Signaaliavaruuden kantoja äärellisessä ajassa a

Transkriptio

1 ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Luento 3: Kompleksiarvoiset signaalit, taajuus, kantoaaltomodulaatio Olav Tirkkonen, Jari Lietzen Aalto, Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos Signaaliavaruuden kantoja äärellisessä ajassa a a [Appendix A] 2 (29)

2 Kanta äärellisessä ajassa Tarkastellaan funktioavaruutta yli äärellisen ajan, T =[ T/2,T/2]. Kaikki mahdolliset signaalit, jotka voidaan lähettää T :n mittaisessa intervallissa. Huomaa: vektoriavaruusrakenne on invariantti muunnoksissa t u + t. Saattaisimme yhtä lailla tarkastella funktioita esim. intervallilla T =[(N 1 2 )T,(N )T ]. Eräs kanta: {cos(2πnt/t )} n=0 {sin(2πnt/t )} n=1 Kantafunktioiden lukumäärä on! Mielivaltainen funktio välillä [ T/2,T/2] voidaan hajottaa parilliseen (s e ( t) =s e (t)) ja parittomaan (s o ( t) = s o (t)) osaan: g(t) =s e (t)+s o (t) kosinit ovat parillisen osan kanta, sinit parittoman osan 3 (29) Esimerkkikehitelmä Kehitä g(t) =t + t 2 t 3 aikavälillä [ 1, 1] g(t) = c n cos(πnt)+s n sin(πnt) Koordinaatit: c n s n = 4( 1)n n 2 π,n=1,... ; c 2 0 =1/3 = 12( 1)n,n=1,... n 3 π 3 Vasen: s. Oikea: s (musta), approksimoitu n = 1, 2, 3 funktioilla 4 (29)

3 Huomioita äärellisten aikajaksojen funktioista Kaksi tulkintaa: Funktio äärellisellä T :n mittaisella intervallilla, äärellinen energia Jaksollinen funktio jaksolla T, ääretön energia Huom: Jos funktiolla eri arvot ääripäissä, vastaava jaksollinen funktio epäjatkuva: Trigonometrisest kantafunktiot jatkuvia ja jaksollisia Kaikki aaltomjuodot voidaan kehittää kannassa. Esimerkki: Lineaarinen funktio kehitetty 2,4 ja 400 kantafunktiolla: 5 (29) Signaaliavaruus, reaaliarvoiset aaltomuodot Reaaliarvoiset symbolit s n, reaaliarvoiset funktiot φ n Eräitä luonnollisia kantafunktioita: aika- tai koodiortogonaaliset b pulssit, sin- &cos-aallot Esimerkkikannat 4D signaaliavaruudessa, koordinaatit s 1,s 2,s 3,s 4 IR b [s. 633] 6 (29)

4 Kompleksiarvoiset signaalit c c [2.4.3] 7 (29) Kompleksiluvut vektoreina Kaksiulotteinen (2D) Euklidinen taso IR 2 voidaan tulkita vektoriavaruutena koordinaatit x, y, kantavektorit e x, e y vektoreiden z 1 = x 1 e x + y 1 e y ja z 2 = x 2 e x + y 2 e y sisätulo on z 1 z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2. kompleksilukuina z = x + jy Itseisarvon neliö z 2 = z z = x 2 + y 2 2D Euklidinen geometria voidaan tulkita kompleksilukuina: Kompleksilukuja z 1 = x 1 +jy 1 ja z 2 = x 2 +jy 2 vastaavien vektoreiden sisätulo on Re(z 1 z 2)=x 1 x 2 + y 1 y 2 Esimerkiksi x ja iy ovat ortogonaalisia vektoreita, kun x, y IR N kompleksilukua: z = [ z 1 z 2... z N ] T Voidaan tulkita IR 2N :nä, 2N reaalista koordinaattia sisätulo on z, w = Re(z H w)=re(z 1w z N w N) IR Voidaan tulkita C N ;nä, N kompleksiarvoista koordinaattia sisätulo on z, w = z H w = z 1w z N w N C Koska kompleksiluku voidaan ajatella reaaliarvoisena 2D vektorina, nämä tulkinnat eivät riitele. 8 (29)

