6. Menetysjärjestelmät

Transkriptio

1 S Lkeeeora perusee K Meeysjärjeselmä lec6.pp 6. Meeysjärjeselmä Ssälö Kerausa: ykskerae lkeeeoreee mall Posso-mall asakkaa, palveljoa Erlag-mall asakkaa, palveljoa < Bommall asakkaa k <, palveljoa k Egse-mall asakkaa k <, palveljoa < k 2

2 6. Meeysjärjeselmä Ykskerae lkeeeoreee mall Ykskerasessa mallssa lkee muodosuu järjeselmää saapuvsa asakkasa; merkää saapumsesee keskmääräe saapumsopeus asakasa per akaykskkö järjeselmä kuvaaa joukkoa kpl rakkasa palveljoa sekä joukkoa m kpl yhesä odouspakkoja; merkää lsäks palveluesee yhde palvelja keskmääräe palveluopeus asakasa per akaykskkö Huom. Nssä mallessa, jossa järjeselmää käyäve asakkade lkm o äärelle, saapumsesee x o syseem lasa x rppuva m 3 6. Meeysjärjeselmä Puhdas meeysjärjeselmä Puhaassa meeysjärjeselmässä e ole ollekaa odouspakkoja, m ykskää asakas e ss joudu/pääse odoamaa palvelja vapauumsa jos asakkaa saapuessa kakk palvelja ova käyössä el järjeselmä o s. esolassa use puhuaa myös äydesä järjeselmäsä, kysee asakas posuu koko järjeselmäsä pääsemää palveluu ollekaa ko. asakas ss meeeää käyäjä kokema palvelu laadu kaala kosava suure o odeäkösyys, eä järjeselmä o äys asakkaa saapuessa ää saoaa kusuesoks järjeselmä kaala aas kosava suurea ova esm. palveljode käyöase ja käyössä oleve palveljode lkm: jakauma 4 2

3 6. Meeysjärjeselmä Ääreö järjeselmä Ääreö järjeselmä o esoo, sllä sä o ääreö määrä palveljoa, e myöskää arva odouspakkoja, sllä kaklle ulevlle asakkalle rää oma palvelja ykskää asakas e ss joudu odoamaa palvelja vapauumsa ällä vodaa mallaa sellasa hypoeesa järjeselmää, mssä järjeselmä kapasee e rajoa asakkade saamaa palvelua järjeselmä kaala kosava suurea ova ässäk apauksessa esm. palveljode käyöase ja käyössä oleve palveljode lkm: jakauma 5 6. Meeysjärjeselmä Esoa kuvaava suuree Meeysjärjeselmssä vodaa määrellä usea er esosuurea: Akaeso B arkoaa sä osuua ajasa, joka järjeselmä veää esolassa s. lassa, mssä kakk palvelja ova varauja Kusueso B c aas arkoaa sä osuua saapuvsa kususa, joka meeeää s. odeäkösyyä, eä saapuva kusu meeeää Lkee-eso puolesaa arkoaa meeey lkeee osuua arjousa lkeeesä Nämä suuree evä välämää ole samoja Sovelluuse kaala ollaa yleesä kosuea kusuesosa,joka kuvaa käyäje kokemaa palvelu laaua Akaeso aas o use helpomm laskeavssa oleva suure 6 3

4 6. Meeysjärjeselmä Lkeevrra Meeysjärjeselme lkee vodaa jakaa seuraavks vrroks: arjou lkee a o a o /, mssä keskmääräe saapumsesee meeey lkee a l a l a o B c, mssä B c kusueso kuljeeu lkee a c a c a o - B c arjou kuljeeu meeey 7 6. Meeysjärjeselmä Ssälö Kerausa: ykskerae lkeeeoreee mall Posso-mall asakkaa, palveljoa Erlag-mall asakkaa, palveljoa < Bommall asakkaa k <, palveljoa k Egse-mall asakkaa k <, palveljoa < k 8 4

