6 USEAN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN LIIKEYHTÄLÖT

Transkriptio

1 Värähtelyeaniia 6. 6 USEN VPUSSEEN SYSEEMIN LIIKEYHÄLÖ 6. Johanto Usean vapasasteen systeein liietilan vaaiseen tarvitaan asi tai seapia oorinaatteja. Koorinaatteina voivat olla seä translaatiot että rotaatiot. Vapasasteien läärä taroittaa riippattoien oorinaattien läärää, joa tarvitaan iloitettaessa systeein liietila ielivaltaisella hetellä. Usean vapasasteen systeein analysointi eellyttää sen liieyhtälöien tnteista. Liieyhtälöihin sisältyvät systeein assa-, vaienns- ja jäyyysoinaiset seä loiset oritset. ehtävät loitellaan sen aan, illaisia oritsterejä liieyhtälössä on. Jos oritset tnnetaan ajan ntiona, on orits eterinistinen ja serasena oleva liietila on eterinistinen. Miäli orits on satnnainen, serasena olevaa liietilaa voiaan tarastella vain satnnaisena sreena tilastoateatiialla. ässä tarastellaan vain eterinistisiä oritsia. Jos liieyhtälöissä ei ole oritsterejä, yseessä ovat oinaisvärähtelyn liieyhtälöt. Oinaisvärähtely on systeein vapaata värähtelyä ilan oritsten vaitsta ja se riipp vain systeein assa-, vaienns- ja jäyyysoinaissista seä alehoista. Oinaisvärähtelyn liieyhtälöistä rateavat systeein oinaistaajet ja -oot. Jos vapasasteien äärä on n, on oinaistaajsiain n appaletta. Ktain oinaistaajtta vastaa systeein värähtelyoto, jota tstaan oinaisoosi tai noraalioosi. Mateatiiassa vastaavat äsitteet esiintyvät yleisepinä ja niitä sanotaan oinaisarvoisi ja oinaisvetoreisi. Kn sean vapasasteen systeeiin vaittaa oritsia, sanotaan sille syntyvää liietilaa paotetsi. Ysinertaisin orits on tietyllä taajella vaihteleva haroninen orits, jolloin syntyvä liie on haronista paovärähtelyä herätteen taajella. Jos herätteen taajs on saa in systeein join oinaistaajs, serasena on resonanssi, jolloin värähtelyaplitit asvavat srisi. avallinen oritstapas sovellsissa on jasollinen eli säännöllisin väliajoin saanlaisena toistva orits. Jasollinen orits voiaan jaaa haronisiin oponentteihin, jona jäleen voiaan soveltaa haronisen herätteen teoriaa ja yhteenlasperiaatetta. Lyhytestoisista tai äillistä oritsista aihet systeeiin lyhytestoisia värähtelyitä asiiaplitin ollessa vastaavaa staattista siirtyää srepi. Systeeissä esiintyvät erityyppiset itavaitset aihettavat vaiennsta, joa pienentää värähtelyjen aplitia ja transienttioritsien aihettaia asii siirtyiä. Vaiennsen analyyttinen äsittely on sean vapasasteen systeeeissä hanalaa johten vaiennsiliön tiaasta lonteesta. Usein vaienns äsitellään liiääräisesti olettaalla eri oinaisotojen vaiennset yteättöisi tai äyttäällä Rayleighin shteellisen vaiennsen allia, jolloin oletetaan vaiennsen olevan yhteyessä systeein assa- ja jäyyysoinaissiin. Usean vapasasteen systeein liieyhtälöt Matti Lähteenäi