5 Kompleksiarvoisten funktioiden avaruus Vektrotiavaruusrakenne yleistyy kompleksiarvoisille signaaleille: objektit kompleksiarvoiset signaalit g(t),f(t) sisätulo T g(t)q (t)dt normi s = T g(t) 2 dt ortogonaalisuus T g(t)q (t)dt =0 ortonormaali kanta T φ n(t)φ m(t)dt = δ mn kehitelmä g(t) = n Z s nφ n (t) koordinaatti s n = T g(t)φ n(t)dt C Funktiot φ n (t) = 1 T e 2πjnt/T,n ZZ muodostavat kannnan äärellisenergisten signaaleiden avaruudelle aikavälillä T. 9 (29) Merkitään: Saadaan: Eksponentiaalinen ja trigonometrinen kanta e 2πjnt/T =cos( 2πnt T )+jsin(2πnt T ) c n(t)+js n (t) S n = x n +jy n, missä x n,y n IR g(t) = S n e 2πjnt/T = x n c n (t) y n s n (t)+j(x n s n (t)+y n c n (t)) n Z n Z = (x n + x n )c n (t)+(y n y n )s n (t) n=0 +j (x n x n )s n (t)+(y n + y n )c n (t) n=0 Mielivaltainen kompleksinen signaali voidaan esittää eksponentiaalisessa kannassa kompleksisilla koordinaateilla sekä trigonometrisessä kannassa kompleksisilla koordinaateilla d Nämä ovat ekvivalentteja (yksi-yhdelle) signaalien esityksiä d [Appendix A; 2.7] 10 (29)

6 Signaaliavaruus, kompleksiarvoiset aallot Kompleksiarvoiset koordinaatit Reaali- tai kompleksiarvoiset kantafunktiot Esimerkki: 8D signaaliavaruus 4 kompleksista ulottuvuutta: s(t) = 4 m=1 s mφ m (t),s m C 8 reaalista ulottuvuutta: s(t) = 4 m=1 s m φ m (t) +i 8 m=5 s m φ m (t), s n IR, φ m IR 11 (29) Hieman Fourier-analyysiä e e [2.7, ] 12 (29)

7 Fourier-muunnos Taajuus on jaksollisen prosessin ominaisuus. Toistuvuus mitataan Herzeissä = toistoa per sekunti Fourier-muunnos hajottaa prosessin (jatkuvaksi) jaksollisten prosessien summaksi, joilla on eri taajuus t on aika, f on taajuus Käänteismuunnos: G(f) = g(t) = g(t)e 2πjft dt G(f)e 2πjft df näemme tässä tulkinnan g(t):stä eritaajuisten jaksollisten prosessien summana e 2πjft on jaksollinen prosessi taajuudella f 13 (29) Esimerkki Funktion g(t) =e (x 1) e (x+1)2 Fourier-muunnos on G(f) =e 2f 2 π 2 2fπj +e f 2 π 2 +2fπj Vasen: g(t). Oikea: Re(G) (musta), Im(G) (punainen). Huomaa: 1. G(f) on kompleksiarvoinen funktio, vaikka g(t) on reaalinen. Mutta Re(G) on parillinen, Im(G) pariton. 2. Mitä nämä negatiiviset taajuudet ovat? 14 (29)

8 Diracin delta-funktio δ(t) on ääretön impulssi hetkellä t =0. Tulkintoja: Zero-variance limit of Gaussian pulse: [ 1 lim σ 0 2πσ e t2 /2σ 2] Zero-width limit of rectangular pulse: lim T 0[ 1 2T (sign( T 2 t)+sign( T 2 +t))] Integraalin sisällä δ-funktio poimii integroitavan funktion arvon kohdassa, jossa δ-funktion argumentti häviää: dt f(t) δ(t t )=f(t ) 15 (29) Eksponentiaalinen, sini- ja delta-funktio Eksponentiaalinen aalto g(t) =e 2πif 0t Fourier-muunnos: G(f) =δ(f f 0 ) signaalissa on ainoastaan yksi taajuus Siniaalto g(t) =sin(2πf 0 t) Fourier-muunnos: G(f) = i 2 (δ(f 0 + f) δ(f 0 f)) 16 (29)

9 Negativiset taajuudet Negatiivisilla taajuuksilla on konkreettinen merkitys eksponentiaaliselle Fourier-kannalle: pyörimissuunta 17 (29) Fourier-sarja Kun Fourier-analyysiä tehdään jaksolliselle funktiolle, tai äärellisellä aikavälillä kuten T =[ T/2,T/2], Fourier-muunnos on diskreetti. f S n = 1 g(t)e 2πjnt/T, n ZZ T Käänteismuunnos antaa ns. Fourier-sarjan g(t) = 1 S n e 2πjnt/T T T n Z Diskreetit taajuuskomponentit n/t, n ZZ. Äärelisellä aikavälillä Fourier-analyysi antaa vektoriavaruuden & kannan f [2.7] 18 (29)

10 Kaistanleveys Signaalin teho f:n funktiona on tehospektritiheys (PSD) S(f) 2. Signaalin kaistanleveys: positiivisen taajuuden määrä, jossa signaalin teho olennaisesti poikkeaa nollasta. Emme tee eroa äärellisaikaisten signaalien energiaspektritiheyden ja tehospektritiheyden välillä. 19 (29) Kantoaaltomodulaatio g g [4.1, 7.8, 7.9] 20 (29)

