SAUNAN ENERGIANKULUTUS JA SIIHEN VAIKUTTAVAT TEKIJÄT The energy consumption of sauna and related factors

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "SAUNAN ENERGIANKULUTUS JA SIIHEN VAIKUTTAVAT TEKIJÄT The energy consumption of sauna and related factors"

Transkriptio

1 LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tenillinen tiedeunta Ympäristöteniian oulutusohelma BH10A0300 Ympäristöteniian andidaatintyö a seminaari SAUNAN ENERGIANKULUTUS JA SIIHEN VAIKUTTAVAT TEKIJÄT The energy consumption of sauna and related factors Työn tarastaa: Työn ohaaa: Professori, TT Mia Horttanainen Tutiaopettaa, TT Tero Tynälä Lappeenrannassa Lassi Karvonen

2 SISÄLLYSLUETTELO SYMBOLILUETTELO JOHDANTO Työn tausta Saunan energianulutus Tavoitteet LASKENTA Esimerisauna Lämpötilan a lämmöntuntemusen ero Lämmitys Saunavuoroen välinen aia Saunominen Lasennan ohtopäätöset MITTAUKSET Mittausmenetelmät Tuloset Mittausten ohtopäätöset ENERGIANKULUTUKSEN VÄHENTÄMINEN JOHTOPÄÄTÖKSET LÄHTEET... 27

3 2 SYMBOLILUETTELO A Pinta-ala [m 2 ] c Ilman ominaislämpöapasiteetti [J/g o C] E Lämmityseen uluva energia [Wh] m Massa [g] P Teho [W] q m, Massavirta [g/s] r Veden höyrystymislämpö [J/g] t Saunan lämmityseen uluva aia [s] T Lämpötila [ o C] T Saunan esimääräinen lämpötila [ o C] T * Lämpötila vaipan ulopuolella [ o C] U Lämmönläpäisyerroin [W/m 2o C] q m, Massavirtoen erotus [g/s] P Kiuaiden tehoen erotus [W] T Lämpötiloen erotus [ o C] Lämpövuo [W] alaindesit 1 tuloilma 2 poistoilma i ilma iuas 1 2 v pienempi iuas suurempi iuas vesi

4 3 1 JOHDANTO 1.1 Työn tausta IKI-Kiuas Oy teetti Lappeenrannan tenilliseltä yliopistolta eväällä 2009 tutimusen, ossa selvitettiin miten sähöiuaan ivimassa vaiuttaa saunan energianulutuseen. IKI-Kiuas Oy iinnostui asiasta saatuaan taloyhtiöiltä positiivista palautetta. Asiaaiden sähölasu oli pienentynyt, un vanha iuas vaihdettiin IKI-iuaaseen. Tutimusella haluttiin selvittää voisio pienentynyt energianulutus ohtua iuaasta. Saunan energianulutusta a siihen vaiuttavia teiöitä tarasteltiin lasennan avulla, osta saatua tulosia vertailtiin IKI-Kiuas Oy:n anssa tehtyen äytännön mittausten tulosiin. Tutimusessa esityttiin taloyhtiöiden suuriin iuaisiin a saunoihin, osa IKI-Kiuas Oy aioo atossa esittyä erityisesti niiden valmistamiseen. Aluperäinen tutimus ulaistiin IKI-Kiuas Oy:n otisivulla (IKI-Kiuas Oy 2009). Tässä työssä saunoen energianulutusta tarasteltiin aluperäisessä IKI-Kiuas Oy:n tilaamaa tutimusesta laaemmin. 1.2 Saunan energianulutus Kiuas on ylivoimaisesti suuritehoisin sähölaite otitalousissa (Työtehoseura 2010). Työtehoseuran arvion muaan Suomen sähösaunoen äytönaiainen energianulutus tulee vuonna 2010 olemaan noin 1 TWh. Samassa lähteessä sähöiuaiden energianulutusen arvioidaan lisääntyvän noin 2 % vuosittain myös tulevaisuudessa. Kasvu ohtuu muun muassa asuntoohtaisten saunoen yleistymisestä uusissa asunnoissa a puuniuaiden vaihdosta sähöisiin. (Korhonen et al. 2002, ) Sähöntuotannon ominaishiilidiosidipäästöt vuonna 2008 olivat 168g / Wh (Energiateollisuus Ry 2007). Edellä mainitulla arvolla lasettuna sähöiuaiden sähönulutusen hiilidiosidipäästöt olisivat noin tonnia vuodessa.

5 4 1.3 Tavoitteet Tässä työssä tarasteltiin sähösaunan energianulutusta a siihen vaiuttavia eri teiöitä. Lisäsi selvitetään missä määrin on mahdollista vähentää saunan energianulutusta oiealla iuaalla tai saunan äyttöä osevilla valinnoilla. 2 LASKENTA Tutittaessa iuaan energianulutusta on syytä ensin selvittää, mistä eri teiöistä se riippuu. Energianulutusen tarastelu on aettu olmeen eri osaan: saunan lämmittämiseen, varsinaiseen saunomiseen a saunavuoroen väliseen aiaan. Näissä energianulutus riippuu osittain eri teiöistä a sisi niistä oaista äsitellään eriseen. Lasennassa saatua yhtälöitä sovelletaan teoreettiseen esimerisaunaan, otta yhtälöiden lisäsi saataisiin myös ymmärrettäviä luuarvoa. 2.1 Esimerisauna Lasennassa äytetty esimerisauna uvaa tyypillistä suomalaisen taloyhtiön yhteisösaunaa a on mitoiltaan samansuuruinen uin IKI-Kiuas Oy:n tuoteehityseen äyttämät saunat. Samoissa saunoissa tehtiin myös tämän työn mittauset, oten lasettua a mitattua tulosia on helppo verrata esenään. Sauna on tilavuudeltaan 9 m 3 a sen vaipan sisäpinta-ala A on 24 m 2. Esimerisaunan ilma vaihtuu 4 ertaa tunnissa, eli ilmanvaihdon tilavuusvirta on 0,01 m 3 /s. Ilman tiheyden ollessa noin 1,22 g/m 3, ilmanvaihdon massavirta q m,i on siis 0,0122 g/s. Raenteiden esimääräinen lämmönläpäisyertoimena U äytetään 0,2 W/m 2 C. Lämmitysen aiana ivien lämpötila nousee (T T1) 100 C a ilman lämpötila T 50 C. Ominaislämpöapasiteetit oletetaan vaioisi a ne ovat ilmalle ci = 1008 J/g C (Rinne 2002, 43) a iville c = 800 J/g C (Incopera et al. 2006, 940). Esimerisaunan tietoen a tässä työssä ohdettuen yhtälöiden avulla lasetaan saunan energianulutusta erilaisissa tilanteissa.

6 5 2.2 Lämpötilan a lämmöntuntemusen ero Ilman lasentaa tai äytännön oeitain on selvää, että saunan lämpötila vaiuttaa energianulutuseen. Saunan energianulutus on sitä suurempi, mitä oreampi on ilman lämpötila. Saunoan annalta lämpötilaa oleellisempi asia on uitenin lämmöntuntemus, oa riippuu myös muista teiöistä, eiä pelästään lämpötilasta. 100 C-asteinen vesi tuntuu iholla aivan erilaiselta uin 100 C-asteinen ilma. Ihminen ei siis tunne varsinaista lämpötilaa vaan ihon a ympäröivän fluidin välisen lämpövirran (Incopera et al. 2006, 38 43). Lämpövirta pinta-alaa ohden yhtälöllä (1). ( T T ) Φ Φ '' voidaan lasea Φ '' = h s (1) h Konvetiolämmönsiirtoerroin W 2 O m C ( T s T ) Pinnan a fluidin esimääräinen lämpötilaero [ C] O Yhtälössä oleva onvetiolämmönsiirtoerroin riippuu lämpötilasta, fluidista, sen virtausnopeudesta a pinnan muodoista. Se on vedellä moniymmenertainen ilmaan verrattuna a sisi uuma vesi tuntuu uumemmalta uin ilma samassa lämpötilassa. (Incopera et al. 2006, ) Kosteammassa saunassa voidaan saavuttaa yhtä hyvä lämmöntuntemus o pienemmässä lämpötilassa, uin uivassa saunassa uumemmassa lämpötilassa. Siten lämmöntuntemuseen vaiuttamalla voidaan säästää energiaa. 2.3 Lämmitys Saunan lämmityseen uluvaa energiaa voidaan uvata yhtälöllä (2), ossa otetaan huomioon merittävimmät siihen vaiuttavat teiät eli ilmanvaihdossa poistuva energia, vaipan läpi poistuva energia seä ilman a ivien lämmityseen uluva energia.