2 Värähtelyeaniia 6. Paotetn liietilan analysointi eellyttää yleensä vastaavan oinaisvärähtelytehtävän rataisn tnteista. äreiät rataisenetelät ovat noraaliotoenetelä ja sorat aiaintegrointienetelät. Noraaliotoenetelässä ratais oostetaan oinaisotojen lineaariobinaationa. iaintegrointienetelissä liieyhtälöille etsitään liiratais isreetteinä ajan hetinä pieniä aia-aseleita äyttäen. Riittävään tarteen pääseinen vaatii tarpeesi pientä aia-aselta ja rataisn tehoen annalta aia-asel ei saa olla liian pieni. Sopivan aia-aseleen valinnassa voiaan äyttää hyväsi systeein pienintä oinaisvärähysaiaa. Seraavassa esitetään liieyhtälöien irjoittaiseen äytettävissä olevat enetelät ja niien rataiseiseen oleellisesti vaittavat oinaiset. 6. Newtonin laien äyttö Usean vapasasteen systeein liieyhtälöt voiaan johtaa äyttäällä soraan Newtonin laeja persoossa. ällöin systeein osista laaitaan sopiva äärä vapaaappalevia, joista irjoitetaan tarpeellinen äärä voia- ja oenttiliieyhtälöitä ja lopsi yhtälöt sievennetään ja järjestetään oorinaattien aisesti yhtälöryhäsi. Liieyhtälöryhässä on vapasasteien läärän osoittaa äärä yhtälöitä. Lineaarisen systeein liieyhtälöryhässä on vain oorinaattien ja niien aiaerivaattojen nopeet ja iihtyvyyet ensiäisen asteen laseeita. Epälineaarisen systeein liieyhtälöt sisältävät oorinaattien ja/tai niien aiaerivaattojen epälineaarisia terejä, jolloin rataiseinen on oleellisesti hanalapaa. ässä tarastellaan vain lineaarisia systeeejä. Seraavassa esitetään esierejä sean vapasasteen systeein liieyhtälöien irjoittaisesta Newtonin laeja äyttäen, n vapasasteita on vain taia. 6.. Esieri arastellaan van 6. a olen vapasasteen josi-assa systeeiä. Sen tilaa vaavisi oorinaateisi valitaan assojen aseat, ja itattna tasapainoaseasta, jossa joset ovat venyättöiä. Kvassa 6. b on vapaaappalevat, joista voiaan irjoittaa llein assalle vaaasnnassa liieyhtälö. losesi saaaan liieyhtälöryhä Kva 6. Esieri. Usean vapasasteen systeein liieyhtälöt Matti Lähteenäi

3 Värähtelyeaniia Josivoiien laseeet ovat oorinaattien avlla esitettyinä 6. Sijoittaalla josivoiat liieyhtälöihin ja järjesteleällä terejä seraa tlos t t t 6. jota ovat systeein liieyhtälöt. arasteltavana on olen vapasasteen systeei, joten liieyhtälöisi tlee olen tavallisen ierentiaaliyhtälön ryhä. Siinä esiintyy tnteattoien siirtyien, ja ertalvn nolla ja asi aiaerivaattoja ensiäisessä potenssissa, joten yseessä on toisen ertalvn lineaarinen ierentiaaliyhtälöryhä. Kirjoittaalla liieyhtälöryhä atriisiotoon saaaan t t t 6.4 tai tiiviiin irjoitettna [ M ]{ } [ K]{ } { t } 6.5 siir- oritsvetori. Liieyhtälöistä 6.5 nähään, että assaat- [ M ] on systeein assaatriisi, [ K ] jäyyysatriisi, { } iihtyvyysvetori { } tyävetori ja { t} riisi on lävistäjäatriisi, tta jäyyysatriisin ei ole, joten liieyhtälöt ovat jäyyysatriisin atta ytettyjä. ällaista ytentää sanotaan staattisesi ytennäsi. 6.. Esieri arastellaan van 6. a ahen vapasasteen systeeiä, jossa oritsena on alstan vaaaliie tnnetn ntion t aisesti. Koorinaatit ja ilaisevat assojen absolttiset aseat vaaatasolla. Määritellään shteelliset oorinaatit ja yhtälöillä 6.6 Usean vapasasteen systeein liieyhtälöt Matti Lähteenäi

