Tarkastellaan kahta x-akselin suuntaan etenevää ääniaaltoa (huomaa esitystapa) ja kuunnellaan niiden summaa kiinnitetyssä kohdassa x = 0 :

Transkriptio

1 HUOJUNTA Äänen huojunta (beats) havaitaan äänen amplitudin (ja siten myös voimakkuuden) säännöllisenä vaihteluna. Huojuntaa esiintyy kun ääni syntyy kahden, lähes samataajuisen äänen summana. Esimerkkinä kaksi äänirautaa, joiden taajuudet ovat hyvin lähellä toisiaan. Jos ääniraudat soivat yhtä aikaa, korva ei havaitse taajuuseroa ja kuullaan vain yksi ääni. Pieni taajuusero aiheuttaa kuitenkin äänen voimakkuuden säännöllisen vaihtelun. Tarkastellaan kahta x-akselin suuntaan etenevää ääniaaltoa (huomaa esitystapa) y1 ( x, t ) = A sin(w1t - k1x ) y2 ( x, t ) = A sin(w2t - k 2 x ) ja kuunnellaan niiden summaa kiinnitetyssä kohdassa x = 0 : ytot (t ) = y1 (t ) + y2 (t ) = A sin(w1t ) + A sin(w2t ). Tässä nyt w1 ¹ w2, mutta kuitenkin niin, että w1» w2. Koska pätee tulee sin a + sin b = 2sin [ 12 (a + b )] cos [ 12 (a - b )],

2 53 Edellä tulos annetaan kulmataajuuksien w avulla. Varsinaisten taajuuksien f avulla kirjoitetaan ( w = 2p f ) 1 2 (w1 ± w2 )t = 2p [ 12 ( f1 ± f 2 )] t, josta nähdään, että itse äänen taajuus on 1 2 ( f1 + f 2 )» f1» f 2, joka on lähes sama kuin alkuperäiset taajuudet. Amplitudin vaihtelutaajuus on 1 2 ( f1 - f 2 ), joka on pieni, koska f1» f 2. Korva kuulee kaksi huojahdusta yhden amplitudin jakson aikana (ks. kuva edellisellä sivulla), joten huojuntataajuudeksi (beat frequency) saadaan f1 - f 2, (3.6.1) missä itseisarvomerkit tarvitaan varmuuden vuoksi, koska emme tiedä kumpi alkuperäisista taajuuksista on suurempi Esimerkki: Kuvassa alla yhdistetään kaksi aalto, joiden taajuudet ovat f1 = 18 Hz (punainen) ja f 2 = 16 Hz (sininen). Alakuva esittää tutki tätä kotona niiden summaa. Alussa ( t = 0 ) osa-aallot ovat vastakkaisessa vaiheessa ja kumoavat toisensa. Summa-aallon amplitudi on minimissä. Ajan kuluessa aallot kehittyvät hieman eri taajuudella ja tulevat samaan vaiheeseen, kun t = 0.25 s. Tällöin summa-aallon amplitudi on maksiminsa. Amplitudi on seuraavan kerran minimissä, kun t = 0.50 s ja maksimissa kun t = 0.75 s, jne...

3 54 Kuvan perusteella amplitudin jaksonaika on 1.00 s ja huojunnan jaksonaika 0.50 s. Vastaavat taajuudet ovat 1.00 Hz ja 2.00 Hz. Edellä esitetyssä teoriassa johdettujen kaavojen avulla saadaan samat tulokset: amplitudin taajuus: 12 f1 - f 2 = 12 (18-16) Hz = 1.00 Hz huojunnan taajuus: f1 - f 2 = (18-16) Hz = 2.00 Hz Esimerkki: Kitaran kieltä viritetään ääniraudan (294 Hz) avulla. Äänirautaa ja kieltä yhtä aikaa kuunneltaessa kuullaan neljä huojumista sekunnissa. Kuinka suuri kielen jännityksen suhteellinen muutos tarvitaan kitaran virittämiseen? Ratkaisu: - huojuntataajuus f1 - f 2 = 4 Hz - kielen taajuutta on siis muutettava 4 Hz - kielen jännitys F = mv 2 = ml 2 f 2 Jännityksen muuttuessa vähän m ja l luonnollisesti säilyvät ja vain taajuus f muuttuu: df 2 2 df df =2, = ml 2 2 f = ml 2 f 2 = F Þ df f f F f josta, kun muutokset oletetaan pieniksi (kuten onkin), saadaan DF Df =2. F f Kun tähän sijoitetaan Df = ±4 Hz ja f» 294 Hz, saadaan DF 8 =±» ±0.027, F 294 ts. kielen jännitystä on muutettava noin 2.7 %. Suuntaa emme tiedä tämän laskun perusteella, mutta se selviää helposti kokeilemalla