7 6 Ilmanvaihdossa a vaipan läpi poistuva energiavirta riippuu saunan ominaisuusista. E t t = Pdt = q, c m i i o + m c ( T T ) 1 t ( T T ) dt + Φdt + m c ( T T ) i i 2 1 (2) E Saunan lämmittämiseen uluva energia [Wh] t 0 q, c, ( T T1 )dt Ilmanvaihdossa poistuva energia [Wh] m i t Φ dt 0 p i ( T ) Vaipan läpi poistuva energia [Wh] m i c p, i 2 T1 Ilman lämmityseen uluva energia [Wh] m c ( T ) T 1 Kivien lämmityseen uluva energia [Wh] c p, i Ilman ominaislämpöapasiteetti [J/g o C] c p, Kivien ominaislämpöapasiteetti [J/g o C] mi m q m, i Ilman massa [g] Kivien massa [g] Ilmanvaihdon massavirta [g/s] T Poistoilman lämpötila [ o C] T1 Ilman lämpötila ennen lämmitystä [ o C] T2 Ilman esimääräinen loppulämpötila [ o C] T Kivien loppulämpötila [ o C] Saunan lämpötilan odotetaan asvavan lineaarisesti. Kun yhtälöön (2) sioitetaan saunan lämpötila aan funtiona a integroidaan, saadaan lämmityseen uluva energia lasettua yhtälöstä (3). qm, ic i U A E = + t + micv, i T + mcv, ( T T 1 ) (3) 2 2

8 7 U Vaipan esimääräinen lämmönläpäisyerroin [W/m 2 o C] A Vaipan sisäpinta-ala [m 2 ] Kun halutaan vertailla ahden eri iuaan energianulutusien eroa samaa saunaa lämmitettäessä, voidaan erotus lasea yhtälöstä (4). q E = + 2 ( m m ) c ( T T ) 2 m, i c 1 i U A ( t t ) t 2 t1 T (4) m1 m 2 tt1 tt 2 Pienemmän iuaan ivimassa [g] Suuremman iuaan ivimassa [g] Pienemmän iuaan lämmityseen uluva aia [s] Suuremman iuaan lämmityseen uluva aia [s] Yhtälöstä (4) voidaan päätellä, misi suuret iuaat uluttavat lämmetessään enemmän energiaa. Kiuaan ivien suurempi ivimassa (m 2 > m 1 ) sitoo enemmän energiaa. Lisäsi suurempi ivimassa hidastaa saunan lämpenemistä (t t2 > t t1 ) a siten vaiuttaa epäsuorasti niihin teiöihin, ota riippuvat lämmitysaasta. Ilmanvaihdon massavirta oletetaan vaiosi, oten pitempänä aiana saunan läpi ehtii ulea enemmän ilmaa a siten myös ilmanvaihdon autta poistuu enemmän energiaa. Saunasta poistuu myös seinien a muiden raenteiden läpi sitä enemmän lämpöä, mitä pitempään lämmitys estää. IKI-Kiuas Oy:n tutimusta varten vertailtiin ahden eriooisen iuaan energianulutusia lämmitysen aiana esimerisaunassa yhtälön (4) avulla. Kiuaiden ivimassoen erotus on 100 g ( m ) m a suuremmalla iuaalla saunan 2 1 lämmittämiseen uluu ysi tunti eli 3600 seuntia enemmän ( t ) t. 2 1

9 8 g J W, O 0,2 24m s g C 2 O E = + m C 2 2 J O + 100g C = 9541J O g C s 50 O C Yhtälön muaan esimerisaunan lämmittämiseen uluu 100 g suuremmalla iuaalla yhteensä 9540 J eli noin 2,63 Wh enemmän energiaa. Tästä 2,2 Wh uluu iuaan suuremman ivimassan lämmityseen ( m m c ( T T ) 2 1) 1. Kiviin varastoitunut energia ei poistu saunasta ympäristöön lämmitysessä, vaan se vähentää vastaavan määrän energianulutusta saunomisen tai saunan uivaamisen aiana. Loput 0,43 Wh menetetään ilmanvaihdon a vaipan läpi ulevan energiavirran muana. Kun aii iuaiden iviin varastoitunut energia saadaan äytettyä hyödysi lämmitysen äleen, ummastain saunasta poistuu yhtä palon energiaa, os 100 g suuremmalla iuaalla on lämmitysen äleisen äytön aiana 0.43 Wh:a pienempi sähönulutus. Tauluossa 1 arvioidaan laaemmin miten iuaan ivimassan asvattaminen lisää energianulutusta saunan lämmittämisen aiana. Tauluossa on myös eroteltu, miä osa lisääntyvästä energianulutusesta poistuu ympäristöön. Kuten aiaisemminin todettiin, vain ympäristöön poistuvalla energialla on meritystä energiatalouden annalta.

10 9 Tauluo 1. Kiuaan ivimassan lisäysen vaiutus lämmitysaiaan a energianulutuseen Kiuaan ivimassan lisäys ( 2 mm 1 m ) [g] Lämmitysaan piteneminen ( t2 t1) [h] lämmitysen aiana Lämmitysen energianulutus asvaa ( E ) [Wh] Energianulutusen asvusta poistuu ympäristöön [Wh] 20 1/5 0,53 0, /5 1,06 0, /5 1,59 0, /5 2,12 0, ,20 0,43 Tauluosta 1 nähdään, että pienen ivimassan lisäysen vaiutus lämmitysen aiana ympäristöön poistuvan energian määrään on hyvin pieni. 2.4 Saunavuoroen välinen aia Saunavuoroen välisellä aalla taroitetaan tässä stationaarista tilaa, ossa sauna on vaiolämpötilassa, eiä iuaalle aadeta vettä. Energianulutusen siaan lasetaan esimääräinen teho, ona oletetaan pysyvän oo aan samana. Näin lasenta ei ole riippuvainen aasta. Energianulutus [Wh] saadaan ertomalla iuaan esimääräinen teho [W] saunavuoroen välisellä aalla tunneissa [h]. Saunavuoroen välisenä aiana iuaan teho muodostuu ilmanvaihdon muana poistuvasta energiavirrasta seä seinien a muun vaipan läpi poistuvasta lämpövuosta. Kiuas pitää saunan lämpötilan oreana, vaia lämpöä poistuu oo aan ympäristöön. Tilannetta selventää uvassa 1 esitetty tasepiirros.

11 10 Kuva 1: Taseraapiirros saunavuoroen välisestä aasta Saunan sisään tulevien a siitä poistuvien energiavirtoen summa on 0, osa tilaan ei erry energiaa eiä ainetta. Saunavuoroen välinen tilanne oletetaan siis stationaarisesi. Kun meritään tasetilavuuteen tulevia virtoa positiivisina a poistuvia negatiivisina saadaan energiatase iroitettua yhtälösi (4). Höyrystyvän veden massavirta oletetaan saunavuoroen välisenä aiana nollasi P + q T m, ic it1 qm, ic i 2 Φ = 0 (5) P Kiuaan esimääräinen teho [W] Φ Saunan vaipan läpi ympäristöön siirtyvä lämpövuo [W] qm, ic it1 Tuloilman energiavirta [W] qm, ic it2 Poistoilman energiavirta [W] Yhtälöstä (5) saadaan ohdettua yhtälö (6), ona muaan iuaan esimääräinen teho P on yhtä suuri uin ilmanvaihdon muana poistuvan energiavirran q m, i c i (T 2 -T 1 ) a vaipan läpi poistuvan lämpövuon Φ summa. Todellisuudessa iuaan teho ei ole tasainen, vaan vaihtelee termostaatin säätöen muaisesti. Lasennassa äytetty teho sen siaan on aan suhteen esiarvo. Nimellisteholtaan esimerisi 8 W:n iuaan

12 11 esimääräinen teho on huomattavasti nimellistehoa pienempi, osa vastuset ovat osan aasta pois päältä. Samoin lasennassa äytettävät lämpötilat ovat esiarvoa, oiden oletetaan pysyvän oo ason aan samana. P = Φ + q ( T ) m, ic i 2 T1 (6) Vaipan läpi ohtuva lämpövuo voidaan lasea yhtälöllä (7). Φ = ΣU A * ( T T ) (7) Yhtälö (7) sioitetaan yhtälöön (6), olloin saadaan alla oleva yhtälö (8). Myös poistuvan ilman lämpötilasi oletetaan saunan esimääräinen lämpötila. Käytännössä näin ei aina ole, mutta oletus ei aiheuta virhettä myöhemmin iuaiden esimääräisiä tehoa vertailtaessa, osa silloin tarvitaan ainoastaan saunoen lämpötiloen ero, oa on suunnilleen sama riippumatta siitä äytetäänö esimääräisiä lämpötiloa vai lämpötiloa ossa ilma poistuu saunasta. P = U A T T ) + q c ( T ) (8) ( 1 m, i i T1 Yhtälö (8) uvaa iuaan äyttämään tehoon vaiuttavia teiöitä. Tehoon vaiuttavat seinien, aton, lattian, oven a iunoiden pinta-alat A a lämmönläpäisyerroin U, vaihtuvan ilman massavirta q m,i a sen ominaislämpöapasiteetti, saunassa oleva esimääräinen lämpötila T, tuloilman lämpötila T 1 a T *, oa uvaa lämpötilaa vaipan eri pintoen ulopuolella. Kyseinen lämpötila ei välttämättä ole sama eri pintoen ulopuolella. Esimerisi iunan T * voi olla uloilman lämpötila a oven T * ylpyhuoneen lämpötila. T * eri pinnoille on tiedettävä, miäli halutaan lasea tarasti iuaan tarvitsema teho, mutta iuaiden tehoen erotusta P lasettaessa ne pyöristyvät yhtälöistä pois, eiä niitä siis tarvitse tietää. Vertailtaessa ahden eri iuaan esimääräisiä tehoa samassa saunassa P, on saunan esimääräinen lämpötila T ainoa iuaasta a sen äytöstä riippuva muuttua. Muut tehoon vaiuttavat teiät riippuvat pelästään saunasta a uloisista teiöistä, oten ne oletetaan vaioisi.

