SUHTEELLISUUSTEORIAN PERUSTEET

Transkriptio

1 SUHTEELLISUUSTEORIAN PERUSTEET Luenno maananaisin ja iisaisin kello -4 salissa D. Ensimmäinen lueno on 3.; ensimmäise laskuharjoiukse pideään iikolla 4. Suppeaa suheellisuuseoriaa: Suppea suheellisuuseoria Lorenzin muunnos, kausalieei, nopeuksien yheenlasku, lippuanko- ja kelloparadoksi Neliuloeinen aaruusaikamaailma inariani, graafinen esiys, neliekori Relaiisinen dynamiikka peruslai, E=m, foonieoria, Dopplerin ilmiö Hiukkaskinemaiikka periaaee ja esimerkkejä. Componin sirona Yleisä suheellisuuseoriaa: Yleisen suheellisuuseorian pääperiaaee kiihyä koordinaaiso, painooiman paikallinen kumouuminen Laajenea maailmankaikkeus Shwarzshildin meriikka ja musa auko graiaaiopunasiirymä Valon aipuminen ja graiaaiolinssi Kurssi perusuu kurssimoniseeseen, jonka oi ladaa osoieesa hp://heory.physis.helsinki.fi/~sperel/

2 NEWTONIN LAIT JATKAVUUS Vapaan kappaleen liikeila säilyy: akio on olemassa absoluuinen aika ja aaruus on olemassa absoluuinen oikea nopeus VOIMA oima = nimi liikeilan muuokselle ; dp F p m d massa m = F/a miaa ineriaa oiman aikuus signaalinopeus eenee ääreömällä nopeudella

3 VOIMA JA VASTAVOIMA jos A aikuaa B:hen oimalla F, äsä seuraa eä B aikuaa A:han oimalla -F Kappaleen raa määräyyy siihen kohdisuien oimien summana: d d deriaaa = muuos nopeuden muuos = kiihyyys a kolme ulouuua: F =ma, F y =ma y, F z =ma z 3

4 KARTEESINEN KOORDINAATISTO kappaleen raakäyä z r = e + ye y + ze z orogonaalise yksikköpiuise kanaekori e i e j ij y 4

5 VEKTORIT JA OPERAATTORIT VEKTORIMERKINTÖJÄ 3,,, y, z parempi olisi aina kirjoiaa pysyekori mua usein ei iisi: y z 3 operaaori O iskee ekoriin asemmala: O esimerkki: differeniaalioperaaori d d d d d d, d, d3,, d d d d d d 5

6 z y z y z y d dz d dy d d d d e e e r e e e r noaaioia:, z y z y m m d d m e e e r r r F liikeyhälö: kappaleen raa saadaan rakaisemalla liikeyhälö 6

7 esimerkki: olkoon F r, fe os kuen aina differeniaaliyhälöiä rakoaessa, ariaan alkuehdo: r r, y,, z y, z liikeyhälösä mz my z z z, y y y missä z = z = akio, y = y = akio -suunnassa liikeyhälö on ei-riiaali, eli inegroidaan: f f os m m f os m jos =r =, saamme sin r f e os m C HT: mikä on C? 7

8 MIKÄ ON OPERAATTORI? d on operaaori, d ai d on pieni luku, differeniaali: - differeniaalilla oi keroa ja jakaa - d on pieni ekori, jolla laskeaan kuen ekoreilla esim. piseulo d d = d +d +d 3 - operaaorilla ei kerroa, se operoi - operaaorilla ei jaea, mua oi olla olemassa kääneisoperaaori esim. differeniaalioperaaorin d kääneisoperaaori on d - HT: miei, mikä on differeniaalioperaaorin kääneisoperaaori 8

9 on siis operaaori... ja operaaorikin oia olla ekoreia: esim. nabla: e e y y e z z, y, z nablalla on kaikki ekorin ominaisuude: piseulo, risiulo, mua koska se on operaaori, se myös iskee asemmala! Nablaa arisemme ielä! 9

