Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa"

Transkriptio

1 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien tunnusluvut Avainsanat: Desiili, Diskreetti jakauma, Diskreetti satunnaismuuttuja, Huipukkuus, Insidenssikuvaus, Jatkuva jakauma, Jatkuva satunnaismuuttuja, Kertymäfunktio, Keskusmomentti, Kvantiili, Kvartiili, Mediaani, Momentti, Moodi, Odotusarvo, Origomomentti, Painopiste, Piste, Pistetodennäköisyys, Pistetodennäköisyysfunktio, Prosenttipiste, Puu, Puutodennäköisyys, Reitti, Rinnan kytkentä, Sarjaan kytkentä, Satunnaismuuttuja, Standardipoikkeama, Särmä, Tiheysfunktio, Todennäköisyysjakauma, Todennäköisyysmassa, Toimintatodennäköisyys, Toimintaverkko, Tulosääntö, Tunnusluku, Varianssi, Verkko, Vinous, Yhteenlaskusääntö Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa V, A, A V = Insidenssikuvaus kertoo mitkä verkon pisteistä ovat särmien yhdistämiä. Verkkoja tarkastellaan tässä suunnattuina verkkoina, millä tarkoitetaan sitä, että verkon jokaisella särmällä on suunta, joka osoittaa särmän alkupisteestä särmän loppupisteeseen. Kuviossa oikealla V = { v, v, v3, v4, v5, v6, v7, v8, v9, v, v} A= { a, a, a, a, a, a, a, a, a, a } ja esimerkiksi Reitti Särmät ( a ) = ( v, v ) { a a },,, ak muodostavat reitin pisteestä v pisteeseen v k, jos on olemassa pisteet siten, että v, v,, v k Ilkka Mellin (8) /3

2 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B ( a ) = ( v, v ), i =,,, k i i i+ Jos pisteestä v pisteeseen v k on reitti, sanotaan, että reitti vie pisteestä v pisteeseen v k tai, että pisteestä v pääsee pisteeseen v k. Kuviossa yllä särmät a, a 3, a 7, a 8 muodostavat reitin pisteestä v pisteeseen v 6. Puu Verkko on puu, jonka juurena on piste v, jos seuraavat ehdot pätevät: (i) Verkko on yhtenäinen. (ii) Verkossa ei ole silmukoita. (iii) Jos w v on mielivaltainen verkon piste, pisteestä v pisteeseen w pääsee täsmälleen yhtä reittiä pitkin. Yllä olevan kuvion verkko ei ole puu, koska siinä on silmukoita ja se ei ole yhtenäinen. Sen sijaan oikealla olevan kuvion verkko on puu. Puudiagrammin konstruointi satunnaisilmiölle Satunnaisilmiötä voidaan kuvata puudiagrammilla, jos ilmiö osataan esittää seuraavassa muodossa: (i) Ilmiöllä on yksi alkutila ja yksi tai useampia lopputiloja. (ii) Ilmiö koostuu vaihtoehtoisista tapahtumajonoista. (iii) Tapahtumajonoissa edetään vaiheittain tapahtumasta toiseen lähtien ilmiön alkutilasta ja päätyen johonkin ilmiön lopputiloista. (iv) Jokaisessa vaiheessa kohdataan yksi tai useampia tapahtumavaihtoehtoja, joista yksi realisoituu ja johtaa uusin tapahtumavaihtoehtoihin. Satunnaisilmiötä vastaava puudiagrammi konstruoidaan seuraavalla tavalla: (i) Asetetaan puun juuri vastaamaan ilmiön alkutilaa. (ii) Asetetaan puun loppupisteet ( oksien kärjet ) vastaamaan ilmiön lopputiloja. (iii) Asetetaan puun pisteet ( oksien haarautumiskohdat ) vastaamaan ilmiön tapahtumia. (iv) Viedään puun jokaisesta pisteestä särmä ( oksa ) kaikkiin sellaisiin pisteisiin, joita vastaavat tapahtumavaihtoehdot ovat ilmiön siinä vaiheessa mahdollisia. (v) Liitetään jokaiseen pisteestä lähtevään särmään siinä vaiheessa mahdollisten tapahtumavaihtoehtojen todennäköisyydet. Puutodennäköisyydet Puutodennäköisyydellä tarkoitetaan todennäköisyyttä päästä puun alkupisteestä yhden tai useamman muun puun pisteen määräämään yhdistettyyn tapahtumaan. Pisteen todennäköisyys saadaan määräämällä alkupisteestä ko. pisteeseen vievän reitin todennäköisyys. Reitin todennäköisyys saadaan soveltamalla reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksiin tulosääntöä. Usean pisteen määräämän yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys saadaan soveltamalla ko. pisteisiin vievien reittien todennäköisyyksiin yhteenlaskusääntöä. Ilkka Mellin (8) /3