13 12 Kahden iuaan tehonulutusien ero saadaan yhtälöllä (9). ( U A + q c ) T P = m, i i (9) Yhtälöstä (9) voidaan päätellä, että saunan lämpötilan pienentäminen pienentää tarvittavaa tehoa. Suuressa iuaassa on suurempi ivien pinta-ala a massa. Suureen ivimassaan varastoituneen lämmön ansiosta iuaasta saadaan suurempi hetellinen lämpöteho, vaia vastuset olisivat saman tehoisia. Lisäsi ivien suurempi pinta-ala tehostaa höyrystymistä. Täten suurella iuaalla saadaan ostea löyly o pienemmässä lämpötilassa, uin pienen ivimassan sisältävillä iuailla. Käytännössä tämä näyy niin, että pienissä iuaissa ivet äähtyvät nopeasti löylynheiton aiana a vesi valuu iuaan läpi viemäriin. Suurissa iuaissa samaa ongelmaa ei ole. Kiuaalla höyrystyvä vesi siirtää erittäin tehoaasti lämpöä ihmisen iholle, oten tavallista osteammassa saunassa lämpötilaa voidaan pitää alhaisempana a silti saavuttaa yhtä hyvä lämmöntuntemus uin uivemmassa saunassa oreammassa lämpötilassa. Tällöin myös tarvittava sähöteho on pienempi a energiaa säästyy. Pienemmästä lämpötilasta ohtuva energiansäästö lasetaan samassa esimerisaunassa, ota äytettiin aiaisemmin lämmitysen aiaisia energianulutusia vertaillessa. Tarvittava teho pienenee 17,1 W/ C lämpötilan lasiessa. Tauluossa 2 esitetään tarvittavan tehon muutos erilaisilla lämpötilan muutosilla.

14 13 Tauluo 2. Saunan lämpötilan lasun vaiutus saunan energianulutuseen Saunan Tarvittava Energianulutus ahden tunnin lämpötilaa teho pienenee tunnin aiana aiana [Wh] lasee [ C] [W] pienenee [Wh] olmen tunnin aiana [Wh] 1 0,017 0,017 0,034 0, ,034 0,034 0,068 0, ,051 0,051 0,102 0, ,086 0,086 0,172 0, ,171 0,171 0,342 0, ,257 0,257 0,514 0, ,342 0,342 0,684 1, ,458 0,458 0,916 1,374 Suurten iuaiden mainostetaan tarvitsevan 10 C pienemmän lämpötilan saman lämmöntuntemusen aiaansaamisesi, tällöin tarvittava teho pienenisi siis 171 W. Suurella iuaalla lämmitysen aiana saunasta poistuva 0,43 Wh:n energiavirta säästettäisiin siis näissä olosuhteissa noin 2½ tunnissa. Tämän äleen suuren ivimäärän sisältävällä IKI-Kiuaalla a tavallisella iuaalla saunasta olisi poistunut yhtä suuri määrä energiaa ympäristöön. Saunan ollessa pitempään äytössä, suurella iuaalla olisi pienemmän lämpötilan ansiosta pienempi energianulutus. Lämpötilaa lasemalla saatu energiansäästö riippuu lämpötilan lisäsi saunan vaipan pinta-aloista A a lämmönläpäisyarvoista U, seä ilmanvaihdon massavirrasta q m,i. Lämpötilaa pienentämällä saavutettavissa oleva säästö on sitä suurempi, mitä suurempia ovat yseiset arvot. Lämpötilaa alentamalla saadaan siis suurimmat säästöt suurissa saunoissa, oissa on tehoas ilmanvaihto. Tämänlaisia saunoa on esimerisi taloyhtiöissä a ylpylöissä.

15 Saunominen Saunomisella taroitetaan tässä appaleessa sitä aanasoa, oa alaa un iuaalle aletaan heittää löylyä a loppuu siihen, un saunan a iuaan lämpötilat ovat palautuneet samaan, oita ne olivat ennen saunomista. Saunomisen aiana iuaan tarvitsema teho oostuu aiista niistä teiöistä uin saunavuoroen välissäin, mutta myös iuaalle heitetyllä vedellä on meritystä. Veden höyrystymislämpö on orea, oten o pieni määrä iuaalle heitettyä vettä uluttaa höyrystyessään suuren määrän energiaa a siten aiheuttaa iuaan suuren tehonulutusen. Yhtälössä (10) otetaan huomioon vain se vesi, oa höyrystyy saunassa a poistuu höyrynä ilmanvaihdon muana. Höyrystymättä äävällä vedellä, tai vedellä oa höyrystyy, mutta tiivistyy taaisin vedesi saunan sisällä, ei oleteta olevan meritystä. Viemäriin valuvaa vettä ei huomioida, vaia se lämpeneein saunassa, osa sen meritys on niin pieni. Tilannetta selventää uvassa 2 esitetty tasepiirros. Kuva 2: Taseraauva saunomisen aiaisesta tilanteesta. P + qm, ic it1 + qm, vc vtv1 qm, v ( c vtv2 + r) qm, ic it2 Φ = 0 (10) q q m, ic it1 m, ic it2 Tuloilman energiavirta [W] Poistoilman energiavirta [W]

16 15 q c T m, v v v1 Kiuaalle heitettävä veden energiavirta [W] qm, v ( c vtv 2 + r) Ilmanvaihdon muana ympäristöön poistuvan Φ höyrystyneen veden energiavirta [W] Saunan vaipan läpi ympäristöön siirtyvä lämpövuo [W] c p, v Veden ominaislämpöapasiteetti [J/g o C] q m, v Veden massavirta [J/g o C] r Veden höyrystymislämpö [J/g] Tv1 Veden alulämpötila [ o C] Tv2 Veden loppulämpötila [ o C] Yhtälöstä (10) voidaan erotella veden lämmittämiseen a höyrystymiseen tarvittava teho omasi yhtälösi (11). P = qm, v[ c v ( T2 T1 ) r] h + (11) Veden lämpötilannousun meritys höyrystymislämpöön verrattuna on hyvin pieni a siten yhtälö voidaan supistaa yhtälösi (12). P = q h m, v r (12) Höyrystymislämmön merittävän vaiutusen energianulutusessa voi todistaa äytännön esimerillä: Kiuaalle aadetaan 1 dl (eli 0,1g) 50 C-asteista vettä minuutin välein. Höyrystyvän veden massavirta on tällöin: 0,1g m, = = 0, s q v g s Seuraavasi lasetaan eriseen vesivirran lämmittämiseen a veden höyrystymiseen vaadittava teho. Veden höyrystymislämpönä on äytetty 2260 J/g a ominaislämpöapasiteettina 4,19 J/g C (Incropera et al. 2007, 949).

17 16 g J O O qm vcp v( T T ),, v2 v1 = 0, ,19 (100 C 50 C) 0, 35W O s g C g J q m, v r = 0, , 77W s g Tulosia voidaan siis tulita niin, että pelästään yhden desilitran höyrystäminen minuutin välein lisää iuaan esimääräistä tehonulutusta 3,77 W. Eli siis 15 minuutin sanomisen aiana pelästään veden höyrystyminen uluttaa 0,94 Wh sähöä. Vastaavana aiana veden lämmitys höyrystymislämpötilaan lisää sähönulutusta vain 0,09 Wh. Veden höyrystymisen ollessa näin palon veden lämmitystä merittävämpi teiä energianulutusen annalta, voidaan iuaiden energianulutusia vertailtaessa veden lämpenemiseen uluva energia unohtaa tilanteen selventämisesi. Tällöin iuaan esimääräinen teho tehonulutusien ero P yhtälöstä (14). P saadaan yhtälöstä (13) a ahden iuaan P ( T T ) + q c ( T T ) q r = U A 1 m, i i 1 + m, v (13) ( U A + qm, ic i ) T + r qm v (14) P =, q m, v Veden massavirtoen erotus [g/s] Yhtälöstä (14) voidaan päätellä, että iuaiden tehonulutusien mahdolliset erot riippuvat aiista samoista teiöistä uin saunavuoroen välissäin. Pienemmän lämpötilan ylläpitämiseen vaaditaan pienempi teho a tehoen erotus on sitä suurempi, mitä suurempia ovat vaipan pintoen pinta-alat A, lämmönläpäisyertoimet U a vaihtuvan ilman massavirta q m,i.. Toisin uin saunavuoroen välissä, höyrystyvä vesi lisää tarvittavaa tehoa. Osittain tästä syystä iuaiden energianulutus onin saunomisen aiana suurempi uin saunavuoroen välissä.

