavuo ja sen avulla lämpötilagradientti konvektiokerroksissa. 36

37 1.6 Yhtälö kemialliselle koostumukselle Kemiallisella koostumuksella on tärkeä merkitys tähden kehityksessä, sillä se vaikuttaa suoraan materian kykyyn absorpoida säteilyä ja tuottaa energiaa ydinreaktioilla. Ydinreaktiot taas muuttavat tähden kemiallista koostumusta tähden elinkaaren aikana. Tähtien kemiallinen koostumus on kuitenkin suhteellisen yksinkertainen, koska korkeiden lämpötilojen ja paineiden vuoksi kemiallisia yhdisteitä ei pääse muodostumaan, ja atomitkin ovat yleensä lähes kokonaan ionisoituneita. Tämän vuoksi riittää, kun pidetään kirjaa eri tyyppisten atomien ytimistä. Olkoon nyt X i se osa kokonaismassasta, joka koostuu tietyn tyyppisistä ytimistä i. Tällöin kokonaismassa voidaan kirjoittaa summana kaikista ytimistä Σ i X i = 1. (1.134) Usein käytetty partikkelitiheys per tilavuusyksikkö, n i, liittyy massaosuuteen seuraavasti X i = m in i ρ, (1.135) missä m i on tietyntyyppisen ytimen massa. Tyypillisesti pärjätään hyvin pienellä määrällä ytimiä, eli määritellään vedyn, heliumin ja muiden massaosuudet X X H, Y Y He, Z 1 X Y. (1.136) Tärkeitä muita alkuaineita ovat esimerkiksi hiili (C), typpi (N) ja happi (O), jotka osallistuvat vedyn palamiseen. Nuorissa tähdissä, ja yleisesti myös kehittyneiden tähtien ulko-osissa, vetyä on ylivoimaisesti eniten, X = , Y = , z = Tarkastellaan nyt kemiallisen koostumuksen muutosta ajan suhteen erityyppisissä kerroksissa Radiatiiviset alueet Jos energia siirtyy säteilemällä, ei energiankuljetukseen liity massaelementtien vaihtoa eri kuorien välillä, jos diffusiiviset prosessit jätetään huomiotta. Tällöin tietyn ytimen massaosuus voi muuttua vain ydinreaktioiden tuottaessa tai tuhotessa kyseisiä ytimiä. Jonkin tietyn ydinreaktion esiintymisrunsautta ajan suhteen kuvaa reaktiotaajuus r lm, joka kuvaa siis reaktioiden, jotka muuttavat l-tyyppiset ytimet m-tyyppisiksi ytimiksi, määrää per tilavuus per aikayksikkö. Yleisesti, tyypin i ydintä voi tuottaa/tuhota usea eri ydinreaktio samanaikaisesti, tuottoa kuvaavan reaktiotaajuuden ollessa r ji, ja tuhoamista r ik. Tästä saadaan massaosuuden muutokselle yhtälö X i t = m i ρ [Σ jr ji Σ k r ik ], i = 1,...,I, (1.137) missä i on mikä tahansa ydinreaktioihin osaa ottava ydin Diffuusio Kemiallinen koostumus voi muuttua myös mikroskooppisten diffuusioprosessien vuoksi. Jos eri alkuaineiden runsauksissa esiintyy gradientteja, eli ne muuttuvat jonkin avaruuskoordinaatin suhteen, pyrkii tämä runsausero tasoittumaan konsentraatiodiffuusion 37

38 Kuva 1.8: Massaosuudet X i massan funktiona. Välillä m 1 < m < m 2 tapahtuu konvektiota. vuoksi. Täysin kemialliselta koostumukseltaan homogeeninenkään kerros ei ole diffuusioton. Raskaammat ytimet pyrkivät kohti korkeampaa lämpötilaa lämpötiladiffuusion ja kohti korkeampaa painetta painediffuusion vaikutuksesta. Jälkimmäistä efektiä kutsutaan myös sedimentaatioksi tai gravitionaaliseksi asettumiseksi. Näitä prosesseja voidaan kuvata jo aiemmista yhteyksistä tutulla diffuusioapproksimaatiolla, jolle aikasemmin esitettiin yhtälö (1.73). Nyt partikkelitiheys n korvataan millä tahansa muulla suureella, jonka gradientti aiheuttaa diffuusioprosessin, esimerkiksi konsentraatiolla c j c = D c, (1.138) missä diffuusiokerroin on muotoa D = 1 3 v cl c, missä v c on sekoittuvien ydinten keskimääräinen nopeus ja l c niiden vapaa matka. Diffuusioprosessia kuvaava aikaskaala on τ c = S2 D, (1.139) missä S kuvaa pituusskaalaa, jonka yli konsentraation muutos tapahtuu. Analogisesti, lämpötila- ja painegradientista johtuvat diffuusioprosessit voidaan kuvata ja yhdistää diffuusioapproksimaatiolla: j = D( c+k T lnt +k P lnp), (1.140) missä k T ja k P skaalaavat diffuusion voimakkuuden suhteessa konsentraation muutoksesta aiheutuvaan diffuusioon. Nämä prosessit ovat tähtien kyseessä ollessa liian hitaita (suuruusluokkaa a) ollakseen dynaamisesti merkittäviä, joten sivuutamme ne ilman tämän syvällisempää analyysiä Konvektiiviset alueet Konvektiiviset liikkeet ovat kaikista tärkein tähtien aineen ja kemiallisen koostumuksen sekoitusmekanismi: aine sekoittuu perinpohjin paljon lyhyemmässä aikaskaalassa kuin muut mahdolliset mekanismit (ydinreaktioiden aiheuttama sekoittuminen radiatiivisessa alueessa, diffuusioprosessit). Konvektion vaikutuksesta eri ydinten massaosuudet homogenisoituvat nopeasti, eli päädytään tilanteeseen X i m = 0. (1.141) 38

39 Kuvassa (1.8) on skemaattisesti esitetty massaosuudet X i massan funktiona, kun massaväli m 1 < m < m 2 on konvektiivinen. Tällä massavälillä X i = X i = vakio, kun taas konvektiokerroksen ulkopuolella massaosuudet muuttuvat. Tästä voi aiheutua jyrkkiäkin massaosuuksien gradientteja rajapinnoissa m 1 ja m 2. Tähden kehittyessä konvektiokerroksen rajapinnat voivat siirtyä, joten massan raja-arvot ovat yleisesti ajan funktioita. Tällöin myös konvektiokerroksen keskimääräiset (vakiot) alkuainerunsaudet muuttuvat. Tätä muutosta kuvaa yhtälö X i t = 1 m 2 m 1 ( m2 X i m 1 t dm+ m 2 t ( Xi2 X i ) m 1 t ( Xi1 X i ) ), (1.142) missä X i1 ja X i2 ovat arvot rajapinnoissa, joita kohden runsaudet mukautuvat. Integraalin ensimmäinen termi kuvaa ydinreaktioiden aiheuttamaa massaosuuksien muutosta. Vaikka ydinreaktioita ei tapahtuisikaan, tähden kemiallinen koostumus voi silti muuttua kahden jälkimmäisen termin ansiosta, jos konvektiokerroksen rajapinta siirtyy johonkin epähomogeeniseen alueeseen. 39

40 40

41 Luku 2 Perusyhtälöiden ratkaiseminen Yhteenkoottuna meillä on nyt seuraavat tähtien rakenteen perusyhtälöt, esitettynä Lagrangen koordinaatistossa: r m = 1 4πr 2 ρ, (2.1) P m = Gm 4πr r 4πr 2 t2, (2.2) l m = ε T n c p t + δ P ρ t, (2.3) T m = GmT 4πr 4, P (2.4) X i t = m i ρ [Σ jr ji Σ k r ik ], i = 1,...,I. (2.5) Meillä on siis 4 + I osittaisdifferentiaaliyhtälöä, missä I on mukaanotettavien ydinten lukumäärä, jotka sisältävät ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaattoja massan, ja ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaattoja ajan suhteen. Yhtälöiden ratkaisemiseen riippumattomien muuttujien m ja t, 0 m M, t t 0, (2.6) missä M on tähden kokonaismassa, tarvitaan 4 + I reunaehtoa, ja saman verran alkuehtoja. Riippumattomia muuttujia on myös saman verran, niiden ollessar,p,l,t,x 1,...,X I. Näiden yhtälöiden lisäksi tarvitaan välttämättä tilanyhtälö, eli relaatio paineen, tiheyden ja lämpötilan välille. Perusyhtälöt on johdettu täysin yleisessä tapauksessa, eli on oletettu tilanyhtälö ρ = ρ(p,t,x i ). Tällöin myöskin muut relevantit termodynaamiset suureet riippuvat samoista muuttujista, eli ominaislämpökapasiteetti vakiopaineessa c P = c P (P,T,X i ), δ ( lnρ/ lnp) P = δ(t,p,x i ), adiabaattinen lämpötilagradientti ad = ad (T,P,X i ), ja Rosselandin keskimääräinen absorptiokerroin κ = κ(p,t,x i ). Myös ydinreaktioiden taajuudet ja energian tuotanto/häviö r jk, ε n ja ε ν riippuvat samoista muuttujista. Aikaisemmin olemme tarkastelleet joitain erikoistapauksia (polytroopit, ideaalikaasu), jolloin perusyhtälöt yksinkertaistuvat yleisistä muodoista. Kuhun- 41

42 kin tähden kehitysvaiheeseen sopivista tilanyhtälöistä puhutaan myöhemmin lisää kappaleissa 3 ja 4. Yhtälöt (2.1) ja (2.2) muodostavat perusyhtälöiden ns. mekaanisen osan, joka kytkeytyy ns. termoenergeettiseen osaan, eli yhtälöihin (2.3) ja (2.4), vain tiheyden kautta. Kuten edellä opimme, voi sopivilla oletuksilla myös mekaanista osaa käyttää tähtimallien laskemiseen (esim. olettamalla polytrooppinen tilanyhtälö). Yhtälöt (2.5) muodostavat ns. kemiallisen osan. Yleensä ydinaikaskaala (1.69) on paljon pidempi kuin mikään muu relevantti aikaskaala, jolloin kemiallinen koostumus voidaan olettaa vakioksi, ja kemialliset yhtälöt voidaan jättää ratkaisematta. Tällöin voidaan laskea tähtimalli tietylle kemialliselle koostumukselle X i (M). Jos ydinaikaskaala on samaa kertaluokkaa kuin muut relevantit aikaskaalat, näin ei tietenkään voida menetellä, vaan kehitysvaiheissa, jossa myös kemiallisessa koostumuksessa tapahtuu merkittäviä muutoksia, on kaikki yhtälöt ratkaistava samanaikaisesti. Joissakin tilanteissa kemiallisen koostumuksen muutokset ovat nopeampia kuin muut prosessit, jolloin riittää ratkaista X i (t), kun P ja T tunnetaan. Energiankuljetuksen merkitys tulee mukaan kuvioihin lämpötilagradientin yhtälössä (2.4). Kriteeri sille, milloin mikäkin energiankuljetusmuoto vallitsee, on johdettu edellä (1.107,1.108). Jos energiankuljetus tapahtuu säteilemällä ja/tai johtumalla, korvataan radiatiivisella lämpötilagradientilla (1.83). Jos taas energiankuljetus tapahtuu konvektiolla, on korvattava konvektioteoriasta saatavalla arvolla. Tähtien sisäosien konvektiokerroksissa, joissa tiheys on suuri, = ad, joka on esitetty aikaisemmin (1.67). Tähtien ulko-osien konvektiokerroksissa voidaan ratkaista esimerkiksi sekoituspituusteoriasta, kuten edellä on perinpohjaisesti johdettu. On huomattava myös, että lämpötilagradientin yhtälössä on eksplisiittisesti oletettu hydrostaattinen tasapaino, vaikka yhtälö (2.2) on toisaalta kirjoitettu muodossa, jossa muutokset tästä tasapainotilasta on otettu huomioon. Säteilykenttään tämä oletus pätee hyvin, koska termisen mukautumisen aikaskaala säteilylle on hyvin lyhyt. Edellä esitetty konvektioteoria on myös johdettu ajasta riippumattomassa tapauksessa, eli siinä on myös eksplisiittisesti oletettu hydrostaattinen tasapaino. Jos energiankuljetus tapahtuu konvektiolla, sekoittuu konvektiokerroksen aine hyvin tehokkaasti ja nopeasti, ja tämä on otettava huomioon yhtälöllä (1.142). Jokaiselle yhtälöryhmän aikaderivaatalle on edellä johdettu relevantti aikaskaala. Liikemäärän säilymislaissa (2.2) oleva kiihtyvyystermi ( 2 r/ t 2) /4πr 2 on pieni, jos tähden kehitys tapahtuu aikaskaalassa, joka on paljon pidempi kuin τ hydr (1.23). Tällöin liikemäärän säilymislaki redusoituu hydrostaattisen tasapainon yhtälöksi, ja tähden kehitys tapahtuu toisiaan seuraavien hydrostaattisten tasapainotilojen kautta. Tässä tilanteessa tarvitaan alkuehdot paineelle, lämpötilalle ja kemialliselle koostumukselle. Jos aikaskaala on lisäksi paljon pidempi kuin Kelvin-Helmholzin aikaskaala τ KH (1.58), ovat myös aikaderivaatat energiansäilymislaissa (2.3) niin pieniä, että ne voidaan jättää huomiotta. Tähden kehitys tapahtuu tällöin sekä mekaanisessa että termisessä, eli täydellisessä tasapainossa. Ainoa tarvittava alkuehto koskee nyt kemiallista koostumusta, ja yhtälöt voidaan erottaa rakennetta kuvaavaan osaan (yhtälöt (2.1)-(2.4) ilman aikaderivaattoja), jotka sisältävät vain osittaisderivaattoja paikan suhteen, ja kemialliseen osaan (yhtälöt (2.5), jotka sisältävät vain aikaderivaattoja. Tässä tilanteessa tähden kehitys tapahtuu toisiaan seuraavien kemialliselta koostumukseltaan vakioisten tilojen kautta, joissa tähden rakenne ratkaistaan rakenneyhtälöistä, joissa osittaisderivaatat voidaan korvata kokonaisderivaatoilla. 42

43 2.1 Reunaehdot Sopivien reunaehtojen löytäminen on tärkeä osa perusyhtälöiden ratkaisemista, ja joskus reunaehdot voivat jopa määrätä lopullisen ratkaisun ominaisuudet. Yleisesti tähden keskustan reunaehdot ovat yksinkertaiset, mutta pinnalla energiankuljetus ja yleensä kaikki prosessit, ja samalla reunaehdot, monimutkaistuvat. Seuraavassa esitetään yksinkertaisimmat vaihtoehdot reunaehdoille Reunaehdot tähden keskustassa Keskustassa m = 0 ja r = 0. Paineella ja lämpötilalla, ja sitä mukaa myös tiheydellä, täytyy olla joku nollasta poikkeava arvo, merkitään niitä T c, P c ja ρ c. Koska r = 0, on luminositeetin oltava myös nolla keskustassa, eli l = 0, ja reunaehdot ovat m = 0, r = 0, l = 0. (2.7) Etukäteen ei luonnollisesti tiedetä mitään paineen ja lämpötilan arvoista keskustassa Reunaehdot pinnalla Jos tähden pinta on radiatiivinen, voidaan ajatella paineen ja lämpötilan lähestyvän nollaa pinnalla, eli m M, P 0, T 0. (2.8) Nämä ehdot ovat realistisia vain siinä suhteessa, että ne tuottavat paljon pienemmän paineen ja lämpötilan pinnalla kuin keskustassa. Suurin osa tähden säteilystä emittoituu ympäröivään avaruuteen pinnasta, jota kutsutaan fotosfääriksi. Tämä kerros löytyy syvyydeltä, missä pinnan yläpuolella olevien kerrosten optinen syvyys τ = R κρdr = κ R ρdr = 2 3. (2.9) Tässä yhtälössä κ on keskimääräinen opasiteetti yli tähden koko atmosfäärin (ei siis sama kuin Rosselandin κ). Hydrostaattisessa tasapainossa paine tällä syvyydellä määräytyy yläpuolisen kerroksen painosta. Oletetaan, että gravitaatiokiihtyvyys on vakio yläpuolisessa kerroksessa, jolloin P r=r = R gρdr = g R ρdr. (2.10) Sijoitetaan tähän tiheyden integraali yhtälöstä (2.9), jolloin saadaan P r=r = Gm 2 1 R 2 3κ P eff. (2.11) Toisaalta, fotosfäärissä lämpötila on yhtäsuuri kuin efektiivinen lämpötila, eli T r=r = T eff, (2.12) 43

44 Kuva 2.1: Kaikki mahdolliset sis ratkaisut [ π, θ] ja ulkoratkaisut [π,θ] pisteessä m F. Paksut viivat osoittavat tasaisen ratkaisun, eli sen, jolle sisä- ja ulkoratkaisut ovat samat pisteessä m F. joka on määritelty L = 4πσR 2 T 4 eff, (2.13) missä σ = ac 4 on Stefan-Boltzmannin vakio. T eff on siten se mustan kappaleen lämpötila, joka vastaa tähden pinnan säteilyvuota. Yhtälöt (2.11) ja (2.12) muodostavat ns. fotosfääriset reunaehdot. Ne ovat huomattavasti realistisemmat kuin nollareunaehdot (2.8), vaikka on huomattavaa, että reunaehdot on johdettu lähellä tähden pintaa, missä käytetty oletus lyhyestä fotonien vapaasta matkasta (1.71) ei enää päde. Pintareunaehtojen on yleisesti oltava sellaiset, että sisäosien ratkaisu yhtyy niihin tasaisesti. Yleensä sisäratkaisua yritetään sovittaa ulkoratkaisun kanssa yhteen jollain massan arvolla m F, jonka pitäisi olla tarpeeksi suuri (vastaten tarpeeksi suurta säteen arvoa) tähden sisälla, jotta sisäosien yhtälöt ovat vielä voimassa. Toisaalta, m F ei saisi olla liian suuri (syvällä), jotta pintareunaehdoille voidaan käyttää termisen tasapainon ehtoa l = L. Mitä pienempim m F sitä vähemmän energiaa voi säilöytyä/vapautua ulkokerroksessa. Meillä on siis kahdesta vapaasta parametrista (esim. [T eff,p eff ]) muodostuva taso, joista mitä tahansa voidaan käyttää integroitaessa rakenneyhtälöitä sisäänpäin m F :n asti. Samoin, sisäosien rakenneyhtälöt voidaan integroida ulospäin m F :n asti millä tahansa kombinaatiolla [T c,p c ]-tasosta. Tarkoituksena on löytää kombinaatio, jolle ulkoratkaisu pisteessä m = m F on sama kuin sisäratkaisu tässä pisteessä. Koska pintareunaehdoille voidaan yleensä asettaa havainnoista melko tarkka arvo, yritetään sovitus yleensä löytää varioimalla lämpötilaa ja painetta tähden keskustassa. Kun rakenneyhtälöt on saatu ratkaistua, integroidaan uusi kemiallinen koostumus seuraavalla relevantilla ajanhetkellä yhtalöistä (2.5). Saadulle uudelle kemialliselle koostumukselle lasketaan sitten uusi rakenneratkaisu; kun tätä toistetaan koko tähden eliniän yli, saadaan laskettua tähden kehitysmalli, ja kaikki rakenneratkaisut eri kehitysvaiheissa. 44

45 2.2 Numeerisista ratkaisuista Tähtien rakenteen ja kehityksen yhtälöt ratkaistaan joitain erikoistapauksia (edellä käsitellyt polytroopit) lukuunottamatta numeerisesti. Varhaisimmat numeeriset mallit käyttivät juuri yllä kuvattua ampumismenetelmää, eli numeerista integrointia ylä- ja alapuolelta, arvaamalla reunaehdot keskustassa ja pinnalla, kunnes jatkuva ratkaisu löytyy. Nykypäivänä käytetään yleisemmin relaksaatiomenetelmiä, joissa integrointi suoritetaan koko massa-/sädevälin yli käyttäen äärellisten differenssien diskretisaatiota. Ratkaisua parannetaan iteroimalla, kunnes tarvittava tarkkuus saavutetaan. Yksi esimerkki tällaisesta menetelmästa on Henyey-menetelmä, joka on kuvattu KW s Toisena esimerkkinä voidaan mainita numeeriset algoritmit, jotka perustuvat Eggletonin muuttuvan hilan menetelmään. On kehitetty myös helppokäyttöisiä avoimen lähdekoodin ohjelmistoja, kuten MESA 1, jolla kuka tahansa asiasta kiinnostunut voi kokeilla tähtien kehitysmallien laskemista. 2.3 Ratkaisujen olemassaolosta ja yksiselitteisyydestä Vogt-Russell-teoreema esittää väitteen, että massa ja kemiallinen koostumus määräävät yksikäsitteisesti tähden säteen ja luminositeetin, ja siten myös koko tähden rakenteen ja kehityksen. Tämä väite voidaan todistaa vain lineaarisille differentiaaliyhtälöille, mutta epälineaarisille systeemeille väite ei yleisesti päde. Lisäksi numeeristen mallien kehittyessä on parametriavaruuksien kartoituksen yhteydessä huomattu, että useat eri parametriyhdistelmät voivat johtaa samaan ratkaisuun, ja samat parametriyhdistelmät myös eri ratkaisuihin. Tämä muotoillaan yleensä siten, että Vogt- Russell -teoreema ei päde globaalisti, tarkoittaen sitä että kaikilla massan ja kemiallisen koostumuksen jakaumilla ei ole yksikäsitteistä ratkaisua, ja että jos ratkaisu on olemassa, se ei välttämättä ole yksikäsitteinen. Tämän vuoksi on käytettävä lokaalia tarkastelua, jossa linearisoinnin avulla päästään tilanteeseen, jossa yhtälöt ovat lineaarisia, jolloin Vogt-Russell -teoreema pätee. Lokaalin analyysin pohjalta voidaan muotoilla yksikäsitteisyysehto, jolla voidaan tarkistaa saadun ratkaisun yksikäsitteisyys. Esimerkiksi pääsarjavaiheen aikaista rakennetta ja kehitystä laskettaessa Vogt-Russell -teoreema antaa pääsääntöisesti yksikäsitteisiä ratkaisuja, ja on siten käyttökelpoinen työkalu

46 46

47 Luku 3 Kaasun ominaisuudet tähdissä Tähtien rakennetta kuvaavien perussuureiden (m, r P, T ja l) joiden avulla rakenneyhtälöt on lausuttu, yhtälöissä esiintyy suureita kuten ρ, ε i ja κ. Ne kuvaavat kaasun ominaisuuksia tähdessä tietyillä paineen ja lämpötilan arvoilla ja annetulla kaasun kemiallisella koostumuksella, mutta ne eivät riipu muista perussuureista kuten m, r tai l. Niitä voidaan siten käsitellä kaasun yleisinä ominaisuuksina jotka voidaan yhtä hyvin mitata laboratoriossa siinä missä tähden sisälläkin. 3.1 Ideaalikaasu + säteily Ideaalikaasun tilanyhtälö voidaan kirjoittaa muodoissa P = nkt = R ρt, (3.1) µ jossa ρ = nµm u, k on Boltzmannin vakio ja R = k/m u universaali kaasuvakio. Jälkimmäinen on määritelty energiana kelviniä ja massayksikköä (eikä moolia) kohti jolloin keskimääräinen molekyylipaino on dimensioton luku Keskimääräinen molekyylipaino ja säteilypaine Tähtien sisäosissa kaasu on täysin ionisoitunutta jolloin jokaista vety-ydintä kohti on yksi elektroni ja jokaista helium-ydintä kohti kaksi elektronia jne. Tällöin kaasun voidaan olettaa koostuvan kahdesta komponentista: atomiytimistä (joita voi myös olla useampaa laatua) ja elektroneista. Systeemiä voidaan käsitellä yhtenä kaasuna jos kaikki sen komponentit noudattavat ideaalikaasun tilanyhtälöä. Käsitellään täysin ionisoitunutta kaasua. Kaasun kemiallinen koostumus voidaan kuvata määräämällä kaikki X i eli tyypin i atomiytimien (joiden molekyylipaino on µ i ja varausluku Z i ) massaosuudet. Jos tyypin i ytimiä on n i tilavuusyksikössä ja niiden osittaistiheys of ρ i niin on ilmeistä että X i = ρ i /ρ ja n i = ρ i µ i m u = ρ m u X i µ i. (3.2) Elektronien osuus massasta on pieni ja jätetään tässä huomiotta. 47

48 Kaasun paine on nyt summa osapaineista P = P e + ( P i = n e + n i )kt, (3.3) i i jossa P e on elektronien paine ja P i tyypin i atomiydinten osapaine. Täysin ionisoituneen alkuaineen i ytimen kontribuutio kokonaishiukkasmäärään on Z i + 1 (atomiydin + Z i elektronia). Täten n = n e + i n i = i (1+Z i )n i. (3.4) Käyttämällä tätä tulosta ja kaavaa (3.2) yhtälössä (3.3) saadaan P = nkt = R i X i (1+Z i ) µ i ρt, (3.5) joka voidaan kirjoittaa yksinkertaisessa muodossa (3.1) kun määritellään keskimääräinen molekyylipaino µ = ( i ) 1 X i (1+Z i ). (3.6) µ i Keskimääräisen molekyylipainon avulla useamman eri lajin hiukkasten seosta voidaan käsitella yhtenä ideaalikaasuna. Esimerkiksi täysin ionisoituneelle vedylle X H = 1, µ H = 1 ja Z H = 1, joten µ = 1/2 ja täysin ionisoituneelle heliumille X He = 1, µ He = 4, Z He = 2 saadaan vastaavasti µ = 4/3. Kaava (3.6) pätee myös osittain ionisoituneen (tästä myöhemmin) ja täysin neutraalin kaasun tapauksissa. Jälkimmäisessä tapauksessa vapaita elektroneja ei ole joten 1+Z i korvataan ykkösellä jolloin µ 0 = ( i X i µ i ) 1. (3.7) Määritellään vielä tulevaa käyttöä varten keskimääräinen molekyylipaino elektronia kohden, µ e. Täysin ionisoituneessa kaasussa jokainen atomiydin i tuo Z i vapaata elektronia joten µ e = ( i X i Z i µ i ) 1. (3.8) Heliumia painavammille alkuaineille voidaan karkeasti arvioida että µ i /Z i 2, saadaan µ e = [ X Y (1 X Y)] 1 = 2 1+X, (3.9) missä X = X H, Y = X He ovat vedyn ja heliumin massaosuudet. Näitä painavampien alkuaineiden osuus on siten 1 X Y. 48

49 Kaasun paineen lisäksi fotonien aiheuttama paine voi tähtien sisäosissa olla merkittävä. Säteily on hyvin lähellä mustan kappaleen säteilyä joten säteilypaine voidaan kirjoittaa muodossa P rad = 1 3 U = a 3 T4, (3.10) jossa U on energiatiheys ja a on säteilytiheysvakio. Kokonaispaine on siis kaasun paineen ja säteilypaineen summa P = P gas +P rad = R µ ρt + a 3 T4. (3.11) Kaava pätee kun on kyse ideaalikaasusta. Kaasun paineen ja säteilypaineen suhdetta kuvataan luvuilla β P gas P, 1 β P rad P. (3.12) Jos β = 1, säteilyn paine on nolla ja jos β = 0 niin kaasun paine on nolla. Kaava (3.12) pätee myös ei-ideaalisen kaasun tapauksessa Termodynaamisia suureita Kaavasta (3.11) saadaan ρ = µ 1 RT Määritelmillä saadaan ( P a 3 T4). (3.13) α = lnρ lnp, δ = lnρ lnt ja ϕ = lnρ lnµ, (3.14) α = 1 β, δ = 4 3β, ja ϕ = 1. (3.15) β Jos säteilyn paine voidaan jättää huomitta saadaan α = δ = ϕ = 1. Jos kaasun komponentit ovat yksiatomisia, sisäenergia massayksikköä kohden on u = 3 2 ktn ρ + at4 ρ = 3 R 2 µ T + at4 ρ = RT µ [ (1 β) ]. (3.16) β Ominaislämpökapasiteetti vakiopaineessa eli c P on määritellään ( ) ( ) ( ) u V u c P = +P = P ( ) ρ T T T ρ 2. (3.17) T P Käyttämällä hyväksi yhtälöä (3.16) saadaan ( ) u T P = R µ P P [ (4+β)(1 β) ] β 2. (3.18) 49 P

50 Ominaislämpökapasiteetti saadaan nyt käyttämällä δn määritelmää c P = R [ 3 µ 2 + 3(4+β)(1 β) β β ] β 2. (3.19) Adiabaattinen lämpötilagradientti voidaan nyt ratkaista säteilevälle ideaalikaasulle (kaava 1.67) ad = Rδ = 1+ βµc P 5 (1 β)(4+β) β (1 β)(4+β) β 2. (3.20) Säteilypaineen lähestyessä nollaa (β 1) saamme tutun yksiatomisen ideaalikaasun tuloksen: c P = 5R/2µ ja ad = 2/5. Toisaalta jos kaasun paine häviää (β 0), ad 1/4 ja c P. 50

51 3.2 Ionisaatio Edellä on käsitelty täysin ionisoituneen kaasun tapausta. Tämä on hyvä approksimaatio tähtien sisäosissa jossa lämpötila ja paine ovat suuria. Lähellä tähden pintaa lämpötila on paljon matalampi ja kaasu vain osittain ionisoitunutta. Esimerkiksi Auringon pinnalla valtaosa vedystä ja käytännössä kaikki helium on neutraalia. Osittainen ionisaatio vaikuttaa kaasun termodynaamisiin ominaisuuksiin kuten keskimääräiseen molekyylipainoon ja c P :hen jotka taas vaikuttavat tähden rakenteeseen Boltzmannin ja Sahan yhtälöt Käsitellään tietyn alkuaineen atomeja tietyllä ionisaatioasteella tilavuusyksikössä olettaen että termodynaaminen tasapaino pätee. Eri atomit ovat useissa viritystiloissa joihin viitataan alaindeksilla s. Lisäksi viritystilat voivat olla degeneroituneita jolloin tilan numero s koostuu g s :stä alitilasta. Luku g s on tilan statistinen paino. Tarkastellaan erityisesti tietyn atomin tiloja s ja s = 0, joka on atomin perustila, ja joiden energiaero on Ψ s siirtymiä tilasta toiseen esim. fotonien absorption tai emission takia. Tasapainotilassa tällaisia siirtymiä tapahtuu yhtä paljon molempiin suuntiin. Nyt tiloissa s ja s = 0 olevien atomien lukumäärien suhde voidaan kirjoittaa muotoon n s n 0 = g s g 0 exp{ Ψ s /kt}, (3.21) joka on kuuluisa Boltzmannin yhtälö joka kuvaa (Maxwell )Boltzmann jakaumaa. On havainnollisempaa verrata tietyn viritystilan atomien määrää kaikkiin kyseisen lajin atomeihin (eikä vain perustilaan) n = s n s. (3.22) Kertomalla kaava (3.21) g 0 :lla ja summaamalla yli kaikkien tilojen saadaan g 0 n n 0 = g 0 s=0 n s n 0 = g 0 +g 1 exp{ Ψ 1 /kt}+g 2 exp{ Ψ 2 /kt}+... u p, (3.23) missä u p on partitiofunktio. Nyt Boltzmannin yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon n s n = g s u p exp{ Ψ s /kt}. (3.24) Boltzmannin yhtälön avulla voidaan myös selvittää atomin ionisaatiotaso. Nyt on pidettävä mielessä periaatteellinen ero virittymisen ja ionisaation välillä: sidottujen elektronien viritystilojen välinen energiaero on aina diskreetti, kun taas ionisaation ylempi taso koostuu kahdesta hiukkasesta joilla jatkuva energiajakauma, ts. ionisaation jälkeen elektronilla voi olla mielivaltainen määrä kineettistä energiaa ja rekombinaation voi tapahtua mielivaltaisen kineettisen energian omaavien elektronien kanssa. Ioni on r-kertaisesti ionisoitunut kun siitä on irronnut r elektronia ja seuraavan perustilassa olevan elektronin irrottamiseen vaadittava energia on χ r. Ionisaation jälkeen elektronilla on nollasta poikkeava liikemäärä p e eli sen kineettinen energia on p 2 e/(2m e ). Verrattuna alkuperäiseen tilaansa vapaalla elektronilla on nyt energia χ r +p 2 e/(2m e ) ja atomin ionisaatioaste on r

52 Tarkastellaan yllä esitettyä tilannetta nyt lähemmin. Ionisaatiossa irronneella elektronilla on liikemäärä joka on välillä [p e,p e + dp e ]. Atomien paikkatiheydet tiloissa r ja r +1 ovat nyt n r ja dn r+1. Ylemmän tilan statistinen paino on nyt ionin (g r+1 ) ja vapaan elektronin (dg e (p e )) tilastollisten painojen tulo. Siirtymiä ylemmälle ja alemmalle tasolle esiintyy yhtä paljon. Termisen tasapainon vallitessa Boltzmannin yhtälö pätee dn r+1 = g { r+1dg(p e ) exp χ r +p 2 } e/(2m e ). (3.25) n r g r kt Paulin kieltosäännön mukaan kuusiulotteisen faasiavaruuden pienimmässä Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen sallimassa osassa dq 1 dq 2 dq 3 dp 1 dp 2 dp 3 = dvd 3 p voi olla korkeintaan 2dVd 3 p/h 3 elektronia. Täten saamme dg(p e ) = 2dVd3 p e h 3. (3.26) Elektronitiheys (kolmessa ulottuvuudessa) n e voidaan esittää muodossa dv = 1/n e. Samoten kolmiulotteisen liikemäärän kaikki välille [p e,p e + dp e ] kuuluvat pisteet ovat pallokuorella jonka säde on p e ja paksuus dp e joten d 3 p e = 4πp 2 edp e ja dg(p e ) = 8πp2 edp e n e h 3. (3.27) Nyt yhtälö (3.25) voidaan kirjoittaa muotoon dn r+1 = g r+1 8πp 2 { edp e n r g r n e h 3 exp χ r +p 2 } e/(2m e ). (3.28) kt Kaikki korkeammat energiatasot (ionisaatiotasolle r +1 perustilassa ja elektroneille millä tahansa liikemäärän arvolla) saadaan integroimalla yli p e :n. Sivuutamme tässä hankalan integraalin ja toteamme lopputuloksen n r+1 n e = g r+1 f r (T), jossa f r (T) = 2 (2πm ekt) 3/2 { n r g r h 3 exp χ } r, (3.29) kt joka on Sahan yhtälö. Käyttäen hyväksi Boltzmannin yhtälöä, Sahan yhtälö voidaan yleistää koskemaan kaikkia ionisaatio- ja viritystiloja (KW, s ). Lopputuloksena saadaan n r+1 n r n e = u r+1 u r f r (T), (3.30) jossa u r = u r (T) on r kertaa ionisoituneen atomin partitiofunktio. Käyttämällä elektronien painetta P e = n e kt Sahan yhtälö saadaan muotoon n r+1 n r P e = u r+1 u r 2 (2πm e) 3/2 h 3 (kt) 5/2 exp{ χ r /kt}. (3.31) 52

53 3.2.2 Vedyn ionisaatio Kokeillaan Sahan yhtälön soveltamista puhtaan vetykaasun tapauksessa 1. Määritellään ionisaatioaste x x = n 1 n 0 +n 1, (3.32) ts. n 1 /n 0 = x/(1 x), jossa n 0 ja n 1 ovat ionisoituneen ja neutraalin vedyn hiukkastiheydet. Neutraalille vedylle x = 0 ja täysin ionisoituneessa tapauksessa x = 1. Kaavan (3.31) oikea puoli voidaan nyt kirjoittaa muotoon xp e /(1 x). Jos n = n 0 + n 1 on kaikkien vetyatomien lukumäärä, voidaan elektronien osapaine lausua koko kaasun paineen avulla P e = n e kt = (n+n e )kt n e n+n e = P gas n e n+n e. (3.33) Jokaista ionisoitunutta vetyatomia vastaa yksi elektroni joten n e = n 1 joten P e = P gas x 1+x. (3.34) Nyt Sahan yhtälö (3.31) voidaan kirjoittaa muotoon x 2 1 x 2 = K H, jossa K H = u 1 u 0 2 P gas (2πm e ) 3/2 h 3 (kt) 5/2 exp{ χ H /kt}, (3.35) jossa χ H = 13.6 ev on vedyn ionisaatioenergia. Nyt ionisaatioaste voidaan ratkaista toisen asteen yhtälöstä 3.35 kun tunnetaan kaasun lämpötila T ja paine P gas. Tämän lisäksi tarvitaan vielä partitiofunktiot u 1 ja u 0. Usein virittyneet tilat voidaan jättää huomiotta jolloin perustilan partitiofunktio on u 0 g 0,0 = 2 (spin ylös ja spin alas) ja ionisoituneelle vedylle u 1 = 1. Kotitehtävä 12: Arvioi vedyn ionisaatioastetta x lähellä Auringon pintaa jossa P gas = Pa ja T = 5780 K, konvektiokerroksen puolivälissä (P gas = Pa, T = K) ja konvektiokerroksen pohjalla (P gas = Pa, T = K.) Aiemmin näimme (Luku 3.1) että kaasun keskimääräinen molekyylipaino riippuu ionisaatioasteesta. Määritellään nyt elektronien lukumäärä atomiydintä (ionisoitunutta tai neutraalia) kohti E = n e n = x. Nyt kaasun tiheys ρ voidaan kirjoittaa muodossa (3.36) ρ = (n+n e )µm u = nµ 0 m u = n e µ e m u, (3.37) jossa µm u, µ 0 m u ja µ e m u ovat hiukkasten keskimääräiset painot vapaata partikkelia, atomiydintä ja elektronia kohti. Käyttämällä kaavaa (3.36) voidaan tarkaista keskimääräinen molekyylipaino µ = ρ 1 m u n1+e = µ 0 1+E = µ E e 1+E, (3.38) 1 Vety Helium seosta ja yleistä tapausta käsitellään KW sivuilla

54 joka pätee myös kaasujen seoksille. Annetaan tässä muutamia tuloksia termodynaamisille suureille osittain ionisoituneen vedyn tapauksessa (tarkempi johto KW, s ): δ = 1+ 1 ( 5 2 x(1 x) 2 + χ ) H, (3.39) kt c P µ 0 R = 5 2 (1+x)+ Φ2 H G(x), Φ H = χ H kt, G(x) = 2 x(1 x 2 ), (3.40) ad = Pδ = 2+x(1 x)φ H Tρc p 5+x(1 x)φ 2. (3.41) H Kotitehtävä 13: Arvioi adiabaattista lämpötilagradienttia ad konvektiokerroksen eri syvyyksillä käyttäen tehtävässä 12 laskettuja ionisaatioasteita Sahan yhtälön pätevyysalue Sahan yhtälö pätee kun kaasu on termodynaamisessa tasapainossa joka on hyvä approksimaatio tähtien sisäosissa ja myös lokaalin termodynaamisen tasapainon (LTE) tapauksessa jossa törmäykset ovat paljon tehokkaampia kuin säteilyprosessit. Jos LTE ei ole voimassa, kuten esimerkiksi Auringon koronassa, Sahan yhtälöä ei voi käyttää. Toisaalta suurissa tiheyksissä ajaudutaan toiseen ongelmaan: Auringon keskustassa (P gas Pa, T K) Sahan yhtälö antaa vedyn ionisaatioasteeksi noin 76 prosenttia (tässä oletuksena puhdas vetykaasu mutta tämä ei ole ongelman kannalta olennaista). Paradoksi johtuu ionisaatioenergian laskusta korkeilla tiheyksillä joka taas johtuu kvanttimekaanisista efekteistä. Oletetaan edelleen puhdas vetykaasu jossa atomiydinten keskimääräinen etäisyys of d. Tällöin elektroni ei voi olla sidottu johonkin atomiin jos sen etäisyys a on samaa suuruusluokkaa tai suurempi kuin d/2. Käytetään suureita a = a 0 ν 2, ja ( ) 3 1/3 d, (3.42) 4πn H jossa a 0 = m on Bohrin säde, ν on kvanttiluku ja n H on atomiydinten paikkatiheys. Nyt ehdon a < d/2 avulla saadaan ( ) 3 1/3 ν 2 1 <. (3.43) 4πn H 2a 0 Kotitehtävä 14: Arvioi millä kvanttiluvun arvolla ehto 3.43 toteutuu lähellä Auringon pintaa (ρ kg m 3 ), konvektiokerroksen pohjalla (ρ kg m 3 ) ja ytimessä (ρ kg m 3 ). Oleta kaasu puhtaaksi vedyksi. Mitä voit päätellä tuloksista? 54

55 Suurissa tiheyksissä tapahtuvalle paineionisaatiolle ei ole olemassa tyhjentävää teoriaa. Sahan yhtälöä ei yleensä käytetä tähtien ytimissä vaan kaasu oletetaan täysin ionisoituneeksi. Karkea arvio Sahan yhtälön pätevyydelle saadaan kun vaaditaan että atomiydinten keskimääräinen etäisyys toisistaan on vähintään 10 Bohrin sädettä. Tällöin saadaan ehto ρ = µ 0 m u n ion < 3µ 0m u 4π(10a 0 ) µ 0 kg m 3. (3.44) 55

56 3.3 Degeneroitunut elektronikaasu Käsitellään kaasua tilavuudessa dv. Oletetaan että tiheys on niin suuri että paineionisaation vaikutuksesta kaasu on täysin ionisoitunutta. Elektronien paikkatiheys on n e ja elektronien kineettinen energia Boltzmannin statistiikan mukaan 3kT/2. Liikemääräavaruudessa p x,p y,p z tilavuuden dv sisältämät elektronit ovat pisteitä jotka muodostavat pallosymmetrisen pilven. Liikemäärän itseisarvonp(p 2 = p 2 x+p 2 y+p 2 z) avulla elektronien määrä pallokuorella [p,p+dp] on Boltzmannin jakauman mukaan 4πp 2 } f(p)dpdv = n e exp { p2 dpdv. (3.45) (2πm e kt) 3/2 2m e kt Lasketaan nyt lämpötilaa T ja oletetaan että n e = vakio. Jakauman maksimi siirtyy nyt kohti pienempää liikemäärää koska p max = (2m e kt) 1/2 ja f(p):n maksimi kasvaa koska n e = 0 f(p)dp. Kun elektronit kasaantuvat pienille liikemäärän arvoille, kvanttimekaaniset efektit alkavat tulla peliin mukaan, ts. liikemäärällä on vain tietty määrä sallittuja tiloja Paulin kieltosäännön takia. Tarkemmin ottaen fermioneille (kuten elektronit) jokainen kuusiulotteinen kvanttisolu dp x dp y dp z dv = h 3 voi sisältää kaksi elektronia. Niinpä pallokuori [p,p+dp] sisältää 4π 2 p 2 dpdv/h 3 kvanttisolua joka voi sisältää 8π 2 p 2 dpdv/h 3 elektronia. Saadaan kvanttimekaaninen ehto joka toteaa että f(p)dpdv 8π 2 p 2 dpdv/h 3, (3.46) ja joka antaa ylärajan f(p):lle. Yhtälö (3.45) ajautuu ristiriitaan (3.46):n kanssa riittävän matalissa lämpötiloissa. Toisaalta sama ristiriita ilmenee jos T = vakio ja tiheys n e kasvaa. Kun kvanttimekaaninen ehto joudutaan ottamaan huomioon sanotaan että kaasu degeneroituu Täysin degeneroitunut elektronikaasu Käsitellään tapausta jossa T = 0 jolloin kaikilla elektroneilla on pienin mahdollinen energia. Täysin degeneroituneessa kaasussa kaikissa kvanttitiloissa tiettyyn liikemäärän arvoon p F on kaksi elektronia ja kaikki tilat p F :n yläpuolella ovat tyhjiä: f(p) = 8πp2 h 3, p p F (3.47) f(p) = 0, p > p F. (3.48) Tilavuudessa dv on nyt n e dv = dv pf 0 8πp 2 dp h 3 = 8π 3h 3p3 FdV (3.49) elektronia. Jos elektronien tiheys n e tiedetään, kaavasta (3.49) saadaan Fermin liikemäärä p F ne 1/3. Ei-relativistisille elektroneille saadaan Fermin energia E F = p 2 F /(2m e) joka on Paulin kieltosäännön takia nollasta poikkeava vaikka elektronikaasun lämpätila on nolla. n 2/3 e 56

57 Suurissa tiheyksissä p F voi kasvaa niin suureksi että elektronien nopeus v alkaa lähentelemään valonnopeutta c. Tällöin tulee käyttää erityisen suhteellisuusteorian yhtälöitä liikemäärälle p ja kokonaisenergialle E tot p = E tot = m e v 1 v 2 /c2, (3.50) m e c 2 1 v 2 /c = m ec 2 1+ p2 2 m 2 2, ec (3.51) jossa m e on elektronin lepomassa. Näistä voidaan laskea (1/c) E tot / p = v/c. Jatkossa tulee erottaa kokonaisenergia E tot ja kineettinen energia E: E = E tot m e c 2. (3.52) Paine käsitetään liikemäärän vuona pinta-ala elementin läpi sekunnissa. Tarkastellaan pintaelementtiä dσ jolle on normaali n. Mielivaltainen suuntavektori s tekee kulman ϑ normaalin n kanssa. Lasketaan montako elektronia joiden liikemäärä on väliltä [p, p + dp] läpäisee dσn pieneen avaruuskulmaan dω s suunnassa s. Pintaelementin kohdalla on f(p)dpdω s /(4π) elektronia tilavuusyksikössä joilla on sopiva p (magnitudi ja suunta). Nyt f(p)dpdω s v(p)cosϑdσ/(4π) elektronia läpäisee pintaelementin dσ avaruuskulmaan dω s joka sekunti. Tässä v(p) on nopeus (3.50) ja kerroin cosϑ johtuu siitä että elektronit näkevät vain pintaelementin dσ projektion. Nyt siis jokainen elektroni vie liikemäärän p suuntaan s jonka komponentti suuntaan n on p cos ϑ. Koko liikemäärävuo saadaan integroimalla yli kaikkien suuntien s joista koostuu puolipallo ja yli kaikkien liikemäärän arvojen p. Nyt elektronien paineeksi saadaan P e = 2π 0 f(p)v(p)pcos 2 ϑdpdω s /(4π) = 8π 3h 3 pf 0 p 3 v(p)dp, (3.53) jossa on käytetty hyväksi kaavaa (3.47) ja tietoa että cos 2 ϑ:n integraali yli puolipallon on 4π/3. Pintaelementin dσ orientaatiolla ei ole merkitystä sillä elektronikaasun paine on isotrooppinen koska f on pallosymmetrinen liikemääräavaruudessa. Yhtälön (3.50) avulla saadaan jossa P e = 8πc pf 3h 3 p 3 p/(m e c) 0 [1+p 2 /(m 2 ec 2 )] 1/2dp = 8πc5 m 4 x e ξ 4 dξ 3h 3 0 (1+ξ 2 ) 1/2, (3.54) ξ = p/(m e c), x = p F /(m e c). (3.55) Integraali voidaan periaatteessa laskea auki (tai helpommin tarkistaa taulukoista) x 0 ξ 4 dξ (1+ξ 2 ) 1/2 = 1 { } x(2x 2 3)(x 2 +1) 1/2 +3ln[x+(1+x 2 ) 1/2 ] f(x) 8 8. (3.56) Nyt elektronikaasun paineeksi saadaan P e = πc5 m 4 e 3h 3 f(x). (3.57) 57

58 Elektronien paikkatiheys on kaavan (3.49) avulla n e = ρ µ e m u = 8πm3 ec 3 3h 3. (3.58) Tarkastellaan vielä elektronikaasun sisäenergiaa yksikkötilavuudessa U e = pf 0 f(p)e(p)dp = 8π pf h 3 E(p)dp, (3.59) 0 jossa on käytetty kaavoja (3.51) ja (3.52). Integroinnin jälkeen saadaan U e = πm4 ec 5 3h 3 g(x), (3.60) jossa g(x) = 8x 3[ ] (x 2 +1) 1/2 1 f(x). (3.61) Ei-relativistinen tapaus Kaavan (3.50) avulla saadaan x = v F /c (1 vf 2/c2 ) 1/2, (3.62) jossa vauhtiv F vastaa liikemäärääp F. Pienilläx:n arvoilla nopeimpien elektronien nopeus on paljon pienempi kuin valonnopeus, ts. v F c. Raja-arvot f(x):lle ja g(x):lle x:n lähestyessä nollaa ovat x 0 : f(x) 8 5 x5, g(x) 12 5 x5. (3.63) Kaavojen (3.57) ja (3.58) avulla saadaan täysin degeneroituneen ei-relativistisen kaasun tilanyhtälö: P e = K 1 ( ρ µ e ) 5/3, (3.64) jossa K 1 = 1 20 ( ) 3 2/3 h 2 π m e mu 5/3, (3.65) ja ρ = n e µ e m u. Paineen ja sisäenergian välille saadaan relaatio P e = 2 3 U e. (3.66) 58