3 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Puutodennäköisyyksien tulosääntö Reitin todennäköisyys saadaan määräämällä reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksien tulo. Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntö Jos useita (loppu-) tiloja yhdistetään yhdeksi tapahtumaksi, näin saadun yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys saadaan määräämällä ko. tiloihin vievien reittien todennäköisyyksien summa. Toimintaverkot Toimintaverkko on systeemi, joka koostuu komponenteista, jotka on kytketty rinnan tai sarjaan. Alla olevat kytkentäkaaviot kuvaavat kahden komponentin K ja K muodostamia sarjaan- ja rinnankytkentöjä. Sarjaan kytkennän toimintatodennäköisyys Oletetaan, että komponentit K ja K on kytketty sarjaan ja oletetaan lisäksi, että komponentin K toiminta (tai toimimattomuus) ei riipu komponentin K toiminnasta (ja kääntäen). Komponenttien K ja K muodostama sarjaan kytkentä toimii, jos komponentti K toimii ja komponentti K toimii. Määritellään tapahtumat A = Komponentti K toimii A = Komponentti K toimii Olkoot tapahtumien A ja A todennäköisyydet p = Pr(A ) p = Pr(A ) Koska tapahtumat A ja A ovat oletuksen mukaan riippumattomia, saadaan komponenttien K ja K muodostama sarjaan kytkennän toimintatodennäköisyydeksi riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan Pr(Komponentti K toimii ja komponentti K toimii) = Pr(A A ) = Pr(A )Pr(A ) = p p Ilkka Mellin (8) 3/3

4 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Rinnankytkennän toimintatodennäköisyys = Pr(Komponentti K toimii)pr(komponentti K toimii) Oletetaan, että komponentit K ja K on kytketty rinnan ja oletetaan lisäksi, että komponentin K toiminta (tai toimimattomuus) ei riipu komponentin K toiminnasta (ja kääntäen). Komponenttien K ja K muodostama rinnan kytkentä toimii, jos komponentti K toimii tai komponentti K toimii (tai molemmat toimivat). Määritellään tapahtumat A = Komponentti K toimii A = Komponentti K toimii Olkoot tapahtumien A ja A todennäköisyydet p = Pr(A ) p = Pr(A ) Koska tapahtumat A ja A ovat oletuksen mukaan riippumattomia, saadaan komponenttien K ja K muodostama rinnan kytkennän toimintatodennäköisyydeksi yleisen yhteenlaskusäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan Pr(Komponentti K toimii tai komponentti K toimii) = Pr(A A ) = Pr(A ) + Pr(A ) Pr(A A ) = Pr(A ) + Pr(A ) Pr(A )Pr(A ) = p + p p p = Pr(Komponentti K toimii) + Pr(Komponentti K toimii) Pr(Komponentti K toimii)pr(komponentti K toimii) Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttuja ( S, F,Pr) todennäköisyyskenttä, jossa S = otosavaruus (perusjoukko) F = otosvaruuden S osajoukkojen joukossa määritelty σ-algebra Pr = σ-algebran F alkioille määritelty todennäköisyysmitta Jos ξ on otosavaruuden S reaaliarvoinen (mitallinen) funktio eli ξ :S niin ξ on satunnaismuuttuja. Jos siis s S niin ξ () s Ilkka Mellin (8) 4/3

5 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Todennäköisyysjakauma Satunnaismuuttujan ξ todennäköisyysjakaumalla tarkoitetaan kuvauksen ξ :S reaalilukujen joukkoon indusoimaa todennäköisyysmittaa. Diskreetti satunnaismuuttuja ξ :S satunnaismuuttuja. Jos otosavaruus S on äärellinen tai numeroituvasti ääretön, jolloin myös funktion ξ arvoalue on äärellinen tai numeroituvasti äärellinen, sanotaan satunnaismuuttujaa ξ diskreetiksi. Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio ξ :S diskreetti satunnaismuuttuja. satunnaismuuttujan ξ arvojen joukko T = {x, x, x 3,, x n } jos arvojen joukko on äärellinen tai T = {x, x, x 3,, x n, } jos arvojen joukko. Reaaliarvoinen funktio f määrittelee diskreetin satunnaismuuttujan ξ pistetodennäköisyysfunktion, jos () f ( xi) = Pr( ξ = xi) kaikille xi T () f( xi) kaikille xi T (3) f( x ) = Todennäköisyys i xi T i Pr( ξ = x ) = f( x ) = p, i=,,3, i i i on satunnaismuuttujan ξ arvoa x i vastaava pistetodennäköisyys. Diskreetti todennäköisyysjakauma Jos f on diskreetin satunnaismuuttujan ξ :S pistetodennäköisyysfunktio, sanomme, että satunnaismuuttuja ξ noudattaa diskreettiä todennäköisyysjakaumaa, jonka pistetodennäköisyysfunktio on f. Ilkka Mellin (8) 5/3

6 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Pistotodennäköisyysfunktio ja reaaliakselin välien todennäköisyydet ξ :S diskreetti satunnaismuuttuja ja f vastaava pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin reaaliakselin välin [a, b] todennäköisyys on Jatkuva satunnaismuuttuja Pr( a ξ b) = f( x ) = Pr( ξ = x ) ξ :S i i xi a b i xi a b [, ] [, ] satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttuja ξ on jatkuva, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät: (i) Satunnaismuuttuja ξ saa kaikki reaalilukuarvot joltakin reaaliakselin väliltä. (ii) Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja ξ saa minkä tahansa yksittäisen arvon =. Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio ξ :S jatkuva satunnaismuuttuja. Reaaliarvoinen funktio f määrittelee satunnaismuuttujanξ tiheysfunktion, jos () f( x) on x:n jatkuva funktio () f( x) kaikille x + (3) f( x) dx= b (4) Pr( a ξ b) = f( x) dx Jatkuva todennäköisyysjakauma Jos f on jatkuvan satunnaismuuttujan ξ :S a tiheysfunktio, sanomme, että satunnaismuuttuja ξ noudattaa jatkuvaa todennäköisyysjakaumaa, jonka tiheysfunktio on f. Tiheysfunktio ja reaaliakselin välien todennäköisyydet ξ : S jatkuva satunnaismuuttuja ja f vastaava tiheysfunktio. Tällöin reaaliakselin välin [a, b] todennäköisyys on i Ilkka Mellin (8) 6/3

