Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C.
|
|
- Siiri Laine
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Integraalifunktio Integraalifunktion määritelmä Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia Tässä pari esimerkkiä On integroitava funktio / Saadaan ( ) C C Käytettiin sitä, että summan saa integroida termeittäin, vakiotekijän saa ottaa integraalista ulos ja α α+ α+ + C Esimerkiksi viimeisen termin integrointi kävi näin: / + /+ Tarkistuksen saa derivoimalla lopputuloksen: Kun muistaa, että D, niin ( D ) On integroitava funktio { kun, f() kun > Ongelmana on se, että funktion lauseke muuttuu kohdassa Integroimalla y kumpikin osa erikseen, siis { 3 f() 3 + C kun <, + C kun >, saadaan funktio, jonka derivaatta on f() kaikkialla muualla paitsi kohdassa Tämä yksi pistekin saadaan oikein, kun huomataan, että integraalifunktion on oltava jatkuva (ks s ), koska senhän on oltava derivoituva Toispuoliset raja-arvot ( 3 3 ) + C 3 + C 6 + C, lim lim + ( ) + C + C + C
2 laitetaan yhtäsuuriksi, 6 + C + C, josta seuraa C 3 + C Näin ollen vastaus on (kun merkitään C C) { 3 f() 3 + C kun, C kun > Kuviossa on piirrettynä funktioiden kuvaajat y f() ja y F () f() kun valitaan C 0 Oikeanpuoleinen kuvio näyttää, millainen tilanne olisi jos olisi valittu väärin vaikkapa C 0 ja C 0 y y f() y y f() y F () Perusintegraaleja Käsitellään monisteen s 3 4 perusintegraalilistaa tarkemmin Ideahan näissä on se, että nämä saadaan suoraan tutuista derivointisäännöistä Kun α R, α, niin α α + α+ + C Tämä seuraa derivointisäännöstä D β β β, koska sen mukaan D ( α+ α+) α Eo kaavaa ei voi käyttää jos α ; sen sijaan ln + C Oikeastaan tässä on väkisin kirjoitettu yhdeksi kaksi eri kaavaa, tarkemmin sanoen kaavat ln + C kun > 0, ln( ) + C kun < 0 Nimittäin integraalifunktion määritelmähän koski yhtenäisellä välillä määriteltyjä funktioita f(); katso määritelmää, joka alkaa Olkoon f() funktio I R, missä I on jokin reaalilukuväli Nyt ei ole määritelty kohdassa 0, ja siksi välejä (0, ) ja (, 0) pitää tarkastella erikseen: y y
3 Kun > 0, niin D ln Seuraa että ln + C välillä (0, ) Kun < 0, niin D ln( ) ( ) Seuraa että ln( ) + C välillä (, 0) 3 Kun α R, α, niin f() α f () α + f()α+ + C Ketjusäännöllä nimittäin oikean puolen derivaatta on f() α f () Esimerkkejä: ( )( ) 3 ( ) }{{} ( ) 3 }{{} 8 ( ) 4 +C, f () f() ja ln }{{} f () ( ln ) 3 ln3 + C }{{} f() 4 Edellinen kaava ei käy kun α, vaan f () ln f() + C f() Oikeastaan tässä pitäisi tarkastella erikseen sellaisia yhtenäisiä välejä, joissa f() > 0 tai f() < 0 koko välillä : ln + C 5 Kaavoista De e ja Da ln a a (a > 0) seuraa heti e e + C, a ln a a + C 6 Kaavoista D sin cos ja D cos sin seuraa sin cos + C, cos sin + C 7 Tangentin derivointikaavasta D tan cos + tan seuraa cos ( + tan ) tan + C 8 Koska D cot sin cot, niin sin ( + cot ) cot + C 3
4 9 Arkussinin derivaatasta D arcsin saadaan arcsin + C Huomaa tästä kaavasta (samoin kuin kaavoista 0, ja 3), että algebrallisen funktion integraalifunktio saattaa olla transsendenttinen 0 Arkustangentin derivaatta on D arctan ; siis + arctan + C + Hyperbolisten funktioiden derivaatat D sinh cosh ja D cosh sinh antavat sinh cosh + C, cosh sinh + C Nämä voidaan johtaa myös lausekkeista sinh (e e ) ja cosh (e + e ); esimerkiksi sinh (e e ) (e + e ) + C cosh + C Yleensäkin kun integraalissa esiintyy hyperbolisia funktioita, niin aina on mahdollista lausua ne eksponenttifunktioiden