811312A Tietorakenteet ja algoritmit V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit

Transkriptio

1 811312A Tietorakenteet ja algoritmit V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit

2 Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi A TRA, Verkot 2

3 V.4 Kruskalin algoritmi V.4.1 Minimivirittävät puut Puu on yhtenäinen suuntaamaton verkko, jolla ei ole syklejä Puussa kahden solmun välillä yksikäsitteinen polku Olkoon G = (V, E) yhtenäinen suuntaamaton verkko: Sen virittävä puu on mikä tahansa puu (V,T) missä aliverkko T E Verkon G = (V, E) virittävä puu saadaan valitsemalla joukosta E mahdollisimman vähän välejä niin että verkko säilyy yhtenäisenä Jos yhtenäisessä suuntaamattomassa verkossa on n solmua, niin sen virittävässä puussa on n-1 väliä A TRA, Verkot 3

4 V.4.1 Minimivirittävät puut (2) Tässä osassa tarkastellaan yhtenäisiä suuntaamattomia painotettuja verkkoja Välin (u, v) painoarvoa merkitään w (u, v) painofunktio w E R (reaalilukujen joukko) Minimivirittävä puu eli pienin virittävä puu on sellainen virittävä puu, jossa painoarvojen summa on pienin mahdollinen virittäville puille A TRA, Verkot 4

5 V.4.1 Minimivirittävät puut : Esimerkki Painotettu verkko: a b c d e f 5 6 g Minimivirittävä puu: 2 a b c d e f g 3 Yllä minimivirittävän puun paino on A TRA, Verkot 5

6 V.4.2 Minimivirittävien puiden konstruointi Seuraavassa esitettävät algoritmit käyttävät ahnetta lähestymistapaa, kun ne määrittävät minimivirittävää puuta. Väliä (u, v) sanotaan turvalliseksi väliksi (safe edge), jos sen valinta joukkoon A säilyttää voimassa invariantin Ennen jokaisen uuden välin valintaa A on jonkun minimivirittävän puun välien joukon osajoukko. Algoritmi GENERIC-MST(G, w) on yleinen malli ahneille algoritmeille määrätä minimivirittävä puu A TRA, Verkot 6

7 V.4.2 Minimivirittävien puiden konstruointi (2) Input: Yhtenäinen suuntaamaton verkko G, jolla on painofunktio w. Output: Verkon G minimivirittävä puu. GENERIC-MST(G, w) 1. A = 2. while A does not form a spanning tree 3. find an edge (u, v) that is safe for A 4. A = A {(u, v)} 5. return A A TRA, Verkot 7

8 V.4.3 Kruskalin algoritmi Ahne ratkaisu, käyttää geneerisen algoritmin ideaa Apualgoritmit MAKE_SET(v) Muodostaa joukon, jonka ainoa alkio on verkon solmu v FIND_SET(u) Etsii muodostettujen joukkojen parista joukon, joka sisältää alkion u UNION(u, v) Muodostaa unionin alkion u sisältävästä joukosta ja alkion v sisältävästä joukosta A TRA, Verkot 8

9 V.4.3 Kruskalin algoritmi (2) Input: Yhtenäinen suuntaamaton verkko G, jolla on painofunktio w. Solmujen joukko G.V ja välien G.E Output: Verkon G minimivirittävä puu. MST_KRUSKAL(G, w) 1. A = 2. for each vertex v G.V 3. MAKE_SET(v) 4. sort the edges of G.E into nondecreasing order by weight 5. for each edge (u, v) G.E taken in nondecreasing order by weight 6. if FIND_SET(u) FIND_SET(v) 7. A = A {(u, v)} 8. UNION(u, v) 9. return A A TRA, Verkot 9

10 V.4.3 Kruskalin algoritmi : Esimerkki G: a b c d e f 5 6 g A = Joukot {a},{b},{c},{d},{e}, {f},{g} Välit järjestyksessä (a,e),(a,b),(b,f),(c,g),(c,f),(c,d), (d,g),(e,f),(f,g) 1. A = {(a,e)}, Joukot {a,e},{b},{c},{d},{f},{g} 2. A = {(a,e),(a,b)} Joukot {a,b,e},{c},{d},{f},{g} 3. A = {(a,e),(a,b),(b,f)} Joukot {a,b,e,f},{c},{d}, {g} 4. A = {(a,e),(a,b),(b,f),(c,g)} Joukot {a,b,e,f},{c,g},{d} 5. A = {(a,e),(a,b),(b,f),(c,g),(c,f)} Joukot {a,b,c,e,f,g},{d} 6. A= {(a,e),(a,b),(b,f),(c,g),(c,f),(c,d)} Joukot {a,b,c,d,e,f,g} T: 1 a b c d e 2 2 f 3 g A TRA, Verkot 10

11 V.4.4 Kruskalin algoritmin oikeellisuus Algoritmin päättyminen on selvää, koska se käy läpi äärellisen välijoukon Kun algoritmissa FIND_SET(u) FIND_SET(v), niin (u,v) on väli joka yhdistää kahta erillistä puuta, jotka ovat muodostuneet siihen asti algoritmissa Voidaan osoittaa, että väli (u,v) on tällöin turvallinen Tästä puolestaan seuraa, että lopulta muodostuu minimivirittävä puu A TRA, Verkot 11

