800346A Differentiaaliyhtälöt II. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas

Transkriptio

1 8346A Differentiaaliyhtälöt II Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 6. toukokuuta 9

2 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT II Kesto: 3 op. Luentoja 3 h, harjoituksia 16 h. Opintojaksossa tarkastellaan erikoisfunktioita, ortogonaalikehitelmiä ja integraalimuunnoksia, sekä sovelletaan niitä mallintamisessa käytettävien lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen. Sisältö: Erikoisfunktioista, esimerkkeinä Gammafunktio ja Besselin funktiot. Funktioavaruuksista, funktioiden sisätulo, ortogonaalisuus, ortogonaalipolynomit ja ortogonaalikehitelmät. Sovelluksina funktioiden esittäminen Fourier- sarjoina ja Sturm Liouvillen reunaarvotehtävät. Integraalimuunnoksista, mm. Laplace- ja Fourier-muunnokset. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden, esim. lämpö- ja aaltoyhtälöiden sekä Laplacen yhtälön ratkaiseminen ortogonaalikehitelmien ja integraalimuunnosten avulla. Tarvittavat esitiedot: Lineaarialgebra I & II, Matematiikan perusmetodit I, Analyysi I & II sekä Differentiaaliyhtälöt I. i

3 Sisältö 1 Frobeniuksen menetelmä Perusmääritelmiä Frobeniuksen menetelmä Ratkaisut säännöllisen erikoispisteen tapauksessa Indeksiyhtälön ratkaisut reaaliset ja erisuuret Indeksiyhtälön juuret r 1 ja r ovat yhtäsuuret tai niiden erotus on kokonaisluku Indeksiyhtälön ratkaisut ovat reaaliset ja yhtäsuuret Indeksiyhtälön juurten r 1 ja r erotus on positiivinen kokonaisluku ja palautuskaavan (1.1 oikea puoli ei ole Indeksiyhtälön ratkaisut kompleksisia Lisätieto: Äärettömyyspisteen luonne Erikoisfunktioista 15.1 Gammafunktio Betafunktio Besselin funktioista Besselin differentiaaliyhtälön ratkaisu Besselin funktioiden rekursiokaavat Besselin funktioiden generoiva funktio Besselin differentiaaliyhtälön toinen lineaarisesti riippumaton ratkaisu 6 ii

4 3 Ortogonaalikehitelmät funktioavaruudessa Funktioavaruus Funktioiden sisätulo ja normi Ortogonaalisuus, suppeneminen Ortogonaalikehitelmät Ortogonaalipolynomeista Legendren polynomit Legendren polynomien generoiva funktio Hermiten polynomit Lisätieto: Ensimmäisen lajin Chebyshevin polynomit Fourier n sarjat Määritelmiä Fourier n kosini- ja sinisarjat Fourier n sarja funktioille f : [ L, L] R Funktion f : [, L] R jatkaminen välille [ L, L] Kompleksiarvoisen funktion Fourier n sarja Sturm Liouvillen ominaisarvo-ongelma Sturm Liouvillen differentiaaliyhtälö Singulaarisia Sturm Liouvillen ominaisarvotehtäviä Besselin yhtälön reuna-arvo-ongelma Laplace-muunnos Esimerkkejä ja olemassaololauseita Laplace-muunnoksen ominaisuuksia Käänteismuunnos ja konvoluutio Sovellutus lineaarisiin differentiaaliyhtälöihin iii

5 7 Fourier-muunnos Määritelmä ja ominaisuuksia Konvoluutio ja käänteismuunnos Toisen kertaluvun lineaarisista osittaisdifferentiaaliyhtälöistä Johdanto Lämpöyhtälö Lämpöyhtälön johto Yksiulotteinen lämpöyhtälön ratkaiseminen muuttujien erottamismenetelmällä Kaksiulotteinen lämpöyhtälö Laplacen yhtälö ulotteinen tapaus alueena suorakulmio Aaltoyhtälö Aaltoyhtälön johtaminen Värähtelevän kielen liikeyhtälön ratkaisu muuttujanerottamismenetelmällä d Alembertin ratkaisu aaltoyhtälölle Laplace- ja Fourier-muunnoksien käytöstä osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta Laplace-muunnoksen avulla Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta Fourier-muunnoksen avulla A Harjoitustehtävät 11 A.1 Harjoitus A. Harjoitus A.3 Harjoitus iv

6 A.4 Harjoitus A.5 Harjoitus A.6 Harjoitus A.7 Harjoitus A.8 Harjoitus v

7 Taulukot 6.1 Funktioiden Laplace-muunnoksia Laplace-käänteismuunnoksia Fourier-muunnoksia vi

8 Kuvat.1 Gamma-funktio Beta-funktio Besselin-funktioita Besselin funktioita J n+1/, kun n = 1,..., Besselin toisen lajin funktioita Funktio f Funktio g Funktio h Suunnikassäännön geometrinen tulkinta Jono, joka suppenee normissa muttei pisteittäisesti Jono, joka suppenee pisteittäisesti muttei normissa Legendren polynomien kuvaajia Hermiten polynomeja Chebyshevin polynomeja Funktion f(x = x Chebyshevin osasummat 7 ja 15 ensimmäisellä termillä Paloittain määritellyn funktion Fourier n osasummia Funktion f(x = x Fourier n osasummien kuvaajia Funktion parillinen jaksollinen jatke Funktion pariton jaksollinen jatke vii

9 7.1 Heavisiden funktion kuvaaja Reuna-arvo-tehtävän tarkastelualue Lämmönvirtaus tangossa Yksiulotteisen lämpöyhtälön tarkastelualue Kaksiulotteisen lämpöyhtälön tarkastelua suorakulmaisessa, äärettömän korkeassa sylinterissä Kaksiulotteisen Laplacen yhtälön tarkastelua suorakulmiossa Värähtelevän kielen tarkastelua lyhyellä välillä Kieleen pituusalkioon s vaikuttavat voimat Funktion h : R R translaatio Vastakkaisiin suuntiin matkaavat aallot viii

10 Luku 1 Frobeniuksen menetelmä Fysikaaliselta kannalta tärkeitä toisen kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä ovat Besselin yhtälö y + 1 x y + (1 n y = x ja Legendren yhtälö (1 x y xy + (l(l + 1 m y =, 1 x joiden ratkaisufunktioita sanotaan erikoisfunktioiksi. Näitä funktioita tarvitaan melkeinpä kaikilla mahdollisilla fysiikan aloilla. Jos nimenomaan ajattellaan kvanttimekaanisia sovelluksia, ovat edellisten lisäksi erittäin tärkitä myös Hermiten yhtälö y xy + my = ja sille läheinen Hermiten ortogonaalifunktioiden yhtälö y (1 x + ny =, jotka esiintyvät harmonisen värähtelijän käsittelyssä, sekä Laguerren yhtälö ja assosioitujen Laguerren funktioiden yhtälö xy + (1 xy + ay = xy + (k + 1 xy + (a ky =, joita tarvitaan tarkasteltaessa hiukkasta Coulombin potentiaalissa (vetyatomi. Lisäksi mainittakkoon Gaussin hypergeometrinen yhtälö (x xy + [ (1 + a + bx c ] y + aby =. Näiden yhtälöiden ratkaisemiseen käytetään potenssisarjamenetelmää tai Frobeniuksen menetelmää. 1

11 1.1 Perusmääritelmiä Määritelmä 1.1. Funktio f on analyyttinen pisteessä a, jos sillä on muotoa f(x = a n (x a n = a + a 1 (x a + a (x a +. n= oleva potenssisarjaesitys eräällä välillä ]a r, a + r[, r >. Määritelmä Piste a on yhtälön (1.1 y + p(xy + q(xy = säännöllinen piste, jos kerroinfunktiot p, q ovat analyyttisiä pisteessä a.. Piste a on yhtälön (1.1 säännöllinen (heikko erikoispiste, jos funktiot P(x = (x ap(x, Q(x = (x a q(x ovat analyyttisiä pisteessä a ts. jos yhtälö (1.1 voidaan esittää muodossa missä P ja Q ovat analyyttisiä pisteessä a. (x a y + (x ap(xy + Q(xy =, 3. Ellei a ole yhtälön (1.1 säännöllinen piste eikä säännöllinen erikoispiste, sanotaan sitä vahvaksi erikoispisteeksi. Esimerkki 1.3. Piste on Eulerin yhtälön säännöllinen erikoispiste. Esimerkki 1.4. Piste on yhtälön vahva erikoispiste. x y + axy + by = x y y by = Suorittamalla muuttujan vaihto x a = t eli x = a + t, saadaan a:n sijasta säännölliseksi erikoispisteeksi. Jatkossa voidaan siis olettaa, että a =. 1. Frobeniuksen menetelmä Oletetaan, että on yhtälön (1. x y + xp(xy + Q(xy =, säännöllinen erikoispiste. Tällöin on olemassa sellainen R >, että (1.3 P(x = p n x n, Q(x = q n x n, x I =] R, R[. n= n=