59 Relativistinen tapaus Suurilla x:n arvoilla nopeimpien elektronien nopeus lähestyy valonnopeutta, ts. v F c. Raja-arvot f(x):lle ja g(x):lle ovat nyt x : f(x) 2x 4, g(x) 6x 4. (3.67) Täysin degeneroituneen relativistisen kaasun tilanyhtälö on: P e = K 2 ( ρ µ e ) 4/3, (3.68) jossa K 2 = Lisäksi saadaan ( ) 3 1/3 hc π 8mu 4/3. (3.69) P e = 1 3 U e. (3.70) Osittain degeneroitunut kaasu Edellä on käsitelty joko täysin degeneroitumatonta (ideaalikaasu) tai täysin degeneroitunutta tapausta jossa lisäksi T = 0. Todellisuudessa tilanne on kuitenkin jotain tältä väliltä. Tällöin elektronit seuraavat degeneroituneen kaasun jakaumaa pienillä liikemäärän arvoilla ja sulautuvat Boltzmannin jakauman häntään suurilla liikemäärillä. Tällöin elektronit seuraavat Fermi Dirac jakaumaa f(p)dpdv = 8πp2 dpdv h exp{E/kT ψ}, (3.71) jossa ψ on degeneraatioparametri. Rajatapauksina saadaan edellä käsitellyt Boltzmannin (ψ saa suuria negatiivisia arvoja) jakauma ja täysin degeneroituneen (ψ saa suuria positiivisia arvoja) kaasun tapaukset (KW, s ) Yhteenveto Huomattavaa on että täysin degeneroituneessa tapauksessa kaasun paine riippuu vain tiheydestä mutta ei lämpötilasta toisin kuin ideaalikaasulle. Degeneraatio voi tapahtua myös neutroneille ja protoneille jotka ovat myös fermioneja. Kaasun degeneraatioastetta kuvaa sen faasiavaruuden tilavuusalkion koko dp x dp y dp z dv ja jolla on alaraja h 3. Ideaalikaasussa kaikilla (erimassaisilla) hiukkasilla on sama liike-energia: m 1 v 2 1 = m 2 v 2 2. (3.72) Liikemäärien suhteeksi saadaan p 1 p 2 = ( m1 m 2 ) 1/2. (3.73) 59

60 Merkitään nyt dp i,j = m i (v 2 i,j ), jossa i = 1,2; j = x,y,z ja v i,j on root mean square nopeus (rms) joka on hyvä approksimaatio nopeushajonnalle dv i,j. Kaavan (3.73) avulla saadaan dp 1,x dp 1,y dp 1,z dp 2,x dp 2,y dp 2,z = ( m1 m 2 ) 3/2. (3.74) Degeneraatioaste siis pienenee verrannollisena m 3/2 :een. Sijoitetaan neutronin ja elektronin massat jolloin saadaan ( mn ) 3/ (3.75) m e Nähdään että tarvitaan lähes 10 5 kertaa suurempi tiheys jotta neutronit alkavat degeneroitumaan. Niinpä vaikka elektronit olisivatkin täysin degeneroituneita, ionit tottelevat edelleen Boltzmannin jakaumaa. Degeneroitumisesta seuraa että elektronien liikemäärä on paljon suurempi kuin mitä se olisi Boltzmannin jakaumassa vastaavassa lämpötilassa. Tämän takia täysin degeneroituneen elektronikaasun paine on paljon suurempi kuin ionien paine, ts. P e P i joten P gas P e. 3.4 Kaasun tilanyhtälö tähdissä Voimme nyt kirjoittaa yleisen (implisiittisen) kaasun tilanyhtälön jossa otetaan huomioon kaikki edellä käsitellyt efektit, ts. ideaalikaasu, mahdollinen degeneroituminen ja säteily: P = P ion +P e +P rad = R ρt + 8π µ 0 3h 3 ρ = 4π h 3(2m e) 3/2 m u µ e 0 p 3 dp v(p) exp{e/kt ψ}+1 + a 3 T4, (3.76) 0 E 1/2 de exp{e/kt ψ}+1, (3.77) Jos tunnetaan ρ ja T, ψ voidaan laskea kaavasta (3.77). Tämän jälkeen ρ:n, T:n ja ψ:n avulla voidaan laskea P yhtälöstä (3.76). Lisäksi voidaan kirjoittaa sisäenergian yhtälö massayksikköä kohti u = U ion +U e +U rad ρ = 3 R T + 8π 2µ 0 h 3 ρ 0 p 2 E(p)dp exp{e/kt ψ}+1 + at4 ρ. (3.78) Nyt termodynaamiset suureet δ, c P ja ad voidaan periaatteessa ratkaista yhtälöiden (3.76), (3.77) ja (3.78) avulla. Käytännössä tämä tapahtuu numeerisesti koska analyyttisiä ratkaisuja ei tunneta Kiteytyminen Edellä on oletettu ionien muodostavan ideaalikaasusta jolloin hitujen väliset vuorovaikutukset on jätetty huomiotta. Korkeissa tiheyksissä ja matalissa lämpötiloissa Coulombvuorovaikutukset tulevat merkittäviksi ja vapaasti liikkuvan ionit alkavatkin järjestäytyä jäykkään hilaan joka minimoi niiden energian. Tämä efekti tulee merkittäväksi kun terminen energia 3kT/2 on samaa suuruusluokkaa kuin ionin sähköstaattinen energia kun 60

61 sillä on varaus Ze. Määritellään tilavuus ionia kohti V ion siten että n ion V ion = 1 ja ionien keskimääräinen etäisyys on r ion. Näistä saamme V ion = 4πrion 3 /3. Määritellään suure Γ C = (Ze)2 r ion kt, (3.79) joka kuvaa efektin voimakkuutta. Jos Γ C 1, Coulomb-vuorovaikutukset ovat heikkoja ja ionit seuraavat Maxwellin nopeusjakaumaa. Vastaavasti jos Γ C 1, ionien kineettinen energia on mitätön ja ne muodostavat jäykän hilan. Tarkemmat laskelmat osoittavat että kriittinen arvo on suuruusluokkaa Γ C 100. Käyttämällä relaatiota ρ = µ 0 m u n ion saadaan yhtälö ns. sulamislämpötilalle T m Z2 e 2 Γ C k ( 4πρ 3µ 0 m u ) 1/3. (3.80) Tähtien ytimissä tiheys on suuri mutta lämpötila paljon sulamislämpötilaa korkeampi. Efektillä on merkitystä lähinnä jäähtyvissä valkoisissa kääpiöissä joissa lämpötila laskee mutta tiheys pysyy jotakuinkin vakiona Neutronisaatio Jos plasman elektroneilla on tarpeeksi energiaa ne voivat yhtyä protoneihin ja muodostaa neutroneita. Tarkemmin ottaen elektronilla täytyy olla energia E tot > E = c 2 (m n m p ), jossa m n ja m p ovat neutronin ja protonin massat. Normaaleissa tiheyksissä neutroni on epävakaa ja hajoaa takaisin protoni-elektroni pariksi jolloin elektronilla on kokonaisenergia E ja liike-energia E (kin) = E m e c 2. Tilanne muuttuu jos kaasu on degeneroitunutta ja kaikki energiatilat Fermin energiaan E F asti on miehitetty. Jos Fermin energia E F on suurempi kuin elektronin kineettinen energia E (kin), elektronille ei ole tilaa faasiavaruudessa ja neutroni ei voi hajota. Tällöin Fermin meri on stabiloinut normaalisti epävakaat neutronit. Kirjoitetaan nyt elektronien liikemäärä kaavan (3.51) avulla muotoon: p = 1 c (E2 m 2 ec 4 ) 1/2. (3.81) Asetetaan nyt E = E kin +m e c 2 = E F +m e c 2 = c 2 (m n m p ) ev voidaan määrittää Fermin liikemäärä kaavalla (3.81). Tästä saadaan x = p F /(m e c 2 ) 2.2, jota voidaan käyttää yhtälössä (3.58). Lisäksi otetaan ρ = µ e m u n e ja µ e = 2, jolloin saadaan lopulta ρ kg m 3. Tätä suuremmilla tiheyksillä protoni-elektroni kaasu muuttuu neutronikaasuksi (neutronisaatio). Todellisuudessa tilanne on mutkikkaampi koska kaasu sisältää myös raskaampia atomiytimiä jotka voivat kaapata elektroneja käänteisessä β-hajoamisessa jolloin syntyy neutronirikkaita atomiytimiä. Tähän tosin vaaditaan entistä korkeampi tiheys. Lopulta raskaimpiin atomiytimiin kertyy niin paljon neutroneja että ne alkavat vuotaa ytimestä. Tämä prosessi alkaa noin tiheydessä ρ kg m 3. 61

62 62

63 Luku 4 Energian tuotanto ydinreaktiolla Radiatiivisessa tasapainossa olevassa kerroksessa, jossa L r ei ole vakio säteen r suhteen, meidän on tiedettävä energiantuotantokerroin ε(r), jotta voimme ratkaista tähden rakennetta kuvaavat yhtälöt. Sitä varten tutkimme seuraavaksi tärkeintä energian lähdettä tähdissä eli ydinreaktioita. Gravitaatiokutistumista on käsitelty jo aiemmin eikä siihen palata tässä. 4.1 Yleistä asiaa ydinreaktioista Suurin osa havaituista tähdistä tuottaa energiansa fuusioimalla kevyitä atomiytimiä raskaammiksi. Tätä kutsutaan myös lämpöydinreaktioiksi koska se tapahtuu vain suurissa lämpötiloissa (vrt. fissio joka ei riipu lämpötilasta). Fuusiossa reaktioon osallistuvien ytimien massa ( M j ) on eri kuin syntyvän ytimen M y. Massojen erotusta kuvaa massavaje M = j M j M y, (4.1) joka vapautuu energiana Einsteinin kaavan E = Mc 2 (4.2) mukaan. Yksinkertaisin esimerkki on vedyn palaminen jossa neljä vetyatomia 1 H joiden massa on m u fuusioituu heliumytimeksi 4 He jonka massa on m u. Reaktiossa häviää m u massaa joka on noin 0.7% alkuperäisestä massasta ja vastaa 26.5 MeV energiaa. Massavaje kuvastaa eri atomien erilaisia sidosenergioita E B. Sidosenergialla kuvataan energiaa joka vaaditaan atomiytimen protonien ja neutronien erottamiseksi toisistaan voimakkaiden mutta lyhytkantoisten ydinvoimien vaikutuspiiristä. Toisaalta voidaan ajatella että sidosenergia voidaan vapauttaa tuomalla atomiytimen nukleonit yhteen äärettömän kaukaa. Käsitellään nyt atomiydintä jonka massa on M nuc ja jolla on massaluku A (ts. protonien ja neutronien lukumäärä). Ytimellä on Z protonia massaltaan m p ja (A Z) neutronia massaltaan m n. Sidosenergia saadaan kaavalla: E B = [(A Z)m n +Zm p M nuc ]c 2. (4.3) 63

64 Verrattaessa eri atomeja on kätevämpää käsitellä keskimääräistä sidosenergiaa nukleonia kohti f = E B A. (4.4) Vetyä lukuunottamatta f on lähellä 8MeV:tä, riippuen vain heikosti A:sta. Tämä johtuu ydinvoimien lyhyestä kantamasta eli nukleonit tuntevat vain lähimpien naapureiden vaikutuksen. Sidosenergia saa maksiminsa raudan 56 Fe kohdalla, ts. tämä on kaikista lujimmin sidottu atomiydin eli sillä on pienin massa nukleonia kohti. Kaikki reaktiot joissa mennään kohti rautaa (ts. fuusioidaan rautaa kevyempiä tai fissioidaan sitä raskaampia ytimiä) vapauttavat energiaa. Rauta on siis tähden ydinreaktioiden luonnollinen päätepiste. Jos tähti koostuu alunperin pelkästä vedystä 1 H, tähti voi maksimissaan ulosmitata 8.5 MeV per nukleoni fuusioimalla kaiken vedyn raudaksi 56 Fe. Huomaa tosin että ensimmäisessä reaktiossa vedystä heliumiksi vapautuu jo 6.6 MeV per nukleoni. Jotta ydinreaktiot ovat mahdollisia atomiydinten täytyy läpäistä sähköstaattinen Coulombin potentiaali joka pyrkii pitämään samanmerkkiset varaukset erossa toisistaan. Coulombin potentiaali on verrannollinen hiukkasten varauksiin (Z 1,Z 2 ) ja kääntäen verrannollinen niiden väliseen etäisyyteen r, ts. E Coulomb Z 1Z 2 e 2, (4.5) r jossa e on alkeisvaraus. Jotta ydinreaktioita voisi tapahtua, etäisyyden d täytyy olla atomiytimen suuruusluokkaa. Tämä on noin r 0 = A 1/3 m. Coulombin vallin korkeus on noin E(r 0 ) Z 1 Z 2 MeV. (4.6) Käytetään hyväksi tietoa että 1 kev vastaa lämpötilaa T = K, ts. tässä lämpötilassa hitujen keskimääräinen energia on yksi kev. Klassisesti atomiydinten energian täytyisi ylittää Coulombin valli jotta fuusiota tapahtuisi. Näyttää myös siltä että reaktiot tähtissä ovat suhteellisen hitaita (koska tähdet eivät räjähdä ydinreaktioiden vaikutuksesta), Coulombin valli on selvästi korkeampi kuin atomiydinten keskimääräinen energia E th. Esim. Auringon keskustassa T 10 7 K joten E th 10 3 ev, joka on noin 10 3 kertaa pienempi kuin Coulombin valli kahdelle vetyatomille. Klassisen mekaniikan perusteella ydinrekatioita ei tapahtuisi käytännössä koskaan ainakaan maailmankaikkeuden eliniän aikana (Maxwellin jakaumasta saatava todennäköisyys on suuruusluokkaa ). Avuksi tulee kvanttimekaaninen tunneloituminen jossa atomiytimellä on pieni mutta äärellinen todennäköisyys läpäistä Coulombin valli vaikka sen energia on selvästi tätä pienempi. Tunneloitumistodennäköisyys on ( m ) 1/2 P 0 = p 0 E 1/2 2πZ1 Z 2 e 2 exp{ 2πη}; η = 2 he 1/2, (4.7) jossa m on atomiydinten redusoitu massa. Kerroin p 0 riippuu vain törmäävistä ytimistä mutta ei lämpötilasta tai niiden varauksista. Nähdään että todennäköisyys kasvaa energian E kasvaessa ja pienenee ydinten varausten kasvaessa, ts. tunneloituminen on helpompaa kevyille ytimille ja raskaampien ytimien tapauksessa tarvitaan suurempia lämpötiloja. Tämän takia eri ydinreaktiot usein tapahtuvat varsin hyvin rajatuissa alueissa tähtien sisällä. Auringon keskustassa tunneloitumistodennäköisyys kahden protonin törmäyksessä on suuruusluokkaa joka on riittävä havaitun luminositeetin tuottamiseen. 64

65 4.2 Tärkeimpiä ydinreaktioita Vedyn palaminen: pp ketju Tärkein tähdissä toimiva ydinreaktio on vedyn fuusioituminen heliumiksi. Tämä voi tapahtua kahden eri prosessin avulla. Ensimmäinen näistä on pp ketju jossa neljä vetyatomia fuusioituu heliumiksi ilman muita reaktiossa tarvittavia ytimiä. Reaktiota kutsutaan pp ketjuksi, koska se itse asiassa koostuu kolmesta osareaktiosta. Lisäksi pp ketjussa on kolme haaraa joille kaksi ensimmäistä reaktiota ovat samat: 1 H+ 1 H 2 H+e + +ν, (4.8) 2 H+ 1 H 3 He+γ, (4.9) jossa e + on positroni, ν on neutriino ja γ on gammakvantti. Ensimmäinen reaktion on harvinainen ja tapahtuu satunnaiselle vety-atomille noin kerran vuodessa. Voi tapahtua myös (vielä) harvinaisempi reaktio 1 H+ 1 H+e 2 H+ν. (4.10) Auringossa 99.75% vedystä kulkee reaktion (4.8) kautta ja (4.10):n osuus on vain 0.25%. Ensimmäisessä reaktiossa syntyvä positroni annihiloituu pian elektronin kanssa synnyttäen gamma-fotonin. Toisessa reaktiossa deuteroni ja protoni yhdistyvät muodostaen 3 He-atomin ja jälleen sivutuotteena syntyy gamma-fotoni. Vakaan 4 He-ytimen muodostumiseen johtaa kolme eri reittiä ja jotka kaikki alkavat 3 He-ytimistä: ppi haara: 3 He+ 3 He 4 He+2 2 H. (4.11) ppii haara: 3 He+ 4 He 7 Be+γ, (4.12) 7 Be+e 7 Li+ν, (4.13) 7 Li+ 1 H 4 He+ 4 He. (4.14) ppiii haara: 3 He+ 4 He 7 Be+γ, (4.15) 7 Be+ 1 H 8 B+γ, (4.16) 8 B 8 Be+e + +ν, (4.17) 8 Be 4 He+ 4 He. (4.18) Kahden ensimmäisen reaktion täytyy tapahtua kaksi kertaa ppi haarassa ja vain kerran muille haaroille. Reaktiossa vapautuva energia 4 He ydintä kohti on MeV (ppi), MeV (ppii) ja MeV (ppiii). Eri haarojen suhteellinen tärkeys riippuu kaasun kemiallisesta koostumuksesta, lämpötilasta ja tiheydestä. Matalilla lämpötiloilla (T 10 7 K) ppi haara on tehokkain. Lämpötilan kasvaessa ppii haara tehostuu ja alkaa dominoida kun T K. Haaroissa II ja III muodostuu 4 He jokaisesta 1 H+ 1 H-reaktiosta (eikä vain joka toisesta kuten ppi:lle). Vielä suuremmilla lämpötiloilla ppiii on pääasiallinen energiantuottaja. Auringossa eri pp ketjun haarojen prosenttiosuudet ovat 91% (ppi), 9% (ppii) ja 0.1% (ppiii). 65

66 4.2.2 Vedyn palaminen: CNO sykli CNO- tai hiilisyklissä vety palaa niinikään heliumiksi. CNO sykli on tehokkaampi kuin pp ketju kun lämpötila ylittää noin T = K (tai tähden massa on suurempi kuin 1.5M ). Prosessin nimi tulee hiilestä (C), typestä (N) ja hapesta (O) jotka toimivat reaktion kalysaattoreina: 12 C+ 1 H 13 N+γ, (4.19) 13 N 13 C+e + +γ, (4.20) 13 C+ 1 H 14 N+γ, (4.21) 14 N+ 1 H 15 O+γ, (4.22) 15 O 15 N+e + +γ, (4.23) 15 N+ 1 H 12 C+ 4 He, (4.24) CNO syklissä on myös toinen haara (jonka esiintymistodennäköisyys on noin 10 4 verrattuna päähaaraan) joka saadaan kun korvataan (4.24) reaktioketjulla: 15 N+ 1 H 16 O+γ, (4.25) 16 O+ 1 H 17 F+γ, (4.26) 17 F 17 O+e + +γ, (4.27) 17 O+ 1 H 14 N+ 4 He. (4.28) CNO syklissä vapautuva energia on MeV nukleonia kohti. Näistä reaktio (4.22) on hitain ja määrittää syklin tapahtumisnopeuden. Lämpötilassa T = K (4.22) tapahtuu satunnaiselle typpiatomille noin muutamassa miljoonassa vuodessa. Reaktio toimii pullonkaulana ja lähes kaikki hiili, typpi ja happi-ytimet muuttuvat 14 N-ytimiksi (jotka odottavat muuttumistaan 15 O:sta) syklin päästyä vauhtiin. Energiantuotantokertoimella ε on monimutkainen riippuvuus lämpötilasta, tiheydestä ja kemiallisesta koostumuksesta johon ei puututa tässä kovin syvällisesti. Usein näitä approksimoidaan kaavalla ε = ε 0 ρ λ T µ, (4.29) jossa eksponentit kuvaavat energiantuoton riippuvuuttaa tiheydestä ja lämpötilasta. pp ketjulle λ = 1 ja µ 4 ja vastaavasti CNO syklille λ = 1 ja µ 16. Nähdään että lämpötilariippuvuus on paljon merkittävämpi CNO-syklille kuin pp ketjulle Heliumin reaktioita Suurissa lämpötiloissa ( 10 8 K) helium-ytimet alkavat fuusioitua keskenään ns. kolmoisalfa-reaktiossa: 4 He+ 4 He 8 Be, (4.30) 8 Be+ 4 He 12 C+γ. (4.31) Ensimmäinen reaktio on endoterminen eli se kuluttaa energiaa. Beryllium-atomi hajoaakin normaalitapauksessa takaisin kahdeksi helium ytimeksi noin s kuluttua. Tämä kuitenkin on noin 10 5 kertaa pidempi aika kuin siroamisen aikaskaala jolloin beryllium ydin ehtii kaapata α hiukkasen ja muodostaa hiiltä. Reaktiossa vapautuu MeV 66

67 hiiliydintä kohti. Kolmoisalfareaktio on hyvin herkkä lämpötilanvaihteluille ja sille eksponentti µ on jopa 40. Kun kolmoisalfareaktiolla on syntynyt tarpeeksi 12 C:tä, voi tapahtua lisääα-sieppauksia: 12 C+ 4 He 16 O+γ, (4.32) 16 O+ 4 He 20 Ne+γ, (4.33)..., mutta näissä harvoin syntyy Neonia raskaampia alkuaineita Hiilen ja raskaampien aineiden palaminen Vielä korkeammissa lämpötiloissa (T K) 12 C alkaa fuusioitumaan: 12 C+ 12 C 24 Mg+γ, (4.34) 23 Mg+n, (4.35) 23 Na+p, (4.36) 20 Ne+ 4 He, (4.37) 16 O+2 4 He, (4.38) jossa n on neutroni, p on protoni ja eri haaroilla on hyvin erilaiset esiintymistodennäköisyydet (eksotermiset reaktiot jotka tuottavat 23 Na:ia ja 20 Ne:ia ovat todennäköisimmät). Kun lämpötila on T 10 9 K, happi alkaa fuusioitua 16 O+ 16 O 32 S+γ, (4.39) 31 P+p, (4.40) 31 S+n, (4.41) 28 Si+ 4 He, (4.42) 24 Mg+2 4 He, (4.43) ja jossa vastaavasti todennäköisyydet eri haaroille vaihtelevat suuresti. Hajoaminen emittoimalla protonin tai α-hiukkasen ovat yleisimmät. Vapaat protonit, neutronit ja α- hiukkaset kaapataan pian muihin atomeihin josta seuraa suuri määrä sekundäärisiä reaktioita. Korkeissa lämpötiloissa kaasun fotonit ovat niin energeettisiä että myös ne voivat hajottaa atomiytimiä. Tätä voidaan kuvat analogisesti ionisaation kanssa mutta yksityiskohdat ovat paljon mutkikkaampia ja systeemi on harvoin tasapainossa. Hapen palamisesta ja sekundäärisista reaktiosta syntyy myös piitä joka fuusioituu nikkeliksi ja raudaksi joka on fuusioreaktioiden päätepiste: 28 Si+ 28 Si 56 Ni+γ, (4.44) 56 Ni 56 Fe+2e + +2ν, (4.45) reaktiot ovat todellisuudessa paljon mutkikkaampia mutta tässä sivuutamme ne. 67

68 68

69 Luku 5 Tähtien varhainen kehitys Käymme ensin läpi prototähden kehityksen, eli tähtienvälisen aineen kutistumisen harvasta kaasupilvestä lähes vapaan putoamisen aikaskaalassa siihen vaiheeseen, jossa kaasun paine lopulta pysäyttää luhistumisen. Sen jälkeen käsittelemme kutistumisen termisessä aikaskaalassa, jolloin puhutaan esipääsarjan eli PMS tähdestä (PMS = Pre Main Sequence). PMS vaihe päättyy, kun vedyn ydinreaktiot tuottavat pääosan tähden luminositeetista, jolloin tähden sanotaan saavuttaneen pääsarjan. 5.1 Prototähdet Tähden kehitys alkaa tähtienvälisessä pilvessä, joka koostuu kaasusta ja pölystä. Ne ovat sekoittuneena keskenään, ja kaasua on noin 99% aineen kokonaismassasta. Kaasun massasta on noin 70% vetyä ja lähes 30 % heliumia. Näiden lisäksi on muutama prosentti raskaampia alkuaineita (tähtien spektroskopiassa puhutaan yleisesti metalleista, vaikkeivat kaikki heliumia raskaammat aineet olekaan metalleja sanan varsinaisessa merkityksessä). Kaasu on ainakin osittain molekyylimuodossa. Vedyn (H 2 ) lisäksi on löydetty mm. hiilimonoksidia (CO), hydroksyyliradikaali OH ja ammoniakkia NH 3. Näiden osuus on kuitenkin vain murto osa vedyn osuudesta. Kaiken kaikkiaan tähtienvälisestä aineesta on löydetty jo yli 200 erilaista molekyylia. Kylmissä tähtienvälisissä pilvissä pölyhiukkasilla otaksutaan olevan jäävaippa, joka sisältää pääasiassa vettä (H 2 O), CO:ta, sekä hiilidioksidia (CO 2 ). Lisäksi jää sisältää mm. metaania (CH 4 ) ja ammoniakkia (NH 3 ). Pölyhiukkasten ydinosa koostuu silikaattija grafiittiyhdisteistä Tähtienvälisen pilven luhistuminen Prototähden luhistuminen oman gravitaatiokenttänsä vaikutuksesta edellyttää materialta paljon suurempaa tiheyttä kuin tähtienvälisissä pilvissä havaittu keskitiheys, joka on luokkaa 10 6 vetyatomia m 3, eli n kgm 3. Riittävän suuren alkutiheyden lisäksi luhistuminen edellyttää jonkinlaista alkusysäystä, joka puristaa epästabiilissa tasapainotilassa olevaa pilveä. Tällaisen sysäyksen saattaa aiheuttaa esimerkiksi supernovaräjähdys tai säteilypaineen muutos pilven lähellä olevassa kohteessa. Johdamme nyt ehdon tarvittavalle massalle, jotta pilvi luhistuisi gravitaation vaikutuksesta. Tehtävänä on siis etsiä pilvelle epästabiili tasapainotila, josta poikkeutettu 69

