Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö

Transkriptio

1 Algoritmit 2 Luento 13 Ti Timo Männikkö

2 Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

3 Merkkijonon sovitus Merkkijono taulukossa T, pituus n Yksittäinen merkki T [i], missä 0 i n 1 Alimerkkijono T [i..j], missä 0 i j n 1 Mallimerkkijono P, pituus m Tehtävä: Löytyykö P merkkijonosta T Toisin sanoen: Onko jollain i T [i.. i + m 1] = P[0.. m 1] Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

4 Merkkijonon sovitus Raa an voiman menetelmä: Etsitään P:tä merkki kerrallaan T :n ensimmäisestä merkistä alkaen Ellei löydy, etsitään T :n toisesta merkistä alkaen Jne. Pahimman tapauksen aikavaativuus Θ(nm) Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

5 Merkkijonon sovitus sovitus(t, p) { for (i = 0; i < n-m+1; i++) { j = 0; while ( j < m && t[i+j] == p[j]) j++; if (j == m) return i; } return -1; // ei löytynyt } Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

6 Merkkijonon sovitus Tehokkaampia menetelmiä: Esikäsitellään mallimerkkijono Kerätty tieto tallennetaan aputaulukkoon Aputaulukon tietoa käytetään hyväksi varsinaisessa sovitusvaiheessa Esimerkiksi: Horspoolin algoritmi Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

7 Horspoolin algoritmi Mallimerkkijono P asetetaan merkkijonon T alkuun Tarkastellaan P:tä lopusta alkaen Jos kaikki merkit täsmäävät, P löytyi Muuten P:tä siirretään eteenpäin (oikealle) Siirto voi olla useampia askeleita Jatketaan kunnes P löytyy tai kunnes tullaan T :n loppuun Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

8 Horspoolin algoritmi Mallimerkkijonon siirto: Siirto tehdään mahdollisimman pitkälle siten, että mahdollista sopivaa alimerkkijonoa ei kuitenkaan ohiteta Siirron suuruus päätetään siitä T :n merkistä, jota sovitettiin P:n viimeiseen merkkiin Useita eri tapauksia Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

9 Horspoolin algoritmi Tapaus: Mallimerkkijonossa ei ole lainkaan sovitettavaa merkkiä (tässä esimerkissä d): a b c a c b d x x x x x a c a c c Siirretään koko P:n pituuden verran: a b c a c b d x x x x x a c a c c Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

10 Horspoolin algoritmi Tapaus: Mallimerkkijonossa on sovitettava merkki, mutta ei viimeisen merkin kohdalla: a b c a c b d x x x x x a c d c c Siirretään vastaava oikeanpuoleisin merkki viimeisen merkin kohdalle (kaksi askelta): a b c a c b d x x x x x a c d c c Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

11 Horspoolin algoritmi Tapaus: Vain osa merkeistä täsmää, ja viimeistä merkkiä ei esiinny P:ssä muualla: a b c a c b d x x x x x a c a b d Siirretään koko P:n pituuden verran: a b c a c b d x x x x x a c a b d Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

12 Horspoolin algoritmi Tapaus: Vain osa merkeistä täsmää, ja viimeinen merkki esiintyy P:ssä muualla: a b c a c b d x x x x x a c d b d Oikeanpuoleisin merkki (P:n viimeistä merkkiä huomioimatta) viimeisen merkin kohdalle: a b c a c b d x x x x x a c d b d Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

13 Horspoolin algoritmi Siirtymät lasketaan etukäteen taulukkoon Taulukko indeksoidaan kaikilla mahdollisilla tekstissä ja mallissa esiintyvillä merkeillä Merkin c siirtymä: s(c) = mallimerkkijonon pituus m, jos c ei esiinny mallin (m 1):n ensimmäisen merkin joukossa s(c) = oikeanpuoleisimman merkin c etäisyys mallin viimeiseen merkkiin, jos c on (m 1):n ensimmäisen merkin joukossa Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

14 Esimerkki Mallimerkkijono: a c a b d Pituus m = 5, merkkien lukumäärä k = 4 Siirtymätaulukko: a b c d s Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