12 Frobeniuksen menetelmä yhtälön 1. ratkaisemiseksi Frobeniuksen menetelmä on seuraava 1. Valitaan yritefunktioksi y yleistetty potenssisarja (1.4 y = x r c n x n = c n x n+r, c, n= n=. sijoitetaan yritefunktio y ja yhtälön (1.3 sarjat yhtälöön (1., 3. määrätään eksponentti r ja kertoimet c n niin, että yhtälö (1. toteutuu. Koska funktioilla y ja y on potenssisarjaesitykset y = (r + nc n x n+r 1 = x r 1 (r + nc n x n, y = n= (r + n(r + n 1c n x n+r = x r (r + n(r + n 1c n x n, n= n= n= niin x y = x r (r + n(r + n 1c n x n, n= ( n xp(xy = x r (r + nc n x n p n x n = x r (r + kc k p n k x n, n= n= n= k= ( n Q(xy = x r c n x n q n x n = x r c k q n k x n. n= n= n= k= Sijoittamalla nämä esitykset yhtälöön (1. saadaan [ ] n ( x r (r + n(r + n 1c n + (r + kpn k + q n k ck x n =. n= k= Tämä yhtälö pätee kaikilla x (, R jos ja vain jos (1.5 (r + n(r + n 1c n + n ( (r + kpn k + q n k ck =, n =, 1,... Kun n = ja yhtälö (1.5 jaetaan kertoimella c, saadaan (1.6 = r(r 1 + p r + q = r + (p 1r + q. k= Yhtälöä (1.6 kutsutaan yhtälön (1. indeksiyhtälöksi ja se määrää ne luvun r arvot, joilla yritefunktio (1.4 saattaa olla yhtälön (1. ratkaisu. Määritellään f kaavalla f(z = z(z 1 + p z + q. 3

13 Tällöin indeksiyhtälö (1.6 on yhtäpitävä yhtälön f(r = kanssa. Merkitsemällä lisäksi c n = c n (r, n =, 1,..., saadaan yhtälö (1.5 muotoon eli (r + n(r + n 1c n (r + ( n 1 ( (r + np + q cn (r + (r + kpn k + q n k ck (r =, n 1 ( (1.7 f(r + nc n (r = (r + kpn k + q n k ck (r. k= Antamalla kertoimelle c (r määrätty arvo, saadaan muut kertoimet kaavasta (1.7, mikäli f(r + n kaikilla n = 1,,... Voidaan osoittaa, että näin saatu sarja suppenee, kun < x < R. k= 1.3 Ratkaisut säännöllisen erikoispisteen tapauksessa Olkoon a yhtälön (1.8 x y + xp(xy + Q(xy =, säännöllinen erikoispiste, ts. on olemassa sellainen R >, että P(x = p n x n, Q(x = q n x n, n= n= x I =]a R, a + R[. Kappaleen 1. tuloksista seuraa: jos funktio y(x, r = x r c n (rx n c (r c, n= on differentiaaliyhtälön (1.8 ratkaisu, on r indeksiyhtälön (1.9 f(r = r(r 1 + p r + q = ratkaisu, ja kertoimet c n (r, n = 1,,... saadaan ns. palautuskaavasta n 1 [ ] n 1 [ ] (1.1 f(r + nc n (r = (r + kpn k + q n k ck (r = (r + n kpk + q k cn k (r. k= k= Indeksiyhtälön ratkaisut ovat reaaliset, erisuuret ja erotus ei ole kokonaisluku Olkoot r 1 ja r, r 1 > r indeksiyhtälön juuret. Tällöin varmasti f(r 1 + n aina, kun n = 1,,..., joten yhtälöstä (1.7 voidaan ratkaista kertoimet c (1 n = 1 f(r 1 + n n k=1 [ pk (r 1 + n k + q k ] c (1 n k 4

14 kaikilla n = 1,,... Jos kiinnitetään kerroin c (1, saadaan tästä palautuskaavasta lasketuksi c (1 1, c (1 ja välillä ], R[ yhtälön (1.7 ratkaisuksi saadaan y 1 (x = x r 1 n= c (1 n xn. Sama voidaan suorittaa myös arvolla r = r, mikäli f(r + n kaikilla n N eli mikäli r 1 r + s eli r 1 r = s / N. Palautuskaava antaa toisen kerroinjonon c ( n, n = 1,,... ja saadaan ratkaisu y (x = x r n= c ( n xn. Ratkaisut ovat lineaarisesti riippumattomat, sillä y 1 /y ei ole vakio (miksi?. Esimerkki 1.5. Ratkaise differentiaaliyhtälö xy + y y = Frobeniuksen menetelmällä. Ratkaisu. Koska yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon (1.11 x y + x 1 y xy = ja funktiot p(x = 1 ja q(x = x ovat polynomifunktioina analyyttisiä pisteessä x =, niin piste x = on säännöllinen erikoispiste. Sijoitetaan yrite y = x r a n x n = a n x n+r a n= y = y = n= n= (n + ra n x n+r 1 n= (n + r(n + r 1a n x n+r n= yhtälöön (1.11 ja kerrotaan saatu yhtälö puolittain luvulla : = x (n + r(n + r 1a n x n+r + x (n + ra n x n+r 1 x a n x n = = (n + r(n + r 1a n x n+r + n= n= (n + ra n x n+r n= (n + r[(n + r 1 + 1]a n x n+r n= = r(r 1a x r + a n 1 x n+r n=1 n= a n x n+r+1 n= [ ] (n + r + 1(n + r + 1an a n 1 x n+r. n= 5

15 Indeksiyhtälön juuriksi saadaan r 1 = 1 ja r =. Koska juurten erotus ei ole kokonaisluku, antavat molemmat juuret alkuperäisen yhtälön ratkaisun. Koska n+r +1 > ja n+r +1 >, kun r =, 1 ja n N, niin palautuskaavaksi saadaan a n+1 = a n (n + r + 1(n + r + 1. Myöhemmin tässä luvussa esitettävien tulosten nojalla ratkaisujen määrittäminen kannattaa aloittaa pienemmästä juuresta. Kun r =, palautuskaava tulee muotoon a n a n+1 = (n + 1(n + 1, jonka avulla yritteen kertoimiksi saadaan a 1 = a, a = a 1 3 = a 3, a 3 = a 3 5 = a ( 3(3 5, ja matemaattista induktiota käyttämällä a n = Valitaan a = 1, jolloin saadaan sarja 1 n! 3 5 (n 1 a = n (n! a. y = n= n (n! xn, joka suppenee kaikilla x R (miksi? ja on siis differentialiyhtälön ratkaisu välillä ], [. Kun r 1 = 1/, palautuskaava tulee muotoon a n+1 = a n (n + 3(n + 1. Tämän avulla yritteen 3 ensimmäiseksi kertoimeksi saadaan a 1 = a 3, a = a 1 5 = a 3 5, a 3 = a 7 3 = a ( 3(3 5 7, ja matemaattisella induktiolla a n = Valinnalla a = 1 saadaan sarja 1 n! 3 5 (n + 1 a = y 1 = x 1/ n= n (n + 1! xn, n (n + 1! a. joka suppenee kaikilla x > (miksi? ja on siis differentialiyhtälön ratkaisu välillä ], [. Näin ollen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu välillä ], [ on y = c 1 x 1/ n n (n + 1! xn + c (n! xn. n= 6 n=