avulla, jonka jälkeen tilanteesta riippuen saattaa joutua tekemään sopivan sijoituksen, esimerkiksi e t; sijoitusmenetelmästä puhutaan myöhemmin Suoraan derivoimalla voi tarkastaa, että D ln ( + + ) +, joten + ln( + + ) + C Itse asiassa tämä on kaavan 9 vastine hyperbolisille funktioille, koska ln ( + + ) arsinh, ns areahyperbelisini, hyperbelisinin käänteisfunktio (katso kaavakokoelman kaavoja (0)) 3 Samalla tavalla saadaan monisteen kaava 3, jossa esiintyy funktio arcosh ln ( + ) Oikeastaan monisteen kaavassa on taas kaksi kaavaa kirjoitettu yhteen; tarkasti tämä kuuluisi { ( ln + ) + C kun >, ln ( ) + C kun < Integroitava funktio ei useinkaan ole valmiiksi muodossa, johon jokin perusintegraalisäännöistä soveltuisi suoraan Siksi sitä on ensin muokattava sopivasti, ja tässä tarvitaan yleensä hyviä hoksottimia ja kokemusta 4
5 + + ( + ) + ( ) + ln + + C Huomattiin, että integroitava on rationaalifunktio, jonka osoittaja ei vielä ole alempaa astetta kuin nimittäjä Tällaisessa tapauksessa rutiinimenettely on suorittaa jakolasku ja katsoa sitten tilannetta uudestaan + + ( ( + + ) ) ln( + ) + arctan + C Tässä tarvittiin sen huomaamista, että kun integroitava jaetaan summaksi, niin kumpikin osa osataan integroida Johdetaan kaavakokoelman kaavoista (8) ensimmäinen tapauksessa a : ln + + C Tämä onnistuu laskuteknisellä tempulla, ns osamurtoihin jaolla, jota ei tällä kurssilla käsitellä muuten kuin ehkä esimerkeissä ja demoissa: ( )( + ) ( / + / ) + ln + ln + + C ln + + C Monisteen esimerkissä 8 on joitakin hyviä laskuesimerkkejä Niiden pitäisi olla selviä monisteen tekstistä, mutta tutkitaan kohtia e), f) ja g) tarkemmin 5
6 8 e) On laskettava integraali 4 + Kaavakokoelmassa on jopa tälle valmis kaava (8) Ajatellaan nyt kuitenkin, ettei meillä ole kaavakokoelmaa käytettävissä, mutta sen sijaan muistamme perusintegraalin arctan + C + (Ajatus on sikäli realistinen, että tämän yksinkertaisemman kaavan toki muistaakin, tai muistaa ekvivalentin asian D arctan ) Ideana on + muokata kysyttyä integraalia niin, että perusintegraalikaava soveltuu: 4 + 4( + 4 ) 4 + ( ) Tämä onkin jo melkein sopivaa muotoa, paitsi että :n paikalla on Jos olisimme jo käsitelleet sijoitusmenetelmän, voisimme nyt tehdä sijoituksen t Koska meillä ei sitä menetelmää vielä ole, joudumme käyttämään hoksaamista: 4 + ( ) + ( ) arctan + C Viimeistä vaihetta kannattaa ajatella päinvastaiseen suuntaan: Kun oikea puoli derivoidaan, niin sisäfunktion derivaatasta tulee tekijä 8 f) On laskettava integraali 9 Tähän olisi kaavakokoelmassa sopiva kaava (30), mutta ajatellaan taas, että muistamme vain arkussinin derivaatasta saatavan perusintegraalin arcsin + C Lasketaanpa saman tien hiukan yleisempi integraali a 6
7 missä oletamme että a > 0 Samoilla ideoilla kuin äsken saadaan a a ( ) a a ( a ) a ( a ) arcsin a + C Jos viimeinen vaihe tuntuu epävarmalta, niin derivoimalla saa varmistuksen 8 g) Lasketaan integraali sin Kun integraalissa esiintyy sin tai cos, niin hankalasta toisesta potenssista pääsee eroon siirtymällä kaksinkertaiseen kulmaan Nimittäin, koska cos α sin α, (kaavakokoelman kaava (7)), niin sin ( cos ) Siis sin ( cos ) ( ) sin + C Osittaisintegrointimenetelmä sin + C 4 Jokaisesta derivointisäännöstä seuraa yleensä helposti jokin integrointisääntö Esimerkiksi summan derivointisäännöstä (f + g) f + g seuraa integrointisäntö (f + g) f + g Tulon derivointisäännöstä (fg) f g + fg saadaan seuraava osittaisintegrointimenetelmä Olkoot u u() ja v v() funktioita Koska D(uv) u v + uv, niin uv (u v + uv ) u v + uv, josta uv uv u v 7
