Aksiaalinen rakenne koostuu suoralla peräkkäin olevista sauvoista kuvan 2.1 mukaisesti. Aksiaalinen rakenne ei ole yleinen sovelluksissa,

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Aksiaalinen rakenne koostuu suoralla peräkkäin olevista sauvoista kuvan 2.1 mukaisesti. Aksiaalinen rakenne ei ole yleinen sovelluksissa,"

Transkriptio

1 Elementtimenetelmän persteet. RISTIORAENTEET. Asiaalinen raenne Asiaalinen raenne oost soralla perääin olevista savoista van. maisesti. Asiaalinen raenne ei ole yleinen sovellsissa,, A, E, A, E, A, E va. Asiaalinen raenne. mtta elementtimenetelmän teoria on tässä tapasessa ysinertaisimmillaan, joten siitä annattaa aloittaa. Asiaalisen raenteen yhteydessä elementtimenetelmän persajatset tlevat esiin mahdollisimman pelistetyssä modossa, jolloin ne on helppo omasa ja yleistys mtiaampiin raenteisiin sj paremmin... Asiaalisen elementin jäyyysmatriisi van. savan ormitsen ja pitdenmtosen välinen yhteys on EA (.) va. Savan jäyyys. e, E, A jossa on savan pits, A poiileiasen ala ja E immomodli. Sava voidaan siis tlita josesi, jona josivaio on EA /. n sava on elementtiveron elementtinä, voivat sen molemmat päät siirtyä, ten vassa. on esitetty. leistetään jäyyyden äsite osemaan tätä tilannetta. Elementin asiaalisesta tasapainosta seraa va. Savaelementti. (.) Toisaalta savan pitden mtoselle on voimassa Ristioraenteet Matti ähteenmäi

2 Elementtimenetelmän persteet. Δ (.) EA aavojen (.) ja (.) maan on siis (.) tai lyhyemmin irjoitettna {} [ ]{ } (.5) jossa {} { } on elementin solmvoimavetori ja { } { } solmsiirtymävetori seä EA [ ] (.6) asiaalisen savaelementin jäyyysmatriisi. Solmvoimavetorin omponenteista saadaan normaalivoima elementin päissä, sillä N ja N. Normaalivoimaa ei annata äyttää solmsreena, sillä systemaattisen äsittelyn annalta on parasta valita sreiden positiivinen snta samasi eli solmvoima on oiealle positiivinen mmassain solmssa. vassa. on asiaalisen savaelementin vasta. ysinertaistett solmmittas-piirros, jossa elementti on piirretty lepotilannetta vastaavaan asemaan. vassa on solmt ja, jota ovat elementin alsolm ja loppsolm. Ne määräävät elementin y-paiallisoordinaatiston eli loaalioordinaatiston. isäsi vassa on nolisymboleina solmmittaseen äytetyt sreet eli elementin vapasasteet. Ne va. Asiaalinen elementti. ilmaisevat solmmittaseen äytetyt voima- ja siirtymäsreet seä näiden positiiviset snnat. Edellä johdett savaelementin solmvoimavetori, solmsiirtymävetori ja jäyyysmatriisi liittyvät jri van. solmmittasjärjestelmään. Jos solmmittas valitaan toisin, mttvat nämä sreet. Elementtien jäyyysmatriisien määrityseen tarvitaan mahdollisimman tehoaita menetelmiä. Edellä tltiin toimeen persljsopilla, mtta se ei aina riitä. Mtaman erran voidaan hyödyntää yössiirtymämenetelmää, joten ttsttaan siihen johta- Ristioraenteet Matti ähteenmäi

3 Elementtimenetelmän persteet. malla jäyyysmatriisin (.6) lasee destaan. Oletetaan, että elementille paotetaan solmsiirtymävetori { } { } van.5 maisesti. Tähän tarvitaan solmvoimat, jota voidaan rataista elementin persyhtälöstä (.5). n meritään tntemattomia jäyyysmatriisin alioita ij, i, j,, saadaan tlos va.5 össiirtymä. jona maan tarvittava solmvoimavetori on jäyyysmatriisin ensimmäinen sarae. van.5 persteella on EA /. Paottamalla solmsiirtymävetorisi { } { } saadaan jäyyysmatriisin toinen sarae tähän tarvittavista solmvoimaomponenteista. Jäyyysmatriisilla (.6) on aiille jäyyysmatriiseille tyypillisiä ominaissia jäyyysmatriisi on symmetrinen eli [ ] [ ] T lävistäjäaliot ovat aidosti positiivisia eli ii >, i, elementillä on vapasasteillaan jäyän appaleen liiemahdolliss (translaatio -snnassa), josta johten jäyyysmatriisi on singlaarinen, jolloin det [ ] ja siis [ ] ei ole olemassa. van. elementin asiaalista jäyän appaleen liiettä vastaava tasapainoehto on (.7) van.5 perstella jäyyysmatriisin ensimmäisen saraeen aliot totettavat yhtälön (.7). Myös jäyyysmatriisin toisen saraeen aliot totettavat sen. On siis voimassa (.8) Jäyyysmatriisin symmetriasta seraa, että myös sen vaaarivien aliot totettavat tasapainoyhtälön (.7). Edellä esitetty on myös yleisesti voimassa, tietyn elementin jäyyysmatriisin rivien ja saraeiden aliot totettavat elementin jäyän appaleen liiemahdollissia vastaavat tasapainoehdot. Ristioraenteet Matti ähteenmäi