5 6. Meeysjärjeselmä Posso-mall Tark. ykskerasa lkeeeoreesa malla Oleeaa, eä asakkaa saapuva Posso-prosess mukases eseellä > > saapumse välaja ova rppumaoma ja samo jakauuea oudaae Exp-jakaumaa palveluaja ova rppumaoma ja samo jakauuea oudaae Exp-jakaumaa, > rakkase palveljode lkm o ääreö Kyseessä o s. M/M/ -joomall Kusuaa myös Posso-mallks Merk. lkeeeseeä kue eek: a / Huom. Kysee järjeselmä o esoo 9 6. Meeysjärjeselmä Tlakaavo Tark. järjeselmässä oleve asakkade lukumäärää X aja fukoa Merk. X Lyhyellä akavälllä,h] vo apahua seuraavaa: :llä h oh syseem saapuu uus asakas aheuae lasrymä -> jos >, :llä h oh loppuu kuk yksäse syseemssä oleva asakkaa palvelu > :llä h oh loppuu joku syseemssä oleva asakkaa palvelu aheuae lasrymä -> - Prosess X o selväsk Markov-prosess lakaavolla Prosess X o pelksymäö sk-prosess la-avaruudella S {,,2, } 5

6 6. Meeysjärjeselmä Tasapaojakauma Lähdeää lkkeelle lokaalesa asapaoehdosa LTE: a a! Sovelleaa se ormeerausehoa N: a! a e a e! a 6. Meeysjärjeselmä Tasapaojakauma 2 Tasapaolaeessa syseemssä oleve lukumäärä X ss oudaaa Possoa-jakaumaa: a a { X } e P, 2,,,! E[ X] a 2 D [ X] a DX [ ] ¹a Huom. Ise asassa ulos päee ylesemmk: ekspoeaalse palveluaja sjasa vodaa vala melvalae palveluaja jakauma odousarvoaa / ää kusuaa sesvsyydeks palveluaja jakaumalle. 2 6

7 6. Meeysjärjeselmä Tarjou ja kuljeeu lkee Tarjou lkee a o o määrelmä mukaa a o a E[ X] Koska ko. järjeselmä o esoo, kuljeeu lkee a c o sama ku arjou lkee a o : a c a o Meeysjärjeselmä Ssälö Kerausa: ykskerae lkeeeoreee mall Posso-mall asakkaa, palveljoa Erlag-mall asakkaa, palveljoa < Bommall asakkaa k <, palveljoa k Egse-mall asakkaa k <, palveljoa < k 4 7

8 6. Meeysjärjeselmä Erlag-mall Tark. ykskerasa lkeeeoreesa malla Oleeaa, eä asakkaa saapuva Posso-prosess mukases eseellä > > saapumse välaja ova rppumaoma ja samo jakauuea oudaae Exp-jakaumaa palveluaja ova rppumaoma ja samo jakauuea oudaae Exp-jakaumaa, > rakkase palveljode lkm < e odouspakkoja Kyseessä o s. M/M// -joomall Kusuaa myös Erlag-mallks Merk. lkeeeseeä kue eek: a / 5 6. Meeysjärjeselmä Tlakaavo Tark. järjeselmässä oleve asakkade lukumäärää X aja fukoa Merk. X Lyhyellä akavälllä,h] vo apahua seuraavaa: jos <, :llä h oh syseem saapuu uus asakas -> jos >, :llä h oh loppuu kuk yksäse syseemssä oleva asakkaa palvelu > :llä h oh loppuu joku syseemssä oleva asakkaa palvelu -> - Prosess X o selväsk Markov-prosess lakaavolla Prosess X o pelksymäö sk-prosess la-avaruudella S {,,2,,} Koska S o äärelle, prosess o välämää pos. palauuva s. sllä o asapaojakauma 6 8