8 Tämän avulla voi yrittää yksinkertaistaa kulloistakin integroitavaa: Jos laskettavana on integraali f, niin pyritään kirjoittamaan f uv sillä tavalla, että integraali u v on helpompi kuin alkuperäinen Tässä kannattaa panna merkille, että vanhasta integroitavasta (siis uv ) siirrytään uuteen integroitavaan niin, että toinen tekijä (siis u) derivoidaan ja toinen (siis v ) integroidaan 9 a) On laskettava integraali e Tämä on aivan tyyppiesimerkki integraaleista, joihin osittaisintegrointi sopii Nimittäin yksinkertaistuu derivoitaessa, ja e ei mutkistu integroitaessa Siis kun valitaan u ja v e, niin koko integroitava yksinkertaistuu: e }{{}}{{} u osint e e v e e e + C u v e + u v e Sijoitusmenetelmä Aloitetaan esimerkillä, joka näyttää, miten menetelmä toimii Esimerkin jälkeen näytetään, miksi se toimii Laske integraali sin Integraali sin olisi helppo Tulee ehkä mieleen, että olisipa mukava pitää neliöjuurta muuttujana Aivan suoraan se ei käy, mutta integraaliin voidaan tehdä sijoitus t, missä t on uusi muuttuja Sijoituksessa integraali muuttuu muotoon sin t t dt Miksi näin? No, sijoituksessa integraaliin pitää tehdä muutos kahteen kohtaan: () funktiossa sijoitetaan :n paikalle t, ja () myös pitää muuttaa vastaavasti Jälkimmäinen tapahtuu seuraavalla säännöllä: g(t) g (t)dt; 8
9 siis nyt t t dt Sijoituksessa syntyvä integraali osataan laskea osittaisintegroinnilla: sin t t dt t sin t dt u t v sin t + ( ) osint t( cos t) ( cos t) dt u v cos t ( t cos t + ) cos t dt ( t cos t + sin t ) + C t cos t + sin t + C Tämä ei vielä ole vastaus, vaan lopuksi on palattava muuttujaan sijoittamalla t ; siis saadaan sin cos + sin + C Tällaisen laskun jälkeen on syytä tehdä tarkistus, siis laskea että D ( cos + sin ) sin Lasku on suoraviivainen, ja sitä helpottaa, kun muistaa, että D Sijoitusmenetelmän perustelu Sijoitusmenetelmä seuraa derivoinnin ketjusäännöstä Olkoon f() integroitava funktio; siis kysytään integraalia f() Merkitään F ():llä f():n (jotakin) integraalifunktiota Silloin F () f(), ja etsimämme vastaus on f() F () + C Kun g(t), niin F (g(t)) on g:n funktio, ja ketjusäännön mukaan sen derivaatta on mikä merkitsee, että d dt F (g(t)) F (g(t))g (t), F (g(t)) f(g(t))g (t) dt Koska tässä g(t), niin F () f(g(t))g (t) dt, eli f() f(g(t))g (t) dt, joka todistaa menetelmän oikeaksi Huomaa, että vasen puoli on :n funktio ja oikea puoli on t:n funktio, ja muuttujia sitoo ehto g(t) 9
10 Lasketaan Hankkiudutaan neliöjuuresta eroon sijoituksella t eli t (voidaan olettaa että t 0): sij ( t ) t ( t) dt (t t 4 ) dt ( 3 t3 5 t5 ) + C 3 t3 + 5 t5 + C Tarkistus kannattaa taas tehdä sij 3 ( )3/ + 5 ( )5/ + C 3 ( ) + 5 ( ) + C t t dt Toisinaan useampikin sijoitus johtaa tulokseen Lasketaan äskeinen integraali eri sijoituksella: sij ( t) t ( ) dt ( t / + t 3/) dt 3 t3/ + 5 t5/ + C sij 3 ( )3/ + 5 ( )5/ + C 3 ( ) + 5 ( ) + C t t dt Lasketaan integraali sin 3 muokkaamalla integroitavaa hiukan ja tekemällä sitten sijoitus cos t Huomaa, että sijoituksessa tehdään nyt toisin päin kuin monisteessa selitetään Siellähän puhutaan koko ajan sijoituksista vain muodossa g(t); siis vanha muuttuja on lausuttu uuden muttujan t avulla Kuitenkin aivan yhtä hyvin voi olla toisinkin päin, ts uusi muuttuja t on lausuttu vanhan muuttujan avulla, t h() Silloin käytetään seuraavaa: t h() dt h () 0