4 Elementtimenetelmän persteet... Sijoittelsmmas Tarastellaan van.6 (a) asiaalista raennetta. vassa.6 (b) on sen elementtivero. Elementtiveron vassa on esitetty solmjen vapasasteet, mtta ei tia ja ormitsia. Elementtiverossa on olme elementtiä ja neljä solma, joiden globaalit,a, E,A, E,A, E va.6 Asiaalinen raenne ja sen elementtivero. solmnmerot ovat vassa. Elementtien josivaiot ovat i EiAi /i, i,,. osa elementtiormitsia ei ole, on van.6 (b) elementtiveron persyhtälö [ ]{ } { } (.9) jossa { } on elementtiveron solmsiirtymävetori ja { } solmormitsvetori seä [ ] näitä vastaava elementtiveron jäyyysmatriisi. osa elementtiverolla on neljä vapasastetta, yhtälö (.9) on ai irjoitettna (.) Elementtiveron jäyyysmatriisin määrityseen ei vielä ole esitetty yössiirtymämenetelmää tehoaampaa einoa, joten äytetään sitä matriisin [ ] saraeiden määrityseen. vassa.7 on raenteella siirtymävetori { } { } ja tä-. osa solmt, hän tarvittava solmormitsvetori { } { } ja eivät lii, pysyvät elementtien ja pitdet ennallaan, joten niiden normaalivoimat ovat nollia. Tästä seraa, että tireatiot ja ovat nollia. isäsi on ja asiaalisen tasapainon persteella. Jäyyysmatriisin [ ] ensimmäinen sarae on siis { }. Ristioraenteet Matti ähteenmäi

5 Elementtimenetelmän persteet.5 vassa.8 raenteella on siirtymävetori { } { } tarvitaan solmormitsvetori { } { }, jona syntymiseen. osa elementin pits ei mt, on sen normaalivoima nolla, joten. van.8 (b) persteella, ja, joten jäyyysmatriisin [ ] toinen sarae. on { } va.7 össiirtymä { } { }. Samalla periaatteella saadaan matriisin [ ] olmas ja neljäs sarae ja ne ovat { } ja { }. Jäyyysmatriisisi [ ] tlee va.8 össiirtymä { } { }. [ ] (.) Ristioraenteet Matti ähteenmäi

6 Elementtimenetelmän persteet.6 Jäyyysmatriisissa (.) näyy selvästi nin elementin, ja vaitset globaalisolmnmeroidensa maisilla aleilla. Tlos voidaan tlita elementtien jäyyysmatriisien sijoittelsmmasesi. Tämä taroittaa sitä, että nin elementin jäyyysmatriisin aliot sijoitetaan oonaisjäyyysmatriisiin [ ] elementin globaalisolmnmeroiden maisiin paioihin lasien samaan paiaan tlevat aliot yhteen. Esimerisi elementin jäyyysmatriisin aliot sijoittelsmmataan matriisiin [ ] van (.9) maisesti. n elementin jäyyysmatriisi on irjoitett, globaalinmerot meritään sen ala- ja oiealle polelle vassa.9 esitetyllä tavalla. Silloin nin alion osoite oonaisjäyyysmatriisissa on välittömästi nähtävissä. va.9 Jäyyysmatriisin [ ] sijoittelsmmas. Sijoittelsmmasta voidaan soveltaa yleisesti aien tyyppisille elementeille raenteen jäyyysmatriisia modostettaessa. Soveltamisen edellytysenä on itenin, että elementin loaalin ja elementtiveron globaalin solmmittasien snnat ovat samat. Jos näin ei ole, on elementin jäyyysmatriisiin sovellettava vielä ennen sijoittelsmmasta oordinaatiston iertoa, ten myöhemmin tlee esille. Sijoittelsmmasen symbolina äytetään merintää " ", joten lasee M [ ] " " [ ] e (.) e taroittaa, että elementtiveron jäyyysmatriisi modostetaan sijoittelsmmaamalla M appaletta elementtien jäyyysmatriiseja. Tlosesta (.) näyy, että saat jäyyysmatriisi on symmetrinen ja sen päälävistäjäaliot ovat positiivisia. Matriisi [ ] on singlaarinen, sillä van.6 (b) solmmittasjärjestelmään sisältyy asiaalinen jäyän appaleen liiemahdolliss, jota vastaava tasapainoyhtälö on (.) Matriisin (.) saraeiden ja rivien aliot totettavat tämän yhtälön. Ristioraenteet Matti ähteenmäi

7 Elementtimenetelmän persteet.7 Ristioraenteet Matti ähteenmäi Elementtiveron persyhtälössä (.) on oiealla polella solmormitsvetori { }, joa sisältää solmihin vaittavat annett ormitset ja tntemattomat tireatiot. Tässä tapasessa on van.6 (a) persteella { } { } (.) jossa ja ovat tntemattomia tireatioita. Solmsiirtymävetorista { } tnnetaan tiomponentit ja. Ne ovat nollia, jos tet ovat siirtymättömiä tai annetn srisia paosiirtymiä. Persyhtälö (.9) on ai irjoitettna (.5) htälössä (.5) on solmsiirtymä- ja solmormitsvetorissa tnnett omponentit lihavoit. Ryhmää (.5) ei voi rataista ääntämällä erroinmatriisi, sillä se on singlaarinen. isäsi tntemattomia esiintyy myös yhtälöryhmän oiealla polella. Ratais saadaan esimerisi niin, että otetaan ryhmästä (.5) vapaita solmsiirtymiä ja vastaavat yhtälöt, jolloin saadaan ) ( ) ( (.6) eli matriisimotoon irjoitettna (.7) joa voidaan rataista ääntämällä erroinmatriisi. n ja on rataist, saadaan tireatiot ja ryhmän (.5) ensimmäisestä ja neljännestä yhtälöstä eli (.8) Edellä esitetty jäyyysyhtälön rataismenetelmä on tehoton, joten EM-ohjelmistoissa se on orvatt tehoaammilla menetelmillä.