9 6. Meeysjärjeselmä Tasapaojakauma Lähdeää lkkeelle lokaalesa asapaoehdosa LTE: a a! Sovelleaa se ormeerausehoa N: a! a! 7 6. Meeysjärjeselmä Tasapaojakauma 2 Tasapaolaeessa syseemssä oleve lukumäärä X ss oudaaa s. kakasua Posso-jakaumaa: a! a a a! 2!! P{ X }, 2,,,, 2 Huom. Myös ässä apauksessa asapaojakauma o sesv palveluaja jakaumalle, s. ekspoeaalse palveluaja sjasa vodaa vala melvalae palveluaja jakauma odousarvoaa / 8 9

10 6. Meeysjärjeselmä Akaeso Akaeso B arkoaa sä osuua ajasa, joka järjeselmä veää esolassa s. lassa, mssä kakk palvelja ova varauja Saoäärse prosess apauksessa ämä vasaa :ä, eä syseem o melvalasella ajahekellä lassa. Akaesoks Erlag-mallssa ulee ä a B P{ X }! 2 a a a! 2!! 9 6. Meeysjärjeselmä Kusueso Kusueso B c aas arkoaa sä osuua saapuvsa kususa, joka meeeää s. odeäkösyyä, eä saapuva kusu meeeää Posso-prosess PASTA-omasuude mukaa saapuva asakas äkee syseem asapaossa. Täsä pääelemme, eä kusueso o Erlag-mallssa äsmällee sama ku akaesok: B c B. Nä olle Bc a B! 2 a a a! 2!! Tämä o s. Erlag esokaava 2

11 6. Meeysjärjeselmä Tarjou ja kuljeeu lkee Tarjou lkee a o o määrelmä mukaa a o a Kuljeeu lkee a c aas saadaa kaavasa a c a o - B c. Tosaala, Lle kaava mukaa a c E[X] Meeysjärjeselmä Ssälö Kerausa: ykskerae lkeeeoreee mall Posso-mall asakkaa, palveljoa Erlag-mall asakkaa, palveljoa < Bommall asakkaa k <, palveljoa k Egse-mall asakkaa k <, palveljoa < k 22

12 6. Meeysjärjeselmä Bommall Tark. ykskerasa lkeeeoreesa malla Oleeaa, eä järjeselmää käyäve asakkade lkm k o äärelle asakkaa desä ja omva ossaa rppumaomas ollessaa syseem ulkopuolella joulaaa asakas pyrk palveluu rppumaomas ja ekspoealses jakauue välajo eseellä ν >, kues pääsee palvelavaks pääsyää palveluu asakasa palvellaa aka, joka o rppumaomas ja ekspoeaalses jakauuu eseellä > asakas o ss vuoro perää joulaaa ja palvelavaa sauase aja ällasa käyäjää kusuaa o-off-yyppseks rakkase palveljode lkm k Kyseessä o s. M/M/k/k/k -joomall Kusuaa myös bommallks Huom. Kysee järjeselmä o esoo vakke palveljoa ole ääreömäs, ä o aa räväs Meeysjärjeselmä Tlakaavo yksäe asakas Tark. :e asakkaa laa X aja fukoa mlle ahasa,2,,k X keroo, oko asakas palvelavaa X va e X Lyhyellä akavälllä,h] vo apahua seuraavaa: jos asakas o vapaaa, :llä νh oh hä sryy palvelavaks ja :llä - νh oh e apahdu mää jos asakas o palvelavaa, :llä h oh häe palvelusa pääyy ja :llä - h oh e apahdu mää Prosess X o selväsk Markov-prosess lakaavolla ν Prosess X o pelksymäö sk-prosess la-avaruudella S {,} Koska S o äärelle, prosess o välämää pos. palauuva s. sllä o asapaojakauma 24 2