11 Sijoittaessa pitää sitten huolehtia siitä, ettei uuteen integraaliin enää jää vanhaa muuttujaa Erotetaan ensin tekijäksi yksi sini, jolloin toisessa tekijässä on sinin parillinen potenssi ja se voidaan lausua kosinin avulla: sin 3 sin sin sin ( cos ) Nyt tehdään sijoitus cos t: sin ( cos ) sij ( t ) dt t + 3 t3 + C sij cos + 3 cos3 + C Kaiken kaikkiaan siis sin 3 cos + 3 cos3 + C cos t sin dt Samalla idealla voi laskea mm integraalit, jotka ovat muotoa sin m cos n, missä eksponenteista toinen on parillinen ja toinen pariton Myös monisteen esimerkissä 5 voi nähdä saman idean Kaavakokoelman sijoitussuositukset Kaavakokoelman kaavoissa (5) (7) on suosituksia siitä, mitä sijoituksia kannattaa yrittää minkäkin muotoisiin integraaleihin (ks huomautus ) Mitään takeita ei kylläkään koskaan ole siitä, että jokin tietty suositus toimisi Seuraavassa suosituksia selitetään tarkemmin (5) Kaavan (5) merkinnässä Q (, + a ) Q(, y) on jokin kahden muuttujan funktio, ja merkintä tarkoittaa, että integroitava on jokin suureiden ja + a lauseke, siis koostuu jollakin tavalla tällaisista osista Esimerkiksi integraali voisi olla + a ( ), + a + 3, + a + + a 3, tai jotain muuta sellaista Suositeltuja sijoituksia (paitsi at) ovat a tan t, a sinh t
12 Ideana kummassakin on, että hankala neliöjuuri häviää: a tan t + a a tan t + a (ol cos t > 0), cos t a sinh t + a a sinh t + a cosh t (5) Merkintä ( a + b Q, n c + d ) tarkoittaa, että integroitava funktio on suureiden ja n a+b c+d lauseke Suositellaan sijoitusta a + b t n c + d eli a + b c + d tn Tällä kurssilla riittänee erikoistapaus, missä n ja juuren alla on vain polynomi a + b, ts integraali on muotoa Q (, a + b ) (a, b 0) Siis suositeltava sijoitus on t a + b eli a + b t Juuri tätä suositusta käytimme edellä, kun laskimme integraalin sijoituksella t Monisteen esimerkki on toinen tällainen tapaus (6) Jos integraali on muotoa Q (, a ) (a 0) niin kaavakokoelmassa suositellaan (paitsi at, a/t ) sijoitusta a cosh t Ideana on taas hävittää neliöjuuri: a cosh t a a cosh t a sinh t (ol t 0)
13 (6) Jos integraali on muotoa Q (, a ) (a 0) niin suositellaan (paitsi at) sijoitusta a sin t Jälleen kerran tarkoitus on päästä eroon neliöjuuresta: a sin t a a sin t a cos t (ol cos t 0) (7) Jos integraali on muotoa voi kokeilla sijoituksia Q(tan ), tan t, tan t Edellisessä sijoituksessa dt ja jälkimmäisessä dt, joten tangentti häviää lausekkeesta Esimerkiksi edellisessä arctan +t +t t, josta dt +t (7) Jos integraali on muotoa suositellaan sijoitusta Q(sin, cos ), t tan Tällöin sijoituksessa tarvitaan kaavakokoelman kaavoja (9): Funktioon Q sijoitetaan sin t t, cos + t + t, ja kun integroinnin lopuksi suoritetaan käänteinen muunnos takaisin muuttujaan, niin t:n paikalle voi sijoittaa jommankumman muodoista t tan sin + cos α cos sin Varsinaisessa sijoitusvaiheessa pitää tietenkin muistaa muuntaa myös Koska arctan t, niin dt + t 3
14 3 Johdetaan kaavakokoelman kaava (3) tapauksessa a Siis lasketaan integraali Integroitavassa on neliöjuuri Suositus on siis sin t Koska täytyy olla 0, niin [, ] Kaikki nämä :n arvot saadaan kun t käy välin [ π, π ] Voidaan siis olettaa että t [ π, π ] Silloin cos t 0; tätä tarvitaan kohta Lasketaan: sij sin t cos t dt sin t cos cos t dt t cos t dt cos t cos t dt ( ) cos t dt (33) t + 4 sin t + C (8) t + sin t cos t + C ( ) t + sin t sin t + C sij arcsin + + C Kohdissa ( ) käytettiin sitä, että cos t 0 