12 V.4.5 Kruskalin algoritmin aikakompleksisuus Oletetaan, että verkossa solmuja N ja välejä M HUOM! M N-1, koska verkko on yhtenäinen Rivin 2 joukkojen muodostaminen vie ajan O(N) Välien lajittelu vie ajan O(Mlg(M)) Loppu riippuu apualgoritmien toteutuksesta, silmukassa suoritetaan FIND_SET korkeintaan 2*M kertaa ja UNION korkeintaan N kertaa Tehokkaasti toteutettuna luokkaa O((N+M)α(N)) missä α on logaritmia hitaammin kasvava funktio Kaikkiaan saadaan kompleksisuusluokaksi O(Mlg(M)) tai O(Mlg(N)) Koska lg(m) lg(n 2 ) = 2*lg(N) A TRA, Verkot 12

13 V.5 Dijkstran algoritmi V.5.1 Lyhimmistä poluista verkossa Leveyshakualgoritmi määrittää verkon lyhimmät polut, jos verkon väleillä ei ole painoarvoja Tällöin muodostuvaa edeltäjätaulukkoa hyväksi käyttäen voidaan muodostaa verkko G = (V, E ), ns. edeltäjäaliverkko (predecessor subgraph) siten, että sen solmujen joukko V = {v V [v] NIL} {s} ja välien joukko E = { ( [v], v) E v V {s} }. Tämä verkko on puu, jossa on yksikäsitteinen polku solmusta s jokaiseen muuhun saavutettavaan solmuun. Polut ovat lyhimmät polut verkossa G A TRA, Verkot 13

14 V.5.2 Dijkstran algoritmi: Johdanto Keksijä: Edsger Dijkstra 1956 Julkaistu 1959 Tuottaa painotetussa verkossa lyhimmät (pienipainoisimmat, pienimmän kustannuksen) polut yhdestä solmusta Sukua leveyshaulle Toimii suunnatulle verkolle, jossa ei ole negatiivisia painoarvoja Sovelletaan laajasti karttapalveluissa, reitittämisongelmissa jne A TRA, Verkot 14

15 V.5.3 Dijkstran algoritmi Merkintöjä: V verkon solmut, S valittujen solmujen joukko, Q minimiprioriteettijono, jossa aluksi verkon kaikki solmut Joukon S solmuille lyhimmän polun etäisyys on laskettu valmiiksi Silmukassa Q = V S, järjestetty toistaiseksi lähtösolmusta saatujen lyhimpien etäisyyksien mukaan EXTRACT_MIN poistaa joukosta pienimmän alkion ja palauttaa sen A TRA, Verkot 15

16 V.5.3 Dijkstran algoritmi (2) Input: Suunnattu verkko G, ei-negatiivisia arvoja saava painoarvofunktio w ja solmu s. Output: Taulukossa d vaaditut lyhimpien polkujen pituudet solmusta s ja taulukossa solmujen edeltäjäsolmut. DIJKSTRA(G, w, s) 1. for each v in G.V 2. d[v] = 3. [v] = NIL 4. d[s] = 0 5. S = 6. Q = G.V 7. while Q 8. u = EXTRACT_MIN(Q) 9. S = S {u} 10. for each v in G.Adj[u] 11. if d[v] > d[u]+w(u,v) 12. d[v] = d[u]+w(u,v) 13. [v] = u A TRA, Verkot 16

17 V.5.3 Dijkstran algoritmi : Esimerkki Lähde: Cormen et. al: Introduction to Algorithms. MIT Press (2001). Figure A TRA, Verkot 17

18 V.5.4 Dijkstran algoritmin oikeellisuus On selvää, että algoritmi päättyy, koska joukko Q pienenee jokaisella silmukan suorituskerralla Merkitään (s, u) = solmun u lyhin etäisyys solmusta s Riittää osoittaa, että jokaiselle saavutetulle solmulle u pätee d[u] = (s, u), kun se liitetään joukkoon S. Jos solmulle u päivitetty d[u] = (s, u), d[u] ei voi enää muuttua A TRA, Verkot 18

19 V.5.4 Dijkstran algoritmin oikeellisuus (2) Todistuksen idea: Olkoon u ensimmäinen joukkoon S lisättävä solmu, jolle d[u] (s, u) Tarkastellaan lyhintä polkua solmusta s solmuun u: s x y u, missä solmu y on polulla ensimmäinen solmu joka ei kuulu joukkoon S, kun u valitaan joukkoon S Siis d[x] = (s, x) Kun x lisätään S:ään d[y] = (s,x)+w(x,y) = (s, y) Kun u valitaan joukkoon s, on d[u] <= d[y], siis d[y] = (s, y) = (s, u) = d[u], ristiriidassa alkuperäisen oletuksen kanssa A TRA, Verkot 19

20 V.5.5 Dijkstran algoritmin kompleksisuus Olkoon verkossa N solmua ja M väliä Rivien 1-6 kompleksisuus luokkaa Ɵ(N) while-silmukkaa suoritetaan N kertaa Rivit suoritetaan kerran jokaiselle välille Kompleksisuus riippuu jonon Q toteutuksesta Jos järjestämätön jono, josta haetaan minimi jokaisella kierroksella, operaatioita N+(N-1)+ +1 luokkaa Ɵ(N 2 ) Algoritmi luokkaa Ɵ(N 2 ) Jos käytetään minimikekoa, luokkaa O((M+N)lg(N)) Algoritmi luokkaa O((M+N)lg(N)) A TRA, Verkot 20