70 pilvimassa jatkaa ulkoisen sysäyksen alkuunpanemaa luhistumisprosessia. Saamme tällaista tilaa vastaavalle ns. Jeansin massalle suuruusluokka arvion lähtemällä oletuksista, että massa on pallosymmetrisesti jakautunut ja tiheys ρ(r) on vakio. Lasketaan ensin gravitaatiopotentiaali Ω pilvelle, jonka massa on M, säde R, ja tiheys ρ(r) on vakio: Ω ρ=vakio = M 0 GM R r dm r = G r πr3 ρ r 4πr 2 ρdr = G 16π2 3 ρ2r5 5 = 3 GM 2 5 R. (5.1) Vaadittava massa voidaan periaatteessa laskea viriaaliteoreeman avulla, olettamalla, että aine pilvessä on jonkin (harvemman) pilven sisällä. Niinpä aiemmin johdettu muoto viriaaliteoreemalle ei kelpaa, koska paine pinnalla ei ole = 0. Viriaaliteoreeman yhteydessä esitettiin mahdollisuus että P o > 0. Johdetaan teoreema nyt tässä yleisemmässä tapauksessa. Meillä on kaasun sisäisen energian lauseke muodossa: U = 3 [ ] 4π R 2 3 r3 P 3 Po 2 0 P c 4π 3 r3 dp, (5.2) jossa jälkimmäinen termi tulee samaan muotoon kuin alkuperäisessä viriaaliteoreemassa, kun teemme siinä sijoitukset dp dr dm r, sillä yläraja integraalissa, M r (P o ) = M, pysyy samana. Ensimmäinen termi sen sijaan muuttuu, ja saamme sille nollasta poikkeavan arvon. Kun sijoitamme vielä yllä johdetun Ω:n lausekkeen, U tulee muotoon: U = 3 4π 2 3 R3 P o + 1 M = 3 4π 2 3 R3 P o GM 2 R. GM r dm r. r Otetaan huomioon, että U = 3 2 NkT ja N = M/(µm H), ja ratkaistaan paine pinnalla: P o = 3MkT 4πR 3 3GM2 µm H 20πR4. (5.3) Jos tutkitaan P o :n muuttumista R:n funktiona, kun M ja T pidetään vakioina, huomataan, että pienillä R:n arvoilla P o on negatiivinen (jälkimmäinen termi suuri). Kun R kasvaa, P o menee nollaan ja muuttuu sitten positiiviseksi. Kun R menee äärettömään, P o menee taas nollaan. Tämä tarkoittaa että P o :lla on positiivinen maksimi tietyllä R:n arvolla R m. Maksimin olemassaolo merkitsee sitä, että tämän pilven pienikin kutistuminen (R < R m ) jonkin ulkoisen häiriön vaikutuksesta aiheuttaa paineen pienenemisen. Kun gravitaation luhistava voima vastaavasti kasvaa jatkuu luhistuminen yhä kiihtyvällä vauhdilla. Olemme siis löytäneet kaivatun epästabiilin tilan. Toisaalta, jos R on alun perin suurempi kuin R m, kasvaa paine, kun pilveä yritetään kutistaa, ja se palaa alkuperäiseen tilavuuteensa, joten arvoilla R > R m pilvi on stabiili. P o :n maksimi on derivaatan dp o /dr:n nollakohta, joten: dp o,m dr = 9M mkt 4πR 4 mµm H + 3GM2 m 5πR 5 m = 0, (5.4) 70

71 Aika R ρ n T T eff vuosia AU kgm 3 AMUm 3 K K L/L M bol Taulukko 5.1: Luhistumisen alkuvaiheet 1 M prototähdellä (Novotny, s. 280). Tiheys oletetaan vakioksi prototähden sisällä (tiheys kasvaa kuitenkin ajan funktiona). Lämpötila on terminen energia jaettuna termillä 3 2 k hiukkasten lukumäärä. M bol on bolometrinen magnitudi. josta ratkaisemalla saadaan: R m = 4GM mµm H. (5.5) 15kT Kun tiheys on vakio, voidaan sijoittaa M m = 4π 3 R3 mρ jolloin saadaan edelleen: R 2 m = 45kT 16πµm H ρg. (5.6) Käytetään nyt uudelleen massan ja säteen välistä lauseketta M m = 4π 3 R3 mρ, ja ratkaistaan massa: M m = 4 ( ) 45k 3/2 ( ) T 3/2 3 π ρ 1/2 M J. (5.7) 16πm H G µ joka on ns. Jeansin massa. Kun sievennetään lauseketta, ja jos oletetaan että pilvi on atomaarista vetyä (µ = 1)M J :lle saadaan massan ja keskimääräisen vetyatomien tiheyden funktiona likiarvo (SI yksiköissä): M J T 3 kg. (5.8) ρ Riippuen tehdyistä pyöristyksistä saadaan hieman erilaisia arvoja, mutta niiden suuruusluokka on kuitenkin sama kuin tässä (vrt. Tähtitieteen Perusteet, s. 461; Kippenhahn & Weigert, s. 253). Jos otetaan tyypillinen tähtienvälinen pilvi, esimerkiksi HI alue (ρ kgm 3,T 100K), niin saadaan pilven massalle M J 10 5 M, joka on siis alaraja luhistuvan pilven massalle. On siis hyvin epätodennäköistä, että tähtien kehitys alkaisi noissa olosuhteissa. Nykyisen käsityksen mukaan tähdet syntyvät molekyylipilvissä havaituissa tihentymissä, ns. pilviytimissä. Pieniä yksittäin esiintyviä (isolated) pilviytimiä kutsutaan Bok-globuleiksi. Joistakin pilviytimistä on infrapunahavainnoilla (mm. IRAS, ISO ja Spitzer satelliitit) löydetty säteilylähteitä, mikä viittaa siihen, että kyseiset ytimet sisältävät prototähtiä. Pilviytimet esiintyvät kuitenkin yleensä ryhmissä, kuten myös pitemmälle kehityksessä ehtineet nuoret tähdet, jotka muodostavat muun muassa ns. OB ja T Tauri assosiaatioita. Nämä seikat tukevat käsitystä, että tähtiä syntyy joissakin alueissa joukoittain suunnilleen samanaikaisesti. Pilviytimien lämpötila on alhaisempi kuin HI alueissa ( 10K), ja tiheys jopa kertainen, joten niiden Jeansin massalle saadaan arvoja, jotka tekevät niistä mahdollisia tähtien syntysijoja. Tyypillisten pilviytimien massat ovat 1M :n ja niiden säteet 0.1pc. 71

72 Epästabiilisuutta voitaisiin tutkia tarkemminkin, mutta tässä riittää se huomio, että luhistumisvauhti lähenee vapaan putoamisen aikaskaalaa, kun säde (R) pienenee. Tämän näkee P o :n lausekkeesta vertaamalla ensimmäisen ja toisen termin suuruutta. Voidaan olettaa, että lämpötila T ei muutu, koska kaasu on niin harvaa, että säteily pääsee vapaasti pakenemaan pilvestä. Luhistuminen hidastuu vasta kun pilven tiheys kasvaa huomattavasti, jolloin opasiteetti kasvaa ja osa säteilystä absorboituu pilveen, mistä seuraa lämpötilan nousu. Hidastuminen ei tapahdu samaan tahtiin koko pilven alueella, koska tiheysjakauma muuttuu luhistumisen aikana. On laskettu, että alunpitäen homogeenisen pilven luhistuessa vapaan putoamisen aikaskaalassa ρ(r) muuttuu verrannolliseksi r 2 :een alkaen pilven keskeltä. Kun kaasun paine alkaa vastustaa luhistumista, se väliaikaisesti hidastuu. Kun lämpötila pilvessä kohoaa noin 2000 Kelviniin, tapahtuu vetymolekyylien dissosioituminen Kuva 5.1: Kaasupilven (1M ) luhistuminen. (a) Noin s( vuotta) jälkeen pilveen on muodostunut optisesti paksu ydin, jonka luhistuminen pysähtyy. Hydrostaattisessa tasapainossa olevan ytimen ja vapaasti putoavan kuoriosan väliin muodostuu shokkirintama. (b) Vetymolekyylien hajoaminen (H 2 2H) saa ytimen uudelleen epästabiiliksi, jolloin seuraa toinen luhistuminen. Ytimen sisäosiin muodostuu toinen shokkirintama luhistuvan ulko-osan ja tasapainossa oleva sisemmän ytimen väliin. (c) Vauhti ja tiheys säteen funktiona (cgs-yksiköt: [v] = cms 1, [r] = cm ja [ρ] = cm 3 ) vähän toisen ytimen muodostumisen jälkeen. Shokkirintamat näkyvät jyrkkinä muutoksina nopeuskäyrässä. (Kippenhahn & Weigert, s. 262). 72

73 Aika ρ c T c T eff Vedyn vuosia kgm 3 ρ c /ρ K K L/L M bol olomuoto H H H H H H 2, H H 2, H H, H H, H H, H H, H + Taulukko 5.2: Luhistumisen välivaiheet 1 M prototähdellä (Novotny, s. 282). Alaindeksi c viittaa keskustaan. ρ on keskimääräinen tiheys. Protähden kokonaissäde pysyy suunnilleen vakiona (51AU = m) mutta sisäosat luhistuvat hyvin nopeasti. Kuva 5.2: 1M ja 60M prototähtien kehitys HR-diagrammassa. Hayashi käyrä on merkitty katkoviivalla. Prototähdestä jonka massa on 60 M muodostuu n. 17 M :n tähti ja loput massasta poistuu systeemistä. (Kippenhahn & Weigert, s. 264). 73

74 (H 2 2H), joka kuluttaa energiaa. Paineen kasvu taas hidastuu, ja luhistuminen kiihtyy uudelleen. Kun luhistuminen on edennyt niin pitkälle, että lämpötila on noin 10 4 Kelviniä, vetyatomit ionisoituvat, ja lämpötilan edelleen noustessa myös helium ionisoituu. Nämä prosessit kuluttavat energiaa ja kiihdyttävät taas luhistumista. Noin 10 5 Kelvinin lämpötilassa myös helium on jo kokonaan ionisoitunut. Riippuen raskaampien aineiden määrästä luhistuminen jatkuu vielä jonkin aikaa tämän jälkeen, kunnes kaasu on lähes täysin ionisoitunutta. Ionisaatioprosessien jälkeen luhistuminen pysähtyy, mikä merkitsee prototähtivaiheen päättymistä. Pilven säde on tällöin paljon pienempi kuin R m (luokkaa muutama kymmenesosa AU:ta), joten kehitysaika on likipitäen t τ d = (R 3 m/gm) 1/2. Niinpä voimme arvioida pilvien mahdollisia kehitysaikoja prototähtenä lähtemällä pilvestä, jolla on tietty keskitiheys, ja laskemalla sen Jeansin massaa vastaava säde, kun pilvi oletetaan homogeeniseksi. Kuvassa 5.2 on pieni ja suurimassaisen prototähden kehitys kuvattuna Hertzsprung Russell diagrammassa. Pystysuora katkoviiva on ns. Hayashi käyrä, jonka oikealla puolella tähti ei voi olla hydrostaattisessa tasapainossa, vaan luhistuu vapaan putoamisen aikaskaalassa. Prototähtivaihe päättyy kun tähti saavuttaa Hayashi käyrän Prototähden rakenteeseen vaikuttavia tekijöitä Kaasun sisäisen kineettisen liikkeen lisäksi tähtienvälisissä pilvissä esiintyy myös suuremman mittakaavan (makroskooppisia) virtauksia, kuten pyörimisliikettä ja suunnaltaan enemmän satunnaista turbulenssia. Turbulenssi kasvattaa luhistumiseen vaadittavaa Jeansin massaa, koska se lisää luhistumista vastustavaa painetta. Pilvien spektriviivoista (niiden leveyksistä) voidaan turbulenssin suuruus periaatteessa laskea, ja lisätä sitä vastaava termi viriaaliteoreemaan (positiivinen, luhistumista vastustava voima). Pilven luhistuessa sen pyörimisliikkeen liikemäärämomentti säilyy. Niinpä luhistumisen seurauksena pyörimisen kulmanopeus kasvaa, ja joissakin pilven osissa keskipakovoima saattaa lopulta huomattavavastikin häiritä luhistumista. Yllä tehdyssä tarkastelussa pyörimisliikkeen vaikutusta ei ole otettu huomioon. Yleisesti ottaen pyörimisliike ei ole tärkeä pilviytimien gravitaatioluhistumista vastustava tekijä. Todellisuudessa pilvet eivät myöskään ole täysin homogeenisia, ja pilvellä on myös magneettikenttä, joka pilven tiivistyessä, sekä pyörimisnopeuden kasvaessa voimistuu. Nämä tekijät yhdessä aiheuttavat sen, että pilvi luhistuessaan mahdollisesti fragmentoituu (hajoaa osiksi). Osaset jatkavat luhistumista, jatkaen kiertoliikettään yhteisen massakeskipisteen ympäri. Mikäli osasten radat päätyvät stabiileiksi ellipseiksi, on tuloksena kaksoistähti tai useampikertainen tähti. Teoreettisesti voidaan tutkia fragmentoitumista (esim. Kippenhahn & Weigert, s. 253), ja tutkimuksissa on päädytty tulokseen, että fragmentoituminen tapahtuu niin, että osien koko on lopulta aina suuruusluokaltaan suunnilleen Auringon massan suuruinen. Fragmentoituminen ei jatku planeettojen massan suuruisiin osiin, mutta yhden osasen massa ei toisaalta voi olla myöskään kokonaisen tähtijoukon massa. Tämä selittää sen, miksi ei ole löydetty supermassiivisia yksittäisiä tähtiä, muttei tarjoa mallia planeettojen synnylle. Pilviytimien fragmentoituminen pienempiin osiin on yksi syy siihen miksi suurimassaisten tähtien synty on huonosti ymmärretty. 74

75 Kuva 5.3: Pienimassaisten PMS-tähtien kehitys HR-diagrammassa (Novotny, s. 288). Iät kahdessa vaiheessa sekä massat on merkitty kuvaan. Paksu viiva (MS) kuvaa pääsarjaa, eli vedyn palamisvaihetta. 5.2 Pre-main Sequence tähtien kehitys Kun tähti on ohittanut prototähtivaiheen, se kerää edelleen ympärillään olevasta pilvestä jonkin verran lisää ainetta, jonka seurauksena sisäosien paine ja lämpötila edelleen nousevat. Tähti jatkaa kehitystä termisessä aikaskaalassa joka on sidoksissa ulos virtaavan energian määrään. Koska kaasun opasiteetti on suuri, tapahtuu energian siirtyminen keskeltä tähden pinnalle konvektion avulla. Alkuvaiheessa PMS tähdet ovat siis kokonaan konvektiivisia. Tähden hiljalleen kutistuessa (säde pienenee) sen luminositeetti laskee, kun taas efektiivinen lämpötila pysyy lähes vakiona. HR diagrammassa tähti kulkee tällöin lähes suoraan alaspäin. Kutistumisen seurauksena lämpötila tähden ytimessä nousee, mikä aiheuttaa opasiteetin pienenemisen. Kun opasiteetti on laskenut riittävän pieneksi, tähden ydin muuttuu radiatiiviseksi ja radiatiivisen alueen raja siirtyy vähitellen ulospäin, ja lopulta suurin osa tähdestä on radiatiivinen. Koska tähti on koko ajan hitaasti luhistunut, sen säteilemä energia on peräisin vapautuneesta gravitaatiopotentiaalista. Lämpötilan saavuttaessa muutaman miljoona astetta, ydinreaktiot tähden keskustassa käynnistyvät. 75

76 Energian tuoton näin lisäännyttyä tähden luminositeetti kasvaa. Samalla sen pinta kuumenee (efektiivinen lämpötila nousee), joten se siirtyy HR diagrammassa voimakkaasti vasemmalle. Lopulta, kun pääosa energian tuotosta tapahtuu vedyn ydinreaktioiden kautta, tähden rauhallinen kehitys pääsarjassa alkaa. Ennen pääsarjaa Aurinkoa raskaammat tähdet käyvät kuitenkin läpi useita epätasapainotiloja, jotka aiheuttavat tähtien HR diagrammassa pieniä edestakaisia hyppäyksiä juuri ennen pääsarjaa. Nämä liikkeet aiheutuvat yksi toisensa jälkeen käynnistyvien ydinreaktioiden tähden rakenteeseen aiheuttamiin muutoksiin (ensin pp ketjujen ja sitten CNO syklin reaktiot). Kevyemmillä tähdillä keskuksen lämpötila ei riitä CNO syklin käynnistymiseen, joten kehityskäyrä on suoraviivaisempi. Mallilaskujen mukaan alle 0.08 M :n tähdet eivät koskaan saavuta pp ketjujen ylläpitämisen vaatimaa lämpötilaa (T 10 7 K). Tällaisten tähtien jatkokehitystä kuvaa hidas jäähtyminen ns. ruskeana kääpiönä. Ruskeissa kääpiöissä vapautuu PMS-vaiheessa hieman ydinenergiaa deuteriumin palamisessa (T 10 6 K). Deuteriumin palaminen erottaa ruskeat kääpiöt planeetoista, joissa ei tapahdu fuusioreaktioita. Ruskeat kääpiöt säteilevät hyvin heikosti lähinnä infrapuna alueella, ja jäähtyessään edelleen pitemmillä aallonpituuksilla. Todellisten kohteiden ikä voidaan arvioida vertaamalla havaittujen tähtijoukkojen sijoittumista HR diagramman teoreettisiin kehityskäyriin. Nuorten tähtijoukkojen, kuten Plejadien jakautumaa tutkittaessa on esimerkiksi huomattu, että massiivisemmat (HR diagrammassa ylempänä olevat) tähdet sijoittuvat hyvin pääsarjaan, ja ainoastaan hyvin ylhäällä ja hyvin alhaalla diagrammissa on kohteita, jotka ovat pääsarjan oikealla puolella. Tämä tulkitaan siten, että alhaalla olevat kevyet tähdet eivät ole vielä saavuttaneet pääsarjaa, kun taas ylhäällä pääsarjan oikealla puolella olevat kohteet ovat jo pääsarjasta poistumassa olevia massiivisia tähtiä. Vertaamalla jakaumaa teoreettisiin kehityskäyriin on Pleiadien iäksi arvioitu noin 10 8 vuotta. Vielä nuorempia tähtiä löytyy ns. assosiaatioista, joissa tähtiä on vähemmän kuin avonaisissa tähtijoukoissa. Assosiaatioissa olevien tähtien ominaisliikkeistä, ja tähtien sijoittumisesta HR diagrammaan voidaan niiden päätellä olevan nopeasti hajaantuvia nuoria joukkoja. T Tauri assosiaatioissa on suunnilleen Auringon massaisia PMS tähtiä, joilla on yleensä ympärillään vielä runsaasti jäänteitä alkuperäisestä pilvestä joista nämä tähdet ovat muodostuneet. On myös löydetty ns. Class III PMS-tähtiä, joita kutsutaan myös alastomiksi T Tauri tähdiksi (naked T Tauri stars tai weak-lined T Tauri stars, WTTS), joiden nimitys tulee siitä, ettei niillä ole voimakasta tähtituulta eikä tähteä ympäröivää kertymäkiekkoa vaatetuksenaan, mikä on tyypillistä klassisille T Tauri tähdille (CTTS eli Class II PMS-tähdet). Ne sijaitsevat HR diagrammissa likipitäen samalla alueella kuin tavalliset T Tauri tähdet, mutta ovat monessa muussa suhteessa näistä poikkeavia. Muita nuoria tähtiä ovat ns. Herbig Ae ja Be tähdet, jotka ovat PMS-jaksonsa loppuvaiheessa olevia 2 8 M :n tähtiä. Lisäksi osa flare tähdistä (UV Ceti tähdet), ovat pienimassaisia ( M ) nuoria M luokan kääpiötähtiä. Kotitehtävä 15: Osoita käyttäen kurssin aikaisempia kaavoja miksi 15 M :n tähden PMS-kehitys tapahtuu paljon nopeamiin kuin 1 M :n tähden. Kotitehtävä 16: Selitä kuvan 5.5 käyrät, eli miten kemiallinen kompositio vaikuttaa PMS-tähden kehitykseen. 76

77 Kuva 5.4: Erimassaisten PMS-tähtien kehitys HR-diagrammassa (Novotny, s ). Kuvan pisteiden numerot vastaavat alla taulukoituja aikoja, aikayksikkönä 10 5 vuotta. Viimeinen piste kullakin massalla edustaa pääsarjaa. 15M 9M 5M 3M 2.25M 1.5M 1.25M 1.0M 0.5M

78 Kuva 5.5: Kemiallisen komposition vaikutus auringonmassaisen PMS-tähden kehitykseen (Novotny, s. 295). Yhtenäinen viiva: Z M = Katkoviiva: Z M = Z M on metallipitoisuus, johon laskettujen metallien ionisaatiopotentiaaliksi on oletettu 7.5 ev. Tämä vastaa suunnilleen yleisimpien helposti ionisoituvien alkuaineiden (Mg, Si, Fe) keskiarvoa. Yleisemmillä keveillä metalleilla (C, N ja O) ionisaatiopotentiaali on selvästi korkeampi ( ev). 78

79 Luku 6 Kehitys pääsarjassa Tiivistyvän kaasupallon syttymistä tähdeksi säätelee sen massa; vedyn ydinreaktiot käynnistyvät, ja kaasupallo siten täyttää tähden määritelmän, suunnilleen massarajojen M välillä. Alarajan massa on pienin mahdollinen, jolla ytimen lämpötila kasvaa luhistumisessa tarpeeksi suureksi (eli noin kahteen miljoonaan Kelviniin), jotta tähti syttyy, eli pp-ketjun ydinreaktiot käynnistyvät. Ylärajan taas se, että massan kasvaessa suureksi, kasvaa myös säteilypaine tähden pinnalla, estäen lisämassan kertymisen. Jos ydinreaktiot eivät käynnisty, jatkaa tähti kutistumistaan, kunnes tiheys tulee niin suureksi, että elektronit degeneroituvat, ja tämä pysäyttää kutistumisen. Ruskeissa kääpiöissä, joiden massa on 0.012M (n. 13 Jupiterin massaa) 0.08M, vapautuu jonkin verran energiaa deuteriumin fuusioreaktioissa, mutta kaikkien näiden kohteiden kohtalona on hidas jäähtyminen niiden säteillessä ulos loput sisäenergiastaan. 6.1 Siirtyminen pääsarjaan Kuten edellisiltä luennoilta muistetaan, prototähtivaiheessa kaasupallo luhistuu hydrostaattisessa (eli dynaamisessa) aikaskaalassa τ hydr (yhtälö 1.23), ja tähti säteilee ja kuumenee vapautuvan gravitaatioenergian avulla viriaaliteoreeman mukaisesti (yhtälö 1.57). Tähden kutistuessa ja kuumentuessa, siirtyy se HR diagrammassa kaukaa oikealta alhaalta voimakkaasti ylös vasemmalle. Prototähden luhistuminen päättyy vasta, kun suurin osa kaasusta on ionisoitunut. Kun kaasupallo saavuttaa hydrostaattisen tasapainon, sanotaan sen ohittaneen prototähtivaiheen, ja siirtyneen esipääsarjavaiheeseen (Pre-Main Sequence, PMS). Koska lämpötila on vielä suhteellisen alhainen, on kaasun opasiteetti suuri; tässä yhteydessä on hyvä palauttaa mieleen edellisiltä luennoilta, että kaasun opasiteetti κ, eli materian kyky absorboida säteilyä, kasvaa tiheyden funktiona ja pienenee lämpötilan funktiona (ks. esim. KW, s. 144, kuva 17.6). Suuresta opasiteetista seuraa yhtälön (1.83) mukaan suuri radiatiivinen lämpötilagradientti, jolloin kaasupallo on konvektiivisesti epästabiili ( rad > ad ). HR diagrammassa tähti asettuu massansa määräämälle täysin konvektiivisten tähtien Hayashi käyrälle. Tämän käyrän oikealla puolella sijaitsee ns. kielletty alue, johon jouduttuaan tähdet joutuvat epätasapainotilaan, ja etsivät uuden tasapainotilan hydrostaattisessa aikaskaalassa, minkä jälkeen ovat taas siirtyneet sallitulle alueelle (asiasta enemmän kiinnostuneille, KW, luku 24, sivuutetaan tässä ajanpuutteen vuoksi). Hayashi käyrälle asettumisen jälkeen kehitys tapahtuu Kelvin Helmholtz, eli termisessä, 79