15 Horspoolin algoritmi 1. Muodostetaan siirtymätaulukko 2. Mallimerkkijono tekstin alkua vasten 3. Toistetaan kunnes haettu merkkijono löytyy tai malli siirtyy tekstin lopun ohi: Alkaen mallin viimeisestä merkistä verrataan mallin ja tekstin merkkejä Jos eri merkit, haetaan siirtymätaulukosta vastaava siirtymä Siirtymän määrää tekstissä mallin viimeisen merkin kohdalla oleva merkki Siirretään mallia oikealle siirtymän verran Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

16 Esimerkki Merkkijono: a a b b a a b a b Mallimerkkijono: a b a b Siirtymätaulukko: a b s 1 2 Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

17 Esimerkki jatkuu a a b b a a b a b a b a b a a b b a a b a b a b a b a a b b a a b a b a b a b a a b b a a b a b a b a b Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

18 Horspoolin algoritmi Merkkijono t, pituus n Mallimerkkijono p, pituus m Merkistön merkkien lukumäärä k Siirtymätaulukko s, pituus k Siirtymätaulukon muodostaminen: for (i = 0; i < k; i++) s[i] = m; for (j = 0; j < m-1; j++) s[p[j]] = m j; Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

19 Horspoolin algoritmi Mallimerkkijonon sovitus: i = m - 1; while (i < n) { j = 0; while (j < m && p[m-1-j] == t[i-j]) j = j + 1; if (j == m) return i-m+1; else i = i + s[t[i]]; } return -1; Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

20 Horspoolin algoritmi Pahimman tapauksen aikavaativuus Θ(nm) Satunnaisella tekstillä huomattavasti nopeampi kuin raa an voiman algoritmi Käytännössä lähes Θ(n) Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

21 Kauppamatkustajan ongelma Tehtävä: Etsi lyhin reitti, joka käy täsmälleen kerran jokaisessa n:ssä kaupungissa Triviaaliratkaisu: Tutkitaan kaikki reitit Mutta: Mahdollisten reittien lukumäärä kertaluokkaa n! Käytännössä tehtävä voidaan ratkaista näin vain pienellä n Tietokoneiden tehon kasvattaminen ei auta, sillä lukumäärä kasvaa ylieksponentiaalisesti Kombinatorinen räjähdys Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

22 Laskennallinen vaativuus Algoritmi ratkaisee ongelman polynomisessa ajassa, jos pahimman tapauksen aikavaativuus on Θ(p(n)), missä p polynomi Ratkeava ongelma: Voidaan ratkaista polynomisessa ajassa Ratkeamaton ongelma: Ei voida ratkaista polynomisessa ajassa Kauppamatkustajan ongelmalle ei tunneta polynomisia algoritmeja Onko sellaisia olemassa? Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

23 Päätösongelmat Joukon S päätösongelma: Kuuluuko annettu syöttötieto x joukkoon S Vastaus joko kyllä tai ei (joko 1 tai 0) Yleisesti x ja S:n alkiot voidaan esittää bittijonoina Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

24 Päätösongelmat Esimerkkejä: Onko annettu binääriluku parillinen: S = {parillisten lukujen binääriesitykset} Onko annettu binääriluku alkuluku: S = {alkulukujen binääriesitykset} Sisältääkö annettu verkko Hamiltonin kehän (= verkon silmukka, joka kulkee täsmälleen kerran jokaisen solmun kautta): S = {Hamiltonin kehän sisältävien verkkojen binääriesitykset} Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

25 Aikavaativuus Aikavaativuusfunktiot: time A (x) = Algoritmin A syötteellä x suorittamien laskenta-askelten lukumäärä time A (n) = max{time A (x) : x = n} ( x syöttötiedon koko tai pituus) Polynominen algoritmi: Aikavaativuutta time A (n) rajoittaa jokin n:n polynomi Vaativuusluokka P: P = { päätösongelmat, jotka voidaan ratkaista polynomisella algoritmilla } Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

26 Epädeterministinen algoritmi Vaikka ongelman ratkaiseminen on vaikeaa, voi annetun ratkaisun tarkistaminen olla helppoa Esimerkkejä: Hamiltonin kehä -ongelma: Verkon solmuille arvataan oikea järjestys Helppo tarkistaa, että muodostuu Hamiltonin kehä Yhdistettyjen lukujen tunnistamisongelma: Luvun x tekijät y ja z arvataan Helppo tarkistaa, että x = yz Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

27 Epädeterministinen algoritmi Epädeterministinen arvausvaihe : Muodostetaan päätösongelman esiintymälle ratkaisuehdotus Deterministinen tarkistusvaihe : Tarkistetaan deterministisellä algoritmilla, onko ratkaisuehdotus esiintymän ratkaisu Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

28 Epädeterministinen algoritmi Epädeterministinen algoritmi ratkaisee päätösongelman Ongelman jokaiselle kyllä-esiintymälle se palauttaa vastauksen kyllä jollakin suorituksella Epädeterministinen algoritmi on epädeterministinen polynominen algoritmi, jos tarkistusvaihe toimii polynomiajassa Vaativuusluokka NP: NP = { päätösongelmat, jotka voidaan ratkaista epädeterministisellä polynomisella algoritmilla } Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

29 NP-luokan ongelmia Propositiologiikan toteutuvuusongelma (SAT): Onko proposiotiolause toteutuva, ts. onko olemassa sellaista totuusjakaumaa joka tekee lauseesta toden Kauppamatkustajan päätösongelma (TSP): Sisältääkö verkko Hamiltonin kehän, jonka pituus on enintään k Kauppamatkustajan ongelma: Etsi Hamiltonin kehä, jonka pituus on minimaalinen Tämä ei ole päätösongelma, vaan optimointiongelma Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

30 NP-luokan ongelmia Solmupeiteongelma (VC): Sisältääkö verkko enintään k:n solmun solmupeitteen (solmujoukko, joka peittää jokaisesta kaaresta ainakin toisen päätesolmun) Riippumaton joukko -ongelma (IS): Sisältääkö verkko vähintään k riippumatonta solmua (solmujoukko, jonka solmujen välillä ei ole yhtään kaarta) Klikkiongelma (CLIQUE): Sisältääkö verkko vähintään k:n solmun muodostaman klikin (solmujoukko, jonka kaikkien solmuparien välillä on kaari) Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

31 Vaativuusluokat Selvästi P NP On olemassa NP-ongelmia, joille ei tunneta polynomisia algoritmeja On olemassa myös ongelmia, jotka eivät kuulu joukkoon NP Onko P = NP? Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

32 Polynominen palautus Päätösongelma T 1 on polynomisesti muunnettavissa päätösongelmaksi T 2, jos on olemassa funktio f, joka muuntaa T 1 :n esiintymän T 2 :n esiintymäksi siten, että f kuvaa T 1 :n jokaisen kyllä-esiintymän T 2 :n kyllä-esiintymäksi ja jokaisen T 1 :n ei-esiintymän T 2 :n ei-esiintymäksi f on laskettavissa polynomisessa ajassa Tällöin merkitään T 1 p T 2 Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

33 Polynominen palautus T 1 p T 2 Palautusfunktio f muuntaa ongelman T 1 syötetapaukset x ongelman T 2 vastaaviksi tapauksiksi f (x) T 1 on yksinkertaisempi kuin T 2 Jos T 2 voidaan ratkaista polynomisessa ajassa, myös T 1 voidaan ratkaista polynomisessa ajassa Esimerkiksi: VC p IS p CLIQUE Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

34 NP-täydellisyys Määritelmä: Ongelma T on NP-täydellinen, jos T NP S p T kaikilla S NP Lemma: Ongelma T on NP-täydellinen, jos T NP S p T jollakin NP-täydellisellä S Kaikki edellä esitetyt ongelmat (SAT, TSP, VC, IS, CLIQUE) ovat NP-täydellisiä Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35

35 NP-täydelliset ongelmat Luokan NP vaikeimmat ongelmat Jos jokin niistä pystytään ratkaisemaan polynomisessa ajassa, kaikki NP-luokan ongelmat pystytään ratkaisemaan polynomisessa ajassa Jos ongelman koko ei ole suuri, voidaan käydä läpi kaikki ratkaisuvaihtoehdot Muuten käytetään esim. heuristisia algoritmeja ja tyydytään tarpeeksi hyvään ratkaisuun Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 13 Ti /35