10 operaaoreilla on esiyksiä; esim. ekrorin roaaio on operaaio, jolla on mariisiesiys R r r r 3 r r r 3 r 3 r r y z y z R T R, * r ij r ij

11 FYYSIKON TÄRKEIN TYÖKALU... on approksimaaio Taylorin sarja: f f f f... yleisyy riiaalisi monen muuujan apaukseen approksimaaio = kakaisaan Taylorin sarja; approksimaaio hyä jos esimerkki huomaa eä ekspansion oi ehdä myös :n funkion suheen: f f f O

12 NEWTONIN MEKANIIKKA OLETTAA ABSOLUUTTISEN AVARUUDEN z z K liikkuu absoluuisen aaruuden suheen absoluuinen liike Jerusalem y K = absoluuinen koordinaaiso y Newon: on myös olemassa absoluuinen aika, joka on kaikille sama

13 abs =+ Jos K liikkuu akionopeudella absoluuisen aaruuden suheen, K on newonilainen ineriaalikoordinaaiso oima ja massa koordinaaisosa riippumaomia: a abs d d abs d d jos akio d d a eli F=F huom: maapallo ei ineriaalikoordinaaiso; r. Foualin heiluri 3

14 K K oleeaan: kun =, K=K ineriaalikoordinaaisoja Newon pääsee koordinaaisosa K kordinaaisoon K Galilein muunnoksella: r r dr d dr d ; d r d d r d Einsein 95: ämä ei ole oa! 4

15 Einsein: ei ole olemassa absoluuisa nopeua ei ole olemassa absoluuisa aaruua oimme puhua ain suheellisisa nopeuksisa: K ja K oa ineriaalikoordinaaisoja, jos ne liikkua oisensa suheen akionopeudella syy Einseinin pääelmään: sähkömagneeisen aalojen käyäyyminen. Mawellin yhälö riippua ain suheellisisa nopeuksisa liikkua magneei indusoi johimeen irran sama efeki, jos magneei paikallaan ja johdin liikkuu 5

16 ampliudi AALTOYHTÄLÖ säilyää muoonsa, aaloa kuaaa ampliudi =, = f± = fξ ± f f f f f f 6

17 oise deriaaa: f f f f [ f ] f aaloyhälö yhjiössä sähkö- ja magneeikenä oeuaa aaloyhälön 7

18 MAXWELLIN YHTÄLÖT TYHJIÖSSÄ E B B E B E yhjiössä sähkökenällä ei ole läheiä E = E,, B = B, k k z z y y z y E E E E z E y E E E Einseinin summaussäänö = summa yli oisuien indeksien z y z y z y E E E e e e E diergenssi rooori deerminani 8

19 rooori on ekori, jolla on komponeni E i E ijk j k Einseinin summaussäänö! äysin anisymmerinen ensori = äärimmäisen käeä ijk lmk il jm im ei arise muisaa kuin yksi iij jl komponeni, lopu saadaan permuoimalla; ε = jos kaksi ai kolme indeksiä oa sama HT: Mawellin yhälöihin operoimalla nähdään, eä sekä E eä B oeuaa aaloyhälön E B E B E B aallon nopeus on alon nopeus! 9 on eorian ainoa apaa parameri

20 MUTTA MINKÄ KOORDINAATISTON SUHTEEN E JA B LIIKKUVAT VALON NOPEUDELLA??? eli missä koordinaaisossa Mawellin yhälö oa oimassa? 8-luku: E ja B aaloliikeä, mua mikä aaloilee? - ääniaalo on äliaineen ilman aaloilua - lainee oa äliaineen eden aaloilua alo on äliaineen eeerin aaloilua - eeeri äyää koko aaruuden - eeeri on leossa määriää absoluuisen lepokoordinaaison - Mawellin yhälöissä on alon nopeus eeerin suheen? MUTTA: maapallo liikkuu eeerin suheen alon nopeuden ulisi riippua liikeilasa eeeriuuli

21 EETTERITUULEN VAIKUTUS Maan kulkusuunnassa peili + - ole. Aurinko leossa eeerin suheen alo =3 km/s MAA edesakaisin kuluu aika + l / - l / yheensä l / l / l l

22 Läheeään aloa myös kulkusuunaan nähden kohisuoraan suunaan Maa u alon nopeus eeerissä u u u u u u u edesakaiseen makaan kuluu aikaa / l l u

23 näin siis on olemassa aikaero, joka riippuu siiä, ammuaanko alonsäde Maan kulkusuunaan ai siä asaan kohisuoraan / /...] /...[ /...] / [ / / ] [ / O l l l l l l Mihelson-Morley 887: H.A. Lorenzin ehdous: liikkeen suunnassa / l l... mua miksi? 3

24 EINSTEININ EHDOTUS Mawellin yhälöissä esiinyy ain suheellinen nopeus kaikki nopeude oa suheellisia absoluuisa aaruua ei ole eeeriä ei ole olemassa Mawellin yhälö oa oimassa kaikissa ineriaalikoordinaaisoissa alon nopeus on akio liikeilasa riippumaa Galilein muunnokse äyyy koraa uusilla muunnoksilla, joka keroa, mien koordinaaisosa K pääsään sen suheen nopeudella liikkuaan koordinaaisoon K 4

25 Suheellisuuseoria-sanaa ei esiinyny Einseinin suheellisuuseoria-arikkelissa; se käsieli liikkuien kappaleiden elekrodynamiikkaa I is known ha Mawells elerodynamis--as usually undersood a he presen ime--when applied o moing bodies, leads o asymmeries whih do no appear o be inheren in he phenomena. Take, for eample, he reiproal elerodynami aion of a magne and a onduor. The obserable phenomenon here depends only on he relaie moion of he onduor and he magne, whereas he usomary iew draws a sharp disinion beween he wo ases in whih eiher he one or he oher of hese bodies is in moion. For if he magne is in moion and he onduor a res, here arises in he neighbourhood of he magne an eleri field wih a erain definie energy, produing a urren a he plaes where pars of he onduor are siuaed. Bu if he magne is saionary and he onduor in moion, no eleri field arises in he neighbourhood of he magne. In he onduor, howeer, we find an eleromoie fore, o whih in iself here is no orresponding energy, bu whih gies rise--assuming equaliy of relaie moion in he wo ases disussed --o eleri urrens of he same pah and inensiy as hose produed by he eleri fores in he former ase. Eamples of his sor, ogeher wih he unsuessful aemps o disoer any moion of he earh relaiely o he ``ligh medium, sugges ha he phenomena of elerodynamis as well as of mehanis possess no 5 properies orresponding o he idea of absolue res.

26 Suppea suheellisuuseoria: arkasellaan ain oisensa suheen akionopeudella liikkuia koordinaaisoja eli ineriaalikoordinaaisoja maemaiikka yksinkeraisa Huom! Teoria ei ole erikoinen suheellisuuseoria - miäpä erikoisa siinä olisi? Eriyinen suheellisuuseoria on äännös ermisä speial relaiiy, mua missä mielessä Einseinin eoria on eriyinen? Siinä, eä se on rajoieu ineriaalikoordinaaisoihin; se ei siis ole yleisin mahdollinen aan suppea. Siksi suppea suheellisuuseoria. Yleinen suheellisuuseoria arkaselee koordinaaisoja, joka oa oisensa suheen myös kiihyässä liikkeessä eli muiakin kuin ineriaalikoordinaaisoja maemaiikka monimukaisa 6