4 DOPPLER - ILMIÖ Ambulannsin lähestyessä katsojaa (kuulijaa) sireenin taajuus kuullaan korkeampana kuin ambulanssin loitotessa. Mistä on kysymys? Kysymys on ns. Doppler-ilmiöstä (Dopplerin ilmiöstä, Doppler effect), jota ensimmäisenä kuvasi itävaltalainen Christian Doppler 1800-luvulla. Kun äänilähde ja havaitsija ovat toistensa suhteen liikkeessä, havaitsija kuulee äänen eri taajuisena kuin millä lähde sitä lähettää. Tarkastellaan seuraavassa yksinkertaisuuden vuoksi tapauksia, missä lähde ja havaitsija liikkuvat vain toisiaan yhdistävän janan suuntaisesti. Liikkuva havaitsija Kuvassa äänilähde (S, taajuus f S ) pysyy paikoillaan ja havaitsija (L) liikkuu sitä kohti nopeudella v L. Äänen aallonpituus (esim. harjasta harjaan) on l = v / f S, missä v on äänen nopeus ilmassa. Aallon harjat lähestyvät havaitsijaa suhteellisella nopeudella (v + v L ), joten havaitsija kuulee taajuuden fl = v +vl v +vl æv +vl ö = =ç fs. v / fs è v ø l (3.7.1)

5 56 Äänilähdettä kohti liikkuva havaitsija kuulee siis korkeamman taajuuden kuin paikoillaan pysyvä kuulija. Liikkuva lähde ja liikkuva havaitsija Oletetaan nyt, että havaitsijan lisäksi myös lähde liikkuu (kuva alla). Olkoon lähteen nopeus v S. Aallon nopeus suhteessa väliaineeseen eli ilmaan on edelleen sama eli v, koska se määräytyy väliaineen ominaisuuksien perusteella, eikä muutu lähteen liikkuessa. Aallonpituus ei kuitenkaan enää ole sama kuin edellisessä tapauksessa. Aika, jonka kuluessa lähde lähettää yhden jakson ääntä on jakson aika T = 1/ f S. Tämän ajan kuluessa aalto etenee matkan v T = v / f S kohti kuulijaa ja lähde etenee matkan v S T = v S / f S kuulijasta poispäin. Aallonpituus on samassa vaiheessa olevien aallon osien välimatka ja näin siis edellä laskettujen matkojen summa, ts. v v v +vs l= + S =. (3.7.2) fs fs fs Havaitsijan kuulemaksi taajuudeksi saadaan nyt v +v L v +vl fl = = fs. l v +vs (3.7.3) Yleinen tapaus: Vastaavilla tarkasteluilla voidaan johtaa yhtälöt kaikille erilaisille tilanteille, joissa havaitsija ja lähde joko liikkuvat eri tavalla toi-