11 Kantoaalto Kantoaalon antaa korkeataajuinen paikallinen oskillaattori. Kantoaaltomodulaatiossa meillä on taajudella f c oleva kantoaalto kantoaalto tarjoaa kaksi ortogonaalista reaaliarvoista aaltoa: sin(2πf c t) and cos(2πf c t). ekvivalentit kompleksiarvoiset aaltomuodot ovat e ±2πjf ct 21 (29) Kantoaallon modulointi Otetaan cos-aalto: a cos(2πf c t + φ) Informaatiota voidaan lähettää muuntelemalla amplitudia a amplitudimodulaatio vaihetta φ vaihemodulaatio taajuutta f c taajuusmodulaatio 22 (29)

12 Kantoaallon modulointi II Vaiheen ja taajuuden modulaatio sukulaisia tasainen vaiheen muutos = taajuuden muutos Digitaalisessa modulaatiossa taajuusmodulaatio tehotonta Yleensä digitaalisessa modulaatiossa käytetään amplitudimodulaatiota vaihemodulaatiota tai kumpaakin yhtä aikaa: Kvadratuuriamplitudimodulaatio (QAM) Yksinkertaisimmillaan modulaatio on vain kantoaaltosignaalin kertomista moduloivalla signaalilla: φ(t) =m(t)cos(2πf c t) amplitudimodulaatio ja kaksiarvoinen vaihemodulaatio (±1) 23 (29) QAM-modulaatio Kantoaalon kaksi ortogonaalista reaaliarvoista vapausastetta: I-haara cos(2πf c t) & Q-haara sin(2πf c t) paikallinen oskillaattori + vaihesiirros antavat nämä signaalit Kvadratuuriamplituudimodulaatio (QAM): Moduloidaan näitä riippumattomilla signaaleilla m 1 (t) & m 2 (t) IR Nämä ovat I- ja Q-haaran ns. kantataajuussignaalit IQ-moduloitu kantoaalto: φ QAM (t) =m 1 (t)cos(2πf c t) m 2 (t)sin(2πf c t) Re ( g(t) e 2πif ct ), missä määrittelimme kompleksiarvoisen kantataajuussignaalin g(t) =m 1 (t)+m 2 (t)i Tässä ei ole mitään kovin syvällistä. Reaaliset kantataajuussignaalit (m 1 (t),m 2 (t)) antavat pisteen 2D:ssa t:n funktiona. Tämä piste voidaan tulkita kompleksilukuna. (Lathissa näin ei tehdä.) 24 (29)

13 Kantataajuus ja päästökaista Kaistarajoitettu kantataajuussignaali, kaistanleveys W/2: g(t) = W/2 G(f)e 2πift df C W/2 Moduloitu kantoaaltosignaali φ(t) = ( Re g(t) e ) 2πif ct = 2( 1 g(t) e 2πif c t + g (t) e ) 2πif ct IR Modulaatio e 2πifct siirtää signaalin g(t) taajuuskomponentit f c :n ympärille h Modulaatio e 2πifct siirtää g (t) taajuuskomponentit f c :n ympärille Reaaliarvoinen signaali φ(t) nollasta poikkeava päästökaistalla [ f c W/2, f c + W/2] [f c W/2, f c + W/2] h Ks. luennon lisämateriaali. 25 (29) Kantataajuus ja päästökaista II Päästökaista on tiedonsiirrolle varattu kaista positiivinen taajuuskaista W kantoaaltotaajuuden f c ymärillä Kantataajuuskaistalla (baseband): Taajuudet [ W/2,W/2] nollataajuuden ymprillä Korkein taajuuskomponentti on W/2 Kantataajuussignaali on kompleksiarvoinen vie kaksinkertaisen taajuuden reaaliarvoisessa päästökaistassa Kantataajuussignaali elää 2D signaaliavaruudessa 26 (29)

14 Kantoaallon demodulointi Määritellään alipäästösuodin L flpf, joka leikkaa pois signaalista kaikki f LPF :ää korkeammat taajuudet Otetaan f LPF <f c, joka on suurempi kuin kantataajuussignaalin g(t) suurin olennainen taajuuskomponentti W/2. Demoduloidaan I-haara Otetaan paikalliselta oskillaattorilta kantoaaltosignaali Kerrotaan moduloidulla signaalilla ja alipäästösuodetaan ˆm 1 (t) = 2L flpf (cos(2πf c t) φ QAM (t)) ( = 2L flpf cos 2 (2πf c t)m 1 (t) + cos(2πf c t)sin(2πf c t)m 2 (t) ) = L flpf ((cos(4πf c t)+1)m 1 (t)+sin(4πf c t)m 2 (t)) = m 1 (t). Tässä oli ideaalinen siirtotie: ei kohinaa tai vääristymiä. Vastaavasti Q-haara Tämä on ns. suoramuunnosvastaanotin (direct conversion) 27 (29) Kantoaallon modulointi ja demodulointi Lohkokaavio QAM-moduloinnista ja demoduloinnista 28 (29)

15 Modeemi mustana laatikkona Olemme löytäneet täsmällisen kuvauksen modulaatiosta ja demodulaatiosta yksinkertaisten yhtälöiden avulla. 29 (29)