80 aikaskaalassaτ KH, joka on paljon pidempi kuin hydrostaattinen aikaskaala. Konvektiovirtausten kuljettaessa lämpöenergiaa tehokkaasti ulospäin, on tähden pinta melko kirkas. Usein tätä vaihetta kutsutaan T Tauri -vaiheeksi. Kaasupallo kerää edelleen ainetta ympärillään olevasta pilvestä, minkä vuoksi sen massa kasvaa, sekä sisäosien paine ja lämpötila edelleen nousevat, ja tähti kutistuu hitaasti. Lämpötilan noustessa kaasun opasiteetti, ja sen mukana rad, pienenee, jolloin muodostuu radiatiivinen ydin, joka laajenee ulospäin lämpötilan edelleen kasvaessa. Säde pienenee, efektiivinen lämpötila pysyy lähes vakiona, ja luminositeetti laskee, jolloin tähti liikkuu lähes suoraan alaspäin HR diagrammassa (ks. Kuva 6.1); tähden säteily aiheutuu edelleen luhistumisessa vapautuvasta gravitaatioenergiasta. Kun lämpötila nousee muutamaan miljoonaan asteeseen, pääsevät vedyn pp ketjun ydinreaktiot käynnistymään. Tämän jälkeen molemmat energiantuotantomenetelmät toimivat samanaikaisesti, kunnes ydinreaktioissa vapautuva energia alkaa dominoida ja pysäyttää luhistumisen kokonaan. Ydinreaktioiden käynnistymisen ja kutistumisen pysähtymisen seurauksena tähden luminositeetti, ja sen seurauksena myös pintalämpötila, kasvaa, ja tähti siirtyy HR diagrammassa loivasti yläviistoon vasemmalle (ks. Kuva 6.1). Kuten muistamme, ydinreaktioissa vapautuva energia riippuu erittäin voimakkaasti lämpötilasta, ε pp T 5 ja ε CNO T 18, (6.1) kun taas luhistumisessa vapautuva gravitaatioenergia ε g T, joten energiajakaumat ovat varsin erilaiset. Tämän vuoksi tähden sisäinen rakenne muuttuu varsin merkittävästi, kun tähti siirtyy luhistumisvaiheesta ydinenergiantuotantovaiheeseen, eli pääsarjaan; tähän siirtymävaiheeseen liittyykin monimutkaisia, Kelvin-Helmholtz-aikaskaalassa tapahtuvia koukeroita HR diagrammassa (ks. Kuva 6.1). Raskailla tähdillä hyppäyksiä on enemmän kuin kevyillä tähdilla, koska niiden keskustoissa lämpötilat kohoavat niin korkeiksi, että pp ketjun lisäksi myös CNO sykli käynnistyy. 6.2 Nollaiän pääsarja Vedyn ydinreaktioiden alkamishetkellä luhistuva kaasupallo muuttuu virallisesti tähdeksi, ja kun ydinreaktiot vastaavat tähden koko energiantuotannosta, sanotaan sen saavuttavan kehityksessään nollaiän pääsarjan. Tästä alkaa tähtien kehityksen pisin ajanjakso, jota kuvaa ydinaikaskaala τ n. Pääsarjavaiheen aikana tähtien kehitystä voidaan tarkastella toisiaan seuraavien täydellisten tasapainotilojen sarjana, joiden alkupiste on nollaiän pääsarjan homogeeninen, pääasiassa vedystä koostuva tähti, jonka keskustan vastakäynnistyneet vedyn ydinreaktiot tuottavat tähden säteilyn. Jos tähtimalli perustuu jonkin muun alkuaineen kuin vedyn fuusioreaktioon, kutsutaan pääsarjaa esim. helium-, hiili-, tai yleiseksi pääsarjaksi. Jälkimmäisessä tapauksessa tähden kemiallinen koostumus voi olla epähomogeeninen, koostuen useista alkuaineista, joilla voi olla monimutkaisiakin radiaalisia jakaumia. Edelläkuvatun tyyppiset, erimassaiset tähdet muodostavat HR diagrammassa ns. nollaiän pääsarjan, joka on kasvavan massan mukana oikeasta alakulmasta (alempi pääsarja; alhainen pintalämpötila ja luminositeetti) vasempaan yläkulmaan (ylempi pääsarja; korkea pintalämpötila ja luminositeetti) kulkeva käyrä (ks. Kuva 6.2). Tämä käyrä määrittää suurin piirtein pääsarjan alarajan. 80

81 Kuva 6.1: Erimassaisten PMS tähtien kehitys HR diagrammassa (HSH, s. 67). Kasvavat numerot kuvaavat kasvavaa aikaa. Paksu musta viiva on Hayashi käyrä, jonka kohdalla tietyn massan ja kemiallisen koostumuksen omaavat tähdet ovat kokonaan konvektiivisia. Auringonmassaisella tähdellä kehitys Hayashi käyrästä nollaiän pääsarjaan kestää noin 50 miljoonaa vuotta, ja sitä lyhyemmän ajan, mitä raskaampi tähti on. 15M tähdelle vastaava kehitysaika on vain noin vuotta. Esimerkki yleisistä pääsarjoista on esitetty Kuvassa 6.3. Näiden mallien laskemiseksi on oletettu, että tähdellä on heliumista koostuva ydin, jonka suhteellinen massa on q 0 = M He M. Tätä ympäröi vetyrikas ulkokuori, jonka suhteellinen massa on 1 q 0. Kuvan 6.2 pääsarjaa vastaa katkoviivalla esitetty käyrä q 0 = 0 (H MS), joka vastaa tilannetta, jossa helium-ydintä ei ole. Vastaavasti, kokonaan heliumista koostuvien tähtien pääsarjaa vastaa jatkuva käyrä q 0 = 1 (He MS). Helium-pääsarja sijaitsee HR diagrammassa ylempänä vasemmalla verrattuna vetypääsarjaan. Helium-tähdillä on siis pienempi säde ja suurempi luminositeetti. Kevyenkin vetykuoren lisäys vaikuttaa merkittävästi pääsarjaan, joka siirtyy voimakkaasti oikealle, eli pintalämpötila putoaa voimakkaasti. Koska 81

82 Kuva 6.2: Nollaiän pääsarjaa kuvaava HR diagramma erimassaisille tähdille, joiden kemiallinen koostumus on X=0.685, Y =0.294 ja Z=0.021 (KW s. 208). luminositeetti pysyy kutakuinkin vakiona tietyn massaiselle tähdelle, tarkoittaa tämä sitä, että tähden säteen tulee kasvaa voimakkaasti (ks. yhtälö 2.13). Kun vetykuoren massaosuus kasvaa tarpeeksi suureksi (Helium-ytimen massa on pienempi kuin 0.7), pääsarja on miltei pystysuora, eikä vetykuoren massan kasvattaminen vaikuta enää juurikaan tilanteeseen, vaan pääsarjat pakkautuvat yhteen pystysuoraan nippuun, joka on näiden tähtien Hayashi-viiva Homologiset relaatiot Pääsarjavaiheelle laskettuja numeerisia malleja voidaan transformoida kuvaamaan jotain toista samankaltaista tähteä ns. homologisten relaatioiden avulla. Tällöin melko hyvällä tarkkuudella voidaan laskea vain yksi pääsarjan tähtimalli, josta saadaan laskettua useita muita, parametriavaruudessa alkuperäistä lähellä olevia, malleja. Kaksi tähteä, joiden massat ovatm jam sekä säteetrjar, ovat homologiset, jos niiden homologiset massakuoret m/m = m /M sijaitsevat homologisissa pisteissä r/r = r /R. Matemaattisesti formuloituna, määritellään suhteellinen massa homologisessa tapauksessa ξ m M = m M. (6.2) 82

83 Kuva 6.3: Yleisiä pääsarjoja tähdille, joissa on Helium ydin, jonka massaosuus kokonaismassasta q 0 = M He M, ja vetyrikas ulkokuori (massaosuus 1 q 0). Mustat pisteet kuvaavat tähtiä, joiden massa on 5M, avoimet ympyrät 2M, kolmiot M, ja neliöt 0.5M (KW s. 222). Tällöin homologisuusehto voidaan kirjoittaa muodossa r(ξ) r (ξ) = R R (6.3) kaikille ξ:n arvoille. Siirryttäessä yhdestä homologisesta tähdestä toiseen, kaikki homologiset massakuoret joko laajenevat tai kokoonpuristuvat tällä samalla tekijällä. Kotitehtävä 17: Sovella ylläesitettyä homologisuuden määritelmää polytrooppimalleihin, ja perustele, missä tapauksessa homologisuusehto on voimassa? Koska kaikkien homologisten mallien täytyy täyttää tähtien rakenteen yhtälöt (2.1) (2.5), transformaatio vaikuttaa myös kaikkiin muihin muuttujiin. Oletetaan lisäksi, että verrattavien tähtien koostumukset ovat homogeeniset, ja että niitä kuvaa keskimääräinen molekyylipaino µ ja µ. Muistetaan vielä, että pääsarjavaiheessa tähtien kehitystä kuvaa erittäin pitkä ydinaikaskaala τ n, jolloin tähtien rakenteen yhtälöistä voidaan jättää huomiotta aikaderivaattoja sisältävät termit, ja osittaisderivaatat massan suhteen voidaan tällöin kirjoittaa kokonaisderivaattoina. Oletetaan vielä, että energiankuljetus tapahtuu pelkästään säteilemällä, jolloin lämpötilagradientin lausekkeessa = rad. Merkitään nyt x = M M ; y = µ µ. (6.4) 83

84 Olkoot muut riippumattomat muuttujat tähdelle (M,µ): r,p,t,l ja tähdelle (M,µ ): r,p,t,l, ja nämä esitetään suhteellisen massamuuttujan ξ funktioina. Otetaan käyttöön seuraava yritelmä: r r = z = R R ; P P = p = P c P c ; T T = t = T c T c ; l l = s = L L, (6.5) missä z, p, t ja s saavat samat arvot kaikilla ξ:n arvoilla. Kirjoitetaan ensin perusyhtälöt suhteellisen massamuuttujan avulla dr dξ dp dξ dl dξ dt dξ = M 4πr 2 ρ, (6.6) = GξM2 4πr 4, (6.7) = ε n M, (6.8) = 3 κl M 64π 2 acr 4 T3. (6.9) Oletetaan kaasun tilanyhtälöksi ideaalikaasun tilanyhtälö, jolloin ρ µp T. (6.10) Olkoon vielä kaasun opasiteetti κ vakio, ja merkitään ρ ρ = d ; ε n ε n = e. (6.11) Tällöin yhtälöt transformoiduille muuttujille saadaan helposti muotoon dr M [ x ] = dξ 4πr 2 ρ z 3, (6.12) d dp [ ] = GξM 2 x 2 dξ 4πr 4 z 4, (6.13) p dl = ε dξ nm [ ex ], (6.14) s dt = 3 κl M [ sx ] dξ 64π 2 acr 4 T 3 z 4 t 4. (6.15) Koska yhtälöiden täytyy olla samanmuotoiset molemmille tarkastelluille tähdille, on kaikkien hakasuluissa olevien kertoimien oltava ykkösiä, jolloin saadaan yhtälöryhmä x z 3 d = 1 ; x 2 z 4 p = 1 ; ex s = 1 ; sx z 4 = 1. (6.16) t4 Ydinenergiatuotannon riippuvuus tiheydestä ja lämpötilasta voidaan esittää muodossa ε n ρ λ T ν, (6.17) saadaan ideaalikaasun tilanyhtälöä soveltamalla relaatiot d = y p t ; e = p λ y λ t ν λ. (6.18) 84

85 Kun nämä sijoitetaan edellä johdettuihin neljään yhtälöön (6.16), ja lisäksi otetaan huomioon, että suhdelukujen z, p, t ja s on riiputtava perusmuuttujista x ja y jollain potenssilailla, eli siis z = x z 1 y z 2 ; p = x p 1 y p 2 ; t = x t 1 y t 2 ; s = x s 1 y s 2, (6.19) saadaan dimensiottomuusargumentista kaksi yhtälöryhmää. Ensimmäinen saadaan x:n potensseista 3z 1 +p 1 t 1 = 1 (6.20) 4z 1 +p 1 = 2 (6.21) λp 1 +(λ ν)t 1 +s 1 = 1 (6.22) toinen y:n potensseista 4z 1 +4t 1 s 1 = 1, (6.23) 3z 2 +p 2 t 2 = 1 (6.24) 4z 2 +p 2 = 0 (6.25) λp 2 +(λ ν)t 2 +s 2 = λ (6.26) 4z 2 +4t 2 s 2 = 0. (6.27) Näiden ratkaisuina saadaan seuraavat relaatiot z 1 = ν +λ 2 ; z 2 = ν 4 ν +3λ ν +3λ (6.28) p 1 = 2 4z 1 ; p 2 = 4z 2 (6.29) t 1 = 1 z 1 ; t 2 = 1 z 2 (6.30) s 1 = 3 ;s 2 = 4. (6.31) (6.32) Erikoisesti luminositeettien suhteelle saadaan yksinkertainen, energiantuotannon spesifisestä tiheys- tai lämpötilariippuvuudesta vapaa, relaatio s = L L = x s 1 y s 2 = ( ) M 3 ( ) µ 4 M µ (6.33) Kaikki muut suhteet taas jäävät riippumaan λ:sta ja ν:sta. Luminositeetti riippuu voimakkaasti massasta, s.e. massan kasvaessa luminositeetti kasvaa voimakkaasti. Luminositeetti kasvaa vielä voimakkaammin molekyylipainon kasvaessa. Säteiden suhteelle saadaan z = R ( ) R = x z 1 y z 2 M z1 ( ) µ z2 = M µ, (6.34) missä z 1 ja z 2 riippuvat siis monimutkaisella tavalla energiantuotantomekanismin tiheysja lämpötilaprofiileista. Vedyn palamisessa (λ = 1) pp ketjun reaktioille ν = ja CNO syklille ν = Tällöin z 1 ja z 2 saavat tyypillisesti vähän ykköstä pienempiä positiivisia arvoja (ks. esim. KW s. 196 taulukko 20.1), joten säteen voidaan pääsarjavaiheessa olettaa riippuvan heikosti massasta ja kemiallisesta koostumuksesta. 85

86 Kuva 6.4: Massa luminositeettirelaatio nollaiän pääsarjan tähdille havainnoista (pisteet ja kolmiot) ja tähtimalleista (kiinteä viiva); KW s Kuva 6.5: Massa säderelaatio nollaiän pääsarjan tähdille havainnoista (pisteet ja kolmiot) ja tähtimalleista (kiinteä viiva); KW s Kotitehtävä 18: Mieti, miten voit yksinkertaisesti selittää He pääsarjan sijainnin H pääsarjan suhteen HR diagrammassa? Miten tällä logiikalla C pääsarja sijoittuisi HR diagrammassa? 86

87 6.2.2 Massa-luminositeetti- ja massa-säderelaatiot Kuvissa 6.4 ja 6.5 on esitetty joidenkin kaksoistähtijärjestelmien pääsarjatähtien massan ja luminositeetin, sekä massan ja säteen riippuvuus toisistaan (pisteet: erilliset kaksoistähdet, kolmiot: visuaaliset kaksoistähdet). Havaittuja arvoja verrataan tähtimalleihin, joiden laskemisessa on käytetty täydellisen tasapainon oletusta, ja kemiallista koostumusta X = 0.685, Y = ja Z = (kiinteä viiva). Kuten yksinkertaiset homologiset relaatiot jo ennustavat, voi säteen havaita kasvavan heikosti, ja luminositeetin erittäin voimakkaasti massan funktiona. Riippuvuussuhde on logaritmisessa esityksessä lineaarinen, mutta kulmakerroin ei kuitenkaan ole vakio koko massavälin yli. Tietyillä massaväleillä käyttäytyminen on kuitenkin hyvin lähellä homologista, eli kulmakerroin on vakio. Jos tehdään parametrisointi R M ξ, L M η, (6.35) Auringon massaa kevyemmille tähdille saadaan massa-säde käyrältä likimääräinen sovitus ξ = 0.80 ja raskaammille ξ = Auringon massan arvolla tähtimalleista saadussa käyrässä on selvä kuhmu, millä alueella havaitaan siis selvä poikkeama homologisesta käyttäytymisestä. Tämä johtuu osittain siitä, että näillä massan arvoilla konvektiokerroksen paksuus kasvaa hyvin voimakkaasti effektiivisen lämpötilan pienentyessä, joka taas pienentää tähden sädettä. Myös massa-luminositeettikäyrän kulmakerroin muuttuu; oikeastaan vain massavälillä 1-10M käyttäytyminen on lineaarista (η 3.88). Auringon massaa kevyemmille tähdille kulmakerroin on huomattavasti loivempi, samoin kuin yli 10M massaisille tähdille. Keskiarvona yli koko massavälin, η 3.2, joka on melko lähellä homologisten relaatioiden ennustetta η = 3. Massa-luminositeettirelaatiosta voidaan arvioida myös tähden pääsarjavaiheessa viettämän ajan riippuvuutta tähden massasta. Tätä aikaa kuvaa ydinaikaskaala, joka määriteltiin kaavalla (1.69), ja voidaan kirjoittaa myös muodossa τ n = E n L fmc2 L, (6.36) kun oletetaan, että tietty osa massasta, jota kuvaa kerroin f, muuttuu energiaksi vedyn palaessa. Kun tähän sijoitetaan esimerkiksi keskimääräinen massa-luminositeettirelaatio, saadaan riippuvuus τ n M 2.2 (6.37) Tästä nähdään, että pääsarjavaiheen kesto riippuu hyvin voimakkaasti massasta, s.e. pienimassaisille tähdille tämä aika on pidempi kuin raskaille tähdille. Auringonmassaisille tähdille pääsarjavaiheen pituus tähtimalleista laskettuna on noin 10 miljardia vuotta. Kotitehtävä 19: Mieti, miten ylläesitetyn mukaiset muutokset massaluminositeetti ja massa-säde relaatioiden eksponenteissa ξ ja η vaikuttavat pääsarjan kulmakertoimeen HR-diagrammassa? 87

88 Kuva 6.6: Tähtimalleista laskettu auringonmassaisen ja kymmenen kertaa raskaamman tähden sisäosien rakenne massakoordinaatin funktiona. Vasen yläkulma, tiheys; oikea yläkulma, suhteellinen massa säteen funktiona; keskellä, lämpötila; vasen alakulma, energiantuotanto per massa per aikayksikkö; oikea alakulma, luminositeetti; KW s Sisärakenne Yllä rajoituttiin tarkastelemaan effektiivistä lämpötilaa ja luminositeettia tähden pinnalla. Seuraavaksi tarkastellaan tähtien sisärakennetta nollaiän pääsarjassa (Kuvat 6.6 ja 6.7). Pintarelaatioista voidaan helposti päätellä, että keskimääräisen tiheyden on pienennyttävä massan funktiona; Kuvan 6.6 vasemmassa yläkulmassa on esitetty tiheyden jakauma massakoordinaatin suhteen auringonmassaiselle (kiinteä viiva) ja kymmenen kertaa raskaammalle tähdelle (katkoviiva). Massa-luminositeettirelaatiosta taas seuraa, että effektiivinen lämpötila kasvaa heikosti massan funktiona; lämpötilan jakauma massakoordinaatin suhteen on plotattu keskimmäisessä paneelissa. Sekä lämpötila että tiheys kasvavat monotonisesti kohti tähden keskustaa. Auringonmassaiselle tähdelle sisimmät 30 prosenttia säteestä, vastaten noin 3 prosenttia kokonaistilavuudesta, sisältävät noin 60 prosenttia massasta. Auringonmassaisen tähden keskustassa lämpötila kohoaa noin Kelviniin, joten energiantuotanto tapahtuu pääasiallisesti pp ketjun kautta. 88

89 Kuva 6.7: Tähtimalleista laskettu stabiilisuuskartta käyttäen Schwazchildin stabiilisuusehtoa; KW s Kuviolliset alueet kuvaavat konvektiivisesti epästabiilia aluetta, värittömät radiatiivisia alueita. Kymmenen kertaa raskaamman tähden keskusosissa lämpötila on jo niin korkea ( K), että CNO sykli dominoi energiantuotantoa. Kuten jo aiemmin on mainittu, näiden eri vedyn palamisreaktioiden lämpötilariippuvuus on merkittävästi erilainen, ollen heikompi pp ketjulle kuin CNO syklille. Tästä johtuen raskaamman tähden energiantuotanto ja luminositeetti keskittyvät hyvin voimakkaasti lähelle tähden keskustaa, kun taas ulko-osissa molemmissa tähdissä energiantuotanto tapahtuu pp ketjun kautta ja ε käyrillä on samankaltainen riippuvuus massakoordinaatissa (ks. Kuvan 6.6 alimmat paneelit) Konvektiivisten osien sijainti Tarkastellaan seuraavaksi konvektiivisten osien olemassaoloa ja sijaintia kemiallisesti homogeenisissa ( µ = 0) tähtimalleissa, jotka on laskettu erimassaisille tähdille. Kuvassa 6.7 on esitetty Schwarzschildin (yhtälö 1.108) kriteerin mukainen stabiilisuusdiagramma, jossa x akselilla on tähden massa suhteutettuna Auringon massaan, ja y akselilla syvyys tähden sisällä ilmaistuna massakoordinaateissa. Valkoisilla alueilla energiansiirto tapahtuu säteilemällä ( rad < ad ), ja kuvioidut alueet ovat konvektiivisesti epästabiileja ( rad > ad ). Kuvassa on esitetty myös kaksi säteen (kiinteät viivat) ja luminositeetin (katkoviivat) tasa-arvokäyrää. Stabiilisuusdiagrammasta voidaan karkeasti erottaa kaksi erilaista aluetta, joita rajoittava massa on noin 1.5M : tätä kevyemmillä tähdillä on konvektiivinen ulkokerros, jonka paksuus kasvaa voimakkaasti, kun tähden massa pienenee, sisäosien ollessa radiatiivisia. Kevyimmät tähdet (0.08M M < 0.26M ) ovat kokonaan konvektiivisia. Tätä raskaammat tähdet ovat pintaosiltaan radiatiivisia, mutta niillä on konvektiivinen ydin, jonka paksuus kasvaa massan kasvaessa. Rajamassan ylittävillä täh- 89

90 Kuva 6.8: Tähtimalleista laskettu auringonmassaisen ja kymmenen kertaa raskaamman tähden lämpötilagradienttien arvot lämpötilan funktiona; KW s dillä energiatuotanto tapahtuu pääasiassa CNO syklin kautta (määritellään ylemmäksi pääsarjaksi), kun taas rajamassan alittavilla pp ketjun kautta (määritellään alemmaksi pääsarjaksi). Energiantuotantomekanismien erilaiset lämötilajakaumat nähdään selvästi luminositeetin tasa-arvokäyristä. Kuvassa 6.8 on esitetty lämpötilagradientit Auringon- (ylempi paneeli) ja kymmenen kertaa auringonmassaisessa tähdessä (alempi paneeli) lämpötilan funktiona. Alemmasta paneelista voidaan nähdä, että konvektiivisen ytimen aiheuttaa voimakkaasti ydintä kohti kasvava radiatiivinen gradientti rad, joka taas aiheutuu CNO syklin voimakkaasta lämpötilariippuvuudesta. Vielä tätäkin raskaammilla tähdilla kasvava säteilypaine kuitenkin alentaa adiabaattisen lämpötilagradientin arvoa standardiarvosta 0.4 yksiatomiselle ideaalikaasulle, minkä seurauksena konvektiokerroksen rajapinta siirtyy kohti pienempiä lämpötiloja, eli kohti pintaa. Kuumassa radiatiivisessa kerroksessa lähellä pintaa voivat lämpötilat olla niin korkeita, että helium menettää toisenkin elektroninsa, ja raskaammatkin alkuaineet saattavat ionisoitua. Näistä seuraa paikallinen opasiteetin kasvu ja adiabaattisen lämpötilagradientin pieneneminen, joka mahdollisesti johtaa ohuiden konvektiivisten kerrosten syntyyn. Supermassiviset tähdet voivat jälleen olla kokonaan konvektiivisia, elleivät ala oskilloida. Rajamassaa 1.5M kevyemmillä tähdillä, joilla pp-ketju dominoi, jakautuu energiantuotanto laajemmalle alueelle ytimen ympärillä. Tämän vuoksi rad on hyvin pieni keskusosissa, ja sen vuoksi ne ovat radiatiivisia (ks. Kuvan 6.8 ylempi paneeli). Näiden tähtien ulko-osissa sekä adiabaattinen että radiatiivinen lämpötilagradientti käyttäyty- 90