18 17 Miäli vedenulutus on sama eri iuailla, se ei tietenään aiheuta mitään eroa energianulutusessa. Toisaalta iuaalle heitetty vesi höyrystyy paremmin suuren ivimassan omaavissa iuaissa. Tällöin suurella iuaalla saattaa olla opa pieniä iuaita suurempi energianulutus, vaia tarvittava lämpötila olisiin pienempi. Kiuasta vaihdettaessa osalla äyttäistä saattaa höyrystyvän veden määrä asvaa huomaamatta, osa vesi ei vanhan mallin muaan valu iuaan läpi lattialle. Kiuaalle siis heitetään sama määrä vettä uin ennenin, mutta suurempi osa siitä höyrystyy. Esimerisaunan olosuhteissa energiantarve tunnissa 10 C pienemmällä lämpötilalla on 0,17 Wh:a pienempi, samalla tavalla uin saunavuoroen välisenäin aiana, miäli höyrystyvän veden määrä ei muutu lainaan. Yhtälöstä (15) voidaan ohtaa yhtälö (16) olla voidaan lasea, uina palon höyrystyvän veden massavirta saa oreintaan lisääntyä, otta pienemmällä lämpötilalla saatu energiansäästö ei häviä. P r q m, v (15) J 0,17 P s, = = 7,52 10 r J 2260 g 5 q m v g s (16) Höyrystyvän veden massavirta saa asvaa oreintaan 7, g/s, eli siis noin 2,7 desilitraa tunnissa. Näin pieni asvu on hyvinin todennäöinen, oten iuaan ivimassan asvattamisella a sillä tavoin tarvittavan lämpötilan pienentämisellä on hyvin pieni säästöpotentiaali saunomisen aiana. 2.6 Lasennan ohtopäätöset Suurin osa lasennassa huomioiduista teiöistä vaiutti ulutuseen lämmitysen, saunomisen a saunavuoroen välisenä aiana samalla tavalla. Täreimmät teiät olivat saunan oo, eristys, ilmanvaihto, saunan lämpötila a iuaalle heitetyn veden määrä. Eristystä luuun ottamatta aiien tulisi olla mahdollisimman pieniä energiataloudellisesti aatellen.

19 18 Kiuaan ivimassa ei vaiuta saunan energianulutuseen aiina aioina, uten muut teiät. Kivien massan suurentaminen asvattaa lämmityseen uluvaa aiaa a siten lisää myös lämmitysen energianulutusta. Toisaalta ivimassan suurentaminen vähentää energianulutusta saunan varsinaisen äytön aiana, miäli oletetaan että suurempi ivimassa tehostaa veden höyrystymistä a siten saa o pienemmällä lämpötilalla aiaan yhtä hyvän lämmöntuntemusen, uin pienempi iuas suuremmalla lämpötilalla. 3 MITTAUKSET Teoreettisilla laselmilla ei voida täysin orvata äytännön mittausia. Sisi laselmien tuemisesi tehtiin äytännön mittausia 18 a Tehtaanatu 13. saunatiloissa Helsingissä. Taloyhtiössä on asi identtistä saunaa, ota vastaavat mitoiltaan teoreettisissa laselmissa äytettyä esimerisaunaa. Kummanin saunan sisämitat ovat 2 2 2,1 [m] a oviauoen sisennysten mitat 0,8 2,1 0,3 [m]. Saunoen tilavuudet olivat siis noin 9 m 3. Saunoissa oli taloyhtiön asuaiden äytössä IKI Sähö 7,5 W iuaat, oita ei uitenaan tässä tutimusessa äytetty. Mittausia varten yhteen saunaan tuotiin äyttämätön 7,5 W IKI-Kiuas a toiseen Helon 8 W:n sähöiuas, oa oli myös äyttämätön. Vertailuiuas on nimellisteholtaan 8 W, osa IKI-iuaan lisäsi ei myynnissä ole toista 7,5 W:n iuasta. Nimellistehon erolla ei uitenaan pitäisi olla suurta meritystä, osa tutimusessa vertailtiin esimääräisiä tehoa. Suuremmat vastuset ovat vähemmän aiaa päällä, miäli energianulutus on sama. Kiuaiden ivet olivat Sauna Graniittia, ivilaatu Oliviini diapaasi alle 10 cm. Kummassain iuaassa äytettiin samoa iviä, oita IKI-Kiuas Oy oli äyttänyt myös aiaisemmissa tuoteehityseen liittyvissä tutimusissaan. Kiuaiden ivet olivat esenään samaniäisiä a yhtä palon äytettyä. IKI-iuaaseen pantiin iviä noin 130 g a Helon vertailuiuaaseen noin 30 g. Kiuaiden ivimassoen ero oli siis sama 100 g, ota äytettiin lasennassa. Merittävä ero teoreettisten laselmien a mittausten välillä on se, että laselmissa äsitellään saunan lämpötilan ylläpitämiseen a veden höyrystymiseen tarvittavaa energiaa, un taas mittausissa mitattiin sähönulutusta.

20 19 Tarvittava energia on sähönulutusen a ivistä vapautuvan energian summa. 3.1 Mittausmenetelmät Mittausissa mitattiin ummanin saunan energianulutusta Hager ec 310 Wh - mittareilla, oita oli ysi ummallein iuaalle. Saunoen lämpötiloa mitattiin ahdesalla One wire viewer -lämpötilamittarilla, oita oli nelä ummassain saunassa. Mittarit oli sioitettu niin, että ummanin saunan ylälauteen uloreunalla oli mittari ummassain reunassa noin 15 senttimetrin etäisyydellä seinästä. Kolmannet mittarit olivat aton oieassa taaulmassa siaitsevissa poistoilmaventtiileissä a nelännet esellä saunoen taaseiniä selänoien päällä. Nelän eri lämpötilan avulla lasettiin saunoen yläosien esilämpötilat, oita äytettiin lasennassa. Saunoen yläosien lämpötiloen oletettiin antavan paras uva saunoaan vaiuttavista lämpötiloista. Lisäsi mittausissa äytettiin Vaisala HMI 41 -ilmanosteusmittaria a CompuFlow Thermoanemometer Model virtausnopeusmittaria, oilla todistettiin saunoen olevan mahdollisimman samanaltaisia. Mittausilla haluttiin vertailla iuaiden energianulutusia lämmitysessä a äytön aiana eri lämpötiloilla. Saunomisen simuloinnissa äytettiin ahta löylyauhaa, oiden ummanin tilavuuden todettiin olevan noin 3 dl desimitan avulla. Saunomisen aiana iuaille heitettiin vettä 3 dl erralla, 2 minuutin 35 seunnin välein. Erioinen löylynheittoväli valittiin, osa lämpömittarien mittausväli oli tasan 1 minuutti. Löylynheittotaauus ei saa olla mittaustaauudella aollinen, osa se heientäisi mittausten taruutta. Vesi aadettiin hitaasti oa puolelle iviä, otta mahdollisimman pieni osa valuisi iuaan läpi. Löylyä heitettiin oaisen saunavuoron aiana ahdesan ertaa. Ensimmäisen a viimeisen löylynheiton välinen aia oli siis noin 18 minuuttia 3.2 Tuloset Kiuaiden asennusten yhteydessä niiden virranulutus mitattiin, niiden taroen tehoen selvittämisesi. Helon virranulutus oli 11,4 A, oten sen sähöteho oli 7,8 W. IKI-Kiuaan virranulutus vastaavasti oli 10,7 A a teho 7,4W. Kummanin iuaan