4 Värähtelyeaniia 6.4 Usean vapasasteen systeein liieyhtälöt Matti Lähteenäi jolloin ne ovat assojen aseat alstaan nähen. Vapaaappalevista 6. b saaaan liieyhtälöt 6.7 Määritelästä 6.6 seraa absolttisille nopesille ja iihtyvyysille laseeet 6.8 Josi- ja vaiennsvoiille voiaan irjoittaa oorinaattien avlla laseeet 6.9 Sijoittaalla tloset 6.8 ja 6.9 aavaan 6.7 saaaan 6. erejä järjesteleällä liieyhtälöt enevät otoon 6. joa voiaan laittaa seraavaan atriisiotoon 6. eli tiiviiin irjoitettna [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } t K M 6. Yhtälössä 6. [ ] on vaiennsatriisi ja { } { } { } ja, shteellinen iihtyvyys-, nopes- ja siirtyävetori. Shteellisia oorinaatteja äytettäessä oritsvetorissa { } t esiintyy vain alstan iihtyvyys, joa on helpopi itata in tai. Liieyhtälöt ovat seä jäyyys- että vaiennsatriisin atta ytetyt eli staattisen ytennän lisäsi niissä on vaiennsytentä. Kva 6. Esieri.

5 Värähtelyeaniia Esieri arastellaan van 6. a lasentaallia, jolla voiaan ttia aaperän liieestä t aihetvaa raennsen värähtelyä. Lasentaallissa raennsta vataan jäyällä appaleella ja perststa partielilla. Koorinaateisi valitaan perstsen absolttinen vaaa-asea t ja raennsen la-asea t, jolloin yseessä on ahen vapasasteen alli. Oletetaan vielä liieien olevan pieniä. I M y y M y Kva 6. Esieri. Perstsen vapaaappalevasta 6. b saaaan vaaasntainen liieyhtälö 6.4 Perstsen pystysntaista liieyhtälöä ei jatossa tarvita. Raennsen vapaaappalevasta saaaan seraavat ole liieyhtälöä M y Mg M y 6.5 : M asin aos I 6.6 y Josivoialle, vaiennsvoialle ja ierajosen oentille pätevät laseeet M K 6.7 Kosa la on pieni, voiaan äyttää arvioita sin ja os. Massaesiön aseaoorinaatit ja y voiaan lasa oorinaattien ja avlla a sin a y a os a a y 6.8 Usean vapasasteen systeein liieyhtälöt Matti Lähteenäi

6 Värähtelyeaniia 6.6 Ottaalla eellä esitetyt tloset hoioon perstsen liieyhtälössä 6.4 ja raennsen oenttiliieyhtälössä 6.6 saaaan liieyhtälöpari M a K Mga M a a I 6.9 eli atriisioossa M Ma I Ma Ma K Mga 6. tai lyhyein irjoitettna [ M ]{ y } [ ]{ y } [ K]{ y} { t } 6. lstan liie näyy liieyhtälössä 6. oiealla polella olevana oritsvetorina { t}. bsolttisia oorinaatteja äytettäessä oritsvetorissa esiintyvät alstan asea ja nopes. Liieyhtälöt ovat seä assa- että vaiennsatriisin atta ytetyt. Massaatriisin atta syntyvää ytentää sanotaan ynaaisesi. 6. Liieyhtälöien yleinen oto Eellä esitetyistä esiereistä nähään, että n vapasastetta oaavan lineaarisen eaanisen systeein liieyhtälöt voiaan esittää atriisioossa [ M ]{ } [ ]{ } [ K]{ } { } 6. [ M ] [ ] [ K ] { } { } { } { } n n assaatriisi, sisältää systeein inertiaoinaiset n n vaiennsatriisi, sisältää systeein vaiennsoinaiset n n jäyyysatriisi, sisältää systeein jäyyysoinaiset n iihtyvyysvetori, aliot ovat iihtyvyysiä tai laiihtyvyysiä n nopesvetori, aliot ovat nopesia tai lanopesia n aseavetori, aliot ovat aseia ja la-aseia n paovoiavetori, aliot ovat loisia oritsia Liieyhtälöryhä 6. voiaan oostaa sopivien vapaaappalevien avlla Newtonin laeja äyttäen, ten eellisen ohan esiereistä ileni. oinen aholliss on energiaperiaatteen äyttö, ten yöhein esitetään. Usean vapasasteen systeein liieyhtälöt Matti Lähteenäi

7 Värähtelyeaniia 6.7 Yhtälöryhässä 6. on systeein vapasasteien ainen äärä yhtälöitä. Nää yhtälöt ovat yleensä ytettyjä eli ainain joissain yhtälöissä esiintyy seapia in ysi oorinaateista. Yhtälöitä 6.4 ei siis voi rataista erillisinä, vaan ratais on soritettava yhtälöryhänä. Kyseessä on tavallisten toisen ertalvn lineaaristen ierentiaaliyhtälöien ryhä, joten ysiäsitteisen rataisn löytäinen eellyttää yös systeein alehtojen tnteista. ää eritsee sitä, että on tnnettava joaisen oorinaatin ja sen ensiäisen aiaerivaatan alarvo. Jos liieyhtälöien 6. oiealla polella oleva oritsvetori { } on nollavetori, on yseessä oinaisvärähtelyien liieyhtälöryhä ja ten paotetn liieen yhtälöryhä. Oinaisvärähtelyjen liieyhtälöryhästä rateaa systeein vapasasteien ainen äärä oinaistaajsia ja hnin oinaistaajteen liittyvä oinaisoto. Oinaistaajsien tnteinen on täreää pyrittäessä välttäään värähtelyongelia. Oinaisvärähtelytehtävän rataisa voiaan hyöyntää paotetn liieen rataiseisessa. Noraaliotoenetelässä oinaisvärähtelytehtävän ratais on välttäätön ja issain rataistavoissa voiaan sitä äyttää hyväsi. 6.4 Liieyhtälöien ytentä Usean vapasasteen systeein liieyhtälöryhä on yleensä ytetty. Matriisiotoon irjoitetssa yhtälöryhässä tää taroittaa sitä, että vähintään ysi systeein K ei ole lävistäjäatriisi. Jos systeein assaatriisi persatriiseista [ M ], [ ] ja [ ] [ M ] ei ole lävistäjäatriisi, sanotaan systeein olevan ynaaisesti ytetty. Jos taas jäyyysatriisi [ K ] ei ole lävistäjäatriisi, on ytentä staattinen. Kytentä voi esiintyä yös vaiennsatriisissa [ ], jolloin systeeissä on vaiennsytentä. Kytentään vaittavien teijöien selvittäisesi tarastellaan vaieneatonta oi- a b naisvärähtelyä van 6.4 esierin avlla. Esierissä ttitaan jäyää palia, jona assaesiö ei ole palin esellä eli a b. Pali on tett ahella josella, g joien josivaiot ovat ja. Palin assa on ja hitasoentti assaesiön shteen I. Kyseessä on jäyän appaleen ta- Kva 6.4 Pali. soliie, joten vapasasteita on asi eli palin liietilan vaaiseen tarvitaan asi oorinaattia.. Valitaan alsi oorinaateisi assaesiön pystysiirtyä ja palin rotaatiola itattna palin staattisesta tasapainoaseasta van 6.5 aisesti, jolloin josien staattisiin pitentosiin liittyvät voiat oavat painovoian vaitsen liieyhtälöissä. Oletetaan lisäsi siirtyät pienisi, jolloin sin. Josivoiien laseeet ovat Usean vapasasteen systeein liieyhtälöt Matti Lähteenäi

8 Värähtelyeaniia 6.8 st. tasap. a b 6. Kvasta 6.5 saaaan liieyhtälöt Kva 6.5. Koorinaatit ja. 6.4 : I a b 6.5 Sijoittaalla josivoiat liieyhtälöihin ja järjesteleällä terejä saaaan I a b a a b b 6.6 jota voiaan irjoittaa atriisiotoon I a b a a b b 6.7 Havaitaan, että liieyhtälöillä 6.7 on staattinen ytentä.. Palilta löytyy piste, johon sijoitetsta staattisesta pistevoiasta aihet palille pelästään translaatiosiirtyä Δ van 6.6 aisesti. ällöin palin oenttitasapainosta pisteen shteen seraa, että. Δ e Kva 6.6 Koorinaatit Δ Δ ja. Valitaan oorinaateisi pisteen pystysiirtyä ja palin rotaatiola itattna staattisesta tasapainoaseasta. Josivoiien laseeet ovat 6.8 Palin pystysntainen voialiieyhtälö ja oenttiliieyhtälö pisteen shteen ovat 6.9 : I e 6. Kvan 6.6 persteella pienillä siirtyillä on e, josta seraa e ja e. Steinerin säännön aan on I I e. Sijoittaalla nää tieot liieyhtälöihin 6.9 ja 6. ja ot- taalla hoioon yhteys saaaan liieyhtälöille seraava atriisioto Usean vapasasteen systeein liieyhtälöt Matti Lähteenäi

9 Värähtelyeaniia 6.9 e e I 6. Liieyhtälöillä 6. on ynaainen, tta ei staattista ytentää.. Kirjoitetaan vielä palin liieyhtälöt, n oorinaateisi valitaan pisteen pystysiirtyä ja rotaatiola itattna staattisesta tasapainoaseasta van 6.7 aisesti. Josivoiien laseeet ovat [ a b ] 6. Kva 6.7. Koorinaatit ja. Palin pystysntainen voialiieyhtälö ja oenttiliieyhtälö pisteen shteen ovat 6. : I a a b 6.4 Lisäsi on voiassa a, josta seraa a ja a seä I I a. Kn otetaan hoioon nää tieot, saaaan liieyhtälöt oorinaattien ja avlla atriisiotoon a a I a b a b a b 6.5 Yhtälöillä 6.5 on seä ynaainen että staattinen ytentä. Esieristä näyy, että ytentä ei ole systeein oinaiss, vaan seras valitista oorinaateista. Voiaan osoittaa, että on ahollista valita oorinaatit siten, että systeeissä ei ole staattista eiä ynaaista ytentää, jolloin seä jäyyys- että assaatriisi ovat lävistäjäatriiseja. Näitä oorinaatteja sanotaan noraalioorinaateisi ja niillä on sri eritys värähtelyanalyysissä. Noraalioorinaatteja ei voi esiä soraan, niien löytäinen vaatii oinaislataajsien ja -otojen äärittäistä. Myös vaiennetsta systeeistä voiaan poistaa staattinen ja ynaainen ytentä siirtyällä noraalioorinaatteihin, tta vaiennsytennän poistainen näin on ahollista vain erityistapasissa tai äyttäällä tiettyjä oletsia vaiennsen lonteesta. Esierisi shteellisen vaiennsen allin tai Rayleighin vaiennsallin äyttö teee ahollisesi vaiennsytennän poistaisen. Usean vapasasteen systeein liieyhtälöt Matti Lähteenäi

10 Värähtelyeaniia Energiaperiaatteen äyttö Kirjoitettaessa liieyhtälöitä soraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettjen osien tai osaoonaissien vapaaappalevia, jolloin osien välillä vaittavat voiat ja oentit tlevat alsi aan yhtälöihin. Lopllisiin liieyhtälöihin pääseinen vaatii näien sisäisten vaitsten eliinointia, iä saattaa olla työlästä. Liieyhtälöien irjoittainen on toisinaan ysinertaisepaa, jos äytetään Newtonin laien sijaista jotain energiaperiaatetta. ällöin tarastellaan systeein liie- ja potentiaalienergiaa ja loisten oritsten työtä, joihin systeein sisäiset voiat ja oentit eivät vaita. Seraavassa tarastellaan Lagrangen yhtälöitä, jota ovat ynaiian tehtävissä seiiten energiaperiaatteien äyttöelpoisin oto Konservatiivisen systeein Lagrangen yhtälöt Dynaiiassa osoitetaan, että n vapasastetta oaavalle onservatiiviselle systeeille ovat voiassa Lagrangen yhtälöt t V,, L,n 6.6 Kaavassa 6.6 on systeein liie-energia ja V potentiaalintio hetellä t. Potentiaalintio V sisältää systeein ioenergian ja loisten onservatiivisten oritsten työn. Yhtälöitä 6.6 on n appaletta ja ne oostavat systeein liieyhtälöryhän. Liie-energia voi riippa aseaoorinaateista ja niien ensiäisistä aiaerivaatoista nopeet ja lanopeet ja potentiaalintio oorinaateista eli,,...,,,,..., V V,,..., 6.7 n n ntioissa on n appaletta ttjia, sillä oorinaattien aiaerivaattoja pietään tässä riippattoina ttjina. Lagrangen yhtälöitä 6.7 voiaan äyttää yös epälineaaristen systeeien liieyhtälöien johtaiseen. ässä rajoittaan lineaaristen systeeien värähtelyien tarasteln, jolloin Lagrangen yhtälöt antavat aavan 6. aisen liieyhtälöryhän. Konservatiivisella systeeillä liieyhtälöryhässä ei ole vaiennsterejä. Lineaarisen värähtelyeaniian sovellsissa ineettinen energia ei riip aseaoorinaateista eli,,..., n, jolloin Lagrangen yhtälöissä 6.6 on vasean polen esiäinen teri nolla. n Usean vapasasteen systeein liieyhtälöt Matti Lähteenäi

11 Värähtelyeaniia Epäonservatiivisen systeein Lagrangen yhtälöt arastellaan n vapasastetta oaavaa eaanista systeeiä, jona vapasasteisiin,,..., n vaittavat epäonservatiiviset oritset Q, Q, L, Qn. Koorinaatit ovat translaatio- tai rotaatiosiirtyiä, joten oritset ovat voiia tai oentteja niin, että oritsen ja oorinaatin tlo estaa työtä. Systeein oorinaateissa tapahtvia pieniä tosia δ, δ, L, δ sanotaan virtaalisisi n n n siirtyisi ja systeei siirtyy niien tapahtessa alaseastaan teen aseaan δ, δ, L, δ, jolloin loiset oritset teevät systeeiin virtaalisen työn n δ W Q i δ i 6.8 i Dynaiiassa osoitetaan, että tässä tapasessa systeein Lagrangen yhtälöt ovat t V Q,, L,n 6.9 Virtaalisen työn avlla Lagrangen yhtälöitä voiaan äyttää yleisten epäonservatiivisten voiavaitsten hoioonottaiseen. Lineaarisessa värähtelyeaniiassa epäonservatiivisina voiina ovat yleensä visoosit vaiennsvoiat ja niien vaits voiaan ottaa äteväin hoioon issipationtion D avlla. Dissipationtio oostetaan analogisesti josien ioenergian anssa. Kn vaiennsvoia on, on sitä vastaava issipationtio D /. Koo systeein issipationtio saaaan yhteenlasperiaatteella. Kn issipationtio on oostett, saaaan terit Q siitä aavalla Q D,, L,n 6.4 Yhtälöt 6.9 saavat issipationtiota äytettäessä oon t D V,, L,n 6.4 Lineaarisia värähtelyitä tarasteltaessa aavan 6.4 vasean polen toinen teri on nolla ja olas teri antaa liieyhtälöryhän 6. vaiennsterin. Lisäsi aavan 6.4 vasean polen ensiäinen teri antaa liieyhtälöryhän assaterin ja neljäs jäyyysterin. Usean vapasasteen systeein liieyhtälöt Matti Lähteenäi

12 Värähtelyeaniia 6. Usean vapasasteen systeein liieyhtälöt Matti Lähteenäi 6.5. Esierejä Esieri Johetaan van vaientaattoan olen vapasasteen systeein liieyhtälöt äyttäen Lagrangen yhtälöitä 6.6. ää esieriä äsiteltiin ohassa 6.. Newtonin laien avlla. Liie-energia ja potentiaalintio V ovat 6.4 V 6.4 Liie-energia riipp vain nopesista, joten Lagrangen yhtälöissä terit ovat nollia. Lasetaan nollasta poieavat erivaatat V t t V t t V t t 6.44 Sijoittaalla saat tloset Lagrangen yhtälöihin, saaaan liieyhtälöryhä 6.45 Liieyhtälöt enevät seraavaan atriisiotoon 6.46 los on saa in ohassa 6.. Newtonin lailla saat liieyhtälöryhä. Kva 6.8. Esieri.

13 Värähtelyeaniia 6. Usean vapasasteen systeein liieyhtälöt Matti Lähteenäi Esieri arastellaan van 6.9 epäonservatiivista ahen vapasasteen systeeiä, jossa oorinaatit ja ovat assojen absolttiset aseat ja oorinaatit ja shteelliset aseat tnnetn ntion t aisesti liivaan alstaan nähen. ätä esieriä äsiteltiin ohassa 6.. Newtonin laien avlla. Liie-energia, issipationtio ja potentiaalintio ovat 6.47 D 6.48 V 6.49 Lagrangen yhtälöissä esiintyvät nollasta poieavat erivaatat ovat V V D D ] [ t t ] [ t t 6.5 Sijoittaalla tloset 6.5 Lagrangen yhtälöihin 6.4 saaaan liieyhtälöt 6.5 joa on saa tlos in ohassa 6.. saatiin. Liieyhtälöt ovat atriisioossa 6.5 Käsitellään vaienns vielä toisin virtaalisen työn periaatetta äyttäen. Vaiennsvoiien virtaalinen työ on W δ δ δ δ δ 6.5 Kva 6.9. Esieri.

14 Värähtelyeaniia 6.4 δw [ δ δ δ ] δ [ ] δ Q δ Q δ 6.54 josta seraa oritsisi saa tlos in eellä saatiin issipationtion avlla eli [ ] Q [ ] 6.55 Q Esieri I Kva 6.. Esieri. arastellaan van 6. allia, jolla voiaan ttia esierisi alstan tnnetsta liieestä t johtvaa raennsen värähtelyä. Lasentaallissa raennsta on vatt jäyällä appaleella ja sen perststa partielilla. Koorinaateisi valitaan perstsen absolttinen asea ja raennsen la-asea. Rajoittaan lisäsi pieniin värähtelyihin. ätä esieriä äsiteltiin ohassa 6.. Newtonin laien avlla. Pienien värähtelyien tapasessa energioita lasettaessa äytetään approsiaatioita sin ja os. Painovoian teeän työn lasennassa on itenin äytettävä approsiaatiota os /, jotta aii ensiäisen ertalvn vaitset tlevat aan. Raennsen assaesiön oorinaatit ovat asin a y aos a a y. Liie-energia, issipationtio ja potentiaalintio ovat I V K M a D Mga / 6.56 Lasetaan Lagrangen yhtälöissä tarvittavat erivaatat t t t t D V [ M a ] [ I M a a] M Ma Ma I D Ma V K Mga K Mga 6.57 Usean vapasasteen systeein liieyhtälöt Matti Lähteenäi

15 Värähtelyeaniia 6.5 Sijoittaalla lasett erivaatat Lagrangen yhtälöihin 6.4 saaaan liieyhtälöt M Ma Ma I Ma K Mga 6.58 joa on saa tlos in ohassa 6.. saatiin. Liieyhtälöt ovat atriisioossa M Ma I Ma Ma K Mga 6.59 Usean vapasasteen systeein liieyhtälöt Matti Lähteenäi