91 vät melko monimutkaisella tavalla: Adiabaattisella gradientilla on useita minimejä ja maksimi, kuoppien aiheutuessa vedyn ja heliumin osittaisesta ionisaatiosta, joka alentaa adiabaattisen gradientin arvoa. Opasiteetti kasvaa voimakkaasti pintaa kohti mentäessä, minkä vuoksi rad kasvaa useita kertaluokkia isommaksi kuin ad. Ulkokerrokset ovat siis konvektiivisia, ja tiheyden ollessa suuri, on konvektio erittäin tehokasta, ja on hyvin lähellä adiabaattista arvoa. Pintaosissa konvektio on superadiabaattista, eli on huomattavasti suurempi kuin ad, ja aivan pinnalla myös rad lähestyy adiabaattista arvoa. 91

92 Kuva 6.9: Tähtimalleista laskettuja auringonmassaisen tähden vetyprofiileja ydinreaktioiden kuluttaessa vetyvarastoja. Ytimen ollessa radiatiivinen, ei sekoittumista ydinreaktioalueella tapahdu; KW s Pienimassaisten tähtien kehitys pääsarjassa Kuten edellä esitettiin, ovat pienimassaiset tähdet, 0.08M < M < 0.26M, kokonaan konvektiivisia. Nämä tähdet ovat hyvin viileitä spektriluokan M tähtiä nollaiän pääsarjassa, eli sijaitsevat HR-diagrammassa oikealla alhaalla. Koska nämä tähdet ovat kokonaan konvektiivisia, on niiden kehitys hyvin suoraviivainen: vedyn palaessa pp-ketjulla aine sekoittuu koko ajan, ja sisäosiin virtaa siten koko ajan uutta polttoainetta. Nämä tähdet voivat kuluttaa koko vetyvarastonsa pp-ketjussa, ja pääsarjan loppuvaiheessa kaikki vety on muuttunut heliumiksi. Pääsarjavaiheen aikana nämä tähdet kuumenevat ja kirkastuvat hitaasti, eli liikkuvat hieman nollaiän pääsarjan rajoittaman käyrän vasemmalla puolella vasemmalle yläviistoon. Heliumin palamisreaktiot eivät pääse käynnistymään ytimen alhaisen lämpötilan vuoksi, joten vedyn loputtua kokonaan, jolloin pääsarjavaihe katsotaan päättyneeksi, alkavat nämä tähdet jäähtyä ja kutistua valkoisiksi kääpiöiksi. Kotitehtävä 20: Arvioi pienimassaisten tähtien pääsarjavaiheen pituutta. 6.4 Auringontyyppisten tähtien kehitys pääsarjassa Tähdillä, joiden massat ovat noin 0.26M < M < 1.5M, on radiatiivinen ydin, jota ympäröi konvektiivinen ulkokerros. Ydinreaktiot, jotka tapahtuvat siis pp-ketjulla, ovat keskittyneet radiatiiviseen ytimeen, eikä konvektio pääse sekoittamaan kerrosta. Tällöin jokaisessa pisteessä massakoordinaatin suhteen, X H on verrannollinen lokaaliin energiantuotannon määrään ε H. Ajan t kuluttua, vedyn suhteellisen massaosuuden muutos voi- 92

93 Kuva 6.10: Kaaviokuva lämpötilaprofiilista tähtimallissa, jossa on isoterminen heliumydin, jonka massa on q 0 M. Vety palaa kuoressa (katkoviivalla merkitty alue). KW s daan siis kirjoittaa X H ε H t, (6.38) ja kemiallisen koostumuksen muutosta ajan funktiona voidaan seurata. Tällöin saadaan siis useita, ajassa muuttuvia, vedyn profiileita massakoordinaatin funktiona, kuten Kuvassa 6.9 on esitetty auringonmassaiselle tähdelle. Pääsarjan alussa vedyn palaessa ytimessä, tähti liikku HR-diagrammassa hitaasti vasemmalle ylöspäin melkein nollaiän pääsarjan suuntaisesti sen kuumentuessa ja luminositeetin kasvaessa (ks. alin käyrä Kuvan 6.11 oikeanpuoleisessa paneelissa). Vedyn lähestyessä loppuaan ytimessä, kääntyy kehityskäyrä HR-diagrammassa vähitellen oikealle. Pääsarjan loppuvaiheessa X H 0 tähden keskustassa, jolloin keskustaan muodostuu heliumista koostuva ydin. Lämpötila ei ole tässä vaiheessa tarpeeksi korkea heliumin syttymiseen, joten heliumytimessä ei tapahdu ydinreaktioita. Tällainen ydin on lähellä isotermistä, eli l dt/dr T vakio. Vedyn palaminen siirtyy helium-ydintä ympäröivään kuoreeen, jossa vetyä on edelleen jäljellä, ja lämpötila tarpeeksi korkea, ks. Kuva Pienimassaisilla tähdillä vedyn palamisen siirtyminen ytimestä kuoreen tapahtuu vähitellen, mutta tähden massan kasvaessa prosessi tulee yhä akkinäisemmäksi, ja HR-diagrammassa nähdään selvä hyppäys vasemmalle yläviistoon. Heliumytimen raja siirtyy vähitellen ulospäin, ja sen osuus massasta kasvaa. Keskimääräisen molekyylipainon kasvaessa ytimessä (P 1/µ), ydin luhistuu hitaasti. Jos heliumytimen massa kasvaa tarpeeksi suureksi, ja se pysyy isotermisenä, voi se tulla termisesti epästabiiliksi, ja alkaa romahtaa hyvin nopeassa aikaskaalassa. Massarajaa, jonka ylittyessä luhistuminen käynnistyy, kutsutaan Schönbergin-Chandrasekharin massaksi, ja sille on johdettu arvo (Schönberg & Chandrasekhar, ApJ, 96, 161) ( ) M 2 c M q µenv SC = 0.37, (6.39) µ core 93

94 Kuva 6.11: HR-diagrammeja erimassaisille tähdille tähtimalleista laskettuina. Vasen paneeli: M = 7M, keskimmäinen paneeli: M = 4...8M, oikea paneeli: M = 1...3M ; KW s missä M c on ytimen massa, µ core on ytimen molekyylipaino ja µ env on molekyylipaino ympäröivässä kuorikerrokssa. Kotitehtävä 21: Arvioi Schönbergin-Chandrasekharin massaa eidegeneroituneen auringontyyppisen tähden heliumytimelle. Tähdillä, joiden massa on pienempi kuin 1.5M, heliumydin ehtii kuitenkin degeneroitua ennenkuin luhistuminen alkaa, jolloin kasvanut ytimen paine nostaa kriittistä massaa muutaman prosentin kotitehtävässä johdetusta. Jos massa taas on suurempi kuin 6M, ytimen hidas, molekyylipainon kasvusta johtuva, kutistuminen vapauttaa niin paljon gravitaatioenergiaa, että ydin muuttuu ei-isotermikseksi; ydin kutistuu silti, mutta mekanismi on siis eri. Viriaaliteoreeman mukaisesti, kutistuessaan ydin kuumenee ja sen säteily lisääntyy, jolloin vedyn palamiskuoren reaktiot kiihtyvät voimakkaasti. Tästä seuraa voimakkaasti kasvava paine, jonka ansiosta ulko-osat alkavat laajentua voimakkaasti ulospäin, ja samalla sisäosien luhistuminen kiihtyy; ulko-osien laajentumisesta seuraa tähden säteen kasvu. Koska tähden luminositeetti pysyy likimain vakiona, täytyy efektiivisen lämpötilan pienentyä voimakkaasti. HR-diagrammassa tähti liikkuu näin ollen x-akselin suuntaisesti oikealle, ja poistuu pääsarjasta, ja sen kehitys punaiseksi jättiläiseksi alkaa. 94

95 Kuva 6.12: Vetyprofiileja M = 5M massaiselle tähdelle vedyn palamisen alkaessa konvektiivisessa ytimessä (0), palamisen edettyä (1) ja (2); KW s Keskiraskaiden tähtien kehitys pääsarjassa Tähtien, jotka painivat keskiraskaassa sarjassa, eli niiden massat ovat noin1.5m < M < 10M, pääasiallinen energiantuotantomekanismi on CNO sykli, minkä vuoksi energiantuotanto on keskittynyt hyvin lähelle ydintä. Ytimien ollessa konvektiivisia, sekoittuu aine tehokkaasti, ja vedyn suhteellisen osuuden kehitys voidaan kirjoittaa muodossa X H = ε H t, (6.40) missä ε H on koko ytimen yli laskettu energiantuotantomäärän keskiarvo. Konvektiivisen ytimen massa pienenee vedyn palamisen edetessä, ks. Kuva 6.12, ja lopuksi jäljellä on pieni heliumydin. Heliumytimen suhteellinen massa on sitä suurempi, mitä raskaampi tähti on. HR diagrammassa nämä tähdet käyttäytyvät melko samankaltaisesti massasta riippumatta (ks. Kuva 6.11, kaksi vasemmanpuoleista paneelia): kun vetyä on vielä jäljellä runsaasti, tähden luminositeetti kasvaa ja pintalämpötila pienenee, jolloin tapahtuu hidas siirtymä yläviistoon oikealle (A B). Kun vedyn suhteellinen runsaus ytimessä putoaa alle X H =0.05 (piste B), alkaa koko tähti nopeasti luhistua, minkä johdosta nähdään HR diagrammassa jyrkkä mutka yläviistoon vasemmalle (B C), joka johtuu luhistumisen aiheuttamasta luminositeetin kasvusta ja lämpötilan noususta. Luhistuminen taas johtuu samoista syistä kuin kevyemmillä tähdillä. Näiden tähtien katsotaan poistuvan pääsarjasta pisteen C tultua ohitetuksi, minkä jälkeen vedyn palaminen konvektiivista ydintä ympäröivässä kuoressa jatkuu kutistumisessa kohonneen lämpötilan vuoksi. Vedyn palamisreaktiot kiihdyttävät ytimen kutistumista, joka taas nostaa lämpötilaa; tämä johtaa jälleen palamiskuoren ulkopuolella olevien osien laajenemiseen, ja säteen kasvuun. HR diagrammassa kehityskäyrä kääntyy oikealle yläviistoon kohti jättiläishaaraa (luminositeetti ja säde kasvavat, lämpötila laskee). Kotitehtävä 22: Miten voit selittää luminositeetin muutoksen A B homologisilla relaatioilla? 95

96 Kuva 6.13: Kaaviokuva semikonvektiosta raskaiden tähtien pääsarjavaiheessa. Kiinteä viiva osoittaa (a) kuvassa vetyprofiilin ennen semikonvektion alkamista, ja katkoviiva tilanteen hitaan sekoittumisen jälkeen. Lämpötilagradientin profiili on esitetty paneelissa (b). KW s Raskaiden tähtien kehitys pääsarjassa Yli 10M massaisten, OB spektriluokan, tähtien kehitys on suhteellisen monimutkainen, mutta elinikä varsin lyhyt (vain kymmeniä miljoonia vuosia). Näillä tähdillä on laajalle ulottuva konvektiivinen ydin, jonka paksuus kasvaa massan funktiona, johtuen siitä, että sisäosissa lämpötila on laajalla alueella riittävän korkea ylläpitämään CNO sykliä. Samalla tavalla kuin keskiraskaiden tähtien tapauksessa, konvektiivinen ydin alkaa vedyn palamisvaiheessa kutistua, jättäen jälkeensä ulospäin kasvavan vedyn massaosuuden X H. Tällöin siis konvektiivisen ja radiatiivisen alueen välimaastoon jää kuori, jossa molekyylipaino pienenee ulospäin, eli µ > 0. Ytimen ulkopuolella rad kasvaa, mutta nollasta poikkeava positiivinen µ toimii stabiloivana tekijänä Ledoux n kriteerin (yhtälö 1.107) mukaisesti. Kerros, jossa Schwarzschildin kriteeri ( rad > ad ) osoittaisi konvektiivista epästabiilisuutta, on kuitenkin ns. ylistabiili konvektiota vastaan, ja alkaa oskilloida kasvavalla amplitudilla. Tämä aiheuttaa ilmiön, jota kutsutaan semikonvektioksi, joka aiheuttaa konvektioon verrattuna hidasta sekoittumista. Lämpötilagradientin profiili on hyvin monimutkainen, ks Kuva 6.13, ja tällaisen rakenteen voidaan odottaa liikkuvan koko tähden läpi konvektiivisen ytimen vetäytyessä edelleen. Tähti liikkuu HRdiagrammassa oikealle ylös luminositeetin kasvaessa ja efektiivisen lämpötilan pudotessa. 96

97 Kun vedyn osuus putoaa alle kolmen prosentin, alkaa ydin luhistua sitä koossapitävän säteilypaineen kadotessa. Kutistumisessa vapautuva gravitaatioenergia kuumentaa ydintä, ja samalla säteily lisääntyy. Tästä aiheutuu vedyn palamisen alkaminen konvektiivisen ytimen ulkopuolella, joka näkyy HR-diagrammassa lyhyenä siirtymänä yläviistoon vasemmalle. Ulko-osat alkavat laajentua kasvaneen lämpötilan ja paineen vaikutuksesta, ja tähti suuntaa nopeaa vauhtia vaakasuoraa linjaa pitkin oikealle. 97

98 98

99 Luku 7 Kehitys pääsarjan jälkeen Tähtien kehitykseen pääsarjan jälkeen liittyy useita tähtimallien laskemiselle haastavia vaiheita, minkä vuoksi täysin yleispäteviä tuloksia näille kehitysvaiheille ei tunneta. Mallien kehittyessä tieto myös elää ja vanhenee hyvin nopeasti. Luentomateriaalissa esitetään juuri tällä hetkellä todennäköisimmin parhaiten paikkaansapitävä tieto, joka poikkeaa jonkin verran esimerkiksi Tähtitieteen perusteet ja KW:n sisällöstä, mutta on suurinpiirtein yhtenevä HSH:n kanssa. 7.1 Tähtien kehitys punaisina jättiläisinä Kaikki paitsi kaikkein pienimassaisimmat ( M ), kokonaan konvektiiviset, tähdet, kehittyvät punaisiksi jättiläisiksi. Näissä tähdissä vedyn loputtua lämpötila ei ole riittävän korkea heliumin 3α-reaktioiden käynnistymiseen, vaan vedyn loppumisen jälkeen ne alkavat kutistua valkoisiksi kääpiöiksi. Muut tähdet, eli M, käyvät läpi jättiläisvaiheen. Kehitys tässä vaiheessa elinkaarta tapahtuu olennaisesti eri tavalla kolmen eri massaryhmän sisällä, jotka käsitellään seuraavassa erikseen M massaiset tähdet Pääsarjavaiheen lopussa nämä tähdet polttavat vetyä ohuessa kuoressa (pisteessä D Kuvassa 7.1), jossa koko tähden luminositeetti syntyy. Heliumydin kutistuu, minkä vuoksi se viriaaliteoreeman mukaisesti kuumenee ja sen säteily lisääntyy, jolloin vedyn palamiskuoren reaktiot kiihtyvät voimakkaasti. Lämpötila nousee viimein niin korkeaksi, että CNO sykli alkaa dominoida pp ketjun energiatuotantoa palamiskuoressa. Tästä seuraa voimakkaasti kasvava paine, jonka ansiosta ulko-osat alkavat laajentua voimakkaasti ja tähden säde kasvaa. Koska tähden luminositeetti pysyy likimain vakiona, täytyy efektiivisen lämpötilan pienentyä voimakkaasti. HR-diagrammassa tähti pyrkii näin ollen liikkumaan T eff -akselin suuntaisesti oikealle. Pienimassaiset tähdet eivät kuitenkaan voi edetä näin kovin pitkälle, koska Hayashi käyrä tulee pian vastaan HR diagrammassa. Tähdet eivät voi siirtyä sen oikealle puolelle kielletylle alueelle, vaan niiden luminositeetti alkaa kasvaa voimakkaasti, ja tähti liikkuu Hayashi käyrän läheisyydessä voimakkaasti oikealle yläviistoon, kuten Kuvan 7.1 vasen paneeli havainnollistaa. Samalla tähtien ulko-osaan muodostuu sisäänpäin laajeneva konvektiokerros, josta seuraa sisä- ja ulko-osien materiaalin sekoittuminen (KW:ssä tätä vaihetta kutsutaan termillä first dredge up). Monotoninen luminositeetin kasvu pysähtyy 99

100 Kuva 7.1: Vasen paneeli: 1.3M massaisen tähden kehityskäyrä pääsarja- (A D) ja jättiläisvaiheen (D ) aikana HR-diagrammassa laskettuna tähtimallista, jossa alkutilan kemialliset koostumukset ovat X = 0.9, Y = 0.099, ja Z = Nuolet osoittavat kehityskulun suunnan. Pisteviivojen välissä tapahtuu edestakainen liike, joka johtuu vedyn palamiskuoren tavoittaessa syvän konvektiokerroksen sekoittaman materiakerroksen (first dredge up). Oikea paneeli: sisärakenteen kehitys ajan funktiona. Viivoitetulla alueella tapahtuu vedyn palamisreaktioita, mylpyräisellä alueella tapahtuu konvektiota. KW s hetkellisesti palamiskuoren tavoittaessa sekoittuneen materian kerroksen (pisteviivojen välinen edestakainen liike Kuvan 7.1 oikeassa paneelissa). Jos tähden massa on tarpeeksi pieni M < 1.5M, seuraa helium-ytimen kutistumisesta (tiheys kasvaa) ytimen elektronikaasun voimakas degeneraatio; degeneraatioaste saattaa kivuta yli 50 prosenttiin ytimessä. Tähti on siis jakautunut vedyn palamiskuoren rajoittamaan kahteen erilaiseen alueeseen: sisäpuolella on degeneroitunut ja kuuma helium-ydin, kerroksen ulkopuolella huomattavasti viileämpi vetyrikas ei-degeneroitunut konvektiivinen ulkokuori. Ytimen lämpötilan koko ajan noustessa, saavutetaan lopulta heliumin 3α-reaktioiden syttymisraja (T 10 8 K), jolloin ydin alkaa jälleen tuottaa energiaa ydinreaktioilla. Tällöin ytimen massa on noin 0.45M kaikenmassaisille tähdille. Tästä eteenpäin kehitys eriää degeneraatioasteesta riippuen. Helium-leimahdus, M Jos ydin on voimakkaasti degeneroitunut ( M ), johtaa heliumin syttyminen Helium-leimahdukseen. Ydinreaktioiden alettua nousee ytimen lämpötila, joka ei-degene- 100

101 Kuva 7.2: Jättiläisvaiheen kehityskäyriä HR diagrammassa erimassaisille tähdille. Paksut käyrien osat osoittavat eri ydinreaktioiden päävaiheita. AGB tarkoittaa asymptoottista jätiiläishaaraa, ja RGB punaisten jättiläisten haaraa. HSH s. 89. roituneen ytimen kyseessä ollessa johtaisi ytimen laajenemiseen. Degeneroituneen ytimen tapauksessa paine riippuu tiheydestä eikä lämpötilasta, jolloin laajenemista ei tapahdu. Tällöin ydinreaktiot kiihtyvät edelleen, joka taas nostaa lämpötilaa edelleen. Prosessi kertautuu hyvin nopeasti (muutamassa sekunnissa), ja johtaa huikeisiin luminositeetin arvoihin ytimessä (10 46 erg s 1 ). Tätä ytimen luminositeetin äkillistä kasvua kutsutaan helium-leimahdukseksi. Syntynyt energia kuluu ensinnäkin ytimen degeneraation poistamiseen, ja toiseksi sitä seuraavaan ytimen laajenemiseen. Ulospäin leimahdus näkyy luminositeetin pienentymisenä (ks. Kuva 7.1); kaikki vapautunut energia kuluu degeneraation poistamiseen ja ytimen laajenemiseen, kun ulko-osat taas kutistuvat jonkin verran. Ytimen paine riippuu taas tiheydestä ja lämpötilasta, minkä vuoksi se laajenee ja jäähtyy, ja muuttuu konvektiiviseksi. Konvektiivisen ytimen koko kasvaa ajan mittaan, ja saattaa yltää lähelle konvektiivisen ulkokuoren alarajaa. Helium-leimahduksen jälkeen tähti hyppää HR-diagrammassa jättiläistähtien horisontaalihaaralle (ks. Kuva 7.2). Tämän jälkeen seuraa kategorian raskaampien tähtien kehitystä muistuttava rauhallinen vaihe, jota käsitellään seuraavaksi. Tällöin tähti liikkuu horisontaalihaaralta kohti asymptoottista jättiläishaaraa, ja viimein yhtyy siihen (AGB Kuvassa 7.2). 101

102 Kuva 7.3: Yläpaneeli: 5M massaisen tähden sisärakenteen kehitys ajan funktiona. Alapaneeli: Tähden kehityskäyrä HR diagrammassa. KW s M Näillä tähdillä heliumin syttyminen tapahtuu rauhallisesti, koska ydin ei ole merkittävästi degeneroitunut. Energiantuotanto tapahtuu heliumin palaessa konvektiivisessa ytimessä hiileksi 3α reaktiossa ja vedyn palessa heliumiksi ydintä ympäröivässä kuoressa. Kun helium ytimessä loppuu, jää jäljelle hiiliydin, ja heliumin palaminen siirtyy tätä ydintä ympäröivään kuoreen. Lämpötila ei riitä hiilen syttymiseen. Tätä ympäröi toinen kuori, jossa vety palaa. Vedyn palamiskuori etenee ulospäin kohti kylmempiä kerroksia, ja 102

103 viimein saavuttaa kerroksen, joka on liian viileä vedyn reaktioiden ylläpitämikseksi. Tällöin jäljelle jää vain heliumin palamiskuori, joka myös etenee ulospäin. Kun se saavuttaa sammuneen vetykuoren, nousee sen lämpötila uudelleen, ja vedyn reaktiot käynnistyvät taas. Tällainen sykli, jota kutsutaan termiseksi sykinnäksi, saattaa toistua useita kertoja. Hiiliytimessä ei siis tapahdu ydinreaktioita, joten ydin alkaa luhistua ja degeneroitua. Heliumin palaessa, hiiliytimen massa kasvaa koko ajan. Tämä luhistaa ydintä lisää, ja sen degeneraatioaste kasvaa. Vaikka ytimen ulkopuolella vedyn ja helium ydinreaktiot jatkuvat, alkaa ydin muistuttaa yhä enemmän valkoista kääpiötä. Termiset pulssit vaikuttavat voimakkaimmin pienimassaisten tähden kehityskäyrään siten, että luminositeetti ja pintalämpötila saattavat vaihdella huomattavastikin (edestakaista huojuntaa HR-diagrammassa); ytimen ominaisuuksiin termisillä pulsseilla ei ole suurta merkitystä. Niin kauan kuin ydinreaktiot pysyvät käynnissä palamiskuorissa, näyttäytyy tähti ulospäin punaisena jättiläisenä. Kun tähden ulkokerrosten massasta on jäljellä noin 1 prosentti, palaminen kuorissa loppuu. Kuoret luhistuvat ytimeen, ja esiin tulee ytimessä jo valmistunut valkoinen kääpiö. Pienimassaisilla tähdillä tähän kehitysvaiheeseen liitty usein (noin 50 prosentilla) planetaarisen sumun muodostuminen, kun tähti sinkoaa osan vetypitoisesta ulkokuorestaan ympärilleen sisempien osien luhistuessa valkoisen kääpiön pinnalle. Suurimassaiset tähdet taas voivat menettää merkittävän osan massastaan jo jättiläisvaiheessa, jolloin tähden säde kasvaa hyvin suureksi. Tällöin säteilypaineen voima riiittää suistamaan ulko-osien kaasua tähden gravitaatiopotentiaalin ulottumattomiin M massaiset tähdet Näiden tähtien kehityksen loppuvaiheet ovat erittäin koukeroiset HR diagrammassa (ks. Kuvat 7.2 ja 7.3). Kun edellisessä kategoriassa oli rakenteeltaan varsin erilaisia tähtiä (radiatiivinen ydin konvektiivinen vaippa; pieni konvektiivinen ydin radiatiivinen vaippa), tämä kategoria on pääsarjan jälkeiseltä rakenteeltaan homogeeninen: tähdillä on konvektiivinen helium ydin, ja vetyä polttava ulkokuori konvektiivisen ytimen ympärillä. Vetykuoren muodostuttua tähtien kehityskäyrä kääntyi oikealle yläviistoon (pisteen C jälkeen), jolloin niiden katsottiin poistuvan pääsarjasta. Tämän jälkeen tähden ei voi katsoa olevan termisessä tasapainossa, vaan kehitys tapahtuu Kelvin-Helmholtz (termisessä) aikaskaalassa, ja energiayhtälön (2.3) aikaderivaatat tulee ottaa huomioon tähtimalleissa. Ydin ja ulko-osat kehittyvät nopeasti päinvastaisiin suuntiin: vedyn palamiskuoren ulkopuoliset alueet laajenevat, kun taas ydin luhistuu. Ytimen luhistuessa sen tiheys ja lämpötila kasvavat, mutta tiheydet eivät ole niin suuria, että ydin degeneroituisi. Tähti siirtyy HR diagrammassa voimakkaasti oikealle alaviistoon, säteen kasvaessa voimakkaasti ja luminositeetin pienentyessä. Tähti hyppää koko Hertzsprungin aukon yli pääsarjasta punaisten jättiläisten haaraan Kelvin- Helmholtz aikaskaalan pituisessa ajassa; tämän vuoksi tässä kohtaa diagrammaa ei havaitakaan tähtiä. Lopulta lämpötila kasvaa niin suureksi, että heliumin palaminen käynnistyy ytimessä. Heliumin palamisen alkaessa (piste D) tähti on siirtynyt hyvin lähelle Hayashi käyrää. Tässä vaiheessa sille kehittyykin konvektiokerros myös ulko-osiin; mitä raskaampi tähti, sitä syvempi konvektiokerros on. Jos massa on yli 7 M, konvektiokerros on niin syvä, että sisäosan ydinreaktioissa modifioituneet ainekset sekoittuvat pintakerroksen kanssa (KW; first dredge-up). Helium-ytimen ydinreaktiot ylläpitävät pientä konvektiivis- 103