21 20 teho erosi siis hieman ilmoitetusta. Saunoista mitattiin ennen iuaiden äynnistämistä lämpötilat, suhteelliset ilmanosteudet a virtausnopeus poistoilmaventtiilin suulla, otta tiedettäisiin eroavato saunat toisistaan merittävästi. Kyseiset suureet mitattiin olmeen ertaan muutaman minuutin välein. Saunoen lämpötilat olivat ennen saunomista noin 23 C a suhteelliset ilmanosteudet noin 30 % eseltä saunaa mitattuna. Virtausnopeudet mitattiin ummanin saunan poistoilmaventtiilistä, ohdasta ossa venttiilin halaisia oli 10 cm. Virtausnopeus oli ummassain venttiilissä noin 1,0 m/s. Vertailtavat saunat olivat siis samanlaisia myös näiden ominaisuusien suhteen a sisi niistä saatua mittaustulosia voidaan helposti vertailla esenään. Kiuaiden energianulutusia mitattiin tiistaina Kummanin saunan lämpötila ennen lämmitystä oli noin 23 C. Saunoa lämmitettiin unnes esimääräinen lämpötila oli IKI - iuaan saunassa noin 63 C a vertailusaunalla noin 70 C. Kyseisissä lämpötiloissa ummatin iuaat ovat valmistaien ilmoittamien suosituslämpötiloissa. Kyseiset lämpötilat oletettiin ummallein iuaalle tyypillisesi saunomislämpötilasi. Näissä esimääräisissä lämpötiloissa poistoilman lämpötilat olivat vertailusaunassa 85 C a IKI-iuaan saunassa 74 C. Lämpötila ylälauteen oreudella oli ummassain saunassa noin 55 C. Suuremman iuaan hitaammalla lämmitysellä saatiin siis saunaan alusi hieman tasaisempi lämpötilaaauma. Lämpötilaerot tasoittuivat myöhemmin saunomisen aiana, eiä sillä oleteta olevan meritystä energiatalouden annalta. Ilmanvaihtoa ei sulettu lämmitysen aasi. Lämmitysen aiana IKI-iuas äytti 10,8 Wh a vertailuiuas 8,4 Wh sähöä. Ero lämmitysen aiana oli siis 2,4 Wh pienemmän iuaan edusi. Miäli laselmat pitävät paiansa, IKI-iuaan 100 g:a suurempi ivimassa selittää noin 2,2 Wh energianulutusien erosta. Kuten o aiaisemmin todettiin, iviin varastoitunut energia voidaan saada myöhemmin hyödysi saunan äytön tai uivaamisen aiana. Tällöin IKI-iuaalla menetettiin vain noin 0,2 Wh:a enemmän energiaa ilmanvaihdon a vaipan läpi poistuvan energiavirran muana ympäristöön. Aiaa saunan lämmityseen ului vertailuiuaalla 1h 38 min a IKI - iuaalla 2h 23 min. Lämmitysen osalta mittausten tuloset olivat siis samaa ooluoaa uin teoreettisten laselmien tuloset.

22 21 Saunavuoroen välisenä aiana iuaiden esimääräiset tehot olivat IKI - iuaalla 2,7 W a Helolla 3,0 W. IKI - iuaalla oli siis 0,3 W pienempi teho, sen saunan esimääräisen lämpötilan ollessa noin 7 C pienempi. Lämpötilan lasu pienensi iuaalta vaadittavaa tehoa siis noin 0,04 W/ C eli hieman enemmän uin laselmissa arvioitiin. Mittausten tuloset ovat uitenin niin lähellä teoreettisten laselmien tulosia, että oletetaan mitattuen sähönulutusten uvaavan saunoen oonaisenergianulutusia. Lämmitysessä IKI-iuaan suurempaan ivimassaan varastoitunutta energiaa ei siis siirtynyt merittävästi ilmaan saunavuoroenvälisenä aiana. Siispä näissä olosuhteissa IKI-iuaalla olisi säästetty lämmitysessä saunasta ympäristöön poistuva 0,2 Wh:n energiavirta alle tunnissa. Tiistain aiana ummallain saunalla saunottiin olme ertaa. Saunoen esimääräiset lämpötilat olivat saunavuoroen aiana IKI-Kiuaalla 68 C, 62 C seä 59 C a vertailuiuaalla 73 C, 64 C a 53 C. Vertailusaunan sähönulutus oli ahden ensimmäisen saunavuoron aiana 2,2 Wh a viimeisessä 2,1 Wh. Sähönulutus on mitattu ensimmäisen a viimeisen löylynheiton väliltä, eli noin 18 minuutin aalta. Vertailuiuaan esimääräinen teho oli saunomisen aiana siis noin 7,3 W, miä on melo lähellä iuaan nimellistehoa. Vastaavissa löylyvuoroissa IKI-iuas ulutti sähöä 0,3 Wh, 0,7 Wh a 0 Wh. Viimeisessä saunavuorossa iuaan vastuset eivät siis olleet lainaan päällä. Viimeisen saunavuoron aiana vertailusaunassa oli IKIiuaan saunaa pienempi lämpötila. Teoreettisten laselmien muaan vertailusaunassa olisi tällöin pitänyt olla myös pienempi energianulutus. Samoin esimmäisen saunavuoron aiana energianulutusien olisi pitänyt olla suurin piirtein samat. Lisäsi aiien saunavuoroen aiana vertailuiuaan läpi valui merittävä osa sille aadetusta vedestä, un taas IKI-iuas höyrysti lähes aien, oten myös veden höyrystyminen ulutti IKI-iuaalla enemmän energiaa uin vertailuiuaalla. Saunat eivät siis olleet stationaarisessa tilassa, vaan voidaan olettaa, että IKI-iuaan pienempi sähönulutus ohtui sen suurempaan ivimassaan varastoituneesta energiasta. Tulos siis vahvistaa sen olettamusen, että lämmitysessä iviin varastoitunut energia saadaan hyvin hyödynnettyä saunomisen aiana.

23 Tulosten tarastelu Tutimusessa äytettiin IKI-iuaalla noin 10 C pienempiä lämpötiloa uin vertailuiuaalla. Kyseinen lämpötilaero valittiin eri valmistaien ilmoittamien saunomislämpötiloen perusteella. Muava saunomislämpötila uitenin riippuu täysin mielipiteestä. Tieteellisesti on vaiea todeta, uina palon ilmanosteus vaiuttaa lämmöntuntemuseen saunassa. Energianulutusta tarastellessa ei ole uitenaan oleellista, saadaano osteammassa saunassa todellisuudessa täysin sama lämmöntuntemus, uin uivassa saunassa 10 C oreammalla lämpötilalla. Energiaa säästyy vaia ihmiset alentaisivat saunomislämpötilaa pelän mieliuvan taia. Lasennan esimerisaunan a mittausten saunan välillä pitäisiin olla hieman eroa. Poistoilmaventtiileistä mitattu virtausnopeus osoittaa, että ilma vaihtui mittausten saunoissa noin olme ertaa tunnissa, un taas esimerisaunan ilma sen siaan vaihtui nelä ertaa tunnissa. Sisi myös saunasta ilmanvaihdon muana ympäristöön poistuva energiavirta on mittausten saunoissa pienempi uin lasennan esimerisaunassa. Esimerisaunan lasetut arvot a mittausissa saadut arvot olivat uitenin niin lähellä toisiaan, että teoreettisten laselmien voidaan olettaa olevan oieansuuntaisia. Lämpömittarit näyttivät aii samaa arvoa pitän aiaa ennen uin saunoa alettiin lämmittää a myös saunoen äähdyttämisen äleen. Voidaan siis olettaa, että miäli lämpötilamittarien näyttämät arvot heittävät todellisista lämpötiloista, niissä aiissa on samaa ooluoaa oleva virhe. Tällöin virheellä ei pitäisi olla suurta meritystä saunoen lämpötilaeroa lasettaessa. Mitattaessa suhteellista ilmanosteutta a ilman virtausnopeutta, äytettiin ummassain saunassa samaa mittaria. Tällöin myös niiden tulosissa mittarin epätaruuden meritys on pieni, osa oleellista on saunoen välinen ero eivätä tarat arvot.

24 Mittausten ohtopäätöset Eriooisten iuaiden erot olivat niin suuria, että mittaustulosiin voidaan suuntaaantavasti luottaa. Mitään luuarvoa, uten taraa aiaa olloin IKI-iuas alaa säästää energiaa vähän iviä sisältävään iuaaseen nähden, ei uitenaan voida ottaa iraimellisesti. Tulosista voidaan uitenin päätellä, että lasentaan perustuvat arviot olivat oieansuuntaisia a että suurella iuaalla on mahdollista säästää energiaa vähän iviä sisältävään iuaaseen verrattuna, osa suuren ivimassan ansiosta vesi höyrystyy tehoaasti pienemmässä lämpötilassa uin pienellä iuaalla. Pienemmän lämpötilan ylläpitämiseen iuaalta vaaditaan pienempi teho a sisi energiaa säästyy varsinin saunavuoroen välisenä aiana. Mittausten tuloset myös tuevat teoreettisia laselmia, oiden muaan suurella iuaalla saunan lämmittämiseen uluu enemmän energiaa, uin vähän iviä sisältävällä iuaalla. Suurempi energianulutus lämmitysen aiana ohtuu suurelta osin suurempaan ivimassan sitoutuneesta energiasta, oa saadaan hyödynnettyä myöhemmin saunan äytön aiana, eiä sitä sisi menetä ympäristöön. Suuremmasta energianulutusesta vain murto-osa poistuu ympäristöön. IKI-iuaalla säästetään ilpailioiden pieniin iuaisiin verrattuna energiaa silloin, un äytönaiaisten energianulutusien ero on suuremman iuaan edusi suurempi, uin lämmitysen aiana energianulutusien ero pienemmän iuaan edusi. Energiansäästö saunan äytön aiana riippuu saunan ominaisuusista a siitä uina pitään saunat ovat lämmitysen äleen äytössä. Mittaustuloset osoittavat, että ainain taloyhtiöiden saunoissa, oissa saunotaan useita tuntea päivässä, suurella iuaalla voi olla pienempi energianulutus. Lasennassa äytetty esimerisauna uvasi tavallista errostalon yhteisösaunaa a siinä energiaa säästettiin o alle olmen tunnin päivittäisellä äytöllä. Päivittäiseen äyttöön uuluvat saunavuorot a niiden välinen aia.