7 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Huomaa, että kaikille x. Pr( a ξ b) = f( x) dx Pr(ξ = x) = b a Kertymäfunktio Kertymäfunktio ξ : S satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio on reaaliarvoinen funktio F( x) = Pr( ξ x) Funktio F : [,] on kertymäfunktio, jos ja vain jos Jos funktio () lim x F( x) = () lim x + F( x) = (3) F on ei - vähenevä: F( x ) F( x ), jos x x (4) F on jatkuva oikealta: lim F( x+ h) = F( x) h + F : [,] on kertymäfunktio, niin (5) Pr( ξ > x) = F( x) (6) Pr( a< ξ b) = F( b) F( a) Diskreetin jakauman kertymäfunktio ξ :S diskreetti satunnaismuuttuja ja f vastaava pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio on ja kääntäen F( x) = Pr( ξ x) = f( x ) = Pr( ξ = x ) i i xi x i xi x i Ilkka Mellin (8) 7/3

8 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B f ( x ) = Pr( ξ = x ) = F( x ) F( x ) i i i i Diskreetin jakauman kertymäfunktio on porrasfunktio, jolla on hyppäys jokaisessa pisteessä x i, jossa f( x ) = Pr( ξ = x ) > i i Hyppäyskohtien välillä diskreetin jakauman kertymäfunktio saa vakioarvon. Diskreetit jakaumat ja reaaliakselin välien todennäköisyydet ξ : S diskreetti satunnaismuuttuja, f vastaava pistetodennäköisyysfunktio ja F vastaava kertymäfunktio. Tällöin reaaliakselin välin (a, b] todennäköisyys on Pr( a< ξ b) = F( b) F( a) = f( x ) = Pr( ξ = x ) Jatkuvan jakauman kertymäfunktio ξ :S i i xi a b i xi a b (, ] (, ] jatkuva satunnaismuuttuja ja f vastaava tiheysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktio on ja kääntäen F( x) = Pr( ξ x) = f( t) dt x d f ( x) = F ( x) = F( x) dx Reaaliakselin välien todennäköisyydet ξ :S jatkuva satunnaismuuttuja, f vastaava tiheysfunktio ja F vastaava kertymäfunktio. Tällöin reaaliakselin välin (a, b] todennäköisyys on b Pr( a< ξ b) = F( b) F( a) = f( x) dx Huomaa, että jatkuvalle satunnaismuuttujalle pätee: Pr( a< ξ b) = Pr( a ξ < b) = Pr( a< ξ < b) = Pr( a ξ b) a i Ilkka Mellin (8) 8/3

9 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Jakaumien tunnusluvut Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo f( x ) = Pr( X = x ) = p, i =,,3, i i i diskreetin satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X ja sitä vastaavan todennäköisyysjakauman odotusarvo on ei-satunnainen vakio E( X ) = µ = xf( x) = xpr( X= x) = xp Jatkuvan satunnaismuuttujan odotusarvo f ( x ) X i i i i i i i i i jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X ja sitä vastaavan todennäköisyysjakauman odotusarvo on ei-satunnainen vakio + E( X ) = µ X = xf ( x) dx Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujan X odotusarvo on satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan painopiste. a vakio. Tällöin E( a) = a Olkoot X i, i =,,, n satunnaismuuttujia ja a i, i =,,, n vakioita. Tällöin n n E ax i i = ai E( Xi) i= i= Diskreetin satunnaismuuttujan funktion odotusarvo f( x ) = Pr( X = x ) = p, i =,,3, i i i diskreetin satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. g reaaliarvoinen funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(x) odotusarvo on ei-satunnainen vakio E( gx ( )) = µ = gx ( ) f( x) = gx ( )Pr( X= x) = gx ( ) p Jatkuvan satunnaismuuttujan funktion odotusarvo f ( x ) g ( X) i i i i i i i i i jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. g reaaliarvoinen funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(x) odotusarvo on ei-satunnainen vakio Ilkka Mellin (8) 9/3

10 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B + = µ g( X) = E( g( X)) g( x) f( x) dx Varianssi satunnaismuuttujan X odotusarvo E( X ) = µ X Tällöin satunnaismuuttujan X varianssi on ei-satunnainen vakio D( X) = Var( X) = σ X = E[( X µ X)] Varianssi voidaan laskea myös kaavalla jossa D( X) = Var( X) = σ = E( X ) µ X X E( X ) = satunnaismuuttujan X.momentti Diskreetin satunnaismuuttujan varianssi f( x ) = Pr( X = x ) = p, i =,,3, i i i diskreetin satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X varianssi on D( X ) = Var( X) = σ = E[( X µ )] = ( x µ ) p X X i X i i Jatkuvan satunnaismuuttujan varianssi f ( x ) jatkuvan satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X varianssi on + D( ) = Var( ) = σ X = E[( µ X)] = ( µ X) () X X X x f x dx Standardipoikkeama Satunnaismuuttujan X standardipoikkeama on ei-satunnainen vakio D( X) = σ X = E[( X µ X) ] Varianssin ominaisuuksia Satunnaismuuttujan X varianssi ja standardipoikkeama kuvaavat satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan hajaantuneisuutta todennäköisyysmassan painopisteen E( X ) = µ X ympärillä. Ilkka Mellin (8) /3