16 1.3. Indeksiyhtälön juuret r 1 ja r ovat yhtäsuuret tai niiden erotus on kokonaisluku Olkoon r 1 ja r indeksiyhtälön juuret, ja olkoon Jos r 1 = r, on r 1 r N f(r + n = f(r 1 + n aina, kun n Z +, joten tässä tapauksessa saadaan yksi ratkaisu muotoa (1.4. Jos juurten erotus on jokin kokonaisluku s = 1,,... on palautuskaavassa (1.7 arvolla n = s kertoimen c n kerroin yhtäsuuri kuin Tällöin f(r + s = f(r 1 = s 1 ( (1.1 = f(r + sc s (r = (r + kp s k + q s k ck (r. k= Jos myös yhtälön (1.1 oikea puoli menee nollaksi, niin kerroin c s (r voidaan valita vapaasti ja saadaan kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua (miksi?: ja (1.13 y = x r c n (r x n = x r n=s s 1 y 1 = x r c n (r x n n= c n+s (r x n+s = x r 1 n= Jos yhtälön (1.1 oikea puoli ei mene nollaksi, niin kertoimia c s (r, c s+1 (r, c s+ (r,... c n+s (r x n. ei ole mahdollista ratkaista ja funktio y 1 jää ainoaksi annettua muotoa (1.4 olevaksi ratkaisuksi. Toisen lineaarisesti riippumattoman ratkaisun etsimiseen on käytettävä muita menetelmiä. Huomautus 1.6. Koska differentiaaliyhtälö (1. on lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö, niin sillä on kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. Säännöllisen erikoispisteen tapauksessa suurempi juurista, r 1, antaa aina ratkaisun sillä f(n + r 1 > kaikilla n Z +, mutta ratkaisun etsiminen kannattaa aloittaa pienemmästä juuresta r, sillä se on joka tapauksessa tutkittava ja se voi antaa samalla kertaa lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. Tämä nähdään seuraavasta tarkastelusta. Jos kaavan (1.1 molemmat puolet menevät nollaksi arvolla n = s, niin pienempää juurta r vastaava ratkaisu s 1 y 1 = x r c n x n 7 n= n=

17 (valitaan c = 1 ja c s = ja valinnalla c = ja c s = 1 saatu ratkaisu y = x r c n x n ovat lineaarisesti riippumattomia (miksi?. Suurinta juurta r = r 1 vastaava ratkaisu n=s ỹ 1 = x r 1 c n x n = x r c n x n+s = x r n= n= c k s x k k=s on lineaarisesti riippumaton ratkaisusta y 1, koska r 1 r = s >. Näin ollen ratkaisu y on vakio kertaa ratkaisu ỹ 1 (miksi? eli y = aỹ 1, missä a on vakio. Esimerkki 1.7. Totea, että piste ā = on Laguerren yhtälön xy + (1 xy + ay = säännöllinen erikoispiste ja ratkaise yhtälö Frobeniuksen menetelmällä. Ratkaisu. Luennolla Indeksiyhtälön ratkaisut ovat reaaliset ja yhtäsuuret Kun yrite (1.14 y (x, r = x r c n (r x n, missä kertoimet c n (r ovat muuttujan r funktioita, sijoitetaan lausekkeeseen saadaan (1.15 Ly (x, r = = n= Ly = y + p (x y + q (x y, [ (r + n (r + n 1 c n (r + n= n=1 [ f (r + n c n (r + + f (rc x r, missä nyt koska r = r 1 on indeksiyhtälön ] n [p k (r + n k + q k ] c n k (r k= n ] [p k (r + n k + q k ] c n k (r k=1 f (r = r (r 1 + p r + q = x r+n x r+n kaksinkertainen juuri, on ja f (r = (r r 1 f (r + n = (r + n r 1, n 1. 8

18 Lisäksi f(r + n, kun r r 1 < 1. Täten kertoimet c n (r, n 1, voidaan määrätä kertoimen c avulla (joka on kiinteä, nollasta eroava, r:stä riippumaton vakio palautuskaavasta 1 c n (r = (r + n r 1 n [p k (r + n k + q k ]c n k (r, n 1. k=1 Näin määritellyt funktiot c n (r ovat siten muuttujan r rationaalifunktioita ja analyyttisia, kun r r 1 < 1. Oletetaan, että kertoimet sarjassa (1.14 on valittu yllä mainitulla tavalla. Tällöin lauseke (1.15 tulee muotoon (1.16 Ly (x, r = c (r r 1 x r. Täten ja funktio on yhtälön Ly = yksi ratkaisu. Osoitetaan nyt, että Ly (x, r 1 = y 1 (x = y (x, r 1 = x r 1 y (x = c n (r 1 x n n= [ ] y (x, r r r=r 1 on yhtälön (1.7 ratkaisu: [ ] Ly (x = L y (x, r = r r=r [ 1 [ = c (r r 1 x r ]] r r=r1 Kun sarja = = [ ] Ly (x, r r r=r 1 [ c (r r 1 + c (r r 1 x r log x y (x, r =x r c n (rx n = n= derivoidaan muuttujan r suhteen, saadaan c n (rx n+r n= ] r=r 1 (1.17 sillä ja r y (x, r = c n (rx n+r log x + n= c n (rx n+r, n=1 r xn+r = r e(n+rlog x = x n+r log x c (r =. 9

19 Kun yhtälöön (1.17 sijoitetaan r = r 1, saadaan eli koska r = r 1, niin y (x = x r 1 log x Lause 1.8. Olkoon r 1 indeksiyhtälön kaksinkertainen juuri. Tällöin funktiot c n (r 1 x n + x r 1 n= y (x = y 1 (x log x + x r c n (r 1x n n=1 c n (r 1 x n. n=1 r(r 1 + p r + q = (1.18 y 1 (x = y(x, r 1 = x r 1 ja c n (r 1 x n, n= y (x = r y(x, r r=r 1 = y 1 (x ln x + x r 1 c n(r 1 x n muodostavat differentialiyhtälön (1.8 ratkaisujen perusjärjestelmän välillä ], R[. Huomautus 1.9. Yllä oleva tarkastelu pätee myös välillä ] R, [, jolloin yritteessä log x korvataan lausekkeella log x ja x r lausekkeella x r. n= Indeksiyhtälön juurten r 1 ja r erotus on positiivinen kokonaisluku ja palautuskaavan (1.1 oikea puoli ei ole Tällöin saadaan ainakin yksi muotoa y 1 (x = x r 1 c n (r 1 x n n= ( cn (r 1 = c (1 n, oleva ratkaisu. Oletetaan, että yhtälöllä (1.7 on vain yksi tätä muotoa oleva ratkaisu. Tällöin (1.19 Ly (x, r = n=1 [ f (r + n c n (r + + f (rc x r, n k=1 ] [p k (r + n k + q k ] c n k (r x r+n missä ja f(r = (r r 1 (r r = (r r s(r r f(r + n = (r + n r 1 (r + n r = (r + n r s(r + n r, n 1. 1

20 Funktio f(r + s = (r r (r + s r on nolla, kun r = r ja n = s on ainoa luku, jolle f (r + n =. Valitaan sellaiset kertoimet c n (r, että ne toteuttavat palautuskaavan (1. f(r + nc n (r = n [p k (r + n k + q k ] c n k (r, n 1 k=1 ja valitaan c (n c = vakio. Funktiot c 1 (r, c (r,..., c s 1 (r ovat analyyttisiä, kun r = r. Funktiot c n (r, n s ovat r:n rationaalifunktioita, joilla on nimittäjässä tekijä (r r. Nämä funktiot voivat olla kasvaa tai vähetä rajatta, kun r lähenee lukua r. Mutta funktiot d n (r = (r r c n (r, n 1, ovat analyyttisiä pisteen r ympäristössä ja myös kohdassa r = r, ja lisäksi nämä funktiot toteuttavat palautuskaavan (1. (miksi?. Olkoon Tällöin yhtälöstä (1.15 nähdään, että Tästä nähdään, että ỹ(x, r = (r r y(x, r = x r d n (rx n. n= Lỹ(x, r = c (r r f(rx r = c (r r 1 (r r x r. ỹ 1 (x = ỹ(x, r = x r y (x = d n (r x n n= [ ] r = rỹ(x, r=r ovat differentiaaliyhtälön Ly = ratkaisuja. [ ] r (r r y(x, r r=r Koska d n (r =, kun n s 1, niin ratkaisu ỹ 1 voidaan kirjoittaa muotoon ỹ 1 (x = x r d n (r x n = x r +s n=s Tämän avulla voidaan näyttää, että d n+s (r x n = x r 1 n= ỹ 1 (x = d s(r y 1 (x. c d n+s (r x n Ratkaisu y saadaan, kun sijoitetaan r = r kaavaan [ rỹ(x, r = ] x r d n (rx n = x r d n (rx n log x + x r d r n(rx n. Tällöin saadaan eli n= n= y (x = ỹ 1 log x + x r d n (r x n n= y (x = d s c y 1 (x log x + x r 11 d n(r x n. n= n= n=