Viimeisessä vaiheessa tarvittiin myös oletus t [ π, π ], jotta siitä että sin t seuraa t arcsin Perustelimme heti aluksi, että oletus t [ π, π ] on luvallista tehdä Toisinkin olisi voinut menetellä: Oletuksen luvallisuuden olisi voinut jättää perustelematta ja yksinkertaisesti laskun aikana vain tarvittavissa kohdin käyttää sitä oletusta Kun sitten laskun lopuksi olisi vielä derivoimalla tarkistanut, että tulos on oikein ilman sellaisia oletuksiakin, asia olisi ollut kunnossa (Tällaisen laskun lopuksihan tarkistus derivoimalla kannattaa joka tapauksessa tehdä) Kaavakokoelman kaavoista (34) oikeanpuolimmaisen voi johtaa näin: sij + t sin t + t dt t tan arctan t t dt dt +t ln t + C sij ln tan + C 4
15 Sama integraali laskettiin itse asiassa monisteen esimerkissä 5 toisella tavalla, sijoituksella cos t: sin sin sin sin cos ln cos + cos + C (katso lasku monisteesta) Kaavakokoelman kaavojen (7) avulla nähdään, että tulos on sama kuin yllä saatu Johdetaanpa huvin vuoksi vastaava kaava hyperboliselle sinille, kaavassa (35): tanh sinh ln + C Meillä ei ole nyt hyperbolisille funktioille käytettävissä samanlaisia kaavoja kuin (9), mutta lausumme hyperbelisinin eksponenttifunktion e avulla ja sitten teemme sijoituksen e t: sinh e e sij dt t t t t dt t dt (8) ln + t t + C ln t t + + C sij ln e e + + C e t ln t dt t Tämä olisi jo hyvä lauseke integraalille, mutta kehitetään sitä vielä supistamalla ensin e / :lla: ln e e + + C ln e / e / e / + e / + C (e / e / )/ ln (e / + e / )/ + C ln sinh cosh + C ln tanh + C 5
Integroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
4 Integrointimenetelmiä
4 Integrointimenetelmiä 4. Määräämätön integraali Määritelmä 4.. Olkoon funktio f jatkuva välillä I. Tällöin funktion f integraalifunktioiden (välillä I) joukkoa sanotaan funktion f määräämättömäksi integraaliksi
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali
Viikon aiheet Integroimisen työkalut: Rationaalifunktioiden jako osamurtoihin Rekursio integraaleissa CDH: Luku 4, Prujut206: Luvut 4-4.2.5, Prujut2008: s. 89-6 Kun integraali h(x) ei näytä alkeisfunktioiden
l 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
6 Eksponentti- ja logaritmifunktio
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 019 6 Eksponentti- ja logaritmifunktio 6.1 Eksponenttifunktio 1. Määritä (a) e 3 e + 5, (b) e, (c) + 3e e cos.. Tutki, onko funktiolla f() = 1 e tan + 1 ( π + nπ, n
3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali
50 3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali Integraalifunktio Derivoinnin käänteistoimituksena on vastata kysymykseen "Mikä on se funktio, jonka derivaatta on f?" Koska vakion derivaatta 0, havaitaan
5. OSITTAISINTEGROINTI
5 OSITTAISINTEGROINTI Kahden funktion f ja g tulo derivoidaan kuten muistetaan seuraavasti: D (fg) f g + f Kun tämä yhtälö integroidaan puolittain, niin saadaan fg f ()g()d + f ()()d Yhtälö saattaa erota
Yleisiä integroimissääntöjä
INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Funktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Osittaisintegrointi Sijoitusmenettely
Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Osittaisintegrointi Sijoitusmenettely Motivointi Viime luennolla käsittelimme integroinnin perussääntöjä: Vakiolla kerrotun funktion integrointi: af x dx = a f x
Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Todista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta. VASTAUS: ...