6 57 siinsa nähden tai ovat paikallaan. Yleiseksi Dopplerin ilmiötä kuvaavaksi yhtälöksi voidaan kirjoittaa v +vl fl = fs, (3.7.4) v +vs kunhan nopeuksien v L ja v S merkkisäännöistä sovitaan yksikäsitteisesti. Merkkisääntö: Äänen nopeus ilmassa on aina positiivinen ja muille nopeuksille positiivinen suunta on suunta havaitsijasta lähteeseen Esimerkki I: Poliisiauton nopeus on v S = 30 m/s ja sireenin taajuus f S = 300 Hz. Laske äänen aallonpituus auton takana ja edessä, kun äänen nopeus ilmassa on v = 340 m/s. Ratkaisu: Aallonpituus takana venyy. Yhtälöstä (3.7.2) saadaan v + v S ( ) m/s 370 = = m = 1.23 m lbehind = 300 1/s 300 fs Aallonpituus edessä vastaavasti puristuu: v - v S (340-30) m/s 310 lin front = = = m = 1.03 m fs 300 1/s

7 Esimerkki II: Minkä taajuisena auton takana levossa oleva havaitsija kuulee sireenin? Ratkaisu: Havaitsija on siis takana levossa, ts. v L = 0, ja auton nopeus on merkkisäännön mukaan positiivinen. Yleisestä yhtälöstä (3.7.4) laskemme v +vl Hz = 276 Hz fl = fs = v +vs Esimerkki III: Poliisiauto on levossa ja havaitsija liikkuu siitä poispäin nopeudella v L = 30 m/s. Minkä taajuuden havaitsija nyt kuulee? Ratkaisu: Nyt merkkisäännön mukaan v L on sijoitettava yhtälöön (3.7.4) negatiivisena. Lisäksi v S = 0. Tulee v +vl fl = fs = 300 Hz = 274 Hz v +vs Tärkeä huomio: Havaitsijan ja lähteen keskinäinen suhteellinen nopeus on sama kuin edellisessä esimerkissä. Havaittu taajuus on kuitenkin eri!!

8 Esimerkki IV: Poliisiauto ajaa nopeudella v S = 45 m/s havaitsijan auton edellä. Havaitsijan nopeus on v L = 15 m/s. Laske havaittu taajuus? Ratkaisu: Merkkisääntö sanoo, että molemmat nopeudet ovat positiivisia, ts. saman suuntaisia kuin etäisyys havaitsijasta lähteeseen. Tulee v +vl fl = fs = 300 Hz = 277 Hz v +vs SHOKKIAALTO Tarkastellaan kuvan mukaista tilannetta, jossa lentokone liikkuu nopeudella v S synnyttäen ääniaaltoja, joiden nopeus on v. Lentokoneen edessä ääniaallot pakkautuvat yhteen ja niiden aallonpituus on Doppler-ilmiöstä tutun tarkastelun perusteella l = (v - v S ) / f S. Tässä v S < v, ts. lentokone lentää ääntä hitaammin. Mitä tapahtuu, kun lähestytään äänen nopeutta? Kaavan mukaan aallonpituus lähenee nollaa ja aallot pakkautuvat yhä lähemmäksi toisiaan. Lentokone puristaa ilmaa kokoon edessään kohdis-

9 60 taen siihen suuren voiman. Ilma kohdistaa puolestaan lentokoneeseen yhtä suuren, mutta vastakkaissuuntaisen voiman. Ilman vastus kasvaa näin voimakkaasti lentokoneen nopeuden lähestyessä äänen nopeutta. Tätä kutsutaan äänivalliksi. Kun lentokone on ylittänyt äänivallin ja sen nopeus on suurempi kuin äänen nopeus, ei koneen edessä olevan ääniaallon aallonpituutta ja taajuutta enää voida kuvata Doppler-ilmiön yhtälöillä. Kuvassa on esitetty poikkileikkauksena, mitä tällaisessa tilanteessa tapahtuu. Lentokoneen edetessä syntyy edelleen ääniaaltoja. Ääniaallot etenevät palloaaltoina siten, että jokaisen "äänipallon" keskipiste on siinä kohdassa, missä lentokone oli sillä hetkellä kun ääni syntyi. Ajan t kuluttua pisteestä S1 matkaan lähtenyt aalto on levinnyt v t -säteiselle pallopinnalle ja lentokone on kulkenut matkan v S t paikkaan S 2. Eri kohdista matkaan lähteneet palloaallot ovat samassa vaiheessa pitkin kuvaan merkittyä viivaa ja näin vahvistavat toisiaan (konstruktiivinen interferenssi). Muodostuu hyvin voimakas ns. shokkiaalto-rintama, joka etenee äänen nopeudella.

10 61 Kuvan perusteella saadaan yhtälö vt v (3.5.1) sin a = =. vs t vs Suhdetta v S / v, joka kertoo lentokoneen nopeuden äänennopeuksina, sanotaan Machin luvuksi. Jos lentokone liikkuu ääntä nopeammin, Machin luku on suurempi kuin yksi Esimerkki: Lentokone lentää ylitsesi (hetkellä t = 0 ) 8000 m:n korkeudella 1.75 Machin nopeudella. Kuinka pitkän ajan kuluttua kuulet shokkiaallon pamauksen, kun oletetaan, että äänen nopeus on 320 m/s ja se pysyy vakiona korkeudesta riippumatta. Ratkaisu: Shokkiaalto muodostaa lentokoneen taakse kartion ja pamaus kuuluu, kun shokkiaalto ohittaa kuulijan L. Kuva näyttää tilanteen sillä hetkellä, kun shokkiaalto saavuttaa kuulijan pisteessä L. Nopeudella v S lentävä lentokone on ehtinyt edetä ohituskohdasta matkan v S t. Kuvan geometrian ja yhtälön (3.5.1) avulla laskemme: 1 = a = arcsin 1.75 Lentokoneen nopeus on v S = m/s = 560 m/s, ja kuvasta tan a = 8000m, vs t

11 josta 62 t= 8000m = 20.5s. (560m/s) tan 34.8 Pamaus siis kuuluu 20.5 sekuntia sen jälkeen, kun lentokone on ohittanut kuulijan. Tänä aikana kone on lentänyt matkan (560m/s) (20.5s) = 11.5km Muita shokkiaaltoja: - veneen keula-aallot - Cherenkov-säteily 3.9 RESONANSSI Käsite resonanssi liittyy energian siirtymiseen värähtelevien systeemien välillä. Värähtelevät systeemit värähtelevät niille ominaisilla normaalitaajuuksilla (normaalimuodoilla). Esimerkiksi kitaran kielen normaalimuotoja ja -taajuuksia tarkastelimme sivulla 31 ja vastaavia urkupillien normaalivärähdysmuotoja sivulla 51. Jos systeemiin syötetään lisäenergiaa muulla kuin systeemin omalla normaalitaajuudella, systeemi ei ota sitä vastaan. Resonanssitilanteessa syöttötaajuus on systeemin jokin normaalitaajuuksista ja energia siirtyy helposti systeemiin. Yksinkertainen koe kaiuttimella ja urkupillillä valaisee asiaa:

12 63 Viereisessä kuvassa avoin urkupilli on sijoitettu kaiuttimen viereen siten, että ääni kaiuttimesta voi edetä pillin sisään. Kaiutin lähettää puhdasta siniaaltoa, jonka taajuutta f voidaan säätää. Ilmapatsas pillin sisällä pakotetaan näin värähtelemään kaiuttimen lähettämällä taajuudella. Kun kaiuttimen taajuutta säädetään, äänen amplitudi putkessa on melko alhainen, paitsi silloin kun taajuus sattuu olemaan jokin putken normaalivärähdystaajuuksista (kuva b). Normaalivärähtystaajuuksilla putkessa oleva ilmapatsas on resonanssissa ulkoisen äänilähteen kanssa. Resonanssi-ilmiöitä havaitaan jatkuvasti jokapäiväisessä elämässä. Esimerkiksi Koskilinjan bussin jokin penkeistä saattaa moottorin kierrosluvun vähetessä aloittaa yhtäkkiä hillittömän värähtelyn ja tärinän. Moottorin taajuus vastaa tällöin penkin normaalitaajuutta ja penkkiin siirtyy värähdysenergiaa tehokkaasti Esimerkki: Suljettua urkupilliä soitetaan lähellä kitaraa, jolloin eräs kielistä alkaa värähdellä. Kielen pituus on 80% pillin pituudesta ja molemmat värähtelevät perustaajuuksillaan. Laske kielessä etenevän aallon nopeuden suhde äänen nopeuteen ilmassa.