27 Millainen ulisi koordinaaimuunnoksen olla, joa alon nopeus on sama sekä koordinaaisossa K eä sen suheen akionopeudella liikkuassa koordinaaisossa K? yleinen koordinaaisomuunnos on muooa yksiuloeinen apaus yksinkeraisuuden uoksi f, g, aadiaan apaan liikkeen asaisuus: jos K:ssa =akio, myös K :ssa =akio f f A, A, B, D, E g B; akioia D, d d g E f d g d f d g d d d f g f d d g d d f g f g A D akio B E muunnos lineaarinen, jos = = kun = = g =f = 7

28 oleeaan siis K ja K sekä lineaarinen koordinaaimuunnos A B D E Oleeaan, eä kun = =, koordinaaiso oa päällekkäin: Tällöin määräääksi jää neljä akioa A, B, D ja E, joen ariaan neljä yhälöä Siomaan ne oisiinsa. Nämä saadaan, kun aadiaan, eä alon nopeus on sama kaikissa koordinaaisoissa, eä nopeus on suheellisa, ja eä samanaikaise apahuma näyää eri koordinaaisoisa kasouna samanlaisila. 8

29 . Valon nopeus on sama K:ssa ja K :ssa Objekin nopeus K:ssa on d/d, ja asaaasi K :ssa d /d. Tällöin d A B d Ad Bd d d Dd Ed d D E d Jos d/d=, aadimme siis eä myös d /d =. Näin saamme A D B E E A D B 9

30 . Liike on suheellisa K liikkuu K:n suheen nopeudella ; oisin sanoen, koordinaai = on K:ssa = =. Mua K :sa kasoen K liikkuu asakkaiseen suunaan nopeudella, joen koordinaai = on K :ssa = = -. Näin saamme kaksi ehoa: A B B A A B D E B D D B / A Koska A=D, kohdasa luemme ny, eä E B A 3

31 Näin saamme yleisimmäksi mahdolliseksi muunnokseksi A A B D E A / 3. Samanaikaisuus Tarkasellaan miaikkua, joka on leossa K :n suheen. K:ssa piuua miaessamme miaamme samanaikaisesi miaikun pää, s. =. K:ssa sen piuus on siis A Toisaala K :sa kasouna K:ssa leossa olean miaikun piuus on A A A / A 3

32 joen K :ssa ehy päiden samanaikainen = miaus anaa Kun puhe kerran on samasa miaikusa, saamme ja suheellisuuseorian edellyämiksi koordinaaimuunnoksiksi 3 / / / A / / A A A

33 kolmessa ulouuudessa K,y,z, K,y,z, =e, y y, z z oimme aina alia koordinaaiso sien, eä K liikkuu K:n -akselin suunaan HUOM: oi olla myös < : K oi liikkua negaiiisen -akselin suunaan / jos =, K on K :n lepokoordinaaiso = Lorenz-muunnos 33

34 Mien aaloyhälö käyäyyy Lorenz-muunnoksissa? K:ssa hypäään K :n koordinaaeihin laskeaan aalo-operaaori aaloyhälön muoo sama myös K :ssa Mawell OK 34

35 Mawellin yhälö säilyä muuumaomina siirryäessä ineriaalikoordinaaisosa oiseen yleisesi suppeassa suheellisuuseoriassa aadiaan, eä kaikki fysiikan lai pysyä muuumaomina siirryäessä ineriaalikoordinaaisosa oiseen muuoksia Newonin lakeihin palaaan ähän myöhemmin 35

36 Lorenz-muunnos L on operaaio, joka oidaan esiää myös mariisina L / / mariisi L muodosaa ryhmän: kaksi peräkkäisä Lorenz-muunnosa on myös Lorenz-muunnos, ja on olemassa myös kääneinen Lorenzmuunnos 3 L L L L L r. roaaioryhmä: operaaio R kiepuaa ekoria 3-aaruudessa sen piuuden säilyäen. Operaaio L on eräänlainen roaaio ajan ja aaruuden muodosamassa 4-uloeisessa monisossa äsä lisää myöhemmin kolmessa ulouuudessa / L ryhmän maemaainen määrielmä 36