4 Alkeisfunktiot 41 Potenssifunktio 42 Polynomit ja rationaalifunktiot 102 Todista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta 103 Olkoon p()
sin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 0, ratkaisuista. Todenna, että = + tan x. Mutta selvitäppä millä reaaliarvoilla se oikeasti pitää paikkansa! Ratkaisu. Yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
Äärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI
MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Funktion raja-arvo Monisteen määritelmässä 32 s 55 määritellään funktion f) raja-arvo f) ja sitä selitetään huomautuksen 33 kohdassa a) Seuraavassa on a hiukan tarkempi
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Derivaatan sovelluksia
Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä
Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:
Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
a b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,
MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA
MAA MAA HARJOITUSTEN RATKAISUJA. f(), jolloin kaikki integraalifunktiot saadaan parvesta F() C, ja kun F(), niin integroimisvakion määräämiseksi saadaan yhtälö C C 9 9 C. Kysytty integraalifunktio on siten
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Ratkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p)
Matematiikan TESTI 3, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/07 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
Matemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 11. Kurssikerta Petrus Mikkola 29.11.2016 Tämän kerran asiat Eksponenttifunktio Eksponenttifunktion määritelmä Eksponenttifunktion ominaisuuksia Luonnolinen logaritmi
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!
Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT
Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja
1. Osoita juuren määritelmän ja potenssin (eksponenttina kokonaisluku) laskusääntöjen. xm = ( n x) m ;
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Ohjaus 11 7.1.009 alkavalle viikolle Ratkaisut (AK) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan tärkeiden transkendenttifunktioiden
sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot
Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti
integraali Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Aiheet Linkkejä Integraalifunktio Kaavoja Integroimiskeinoja Määrätty integraali
integraali 1 Matta-projekti(Aalto yliopisto): Integraali (http://matta.hut.fi/matta2/isom/html/isomli8.html ) Johdatus korkeakoulumatematiikkaan (Tampereen teknillinen korkeakoulu): Integraali (http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/integraa/integ01.htm
Matemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
a k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Funktion derivaatta. Derivaatan määritelmä. Johdanto derivaatan määritelmään
Funktion derivaatta Derivaatan määritelmä Johdanto derivaatan määritelmään Kstään, mikä on kärän sin origoon piirretn tangentin htälö Möhemmin, kun olemme käsitelleet derivaatat, saisimme tämän helpommin,
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
Diskreetti derivaatta
Diskreetti derivaatta LuK-tutkielma Saara Sadinmaa 43571 Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma Oulun yliopisto Syksy 017 Sisältö Johdanto 1 Peruskäsitteitä 3 Ominaisuuksia 4 3 Esimerkkejä 8 4 Potenssifunktioita
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
Sini- ja kosinifunktio
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään
8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9
Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta
x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Mapusta. Viikon aiheet
Infoa Mapusta Tiistaina: Ongelmanratkaisu ryhmässä luento klo 8-10 D101. Tähän liittyviä tehtäviä tehään myöhemmin perusopintojen laboratoriotöihin integroituna. Mikäli luento menee ex-temporen päälle,
jakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä
Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä (5.9.008 versio 1.0) Esimerkki 1 Määritä funktion f(x) = (x 5) derivaattafunktio. Funktio voidaan tulkita yhdistettynä funktiona, jonka ulko- ja sisäfunktiot ovat