13 6. Meeysjärjeselmä Tasapaojakauma yksäe asakas Lähdeää lkkeelle lokaalsa asapaoehdosa LTE: ν ν Sovelleaa se ormeerausehoa N: ν ν ν, ν Tasapaolaeessa yksäse asakkaa la o ss Beroull-jakauuu osumsodeäkösyydellä ν/ν Täsä voas suoraa pääellä, eä koko syseem la so. syseemssä oleve asakkade lkm: asapaojakauma o bom-jakauma paramere ja ν/ν Huom. Tässä apauksessa asapaojakauma o sesv pas palveluaja jakaumalle myös jouoaja jakaumalle! Meeysjärjeselmä Tlakaavo koko syseem Tark. järjeselmässä oleve asakkade lukumäärää X aja fukoa Merk. X Lyhyellä akavälllä,h] vo apahua seuraavaa: jos < k, :llä νh oh kuk yks. vapaaa oleva asakas sryy palvelavaks > :llä k - νh oh syseem saapuu uus asakas -> jos >, :llä h oh loppuu kuk yks. sys. oleva asakkaa palvelu > :llä h oh loppuu joku syseemssä oleva asakkaa palvelu -> - Prosess X o selväsk Markov-prosess lakaavolla kν k-ν 2ν ν k- k 2 k- k Prosess X o pelksymäö sk-prosess la-avaruudella S {,,2,,k} Koska S o äärelle, prosess o välämää pos. palauuva s. sllä o asapaojakauma 26 3

14 6. Meeysjärjeselmä Tasapaojakauma Lähdeää lkkeelle lokaalesa asapaoehdosa LTE: k ν k ν ν k ν k!! k! Sovelleaa se ormeerausehoa N: k k ν ν ν ν k k k k Meeysjärjeselmä Tasapaojakauma 2 Tasapaolaeessa syseemssä oleve lukumäärä X ss oudaaa Bk, ν/ν -jakaumaa: k k P{ X } k ν ν ν, 2,,,, E[ X] ν k ν 2 D [ X] ν k ν ν Huom. Myös koko syseem la asapaojakauma o sesv pas palveluaja jakaumalle myös jouoaja jakaumalle! 28 4

15 6. Meeysjärjeselmä Tarjou ja kuljeeu lkee Keskmääräe saapumsesee saadaa paoamalla larppuva saapumseseeejä k - ν asapao:llä : k ν ν k ν k E[ X] ν k ν Tarjou lkee a o o määrelmä mukaa a o k ν k ν ν ν E[ X] Koska ko. järjeselmä o esoo, kuljeeu lkee a c o sama ku arjou lkee a o, s. a c a o Meeysjärjeselmä Ssälö Kerausa: ykskerae lkeeeoreee mall Posso-mall asakkaa, palveljoa Erlag-mall asakkaa, palveljoa < Bommall asakkaa k <, palveljoa k Egse-mall asakkaa k <, palveljoa < k 3 5

16 6. Meeysjärjeselmä Egse-mall Tark. ykskerasa lkeeeoreesa malla Oleeaa, eä järjeselmää käyäve asakkade lkm k o äärelle asakkaa desä ja omva ossaa rppumaomas ollessaa syseem ulkopuolella asakas pyrk palveluu rppumaomas ja ekspoealses jakauue välajo eseellä ν >, kues pääsee palvelavaks pääsyää palveluu asakasa palvellaa aka, joka o rppumaomas ja ekspoeaalses jakauuu eseellä > rakkase palveljode lkm < k e joouspakkoja Kyseessä o s. M/M///k -joomall Kusuaa myös Egse-mallks 3 6. Meeysjärjeselmä Tlakaavo Tark. järjeselmässä oleve asakkade lukumäärää X aja fukoa Merk. X Lyhyellä akavälllä,h] vo apahua seuraavaa: jos <, :llä νh oh kuk yks. vapaaa oleva asakas sryy palvelavaks > :llä k - νh oh syseem saapuu uus asakas -> jos >, :llä h oh loppuu kuk yks. sys. oleva asakkaa palvelu > :llä h oh loppuu joku syseemssä oleva asakkaa palvelu -> - Prosess X o selväsk Markov-prosess lakaavolla kν k-ν k-2ν k-ν Prosess X o pelksymäö sk-prosess la-avaruudella S {,,2,,} Koska S o äärelle, prosess o välämää pos. palauuva s. sllä o asapaojakauma 32 6