8 Elementtimenetelmän persteet.8.. Vapaat solmsiirtymät veron vapasasteina Vaia elementtimenetelmää ei ole ajatelt äsilasmenetelmäsi, on teorian havainnollistamisesi hyvä äsitellä pieniä malleja ilman tietoonetta. Tisiirtymien ollessa nollia voidaan lasentatyötä vähentää jättämällä tivapasasteet alvaiheessa pois elementtiveron solmmittasesta, jolloin sijoittelsmmas johtaa soraan vapaiden solmsiirtymien yhtälöryhmään. Tntemattomat tireatiot voidaan siirtymien rataisemisen jäleen lasea elementin persyhtälön avlla. vassa. on edellä tarastelt elementtivero, jossa solmsiirtymät solmissa ja on varstett vapasastenmeroilla ja seä iinteisi oletetissa tisolmissa ja on yhteinen vapasaste merinä siitä, että nämä jätetään alvaiheessa lasennasta pois. van. veron jäyyysyhtälö voidaan modostaa tavanomaisesti sijoittelsmmasella elementtien jäyyysmatriiseista jättäen homioonottamatta ne aliot, joiden osoitteessa esiintyy vapasaste. va. Vapaat solmsiirtymät. Modostetaan elementtien jäyyysmatriisit ja varstetaan ne osoitenmeroilla [ ] [ ] [ ] (.9) Jäyyysmatriiseissa on sijoittelsmmaseen osallistvat aliot lihavoit. n sijoittelsmmas soritetaan näillä alioilla, saadaan elementtiveron persyhtälösi (.) josta näyy, että yhtälöön (.7) päästään tällä teniialla soraan. Tloseen (.7) päästään myös, n ryhmästä (.5) pyyhitään pois tettja solmmittasia ja vastaavat rivit ja saraeet. Pelien vapaiden solmsiirtymien äyttö vapasasteina onnist vain, n tisiirtymät ovat nollia. Nollasta poieavien tisiirtymien äsittely edellyttää niihin liittyvien vapasasteiden ottamista maan solmmittaseen. Ristioraenteet Matti ähteenmäi

9 Elementtimenetelmän persteet.9.. Tntemattomien sreiden rataiseminen Elementtiveron solmsiirtymävetori rateaa veron persyhtälöstä [ ]{ } { }. Solmsiirtymävetorista { } voidaan poimia minä tahansa elementin solmsiirtymävetori { } e, josta voidaan lasea elementin persyhtälön { } e [ ] e { } e avlla solmvoimavetori {} e. n solmsreet tnnetaan, voidaan tntemattomat sreet elementin aleessa lasea niistä. Johdetaan aava mielivaltaisen poiileiasen siirtymälle (). inemaattisen yhtälön ja Hooen lain persteella saadaan d σ ε (.) d E va. enttäsreiden määritys. van. ja yhtälön (.) persteella on E σ ( ) (.) A () aavoista (.) ja (.) seraa d ( ) d ( ) d () ( ) d Siirtymälle () tlee edellä olevasta lasee () N() N() (.) eli siirtymä () saadaan lineaarisella interpoloinnilla solmarvoistaan ja interpolointintioiden ollessa () N () (.) N Tässä tapasessa tara siirtymäratais elementin aleessa löytyy ja se on sama in lineaarisella interpoloinnilla saatava ratais. Siirtymää (.) vastaavat venymä ε ja jännitys σ ovat d dn dn E ε ( ) σ Eε ( ) (.) d d d Ristioraenteet Matti ähteenmäi

10 Elementtimenetelmän persteet...5 Evivalenttiset solmormitset leisessä tapasessa ormitsia voi olla myös elementin aleessa. Solmjen lopolella olevia ormitsia sanotaan elementtiormitsisi. Niiden vaits voidaan ottaa homioon evivalenttisten solmormitsten avlla. Evivalenttisilla solmormitsilla {} r taroitetaan sellaisia solmormitsia, jota aihettavat raenteelle samat solmsiirtymät { } in yseessä oleva elementtiormits. R S R S r r R r r S va. Evivalenttiset solmormitset. Evivalenttisten solmormitsten laseeet saadaan yhteenlasperiaatteella. Tarastellaan van. asiaalisen raenteen elementtiä e, jona solmjen ja globaalinmerot ovat R ja S. Ttittava tilanne (a) on jaett ahteen osatapaseen (b) ja (). Tapas (b) sisältää elementtiormitsen ja sen solmsiirtymät on estetty. Tällöin elementin päihin syntyvät tireatiot r ja r. Tapas () sisältää solmormitset R ja S solmsiirtymien ollessa todelliset tapasen (a) maiset. Solmormitsiin tarvitaan tapasessa () lisäyset, jota ovat jri evivalenttiset solmormitset r ja r. hteenlasperiaate (a) (b) () totet jos ja vain jos r r ja r r (.5) Nähdään, että evivalenttiset solmormitset ovat elementtiormitsista syntyvien tireatioiden vastasreet, n solmmittasen maisten siirtymien syntyminen on estetty. Päättely pätee minä tyyppiselle elementille ja elementtiormitselle tahansa, n vain yhteenlasperiaate on voimassa. Ristioraenteet Matti ähteenmäi

11 Elementtimenetelmän persteet. Elementtiormitsten ollessa mana, mtt solmvoimavetorin { } lasaava (.5) toiseen motoon. van. () maan { } sisältää solmsiirtymävetorista { } johtvan osden [ ]{ }, mtta yhteenlasperiaatteesta seraa, että tähän on lisättävä van. (b) tireatioiden vetori { r} { r r } {} r {} [ ]{ } {} r [ ]{ } { r}. (.6) Elementtiormitset otetaan homioon lisäämällä solmormitsvetoriin { } evivalenttiset solmormitset. Tämä voidaan tehdä siten, että llein elementtiormitsen alaiselle elementille lasetaan loaalinmeroinnin mainen evivalenttinen solmormitsvetori { r} e { r} e nmeroinnin maisiin paioihin vetoriin { }, joa sitten sijoittelsmmataan globaali-. Näin saadaan elementtiveron oonaisormitsvetori, jona lasee on M { } { } " " { r} e e R (.7) leinen elementtiveron jäyyysyhtälö on siis motoa [ ]{ } { R} (.8) vassa.5 on mtaman tavallisen elementtiormitstapasten tireatiot { r }. Niistä saadaan etmeriä vaihtamalla evivalenttiset solmormitset { r } q q b a EAΔT ΔT EAΔT EA δ EA δ δ va. Asiaalisen elementin tireatioita { r }. on rataist, voidaan modostaa elementtien solm- aavasta (.6). Tntematto- n persyhtälö [ ] { } { R} siirtymävetorit { } ja lasea solmvoimavetorit { } mat sreet elementin aleessa saadaan näiden vetoreiden avlla. asennassa on otettava homioon myös elementtiormitsten vaits van. (b) maisesti. Ristioraenteet Matti ähteenmäi

12 Elementtimenetelmän persteet.. Tasoristio.. leistä ristioraenteista Ristioraenne on ljsopin lasentamalli, joa oost vain vetoa ja priststa estävistä savoista. Nämä liittyvät tipisteisiin ja toisiinsa itattomilla nivelillä. Jos ristioraenteen savat ovat samassa tasossa, on se tasoristio, mtta mten avarsristio. Raennetyyppinä ristioraenne on viivaraenne, sillä sitä äytettäessä todellisen raenteen geometria mallinnetaan savojen pintaesiöviivoilla, jota liittyvät toisiinsa ja tiin nivelien ohdilla. leensä ristion savat ovat tasapasja, jolloin poiipintasreista tarvitaan vain nin savan poiileiasen pinta-ala. Oletsista seraa, että ristion ineettinen ormits voi oosta lähinnä niveliin ohdistvista pistevoimista ja inemaattinen ormits tien translaatiosiirtymistä. Savoihin ohdistvia ormitsia ovat lämpötilan mtos, esijännitys ja esivenymä. Tasoristion ormitsten on oltava sen omassa tasossa. asennan tlosena saadaan savojen normaalivoimat ja normaalijännityset seä nivelien siirtymät. Ristioraenne voidaan rataista tarasti elementtimenetelmällä äyttämällä elementtiveroa, jossa solmt sijaitsevat nivelien ohdilla ja elementit ovat niiden välille jäävät savat. Ristion elementit ovat asisolmisia savaelementtejä, eivätä tässä shteessa eroa edellä tarastellsta asiaalisesta elementistä. Asiaalista elementtiä ei itenaan voi sellaisenaan äyttää ristioraenteiden rataisn, sillä solmmittas on soritettava toisella tavalla... Tasoristion elementtivero van.5 maisen asiaalisen savaelementin äyttö on mahdollista vain, jos elementtiveron aii savaelementit ovat samansntaiset. Tasoristiolla näin ei ole, sillä elementtiveron solmn liittyy aina vähintään asi erisntaista elementtiä. Esimerisi vassa. olevan tasoristion elementtiveron solmn 6 liittyy asi y y va. Tasoristion elementtivero ja sen elementti. Ristioraenteet Matti ähteenmäi

13 Elementtimenetelmän persteet. vaaasntaista, vinossa asennossa oleva ja pystysora elementti. osa solmsreiden mittasta ei voida valita elementtien paiallisten -aseleiden sntaisesi, sovitaan raenteelle globaalioordinaatisto, jona aseleiden shteen solmmittas soritetaan. vassa. on valitt globaali -oordinaatisto siten, että origo on solmssa. Elementtiveron globaalioordinaatiston lisäsi llain elementillä on oma loaali y-oordinaatistonsa. vassa. on myös elementin loaalioordinaatisto. Solmmittas tapaht solmissa globaaliaseleiden snnissa ja sisältää translaatiosiirtymät ja solmvoimat. Tasoristion savaelementin solmn liittyy asi mittassntaa, jolloin solmlla on asi ja elementillä neljä vapasastetta. vassa. on esitetty solmjen ja 5 solmmittasen vapasasteet nolisymboleilla ja lisäsi ne on nmeroit. Tasoristion elementin solmsrevetoreiden dimensio on ja elementin jäyyysmatriisi -matriisi. Tasoristion elementtiveron vapasasteiden määrä on asi ertaa solmjen määrä... Tasoristion elementin jäyyysmatriisi Tasoristion tarasteln tarvitaan van.5 globaalioordinaatistoon yleisesti sijoittva savaelementti. lma määrittelee elementin snnan ja se mitataan - snnasta positiivisen snnan ollessa vastapäivään. isäsi on tnnettava sreet E, A ja tai pitden sijasta solmjen oordinaatit. { } {} [ ] { } { } [ ] va.5 Tasoristion elementti, loaali- ja globaalimittas. vassa.5 (a) on esitetty elementin loaaliaselin sntainen solmmittas, johon liittyvät solmsiirtymä- ja solmvoimavetori ovat { } { } {} { } (.9) oaalimittaseen liittyvä jäyyysmatriisi on [ ] ja se on aavan (.6) maisesti (.) EA [ ] Ristioraenteet Matti ähteenmäi

14 Elementtimenetelmän persteet. vassa.5 (b) on esitetty elementin globaaliaseleiden sntainen solmmittas. Solmjen vapasasteiden loaalinmerointi otetaan solmittain eteneväsi niin, että sisältää solm- vaaasnta nmeroidaan ensin. Elementin solmsiirtymävetori { } jen globaaliaseleiden sntaiset siirtymäomponentit ja solmvoimavetori { } elementin päihin vaittavat vaaa- ja pystysntaiset voimaomponentit ja ne ovat { } { } { } { } (.) asennassa tarvitaan globaalimittaseen liittyvä jäyyysmatriisi [ ], joten johdetaan seraavasi sen lasee. oaalimittasen solmsiirtymät modostvat globaalimittasen solmsiirtymistä elementin snnalle tlevista omponenteista seraavasti os sin os sin (.) Siirtymien yhteys voidaan esittää matriisimodossa os sin sin { } [ B]{ } os (.) Globaalimittasen solmvoimat modostvat loaalimittasen solmvoimien omponenteista seraavasti os sin os sin (.) Voimien yhteys voidaan esittää matriisimodossa os sin os sin T {} [ B] {} (.5) oaali- ja globaalimittasten sreiden välillä ovat yhteydet os sin T { } [ B]{ } { } [ B] {} [ B] os sin (.6) jota sanotaan ontragredienttilaisi. Sreiden yhteyden antavaa matriisia [ ] B sanotaan inemaattisesi matriisisi. Ristioraenteet Matti ähteenmäi