25 24 4 ENERGIANKULUTUKSEN VÄHENTÄMINEN Lasennassa uvattiin saunan energianulutusta lämmitysen aiana yhtälöllä (3), seä tehonulutusta saunavuoroen välisenä aiana yhtälöllä (8) a sanomisen aiana yhtälöllä (13). Kyseiset yhtälöt esitetään uudestaan alla. qm, ic i U A E = + t + micv, i T + mcv, ( T T 1 ) (3) 2 2 P = U A T T ) + q c ( T ) (8) ( 1 m, i i T1 P ( T T ) + q c ( T T ) q r = U A 1 m, i i 1 + m, v (13) Kyseisissä yhtälöissä on monia yhteisiä teiöitä, uten saunan tuloilman lämpötila T 1. Tuloilman lämpötilan nostaminen a toisaalta poistoilman lämpötilan laseminen vähentäisivät iuaan energianulutusta, mutta miäli tuloilman lämmittäminen uluttaisi vastaavan määrän energiaa ossain muualla, energianulutus ei laaemmassa mittaaavassa vähenisi. Lämmöntalteenottoa saunan poistoilmasta vaieuttaa suuri ilmanosteus, oa altistaa lämmöntalteenottolaitteen liaantumiselle a äätymiselle. Saunan poisto- a tuloilman suuri lämpötilaero uitenin teevät lämmöntalteenotosta mahdollisen rataisun energiansäästöön varsinin suurissa saunoissa a tiloissa, oissa saunoa on useita. Lämmöntalteenotto on taloudellisempaa suurilla ilmavirroilla. Saunan vaipan pinta-ala A, lämmönläpäisyerroin U a ilmanvaihdon massavirta q m, i vaiuttavat energianulutuseen oo sen äytön aiana. Kaiien olmen pienentäminen pienentäisi myös energianulutusta. Vaipan sisäpinta-alan pienentäminen olisi yleensä hanalaa ilman tilavuuden pienentämistä. Tilavuuden vähentämiseen taas ainoa mahdollisuus on saunan sopivan pieni mitoitus. Yleensä tämä tapa ei uitenaan tule ysymyseen, osa sauna on mitoitettu saunoien määrän muaan. Lämmönläpäisyertoimen pienentäminen eli äytännössä eristysen parantaminen taas olisi potentiaalinen säästömahdollisuus. Eristys paranisi esimerisi vaihtamalla

26 25 lasiovista puisiin oviin a välttämällä turhia iunoita a lasiseiniä. Ilmanvaihdon vähentäminen onnistuisi varsinin saunan lämmitysen aiana. Omaotitaloissa näin usein onin, mutta taloyhtiöissä saunan ilmanvaihto toimii monesti vaioteholla myös lämmitysen aan. Energianulutuseen vaiuttavat suuresti iuaan ivimassasta riippuvat iuaan lämpiämisaia a yy höyrystää vettä. Kiuaan ivimassan asvattaminen voi yhtäasoisen äytön pituudesta riippuen oo asvattaa tai pienentää energianulutusta. Suurentunut energianulutus lämmitysen aiana meritsee sitä enemmän mitä vähemmän aiaa sauna on äytössä. Suurissa ylpylöissä iuaat voivat olla päällä ymmeniä tuntea yhtäasoisesti. Näissä lämmitysen energianulutus ää häviävän pienesi osasi oonaisenergianulutusta. Vastaavasti otitalousien saunoa äytetään useimmiten vain lyhyen aiaa errallaan, oten niissä lämmitysellä on vastaavasti erittäin suuri meritys. Voidaanin siis sanoa että iuaan optimaalinen ivimassa on sitä suurempi, mitä pienempi meritys lämmitysellä on oonaisenergianulutusen annalta, eli mitä pitempään iuas on yhtäasoisesti äytössä. Suurten iuaiden energianulutusta lämmitysen aiana voitaisiin pienentää asvattamalla iuaiden tehoa niin, että saunan lämmitysaia pysyisi samana uin pienemmillä iuailla. Käytönaiainen tehon tarve ei asva iuaan tehoa asvattamalla, osa suuremmat vastuset ovat vähemmän aiaa päällä uin pienet vastuset. Käytännössä iuaat mitoitetaan uitenin saunan lattiapinta-alan muaan, eiä ivimassaa oteta huomioon. (Energiateollisuus Ry 2009) 5 JOHTOPÄÄTÖKSET Lasennan a mittausten perusteella voidaan vahvistaa IKI-Kiuas Oy:n arvio, ona muaan suurella iuaalla voidaan säästää energiaa pienemmän saunomislämpötilan ansiosta. Säästöä voidaan uitenin saada lähinnä taloyhtiöissä, ylpylöissä a muissa saunoissa, oissa lämmitysen äleen saunotaan useita tuntea. Vähän äytetyissä saunoissa suuri ivimassa taas lisää energianulutusta, osa lämmitysen aiainen

27 26 energianulutus asvaa. Kivimassa tulisiin optimoida saunan äyttötaroitusen muaan a ivimassan asvaessa tehon tulisi myös asvaa, otta saunan lämmittämisaia ei asva liian suuresi. Saunan energianulutusta voitaisiin monessa ohteessa vähentää iuasta vaihtamatta. Helpoimpia tapoa ovat lämpötilan alentaminen a ilmanvaihdon suleminen lämmitysen aasi. Uutta saunaa raentaessa tulisi iinnittää huomiota raenteiden eristävyyteen.

28 27 LÄHTEET Energiateollisuus Ry Sähöiuaalla sauna lämpimäsi [www-doumentti]. [Viitattu ]. Saatavissa: IKI-Kiuas Oy Tutimus IKI-Kiuaan Energiaulutusesta [www-doumentti]. [Viitattu ]. Saatavissa: Incopera et al Fundamentals of Heat and Mass Transfer. United States of America. John Wiley & Sons. 997s. ISBN 13: * Korhonen et al Kotitalousien a toimistotiloen laitesähön äytön tehostaminen [pdf-doumentti]. [Viitattu: ]. Saatavissa: Rinne Puupolttoaineiden uivausmenetelmien artoitus [pdf-doumentti]. [Viitattu ]. Saatavissa: enttiaristo/viestinta_a_ativointi/julaisut/projektit/rinne_sami_puupolttoaineid en_uivausmenetelmien_artoitus.pdf Työtehoseura Sauna [www-doumentti]. [Viitattu ]. Saatavissa:

TUTKIMUS IKI-KIUKAAN ENERGIASÄÄSTÖISTÄ YHTEISKÄYTTÖSAUNOISSA

TUTKIMUS IKI-KIUKAAN ENERGIASÄÄSTÖISTÄ YHTEISKÄYTTÖSAUNOISSA TUTKIMUS IKI-KIUKAAN ENERGIASÄÄSTÖISTÄ YHTEISKÄYTTÖSAUNOISSA IKI-Kiuas Oy teetti tämän tutkimuksen saatuaan taloyhtiöiltä positiivista palautetta kiukaistaan. Asiakkaat havaitsivat sähkölaskujensa pienentyneen,

Lisätiedot

Kaupunkisuunnittelu 17.8.2015

Kaupunkisuunnittelu 17.8.2015 VANTAAN KAUPUNKI MIEIPITEIDEN KOONTI Kaupunisuunnittelu..0 MR :N MUKAISEEN KUUEMISKIRJEESEEN..0 VASTAUKSENA SAADUT MIEIPITEET JA KANNANOTOT ASEMAKAAVAN MUUTOKSESTA NRO 009, MARTINAAKSO YHTEENSÄ KANNANOTTOJA

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5. Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.

Lisätiedot

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa Jväslän Ammattioreaoulu, IT-instituutti IXPF24 Fsiia, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pasi Repo Valon diffratio hdessä ja ahdessa raossa Laatija - Pasi Vähämartti Vuosiurssi - IST4S1 Teopäivä 2005-2-17 Palautuspäivä

Lisätiedot

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa

Lisätiedot

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL

Lisätiedot

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys 28.5.2012

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys 28.5.2012 aupan palveluveroselvitys 28.5.2012 aupan palveluveroselvitys 1 Sisällysluettelo 1 JOHDANTO 2 2 KAUPAN NYKYTILAN KARTOITUS JA KUVAUS 3 2.1 Vähittäisaupan toimipaiat ja myynti 3 2.2 Ostovoima ja ostovoiman

Lisätiedot

ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV. Suomen Aktuaariyhdistyksen vuosikokousesitelmä

ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV. Suomen Aktuaariyhdistyksen vuosikokousesitelmä ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV Suomen Atuaariyhdistysen vuosioousesitelmä 27.2.2006 2 Sisällysluettelo: sivu 1. Tasoitusvastuujärjestelmän uvaus

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-0361-1 1 (5) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 15100 Lahti 7.4.01 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 1001, 0044 VTT Puh. 00 7 5566, ax. 00 7 7003

Lisätiedot

AMBIGUITEETTIONGELMA KANTOAALLONVAIHEMITTAUKSESSA. JUKKA TOLONEN Teknillinen korkeakoulu Maanmittaustieteiden laitos jotolone@cc.hut.

AMBIGUITEETTIONGELMA KANTOAALLONVAIHEMITTAUKSESSA. JUKKA TOLONEN Teknillinen korkeakoulu Maanmittaustieteiden laitos jotolone@cc.hut. MIGUITEETTIONGELM KNTOLLONVIHEMITTUKSESS JUKK TOLONEN Tenillinen oreaoulu Maanmittaustieteiden laitos otolone@cc.hut.fi . Johdanto Satelliittipaiannus perustuu vastaanottimen a satelliittien välisen etäisyyden

Lisätiedot

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin

Lisätiedot

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

RATKAISUT: 21. Induktio

RATKAISUT: 21. Induktio Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön

Lisätiedot

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y 36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien

Lisätiedot

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä äyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin taristus: ZN-Face Kalle Korhonen sorhon@cc.hut.fi 13.4.2000 Tiivistelmä: Raportissa tutustutaan aupalliseen

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k. ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -

Lisätiedot

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys. Luonnos 11.5.2012

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys. Luonnos 11.5.2012 aupan palveluveroselvitys Luonnos 11.5.2012 aupan palveluveroselvitys 1 Sisällysluettelo 1 JOHDANTO 1 2 KAUPAN NYKYTILAN KARTOITUS JA KUVAUS 3 2.1 Vähittäisaupan toimipaiat ja myynti 3 2.2 Ostovoima ja

Lisätiedot

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2) . Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-3259-12 1 (4) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 151 Lahti 27.4.212 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 11, 244 VTT Puh. 2 722 5566, Fax. 2 722 73

Lisätiedot

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN

SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan

Lisätiedot

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET 5 TLOUYRTTÄJÄN ELÄKELN UKEN VKUUTUKEN PERUTEET PERUTEDEN OVELTNEN Näitä perusteita soelletaan..009 lähtien maatalousrittäjän eläelain 80/006 YEL muaisiin auutusiin. VKUUTUKU Vauutusmasu uodelta on maatalousrittäjän

Lisätiedot

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

Aineopintojen laboratoriotyöt 1. Veden ominaislämpökapasiteetti

Aineopintojen laboratoriotyöt 1. Veden ominaislämpökapasiteetti Aineopintojen laboratoriotyöt 1 Veden ominaislämpökapasiteetti Aki Kutvonen Op.nmr 013185860 assistentti: Marko Peura työ tehty 19.9.008 palautettu 6.10.008 Sisällysluettelo Tiivistelmä...3 Johdanto...3

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai

Lisätiedot

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPEUSTEET Koooma 28.3.2006. Viimeisin perustemuutos on ahistettu 16.1.2003. APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKU-

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään

Lisätiedot

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan 3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa

Lisätiedot

Taajamaosayleiskaava Kaupallisen selvityksen päivitys 28.2.2011

Taajamaosayleiskaava Kaupallisen selvityksen päivitys 28.2.2011 Taajamaosayleisaava Kaupallisen selvitysen päivitys Lohjan aupuni, Taajamaosayleisaava Kaupallisen selvitysen päivitys 1 1 JOHDANTO 2 2 KAUPALLINEN PALVELUVERKKO LOHJALLA 2011 3 2.1 Kaupalliset esittymät

Lisätiedot

Runkomelu. Tampereen kaupunki Juha Jaakola PL Tampere

Runkomelu. Tampereen kaupunki Juha Jaakola PL Tampere Tampereen aupuni Juha Jaaola PL 487 33101 Tampere LAUSUNTO RAIDELIIKENTEEN NOPEUDEN KASVATTAMISESTA RANTA- TAMPELLAN ALUEEN RUNKOMELU- JA TÄRINÄRISKIIN Ranta-Tampellan alueen tärinää on arvioitu selvitysessä

Lisätiedot

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana

Lisätiedot

RATKAISUT: 12. Lämpöenergia ja lämpöopin pääsäännöt

RATKAISUT: 12. Lämpöenergia ja lämpöopin pääsäännöt Physica 9 1. painos 1(7) : 12.1 a) Lämpö on siirtyvää energiaa, joka siirtyy kappaleesta (systeemistä) toiseen lämpötilaeron vuoksi. b) Lämpöenergia on kappaleeseen (systeemiin) sitoutunutta energiaa.

Lisätiedot

KAUNIAISTEN KAUPUNKI MYY TARJOUSTEN PERUSTEELLA OMATOIMISEEN RAKENTAMISEEN PIENTALOTONTIN OSOIT- TEESSA ALPPIKUJA 2

KAUNIAISTEN KAUPUNKI MYY TARJOUSTEN PERUSTEELLA OMATOIMISEEN RAKENTAMISEEN PIENTALOTONTIN OSOIT- TEESSA ALPPIKUJA 2 KAUNIAISTEN KAUPUNKI GRANKULLA STAD KAUNIAISTEN KAUPUNKI MYY TARJOUSTEN PERUSTEELLA OMATOIMISEEN RAKENTAMISEEN PIENTALOTONTIN OSOIT- TEESSA ALPPIKUJA Myyä Kauniaisten aupuni, Kauniaistentie, 0700 Kauniainen.

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

1974 N:o 622. Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. Liite 1.

1974 N:o 622. Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. Liite 1. 1974 N:o 622 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) Muu

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi 02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin

Lisätiedot

6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia

6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia 6 Lineaarisen ennustusen sovellusia Lineaarisella ennustusella on hyvin täreä asema monessa puheenäsittelyn sovellusessa. Seuraavassa on esitetty esimerejä siitä miten lineaarista ennustusta voidaan hyödyntää.

Lisätiedot

Kaurialan kaavarunko SITO OY, 31.1.2013

Kaurialan kaavarunko SITO OY, 31.1.2013 Kaurialan aavuno, 31.1.2013 Sisältö lusanat lusanat Kaupuniraenneanalyysi Suunnittelualueen nyytilanne Voimassa oleva asemaaava Nyyiset tontit Suunnitelma Rataisuvaihtoehdoista Suunnitelman havainneuva

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2. / ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO : Tasoehän palielementti, osa. NELJÄN VAPAUSASTEEN PALKKIELEMENTTI Kun ahden vapausasteen palielementin solmuihin lisätään loaalin -aselin suuntaiset siirtmämittauset,

Lisätiedot

% %228koti. Lava. Lava. Srk -k es k us. III k. II Ts. III k. Ts k. M-market

% %228koti. Lava. Lava. Srk -k es k us. III k. II Ts. III k. Ts k. M-market I I I Kp a sp Sai r V t t Sair. t r at sp % %228oti t IV h Sai ra ala h r h Lava Lava Sa ir IV IV h h h Sr - es us t VI Kpa t r r r I r r I t t t t rr ts ts t M-met Kelloosen osayleisaava Kaupallinen selvitys

Lisätiedot

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. yhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. yhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien

Lisätiedot

4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet

4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet 4.3 Erillisten jouojen yhdisteet Ongelmana on pitää yllä ooelmaa S 1,..., S perusjouon X osajouoja, jota voivat muuttua ajan myötä. Rajoitusena on, että miään alio x ei saa uulua useampaan uin yhteen jouoon.

Lisätiedot

Jäykistävän seinän kestävyys

Jäykistävän seinän kestävyys Esimeri Jäyistävän seinän estävyys 1.0 Kuormitus Jäyistävän seinän ominaisuormat on esitetty alla olevassa uvassa. Laselman ysinertaistamisesi tarastellaan seinästä vain iuna-auon vasemman puoleista osaa,

Lisätiedot

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004.

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT Koooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. SISÄLTÖ YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT 1. PUSTIDN SOVLTAMINN...

Lisätiedot

HalliPES 1.0 OSA 14: VOIMALIITOKSET

HalliPES 1.0 OSA 14: VOIMALIITOKSET HalliPES 1.0 OSA 14: VOIMALIITOKSET 28.4.2015 1.0 JOHDANTO Tässä osassa esitetään primäärirungon voimaliitosia ja niien mitoitusohjeita. Voimaliitoset mitoitetaan tapausohtaisesti määräävän uormitusyhistelmän

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.

MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:. AMMATIKKA top 7..005 MATEMATIIKAN KOE. ateen ammatillien oulutuen aiien alojen yteinen matematiia ilpailu Nimi: Oppilaito:. Koulutuala:... Luoa:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA. Teniia ja liienne:... Matailu-,raitemu-

Lisätiedot

Tuloilmaikkunoiden edut ja kannattavuus. As Oy Espoon Rauhalanpuisto 8

Tuloilmaikkunoiden edut ja kannattavuus. As Oy Espoon Rauhalanpuisto 8 Tapio Tarpio Tuloilmaikkunoiden edut ja kannattavuus As Oy Espoon Rauhalanpuisto 8 Tausta Asuinrakennuksen suurin lämpöhäviö on ilmanvaihto Koneellisessa poistossa tattava riittävä korvausilman saanti

Lisätiedot

Rakennusfysiikka 2007, Tampereen teknillinen yliopisto, RIL Seminaari Tampere-talossa 18 19.10.2007. Tiedämmekö, miten talot kuluttavat energiaa?

