Sisäiset tasapainoehdot

Transkriptio

1 11. Tähtien rakenne Tähdet ovat kaasupalloja, jotka koostuvat pääosin vedystä ja heliumista. Tähtien massat ovat välillä M (etenkin yläraja on huonosti tunnettu). Tähdet loistavat melko vakaasti suurimman osan elinaikaansa (massasta riippuen miljoonista miljardeihin vuosiin) ts. ne ovat lähes tasapainossa. Pallokuori, paksuus dr, massa dm r. Massajakauma ulottuu myös pallokuoren ulkopuolelle! Sisäiset tasapainoehdot Tarkastellaan etäisyydellä r tähden keskustasta sijaitsevaa tilavuusalkiota, jonka pohjan ala on on da ja korkeus dr. Alkion tilavuus on dv = dadr ja massa dm = ρ dadr, tiheys ρ = ρ(r). Säteen r sisäpuolella oleva massa on M r = M(r), joten sen aiheuttama tähden keskipisteeseen suuntautuva gravitaatiovoima on df g = GMrdm r 2 = GMrρ r 2 dadr. Huom! Kun tarkastellaan pallosymmetristä materiajakaumaa, niin Newtonin ensimmäisen teoreeman mukaan pallokuoren sisäpuolella oleva kappale ei koe nettogravitaatiovoimaa pallokuoresta, Newtonin toisen teoreeman mukaan taas pallokuoren ulkopuolella kuoren aiheuttama gravitaatiovoima on sama kuin sen keskipisteeseen sijoitettu kuoren massainen pistemassa aiheuttaisi! Tilavuusalkio dv, pohjan ala da, korkeus dr, massa dm. Huom! Älä sekoita em. Newtonin teoreemoja Newtonin lakeihin!

2 Paine tilavuuselementin alapinnalla on P ala, yläpinnalla Pÿlä ja sen muutos matkalla dr, eli dp = Pÿlä P ala, on negatiivinen. Tämän johdosta paine aiheuttaa ulospäin suuntautuvan nettovoiman df p = dpda. (1) Tasapainotilannetta kuvaa hydrostaattisen tasapainon yhtälö dp dr = GM rρ r 2. (2) Koska etäisyydellä r olevan dr-paksuisen pallokuoren massa on dm r = 4πr 2 ρdr, saadaan massan muutosta keskipisteestä mitatun etäisyyden funktiona kuvaavaksi massajatkuvuusyhtälöksi Kolmas yhtälö kuvaa tähden energiatasapainoa: kaikki tähdessä syntyvä energia kulkeutuu tähden pinnalle ja säteilee avaruuteen. Jos merkitään pallokuoren pinnan läpi kulkeutuvaa energiaa L r :llä, voidaan kirjoittaa: dl r = 4πr 2 ρǫ, (4) dr missä dl r on dr-paksuisessa pallonkuoressa kehittyvä energia (per aikayksikkö) ja ǫ on ns. energiantuottokerroin (kehittyvä energia massa- ja aikayksikköä kohti). Tähden säteilemä energia syntyy kuumassa ja tiheässä keskustassa, ulko-osissa energiantuotto on hyvin vähäistä ja L r on lähes vakio. dm r dr = 4πr 2 ρ. (3) Neljäs yhtälö kuvaa lämpötilan muutosta keskipisteestä mitatun etäisyyden funktiona. Energia voi kulkeutua tähdessä ulospäin johtumalla, kaasuvirtauksissa (konvektio) tai säteilemällä. Johtumisella on merkitystä lähinnä hyvin tiheissä eksoottisissa tähdissä (valkoinen kääpiö, neutronitähti). Jos energia siirtyy säteilemällä, lämpötilagradientin lauseke on ( dt dr = 3 ) (κρ )( ) Lr 4ac T 3 4πr 2, (5) missä a on säteilytiheysvakio, c valon nopeus ja κ massa-absorptiokerroin (absorptio per massayksikkö). Em. kaavan voi johtaa säteilynkuljetusyhtälön perusteella (Tähtitieteen perusteet, s. 355). Tarkastellaan seuraavaksi energian siirtymistä konvektiolla, so. kuuma kaasu nousee ylöspäin tähden sisällä. Kaasukupla kohoaa tähden sisällä noudattaen adiabaattista tilanyhtälöä: T P 1 1 γ, (6) missä adiabaattinen eksponentti γ = C P /C V eli ominaislämpöjen suhde vakipaineessa ja vakiotilavuudessa. Tällöin lämpötilagradientiksi saadaan ( dt dr = 1 1 ) T dp γ P dr. (7) Tähden rakennetta tutkittaessa valitaan lämpötilagradientin lausekkeeksi se (radiatiivinen vs. konvektiivinen) jonka itseisarvo on pienempi.