11 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B a vakio. Tällöin D() a = Var() a = Olkoot X i, i =,,, n riippumattomia satunnaismuuttujia ja a i, i =,,, n vakioita. Tällöin Markovin epäyhtälö = n n D ax i i ai D ( Xi) i= i= g(x) satunnaismuuttujan X positiivinen reaaliarvoinen funktio, jonka odotusarvo on E(g(X)) Tällöin jokaiselle reaaliselle, ei-satunnaiselle vakiolle a > pätee Markovin epäyhtälö: E( g( X)) Pr( g( X) a) a Tshebyshevin epäyhtälö X satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on E(X) = µ ja varianssi on Var(X) = σ Tällöin pätee Tshebyshevin epäyhtälö: Pr( X µ kσ) k Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavasta seuraa, että Pr( X µ < kσ ) = Pr( X µ kσ) k Momentit X satunnaismuuttuja. Tällöin satunnaismuuttujan X k odotusarvo k E( X ) = α, k =,,, k on satunnaismuuttujan X k. momentti eli k. momentti origon suhteen. Erityisesti: α = α = E( X ) = µ Siten satunnaismuuttujan X. momentti origon suhteen on satunnaismuuttujan X odotusarvo. X satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on E( X ) = µ Ilkka Mellin (8) /3

12 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Tällöin satunnaismuuttujan ( X µ ) k odotusarvo k E ( X µ ) = µ k, k =,,, on satunnaismuuttujan X k. keskusmomentti eli k. momentti painopisteen µ suhteen. Erityisesti: µ = µ = E ( X µ ) = σ = Var( X) = D ( X) Siten satunnaismuuttujan X. keskusmomentti häviää ja. keskusmomentti on satunnaismuuttujan X varianssi. Momenttien olemassaolo Satunnaismuuttujan X k. origomomentti on olemassa, jos k E( X ) < Satunnaismuuttujan X k. keskusmomentti on olemassa, jos vastaava origomomentti on olemassa. Voidaan osoittaa, että jos jollekin n, niin n E( X ) < k E( X ) < kaikille k < n. Jos siis satunnaismuuttujalla on n. origomomentti, niin sillä on myös kaikki alempien kertalukujen momentit. Vinous Tunnuslukua γ = µ 3 3/ µ käytetään todennäköisyysjakaumien vinouden mittana. Jos todennäköisyysjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio on yksihuippuinen, pätee seuraava: γ < : Jakauma on negatiivisesti vino eli vino vasemmalle, jolloin jakauman vasen häntä on pitempi kuin oikea häntä. γ = : Jakauma on symmetrinen. γ > : Jakauma on positiivisesti vino eli vino oikealle, jolloin jakauman oikea häntä on pitempi kuin vasen häntä. Huomautus: Normaalijakaumalle γ =. Huipukkuus Tunnuslukua µ γ = 3 4 µ Ilkka Mellin (8) /3

13 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B käytetään todennäköisyysjakaumien huipukkuuden mittana. Jos todennäköisyysjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio on yksihuippuinen, pätee seuraava: γ > : Jakauma on huipukas (normaalijakaumaan verrattuna). γ = : Jakauma on yhtä huipukas kuin normaalijakauma. γ < : Jakauma on laakea (normaalijakaumaan verrattuna). Huomautus: Normaalijakaumalle γ =. Kvantiilit X satunnaismuuttuja. lisäksi < p < Jos luku x p toteuttaa ehdot Pr(X x p ) p Pr(X x p ) p sanomme, että x p on satunnaismuuttujan X ja sen jakauman kvantiili kertalukua p. Siten kvantiili x p toteuttaa epäyhtälöt Pr(X < x p ) p Pr(X x p ) Kvantiilit voidaan määrätä myös sellaisille satunnaismuuttujille, joilla ei ole momentteja. Kvantiilit eivät välttämättä ole yksikäsitteisiä: (i) Diskreettien satunnaismuuttujien kvantiilit ovat usein monikäsitteisiä. (ii) Jatkuvien satunnaismuuttujien kvantiilit ovat yksikäsitteisiä. F(x) = Pr(X x) jatkuvan satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. Tällöin satunnaismuuttujan X kvantiili x p toteuttaa yhtälön F(x p ) = p Kvantiili x p jakaa satunnaismuuttujan X jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että massasta p % on kvantiilista x p vasemmalla ja ( p) % on kvantiilista x p oikealla. Tilastolliset taulukot ja kvantiilit Useimmissa todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen oppikirjoissa on taulukoituna keskeisten tilastollisessa päättelyssä käytettävien jatkuvien jakaumien (standardoidun normaalijakauman t- jakauman, χ -jakauman ja F-jakauman) kvantiileja x p ja niitä vastaavia todennäköisyyksiä p ja useimmissa tilastollisissa tietokoneohjelmissa on aliohjelmia, jotka laskevat em. jakaumien kvantiileja x p ja niitä vastaavia todennäköisyyksiä p. Ilkka Mellin (8) 3/3

14 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Prosenttipisteet Jos p on muotoa p = q/, q =,,, 99 kvantiilia x p kutsutaan q. prosenttipisteeksi. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa q. prosentti-piste jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että massasta q % on q. prosenttipisteestä vasemmalla ja ( q) % on q. prosenttipisteestä oikealla. Desiilit Jos p on muotoa p = q/, q =,,, 9 kvantiilia x p kutsutaan q. desiiliksi. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa q. desiili jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että massasta q % on q. desiilistä vasemmalla ja ( q) % on q. desiilistä oikealla. Kvartilit Jos p on muotoa p = 5 q/, q =,, 3 kvantiilia x p kutsutaan q. kvartiiliksi. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa q. kvartiili jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen osaan niin, että massasta 5 q % on q. kvartiilista vasemmalla ja ( 5 q) % on q. kvartiilista oikealla. Kvartiileja merkitään tavallisesti symboleilla Q, Q, Q 3 ja sanotaan, että Q = alakvartiili Q = keskikvartiili Q 3 = yläkvartiili Ilkka Mellin (8) 4/3

15 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa kvartiilit jakavat jakauman todennäköisyysmassan neljään yhtä suureen osaan: 5 % massasta on kvartiilista Q vasemmalle 5 % massasta on kvartiilien Q ja Q välissä 5 % massasta on kvartiilien Q ja Q 3 välissä 5 % massasta on kvartiilista Q 3 oikealle Mediaani Jos p =.5 kvantiilia x p kutsutaan mediaaniksi. Mediaania merkitään tavallisesti symbolilla Me. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa mediaani Me jakaa jakauman todennäköisyysmassan kahteen yhtä suureen osaan niin, että massasta 5 % on mediaanista vasemmalla ja 5 % on mediaanista oikealla. Jakauman mediaani ei välttämättä ole yksikäsitteinen. Jakauman mediaani yhtyy jakauman 5. prosenttipisteeseen, 5. desiiliin ja keskikvartiiliin Q. Mediaani voidaan määrätä myös sellaisille satunnaismuuttujille, joilla ei ole odotusarvoa. Jos satunnaismuuttujan X jakauma on symmetrinen suoran x = a suhteen, niin jakauman mediaani yhtyy pisteeseen a: Me = a Jos symmetrisellä jakaumalla on odotusarvo E(X) = µ, niin jakauman mediaani yhtyy pisteeseen µ: Me = µ Moodi X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka pistetodennäköisyysfunktio on f(x) = Pr(X = x) Piste Mo on diskreetin satunnaismuuttujan X ja sen jakauman moodi, jos pistetodennäköisyysfunktio f(x) saavuttaa maksiminsa pisteessä x = Mo: f ( Mo) = max f ( x) x X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f(x) Piste Mo on jatkuvan satunnaismuuttujan X ja sen jakauman moodi, jos tiheysfunktio f(x) saavuttaa maksiminsa pisteessä x = Mo: f ( Mo) = max f ( x) x Ilkka Mellin (8) 5/3

16 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Jakauman moodi ei välttämättä ole yksikäsitteinen. Moodi voidaan määrätä myös sellaisille satunnaismuuttujille, joilla ei ole odotusarvoa. Ilkka Mellin (8) 6/3

17 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Tehtävä 3.. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa kuulaa. Poimitaan kummastakin uurnasta satunnaisesti yksi kuula sekä asetetaan uurnasta A poimittu kuula uurnaan B ja uurnasta B poimittu kuula uurnaan A. Poimitaan tämän jälkeen uurnasta B satunnaisesti kuula. Mikä on todennäköisyys, että poimittu kuula on valkoinen? Ohje: Konstruoi tehtävän ratkaisemista varten tarkoitukseen sopiva puumainen verkko. Tehtävä 3.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan todennäköisyyslaskennan tehtävien ratkaisemista puumaisten verkkojen avulla. Tehtävä 3.. Ratkaisu: Tehtävän satunnaisilmiön tulosvaihtoehdoista voidaan rakentaa seuraava puuverkko: 4/ 6/ Vaihe 6/ 4/ 6/ 4/ Vaihe 6/ 4/ 7/ 3/ 5/ 5/ 6/ 4/ Vaihe 3 Puun konstruktio perustuu siihen, että voidaan ajatella, että kuulat poimitaan kolmessa vaiheessa: Vaihe : Poimitaan kuula uurnasta A. Vaihe : Poimitaan kuula uurnasta B. Vaihe 3: Poimitaan kuula uurnasta B sen jälkeen, kun vaiheessa uurnasta A poimittu kuula on pantu uurnaan B ja vaiheessa uurnasta B poimittu kuula on pantu uurnaan A. Tarkastellaan puun konstruktiosta esimerkkinä reittiä, joka päättyy nuolella merkittyyn valkoiseen kuulaan: Vaihe : Uurnasta A poimitaan musta kuula; todennäköisyys = 6/ Vaihe : Uurnasta B poimitaan valkoinen kuula; todennäköisyys = 6/ Uurnasta A poimittu musta kuula pannaan uurnaan B ja uurnasta B poimittu valkoinen kuula pannaan uurnaan B. Tämän jälkeen uurnassa A on 5 valkoista ja 5 mustaa kuulaa ja myös uurnassa B on 5 valkoista kuulaa ja 5 mustaa kuulaa. Vaihe 3: Uurnasta A poimitaan valkoinen kuula; todennäköisyys = 5/ Ilkka Mellin (8) 7/3

18 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Yo. puu koostuu 8 reitistä ja niistä 4 päättyy valkoiseen kuulaan. Todennäköisyys nostaa valkoinen kuula vaiheessa 3 voidaan laskea puutodennäköisyyksien tulo- ja yhteenlaskusääntöjen avulla: (i) Puutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan jokaisen valkoiseen kuulaan päättyvän reitin todennäköisyys saadaan laskemalla ko. reitin särmien todennäköisyyksien tulo. Puutodennäköisyyksien tulosääntö on yleisen tulosäännön sovellus. (ii) Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännön mukaan valkoisiin kuuliin päättyvistä reiteistä koostuvan tapahtuman todennäköisyys on ko. reittien todennäköisyyksien summa. Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntö on toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön sovellus. Valkoiseen kuulaan vaiheessa 3 johtavat reitit yo. puudiagrammissa: VVV, VMV, MVV, MMV jossa V = valkoinen kuula M = musta kuula Siten todennäköisyydeksi nostaa valkoinen kuula vaiheessa 3 saadaan = =.58 Tehtävä 3.. Mies aikoo pelata uhkapeliä, jonka jokaisella kierroksella joko voittaa tai häviää euron. Kun mies aloittaa pelin, hänellä on yksi euro. Mies päättää pelata kunnes hänellä on kasassa 4 euroa tai kunnes hänen rahansa loppuvat, mutta kuitenkin korkeintaan 5 pelikierrosta. Millä todennäköisyydellä miehellä on lopettaessaan pelin kasassa täsmälleen euroa, kun voiton todennäköisyys on kullakin pelikierroksella /4? Ohje: Konstruoi tehtävän ratkaisemista varten tarkoitukseen sopiva puumainen verkko. Tehtävä 3.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan todennäköisyyslaskennan tehtävien ratkaisemista puumaisten verkkojen avulla. Ks. myös tehtävää 3.. Ilkka Mellin (8) 8/3

19 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Tehtävä 3.. Ratkaisu: Konstruoidaan miestä pelissä kohtaavista vaihtoehdoista ensin puuverkko: / 3/ / 3/ 3 / 3/ / 3/ 4 / 3/ / 3/ 3 3 / 3/ / 3/ / 3/ / 3/ 4 4 Luvut puuverkon pisteisiin asetetuissa neliöissä ilmaisevat miehen pääoman pelin eri vaiheissa ja luvut puuverkon särmien vieressä ilmaisevat eri vaihtoehtojen todennäköisyydet kussakin pelin vaiheessa. Tiedämme, että Pr(Mies voittaa euron) = /4 Pr(Mies häviää euron) = /4 = 3/4 Näemme, että mahdollisia lopputiloja, joissa miehellä on täsmälleen euroa, on 4 kappaletta. Todennäköisyys, että miehellä on lopettaessaan pelin täsmälleen euroa, voidaan laskea puutodennäköisyyksien tulo- ja yhteenlaskusääntöjen avulla: (i) Puutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan jokaisen valkoiseen kuulaan päättyvän reitin todennäköisyys saadaan laskemalla ko. reitin särmien todennäköisyyksien tulo. Puutodennäköisyyksien tulosääntö on yleisen tulosäännön sovellus. (ii) Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännön mukaan valkoisiin kuuliin päättyvistä reiteistä koostuvan tapahtuman todennäköisyys on ko. reittien todennäköisyyksien summa. Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntö on toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön sovellus. Ilkka Mellin (8) 9/3

20 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Saamme: Pr(Miehellä on lopettaessaan pelin täsmälleen euroa) = = = = Tehtävä 3.3. Seuraava kuva esittää sähköistä verkkoa, jossa on 5 komponenttia, joista jokaisen toimintatodennäköisyys on p. Oletetaan, että komponenttien vikaantumiset ovat tapahtumina toisistaan riippumattomia. Mikä on todennäköisyys, että verkko toimii, ts. virta kulkee verkon läpi? Tehtävä 3.3. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan toimintaverkon toimintatodennäköisyyden määräämistä. Tehtävä 3.3. Ratkaisu: Kaavion toimintaverkko koostuu seuraavista sarjaan kytketyistä osista: Osa : Komponenttien, ja 3 muodostama rinnankytkentä, joka voidaan purkaa komponenttien ja muodostamaksi rinnankytkennäksi, joka on kytketty rinnan komponentin 3 kanssa. Osa : Komponentti 4 Osa 3: Komponentti 5 Olemme olettaneet, että toimintaverkossa yhdenkään komponentin toiminta tai toimimattomuus ei riipu muiden komponenttien toiminnasta. Tällöin toimintaverkon toimintatodennäköisyys saadaan soveltamalla seuraavia sääntöjä: (i) Jos komponentit A ja B on kytketty rinnan, kytkennän toimintatodennäköisyys on yleisen yhteenlaskusäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan: Pr(A toimii tai B toimii) = Pr(A toimii) + Pr(B toimii) Pr(A toimii ja B toimii) = Pr(A toimii) + Pr(B toimii) Pr(A toimii)pr(b toimii) Ilkka Mellin (8) /3

21 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B (ii) Jos komponentit A ja B on kytketty sarjaan, kytkennän toimintatodennäköisyys on riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan: Pr(A toimii ja B toimii) = Pr(A toimii)pr(b toimii) Komponenttien ja muodostama rinnankytkentä toimii todennäköisyydellä p + p p p = p p Komponenttien, ja 3 muodostama rinnankytkentä toimii todennäköisyydellä p p + p ( p p ) p = 3p 3p + p 3 Koska tehtävän kaavion kuvaama toimintaverkko koostuu komponenttien, ja 3 rinnan kytkennän kytkennästä sarjaan komponenttien 4 ja 5 kanssa, verkon toimintatodennäköisyydeksi saadaan: (3p 3 p + p ) p p = 3p 3p + p Tehtävä 3.4. asetelmana sama kuin tehtävässä 3.., mutta mies päättää pelata peliä korkeintaan 3 kierrosta. satunnaismuuttuja X = Miehen pääoma hänen lopettaessaan pelin (a) Määrää todennäköisyydet tapahtumille X =,,, 3, 4 puuverkkoa käyttäen ja määrittele niiden avulla satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja paperille. (b) Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja paperille. (c) Mikä on tapahtuman X =.5 todennäköisyys? (d) Määrää tapahtuman X > todennäköisyys pistetodennäköisyysfunktion avulla. (e) Määrää tapahtuman X > todennäköisyys kertymäfunktion avulla. (f) Määrää satunnaismuuttujan X odotusarvo. (g) Määrää satunnaismuuttujan X varianssi. Tehtävä 3.4. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan diskreetin satunnaismuuttujan määrittelemistä yksinkertaisen esimerkin tapauksessa sekä ko. satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktion ja kertymäfunktion konstruoimista sekä odotusarvon ja varianssin määräämistä ko. satunnaismuuttujalle. Tehtävä 3.4. Ratkaisu: (a) Jos olet onnistunut konstruoimaan tehtävän 3.. puuverkon oikein, voit lukea verkosta seuraavien tapahtumien todennäköisyydet Pr(Miehelle jää euroa) = + = Pr(Miehelle jää euro) = Ilkka Mellin (8) /3

