Ratayhtälö ja Keplerin lait

Transkriptio

1 Ratayhtälö ja Kelerin lait ε = LY r = 1 + 2El2 mk 2 K-I Planeettarata on ellisi eli sille ε = 1 + ε cos ϕ ; = l2 mk ε = 0 ymyrä = eksentrisyys; 0 < ε < 1 ellisi ε = 1 araabeli ε > 1 hyerbeli r on etäisyys toiseen olttoisteeseen. K-II Pienellä aikavälillä dt eli intanoeus K-III Ellisille 1 + 2El2 mk 2 < 1; da = 1 2 r rdϕ Ȧ =1 2 r2 ϕ = l 2m Ȧ on vakio. b 2 a = = l2 mk b = a1/2 l, mk joten ellisin inta-ala A = πab = πa 3/2 l/ mk. Toisaalta A = T 0 Ȧ dt = lt 1 2m T = 2π GM a3/2 eli kiertoaikojen neliöt suhtautuvat kuten isoakselien kuutiot (m/k = 1/GM).

2 Lalace-Runge-Lentz -vektori R L = L mk r r R L on liikevakio ratatasossa. yhtälö r:lle: eli Tässä r R L = r ( L) mkr rr L cos ϕ = L ( r) mkr = l 2 mkr ( r 1 + R ) L mk cos ϕ = l2 mk r = 1 + ε cos ϕ ; = l2 mk, ε = R L mk R 2 L = 2 l 2 + m 2 k 2 2 mk r l2 = m 2 k 2 + 2m = m 2 k 2 + 2mEl 2 ε = 1 + 2El2 mk 2 ( 1 2 mv2 k ) l 2 r R L mk e r R L R O L L L mk e r R L mk e r L

3 Kelerin otentiaalin hyerbeliradat x ratataso asidi viiva φ r ϕ 1 ϕ θ 0 θ Θ z y Ol. U = k/r, ε = 1 + 2El2 mk 2 > 1 r = 1 + ε cos ϕ ; = l2 mk, missä ϕ mitataan asidiviivasta. Hidut hyerbeliradoilla sironta Hidun tulosuunta ϕ = ϕ 1, jolloin r 1 + ε cos ϕ 1 = 0 ϕ 1 = arccos( 1 ε ) Val. allokoordinaatisto (r, θ, φ) s.e. z-akseli osoittaa alkueräisen noeusvektorin suuntaan. (Huom. φ ϕ!) r = 1 + ε cos(θ θ 0 ), missä θ = θ 0 asidiviivan suunta. Hiukkasen kulkusuunnan muutos eli sirontakulma Θ = 2ϕ 1 π = π 2θ 0 = 2 arccos( 1 ε ) π. Huom. ko. U ei yleinen, mutta kattaa mm. Newtonin gravitaation ja (attraktiivisen) Coulombin otentiaalin. Kvalit. sama tilanne, kunhan U r 0 (l 0) ja U r 0

4 Rata reulsiivisessa otentiaalissa k/r U = k/r ratayhtälö edeltä vaihtamalla k:n merkki: r = 1 + ε cos ϕ ; = l2 mk, ε = 1 + 2El2 mk 2 Koska r on aina ositiivinen, itää olla ε cos ϕ < 1 ε > 1, joten cos ϕ < ε 1. Periasissuunta ϕ = π. ϕ (ϕ 1, ϕ 2 ), missä asymtoottiset suunnat (r ) { cos ϕ = 1 ε ja ϕ [0, 2π] ϕ = ϕ1 = arccos( 1 ε ) ϕ 2 = 2π ϕ 1 ϕ 1 ( 1 2 π, π). Val. θ = π + ϕ 1 ϕ { ϕ : ϕ1 2π ϕ 1 θ : π 2ϕ 1 π Sirontakulma Θ = 2ϕ 1 π = 2 arccos( ε 1 ) π = 2(π arccos ε 1 ) π = π 2 arccos ε 1 eli sama tulos kuin Kelerin U:lle! asidiviiva θ m r ϕ ϕ 1 ϕ 2 Θ z

5 Sironta keskeiskentässä Ol. hiukkassuihku äärettömän kaukaa, missä U(r) 0 d 2 N = I, v z = v 0 e z ; v 0 = 2E/m da dt z Määr. Sirontainta-ala suuntaan Ω: σ(ω) = 1 I d 2 N dωdt d 2 N dω dt = dω:aan dt:ssä sironneiden hiukkasten määrä. dωdt Val. allokoordinaatisto (r, θ, φ): θ Θ kun r (Huom. φ ϕ!) Symmetria φ säilyy, sirontainta-ala muotoa σ(θ) ja Mittaamalla d2 N dωdt dω = 2π sin Θ dθ. eri suunnissa voidaan määrätä σ(θ) äätelmiä U(r):n ominaisuuksista! x Θ v 0 z y db b φ mitataan z akselin ymäri