104 Kuva 7.4: 25M massaisen tähden sipulirakenne kehityksen loppuvaiheessa. y akselilla on esitetty massakuoren, ja x akselilla lämpötilan ja tiheyden tyypillisiä arvoja. KW s ta ydintä. Alkuvaiheessa 3α-reaktio dominoi, mutta kun tämän reaktion lopputuotteena syntyvän 12 C:n konsentraatio kasvaa, ottaa reaktio 12 C + α 16 O hetkeksi ylivallan. Tämän reaktion käynnistyttyä alkaa 12 C-konsentraatio jälleen pienentyä, ja lopulta 12 C:a ja 16 O:a on ytimessä suurinpiirtein saman verran. Heliumin palaminen ytimessä kestää suhteellisen lyhyen ajan, noin10 7 vuotta, ja tähti liikkuu sinä aikana pisteestä D aina pisteeseen G saakka, tehden vauhdikkaan koukkauksen Hayashi-viivan läheisyydestä kohti suurempaa luminositeettia ja korkeampaa pintalämpötilaa. Mitä massiivisempi tähti on, sitä laajempi on kaari HR-diagrammassa; kategorian kevyimmillä tähdillä koukkauskuvio redusoituu pelkäksi ylös-alas sahaamiseksi Hayashi-käyrän läheisyydessä. Koukkauksen ääripiste (F) vastaa suurinpiirtein tilannetta, jossa ytimen heliumpitoisuus on pudonnut noin neljännekseen. Kotitehtävä 23: Arvioi Kelvin Helmholtz (eli termisen) aikaskaalan riippuvuutta massasta, ja laske kuinka kauan aikaa tähdiltä kuluu minimissä ja maksimissa Hertzsprungin aukon ylittämiseen? Vertaa tätä aikaa tähtien pääsarjassa viettämään aikaan, ja toisaalta heliumin palamisvaiheen pituuteen. Pisteen G jälkeen heliumin palaminen siirtyy ydintä ympäröivään kuoreen. Palamisen edetessä pääosin hiilestä, hapesta ja typestä koostuvan ytimen massa kasvaa, ja 104

105 ydinreaktioiden lakattua ydin alkaa kutistua. Tähdellä on siis kaksi ydinreaktioilla energiaa tuottavaa massakuorta, ulompi vetyä polttava ja sisempi heliumia polttava kuori. Tämä voi johtaa kevyempien tähtien kategorian yhteydessä kuvattuun termiseen sykintään, ja uuteen koukkauskierrokseen HR-diagrammassa (G K). Samanaikaisesti tähden ulko-osat muuttuvat konvektiivisiksi, ja kerroksen paksuus kasvaa ajan kuluessa. Kerros ulottuu ydinreaktioiden prosessoimiin kerroksiin, jotka sekoittuvat jo toisen kerran (KW: second dredge up) M > 8M Näillä tähdillä vety palaa CNO syklillä konvektiivisessa ytimessä. Kun ydinpolttoaine ytimessä loppuu, ja massiivinen ydin alkaa kutistua, kasvaa tässä prosessissa vapautuvan energian määrä hyvin nopeasti samaan mittakaavaan ydinreaktioiden vapauttaman energian kanssa. Ytimen ulkoreunalle muodostuu kuorikerros, jossa vety alkaa palaa. Tässä vaiheessa vedyn palamiskuori tuottaa noin neljäsosan, ja gravitaatioluhistuminen noin kolme neljäsosaa tähden luminositeetista. Pääero kevyempien tähtien jättiläisvaiheen kehitykseen onkin siis ytimen luhistumisessa vapautuvan gravitaatioenergian dominoiva rooli energiantuotannossa. Vedyn kuoripolttoon siirtymävaiheessa nähdään HRdiagrammassa hyppäys yläviistoon vasemmalle (ks. Kuvan 7.2 ylin, 25M massaisen tähden kehityskäyrä), kun luminositeetti ja pintalämpötila kasvavat. Vedyn palamisreaktiot kiihtyvät samalla kuin ydin luhistuu, ja voimakas säteilypaine laajentaa ulko-osia. Kevyitä tähtiä voimakkaammasta säteilypaineesta seuraa myös konvektion säilyminen tähden ytimessä. Lämpötila ytimessä nousee nopeasti, ja heliumin palaminen alkaa, mikä osittain pysäyttää luhistumisen. Tähden kehityskäyrä on lähes horisontaalinen, oikealle kulkeva, suora HR-diagrammassa. Tähti siirtyy pääsarjasta ylijättiläshaaraan. Pääosa luminositeetista tulee edelleen vedyn palamiskuoresta. Koska lämpötila ytimessä on luhistumisen aikana kasvanut tasaisesti, käynnistyy myös hiilen palaminen, vaikka helium ei ole vielä kulunut loppuun. Kun Helium loppuu ytimestä, siirtyy sen palaminen ydintä ympäröivään kuoreen, hiilen palaessa ytimessä. Seuraavaksi ytimessä käynnistyy neonin palaminen. Lopulta tähdessä on sipulimainen rakenne palamiskuoria (Kuva 7.4), lähimpänä pintaa vedyn palamiskuori, ytimessä pii palaa raudaksi ja nikkeliksi. Kotitehtävä 24: Punainen jättiläistähti, jonka säde on R = 100R, on kuluttanut kaiken vedyn ytimestään, mutta heliumin palaminen ei ole vielä alkanut. Tähti tuottaa energiaa helium-ydintä ympäröivässä vetykuoressa, jonka sisäsäde on m ja ulkosäde m. Kuoren keskitiheys on kgm 3, ja lämpötila K. Laske energiantuotannon määrä, luminositeetti ja pintalämpötila, käyttäen kaavakokoelman kaavoja, ja arvoja X CNO = 10 3 X 1 ja X 1 =

106 106

107 Luku 8 Tähtien elinkaaren loppuvaiheita Tässä luvussa käsitellään tähtien kehitystä juuri ennen ydinreaktioiden loppumista, ja niiden viimein lopputtua. 8.1 Räjähdykset Tähtien kehityksen päätepisteeseen liittyy usein äkillisiä purkauksia tai räjähdyksiä. Näihin lukeutuvat planetaariset sumut, ja erityyppiset supernovat. Vain harvoin tähti tuhoutuu näissä räjähdyksissä kokonaan jäljelle jää myös luhistuva ydin, joka päätyy kompaktiksi objektiksi, joita ovat valkoiset kääpiöt, neutronitähdet ja mustat aukot; lopputila riippuu jälleen tähden massasta. Karkeasti voidaan jaotella planetaarisia sumuja ja tyypin Ia supernovia tuottavien tähtien kehityksen johtavan valkoisten kääpiöiden syntymiseen, kun taas tyypin Ib, Ic ja II supernovina elämänsä päättävät tähdet jättävät jälkeensä neutronitähden tai mustan aukon Planetaariset sumut Kuten jo aikaisemmin on mainittu, tähtien, joiden massa on karkeasti välilla M, loppuvaiheeseen liittyy usein (noin 50 prosentilla) planetaarisen sumun muodostuminen. Ydinreaktioiden loppumisen jälkeen palamiskuoret alkavat luhistua sisäosiin muodostuneen degeneroituneen valkoisen kääpiön pinnalle, ja vetypitoiset ulko-osat sinkoutuvat tähden ympärille. Nämä valkoiset kääpiöt koostuvat pääosin heliumin palamistuotteista, eli C 12 :sta ja O 16 :sta. Laajeneva vaippa muodostaa rengasmaisen sumun. Keskustähti jatkaa jäähtymistään ja kiteytymistään valkoisena kääpiönä (käsitellään erikseen kappaleessa 8.2.1). Nimitys planetaarinen sumu viittaa harhaanjohtavasti planeettoihin; tämä johtuu siitä, että ensimmäiset havaitut planetaariset sumut näyttivät pienillä teleskoopeilla ulkoplaneettoja muistuttavilta vihertäviltä kaasupalloilta. Kuvassa 8.1 on yksi nuorimmista koskaan havaituista planetaarisista sumuista, joka on nimetty Stingraysumuksi Tyypin Ia supernovat Supernovat on jaoteltu tyypin I tai II supernoviksi sen mukaan, näkyykö (tyyppi II) vai ei (tyyppi I) niiden spektrissä vedyn Balmerin sarjan absorptioviivoja. Näistä tyypin Ia supernovat syntyvät pienimassaisten tähtien kehityksen päätepisteinä (kuvataan tässä 107

108 Kuva 8.1: HST-WFPC2-havainto nuoresta planetaarisesta sumusta. Image Credit: Matt Bobrowsky (Orbital Sciences Corporation) ja NASA. kappaleessa tarkemmin), ja kaikki muut tyypit raskaiden (yli 8M ) tähtien räjähtäessä loppuvaiheissaan. Tyypin Ia supernovina räjähtävien tähtien massat ovat vain vähän Auringon massaa suurempia. Juuri edellä kerrottiin, että tämän massaiset tähdet päättävät kehityksensä valkoisina kääpiöinä. Tämä kehityskulku voi kuitenkin muuttua, jos kääpiötähti on osallisena lähekkäisessä kaksoistähtijärjestelmässä. Sen seuralainen voi luovuttaa kääpiötähdelle massaa (ks. Kuva 8.2), josta seuraa toistuvia novapurkauksia. Osa massasta jää kuitenkin kartuttamaan kääpiötähden massaa, joka lähestyy Chandrasekharin massaa (ks. kappale 8.2). Jos massaraja ylittyisi, degeneroituneen elektronikaasun paine ei riittäisi ylläpitämään hiili-happi-kääpiön ydintä gravitaatioluhistumista vastaan, vaan ydin alkaisi luhistua rauhallisesti neutronitähdeksi. Nykyinen konsensus kuitenkin on, että kertymisprosessissa, hieman ennen rajamassan saavuttamista, ytimen lämpötila nousee niin korkeaksi, että luhistumisen sijaan hiilen palaminen alkaa. Tämä tapahtuu salamannopeasti ja seuraa hiili-leimahdus (vrt. heliumleimahdus), minkä jälkeen tähti räjähtää supernovana. Tähti voi räjähtää joko kokonaan, kuten Kuvassa 8.2 tai osittain. Samalla kaksoistähtisysteemi todennäköisimmin hajoaa. Jos tähden ytimestä jää jotain jäljelle, muodostuu siitä valkoinen kääpiö Tyypin II supernovat Tyypin II supernovina räjähtävien tähtien massat ovat suurinpiirtein yli8m. Näille tähdille on kehittynyt ydinreaktioiden lopputuloksena sipulirakenne, jossa uloimpanana on vedyn palamistuotteita, ja sisimpänä rauta-nikkeliydin (ks. Kuva 8.3). Keskustan läm- 108

109 Kuva 8.2: Kaksoistähtisysteemissä kehittyvän vähän Aurinkoa raskaamman tähden kehitys valkoisesta kääpiöstä tyypin Ia supernovaksi. Image credit: NASA, ESA and A. Feild (STScIa) pötila on erittäin korkea, noin K, ja niinpä ytimen elektronikaasu on relativistista. Ydinreaktioiden lakattua ytimessä, riippuu kehitys ytimen massasta ja degeneraatioasteesta. 1. Kategorian pienimassaisilla tähdillä ydin on voimakkaasti degeneroitunut. Se kerää massaa sisimmästä sitä ympäröivästä piin palamiskuoresta, ja kun massa ylittää Chandrasekharin massan, alkaa ydin luhistua. Raskaiden ydinten elektronisieppaukset pienentävät painetta ytimessä, ja tämä toimii luhistumisen laukaisijana. 2. Jos elektronikaasu ei ole voimakkaasti degeneroitunutta (massiiviset tähdet), voimakkaan säteilyn aiheuttama raskaiden ydinten fotohajoaminen ja relativistiset efektit pienentävät painetta, ja aiheuttavat luhistumisen. Ytimen luhistuminen tapahtuu hyvin nopeasti, hydrostaattisessa (dynaamisessa) aikaskaalassa, eli tässä tapauksessa sekunnin murto-osissa. Luhistumisessa vapautuva gravitaatioenergia kuluu osittain ensin rautaydinten hajoamiseen heliumytimiksi, seuraavaksi heliumydinten hajoamiseen protoneiksi ja neutroneiksi, ja tiheyden edelleen kasvaessa ytimen protonit ja elektronit yhtyvät muodostaen neutroneja. Lopputuloksena on 109

110 Kuva 8.3: 25M -massaisen tähden rakenne ydinreaktioiden loppuvaiheessa. KW, s. 357 siis suurimmaksi osaksi neutroneista muodostunut ydin. Protonien ja elektronien muodostaessa neutroneja vapautuu myös runsaasti neutriinoja, jotka tehokkaasti kuljettavat lämpöenergiaa pois ytimestä. Ytimen luhistuessa tähden ulko-osat äkillisesti kuumentuvat, ja ydinreaktiot lähtevät jälleen räjähdysmäisesti käyntiin. Tämä nähdään supernovaräjähdyksenä, josta aiheutuu kymmenien tuhansien kilometrien sekuntivauhdilla etenevä shokkiaalto. Ytimen luhistuminen jatkuu kuitenkin riippumattomasti ulko-osien räjähdyksestä. Ytimen luhistuminen siis jatkuu, koska ei-degeneroituneen neutronikaasun paine ei vielä riitä vastustamaan gravitaatiovoimaa. Neutronipuuro alkaa siis degeneroitua, ja jos ytimen massa on pienempi kuin ns. Oppenheimer-Volkoff -massa (ks. seuraava kappale), luhistuminen pysähtyy, kun neutronikaasu on täydellisesti degeneroitunut. Lopputuloksena muodostuu siis neutronitähti. Jos ytimen massa taas ylittää Oppenheimer-Volkoff -massan, jatkuu luhistuminen edelleen, kunnes ytimestä tulee musta aukko Tyypin Ib ja Ic supernovat Myös nämä supernovat aiheutuvat raskaiden tähtien räjähdyksistä loppuvaiheissaan. Spektrin poikkeavuus (vedyn Balmerin sarjan puuttuminen) tyypin II supernovista uskotaan johtuvan siitä, että näillä tähdillä merkittävä osa uloimpien kuorten massasta poistuu tähden pinnalta voimakkaina tähtituulina, tai tähden vuorovaikuttaessa kumppaninsa kanssa kaksoistähtijärjestelmässä, ennen supernovaräjähdystä. 8.2 Kompaktit objektit Räjähdyksiä tai ei, kaikkien tähtien lopullinen olotila on degeneroitunut kompakti objekti, ellei koko tähti tuhoudu räjähdyksessä. Jälleen kerran tähden massa, ja suurilta osin myös se, kuinka paljon massaa tähti elinkaarensa aikana menettää, määrää kehityksen loppupisteen. Kompakteille, degeneroituneille objekteille on yleistä, että mekaanistet ja termiset ominaisuudet ovat enemmän tai vähemmän riippumattomia toisistaan. 110

111 8.2.1 Valkoiset kääpiöt Valkoisten kääpiöden säde on noin 10 2 R, tiheys 10 9 kg m 3, ja pakonopeus 0.02c. Ensimmäiset valkoiset kääpiöt havaittiin kymmeniä vuosia ennenkuin niiden olemassaolo ja ominaisuudet osattiin selittää. Valkoisiksi kääpiöiksi päädytään useita eri reittejä, ja valtaosa tähdistä päättää elämänsä tässä tilassa. Joitakin reittejä on jo käyty läpi jo aikaisemmin, mutta summataan kaikki vaihtoehdot vielä tässä yhteydessä: 1. Hyvin pienimassaiset ( M ), kokonaan konvektiiviset, tähdet polttavat kaiken sisältämänsä vedyn konvektion sekoittaessa niiden ainetta tehokkaasti. Lopulta nämä tähdet koostuvat vedyn palamistuotteesta eli heliumista. Kun vedyn ydinreaktiot lakkaavat, alkavat tähdet kutistua valkoisiksi kääpiöiksi. Viriaaliteoreeman mukaisesti vapautuva gravitaatioenergia kuumentaa tähden kaasua ja samalla säteily voimistuu, ja kaikkien efektien yhteisvaikutuksesta tähti liikkuu aluksi HR-diagrammassa horisontaalisesti vasemmalle. Samalla ydin degeneroituu, ja luhistuminen jatkuu, kunnes ydin koostuu täydellisesti degeneroituneesta elektronikaasusta. Tämän jälkeen objektit säteilevät ympäristöönsä sisäistä termistä energiaansa, ja jäähtyvät ja himmenevät. Tässä vaiheessa tähdet liikkuvat HRdiagrammassa oikealle alas vakiosäteen suoraa pitkin. 2. Auringonmassaisten tähtien (0.26 3M ) kehityksen loppuvaiheessa, niiden ydinten kutistuessa ydinreaktioiden lakattua, syntyy keskusosaan valkoinen kääpiö, jonka pinnalle osa ulkokuoresta luhistuu kuoripoltonkin loputtua. Kehitys tapahtuu samankaltaista kehityskäyrää pitkin kuin keveillä tähdillä (ks. Kuva 8.4), mutta tähtien koostumus on olennaisesti erilainen. Tämä johtuu siitä, että näissä tähdissä lämpötila kohoaa tarpeeksi korkeaksi heliumin syttymiseen, josta jää jäljelle hiilihappi ydin. Jos tässä vaiheessa kehitystä jäljelle jääneen tähden massa ylittää ns. Chandrasekharin massan, M Ch, ei se voi jäädä valkoiseksi kääpiöksi, vaan jatkaa luhistumista edelleen neutronitähdeksi tai mustaksi aukoksi. 3. Keskiraskaiden tähtien (3 8M ) kehityksen loppuvaiheessa voi myös muodostua valkoinen kääpiö, jos tähän kehitysvaiheeseen ehtinyt tähti on kevyempi kuin M Ch. Koostumus poikkeaa hiukan edellisestä luokasta, koska näissä tähdissä myös hiili palaa hapeksi. Nämä tähdet saattavat menettää runsaastikin massaa jättiläisvaiheen aikana. Jäähtyminen ja kiteytyminen Kun luhistuminen pysähtyy täysin degeneroituneen elektronikaasun tasapainottaessa gravitaatiovoiman, on valkoinen kääpiö virallisesti syntynyt. Tämän jälkeen alkaa objektin jäähtyminen, ja kun jäähtyminen etenee, materian kiteytyminen. Valkoinen kääpiö säteilee ympäröivään avaruuteen jäljellä olevaa sisäenergiaansa, ja muuttuu vähitellen mustaksi kääpiöksi, kun tämäkin energiavarasto ehtyy. Koska kyseessä on degeneroitunut materia, mekaaniset ja termiset suureet ovat melkeinpä riippumattomia toisistaan, ja tilanne poikkeaa tässä mielessä olennaisesti miltei kaikesta tällä kurssilla aikaisemmin käsitellystä. Valkoisten kääpiöiden ytimessä degeneroituneella elektronikaasulla on suuri lämmönjohtavuus. Niiden luminositeetti on myös hyvin pieni. Näistä kahdesta asiasta seuraa, että 111

112 Kuva 8.4: Auringonmassaisen tähden kehityskäyrä pääsarjavaiheen jälkeen HRdiagrammassa. Lähde: Allison Wesley. lämpötilagradientit eivät voi olla suuria, ja ydin on hyvin lähellä isotermistä. Ulko-osissa, missä tiheys on pienempi, on kaasun degeneraatioaste myös pienempi, lämpötilagradientti suurempi, ja lämmönsiirto tapahtuu joko säteilemällä tai konvektiolla. Tämä kerros on kuitenkin hyvin ohut, vain noin prosentti tähden säteestä. Valkoisen kääpiön kaasun sisäinen terminen energia, E i, koostuu degeneroituneen elektronikaasun ja ei-degeneroituneen ionikaasun energioista, E e ja E ion. Muistamme erittäin hyvin viriaaliteoreeman normaalille kaasulle (yhtälö 1.57), joka kertoo, että jos tähti säteilee (L > 0), se myös kuumenee (de i /dt > 0). Valkoiselle kääpiölle tilanne on kuitenkin erilainen, koska elektronikaasun paine ei riipu lämpötilasta, ja tiheys muuttuu hyvin vähän. Jos tähti luhistuu, varastoituu vapautuva gravitaatioenergia lähes kokonaan elektronikaasuun, jonka Fermi-energia kasvaa. Tämä voidaan esittää valkoisen kääpiön viriaaliteoreemana L de ion dt dt dt, (8.1) eli ionikaasun sisäisen energian muutos on valkoisen kääpiön luminositeetin lähde. Tämä antaa selityksen valkoisen kääpiön jäähtymismekanismille, joka johtaa mustan kääpiön syntyyn. Valkoiselle kääpiölle, jonka ohut ulkokerros on radiatiivinen, jäähtyminen tapahtuu aikaskaalassa τ c a A ( ) 5/7 M/M, (8.2) L/L missä A on ionien massaluku. Kun valkoisen kääpiön sisäenergia putoaa tarpeeksi alas, ionit järjestäytyvät ja muodostavat kidehilan, eli kiteytyvät. Kiteytymistä alkaa tapahtua, kun ionien sisäenergia, 112

113 Kuva 8.5: Kaaviokuva valkoisten kääpiöiden massa-säde relaatiosta Chandrasekharin teorian mukaan, olettaen, että paine aiheutuu ideaalisesta, degeneroituneesta elektronikaasusta. Nuolet osoittavat suunnan, johon epästabiili konfiguraatio siirtyy, jos gravitaatio kasvaa suuremmaksi (nuolet alas) tai tulee pienemmäksi (nuolet ylös) kuin paineen gradientti. Korjauksia teoriaan tarvitaan sekä massan ylä- että alarajalla.; KW s. 369 E ion = 3 2 kt, lähestyy niiden Coulombin energiaa, E C = (Ze) 2 /(4πε 0 r ion ), missä Z on järjestysluku ja r ion on ionien keskimääräinen etäisyys ja ε 0 tyhjiön permittiivisyys, eli suhde Γ C E C E ion = (Ze) 2 6πε 0 kr ion T 1 (8.3) Kiteytyminen tulee hallitsevaksi, kun Γ C 100, eli kun terminen energia on pudonnut sata kertaa pienemmäksi kuin Coulombin energia. Tästä voimme ratkaista faasitransitiota vastaavan lämpötilan T m (alaindeksi viittaa kidehilan sulamiseen melting ). Kotitehtävä 25: Johda faasitransitiota vastaava lämpötila, T m, ja arvioi sen riippuvuutta valkoisen kääpiön kemiallisesta koostumuksesta (helium- vastaan hiili-happi -kääpiöt). Kuinka kauan kestää näiden tähtien jäähtyminen mustiksi kääpiöiksi? Chandrasekharin massa Palataan jälleen polytrooppisiin malleihin valkoisten kääpiöiden rakenteen ymmärtämiseksi; tämä on mahdollista siksi, että degeneroituneissa objekteissa termiset ja mekaaniset suureet ovat milteipä riippumattomia toisistaan. Kuten todettua jo aikaisemmin, eirelativistisen degeneroituneen elektronikaasun tilayhtälö on polytrooppinen, polytroop- 113