13 Ratkaisu: æ v ö Kieli ç f n = n K : 2 LK ø è æ v ö Pilli ç f n = n Ä : 4 LP ø è 64 v K = 2 LK f K n = 1, K = kieli v Ä = 4 LP f P n = 1, Ä = ääni, P = pilli Resonanssi: f K = f P v K 2 LK f K 2 LK LP = = = = 0.40 v Ä 4 LP f P 4 LP 2 LP kotitehtäväesimerkki: Säädettävän pituinen suljettu pilli soi lähellä kitaran kieltä, jonka massa on 7.25 g ja pituus 85.0 cm. Kielen jännitys on 4110 N. Kuinka pitkäksi pilli on säädettävä, jotta sen soidessa perusvärähdystaajuudella kielen toinen yliääni virittyisi soimaan. Oleta äänen nopeudeksi ilmassa 340 m/s. Ratkaisu: F F v 3 3 Kieli: f 3 = 3 K =, n=3 = 2 LK 2 LK m / LK 2 mlk v Pilli: f1 = Ä, n = 1 4 LP Resonanssi: f1 = f3 v 1 mlk 3 F Þ LP = Lasketaan: Ä = v Ä 4 LP 2 mlk 6 F Lasketaan: Sijoitetaan: m = kg LK = 0.85 m F = 4110 N v Ä = 340 m/s Tulee LP = m» 6.9 cm

14 65 4 VALO Mitä valo on? Tämä kysymys on askarruttanut ihmisiä vuosisatojen ajan. Nykykäsityksen mukaan valon luonne on kaksijakoinen: 1. Klassillisessa optiikassa valoa käsitellään sähkömagneettisena aaltona. Aaltokuvan avulla voidaan helposti selittää valon käyttäytyminen väliaineissa ja niiden rajapinnoilla. Myös interferenssi- ja diffraktioilmiöt ymmärretään helpommin aaltomallilla. 2. Hiukkasluonne, fotoni-kuva, on käyttökelpoinen, kun tarkastellaan valon ja materiaalin vuorovaikutusta atomaarisella tasolla. Atomien ja molekyylien energiat ovat kvantittuneita ja on käytännöllistä ajatella myös valon muodostuvan energiakvanteista. 4.1 HISTORIAA LYHYESTI Neljä ajanjaksoa: Antiikista keskiaikaan ja 1700-luku 1800-luku 1900-luvulta nykyaikaan Antiikista keskiaikaan Optiikan ja optisten laitteiden historiaa voidaan seurata aina varhaisantiikkiselle ajalle asti. Esimerkiksi hyväkuntoisia peilejä on löydetty Niilin laaksosta, muinaisen Egyptin ajalta jo 1900 luvulta ekr. Kreikkalaiset filosofit, kuten Pythagoras ( ), Demokritus ( ), Platon ( ) ja Aristoteles ( ) kehittivät teorioita näkemisen luonteesta. Valon suoraviivainen eteneminen tun-