6 Törmäysarametri b(θ) Keskeiskenttä liike tasossa φ = vakio. E ja l määräävät ratakäyrän r = r(θ) ratatasossa. l = r = m r v = mv 0 b = b 2mE b = ratasuoran etäisyys z-akselista, kun z. b ja E määräävät siis Θ:n yksikäsitteisesti. Ratayhtälössä r = 1 + ε cos(θ θ 0 ) itää olla r, kun θ π, joten 1 + ε cos(π θ 0 ) = 0 cos θ 0 = 1 ε joka antaa eriasissuunnan! Symmetria Θ = π 2θ 0, ja sama tulos reuls. U:lle (k < 0) sin Θ ( ) π 2 = sin 2 θ 0 = cos θ 0 = 1 ε cot Θ 2 = 2El 2 ε 2 1 = mk = 2Eb 2 k b = k 2E cot Θ 2 φ x b r ratataso asidi viiva θ 0 θ Θ z y

7 Sirontainta-ala σ(θ) Hiukkasmäärän säilyminen I 2π b db = d2 N dω = I σ(θ) 2π sin Θ dθ dt dω σ(θ) = b db sin Θ dθ, missä 1/r-otentiaalissa b = k 2E cot Θ 2 σ R (Θ) = 1 4 ( k 2E ) 2 csc 4 Θ 2 ; csc x = 1 sin x Rutherfordin sirontainta-ala. x Θ v 0 z y db b φ mitataan z akselin ymäri σ R alunerin Coulombin vuorovaikutukselle, missä k = qq Geiger & Marsden: α + Au-kalvo σ R istemäinen atomiydin Thomsonin malli Myöh. kokeet: α + Al-kalvo σ R, kun Θ suuri (b ieni) ytimen koko m Sama tulos σ(θ):lle kvanttimekaanisesta tarkastelusta! 4πɛ 0

8 Rutherfordin sirontakoe

9 Kokonaisvaikutusala Määr: σ T = (sirontojen kokonaismäärä aikayksikössä) / I σ T = = 2π σ(ω) dω sir = 2π 4π π 0+ π 0+ σ(θ) sin Θ dθ b db b max sin Θ dθ sin Θ dθ = 2π b db = π b 2 max, missä b max on U:n kantama eli suurin r, jolle U(r) 0 Klassisesti σ T b max. Coulombin vuorovaikutukselle b max. 0 Kvanttimekaniikka: σ T 1/r 2. äärellinen, jos U ienenee noeammin kuin Plasmafysiikka: ienkulmasironta kollektiivinen ilmiö; törmäys suuren kulman (esim. Θ > π/2) sironta Törmäysten kokonaisvaikutusala σ Θ>π/2 = 2π π π/2 σ R (Θ) sin Θ dθ = 2π b1 0 b db = π b 2 1, missä (ol. q = q = e) b 1 = b( π 2 ) = e2 1 4πɛ 0 2E cot π 4 = e2 8πɛ 0 kt m kt [ev]

10 Monen kaaleen ongelma N kl i = 1, 2,..., N m i r i = j i Gm i m j (r i r j ) r i r j 3 Ongelma OK: sama määrä muuttujia ja r:ttomia yhtälöitä 2 kl tarkasteltu edellä yleinen ratkaisu löytyy! N 3: Poincare (n. 1890): hyvin herkkä alkuehdoille ieni virhe kasvaa rajusti Kaaos (löytyi 1960-luvulla uudelleen) Huom: K. F. Sundman (1912): yksikäsitteinen yleisen 3 kl:een ongelman ratkaisu! Ratkaisu on t 1/3 :n sueneva otenssisarja, joka kuitenkin suenee toivottoman hitaasti. Rajoitettu 3 kl:een ongelma 2 massiivista kl:tta ymyräradoilla 1 ieni (joka ei häiritse isoja) 1. Ratkaistaan 2 kl:een ongelma 2. Tutkitaan ienen liikettä Aurinko Maa Kuu: ei raj. 3 kl:een ongelma (Kuu liian iso / liian lähellä Maata).

11 Lagrangen isteet Rajoitetun 3 kl:een ongelman erikoisratkaisuja ovat ns. Lagrangen isteet, joissa ienimassainen kl voi ysytellä aikoillaan massiivisiin kl:siin nähden. Esim: Aurinko + laneetta + asteroidi (L4, L5) Aurinko + Maa + satelliitti (haloradat) Efektiivinen otentiaali (sis. vain g- & keskiakovoiman) Coriolis-voima stabiloi radat L4:n ja L5:n ymärillä!

12 Asteroidijakautuma WMAP-luotaimen rata (ei skaalassa)

13 Muita 3 kl:een ongelman ratkaisuja Ol. m i, r i, missä i = 1, 2, 3 Merk. s i = r j r k (ermutoi syklisesti) i s i = 0 Liikeyhtälöt (HT) s i = mg s i s 3 i + mg m = i m i; G = G i Euler oletti: s i s 3 i R = 0 ja kaikki massat samalla suoralla ratkaisu, jossa kaikilla radoilla yhteinen olttoiste ja eriodi Toinen erikoistaaus: Ol. G = 0 liikeyhtälöiden välinen kytkentä katoaa ja kaikille i s i = mg s i s 3 i osataan ratkaista ellisiradat, joilla yhteinen olttoiste ja sama eriodi Pitää siis olla s i = s(t) i (tasasivuinen kolmio!) Muistuttaa 2 kl:een ongelmaa, muttei ole!