3 Reunaehdot Jos halutaan ratkaista em. differentiaaliyhtälöt, on asetettava joitakin reunaehtoja. Säteen r = 0 sisäpuolella ei ole massaa, eikä siellä synny energiaa, M 0 = 0, L 0 = 0. Kaikki massa sijaitsee säteen R sisäpuolella, M R = M. Tähden pinnalla paineella ja lämpötilalla on vakioarvo, yleensä tehdään approksimaatio T R = 0 ja P R = 0. Periaatteessa yksikäsitteisen tähtimallin laskemiseksi riittää massan ja kemiallisen koostumuksen kiinnittäminen. Kaasun käyttäytyminen Tähtien aine on korkeissa lämpötiloissa lähes täysin ionisoitunutta. Hiukkasten väliset vuorovaikutukset ovat vähäisiä, joten on mahdollista käyttää ideaalikaasun tilanyhtälöä: P = k µm H ρt, (8) missä µ on keskimääräinen molekyylipaino, k on Boltzmannin vakio ja m H on vetyatomin massa. Atomi, jonka järjestysluku on Z tuottaa Z + 1 vapaata hiukkasta (atomin ytimen ja Z elektronia). Vedylle Z +1 = 2, heliumille Z +1 = 3 ja heliumia raskaammille aineille noin puolet atomipainosta. Merkitään nyt vedyn suhteellista osuutta X:llä, heliumin Y:llä ja raskaampien aineiden Z:lla. Toisin sanoen X +Y +Z = 1 ja Z Z. Vedyn atomipaino on 1, heliumin 4, joten keskimääräiseksi molekyylipainoksi (tai hiukkaspainoksi) saadaan 1 µ = 2X Y + 1 (9) 2Z. Korkeissa lämpötiloissa on huomioitava myös säteilypaine: P = k µm H ρt at4, (10) missä säteilypainetta kuvaavassa termissä säteilytiheysvakio a = 4σ/c ja σ on Stefanin-Boltzmannin vakio (kts. kirjan laatikko (11.1). Esimerkki Arvioi kaasun paineen ja säteilypaineen suhdetta Auringon puolivälissä r = R /2. Auringon keskitiheys on noin 1410 kg m 3. Oletetaan (virheellisesti!) että tämä tiheys vallitsee kautta koko kaasupallon ja arvioidaan ensiksi kaasun painetta. Massajatkuvuusyhtälön perusteella M r = 4 3 π ρr3, (11) missä ρ on keskimääräinen tiheys, joka oletetaan nyt vakioksi. Hydrostaattisen tasapainon yhtälön avulla saadaan dp dr = GM rρ r 2 = 4πG ρ2 r. (12) 3 Integroidaan säteen puolivälistä pinnalle, jossa paine on nolla:

4 josta saamme 0 P dp = 4 3 πg ρ2 R R /2 rdr, (13) P = 1 2 πg ρ2 R Pa. (14) Tämä arvo on hyvin karkea, sillä todellisuudessa tiheys kasvaa keskustaa lähestyttäessä! Säteilypaineen arvioimiseksi tarvitsemme lämpötilan Auringon puolivälissä. Oletetaan koostumus samaksi kuin pinnalla: X = 0.71, Y = 0.27, Z = Tällöin keskimääräinen molekyylipaino µ = Lasketaan nyt lämpötila kaasun tilanyhtälöstä: K. T = µm HP k ρ = Lasketaan lopuksi säteilypaine käyttäen tätä lämpötilaa: Pa. (15) P rad = 1 3 at4 = ( ) 4 (16) Vaikka laskussa tehtiinkin melko karkeita oletuksia, niin joka tapauksessa voidaan sanoa, että Auringon puolivälissä kaasun paine on huomattavasti säteilypainetta voimakkaampi. Kaasun käyttäytyminen, jatkoa Ideaalikaasun tilanyhtälö ei pidä paikkansa jos tiheys on hyvin suuri. Paulin kieltosääntö: monielektronisella atomilla ei voi olla kahta elektronia, joiden kaikki neljä kvanttilukua ovat samat. Tämä on yleistettävissä myös elektroneista ja muista fermioneista muodostuvaan kaasuun. Tarkastellaan 6-ulotteista faasiavaruutta, jonka tilavuusalkio on V = x y z p x p y p z, (17) missä (x,y,z) ovat hiukkasen paikkakoordinaatit ja (p x,p y,p z ) ovat impulssit vastaavissa suunnissa. Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen mukaan pienin mielekäs tilavuusalkio on suuruusluokkaa h 3 (tarkemmin x p x /2). Yleistetyn kieltosäännön mukaan tällaisessa tilavuusalkiossa saa olla kaksi elektronia, joilla on vastakkaiset spinit. Meille tutuissa tilanteissa mitätön murto-osa mahdollisista kvanttitiloista on kaasun hiukkasten miehittämiä, mutta kun tiheys kasvaa riittävän suureksi, kaikki faasiavaruuden tilavuusalkiot täyttyvät johonkin rajaimpulssiin saakka. Tällöin kaasu on degeneroitunutta. Elektronikaasu alkaa degeneroitua kun tiheys on luokkaa 10 7 kg m 3. Degeneroituneen elektronikaasun paine on ( h 2 P m e )( ) N 5/3, (18) V missä m e on elektronin massa ja N/V elektronien määrä tilavuusyksikössä.