17 6. Meeysjärjeselmä Tasapaojakauma Lähdeää lkkeelle lokaalesa asapaoehdosa LTE: k ν k k ν ν Sovelleaa se ormeerausehoa N: k ν k ν Meeysjärjeselmä Tasapaojakauma 2 Tasapaolaeessa syseemssä oleve lukumäärä X oudaaa s. kakasua bomjakaumaa: k k k P { X } ν ν ν ν j k,,,,, j k j k j 2 j j j ν ν ν ν Huom. Tämäk esollse syseem la asapaojakauma o sesv sekä palveluaja jakaumalle eä jouoaja jakaumalle 34 7

18 6. Meeysjärjeselmä Akaeso Edellä ode, eä saoäärse prosess apauksessa akaeso B vasaa :ä, eä syseem o melvalasella ajahekellä s. esolassa, s. lassa, mssä kakk palvelja ova varaua. Nä olle akaesoks Egse-mallssa ulee k ν B P{ X } k k k 2 ν ν ν Meeysjärjeselmä Kusueso Koska Egse-mallssa saapumse evä oudaa Posso-prosessa, myöskää PASTA-omasuua e voda hyödyää laskeaessa kusuesoa, mllä arkoe sä osuua saapuvsa kususa, joka meeeää s. :ä, eä saapuva kusu meeeää Egse mallssa osaa käy, eä saapuva asakkaa äkemä lajakauma pokkeaa edellä johdeusa asapaojakaumasa s. saoaarse prosess lajakaumasa melvalasella ajahekellä Täsä aas seuraa, eä kusu- ja akaeso pokkeava ossaa 36 8

19 6. Meeysjärjeselmä Kusueso 2 Merk. *:llä odeäkösyyä, eä saapuva asakas äkee syseem lassa, s. eä asakkaa saapuessa syseemssä o asakasa palvelavaa Tark. pkää ajajaksoa T. Täsä ajasa syseem veää keskmäär aja T lassa. Tää akaa saapuu keskmäär k - ν T asakasa joka kakk äkevä syseem lassa. Kake kakkaa ajassa T saapuu keskmäär Σ j k - jν j T asakasa. Nä olle * k ν T k j ν T j j j k k j j,,,, Meeysjärjeselmä Kusueso 3 Vodaa osoaa, eä harjousehävä! k ν k ν j j *, 2,,,, j Jos merkää rppuvuus asakkade lkm:sä k äkyv saamme ulokse * k k, 2,,,, Saapuva asakas ss kää ku äkee sellase syseem asapaossa, jossa o yks asakas hä se! vähemmä. 38 9

20 6. Meeysjärjeselmä Kusueso 4 Eryses valsemalla saamme kusuesolle B c k: k ν B c k B k k k k 2 ν ν ν 2 Tämä o s. Egse esokaava B c k * k k B k Egse-mall apauksessa ss kusueso k: asakkaa syseemssä o sama ku akaeso k-: asakkaa syseemssä: Meeysjärjeselmä Tarjou ja kuljeeu lkee Keskmääräe saapumsesee saadaa paoamalla larppuva saapumseseejä k - ν asapao:llä : k ν k E[ X] ν Tarjou lkee a o o määrelmä mukaa ao k ν k ν E[ X] Kuljeeu lkee a c aas saadaa kaavasa a c a o - B c. Tosaala, Lle kaava mukaa a c E[X]. 4 2

21 Meeysjärjeselmä SK-prosess ajasa rppuva rakasu Edellä o uku sk-prosesse asapaojakauma. Mkäl alkujakauma hekellä o aeu, ajasa rppuva käyäyyme saadaa seuraava dffereaalyhälösyseem rakasua Use syseem edeää oleva alkuhekellä eyssä lassa k; ällö, d d d d d d > > k k, ja Meeysjärjeselmä SK-prosess ajasa rppuva rakasu 2 Kakssa edellä arkasellussa prosessessa Posso-, Erlag-,bom- ja Egse-mall rakasu kovergo koh asapaojakaumaa kaklla alkuarvolla el Esm. Kakslaprosess o-off-prosess rase hävää ekspoeaalsa vauha! lm e e