15 66 nettiin ja Euklides ( ) postuloi, että näkösäteet ovat suoria viivoja ja esineiden näennäinen koko riippuu säteiden muodostamista kulmista. Joitakin esimerkkejä kehityksestä: - Roomalaiset käyttivät polttolaseja - Arabioppineet kehittivät heijastuslakia luvun maalauksissa esiintyy silmälasipäisiä munkkeja - Leonardo da Vinci ( ) keksi camera obscuran - Giovanni Della Porta ( ) tutki linssikombinaatioita Tähän päättyi optiikan kehityksen ensimmäinen aikakausi. Valon luonteeseen liittyviä keksintöjä ja ajatuksia syntyi enemmän tai vähemmän satunnaisesti aina silloin tällöin ja 1700-luku Optiikan teorian ja sovellutusten myötätuuli alkoi modernin tieteen kehityksen ja modernien filosofien myötä 1600-luvulla. Keksittiin kaukoputki ja mikroskooppi. Nimiä: Lippershey ( ), Galilei ( ), Jansen ( ), Fontana ( ), Kepler ( ). Willebrord Snell ( ) esitti (keksi uudelleen) taittumislain. René Descartes( ): valo on eetterissä etenevä painehäiriö. Vuonna 1637 hän kirjoitti: Valo ei ole mitään muuta kuin hyvin hienon aineen tietynlaista liikettä tai vastetta. Tämä aine on läsnä kaikkialla ja täyttää kappaleiden huokoset. Pierre de Fermat ( ) esitti lyhimmän ajan periaatteen. Francesco Grimaldi ( ) tutki diffraktiota.

16 67 Robert Hooke ( ) ehdotti, että valo olisi hyvin nopeasti etenevää väliaineen värähdysliikettä. Hookea pidetään valon aaltoteorian isänä. Newton ( ) pohti onko valo kiukkassäteilyä vai onko se kaiken täyttävän eetterin aaltoilua. Dispersiotutkimustensa perusteella hän päätyi aluksi lähes nykykäsitykseen: Valkoinen valo koostuu väreistä ja tiettyyn väriin liittyvät valohiukkaset virittävät eetterin värähtelemään tälle värille ominaisella tavalla. Myöhemmin Newton hylkäsi aaltomallin. Syynä oli ratkaisematon ongelma selittää valon suoraviivainen eteneminen aalloilla, jotka tunnetusti leviävät kaikkiin suuntiin. Newton kehitti peilikaukoputken. Samaan aikaan, kun Newton työskenteli Englannissa, Euroopan mantereella vaikutti suuri aaltoteorian kehittäjä hollantilainen Christian Huygens ( ). Huygensin valon etenemisen periaate: Aaltorintaman AB jokainen piste toimii sekundäärisenä palloaaltojen lähteenä niin että myöhemmän ajanhetken uusi aaltorintama A'B' muodostuu sekundääristen aaltojen verhokäyrästä. Huygensin malli ei sisällä aallonpituuskäsitettä. Ole Christensen Römer ( ) mittasi valon nopeuden (2.4 x 10 8 m/s) Jupiterin kuun Ion avulla. Newton oli arvostettu tiedemies ja hänen mielipiteensä valon luonteesta vaikeutti aaltoteorian kehittymistä koko 1700-luvun ajan. Valon aaltoteoria pääsi kehittymään tehokkaasti vasta 1800-luvulla, jota pidetäänkin aaltoteorian vuosisatana.

17 1800-luku 68 Thomas Young ( ) tutki interferenssiä. Augustin Jean Fresnel ( ) kehitti diffraktioteoriaa. Hän lisäsi Hyugensin valon etenemismalliin mm. aallonpituuskäsitteen ja interferenssin. Hän ratkaisi myös taaksepäin etenevän aaltorintaman ongelman. Armand Fizeau ( ) mittasi (1849) pyörivään hammasrattaaseen perustuvalla laitteellaan valon nopeudeksi km/s. Myös sähkö- ja magnetismioppi kehittyi. Michael Faraday ( ) löysi yhteyden sähkömagnetismin ja valon välille. James Clerk Maxwell ( ) kokosi ja laajensi sähkömagneettisen tietämyksen neljä yhtälöön. Osoitti teoreettisesti, että sähkömagneettinen kenttä voi edetä poikittaisena aaltona eetterissä 1/2 nopeudella 1/( em 0 0). Kun tähän sijoitettiin permittiivisyyden e 0 ja permeabiliteetin m 0 tunnetut arvot, päädyttiin yllättäen valon nopeuteen. Juuri tämä havainto johti Maxwellin päätelmään, että valo olisi sähkömagneettista säteilyä. Valon hyväksyminen aaltoliikkeeksi pakotti hyväksymään myös eetterin olemassaolon. Tuohonkin aikaan ajateltiin vielä, että aaltoliike tarvitsee ilman muuta väliaineen jossa edetä. Eetterin ominaisuuksia tutkittiin paljon ja vuonna 1879 Maxwell esitti koejärjestelyn, jolla maan nopeus eetterin suhteen pystyttäisiin mittaamaan. Koska valon nopeus eetterin suhteen on vakio ja maa oletettavasti liikkuu eetterin suhteen, tulisi maan liikkeen vaikuttaa valon nopeuteen, kun se mitataan maan suhteen.