Rakennusfysiikka 2007, Tampereen teknillinen yliopisto, RIL Seminaari Tampere-talossa 18 19.10.2007. Tiedämmekö, miten talot kuluttavat energiaa? Rakennusfysiikka 2007, Tampereen teknillinen yliopisto, RIL Seminaari Tampere-talossa 18 19.10.2007 Tiedämmekö, miten talot kuluttavat energiaa? Professori Ralf Lindberg, Tampereen teknillinen yliopisto

Lisätiedot

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011

BLY. Paalulaattojen suunnittelu kuitubetonista. Petri Manninen 24.1.2011 BLY Paalulaattojen suunnittelu uitubetonista Petri Manninen BY 56 Paalulaatta - Yleistä Käytetään tyypillisesti peheillä, noraali- tai lievästi ylionsolidoituneilla savioilla ja uilla peheiöillä Mitoitustietojen

Lisätiedot

Työ ja energia. Haarto & Karhunen.

Työ ja energia. Haarto & Karhunen. Työ ja energia Haarto & Karhunen Voiman teemä työ Voiman F teemä työ W määritellään voiman F ja uljetun matan s pistetulona. Siis uljetun matan s ja matan suuntaisen voiman omponentin tulona. W = F s =

Lisätiedot

EPOP Kevät

EPOP Kevät EPOP Kevät 2012 16.1.2012 Projeti 1 Muutosilmiöt Piirianalyysi 1:ssä äsitellyt tasa- ja vaihtovirta-analyysit ovat jatuvan tilan menetelmiä, joissa oletetaan, että piirin herätteet (riippumattomat lähteet)

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 202 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös

Lisätiedot

Työ 3: Veden höyrystymislämmön määritys

Työ 3: Veden höyrystymislämmön määritys Työ 3: Veden höyrystymislämmön määritys Työryhmä: Tehty (pvm): Hyväksytty (pvm): Hyväksyjä: 1. Tavoitteet Työssä vettä höyrystetään uppokuumentimella ja mitataan jäljellä olevan veden painoa sekä höyrystymiseen

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus 30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin

Lisätiedot

KAUPAN PALVELUVERKON MITOITTAMINEN JA VAIKUTUSTEN ARVIOINTI

KAUPAN PALVELUVERKON MITOITTAMINEN JA VAIKUTUSTEN ARVIOINTI Uudenmaan 2. vaihemaauntaaava KAUPAN PALVELUVERKON MITOITTAMINEN JA VAIKUTUSTEN ARVIOINTI Uudenmaan liiton julaisuja E 125-2013 Uudenmaan liiton julaisuja E 125-2013 ISBN 978-952-448-358-2 ISSN 1236-6811

Lisätiedot

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali

Lisätiedot

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström Näyäalueanalyysi Jouhaisselä Tuore Kulvaoselä tuulipuisto 29032012 Annua Engströ Näyäalueanalyysin uodostainen Näeäalueanalyysilla saadaan yleisuva siitä, ihin tuulivoialat äytettyjen lähtötietojen perusteella

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 06: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 1.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 06: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 1. 6/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERSTEET SESSIO 6: Asiaalinen sauvaelementti, osa. ASIAALINEN RAENNE L, A, E L, A, E L, A, E uva. Asiaalinen raenne. Asiaalinen raenne taroittaa tässä yhteydessä raennetta, joa oostuu

Lisätiedot

1 JOHDANTO 2 2 KAUPALLINEN PALVELUVERKKO LOHJALLA 2011 3

1 JOHDANTO 2 2 KAUPALLINEN PALVELUVERKKO LOHJALLA 2011 3 1 JOHDANTO 2 2 KAUPALLINEN PALVELUVERKKO LOHJALLA 2011 3 2.1 Kaupalliset esittymät Lohjalla 3 2.2 Kaupallisten palveluiden pinta-ala aupan esittymissä 2006 ja 2010 9 2.3 Päivittäistavaraaupan palveluvero

Lisätiedot

Lauri Puranen Säteilyturvakeskus Ionisoimattoman säteilyn valvonta

Lauri Puranen Säteilyturvakeskus Ionisoimattoman säteilyn valvonta LC-577 Sähömagneettisten enttien ja optisen säteilyn biologiset vaiutuset ja mittauset Sysy 16 PINTAAJUIST SÄHKÖ- JA MAGNTTIKNTÄT Lauri Puranen Säteilyturvaesus Ionisoimattoman säteilyn valvonta SÄTILYTURVAKSKUS

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

Julkaistu Helsingissä 21 päivänä marraskuuta /2011 Sosiaali- ja terveysministeriön asetus

Julkaistu Helsingissä 21 päivänä marraskuuta /2011 Sosiaali- ja terveysministeriön asetus SOMEN SÄÄDÖSKOKOELMA Julaistu Helsingissä 21 päivänä marrasuuta 2011 1144/2011 Sosiaali- ja terveysministeriön asetus vahinovauutusyhtiön oiaistun vaavaraisuuspääoman rajojen, tasoitusmäärän ja sen rajojen

Lisätiedot

Energiatehokkuuden analysointi

Energiatehokkuuden analysointi Liite 2 Ympäristöministeriö - Ravinteiden kierrätyksen edistämistä ja Saaristomeren tilan parantamista koskeva ohjelma Energiatehokkuuden analysointi Liite loppuraporttiin Jani Isokääntä 9.4.2015 Sisällys

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

b) Laske prosentteina, paljonko sydämen keskimääräinen teho muuttuu suhteessa tilanteeseen ennen saunomista. Käytä laskussa SI-yksiköitä.

b) Laske prosentteina, paljonko sydämen keskimääräinen teho muuttuu suhteessa tilanteeseen ennen saunomista. Käytä laskussa SI-yksiköitä. Lääketieteellisten alojen valintakokeen 009 esimerkkitehtäviä Tehtävä 4 8 pistettä Aineistossa mainitussa tutkimuksessa mukana olleilla suomalaisilla aikuisilla sydämen keskimääräinen minuuttitilavuus

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

BL20A0700 Sähköverkkotekniikan peruskurssi

BL20A0700 Sähköverkkotekniikan peruskurssi BLA7 ähöveroteniian perusurssi Viavirrat BLA7 ähöveroteniian perusurssi Viojen aiheuttajat lastollinen ylijännite Laitteiden toiintahäiriö tai virhetoiinta nhiillinen erehdys Yliuoritus BLA7 ähöveroteniian

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,

Lisätiedot

HÄMEENLINNAN KESKUSTAN LÄNSIREUNAN KAUPPA- KESKUKSEN KAUPALLISTEN VAIKTUKSTEN ARVIOINTI Yleiskaavoitusta varten

HÄMEENLINNAN KESKUSTAN LÄNSIREUNAN KAUPPA- KESKUKSEN KAUPALLISTEN VAIKTUKSTEN ARVIOINTI Yleiskaavoitusta varten HÄMEENLNNAN KESKUSTAN LÄNSREUNAN KAUPPA- KESKUKSEN KAUPALLSTEN AKTUKSTEN ARONT Yleisaavoitusta varten Hämeenlinnan esustan liietilan ehitys 2005-2020 lineaarinen asvu n. 2 % /v. 160 000 140 000 120 000

Lisätiedot

EETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA. Kandidaatintyö

EETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA. Kandidaatintyö EETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA Kandidaatintyö Tarastaja: Lehtori Konsta Koppinen Jätetty tarastettavasi 11. tououuta 2009 2 TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tietoliienne-

Lisätiedot

Taloyhtiön energiansäästö

Taloyhtiön energiansäästö Taloyhtiön energiansäästö Hallitusforum 19.03.2011 Messukeskus, Helsinki Petri Pylsy, Kiinteistöliitto Suomen Kiinteistöliitto ry Mitä rakennusten energiatehokkuus on Energiatehokkuus paranee, kun Pienemmällä

Lisätiedot

RuuviliitoSTEN. Sisällysluettelo

RuuviliitoSTEN. Sisällysluettelo RuuviliitoSTEN MITOITUS Sisällysluettelo 1 Yleistä... 1.1 Kansiruuvit... 1. Itseporautuvat ruuvit... Esiporaus... 3 Materiaalit... 3 4 Kuormitustapa... 4 5 Leiausrasitettu ruuvi... 4 5.1 Itseporautuvat

Lisätiedot

2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = =

2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = = 2 Lasuarjoitus 2 21 Kytentäimpedanssin asenta Mitä taroittaa ytentäimpedanssi? 5 ma:n suuruinen äiriövirta oasiaaiaapein vaipassa (uojoto) aieuttaa 1 mv:n suuruisen äiriöjännitteen 1 m:n mataa Miä on ytentäimpedanssin

Lisätiedot