15 Elementtimenetelmän persteet.5 mmassain mittasessa on voimassa elementin persyhtälö eli [ ]{ } {} [ ]{ } { } (.7) aavojen (.6) ja (.7) persteella voidaan irjoittaa T T T [ B] {} {} [ B] [ ]{ } { } [ B] [ ] [ B] { } { } (.8) josta nähdään, että globaalioordinaatiston jäyyysmatriisilla [ ] on lasee T [ ] [ B] [ ][ B] (.9) Globaalioordinaatiston jäyyysmatriisi voidaan lasea loaalioordinaatiston jäyyysmatriisista inemaattisen matriisin [ B ] avlla äyttäen mnnosaavaa (.9), jota sanotaan ongrenssimnnosesi. n matriisit [ B ] ja [ ] sijoitetaan aavaan (.9) ja soritetaan matriisien ertominen, saadaan tlosesi jäyyysmatriisi os os sin os os sin EA os sin sin os sin sin (.) os os sin os os sin os sin sin os sin sin [ ] aavasta (.) näyy, että tasoristion savaelementin jäyyysmatriisin lasemisesi pitää tntea sen josivaio EA / ja sntalma globaalioordinaatistossa. Savaelementin normaalivoimaa N ei saada välittömästi elementin persyhtälöstä {} [ ]{ }, mtta se voidaan lasea vetorin { } omponenteista. N voidaan lasea myös vetorin { } omponenteista, sillä { } [ ] { } [ ][ B]{ } ja lasemalla oiean polen vetorin toinen omponentti saadaan aava [( ) os ( ) sin ] EA N (.) Tehdyistä oletsista seraa myös, että savaelementille ei voi tlla vetorin { } omponenteista leiasvoimaa Q... Evivalenttiset solmormitset osa tasoristion savaelementti ei tehtyjen oletsien maan ota vastaan taivts- eiä leiasrasitsta, on elementin aleella vaittavien ormitsten oltava Ristioraenteet Matti ähteenmäi

16 Elementtimenetelmän persteet.6 savan loaalin -aselin sntaisia eli van. tyyppisiä. äytännössä ysymyseen voi tlla lähinnä savan lämpötilan mtos ΔT ja pitdenmtos δ. Evivalenttiset solmormitset { r } savaelementin loaalioordinaatistossa saadaan helposti selville esimerisi vasta., mtta ne on vielä mnnettava globaalioordinaatiston omponenteisi, jotta ne voitaisiin yhdistää solmormitsiin sijoittelsmmasella aavan (.7) maisesti. Mnnoseen voidaan äyttää aavaa (.6), josta seraa T {} r [ B] {} r (.) jossa { r } globaalioordinaatiston evivalenttinen solmormitsvetori. Esimerisi lämpötilan mtoselle {} r EA ΔT{ } ΔT seraa vasta. loaalioordinaatistossa (.) josta seraa aavan (.) avlla globaalioordinaatiston vetori {} r EA ΔT{ os sin os sin } (.). Avarsristio.. Avarsristion elementtivero Avarsristion tara ratais elementtimenetelmällä löytyy äyttämällä elementtiveroa, jona solmt ovat ristion nivelien ja tien ohdilla ja in ristion sava on elementti. vassa.6 on esimeri avarsristion elementtiverosta, jossa on solma ja 5 elementtiä. Avarsristion savaelementti on ominaissiltaan samanlainen in tasoristion elementti eli tarvittavat ominaisdet tasapaslle savalle ovat E, A ja. olmilotteinen geometria aihettaa jonin verran lisää lasentatyötä ja solmmittas pitää yleistää tasotapasesta. asentaa varten otetaan äyttöön -globaalioordinaatisto, jona aseleiden snnissa solmmittas soritetaan. Solmmittas sisältää translaatiosiirtymät ja solmvoimat -, - ja -snnassa. van.6 tapasessa globaalioordinaatiston origo on sijoitett solmn. Solmlla on olme ja elementillä si vapasastetta, jolloin solmsrevetoreiden dimensio on si ja elementin jäyyysmatriisi on 66-matriisi. Elementtiveron vapasasteiden määrä on olme ertaa solmjen lmäärä. vassa.6 on esitetty nolisymboleilla solmn 8 vapasasteet, jota on lisäsi nmeroit. van.6 elementtiverolla on vapasastetta ja veron jäyyysmatriisi on näin -matriisi, tntemattomia solmsreita ovat vapaiden solmjen siirtymäomponenttia ja tisolmjen (, 5, 9, ) tireatioomponent- Ristioraenteet Matti ähteenmäi

17 Elementtimenetelmän persteet.7 tia. Elementtiveron globaalioordinaatiston lisäsi elementillä on oma loaali yzoordinaatistonsa, jona -aseli lee elementin sntaisesti sen alsolmsta loppsolmn päin seä y- ja z-aselit ovat poiileiastasossa. vassa.6 on esimerinä elementin 7 loaalioordinaatisto ja solmmittas z 9 y y z va.6 Avarsristion elementtivero ja sen elementti. Avarsristion äsittely elementtimenetelmällä onnist elementtimenetelmän periaatteiden maisesti, n tnnetaan -globaalioordinaatistossa mielivaltaisessa asennossa olevan savaelementin globaalimittaseen liittyvä jäyyysmatriisi. Seraavassa tämä johdetaan ongrenssimnnosta äyttäen... Avarsristion elementin jäyyysmatriisi Avarsristion tarasteln tarvitaan van.7 globaalioordinaatistoon yleisesti sijoittva savaelementti. Solmjen oordinaatit,, ja,, määrittelevät Ristioraenteet Matti ähteenmäi

18 Elementtimenetelmän persteet.8 elementin asennon ja niistä voidaan lasea elementin pits ja sen loaalin -aselin sntaosinit globaaliaseleiden shteen ( ) ( ) ( ) (.5) ( ) ( ) ( ) os os os (.6), ja ovat lmat, jota loaali -aseli modostaa globaalien -, - ja - aseleiden anssa. isäsi elementistä on tnnettava sreet E ja A. (a) (b) 5 y E, A, z e y E, A, e z 6 { } { } [ ] { } { } [ ] va.7 Avarsristion elementti, loaali- ja globaalimittas. vassa.7 (a) on elementin loaaliaselin sntainen solmmittas, johon liittyvät solmsiirtymä- ja solmvoimavetori ovat { } { } {} { } (.7) oaalimittaseen liittyvä jäyyysmatriisi on [ ] ja se on aavan (.6) maisesti (.8) EA [ ] vassa.7 (b) on elementin globaali solmmittas. Solmjen vapasasteiden nmerointi otetaan solmittain eteneväsi ja solmssa nmerointijärjestys on, ja. sisältää globaaliaseleiden sntaiset siirtymäomponentit Solmsiirtymävetori { } ja solmvoimavetori { } oordinaattiaseleiden sntaiset voimaomponentit { } { } { } { } (.9) Ristioraenteet Matti ähteenmäi

19 Elementtimenetelmän persteet.9 Ristioraenteet Matti ähteenmäi oaalimittasen solmsiirtymät modostvat globaalimittasen solmsiirtymistä elementin snnalle tlevista omponenteista seraavasti os os os os os os (.5) Globaalimittasen solmvoimat modostvat loaalimittasen solmvoimien omponenteista seraavasti os os os os os os (.5) Siirtymien ja voimien yhteydet voidaan esittää matriisimodossa seraavasti { } [ ]{ } { } [ ] { } [ ] T os os os os os os B B B (.5) joa on siirtymien ja voimien välinen ontragredienttilai. Globaalimittasen jäyyysmatriisi saadaan tällöin ongrenssimnnosella [ ] [ ] [ ][ ] B B T (.5) n matriisien ertolast soritetaan, päädytään seraavaan tloseen [ ] EA (.5) jossa on äytetty lyhennysmerintöjä os os os (.55) Savaelementin normaalivoimaa N ei saada välittömästi elementin persyhtälöstä { } [ ]{ }, mtta se voidaan lasea vetorin { } omponenteista.

20 Elementtimenetelmän persteet. N voidaan lasea myös vetorin { } omponenteista, sillä { } [ ]{ } [ ][ B]{ } ja lasemalla oiean polen vetorin toinen omponentti saadaan aava [( ) os ( ) os ( ) os ] EA N (.56) Tehdyistä oletsista seraa myös, että savaelementille ei voi tlla vetorin { } omponenteista leiasvoimia Q y ja Q z... Evivalenttiset solmormitset osa avarsristion savaelementti ei oletsen maan ota taivts- eiä leiasrasitsta, on elementtiormitsten oltava savan loaalin -aselin sntaisia eli van. maisia. ysymyseen tlee tällöin lähinnä savan lämpötilan mtos ΔT ja pitdenmtos δ. Evivalenttiset solmormitset { r } saadaan vasta. loaalioordinaatistossa, jolloin ne on vielä mnnettava globaalioordinaatistoon. Mnnoseen voidaan äyttää aavaa (.5), jolloin saadaan T {} r [ B] {} r (.57) jossa { r } globaalioordinaatiston evivalenttinen solmormitsvetori. Esimerisi pitden mtoselle δ seraa vasta. loaalioordinaatistossa EA δ {} r { } (.58) josta seraa aavan (.57) avlla globaalioordinaatiston vetori EA δ (.59) {} r { os os os os os os } Ristioraenteet Matti ähteenmäi

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 06: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 1.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 06: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 1. 6/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERSTEET SESSIO 6: Asiaalinen sauvaelementti, osa. ASIAALINEN RAENNE L, A, E L, A, E L, A, E uva. Asiaalinen raenne. Asiaalinen raenne taroittaa tässä yhteydessä raennetta, joa oostuu

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 08: Tasoristikon sauvaelementti, osa 1.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 08: Tasoristikon sauvaelementti, osa 1. 8/ ELEMENIMENEELMÄN PERUSEE SESSIO 8: asoristikon savaelementti, osa. LEISÄ Ristikkorakenne koost vain vetoa ja priststa kestävistä savoista. Savat liittvät rakenteen tkipisteisiin ja toisiinsa kitkattomilla

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2. / ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO : Tasoehän palielementti, osa. NELJÄN VAPAUSASTEEN PALKKIELEMENTTI Kun ahden vapausasteen palielementin solmuihin lisätään loaalin -aselin suuntaiset siirtmämittauset,

Lisätiedot

Kun annettu differenssiyhtälö z-muunnetaan puolittain, saadaan: 1 1 z Y z zy z z/4 4

Kun annettu differenssiyhtälö z-muunnetaan puolittain, saadaan: 1 1 z Y z zy z z/4 4 DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoits 8, rataisehdotset Tämän harjoitsen ideana on opetella -mnnosen ättöä differenssihtälöiden rataisemisessa. Lisäsi ätetään -mnnosen ehäpä hödllisintä ominaistta, eli

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

6 USEAN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN LIIKEYHTÄLÖT

6 USEAN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN LIIKEYHTÄLÖT Värähtelyeaniia 6. 6 USEN VPUSSEEN SYSEEMIN LIIKEYHÄLÖ 6. Johanto Usean vapasasteen systeein liietilan vaaiseen tarvitaan asi tai seapia oorinaatteja. Koorinaatteina voivat olla seä translaatiot että rotaatiot.

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 10: Avaruusristikon sauvaelementti.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 10: Avaruusristikon sauvaelementti. / EEMEIMEEEMÄ PERSEE SESSIO : Avasistion savalmntti. AVARSRISIKO EEMEIVERKKO Avasistion taaan ataisn päästään ättämällä lmnttivoa jona solmt ovat istion nivlin ohdilla in istion sava on lmntti. Kvassa

Lisätiedot

4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa 6 VEKTORIANALYYSI Lento 3 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f f ( r) f ( x, y, z) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,

Lisätiedot

= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa 30 VEKTORIANALYYSI Lento 4 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f= f( r) = f( xyz,, ) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 07: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 2.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 07: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 2. 7/ EEMENTTIMENETEMÄN PERSTEET SESSIO 7: Aksiaalinen sauvaelementti, osa. RATKAIS EEMENTIN AEESSA Verkon perusyhtälöstä [ K ]{ } = { F} saatavasta solmusiirtymävektorista { } voidaan poimia minkä tahansa

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y 36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien

Lisätiedot

Luento 2 / 12. SMG-1200 Piirianalyysi II Risto Mikkonen

Luento 2 / 12. SMG-1200 Piirianalyysi II Risto Mikkonen SMG-00 Piirianalsi II Lento / SMG-00 Piirianalsi II Risto Mionen 6.8.03 ) ( ) ( ) ( L L L L L ) ( ) ( Additiiviss Homogeeniss ) ( ) ( ) ( L L L Lineaariss 6.8.03 SMG-00 Piirianalsi II Risto Mionen Aiainvarianttiss

Lisätiedot

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa

Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017 KJR-C00 Kontinuumimeaniian perusteet viio 45/017 1. Oloon f t ) alojen onsentraatio [ f ] < g/m ) joessa joa riippuu siis seä paiasta että ajasta. Havaitsija on veneessä ja mittaa onsentraatiota suoraan

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un

Lisätiedot

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.

[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k. ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -

Lisätiedot

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa

Lisätiedot

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia. HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen,

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista

3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista Elementtimenetelmän peusteet. KEHÄRAKENTEET. leistä ehäaenteista Kehäaenteen osina oleat palit oiat ottaa astaan aiia annattimen asitusia, jota oat nomaali- ja leiausoima seä taiutus- ja ääntömomentti.

Lisätiedot

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana

Lisätiedot

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut

Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:

Lisätiedot

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus 30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin

Lisätiedot

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006

S-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006 S-55.0/4 Piirianalyyi. Välioe 0.3.006 ae tehtävät 3 eri paperille in tehtävät 4 5. Mita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanmero, rin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Mita

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan

Lisätiedot

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.

Lisätiedot

Estimointi Laajennettu Kalman-suodin. AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 4

Estimointi Laajennettu Kalman-suodin. AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 4 Estimointi Laajennettu Kalman-suodin AS-84.2161, Automaation signaalinäsittelymenetelmät Lasuharjoitus 4 Estimointi Systeemin tilaa estimoidaan, un prosessin tilamalli tunnetaan Tilamalli voi olla lineaarinen

Lisätiedot

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

Riemannin sarjateoreema

Riemannin sarjateoreema Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5. Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 23: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 1

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 23: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 1 / VÄRÄHTELYEANIIA SESSIO : Usean vapausasteen vaeneaton onasvärähtely osa JOHDANTO Usean vapausasteen systeen leyhtälöt ovat ylesessä tapausessa uotoa [ ]{ & } [ C]{ & } [ ] { } { F} & ( un vaennusta e

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ

HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen,

Lisätiedot

Q Q 3. [mm 2 ] 1 1 = L

Q Q 3. [mm 2 ] 1 1 = L EDE-00 Elementtimenetelmän perusteet. Harjoitus 5r Syksy 03. 400 mm 0 kn 600 mm A 400 mm B 8 kn 300 mm 5 kn 000 mm 8 kn 300 mm 300 mm 00 mm. Määritä pisteiden A ja B siirtymät elementtimenetelmällä, kun

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 13: Avaruuskehän palkkielementti.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 13: Avaruuskehän palkkielementti. / EEMENIMENEEMÄN PERUSEE SESSIO : Aarskhän palkkilmntti. AARUUSKEHÄN EEMENIERKKO solm solm Ka. Aarskhän lmnttirkko ja sn lmntti. Jos khä sisältää ain tasapaksja ja soria osia, sn tarkka ratkais saaaan

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista

Lisätiedot

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-0361-1 1 (5) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 15100 Lahti 7.4.01 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 1001, 0044 VTT Puh. 00 7 5566, ax. 00 7 7003

Lisätiedot

Palkkielementti hum 3.10.13

Palkkielementti hum 3.10.13 Palilmntti hum.0. Palilmnttjä Tarastllaan tässä sitysssä vain Eulr-Brnoullin palitoriaan prustuvia palilmnttjä. Tässä palitoriassa olttaan, ttä palin poiiliaus säilyy taivutttunain tasona, joa on ohtisuorassa

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',

Lisätiedot

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL

Lisätiedot

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

AMBIGUITEETTIONGELMA KANTOAALLONVAIHEMITTAUKSESSA. JUKKA TOLONEN Teknillinen korkeakoulu Maanmittaustieteiden laitos jotolone@cc.hut.

AMBIGUITEETTIONGELMA KANTOAALLONVAIHEMITTAUKSESSA. JUKKA TOLONEN Teknillinen korkeakoulu Maanmittaustieteiden laitos jotolone@cc.hut. MIGUITEETTIONGELM KNTOLLONVIHEMITTUKSESS JUKK TOLONEN Tenillinen oreaoulu Maanmittaustieteiden laitos otolone@cc.hut.fi . Johdanto Satelliittipaiannus perustuu vastaanottimen a satelliittien välisen etäisyyden

Lisätiedot

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. yhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. yhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana

Lisätiedot

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)

1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2) . Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi 02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

q =, r = a b a = bq + r, b/2 <r b/2.

q =, r = a b a = bq + r, b/2 <r b/2. Luuteoria I Harjoitusia 2009 1 Osoita, että (a x = x x R, (b x x< x +1 x R, (c x + = x + x R, Z, (d x + y x + y x, y R, (e x y xy x, y R 0 2 Oloot a, b, q, r Z ja a = qb + r, 0 r< b Näytä, että a a q =,

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot

Σ on numeroituvasti ääretön. Todistus. Muodostetaan bijektio f : N Σ seuraavasti. Olkoon

Σ on numeroituvasti ääretön. Todistus. Muodostetaan bijektio f : N Σ seuraavasti. Olkoon 17 Nmeroitat ja linmeroitat jokot Määritelmä 110 Jokko X on nmeroitasti ääretön, jos on olemassa bijektio f : N X Jokko on nmeroita, jos se on äärellinen tai nmeroitasti ääretön Jokko, joka ei ole nmeroita

Lisätiedot

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016 7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaist 5 Kevät 26. Aberraatio shteellissteoriassa a) Tlkoon valo kten tehtävän kvassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: x ˆx + y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. () Lorenz

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0

z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0 TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

Jäykistävän seinän kestävyys

Jäykistävän seinän kestävyys Esimeri Jäyistävän seinän estävyys 1.0 Kuormitus Jäyistävän seinän ominaisuormat on esitetty alla olevassa uvassa. Laselman ysinertaistamisesi tarastellaan seinästä vain iuna-auon vasemman puoleista osaa,

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou

Lisätiedot

ESIM. ESIM.

ESIM. ESIM. 1 Vierintäita f r lasetaan samannäöisellä aavalla uin liuuitain: Ihmisunnan erästä suurimmista esinnöistä eli pyörää äytetään sen taia, että vierintäitaerroin µ r on paljon pienempi uin liuuitaerroin:

Lisätiedot

SUORAN PALKIN TAIVUTUS

SUORAN PALKIN TAIVUTUS SUORAN PALKIN TAIVUTUS KERTAUSTA! Palkin rasituslajit Palkki tasossa: Tasopalkin rasitukset, sisäiset voimat, ovat normaalivoima N, leikkausvoima Q ja taivutusmomentti M t. Ne voidaan isostaattisessa rakenteessa

Lisätiedot

OSALLISTUMIS- JA ARVIOINTISUUNNITELMA

OSALLISTUMIS- JA ARVIOINTISUUNNITELMA HAUDANKORVA F ASEMAKAAVAN MUUTOS Ote ajantasa-asemaaavasta, aava-aleen rajas Aleen ortova HAUDANKORVA F ASEMAKAAVAN MUUTOS Kohde Haija / Aloite Asemaaavanmtosen toits Kaavoitsella tistetaan iinteistöjen

Lisätiedot

Ortogonaalisuus ja projektiot

Ortogonaalisuus ja projektiot MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria

Lisätiedot

SUORAN PALKIN RASITUKSET

SUORAN PALKIN RASITUKSET SUORAN PALKIN RASITUKSET Palkilla tarkoitetaan pitkänomaista rakenneosaa, jota voidaan käsitellä yksiulotteisena eli viivamaisena. Palkkia kuormitetaan pääasiassa poikittaisilla kuormituksilla, mutta usein

Lisätiedot

Tuomo Mäki-Marttunen Stokastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaikannuksessa

Tuomo Mäki-Marttunen Stokastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaikannuksessa TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Luonnontieteiden ja ympäristöteniian tiedeunta Tuomo Mäi-Marttunen Stoastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaiannusessa Diplomityö Aihe hyväsytty tiedeuntaneuvostossa

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet

4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet 4.3 Erillisten jouojen yhdisteet Ongelmana on pitää yllä ooelmaa S 1,..., S perusjouon X osajouoja, jota voivat muuttua ajan myötä. Rajoitusena on, että miään alio x ei saa uulua useampaan uin yhteen jouoon.

Lisätiedot

Determinantti 1 / 30

Determinantti 1 / 30 1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen

Lisätiedot

Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology

Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology Helsini University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology Kertausta: AWGN-anava n(t) S-38.211 Signaalinäsittely tietoliienteessä I Signal Processing in Communications (2 ov) Sysy 1998

Lisätiedot

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q

Lisätiedot

Nelisolmuinen levyelementti

Nelisolmuinen levyelementti Lv hm 6..3 Nliolminn lvlmntti arkatllaan kvan nliolmita lvlmnttiä. q 6 q 8 η 3 q 5 ( 3, 3 q 7 (, q (, v P q ξ (, q q 3 Pitn P koordinaatit voidaan laa mokoordinaattin ξ ja η avlla, jotka ovat normratt

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

Iris-säätöpelti EKO-SI

Iris-säätöpelti EKO-SI Iris-säätöpelti EKO-SI Kuvaus EKO-SI on iris-tyyppinen säätöpelti ilmamäärän mittaamiseen ja säätämiseen. Säätöpelti täyttää asiaanuuluvat AMA VVS- ja Kyl 09 seä tiiviysluoan C vaatimuset. Raenne EKO-SI

Lisätiedot

i ni 9 = 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, k k

i ni 9 = 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, k k 1. Neljä tuistettavissa oleva hiuase iroaoise jouo ahdolliset eergiatasot ovat 0, ε, ε, ε, 4ε,, jota aii ovat degeeroituattoia. Systeei ooaiseergia o 6ε. sitä aii ahdolliset partitiot ja osoita, että irotiloje

Lisätiedot

9. Ominaisarvot. Diagonalisointi

9. Ominaisarvot. Diagonalisointi 55 9 Omiaisarvot Diagoalisoiti Joaisee matriisii liittyy jouo sille omiaisia luuja, s omiaisarvoja, joista oostuu matriisi "spetri" ämä vaatii uitei luualuee laajetamista omplesiluuihi Jatossa matriisit

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Optioiden hinnoittelu binomihilassa

Optioiden hinnoittelu binomihilassa Mat-2.3114 Investointiteoria Optioien hinnoittel binomihilassa 26.3.2015 Yksiperioiset optiot 1/3 Olkoon S kohe-eten arvo perioin alssa siten, että perioin päättyessä sen arvo on S toennäköisyyellä p tai

Lisätiedot

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali

Lisätiedot

9 ALIKERAVA 381 AK-58 AK-69 LPA-22 259 K-8 LPA-22 LPA 314 K-27 AK-43 LPA AK-43 T-1 2:146 SAMPOLANKATU SIBELIUKSENTIE. i-21. 40 db. 40 db +68.10.

9 ALIKERAVA 381 AK-58 AK-69 LPA-22 259 K-8 LPA-22 LPA 314 K-27 AK-43 LPA AK-43 T-1 2:146 SAMPOLANKATU SIBELIUKSENTIE. i-21. 40 db. 40 db +68.10. 8 0 8. Kp 0 8. 8. LPA- :6 0--6-M60.7 8..6 6 I II.8 KESKUSTA K-8 t 7 II 0 SAMPOLANKATU...0 SIBELIUKSENTIE.. 0 öintitalo SANTANIITYNKUJA Santaniitynuja 8 8.6 8. 8 AK-6 8 SANTANIITYNKUJA pp/t LPA 0 AK- 7

Lisätiedot

VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO

VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 1. Työn tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus Tässä työssä tutit valoa aaltoliieenä. Ensimmäisessä osassa tutustut valon taipumiseen eli

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin

Lisätiedot