22 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Pr(Miehelle jää euroa) = + = Pr(Miehelle jää 3 euroa) = Pr(Miehelle jää 4 euroa) = = Siten diskreetin satunnaismuuttujan X = Miehen pääoma lopettaessaan pelin pistetodennäköisyysfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: x f(x) = Pr(X = x) 57/64 6/ /64 Pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja: Pistetodennäköisyysfunktio f(x)..8 f(x) x (b) Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio voidaan määritellä kaavalla F( x) = Pr( X = x ) ixi x i Ilkka Mellin (8) /3

23 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Summassa lasketaan yhteen kaikki pistetodennäköisyydet Pr( X = x i ) joille pätee x i x Siten diskreetin satunnaismuuttujan X = Miehen pääoma lopettaessaan pelin kertymäfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: x F(x) < x < 57/64 x < 4 63/64 4 x Kertymäfunktion kuvaaja välillä [, 5]: Kertymäfunktio F(x)..8 F(x) x (c) Koska tapahtuma X =.5 on mahdoton, Pr(X =.5) = (d) Tapahtuman X > Ilkka Mellin (8) 3/3

24 Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B todennäköisyys saadaan satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktiosta laskemalla niiden tulosvaihtoehtojen pistetodennäköisyydet yhteen, joissa mies voittaa enemmän kuin euron. Siten Pr(X > ) = Pr(X = ) + Pr(X = 3) + Pr(X = 4) = 6/ /64 = 7/64 (e) Tapahtuman X > todennäköisyys saadaan satunnaismuuttujan X kertymäfunktiosta seuraavalla tavalla: Pr(X > ) = Pr(X ) = F() = 57/64 = 7/64 (f) Jos satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on f(x), satunnaismuuttujan X odostusarvo E(X) saadaan kaavalla: Siten E( X ) = x Pr( X = x ) E( X ) 4 = ipr( X = i) i= i i i = Pr( X = ) + Pr( X = ) + Pr( X = ) + 3 Pr( X = 3) + 4 Pr( X = 4) 57 6 = = 4 Satunnaismuuttujan X odotusarvo on satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan painopiste. (g) Käytetään satunnaismuuttujan X varianssin laskemiseen kaavaa Var( X ) = E( X ) [E( X)] Jos satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on f(x), satunnaismuuttujan X. origomomentti E(X ) saadaan kaavalla: Ilkka Mellin (8) 4/3

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Verkko eli graafi: Määritelmä 1/2 Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta: Esitiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Verkot ja todennäköisyyslaskenta: Esitiedot T (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan T (c) Ilkka Mellin (2004) 2 : Mitä oimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa,

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva 4 Jatkuva jakauma Edellä määriteltiin diskreetiksi satunnaismuuttujaksi sellainen, joka voi saada vain (hyppäyksittäin) erillisiä arvoja. Jatkuva satunnaismuuttuja voi saada mitä hyvänsä arvoja yleensä

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

A = B. jos ja vain jos. x A x B

A = B. jos ja vain jos. x A x B Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Avainsanat: Bayesin kaava, Binomikaava, Binomikerroin,

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan tulkinta

Kvanttimekaniikan tulkinta Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Johdanto: Deterministisyys ja satunnaisuus Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet TKK (c)

Lisätiedot

Todennäköisyys (englanniksi probability)

Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012

Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012 Tilastollisten menetelmien perusteet I TILTP2 Luentorunko, lukuvuosi 2011-2012 Raija Leppälä 17. lokakuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Todennäköisyyslaskentaa 5 2.1 Satunnaisilmiö ja tapahtuma 5 2.2 Klassinen

Lisätiedot

4. Tutkittiin kolikonheittäjän virheetöntä rahaa. Suoritettiin kymmenen

4. Tutkittiin kolikonheittäjän virheetöntä rahaa. Suoritettiin kymmenen MAT-20500 Todennäköisyyslaskenta Laskuharjoituksia / Periodi 2 / 2009-2010 1.1 Peruskäsitteitä 1. Totea Venn-diagrammien avulla oikeaksi demorganin lait A B = A B, A B = A B Jos otosavaruus on ihmiset

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti,

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 3 MAA Todennäköisyys ja tilastot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Sähkövirran määrittelylausekkeesta

Sähkövirran määrittelylausekkeesta VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien

Lisätiedot

Todennäköisyysteoria. Teoria mitasta, mitallisuudesta, mitattomuudesta ja riippumattomuudesta. Tommi Sottinen