21 1.3.3 Indeksiyhtälön ratkaisut kompleksisia Jos kompleksiluku r 1 on indeksiyhtälön juuri, niin myös sen konjugaattiluku r 1 on indeksiyhtälön juuri (miksi?. Kompleksiselle juurelle r 1 pätee f(r 1 +n ja palautuskaavasta (1.7 voidaan laskea juurta r 1 vastaavat kertoimet c (1 n, jotka ovat kompleksilukuja. Merkitään Sijoitamme luvut r 1 ja c (1 n ratkaisu missä c (1 n = α n + iβ n, n =, 1,,... lausekkeeseen (1.4, jolloin saadaan välillä ], R[ kompleksinen y = x α+iβ (α n + iβ n x n, n= x α+iβ = x α x iβ = x α e iβ log x = x α [cos(β log x + i sin(β log x]. Huomaa, että tässä on positiivinen reaaliluku korotettuna kompleksiseen potenssiin. Tällaisten lausekkeiden kanssa on oltava varovainen, katso huomautus.. Käyttämällä edellistä yhtälöä saadaan x iβ (α n + iβ n = [cos(β log x + i sin(β log x](α n + iβ n = [α n cos(β log x β n sin(β log x] + i[β n cos(β log x + α n sin(β log x] ja kompleksinen ratkaisu voidaan hajoittaa reaali-ja imaginaariosiinsa: y = x α [α n cos(β log x β n sin(β log xβ n ]x n n= + ix α [β n cos(β log xβ n + α n sin(β log x]x n n= = y 1 (x + iy (x. Tämän reaali- ja imaginaariosat ovat myös yhtälön (1.7 ratkaisuja (ks lemma 1.11, joten yhtälöllä (1.7 on välillä (, R lineaarisesti riippumattomat ratkaisut [ ] y 1 (x = x α cos(β log x α n x n sin(β log x α n x n= n= n= [ ] y (x = x α cos(β log x β n x n + sin(β log x α n x Olkoon r 1 = α + iβ ja c n (r 1 = α n + iβ n, n N. Sijoittamalla nämä y(x, r 1 :n lausekkeeseen (1.18 saadaan y = y 1 + iy, missä [ y 1 (x = x α cos ( β ln x α n x n sin ( β ln x ] β n x n ja n= n= n= [ y (x = x α cos ( β ln x β n x n + sin ( β ln x α n x ]. n n= Funktiot y 1 ja y muodostavat differentiaaliyhtälön (1.8 ratkaisujen perusjärjestelmän välillä (a, a + R. 1 n=

22 Huomautus 1.1. Kompleksitermisen sarjan suppeneminen määritellään kuten reaalitermisen sarjan suppeneminen. Voidaan osoittaa, että kompleksitermisen sarja z n = n= (u n + iv n n= suppenee, jos ja vain jos sen termisen reaaliosista u n ja imaginaariosista v n muodostetut sarjat suppenevat ja tällöin on (u n + iv n = n= u n + i v n. Lemma Jos homogeeniselle reaalikertoimiselle lineaariselle differentiaaliyhtälölle saadaan ratkaisu kompleksimuodossa n= n= Ly = y + p(xy + q(xy = y(x = y 1 (x + iy (x missä y 1 ja y ovat reaalifunktioita, niin y 1 ja y ovat yhtälön Ly = ratkaisuja. Todistus. Kompleksifunktion derivoituvuudella tarkoitetaan, että sen reaali- ja imaginääriosat y 1 ja y ovat derivoituvia ja y (x = y 1 (x + iy (x y (x = y 1 (x + iy (x Koska y on yhtälön Ly = ratkaisu ja p ja q ovat reaalifunktioita, on eli mikä oli todistettava. = Ly = y + p(xy + q(xy = (y 1 (x + iy (x + p(x(y 1 (x + iy (x + q(x(y 1(x + iy (x = y 1 (x + p(xy 1 (x + q(xy 1(x + i ( y (x + p(xy (x + q(xy (x = y 1(x + p(xy 1(x + q(xy 1 (x = Ly 1 = y (x + p(xy (x + q(xy (x = Ly 1.4 Lisätieto: Äärettömyyspisteen luonne Myös äärettömyyspistettä voidaan pitää differentiaaliyhtälön säännöllisenä tai erikoispisteenä. Tällöin ajatellaan, että äärettömyyspiste on kuvattu origon muunnoksella t = 1 x, jolloin dt dx = 1 x = t. 13

23 Jos ȳ(t = y( 1 = y(x, niin t dy ja d y dx = d ( dx t dȳ = d ( dt dt dx = dȳ dt dt dx = tdȳ dt t dȳ dt ( dt dx = t dȳ dt y td ( t = t 4d ȳ dt dt + t3dȳ dt. Kun nämä sijoitetaan yhtälöön (1.7 y + p(xy + q(xy =, saadaan eli (HY t 4d ȳ ( 1 dt + t3dȳ dt + p ( t dȳ ( 1 x dt + q ȳ = t [ d ȳ dt + t 1 ( 1 ] dȳ t p t dt + 1 ( 1 t 4q ȳ = t Äärettömyyspisteen luonne yhtälölle (1.7 on siten sama kuin pisteen t = luonne yhtälölle (HY. Esimerkki 1.1. Besselin yhtälöstä saadaan tällä tavalla y + 1 x y + (1 n x y = ȳ + 1 tȳ + 1 t 4(1 n t ȳ =, jolle t = on vahva erikoispiste. Siten äärettömyyspiste on Besselin yhtälön vahva erikoispiste. Esimerkki Tutki äärettömyyspisteen luonnetta Legendren yhtälölle Ratkaisu. Luennolla. ] (1 x y xy + [l(l + 1 m y =. 1 x 14

24 Luku Erikoisfunktioista Matematiikan sovelluksissa esiintyviä (transkendenttifunktioita, jotka määritellään joko alkeisfunktioiden integraaleina tai. kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuina sanotaan erikoisfunktioiksi. Uusia funktioita määritellään myös raja-arvojen kautta. Monesti sama funktio voidaan määritellä useammallakin tavalla. Esimerkiksi eksponenttifunktio voidaan määritellä mm. alkuarvotehtävän y = y y( = 1 ratkaisuna tai raja-arvona e x = lim (1 + x n. n n.1 Gammafunktio Gammafunktion lähtökohdaksi otetaan seuraava tehtävä: miten voidaan määritellä muilla reaaliarvoilla funktio, joka positiivisilla kokonaislukuarvoilla n yhtyy lukuun n! = 1 3 n? Erään tällaisen funktion on esittänyt Euler määrättynä integraalina. Määritelmä.1. Gammafunktio Γ määritellään ns.. lajin Eulerin integraalin avulla seuraavasti: (.1 Γ(z = t z 1 e t dt, z C, Rez >. Huomautus.. Kaavassa (.1 on positiivinen reaaliluku t korotettuna kompleksiseen potenssiin z 1, ja tällaisille lausekkeille, joissa kantalukuna on positiivinen reaaliluku, pätevät eräät potenssin laskusäännöt. Yleensä kompleksisille potensseille eivät päde tutut potenssin laskusäännöt, sillä kompleksiluvun kompleksinen potenssi on moniarvoinen. Lause.3. Gammafunktiolle on voimassa 15

25 x 4 Kuva.1: Gamma-funktion kuvaaja 1. Γ(z + 1 = z Γ(z, Re z >,. Γ(z + n = (z + n 1(z + n z Γ(z, Re z >, n = 1,,..., 3. Γ(n + 1 = n!, n =, 1,..., 4. Γ( 1 = π. Todistus. Luennolla Esimerkki.4. Laske Γ(n + 1 Ratkaisu. Luennolla. Esimerkki.5. Esitä ( x n Gamma-funktion avulla. Ratkaisu. Luennolla. Lauseen.3 1-kohdasta seuraa, että (. Γ(z = Γ(z + 1. z Yhtälön (. oikea puoli on määritelty myös, kun 1 < Re z <. Valitaan (. Gammafunktion määritelmäksi edellä mainitussa yhdensuuntaisvyössä, sitten yhdensuuntaisvyössä < Re z < 1 jne. Gammafunktiolle on voimassa Stirlingin kaava: (.3 Γ(x + 1 = ( 1 πxx x e (1 x + ǫ, x 16

26 missä ǫ( 1 kun x. Lisäksi voidaan osoittaa, että x (.4 Γ(z Γ(1 z = π sin πz, kun yhtälön molemmat puolet ovat määritellyt.. Betafunktio Määritelmä.6. Betafunktio määritellään kaavalla B(z, w = 1 Lause.7. Kun Rez > ja Rew >, niin t z 1 (1 t w 1 dt B(z, w = Γ(zΓ(w Γ(z + w. Todistus. Harjoitustehtävä. Kuva.: Beta-funktion kuvaaja alueessa [, 3] [, 3]..3 Besselin funktioista Kaksi-ulotteinen aaltoyhtälö napakoordinaatteissa on (.5 u tt = c (u rr + r 1 u r + r u θθ. 17

27 Sijoittamalla u = R(rΘ(θT(t aaltoyhtälö (.5 tulee muotoon T c T = R R + R r R + Θ r Θ. Koska edellisen yhtälön vasen puoli on muuttujan t funktio ja oikea puoli muuttujien r ja θ funktio, niin molempien puolien täytyy olla sama vakio, jota merkitään termillä µ. Tällöin sen oikea puoli voidaan kirjoittaa muotoon r R R + r R R + µ r = Θ Θ, joten edellisen yhtälön molempien puolien täytyy olla sama vakio ν. Näin päädytään kahteen tavalliseen differentiaaliyhtälöön T + c µ T = ja Θ + ν Θ =, jotka ovat tuttuja DYI-kurssilta, sekä yhtälöön (.6 r R (r + r R (r + (µ r ν R(r =. Yhtälöä (.6 voidaan yksinkertaista muuttujan vaihdolla sijoittamalla x = µ r. Tällöin sijoitetaan R(r = y(µ r, R (r = µ y (µ r, R (r = µ y (µ r ja r = x µ yhtälöön (.6 ja saadaan ( x µ y (x + x µ µ µ y (x + (x ν y(x =, josta sieventämällä tulee yhtälö (.7 x y (x + xy(x + (x ν y(x =. Yhtälö (.7 on ν:n kertaluvun Besselin differentiaaliyhtälö. Tämä yhtälö ja sen variantit esiintyvät monissa fysiikan ja insinööritieteiden ongelmissa, joihin liittyy ympyräsymmetria tasossa (annetun kiinteän pisteen suhteen symmetria tasossa. Tästä syystä sen ratkaisuja kutsutaan sylinterifunktioiksi, mutta niistä käytetään nimitystä Besselin funktiot..3.1 Besselin differentiaaliyhtälön ratkaisu Tarkastelemalla Besselin yhtälöä (.8 x y + xy + (x ν y = huomataan, että piste x = on sen säännöllinen erikoispiste (P(x = 1 = p ja Q(x = ν +x = q +q x. Yhtälö ratkaistaan Frobeniuksen menetelmällä valitsemalla yritteeksi sarjan y = x r a k x k = a k x r+k, a. k= k= 18

28 x..4.6 Kuva.3: Besselin-funktioden kuvaajia (n = 1,..., 5. Sijoittamalla tämä yrite yhtälöön (.8 ja sieventämällä saadaan (.9 [(r + k ν ]a k x r+k + a k x r+k =. k= k= Jotta sijoitettu yrite on ratkaisu, täytyy kerrointen toteuttaa seuraavat yhtälöt (.1 (.11 (.1 (r ν a = (k =, [(r + 1 ν ]a 1 = (k = 1, [(r + k ν ]a k a k =, kun k =, 3,... Koska oletuksen mukaan a, niin r = ±ν. Valitaan juuri r = ν. Tällöin yhtälö (.11 tulee muotoon (ν +1a 1 =, joten a 1 =, paitsi kun ν = 1/. Vaikka ν = 1/, voidaan valita a 1 = ja tämä ei aiheuta ongelmia jatkossa. Yhtälöstä (.1 saadaan palautuskaava a k (.13 a k = (ν + k ν = a k, k =, 3,... k(k + ν Koska a 1 =, kaikki parittomat kertoimet ovat nollia eli a k+1 =, k =, 1,,... Parilliset kertoimet saadaan a :n avulla seuraavasti: a a = ( + ν, a 4 = 4(4 + ν = a 4( + ν (4 + ν, ja yleisesti parillinen kerroin saadaan laskettua muotoon a k = a ( 1 k a 4 (k( + ν(4 + ν (k + ν (.14 = ( 1 k a k k!(1 + ν( + ν (k + ν. 19

29 Edellä esitetyssä ratkaisumentelmässä joudutaan hankaluuksiin vain tapauksessa ν on negatiivinen kokonaisluku tai puolikas negatiivisesta kokonaisluvusta. Jos ν = n, niin kertoimia a k ei voida laskea kaavasta (.14, kun k n (nolla nimittäjässä, ja emme saa ratkaisua. Jos ν = n/ ja n on pariton, niin kaavan (.13 nimittäjässä termi k + ν on nolla, kun k = n. Tällöin kertoimia a k+1 ei voida laskea siitä, kun k (n 1/. Jos yhtälöön (.1 sijoitetaan ν = n/, niin kertoimille a k+1 tulee arvo nolla, kun k =, 1,..., (n / (a 1 =, ja lisäksi yhtälö a n = a n pätee. Koska a n =, niin voidaan valita a n = (jos valitaan a n, niin saadaan toinen ratkaisu. Tällöin y(x = a k= ( 1 k x k+ν k k!(1 + ν( + ν (k + ν on Besselin differentiaaliyhtälön (.8 ratkaisu. Valitaan vielä kerroin a. Gammafunktion ominaisuudesta Γ(z + 1 = zγ(z seuraa, että Γ(k + ν + 1 = (k + ν (1 + νγ(ν + 1. Valitsemalla 1 a = ν Γ(ν + 1 ratkaisu y(x tulee muotoon (.15 J ν (x = k= ( 1 k x k+ν. k!γ(ν + k + 1( Suhdetestin avulla voidaan osoittaa, että tämä sarja suppenee kaikilla x (ja myös, kun x = tapauksissa ν. Funktio J ν (x on 1. lajin Besselin funktio kertalukua ν. Kun ν = n N, niin k! = Γ(k + 1 ja J n (x = k= ( 1 k x k+n. k!(n + k!( Määritellään J n (x sijoittamalla n:n paikalle n kaavassa (.15 (huom! 1/(k + n! = 1/Γ(k + n + 1 =, k + n <, koska lim z m Γ(z = ±, m Z {}: J n (x = k= ( 1 k x k n ( 1 = k!( n + k!( k+n x k+n. (k + n!k!( k= Seuraus: J n (x = ( 1 n J n (x. Edellä tarkastellun perusteella seuraava lause pätee. Lause.8. Besselin funktio y = J ν (x, ν, on Besselin yhtälön x y + xy + (x ν y = ratkaisu. Edellinen lause voidaan todistaa myös suoraan Besselin funktion määritelmän (.14 avulla.

30 .3. Besselin funktioiden rekursiokaavat Lause.9. Besselin funktiot (.16 J ν (x = toteuttavat seuraavat rekursiot (.17 (.18 (.19 (. (.1 (. aina, kun x ja ν R. k= ( 1 k x k+ν k!γ(ν + k + 1( d dx [x ν J ν (x] = x ν J ν+1 (x d dx [xν J ν (x] = x ν J ν 1 (x xj ν (x νj ν(x = xj ν+1 (x xj ν(x + νj ν (x = xj ν 1 (x xj ν 1 (x + xj ν+1 (x = νj ν (x J ν 1 (x J ν+1 (x = J ν (x Todistus. Kaava (.17. Koska d dx [x ν J ν (x] = d dx = k=1 k= ( 1 k x k k+ν k! Γ(ν + k + 1 = ( 1 k (k x k 1 k+ν k! Γ(ν + k + 1 k=1 ( 1 k x k 1 k+ν 1 (k 1! Γ(ν + k + 1, niin vaihtamalla summausindeksi k viimeisessä sarjassa k + 1:ksi saadaan k= ( 1 k+1 x k+1 k+ν+1 k! Γ(ν + k + = x ν Kaavan (.18 todistus on samanlainen: d dx [xν J ν (x] = d dx = k= k= koska Γ(ν + k + 1 = (ν + kγ(ν + k. k= ( 1 k x k+ν k+ν k! Γ(ν + k + 1 = ( 1 k x k+ν+1 k+ν+1 k! Γ(ν + k + = x ν J ν+1 (x. k= ( 1 k x k+ν 1 k+ν 1 k! Γ(ν + k = xν J ν 1 (x, ( 1 k (k + ν x k+ν 1 k+ν k! Γ(ν + k + 1 Poistamalla sulut kaavoista (.17 ja (.18 (suorittamalla derivointi kaavojen (.17 ja (.18 vasemmalla puolella saadaan νx ν 1 J ν (x + x ν J ν(x = x ν J ν+1 (x, νx ν 1 J ν (x + x ν J ν (x = xν J ν 1 (x. 1

31 Kertomalla ensimmäinen näistä yhtälöistä puolittain termillä x ν+1 ja toinen yhtälö puolittain termillä x ν+1 saadaan kaavat (.19 ja (.. Vähentämällä kaavat (.19 ja (. puolittain saadaan kaava (.1. Lopuksi laskemalla kaavat (.19 ja (. yhteen puolittain seuraa kaava (.. Harjoituksen 1 tehtävän nojalla J1(x = πx sin x ja J 1 (x = πx cosx. Näiden ja lauseen.9 yhtälön (.1-kohdan avulla voidaan määrätä J n+ 1(x, kun n Z. Esimerkki.1. Määrää J5(x alkeisfunktioiden avulla. Ratkaisu. Luennolla x Kuva.4: Besselin funktioita J n+1/, kun n = 1,..., Besselin funktioiden generoiva funktio Lukujonon (a n n= jäsenten a n generoiva funktio on potenssisarja a n z n. Esimerkiksi jonon (a n n=, a n = 1 aina, kun n N, generoiva funktio on ääretön geometrinen sarja Jos b n = 1/n!, kun n N, niin f(z = n= z n = 1, z < 1. 1 z f(z = n= z n n! = ez on lukujonon (b n n= generoiva funktio, ja sitä esittävä potenssisarja suppenee kaikilla z:n arvoilla.

32 Vastaavasti kahden muuttujan funktiota G : C R C sanotaan funktiojonon (g n n= generoivaksi funktioksi, jos on olemassa sellainen reaaliluku r > ja väli I R, joille (.3 G(z, x = n= g n (xz n ja ko. sarja suppenee, kun < z < r, missä r on positiivinen vakio, aina, kun x on välin I piste. Toisin sanoen G(z, x voidaan kehittää Laurentin sarjaksi muuttujan z suhteen ja z n :n kerroin on funktiojonon (g n n= alkio g n (x aina, kun n = ±1, ±,. Jos (g n n= on polynomijono, niin G(z, x on Taylorin sarja muuttujana z. Lause.11. Besselin funktioiden jonolle (J n (x n= pätee (.4 G(z, x = n= [ x J n (xz n = exp z ( 1 ] z kaikilla x ja z. Todistus. Soveltamalla eksponenttifunktion sarjakehitelmää saadaan exp ( xz = j= z j!( j x j ja exp ( x = z k= ( 1 k ( x k. z k k! Koska nämä sarjat suppenevat itseisesti (eksponenttifunktion suppenemissäde R =, niin ne voidaan kertoa keskenään ja tuloksena saatavassa tuplasarjassa summaus voidaan suorittaa järjestyksestä välittämättä, joten [ x exp z ( 1 ] = exp z ( xz exp ( x = z j,k= ( 1 k z j k ( x j!k! j+k. Summataan nämä sarjat summaamalla ensi kaikki ne termit, joissa on z n eli asetetaan j k = n (j = k + n. Tällöin saadaan [ x exp z ( 1 ] = z n= [ k= ( 1 k x ] k+n z k!(k + n!( n = n= J n (xz n, koska 1/(k + n! = 1/Γ(k + n + 1 =, kun k + n < (huom! lim z m Γ(z = ±, kun m Z {}. Esimerkki.1. Osoita generoivan funktion avulla, että Besselin funktioille J n (x pätee seuraavaa. J n (x on parillinen, kun n on parillinen, ja pariton, kun n on pariton ts. J n ( x = ( 1 n J n (x, n =, 1,,... Ratkaisu Koska G( x, z = exp [ x ( z 1 ] = z n= J n ( xz n 3

33 ja niin [ x ( G( x, z = exp z 1 ] [ x = exp ( z z ( 1 ] = G(x, z ( z = J n (x( z n = ( 1 n J n (xz n, n= n= J n ( x = ( 1 n J n (x, n =, 1,,... Kaavassa (.4 z voi olla mikä tahansa kompleksiluku. Erityisesti, jos valitaan z = e iθ, jolloin 1 (z z 1 = i sin θ, niin (.5 e ixsin θ = n= J n (xe inθ. Koska edellisen yhtälön molempien puolien reaaliosat ovat yhtäsuuret ja imaginaariosat ovat yhtäsuuret, niin cos(x sin θ = n= J n (x cos(nθ ja sin(x sin θ = n= Näitä hyväksi käyttäen voidaan johtaa ns. Besselin integraalikaava (.6 J n (x = 1 π π cos(x sin θ nθ dθ. J n (x sin(nθ. Tämän kaavan avulla voidaan osoittaa, että J n (x 1 aina, kun x R. Sama epäyhtälö pätee myös funktion J n (x kaikille derivaatoille ts. J (k n (x 1, kun k = 1,,... Esimerkki.13. Osoita generoivan funktion G(x, t = e x (t 1 t = J n (xt n n= avulla, että Besselin funktioille J n (x pätee seuraavaa. (.7 (.8 (.9 (.3 J n (u + v = J k (uj n k (v k= J (u + v = J (uj (v + 1 = J (x + ( 1 k J k (uj k (v, k=1 J k (x k=1 J (x 1 ja J n (x 1, n = 1,,..., aina, kun x R. 4

34 Ratkaisu. b Koska G(u + v, t = e u+v (t 1 t = n= J n (u + vt n ja niin ( u G(u + v, t = exp (t 1 t + v (t 1 ( u t = exp (t 1 ( u t exp (t 1 t ( ( = G(u, tg(v, t = J k (ut k J l (vt l = = k= l= n= ( k= k= l= J k (uj l (vt k+l n = k + l J k (uj n k (v t n J n (u + v = k= J k (uj n k (v. c Edellisen kohdan nojalla (n = J (u + v = J k (uj k (v = k= J k (uj k (v + J (uj (v + k= 1 k=1 J k (uj k (v = + J (uj (v + J 1 (uj 1 (v + J (uj (v + J 1 (uj 1 (v + J (uj (v +... = J (uj (v + ( 1 k J k (uj k (v, koska J k (x = ( 1 k J k (x, k = 1,,.... d Kohtien a ja c nojalla 1 = J ( = J (x x = J (xj ( x + ( 1 k J k (xj k ( x = J (xj (x + = J (x + k=1 k=1 ( 1 k J k (x( 1 k J k (x k=1 J k (x. k=1 5

35 e Edellisen kohdan nojalla J (x = 1 J k (x 1 k=1 ja J n (x = 1 J (x k=1,k n J k (x 1 = 1, n = 1,, Besselin differentiaaliyhtälön toinen lineaarisesti riippumaton ratkaisu Frobeniuksen menetelmällä saatu indeksiyhtälön juurta r = ν vastaava ratkaisu (.31 J ν (x = m= ( 1 m x m ν m!γ(m ν + 1( on lineaarisesti riippumaton ratkaisusta J ν (x, kun ν / Z. Näin ollen {J ν (x, J ν (x} on Besselin yhtälön ratkaisujen perusjoukko, kun ν / Z. Lemma.14. Besselin funktioiden J ν (x ja J ν (x Wronskin determinantti on (.3 W[J ν, J ν ](x = πx sin(νπ. Todistus. Differentiaaliyhtälöt I kurssin mukaan Besselin yhtälön x y + xy + (x p y = Ratkaisujen J p (x ja J p (x Wronskin determinantti on (p(x = 1/x ( ( 1 W[J p, J p ](x = C exp p(x dx = C exp x dx = C exp ( ln x = C 1 x, missä C on vakio (miksi itseisarvomerkit sai jättää pois?. Täten (.33 xw[j p, J p ](x = C. Merkitään J p (x = ja m= ( 1 m x m+p ( x p = m!γ(p + m + 1( m= ( 1 m x m ( x p = Sp (x m!γ(p + m + 1( ( 1 m x m p ( x p ( 1 J p (x = = m!γ(m p + 1( m x m m!γ(m p + 1( m= m= ( x p = S p (x. 6

36 Sijoittamalla nämä yhtälöön (.33 saadaan C = x(j p (xj p (x J p(xj p [( (x x p = x Sp (x d x p ( x p S p (x S p (x dx(( d x p Sp (x] dx(( [( x p = x Sp (x( p ( x p 1 ( x p S p (x + S p (x ( x p ( p ( x p 1 ( x p ] S p (x Sp (x + S p(x = p S p (xs p (x + xs p (xs p(x p S p (xs p (x xs p(xs p (x = p S p (xs p (x + x (S p (xs p(x S p(xs p (x. Lausekkeessa x (S p (xs p(x S p(xs p (x ei ole nollasta eroavia vakiotermejä, koska muuttuja x kertoo potenssisarjojen tulojen erotusta. Lausekkeen ( p S p (xs p (x = p ainoa vakio termi on ( = p m= ( 1 m x m ( m!γ(p + m + 1( m= 1 Γ(p m=1 ( 1 m m!γ(p + m + 1( x ( 1 m x m m!γ(m p + 1( m ( 1 Γ(1 p + ( 1 m x m m!γ(m p + 1( m=1 p = Γ(p + 1Γ(1 p p ( 1 m x m Γ(p + 1 m!γ(m p + 1( m=1 p ( 1 m x m Γ(1 p m!γ(p + m + 1( m=1 ( ( 1 m x p m!γ(p + m + 1( m=1 p Γ(p + 1Γ(1 p. m ( m=1 ( 1 m x m m!γ(m p + 1( Sen muut termit lausekkeen x (S p (xs p (x S p (xs p(x kanssa kumoavat toisensa. Näin ollen p C = Γ(p + 1Γ(1 p = p pγ(pγ(1 p = π/ sin(pπ = π sin(pπ, koska Γ(zΓ(1 z = π sinπz (ks. Luentomoniste sivu kaava (4, joten W[J p, J p ](x = πx sin(pπ. 7

37 x Kuva.5: Besselin toisen lajin funktion kuvaajia (n = 1,...,5. Kuvaajasta havaitaan, että toisen lajin Besselin funktioilla näyttäisi olevan hyvin voimakas singulariteetti kohdassa x =. Jos ν Z, niin funktiot J ν ja J ν ovat lineaarisesti riippuvat, ja Besselin yhtälön toinen ratkaisu joudutaan määrittelemään toisin. Oletetaan, että ν ei ole kokonaisluku. Besselin toisen lajin funktio määritellään kaavalla (.34 Y ν (x = cos(νπ J ν(x J ν (x. sin(νπ Kun ν on kokonaisluku n, niin toisen lajin Besselin funktio määritellään raja-arvona cos(νπ J ν (x J ν (x (.35 Y n (x = lim Y (ν, x = lim Y ν (x = lim. ν n ν n ν n sin(νπ Lause.15. Yhtälöllä (.35 määritelty funktio on Besselin differentiaaliyhtälön x y + xy + (x n y = ratkaisu ja joukko {J n (x, Y n (x} on lineaarisesti riippumaton. Todistus. Raja-arvot lim (cos(pπ J p(x J p (x = cos(nπ J n (x J n (x p n = ( 1 n J n (x ( 1 n J n (x = 8

38 ja lim sin(pπ = sin(nπ =, p n joten voimme soveltaa L Hopital n sääntöä raja-arvoa (.35 laskiessa: lim Y (p, x = lim p n p n p [cos(pπj p(x J p (x] p sin(pπ π sin(pπj p (x + cos(pπ Jp(x p = lim p n π cos(pπ = π J n(x + [( 1 n J p(x p π( 1 n = 1 π [ ( 1 n J p(x p J p(x p ] J p(x p J p(x ] p p=n Täten Y n (x on olemassa. Koska ( 1 n J n (x = J n (x, saattaa edellinen raja-arvo olla nolla. Tästä relaatiosta ei kuitenkaan seuraa mitään J p :n J p :n parametrin p suhteen laskettujen derivaattojen välisiä relaatioita. Määritellään operaattori L p : C (R C(R p=n L p (y = x y + xy + (x p y. Tällöin L p (Y (p, x =, aina kun p ei ole kokonaisluku. Koska Y n (x = Y (n, x = lim p n Y (p, x, niin Y (p, x on jatkuva parametrin p suhteen kohdassa p = n. Voidaan osoittaa myös, että Y (p, x ja Y (p, x ovat jatkuvia p:n suhteen kohdassa p = n. Näin ollen L n (Y n (x = L n (lim p n Y (p, x = lim p n L p (Y (p, x =, joten Y n (x toteuttaa Besselin differentiaaliyhtälön. Yhtälön (13, determinanttifunktion ominaisuuksien ja Lemman 1 perusteella 1 W[J p, Y p ](x = cot(πpw[j p, J p ](x sin(πp W[J p, J p ](x ( = πx sin(πp 1 sin(πp = πx. Näin ollen W[J p, Y p ](x ei riipu indeksistä p, joten W[J n, Y n ](x = lim p n W[J p, Y p ](x = πx. Täten joukko {J n (x, Y n (x} on lineaarisesti riippumaton.. 9

39 Luku 3 Ortogonaalikehitelmät funktioavaruudessa Lineaarialgebrassa tutkittiin milloin annettu vektori voidaan esittää lineaariyhdistelynä jonkin saman vektoriavaruuden vektorijoukon avulla. Ongelma on aina ratkeava, jos vektorijoukko on kyseisen avaruuden kanta. Vastaava ongelmaa voidaan tutkia myös funktioiden tapauksessa. Jos meillä on välillä J määritelty reaaliarvoinen funktio f ja samalla välillä määriteltyjen reaaliarvoisten funktioiden joukko {ϕ 1, ϕ,...ϕ n }, niin voidaanko funktio f esittää muodossa n f = a k ϕ k, k=1 missä a k, k = 1,,...n, on reaaliluku? Yleisessä tapauksessa, jossa funktioiden ϕ k joukko on ääretön funktiojono (ϕ k k=1 edellä oleva summa korvataa äärettömällä summalla f = k=1 a k ϕ k = lim n (a 1 ϕ a n ϕ n. Tämä tehtävä on mielekäs sellaisessa funktioavaruudessa, jossa on määritelty funktioiden lineaariset yhdistelyt ja suppeneminen. 3.1 Funktioavaruus Tarkastellaan vain reaalimuuttujan reaaliarvoisten funktioiden muodostamaa funktiojoukkoa. Määritelmä 3.1. Funktioavaruus on sellainen funktiojoukko F, jolla on seuraavat ominaisuudet 1. joukon F funktioilla on sama määritysjoukko W,. af + bg F aina, kun f, g F ja a, b R, 3

40 missä (af + bg(x = af(x + bg(x x W. Esimerkiksi joukossa W määritellyt jatkuvat reaaliarvoiset funktiot muodostavat funktioavaruuden F. Tätä avaruutta merkitään symbolilla C(W C(W = {f : W R f on jatkuva}. Funktioavaruus on siten vektoriavaruus, jonka alkioina ovat funktiot. Seuraavassa J on reaalilukuväli (se voi olla avoin väli (a, b R tai suljettu väli [a, b] R. Määritelmä 3.. Funktio f : J R on paloittain jatkuva, jos (i sillä on vain äärellinen määrä epäjatkuvuuspisteitä x 1, x,...,x n ja (ii jokaisessa välin pisteessä x k,k = 1,,..., n, sekä oikean- että vasemmanpuoleiset rajaarvot f(x k = lim f(x h + k h ja f(x k + = lim f(x h + k + h ovat olemassa äärellisinä. Jos päätepiste a (vast. b on epäjatkuvuuspiste, edellytetään vain oikeanpuoleisen (vast. vasemmanpuoleisen raja-arvon olemassaolo. Tällöin merkitään f PC(J = {f : J R f on paloittain jatkuva}. Määritelmä 3.3. Funktio f : J R on paloittain säännöllinen, jos (i se on paloittain jatkuva ja (ii derivaatta f on olemassa ja jatkuva paitsi äärellisessä pistejoukossa x 1, x,..., x N, jossa ovat myös funktion f epäjatkuvuuspisteet, ja toispuoleiset raja-arvot f (a+, f (b, f (x k ja f (x k + (k = 1,...,N ovat olemassa äärellisinä. Tällöin merkitään f PS(J = {f : J R f on paloittain säännöllinen}. Kuvan avulla tulkittuna: f on paloittain säännöllinen, jos sen kuvaaja on sileä käyrä paitsi pisteissä, joissa se voi hypätä (epäjatkuvuuskohta tai sillä on taitos (derivaatan epäjatkuvuuskohta. Esimerkki 3.4. Tutki ovatko seuraavat funktiot paloittain säännöllisiä:, kun x < 1, a f(x = 3 x, x, b g(x = x, kun 1 x < 1 1 x, kun 1 x x + 4, kun x < 1 c h(x = x 3 x, kun 1 x < 1 sin(4πx, kun 1 x. Ratkaisu. Luennolla. 31