5 Degeneroituneen elektronikaasun paineen voi esittää myös muodossa ( )( ) h 2 ρ 5/3 P, (19) m e µ e m H missä µ e on keskimääräinen molekyylipaino vapaata elektronia kohti, µ e = 2/(X +1). Degeneroituneen elektronikaasun paineen yhtälö ei riipu lämpötilasta vaan ainoastaan hiukkasten massasta ja tiheydestä! Tavallisissa tiheyksissä degeneroituneen kaasun paine on mitätön tavalliseen paineeseen verrattuna. Jättiläistähtien ytimissä ja valkoisissa kääpiöissä tiheys on jo niin korkea, että degeneroituneen kaasun paine vallitsee (ρ 10 8 kg m 3 ). Jos tiheys kasvaa vielä edellisestä, elektronien impulssit kasvavat niin suuriksi, että niiden nopeudet alkavat lähestyä valon nopeutta. Tällöin vallitsevaksi paineeksi tulee relativistisen elektronikaasun paine ( ) N 4/3 ( ) ρ 4/3 P hc = hc. (20) V µ e m H Tämä tapahtuu tiheydessä ρ 10 9 kg m 3. Toisin sanoen, kuutiometri tällaista ainetta painaa suunnilleen saman verran kuin Pohjoismaiden asukkaat yhteen laskettuna! Säteilyn eteneminen tähdessä Kaasun opasiteetti α kuvaa sitä, miten vaikeaa säteilyn on edetä kaasun lävitse: di = Iαdr, (21) missä α = κρ, κ on aineen massa-absorptiokerroin, [κ] = m 2 kg 1. Fotonin keskimääräinen vapaa matka sirottumisten tai absorboitumisten välillä on noin 1/α. Fotonit etenevät satunnaiskulkua (random walk) tähden sisällä: sironnat ja absorptiot satunnaisiin suuntiin. Auringossa fotonilta kestäisi satunnaiskulkua noudattaen noin vuotta päästä ytimestä pintaan asti. Energian kulkeutumisen kannalta tilanne on monimutkaisempi, sillä fotonit myös vuorovaikuttavat aineen kanssa, ollen lopulta termodynaamisessa tasapainossa ympäristönsä kanssa. Tällöin aikaskaala on pikemminkin luokkaa 10 7 vuotta. Samalla alunperin gammasäteilynä syntyneet fotonit ovat tuottaneet lähinnä näkyvää valoa. Energian synty tähdissä Edellisissä tähtien rakennetta kuvaavissa yhtälöissä ei ole millään tavalla puututtu siihen, miten tähdet tuottavat energiansa! Jos tarkastelemme Auringon havaittua luminositeettia ja massaa, on selvää että esim. tavallinen palaminen voisi tuottaa energiaa vain muutamaksi tuhanneksi vuodeksi. Jos Aurinko kutistuisi painovoimansa vaikutuksesta, vapautuva potentiaalienergia riittäisi tuottamaan säteilyä muutaman miljoonan vuoden ajan. Tämä olikin suosikkiteoria 1800-luvulla (mm. lordi Kelvin). Mutta ennustettua kutistumista ei ole havaittu, toisaalta geologiset prosessit Maan pinnalla vaativat satojen miljoonien - miljardien vuosien aikaskaaloja. Darwin: myös evoluutio vaatii pitkän aikaskaalan. Darwin ehdottikin, että Auringon energianlähteenä toimisi jokin tuolloin vielä tuntematon fysikaalinen prosessi.