114 pisen indeksin ollessa n = 3/2, ja polytrooppiselle vakiolle voidaan kirjoittaa yhtälö K = 1 ( ) 3 2/3 h π m e (µ e m u ) 5/3; (8.4) Jos oletamme kemiallisen koostumuksen annetuksi, eli µ e :n olevan vakio, on myös K vakio. Olkoon keskustan tiheys ρ c, ja Lane-Emdenin yhtälöstä integroimalla saadaan θ(ξ) ja θ (ξ). Emdenin muuttujissa tiheyttä edusti skaalattu muuttuja θ, ρ = ρ c θ n, ja sädettä ξ = r α, ja α:n määritelmästä saadaan ( r ξ ) 2 = 1 (n+1)kρ1 n n c. (8.5) 4πG Tähden pinta on kohdassa ξ n, jossa tiheys, θ lähestyy nollaa, eli R = αξ n, jolle täytyy päteä R ρ 1 n 2n c. (8.6) Jos n > 1, nähdään, että säde pienenee, kun keskustan tiheys kasvaa. Kun tiheys on äärettömän suuri, saa säde arvon nolla. Massalle saadaan ) ( ) M = C 1 ρ 3 n 2n c ; C 1 = 4π ( θ n+1 3/2 K 3/2. (8.7) ξ 4πG ξ n ξ 3 n Eilminoimalla ρ c kahdesta ylläolevasta yhtälöstä saadaan säteen riippuvuus massasta R M 1 n 3 n, josta saadaan degeneroituneelle ei-relativistiselle elektronikaasulle relaatio (8.8) R M 1/3 ; (8.9) tämä on sangen hämmästyttävä tulos: mitä suurempi on tähden massa, sitä pienempi on säde. Tähden säde siis kutistuu massan kasvaessa, kunnes äärettömän suurelle massalle tähti olisi pelkkä piste. Kuitenkin paljon tätä ennen, tässä käytetty tilanyhtälö ei enää päde, koska tiheyden aina vaan kasvaessa, elektronikaasu muuttuu relativistiseksi, ja polytrooppi-indeksi lähestyy arvoa n = 3. Polytrooppinen vakio on eri, mutta edelleen sitä voidaan pitää vakiona. Valkoisen kääpiön voidaan ajatella koostuvan relativistisesta ytimestä, jonka tilanyhtälö noudattaa polytrooppilakia indeksillä n = 3, kun taas ulko-osissa elektronikaasu on ei-relativista vastaten tilanyhtälöä indeksillä n = 3/2. Tällaiselle konfiguraatiolle ytimen massa on yhtälön (8.7) mukaan vakio, M = C 1 = 4π ( θ ξ ) ξ 3 ξ 3 3 ( ) K 3/2 = vakio. (8.10) πg Tämä on ainoa mahdollinen massa relativistiselle degeneroituneille polytroopeille, ja sitä kutsutaan Chandrasekharin massaksi. Kun relaatioon sijoitetaan Lane-Emden yhtälön integroinnista saadut numeeriset arvot, voidaan massa kirjoittaa muodossa M Ch = µ 2 M. (8.11) e 114

115 Kuva 8.6: Kaaviokuva neutronitähden mahdollisesta rakenteesta. Lähde: Robert Schulze. Tämä tarkoittaa sitä, että keskustan tiheyden kasvaessa kohti ääretöntä, valkoisen kääpiön massa lähestyy tätä vakioarvoa, kun säde lähestyy nollaa. Tämä lopputila on fysikaalisesti epärealistinen, ja korjauksia tilanyhtälöön tarvitaan korkeissa tiheyksissä. Kuvassa 8.5 esitetään valkoisten kääpiöiden massa-säde relaatio kaaviokuvan avulla. Käyrä esittää tasapainotilaa, jossa gravitaatiovoima tasapainottaa paineen gradientin. Jos gravitaatio tulee pienemmäksi kuin paineen gradientti, tähti laajenee, kunnes saavuttaa tasapainokäyrän. Vastaavasti, jos gravitaatio kasvaa suuremmaksi kuin paineen gradientti, tähti kutistuu; jos massa on suurempi kuin M Ch, tähti kutistuu joko neutronitähdeksi tai mustaksi aukoksi. Kotitehtävä 26: Laske Chandrasekharin massa heliumista ja raskaammista alkuaineista koostuvalle ionisoituneelle kaasulle. Mieti, onko tämä arvo suuri vai pieni verrattuna niiden tähtien massoihin, jotka luhistuvat valkoisiksi kääpiöiksi? Neutronitähdet Neutronitähtien säde on noin 10 km, tiheys kg m 3, ja pakonopeus c/3. Niiden olemassaolo ennustettiin jo vuonna 1934; ensimmäinen pulsari, joka nopeasti tunnistettiin nopeasti pyöriväksi neutronitähdeksi, havaittiin vuonna Tänä päivänäkään neutronitähden sisällä vallitsevaa tilanyhtälöä ei aivan varmasti tunneta, koska sen määrittämistä olennaisesti vaikeuttavat huonosti tunnetut ja hankalasti laskettavissa olevan neutronien väliset vuorovaikutukset, suprajohtavuus, sekä hyperonien muodostuminen. Täysin varmaa on vain se, että tilanyhtälö poikkeaa ideaalisen degeneroituneen neutronikaasun vastaavasta. Jos tähden massa ylittää kehityksen loppuvaiheessa Chandrasekharin massan, sen luhistuminen ei pääty valkoiseksi kääpiöksi, vaan se jatkaa luhistumistaan vielä pienempään kokoon ja suurempiin tiheyksiin (ks. Kuvan 8.5 M Ch oikealla puolella oleva alue). 115

116 Kuva 8.7: Taiteilijan näkemys Cygnus X-1 kohteesta. Yleisin neutronitähden syntyyn johtava tie ajatellaan olevan Tyypin II, Ib ja Ic supernovat, jotka ovat kaikista massiivisempien tähtien elinkaaren päätepisteitä. Kuten edellä jo kuvattiin, alkaa tähden ydin romahtaa, joka johtaa ulko-osien räjähtämiseen supernovana. Ydin kuitenkin jatkaa luhistumistaan ulko-osien kohtalosta huolimatta, liikemäärämomentin säilyessä; tämä johtaa siihen, että tähden pyörimisnopeus kasvaa huimiin arvoihin (taajuus Hz). Näissä tähdissä havaitaan myös voimakkaita magneettikenttiä (10 12 G), jotka voidaan ainakin osittain ymmärtää luhistumisessa mukaanraahautuneen magneettikentän voimistumisena voimakkaassa kokoonpuristumisessa. Neutronitähden lämpötila on aluksi hyvin korkea (10 10 K), mutta sillä on suuri neutriinoluminositeetti, joka tehokkaasti jäähdyttää sitä. Sadan vuoden kuluttua lämpötilan voidaan olettaa tippuneen jo satakertaisesti. Tätä lämpötilaa voidaan pitää verrattaen kylmänä (kt 10keV), koska relativististen täysin degeneroituneen neutronikaasu Fermi-energia on huomattavasti paljon suurempi E F 1000MeV. Tiheyden kasvaessa nouseva Fermi-energia aiheuttaa materian neutronisoitumista raskaiden ydinten siepatessa elektroneja ympäristöstään (ks. KW ). Elektronit yhtyvät ytimissä protoneihin muodostaen neutroneja. Tämä prosessi johtaa siis neutronirikkaiden isotooppien syntyyn. Kun ytimet tulevat riittävän neutronirikkaiksi, ne alkavat vapauttaa neutroneja (neutron drip). Materia koostuu siis yleensä hilaan järjestäytyneistä ytimistä, ja vapaista elektroneista ja neutroneista. Neutronien määrä kasvaa voimakkaasti tiheyden kasvaessa, joten ydintä lähestyttäessä neutronikaasun paine hallitsee tilannetta. Kun tiheys kasvaa ydintä kohden mentäessä, ytimet lopulta koskevat toisiaan. Tällöin ne yhdistyvät ja hajoavat, jättäen jälkeensä degeneroituneen neutronikaasun/nesteen. Tiheyden edelleen kasvaessa, neutronien Fermi-energia ylittää viimein pienimassaisten hyperonien lepomassan, jolloin alkaa hyperonisaatio, joka saattaa johtaa jopa vapaiden kvarkkien syntyyn. 116

117 Kaaviokuva neutronitähden mahdollisesta rakenteesta on esitetty Kuvassa Mustat aukot Jos tähden massa ylittää ns. Oppenheimer-Volkoff -massan, jonka suuruudelle on esitetty arvoja välillä 1.5 3M, ei neutronitähti pysty paineellaan, eikä millään muullakaan tunnetulla voiman vuorovaikutuksella, vastustamaan massansa gravitaatiovoimaa, vaan luhistuminen jatkuu, nykytietämyksen mukaan mustaksi aukoksi. Mustien aukkojen säde on noin kilometri, ja pakonopeus niiden pinnalta on valonnopeus, minkä vuoksi niitä ei voi suoraan havaita. Epävarmuudet suuren tiheyden materian tilanyhtälössä johtavat suuriin heittoihin Oppenheimer-Volkoff -massan määrityksessä. Tähtien elinkaaren päätepisteenä syntyvien mustien aukkojen havaitsemiseen on käytännössä yksi mahdollinen keino: kaksoistähtijärjestelmässä syntyvä musta aukko voidaan havaita, koska siihen putoaa ainetta tavallisesta kumppanitähdestä, jos se täyttää Rochen rajansa. Tällöin mustan aukon ymärille muodostuu kertymäkiekko, joiden partikkeleilla voi olla hyvin suuria nopeuksia, jolloin ne säteilevät voimakkaasti, tn. röntgenalueella. Yksi esimerkki tällaisesta kohteesta on Joutsenen tähdistössä sijaitseva Cyg-X1 -kohde (ks. Kuva 8.7), joka on nopeasti (0.001s) ja epäsäännöllisesti vaihteleva röntgenlähde. Systeemi on ilmeisesti kaksoistähti, jonka näkyvä komponentti on 20 25M ylijättiläinen, ja mustaksi aukoksi romahtanut kumppani 10 15M -massainen, säteeltään noin sadan kilometrin kokoinen objekti. 117

118 118

119 Luku 9 Sykkivät tähdet Muuttuvia tähtiä, s.o. tähtiä, joiden kirkkaus vaihtelee säännöllisesti, on tiedetty olevan olemassa ammoisista ajoista asti. Se, että joidenkin tähtien säännölliset kirkkaudenvaihtelut johtuvat muutoksista tähden fysikaalisissa ominaisuuksissa, on tunnettu vain noin 100 vuoden ajan, ja täsmälliset fysikaaliset mekanismit ilmiöiden takana vasta noin 30 vuoden ajan. Jotkut kirkkaudenvaihtelut selittyvät luonnollisesti ja helposti kumppanin/kumppanien, tai magneettisen aktiivisuuden aiheuttamien isojen tähdenpilkkujen, olemassaololla (jälkimmäistä ilmiötä käsitellään tarkemmin Tähtien magneettinen aktiivisuus kurssilla). Ensin mainittu lähestymistapa johti kuitenkin jo varhain ongelmiin kefeidi muuttujien prototyypin, δ Cepheii, tähden tapauksessa: kaikki yritykset selittää tähden käyttäytyminen himmeän kumppanin olemassaololla johtivat absurdeihin tuloksiin, ja ainoaksi mahdollisuudeksi jäi selittää kirkkaudenvaihtelu itse tähden sykkimisellä, jonka yksityiskohtainen luonne paljastui vasta, kun tietokoneet valjastettiin tähtimallien laskemiseen. 9.1 Radiaalisesti sykkivät tähdet Tähtien sykkiminen voi tapahtua joko radiaalisesti, jolloin sykintä on pallosymmetristä, ja tähden säde muuttuu sykinnän vuoksi. Sykintä voi olla myös ei radiaalista, kuten Auringosta olemme oppineet; klassiset muuttuvien tähtien luokat, kuten esimerkiksi kefeidit ja RR Lyrae tähdet, selittyvät radiaalisella sykinnällä, minkä teoriasta aloitamme Kefeidit ja epästabiilisuuskaista Klassiset kefeidit, eli tyypin I kefeidit, sykkivät erittäin säännöllisillä periodeilla, joiden pituudet vaihtelevat päivistä kuukausiin. Kefeidien luminositeetin ja sykkimisperiodin välillä on selvä korrelaatio (ks. Kuva 9.1), ns. periodi-luminositeetti -relaatio, minkä perusteella näitä tähtiä käytetään standardikynttilöinä etäisyyksiä määritettäessä. Klassiset kefeidit ovat keltaisia ylijättiläisiä, joiden spektriluokka on F6 K2, ja ne ovat noin 4 20 kertaa Aurinkoa massiivisempia tähtiä. Sykinnän aikana niiden säteet voivat muuttua jopa miljoonien kilometrien verran. Tyypin II kefeidit, eli W Virginis tähdet, kuuluvat samoihin spektriluokkiin kuin klassiset kefeidit, mutta ovat luminositeetiltaan huomattavasti himmeämpiä säännöllisesti sykkiviä tähtiä. Tämän vuoksi niiden sijainti HR-diagrammassa on miltei pystysuoraan 119

120 Kuva 9.1: Erityyppisten kefeidien periodi luminositeettirelaatio. Lähde: alaspäin klassisiin kefeideihin verrattuna. Nämä tähdet ovat vanhoja, Aurinkoa pienimassaisempia tähtiä. RR Lyrae tähdet ovat myös tyypin II kefeidien alaluokka; nämä ovat W Virginis -tähtien tyyppisiä, mutta sykkimisperiodit ovat huomattavasti lyhyempiä (ks. Kuva 9.1). Pääsarjastakin löytyy sykkiviä tähtiä, nimittäin kääpiökefeidien eli δ Scuti tähtien luokka. Näiden tähtien sykkimiseen uskotaan liittyvän myös ei radiaalisia pulsaatioita. Klassiset kefeidit ovat raskaita tähtiä, jotka jättiläisvaiheen aikana tekevät silmukkamaisia liikkeitä HR diagrammassa. Tällöin ne tulevat ylittäneeksi useampaankin otteeseen ns. HR diagramman epästabiilisuuskaistan, joka on horisontaalisessa suunnassa melko kapea (vain muutama sata K), Hayashi käyrän suuntainen, kaista HR diagrammassa (ks. Kuva 9.2), johon tarpeeksi pitkäksi ajaksi joutunut tähti alkaa sykkiä radiaalisesti. Epästabiilisuuskaista kulkee käytännössä ylijättiläisalueelta pääsarjaan asti. Ensimmäinen kaistanylitys tapahtuu jättiläisvaiheen kokevilla tähdillä silloin, kun ne ensimmäistä kertaa lähestyvät jättiläishaaraa ytimen luhistuessa vetypolttoaineen loputtua. Tämän vaiheen kesto on kuitenkin hyvin lyhyt (Hertzsprungin aukon ylitys tapahtuu Kelvin Helmholtz aikaskaalassa), mistä johtuen myös tämän kefeidivaiheen kesto on hyvin lyhyt, jos tähdet ylipäätään alkavat oskilloida. Toinen ja kolmas kaistanylitys, jotka tapahtuivat siis ytimen heliumpolton alettua ja sen lähestyessä loppuaan, tapahtuvat jonkin verran pidemmässä aikaskaalassa (joitakin kymmeniä miljoonia vuosia). Joidenkin tähtimallien mukaan tähdet tekisivät vielä toisenkin silmukan HR diagrammassa, mutta näiden silmukoiden olemassaolo on jokseenkin epävarmaa. On siis hyvin todennäköistä, että tähdet alkavat sykkimään, ja havaitaan kefeideinä, juuri niiden polttaessa heliumia ytimessään. Yllämainittujen tähtien sykkimisen aiheuttava epästabiilisuus johtuu ns. κ mekanis- 120

121 Kuva 9.2: Epästabiilisuuskaistan skemaattinen sijainti HR diagrammassa (kuva: Robin Ciardullo). mista, joka liittyy tähden opasiteetin paikalliseen muutokseen. Edellä olemme toistuvasti olettaneet, että opasiteetti pienenee, kun lämpötila kasvaa (ks. Kuva 17.6, KW s. 144). Paikallisesti tämä riippuvuus voi kuitenkin heiketä, ja muuttua jopa vastakkaiseksi. Esimerkiksi vedyn ja heliumin ionisaatiokerroksissa opasiteetti paikallisesti kasvaa lämpötilan funktiona. Näiden alueiden, erikoisesti heliumin ionisaatiokerrosten, uskotaan olevan vastuussa kefeidien sykkimisestä. Oletetaan nyt, että ionisaatiokerroksessa oleva kaasu kokee kokoonpuristavan häiriön. Tiheys ja lämpötila nousevat, ja opasiteetti reagoi ionisaatiokerroksessa kasvamalla. Tällöin energiavuo kerroksen läpi pienenee, koska kaasu muuttuu säteilyä läpäisemättömämmäksi. Tämän vuoksi kerrokseen varastoituu ylimäärä lämpöenergiaa, jonka vuoksi kerros pyrkii jäähtymään laajentumalla. Tällöin kerroksen opasiteetti pienenee, joka johtaa taas kokoonpuristumiseen. Eri alkuaineiden ionisaatiokerrokset ovat epästabiileja tällaiselle oskillaatiolle, jonka amplitudi alkaa kasvaa. Tämä mekanismi voi toimia vai, jos kerros on radiatiivinen. Konvektio tappaa tehokkasti κ pulsaatiot. Samoin, oikein kuumissa tähdissä ionisaatiokerrosten tiheys on liian pieni, jotta destabiloivat efektit olisivat merkittäviä. 9.2 Ei radiaalisesti sykkivät tähdet Olisi hyvin erikoista, jos tähdet sykkisivät täysin pallosymmetrisesti, koska periaatteessa niillä on valittavana kaikki vapausasteet kolmessa ulottuvuudessa. Kaikista parhaiten tunnettu ei-radiaalinen sykkijä on Aurinko, joka on ainoa tähti, jota on tähän mennessä pystytty tarkasti kartoittamaan helioseismologisin menetelmin. Asteroseismologia on alkanut muuttamaan tilannetta (esim. Kepler ja CoRoT-satelliitit). 121

122 Kuva 9.3: Visualisaatio p-moodi oskillaatioista pallomaisessa kappaleessa (kuva: R. Nilsson, Lund Observatory) Yleinen teoria Lähdetään liikkeelle tähtien rakenteen mekaanisista yhtälöistä adiabaattisessa tilanteessa. Oletetaan, että systeemin tilaa kuvaa ratkaisu ρ, P, u ja Φ, johon nyt aiheutetaan pieniä häiriöitä, ρ, P, u ja Φ. Yleensä tähtien tapauksessa häiriöt, merkitään niitä yleisesti q:lla, esitetään harmonisten funktioiden avulla pallokoordinaatistossa, eli q(r,θ,φ,t) = q(r)y m l (θ,φ)e iωt, (9.1) missä l on kertaluku ja m on aste (ks. Kuva 9.4). Pallosymmetristä tapausta, eli radiaalisia oskillaatioita, edustaa tapaus l = m = 0. Linearisoimalla yhtälöt, voidaan ω:n suhteen johtaa neljännen asteen dispersiorelaatio, jonka ratkaisuna saadaan ominaisarvot, jotka määräävät lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisut; menetelmät ja teoria esitellään pohjamutia myöten Magnetohydrodynamiikka kurssilla. Ei adiabaattiselle tapaukselle tuloksena olisi 12. kertaluvun ominaisarvo-ongelma. Neljännen asteen dispersiorelaatiosta voidaan ensin ratkaista juuret ω 2, joiden voidaan kaikkien osoittaa olevan reaalisia. Tällöin kaikki positiiviset ratkaisut, ω 2 > 0, ω reaalinen, antavat oskilloivan ratkaisun, ja kaikki negatiiviset ω 2 < 0, ω imaginäärinen, ajassa kasvavan epästabiilin ratkaisun. Tähtien sykkimistä kuvaavat luonnollisestikin positiiviset reaaliset ominaisarvot. Jos sykkimistaajuus, ω, on suuri, oskillaatiot aiheutuvat ääniaalloista, jotka etenevät väliaineessa äänennopeudella c s = γ ad P/ρ. Näita oskillaatioita kutsutaan p moodeiksi, mikä nimitys aiheutuu siitä, että aallot välittyvät suurimmaksi osaksi muuttuvan paineen 122

123 Kuva 9.4: Eri kertaluokan ja asteen harmonisia funktioita pallokoordinaatistossa. Sarakkeet: m saa arvot 0,...,5 ylhäältä alas. Rivit: l saa arvot 0,...,5 oikealta vasemmalle (kuva: Svetlana Panasyuk). muodossa. Ääniaallot ovat kaikki stabiileja, eli niitä kuvaavat ominaisarvot ovat kaikki reaalisia. p moodeja on äärettömän suuri, diskreeteistä taajuuksista, koostuva joukko, ja suurin osa niistä keskittyy alueelle, jossa ω lähestyy ääretöntä. Auringon pinnalla p moodit nähdään värähtelynä, joka vastaa noin viiden minuutin periodia. Itse asiassa jo 1970 luvulta on havaittu näiden oskillaatioiden koostuvan useista diskreeteistä taajuuksista 2 15 minuutin periodeilla. Pienillä sykkimistaajuuksilla löydetään jälleen ääretön määrä diskreettejä ominaisarvoja, mutta nämä moodit akkumuloituvat ω 2 0 läheisyyteen. Näitä värähtelyjä hallitsee gravitaatiovoima, ja sen vuoksi niitä kutsutaan g moodeiksi. Kaikki g moodit eivät ole stabiileja, vaan niillä voi olla myös imaginäärisiä ominaisarvoja. Jos tähti on kokonaan konvektiivisesti stabiili, ovat kaikki g moodit stabiileja; stabiileja g moodeja kutsutaan usein g + moodeiksi. Konvektiivisesti epästabiilissa alueessa myöskään kaikki g moodit eivät ole stabiileja, vaan esiintyy epästabiileja g moodeja. Periaatteessa kaikki eri moodit esiintyvät tähdissä yhtäaikaisesti, ja näiden lisäksi vielä ns. f moodi (fundamental), jolla ei ole yhtään solmukohtaa pinnan ja pohjan välillä, muistuttaen siten puhtaasti radiaalisia moodeja. Eritaajuksiset aallot etenevät myös eri nopeuksilla, mikä käytännössä määrää sen, missä kohtaa tähteä mikäkin moodi voi esiintyä. Ääniaalloille ω ω c sdlnρ/dr, gravitaatioaalloille ω ω ad, joille pätee ω 0 > ω ad. Kuvassa 9.5 alue A viittaa alueeseen, jossa ääniaallot voivat esiintyä, eli tähden pintakerroksissa, ja G tähtien sisäosiin, missä gravitaatioaallot voivat edetä. 123

124 Kuva 9.5: Vasemmalla: dimensioton värähtelytaajuus σ 2 (analoginen ω 2 :n kanssa, mutta yksikötön) tähden säteen funktiona polytrooppiselle mallille, jolle n = 3. Diagrammassa esitetään oskillaatiot, joiden aste on l = 2; alueessa G gravitaatioaallot ja alueessa A ääniaallot voivat edetä. Katkoviivat osoittavat eri moodien ominaisarvot ja mustat pallot moodien solmukohtien paikat. KW s Oikealla: Skemaattinen kuva Auringon oskillaatioista. Lähde: GONG-verkkosivut Auringon lisäksi useiden eri muuttujaryhmien uskotaan kuuluvan ei radiaalisiin oskillaattoreihin. Yleensä epäilys sykkimisen ei radiaalisesta luonteesta perustuu siihen, että sykintä on näennäisesti epäsäännöllistä, koska sykkimisperiodeja voi olla useita, tai siihen, että havaittu sykkimisperiodi poikkeaa odotetusta radiaalisesta moodista. Kaikista varmimmin ei radiaalisiksi sykkijöiksi on tunnistettu ns. ZZ Ceti tähdet, jotka ovat sykkiviä valkoisia kääpiöitä, joiden periodit ovat suuruusluokaltaan sekuntia, ja selittyvät parhaiten g + moodeilla. Näillä tähdillä oskillaatiot aiheutuvat κ mekanismista hyvin lähellä pintaa olevissa ionisaatiokerroksissa; viritetyt g moodit jäävät loukkuun hyvin kapeisiin vetyrikkaisiin pintakerroksiin. Myös β Cephei muuttujien uskotaan kuuluvan ei radiaalisiin sykkijöihin. Nämä tähdet ovat massiivisia (7 20M ) pääsarjatähtiä, joilla havaitaan tuntien suuruusluokan lyhytperiodisia kirkkaudenvaihteluita. Myös α Cygni ylijättiläistähtien jokseenkin epäsäännölliset, suuruusluokaltaan viikkojen periodiset kirkkaudenvaihtelut liitetään ei radiaalisiin moodeihin. Kuten jo edellä mainittu, myös δ Scuti muuttujien valokäyrät antavat aihetta epäillä, että osa kirkkaudenvaihteluista johtuisi ei-radiaalisesta sykinnästä. 124