41 x Kuva 3.1: Funktio f x.5 1 Kuva 3.: Funktio g x 1 Kuva 3.3: Funktio h Esimerkki 3.5. Joukot PC(J ja PS(J ovat funktioavaruuksia ja PS(J PC(J. Näiden 3

42 ja jatkuvien funktioiden avaruuden C(J lisäksi joukot C n (J = {f : J R f (n on jatkuva}, L 1 (J = { f : J R b f on integroituva ja f(x dx < } ja L (J = { f : J R f on integroituva ja ovat funktioavaruuksia. a b a f(x dx < } 3. Funktioiden sisätulo ja normi Avaruudesta R n voidaan valita luonnollinen kanta, jonka avulla jokainen vektori voidaan esittää yksikäsitteisenä summana kantavektoreista kerrotuna reaalilukuvakioilla. Kantavektorien valinta voidaan tehdä avaruuden R n sisätulon avulla (siis kohtisuoruuskäsitteen avulla ja tulokseksi saatu vektorijoukko on pienin mahdollinen. Herää kysymys: voidaanko funktioavaruudessa F määritellä vastaava operaatio (jota kutsutaan myös sisätuloksi, jonka avulla voidaan valita sellainen funktiojoukko avaruudesta F, että sen avulla mahdollisimman moni avaruuden F funktio voidaan esittää mielivaltaisen tarkasti summana näistä funktioista reaaliluvuilla kerrottuna? Käsitteeseen mielivaltaisen tarkasti palataan seuraavassa kappaleessa. Tätä varten yleistetään sisätulon käsite funktioavaruudelle. Määritelmä 3.6. Funktioavaruuden F sisätulo on kuvaus, joka liittää joikaiseen avaruuden F funktiopariin (f, g reaaliluvun (f g, ja sillä on seuraavat ominaisuudet. Kaikilla f, g, h F ja a, b R 1. (f f ja (f f = jos ja vain jos f = θ (θ on nollafunktio,. (f g = (g f, 3. (af + bg h = a(f h + b(g h. Sisätulon ominaisuuksista ja 3 seuraa, että 4. (h af + bg = a(h f + b(h g. Esimerkki 3.7. Yhtälö (3.1 (f g = J f(xg(x dx määrittelee sisätulon funktioavuuksissa C(J ja C n (J. Jos ne funktiot samaistetaan, jotka saavat eri arvoja vain äärellisellä määrällä muuttujan arvoja, niin edellinen yhtälö määrittelee sisätulon myös avaruuksissa PC(J, PS(J ja L (J. 33

43 Seuraavassa oletetaan, että F on funktioavaruus, jossa on määritelty sisätulo. Määritelmä 3.8. Normi funktioavaruudessa F määritellään yhtälöllä (3. f = (f f, f F. Esimerkiksi sisätuloa (3.1 vastaava normi on ( f = f(x dx Lause 3.9 (Schwarz in epäyhtälö. Kaikilla f, g F on (f g f g. J 1. Todistus. Luennolla Lause 3.1. Yhtälöllä (3. määritelty normi toteuttaa kaikilla f, g F ja c R ehdot 1. f ja = jos ja vain jos f = θ(= -funktio. cf = c f 3. f + g f + g (kolmioepäyhtälö. Todistus. Luennolla Huomautus Lauseen 3.1 ehdot 1 toteuttaava normi : F R voidaan määritellä myös ilman sisätuloa. Esimerkiksi yhtälö f = sup{ f(x x J} määrittelee normin jokaisessa esimerkin 3.5 funktioavaruudessa, sekä myös avaruudessa B(J = {f : J R f on rajoitettu}. Lause 3.1. Normi f = (f f toteuttaa suunnikassäännön: (3.3 f + g + f g = f + g. Kääntäen, jos normi toteuttaa yhtälön (3.3, niin yhtälö määrittelee sisätulon. (f g = 1 4 ( f + g + f g Todistus. Luennolla Huomautus Lauseke f 1 = J f(x dx määrittelee normin avaruudessa L 1 (J, mutta normi ei toteuta suunnikassääntöä. Näin ollen L 1 (J varustettuna normilla f 1 ei ole sisätuloavaruus. (Valitse J = [, 1], f(t = t ja g(t = 1 t. 34

44 g f f g f + g f g Kuva 3.4: Suunnikassäännön geometrinen tulkinta: suunnikkaan piirin pituus on lävistäjien pituuksien summa. 3.3 Ortogonaalisuus, suppeneminen Olkoon F funktioavaruus, jossa on määritelty sisätulo. Määritelmä Sanotaan, että funktioavaruuden F funktiot f ja g ovat ortogonaaliset, merkitään f g, jos (f g =. Funktioavaruuden F funktiojonoa (f n n=1 sanotaan ortogonaaliseksi, jos (f j f k =, kun j k. Lause 3.15 (Pythagoraan teoreema. Jos f g, niin (3.4 f + g = f + g. Todistus. Luennolla Huomautus Induktiolla (3.4 yleistyy muotoon f f n = f f n, jos f j f k, kun j k. Lause Jos jono (g k k=1 on ortogonaalinen ja f = n k= a kg k, niin Todistus. Luennolla a k = (f g k (g k g k = (f g k, k = 1,...,n. g k Olkoon F funktioavaruus, jossa on määritelty normi. Jos tarkastellaan kahta avaruuden R k vektoria a ja b, niin a b on pisteiden a ja b euklidinen etäisyys. Tämän perusteella on luonnollista määritellä, että vektorijono (a n suppenee kohti vektoria a jos ja vain jos a n a, eli a n a. Tästä johtuen funktioiden suppeneminen määritellään seuraavasti. Määritelmä Funktioavaruuden F funktiojono (f n n=1 f, jos lim f n f =. n Tällöin merkitään lim n f n = f. suppenee kohti F:n funktiota 35

45 Avaruudessa L (J tämä tarkoittaa, että f n n f normin suhteen joss f f n = J f(x f n (x dx n, eli erotus f n f menee nollaan sopivan keskiarvon suhteen välillä J. Tästä ei seuraa, että funktiojono (f n n=1 suppenee pisteittäin määritysjoukossa, eikä funktiojonon pisteittäisestä suppenemisesta seuraa, että se suppenee normin suhteen (ks. Analyysi I:n luennot. Esimerkki Olkoon J = [, 1]. Jos määritellään { 1, kun x 1 n f n (x =,, muutoin, niin f n = 1 f n (x dx = 1/n n = 1,,..., dx = 1 n, joten f n normin suhteen. Toisaalta f n ( = 1 kaikilla n, joten f n ei suppene pisteittäin kohti nollafunktiota. y 1 1/n 1 x Kuva 3.5: Jono, joka suppenee normissa muttei pisteittäisesti Esimerkki 3.. Jos määritellään { n, kun < x < 1 n g n (x =,, muutoin, n = 1,,..., niin g n pisteittäin (g n ( = kaikilla n, ja jos x >, niin g n (x = aina, kun n > x 1. Toisaalta g n = joten g n normin suhteen. 1 g n (x dx = 1/n n dx = n, Lause 3.1. Jos f n f tasaisesti välillä J, niin f n f normin suhteen. Todistus. Tasainen suppeneminen tarkoittaa, että on olemassa sellainen positiivisten reaalilukujen jono (M n, että f n (x f(x M n kaikilla x J ja M n, kun n. Tällöin f n f = f n (x f(x dx Mn dx = l(jm n, J j 36

46 y x Kuva 3.6: Jono, joka suppenee pisteittäisesti muttei normissa missä l(j on välin J pituus, joten f n f menee nollaan, koska M n menee nollaan, kun n. Esimerkki 3.. Olkoon F = B(J, f = sup f(x. Silloin x J f n n f joss sup x J f n (x f(x n joss f n n f tasaisesti välillä J. 3.4 Ortogonaalikehitelmät Seuraavassa oletetaan, että F on funktioavaruus, jossa on sisätulon indusoima normi f = (f f. Määritelmä 3.3. Funktioavaruuden F ortogonaalinen kanta on sellainen F:n ortogonaalinen funktiojono (g k k=, että jokainen F:n funktio voidaan esittää muodossa f = k= a k g k = lim n n a k g k. k= 37