37 Kahden apahuman koordinaai K:ssa apahuu joakin hekellä paikassa, sien joakin muua hekellä paikassa esim kappale kulkee ieyn makan K:ssa apahumien älinen aikaero on Δ = - ja aaruudellinen eäisyys Δ = - K :ssa koordinaai oa, ja aika- ja paikkaineralli näyää K :ssa erilaisila errauna K:hon esim. jos Δ=, siiä ei älämää seuraa eä myös Δ = 37

38 NOPEUKSIEN YHTEENLASKU Kappaleen liike K :ssa näyää myös erilaisela errauna K:hon d d d d K K d d kappaleen nopeus d d K K Lorenz-muunnokse d d d[ d ] [ d d d d] 38

39 d d [ d d d] d d d d d d, d d d Jos =akio, kappale on ineriaalikoordinaaiso K nopeuksien yheenlasku K K K K on K :n nopeus K :ssa K on K :n nopeus K:ssa on K:n ja K :n älinen nopeus Huom! Kaikki yo. nopeude oia olla negaiiisia ai posiiiisia riippuen siihen, 39 mihin suunaan eri koordinaaiso kulkea oisensa suheen

40 ESIMERKKI Koordinaaiso K liikkuu K :n suheen nopeudella -3/5, ja K liikkuu K:n suheen nopeudella 4/5. Mikä on K :n nopeus K:ssa? K K K K K K K K K K K K K K - piäkää huola eumerkeisä - jos saae ulokseksi >, olee laskenee äärin 4

41 ENTÄ JOS KAPPALE = INERTIAALIKOORDINAATISTO K LIIKKUU VALON NOPEUDALLA K:SSA? jos alo painelee pikin -akselia negaiiiseen suunaan OK eli alon nopeus on akio, kuen olla piääkin Suheellisuuseoria on konsruoiu sien, eä alon nopeus on akio kaikissa ineriaalikoordinaaisoissa. Tämä on maemaainen osiseikka, joa mikään pääely ai argumeni ei pysy muuamaan. 4

42 ESIMERKKI: AMMUTAAN KAKSI VALONSÄDETTÄ VASTAKKAISIIN SUUNTIIN K K K K = - K = mikä on K :n nopeus K:ssa? EI ainakaan!!! Soelleaan yheenlaskukaaaa. Siellä esiinyy, K :n nopeus K:ssa, joka nopeuden suheellisuuden peruseella on - K = K K K K K siis näkee oisen alonsäeen eäänyän alon nopeudella, kuen piääkin 4

43 ESIMERKKI: JUNAT OHITTAVAT ASEMAN - K K K asema K liikkuu nopeudella K :ssa K liikkuu nopeudella - K:ssa K liikkuu nopeudella + K:ssa kun Suh.nopeus % % % % 43

44 soelleaan nopeuksien yheenlaskua eäisyyksien miaamisessa - K K K K ja K eeneä asakkaisiin suuniin nopeudella, joka on sama K:ssa; hekellä = K:n aikaa kaikki koordinaaiso oa päällekkäin eli K = K = K kun =, myös = K :n nopeus K:ssa K :n nopeus K :ssa d d d d d d K : n nopeus K: ssa d d K" Mikä on K:n ja K :n älinen eäisyys Δ koordinaaisossa K? Eli mikä oa K:n ja K :n origojen koordinaai K :ssa 44

45 " " K K K K origo origo ] " [ " K K K K kello käy K :ssa Huomaa eä kun, K :n nopeus K :ssa, jolloin Δ Tarkiseaan ulos alkaen Lorenz-muunnoksesa: K K eäisyys riippuu Δ:sä mikä on Δ? K:n ja K :n eäisyydellä arkoiamme samanaikaisa miausa K :ssa Δ = 45

46 SAMANAIKAISUUS RIIPPUU KOORDINAATISTOSTA K:ssa samanaikaisille apahumille Δ = K :ssa samanaikaisille apahumille Δ = yleisesi Δ Δ edelliselä siula: eli eli K:ssa eäisyys K :een on OK kuen aiemmin Mua mikä on? K:ssa K :n koordinaai oa, =,- jonka Lorenz-muunnos on = -/ = + / opeus: piuusmiaus edellyää pääepiseiden samanaikaisa kuen piääkin miausa riippuu koordinaaisosa 46

47 KAUSAALISUHDE Koska samanaikaisuus on suheellisa, meidän ulee olla huolesuneia syyseuraus suheesa. Voisiko seuraus olla ennen syyä jossakin ineriaalikoordinaaisossa? Tämä kuulosaisi järjeömälä! esim. Berliinin muuri soruu ennen kuin se on rakenneu A on B:n syy A:n aikakoordinaai on pienempi kuin B:n aikakoordinaai A B b A Joa A on B:n syy myös K :ssa 47

48 aliaan -akseli sien eä Δ > epäyhälöiden ulee olla oimassa riippumaa :n arosa: minimoidaan asen puoli alisemalla = : d d = fysikaalinen eli signaalinopeus sig kausalieei ei rikkoudu sig alon nopeus on suurin mahdollinen fysikaalinen nopeus jos aadiaan, eä syy-seuraus suhde ei käänny päälaelleen missään ineriaalikoordinaaisossa 48

49 VALOA NOPEAMMIN? eikö ny sien kuienkin... liikueaan askulamppua nopeasi alouosien päässä olealla sermillä aloäplä näyää liikkuan paljon aloa nopeammin ω mikään fysikaalinen ei oikeasi kulje älillä A, B r. alon sijasa kanuuna, joa käänneään 8 asea A riiaalisi äärin A ammus ei kulje maaa pikin A:sa B:hen B 49

50 B kärjen piuus mona alouoa >> käsiosa äärin mielenkiinoisella aalla A oima eenee A:sa B:hen nopeudella < kärje jäää jälkeen; kun yksiäisen mealliaomin nopeus lähesyy alon nopeua, sen kineeinen energia kasaa niin suureksi, eä meallihilan sidosenergia ei enää pysy piämään saksien rakennea koossa sakse murua paljon ennen kuin alon nopeus saaueaan luonnossa ei ole olemassa absoluuisen jäykkiä kappaleia 5

51 TSERENKOV-VALO alon nopeus on määrielmän mukaan m/s yhjiössä aineessa /n < refrakiiinen indeksi fooni ilma n =.3 esi n =.4 on mahdollisa, eä elekroni > /n mua aineessa kulkea alonsäde ei enää ole sama alonsäde kuin yhjiössä kanifysiikkaa! käsieellisesi äärin monimukaisella aalla 5

52 TAKYONI hypoeeinen hiukkanen, jonka > VAROITUS: kenäeorioissa akyoni = merkki yhjiön epäsabiilisuudesa äärä yhjiö oikea yhjiö: ei akyoneja sikäli kuin iedämme, kaikki hiukkasfysiikan eoria oa kenäeorioia akyonien olemassaolo äärimmäisen epäodennäköisä eikä yhäkään ole haaiu 5

53 eräs hausa edey ehdous akyoneille: näin siis akyoni kulkee aina aloa nopeammin ja kun nopeuksien yheenlasku apahuu kuen normaalissa apauksessa; arkasellaa siis akyoni kahdesa oisensa suheen aloa hiaammin liikkuasa ineriaalikoordinaaisosa K ja K : akyonin nopeus K : ssa d d d d K K : : ssa n nopeus d d akyonin nopeus K : ssa 53

54 kun ole. ässä > akyonin ulosuuna muuuu kun K :n ja K:n älinen suheellinen nopeus kasaa! / - - / ää ei kannaa oaa akaasi 54