Todennäköisyysteoria. Teoria mitasta, mitallisuudesta, mitattomuudesta ja riippumattomuudesta. Tommi Sottinen Todennäköisyysteoria Teoria mitasta, mitallisuudesta, mitattomuudesta ja riippumattomuudesta A. Kolmogorov P. Lévy Tommi Sottinen tommi.sottinen@helsinki.fi mathstat.helsinki.fi/ tsottine 1. joulukuuta

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Automaatit. Muodolliset kielet

Automaatit. Muodolliset kielet Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen ja mitta-asteikot TKK (c)

Lisätiedot

Otanta ilman takaisinpanoa

Otanta ilman takaisinpanoa Otanta ilman takaisinpanoa Populaatio, jossa N alkiota (palloa, ihmistä tms.), kahdenlaisia ( valkoinen, musta ) Poimitaan umpimähkään (= symmetrisesti) n-osajoukko eli otos Merkitään tapahtuma A k = otoksessa

Lisätiedot

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa:

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa: Lisätehtäviä (siis vanhoja tenttikysymyksiä) 1. Erään yrityksen satunnaisesti valittujen työntekijöiden poissaolopäivien määrät olivat vuonna 003: 5, 3, 16, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4, 6, 1, 15,

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

This is an electronic reprint of the original article. This reprint may differ from the original in pagination and typographic detail.

This is an electronic reprint of the original article. This reprint may differ from the original in pagination and typographic detail. This is an electronic reprint of the original article. This reprint may differ from the original in pagination and typographic detail. Author(s): Karvanen, Juha; Luoto, Antti Title: Odottelua pysäkillä

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto Todennäköisyyslaskenta /7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, n laskeminen, käsite Hakemisto Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennassa tarkastelun kohteena ovat satunnaisilmiöt.esimerkkejä

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! MAA6 Kurssikoe 1.11.14 Jussi Tyni ja Juha Käkilehto Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-OSIO: Laske kaikki

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat:

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat: MAA6 Loppukoe 26..203 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! Lue ohjeet huolella! A-Osio. Ei saa

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

SATTUMAA SATUMAASSA. Todennäköisyyslaskentaa nopanheitosta mittateoriaan

SATTUMAA SATUMAASSA. Todennäköisyyslaskentaa nopanheitosta mittateoriaan SATTUMAA SATUMAASSA Todennäköisyyslaskentaa nopanheitosta mittateoriaan Noora Karvinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2015 Tiivistelmä: Noora Karvinen,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10 Helsingin ylioisto, Itä-Suomen ylioisto, Jyväskylän ylioisto, Oulun ylioisto, Tamereen ylioisto ja Turun ylioisto Matematiikan valintakokeen 3.6.0 ratkaisut. Oletetaan, että litralla (uhdasta) bensiiniä

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Mallintamisesta. Mallintamisesta

Mallintamisesta. Mallintamisesta Laajasti ymmärtäen jonkin tarkasteltavan ilmiön kuvaamista (esim. matemaattista) kuhunkin tarkoitukseen (ennustaminen, analysointi, visualisointi) parhaiten sopivalla tavalla. Ilmiön pukemista helposti

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 ja mittaaminen >> Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen

Lisätiedot

Tilastomatematiikka TUDI

Tilastomatematiikka TUDI Miika Tolonen http://www.mafy.lut.fi/tilmattudi Laboratory of Applied Mathematics Lappeenranta University of Technology 10. syyskuuta 2014 Sisältö I Johdanto 1 Johdanto 2 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä

Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Harjoitukset: 2 Muuttujan normaaliuden testaaminen, merkitsevyys tasot ja yhden otoksen testit FT Joni Vainikka, Yliopisto-opettaja, GO218, joni.vainikka@oulu.fi

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Aleks

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat

Lisätiedot

SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA

SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA Matti Estola 8. joulukuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Ratkaistaan sukupuolten välinen taistelu sekastrategioiden avulla 5 Teksti on suomennettu kirjasta: Gibbons: A Primer

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen. Stefan Emet

Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen. Stefan Emet Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen Stefan Emet Matematiikan ja tilastotieteen lts Turun yliopisto 24 Sisältö Johdanto. Todennäköisyys..................................2 Peruskäsitteitä.................................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C. Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1.2 Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit 2

1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1.2 Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit 2 Sisältö 1 JOHDANTO 1 1.1 Tilastomenetelmät luotettavan tutkimuksen perustana 1 1.1.1 Otos vs. näyte 1 1.1. Tilastollinen päättely ja tieteellisyyden kriteerit TEOREETTINEN JAKAUMA 3.1 Satunnaismuuttuja

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 5. Väliestimointi. 5.1. Johdanto. 5.2. Luottamusvälien konstruointi. 5.3. Luottamusvälien vertailu

Tilastollinen päättely. 5. Väliestimointi. 5.1. Johdanto. 5.2. Luottamusvälien konstruointi. 5.3. Luottamusvälien vertailu ilastollinen päättely 5.. Johdanto Estimointi, Joukkoestimointi, Kriittinen alue, uottamusjoukko, uottamustaso, uottamusväli, Otos, Parametri, Peittotodennäköisyys, Piste estimointi, Väliestimaatti, Väliestimaattori,

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Väliestimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli

Lisätiedot

F(x) = 1. x x 0 + F(x) = F(x 0) kaikilla x 0 R.

F(x) = 1. x x 0 + F(x) = F(x 0) kaikilla x 0 R. Luku 5 Jatkuvat jakaumat Sellaiset suureet kuten esimerkiksi aika, lämpötila, pituus ja paino ajatellaan tavallisesti jatkuviksi muuttujiksi, ts. muuttujiksi, jotka voivat saada mitä tahansa reaaliarvoja

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot