Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet"

Outi Nurminen
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet 1. Etsi lauseen ((p 0 p 1 ) (p 0 p 1 )) kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa normaalimuodossa, (b) konjunktiivisessa normaalimuodossa. Ratkaisu. Laaditaan lauseelle totuustaulu: p 0 p 1 ((p 0 p 1 ) (p 0 p 1 )) Disjunktiivinen normaalimuoto voidaan nyt lukea niiltä riveiltä, joilla lause saa arvon 1, eli toiselta ja neljänneltä riviltä. Toista riviä vastaa konjunktio p 0 p 1 ja neljättä konjunktio p 0 p 1. Lauseen disjunktiivinen normaalimuoto on näiden konjunktioiden disjunktio: (p 0 p 1 ) ( p 0 p 1 ) Vastaavasti konjunktiivinen normaalimuoto voidaan lukea niiltä riveiltä, joilla lause saa arvon 0, eli ensimmäiseltä ja kolmannelta riviltä. Ensimmäistä riviä vastaa disjunktio p 0 p 1 ja kolmatta disjunktio p 0 p 1. Lauseen konjunktiivinen normaalimuoto on näiden disjunktioiden konjunktio: ( p 0 p 1 ) (p 0 p 1 ) (Lauseet voi muuttaa normaalimuotoon myös päättelemällä tunnettujen ekvivalenssien avulla. Tätä tapaa on käytetty tehtävässä 5.) 2. Etsi lauseen (p 0 p 1 ) (p 2 p 1 ) kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa normaalimuodossa, (b) konjunktiivisessa normaalimuodossa. Ratkaisu. Samoin kuin edellisessä tehtävässä. p 0 p 1 p 2 (p 0 p 1 ) (p 2 p 1 )

2 Disjunktiivinen normaalimuoto: (p 0 p 1 p 2 ) (p 0 p 1 p 2 ) ( p 0 p 1 p 2 ) ( p 0 p 1 p 2 ) Konjunktiivinen normaalimuoto: ( p 0 p 1 p 2 ) ( p 0 p 1 p 2 ) (p 0 p 1 p 2 ) (p 0 p 1 p 2 ) 3. Peircen nuoli on konnektiivi jolle pätee v(a B) = 1 jos ja vain jos v(a) = v(b) = 0. Näytä, että { } on täydellinen konnektiivijoukko. Todistus. Olkoon f mielivaltainen totuusfunktio. Lemman 4.4 nojalla on olemassa disjunktiivisessa normaalimuodossa oleva propositiolause A, jolla f A = f. Osoitetaan induktiolla A:n rakenteen suhteen, että on olemassa A:n kanssa loogisesti ekvivalentti propositiolause A, jossa on käytetty vain Peircen nuolta. 1. A = p i : Voidaan valita A = A. 2. Koska A on disjunktiivisessa normaalimuodossa, riittää käsitellä tapaukset, ja. (a) A = B: Oletetaan, että on olemassa B:n kanssa loogisesti ekvivalentti propositiolause B, jossa on käytetty vain Peircen nuolta. Tällöin A = B B Toisaalta negaation ja Peircen nuolen totuustauluja vertaamalla nähdään, että B (B B ) Voidaan siis valita A = (B B ). (b) A = (B C): Oletetaan, että B:lle ja C:lle on olemassa loogisesti ekvivalentit propositiolauseet B ja C, joissa on käytetty vain Peircen nuolta. Tällöin A = (B C) (B C ) Toisaalta konjunktion ja Peircen nuolen totuustauluja vertaamalla nähdään, että (B C ) ((B B ) (C C )) Voidaan siis valita A = ((B B ) (C C )). (c) A = (B C): Oletetaan, että B:lle ja C:lle on olemassa loogisesti ekvivalentit propositiolauseet B ja C, joissa on käytetty vain Peircen nuolta. Tällöin A = (B C) (B C ) Toisaalta disjunktion ja Peircen nuolen totuustauluja vertaamalla nähdään, että Voidaan siis valita A = ((B C ) (B C )). (B C ) ((B C ) (B C )) 2