6 Moderni fysiikka: ydinreaktiot! Auringon sisäosien lämpötila on niin korkea, että fuusioreaktio voi käynnistyä. Energiantuotto: lähtöatomien yhteenlaskettu massa on hieman suurempi kuin reaktion tuottamien atomien massa, ja kuten eräs patentitoimiston virkailija lausahti: E = mc 2. Puuttuva osa massoissa on sidosenergiaa, joka nukleonia kohti laskettuna on Q = 1 A (Zm p +Nm n m(z,n))c 2, (22) missä m p on protonin massa, m n neutronin massa, Z on varausluku, N on neutroniluku, A = Z +N on massaluku ja m(z,n) on atomin massa. Q kasvaa rautaan (Z = 26) asti, sen jälkeen fuusio vaatii energiaa! Jos esimerkiksi 4 protonia muuttuu heliumiksi, niin 0.7% massasta muuttuu energiaksi. Kevyillä tähdillä suurimman osan energiasta tuottaa protoni-protoni sykli variaatioineen. Kuva: Wikimedia Commons: Borb. Auringon massaisilla ja sitä kevyemmillä tähdillä tärkein energiantuottomekanismi on protoniketju: (1a) 1 H + 1 H 2 H +e + +ν e tai : (1b) 1 H + 1 H +e 2 H +ν e (2) 2 H + 1 H 3 He +γ (3) 3 He + 3 He 4 He +2 1 H Tämä ketju, ppi, tuottaa n. 91% Auringossa syntyvästä heliumista. Tämän lisäksi on olemassa variantit ppii ja ppiii, jotka tuottavat litiumia ja berylliumia välituloksina. Raskailla tähdillä vallitsevana on CNO-sykli. Kuva: Wikimedia Commons: Borb.

7 Jos tähden massa on yli 1.5 M, niin dominoiva reaktio on hiilisykli eli CNO-sykli. Tällöin hiili, typpi ja happi toimivat katalysaattoreina : (1) 12 C + 1 H 13 N +γ (2) 13 N 13 C +e + +ν e (3) 13 C + 1 H 14 N +γ (4) 14 N + 1 H 15 O +γ (5) 15 O 15 N +e + +ν e (6) 15 N + 1 H 12 C + 4 He Heliumin palaminen kolmialfareaktiolla. Kuva: Wikimedia Commons: Borb. Jos lämpötila nousee n kelviniin, niin helium voi palaa hiileksi kolmialfareaktiolla: (1) 4 He + 4 He 8 Be (2) 8 Be + 4 He 12 C +γ Jos lämpötila nousee edelleen, niin myös muut alfareaktio ovat mahdollisia, samoin hiilen, hapen ja piin palaminen. Esimerkkejä alfareaktioista: 12 C + 4 He 16 O +γ Heliumin loputtua hiilen palaminen voi käynnistyä lämpötilan noustua kelviniin: 12 C + 12 C 24 Mg +γ 23 Na+ 1 H 20 Ne + 4 He 23 Mg +n 16 Na+2 4 He 16 O + 4 He 20 Ne +γ 20 Ne + 4 He 24 Mg +γ

8 Hiilen palamista seuraa neonin palaminen, jossa syntyy happea, magnesiumia ja piitä. Hapen palaminen (jälleen hieman korkeammassa lämpötilassa): 16 O + 16 O 32 Si +γ 31 P + 1 H 28 Si + 4 He 31 S +n 24 Mg +2 4 He Piin palaminen tuottaa lukuisien välivaiheiden kautta kokonaisvaikutuksena nikkeliä ja rautaa: Kun lämpötila ylittää 10 9 K, fotonien energia riittää jo hajottamaan joitakin ytimiä. Rautaa raskaammat alkuaineet syntyvät lähes kokonaan neutronisieppauksen ja sen seurannaisvaikutusten kautta tähden kehityksen loppuvaiheen räjähdysmäisissä ilmiöissä. Vieläkin eksoottisempia syntymekanismeja on. Esimerkiksi kultaa arvellaan voivan syntyä (ja syöksyä avaruuteen) kahden neutronitähden sulautuessa yhteen! 28 Si + 28 Si 56 Ni +γ 56 Ni 56 Fe +2e + +2ν e Tähtimallit Kuten aimmin todettiin, massa ja kemiallinen koostumus määräävät tähtimallin yksikäsitteisesti. Kun lasketaan tähtimalleja saman koostumuksen omaaville, mutta eri massaisille homogeenisille tähdille, saadaan ns. nollaiän pääsarja ZAMS (Zero Age Main Sequence). ZAMS:in tarkka sijainti riippuu valitusta koostumuksesta: alhaisemman raskaiden alkuaineiden osuuden omaava ZAMS sijoittuu alemmaksi (saman kirkkauden omaava alhaisen pitoisuuden tähti on sinisempi kuin runsaspitoinen tähti). Ydinreaktiot muuttavat tähden kemiallista koostumusta tähti kehittyy. Esim. Auringon alkuperäiset arvot: kirkkaus 0.74 L, säde 0.87 R.