18 69 Albert Michelson ( ) ja Edward Morley ( ) suorittivat kokeen erittäin tarkasti, mutta eivät havainneet ennustettua efektiä. Negatiivinen tulos julkaistiin vuonna Maa ei liikkunut eetterin suhteen ja tiedemiehet olivat ymmällään luvulta nykyaikaan Jules Poincaré ( ) kyseenalaisti eetterin olemassaolon. Albert Einstein ( ) julkaisi vuonna 1905 suppeamman suhteellisuusteoriansa, jossa myös hän hylkäsi eetterihypoteesin. Einstein postuloi: "...tyhjässä avaruudessa valo etenee aina samalla nopeudella c riippumatta valon emittoiman kappaleen liiketilasta". Vuonna 1900 Max Planck ( ) esitti Saksan fyysikkoseuralle tutkimuksen, josta nykyisen valon kvanttiteorian katsotaan alkavan. Planck pystyi selittämään mustankappaleen säteilijän spektrin olettamalla, että valo muodostuu energiapaketeista eli kvanteista. Energiakvantin eli fotonin energia E on suoraan verrannollinen sen taajuuteen n (= f) siten, että E = hn, missä verrannollisuuskerroin h on ns. Planckin vakio. Einstein selitti valosähköisen ilmiön valon kvanttimallilla luvun loppuun mennessä Bohrin, Bornin, Heisenbergin, Schrödingerin, de Broglien, Paulin, Diracin ym. töiden seurauksena kvanttimekaniikasta oli tullut yleisesti hyväksytty teoria. Vähitellen kävi ilmeiseksi, että hiukkas- ja aaltokäsitteitä, jotka makroskooppisessa maailmassa ovat selvästi erillisiä asioita, ei atomaarisessa maailmassa voida erottaa toisistaan. Mielikuva atomista pienenä massajakautumana ei enää ollut riittävä.

19 70 Havaittiin myös, että hiukkaset aivan aaltojen tapaan pystyvät tuottamaan interferenssi ja diffraktiokuvioita. Siten fotoneilla, protoneilla, elektroneilla, neutroneilla, jne. on sekä materiaalisia että aaltoluonteisia ominaisuuksia. Sekä materiaalisen hiukkasen että sähkömagneettisen kvantin liikemäärä p, aallonpituus l ja nopeus v saadaan samoista yhtälöistä: E - mc 0 p =, c h l =, p 2 pc v =. E Näissä c on valon tyhjiönopeus, h on Planckin vakio, m 0 on hiukkasen lepomassa ja E = mc on hiukkasen kokonaisenergia. Tässä 2 ns. relativistinen massa on m0 m= =gm 2 0, 1 -( v/ c) missä on käytetty merkintää g = ( v / c) 2. Sähkömagneettinen kvantti on massaton ( m 0 = 0), joten 2 E h hc p =, c l = p = E ja pc v = = c, E ja esimerkiksi keskimmäisestä tuloksesta saamme sähkömagneettisen kvantin energialle tutun lausekkeen hc E = = hn, l missä n = c / l on taajuus. Sähkömagneettisella säteilyllä on siis kahtalainen luonne: hiukkasluonne (energiapaketti, fotoni, kvantti) ja aaltoluonne (taajuus, aallonpituus).