3 Koska f A = f A = f, niin A määrittelee funktion f. 4. Olkoon konnektiivi jolle v(a B) = 1 jos ja vain jos v(a) v(b). Näytä, että {, } ei ole täydellinen konnektiivijoukko. Todistus. Osoitetaan, että konnektiiveilla ja ei ole mahdollista esittää negaation totuusfunktiota f : {0, 1} {0, 1}, jolla f(1) = 0 ja f(0) = 1. Olkoon A propositiolause, joka sisältää vain propositiosymbolia p 0 ja konnektiiveja ja. Olkoon v sellainen totuusjakauma, että v(p 0 ) = 0. Osoitetaan induktiolla A:n rakenteen suhteen, että v(a) = Jos A = p 0, niin v(a) = (a) Jos A = (B C) ja v(b) = v(c) = 0, niin v(a) = v(b C) = 0. (b) Jos A = (B C) ja v(b) = v(c) = 0, niin v(a) = v(b C) = 0. Näin on osoitettu, että f A (0) = 0. Toisaalta tiedetään, että f(0) = 1. Siispä f A f. Negaatiota ei siis ole mahdollista esittää konnektiiveilla ja, joten {, } ei ole täydellinen. 5. Muunna seuraavat lauseet klausuulimuotoon: (a) (p 0 p 1 ) (p 2 p 3 ) (b) (p 0 p 1 ) (p 2 p 3 ) (c) (p 0 p 1 p 2 ) (d) (p 0 p 1 p 2 ) (e) (p 0 p 1 ) (p 1 p 2 ). Ratkaisu. Muutetaan lauseet tunnettujen ekvivalenssien avulla konjunktiiviseen normaalimuotoon, josta klausuulimuoto voidaan lukea suoraan. (a) (p 0 p 1 ) (p 2 p 3 ) (p 0 p 1 ) (p 2 p 3 ) Lause saa muodon {{ p 0, p 1, p 2, p 3 }}. p 0 p 1 p 2 p 3 (A B) A B (b) (p 0 p 1 ) (p 2 p 3 ) (p 0 p 1 ) (p 2 p 3 ) ( p 0 p 1 ) (p 2 p 3 ) (A B) A B (( p 0 p 1 ) p 2 ) (( p 0 p 1 ) p 3 ) A (B C) (A B) (A C) ( p 0 p 2 ) ( p 1 p 2 ) ( p 0 p 3 ) ( p 1 p 3 ) (A B) C (A C) (B C) 3

4 Lause saa muodon {{ p 0, p 2 }, { p 1, p 2 }, { p 0, p 3 }, { p 1, p 3 }}. (c) (p 0 (p 1 p 2 )) p 0 (p 1 p 2 ) (A B) A B p 0 p 1 p 2 (A B) A B Lause saa muodon {{ p 0 }, { p 1 }, { p 2 }}. (d) (p 0 (p 1 p 2 )) p 0 (p 1 p 2 ) (A B) A B p 0 p 1 p 2 (A B) A B Lause saa muodon {{ p 0, p 1, p 2 }}. (e) (p 0 p 1 ) (p 1 p 2 ) (p 0 p 1 ) (p 1 p 2 ) (p 0 p 1 ) (p 1 p 2 ) (A B) A B (p 0 p 1 ) ( p 1 p 2 ) (p 0 p 1 p 2 ) ( p 1 p 1 p 2 ) (A B) C (A C) (B C) Lause saa muodon {{p 0, p 1, p 2 }, { p 1, p 2 }}. (Tehtävän voi ratkaista myös laatimalla lauseille totuustaulut ja lukemalla konjunktiiviset normaalimuodot niistä. Tätä tapaa on käytetty tehtävissä 1 ja 2.) 6. Minkä klausuulin resoluutiosääntö tuottaa seuraavista klausuuleista? (a) { p 0, p 1, p 2 } ja { p 2, p 3 }, (b) {p 0, p 0 } ja {p 0, p 0 }, (c) { p 0, p 1, p 2 } ja {p 0, p 1 }, (d) { p 0, p 1, p 2 } ja { p 2, p 3, p 4 }. Ratkaisu. (a) { p 0, p 1, p 3 } (b) {p 0, p 0 } (c) {p 1, p 2, p 1 } tai { p 0, p 2, p 0 } (d) Ei mitään. 7. Osoita resoluutiolla, että klausuulijoukko {{ p 0, p 1, p 2 }, { p 2 }, { p 0, p 1 }, {p 0, p 1 }, {p 0, p 1 }} 4

5 ei ole toteutuva. Ratkaisu. Todistetaan annetuista klausuuleista resoluutiolla tyhjä klausuuli. 1. { p 0, p 1, p 2 } (oletus) 2. { p 2 } (oletus) 3. { p 0, p 1 } (oletus) 4. {p 0, p 1 } (oletus) 5. {p 0, p 1 } (oletus) 6. { p 0, p 1 } (1, 2) 7. { p 0 } (3, 6) 8. {p 0 } (4, 5) 9. {} (7, 8) 5

Samankaltaiset tiedostot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Etsi lauseen (p 0 (p 1 p 0 )) p 1 kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa