SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV

Transkriptio

1 SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV

2 Faradayn laki E B t Muuttuva magneettivuon tiheys B aiheuttaa ympärilleen sähkökentän E pyörteen. Sähkökentän voimakkuutta E ei voi esittää skalaaripotentiaalin V gradienttina alueessa, jossa on muuttuva magneettivuon tiheys B. Soveltamalla Stokesin integraalilausetta yhtälö saadaan muotoon: B E dl E ds ds t C S S 2

3 Ajan mukaan muuttuvassa magneettikentässä oleva liikkumaton piiri Jos piiri pysyy paikallaan alueessa S, yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon: C d E dl d dt B S S Määritellään ääriviivalla C olevaan piiriin indusoitunut sähkömotorinen voima U smv : Usmv E d l C Ja alueen S läpi kulkeva magneettivuo F : U smv df dt F B d S S 3

4 Lenzin laki Suljettuun piiriin indusoituu sähkömotorinen voima U smv, joka aiheuttaa silmukan läpi kulkevan magneettivuon F muutokselle vastakkaisen magneettivuon F smv. 4

5 Staattisessa magneettikentässä liikkuva johdin Kun johdin liikkuu nopeudella v staattisessa (ajan mukaan muuttumattomassa) magneettikentässä B, niin voima F qv B m aiheuttaa sen, että johtimessa vapaasti liikkuvat elektronit siirtyvät johtimen toiseen päähän, jättäen johtimen toisen pään positiiviseksi varautuneeksi. Varausten erkautuminen jatkuu, kunnes sähköiset ja magneettiset voimat tasapainottavat toisensa. 5

6 Liikkuva johdin staattisessa magneettikentässä 6

7 Liikkeestä johtuva sähkömotorinen voima Jos liikkuva johdin on osa suljettua piiriä C, piiriin muodostuu sähkömotorinen voima jota kutsutaan vuon leikkaavaksi tai liikkeestä johtuvaksi C Usmv v B d l sähkömotoriseksi voimaksi 7

8 Liikkuva johdin ajan mukaan muuttuvassa magneettikentässä (1 / 2) Kun varaus q johdin liikkuu nopeudella v alueessa, jossa on olemassa sekä sähkökenttä E että magneettikenttä B, varaukseen q vaikuttaa Lorenzin yhtälön mukaisesti voima F q E v B Jos ajatellaan havainnoitsijan liikkuvan samalla nopeudella samaan suuntaan varauksen q kanssa, ei ole olemassa näennäistä liikettä ja varaukseen q vaikuttava voima voidaan tulkita aiheutuvan sähkökentästä E. E ' E v B tai E E ' v B 8

9 Liikkuva johdin ajan mukaan muuttuvassa magneettikentässä (2 / 2) Jos johtava piiri C ja pinta-ala S liikkuvat nopeudella v kentässä (E, B) piiriin muodostuva kokonaissähkömotorinen voima: U smvkok B E ' dl d d C S S t v B l C 9

10 Suorakaiteen muotoinen johdinsilmukka ajan mukaan muuttuvassa magneettikentässä Suorakaiteen muotoinen (korkeus h, leveys w) johdinsilmukka on sijoitettu muuttuvaan magneettikenttään Silmukan muodostamalle tasolle kohtisuora normaali e n muodostaa kulman a y-akselin suuntaisen yksikkövektorin e y kanssa. Määritä silmukkaan indusoitunut sähkömotorinen voima, kun a) silmukka on levossa b) silmukka pyörii x-akselin ympäri kulmanopeudella w 10

11 Silmukka levossa Kun silmukka on levossa, silmukan läpi kulkeva magneettivuo F voidaan ratkaista yhtälöllä F B ds B sinwt e dxdye B hw sinwt cosa S wh 00 0 y n 0 Tällöin silmukkaan indusoituva sähkömotorinen voima on df Uasmv B0Sw coswt cosa dt Missä S = hw on silmukan pinta-ala Esimerkkitilanteessa silmukan päässä 1 on matalampi potentiaali kuin silmukan päässä 4, eli jos silmukka on kytketty ulkoiseen kuormaan, virta tule kiertämään silmukassa vastapäivään. 11

12 Silmukka pyörii x-akselin ympäri Kun silmukka pyörii x-akselin ympäri, silmukkaan muodostuva pyörimisliikkeen aiheuttama sähkömotorisen voiman muutos ratkaistaan yhtälöllä U bsmv C v B dl 1 w wen B0sinwt y dx x 2 e e w wen 0 2 e e w B t h 2 2 w 0 sinw sina B sinwt y dx x 12

13 Silmukka pyörii x-akselin ympäri Silmukan sivuihin 2 -> 3 ja 4 - > 1 ei indusoidu sähkömotorista voimaa, koska sivuilla ei ole e x suuntaista komponenttia. Jos kulma a = 0 ajanhetkellä t = 0, niin a = wt ja Ubsmv B0Sw sinwt sinwt Silmukkaan muodostuva kokonaissähkömotorinen voima koostuu muuttuvan magneettikentän ja silmukan liikkeen yhteisvaikutuksesta U U U smv asmv bsmv 2 2 B0Sw cos wt sin wt B Swcos2wt 0 13

14 Ratkaisutapa 2 Silmukkaan muodostuva kokonaissähkömotorinen voima voidaan määrittää myös suoraan määrittämällä ensin silmukan läpi kunakin ajanhetkenä kulkeva kokonaisvuo F t Bt Sent B0S sinwt cosa Ja sen jälkeen määrittämällä sähkömotorinen voima U smv df dt d 1 dt 2 B Swcos2wt B0S sin2wt 0 14

15 Vaasan yliopisto Sähkötekniikka SATE2180 Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio 15