Keskeisliikkeen liikeyhtälö

Transkriptio

1 Keskeisliikkeen liikeyhtälö L vakio keskeisliikkeessä liike tasossa L Val. L e z liike xy-tasossa naakoodinaatit, joille d dt e d = ϕe ϕ ; dt e ϕ = ϕe = e LY: m = f()e ṙ = ṙe + ϕe ϕ ; = ( ϕ 2 )e +(2ṙ ϕ+ ϕ)e ϕ { m( ϕ 2 ) = f() m(2ṙ ϕ + ϕ) = 0 Integoidaan alemi m 2 ϕ = vakio l L m l2 m 3 = f() F m Kokonaisenegia E = T + U = 1 2 mṙ m 2 + U = vakio l 2 t t 0 = ϕ ϕ 0 = m d E U() d l2 2m 2 2 2m l 2 [E U()] 1 2

2 Efektiivinen otentiaali ja voima E = T + U = 1 2 mṙ2 + U () Efektiivinen otentiaali U () = U() + 2m 2 atatyyit Efektiivinen voima = U = l2 m 3 U U l2 U m = U Ymyäata = a = vakio vain, jos U = 0. =a Ymyäata stabiili, jos kyseessä minimi! Ol. U = k 1+n U = l2 m 3 k(n + 1)n = 0 3+n = (n + 1)mk 2 U 2 = 3 l2 kn(n + 1)n 1 m4 jonka siis itää olla minimikohdassa ositiivinen, jotta ymyäata on stabiili l 2 0 < 3 l2 m kn(n + 1)3+n = 3 l2 m + n l2 m n > 3

3 Kelein lait Tycho Bahe ( ): havainnot t + dt 2 t 2 Johannes Kele ( ): t 1 t + dt 1 K-I Planeettojen adat ellisejä, joiden toisessa olttoisteessä Auinko on. K-II Auingosta laneettaan iietty jana kietää siten, että sen aikayksikössä yyhkäisemä inta-ala on vakio. K-III Kietoaikojen neliöt suhtautuvat kuten isoakselien kuutiot. (esim. T Maa = 1 a, T Ju = /2 a = 11.9 a) K-I ja K-II vuodelta 1609, ja K-III vuodelta 1619 Lait emiiisiä! Kelein lait Newtonin mekaniikka ja ainovoimalaki N-G kahden kaaleen välinen vetovoima on veannollinen niiden massojen tuloon ja kääntäen veannollinen niiden välisen etäisyyden neliöön: F = GMm 2 e. Tässä G = 6, N m 2 kg 2 on gavitaatiovakio. G eätakimmin tunnettu luonnonvakio! (HT: miksi?) F saadaan otentiaalista U() = k/, missä k = GM m.

4 Pallokuoen otentiaalienegia Renkaan muotoinen kuoen osa: θ θ + θ enkaan säde = a sin θ θ enkaan leveys = a θ Jokainen iste enkaalla s:n etäisyydellä m:stä Kontibuutio otentiaalienegiaan: Gm M U = s z m s θ 00 11a y Renkaan massa (M s ja A s kuoen massa ja inta-ala) M = A (2πa sin θ) (a θ) M s = A s 4πa 2 M s = 1 2 sin θ θ M s U = 1 2 Gm M sin θ θ s s Integoidaan kaikkien enkaiden yli, θ : 0 π: U = 1 2 G m M s π 0 sin θ dθ s(θ) Nyt s 2 = a a cos θ 2s ds dθ s ds = 2a sin θ sin θ dθ = a U = G m M s 2a s(π) s(0) ds

5 Pallokuoen otentiaalienegia: U = G m M s 2a s(π) s(0) ds 1) > a : s(0) = a, s(π) = + a U = G m M s 2a 2a = G m M s Sama tulos kuin jos allokuoen massa olisi oigossa! m z s a θ y 2) < a : s(0) = a, s(π) = a + U = G m M s 2a 2 = G m M s a = vakio z s m a θ Voima F = U e F = G m M s 2 e, a 0 < a y

6 Homogeenisen allon gavitaatioenegia Massa M tiheys ρ = M a 4π 3 πa3 säde a Pallonkuoi m = ρ V = ρ 4π 2 U = G M sis() m ; M sis () = 4π 3 ρ3 U = 16π2 Gρ 2 4 ; integoidaan 3 a U = du = 16π2 Gρ 2 a 4 d 3 0 = 16π2 Gρ 2 3 U on allon gavitaatioenegia. 0 a 5 5 = 3 GM 2 5 a Tämä enegia vaautuu, jos koko avauuteen tasan jakautunut massa M luhistuu a-säteiseksi alloksi. U Auingon enegialähteenä T 20 Ma (!) Maaallo: M kg, m U Maa J

7 Kelein adan lauseke Ratayhtälö määäämättömänä integaalina: ϕ = ϕ d + ; ϕ 2m integoimisvakio 2 [E U()] 1 l 2 2 Muuttujan vaihto = 1/u; N-G: U = k/ = ku ϕ = ϕ du 2m(E + ku) u l 2 2 ( dx ax = 1 2 +bx+c a accos ϕ = ϕ accos u = 1 = mk l 2 ( l 2 u mk El2 mk b+2ax b 2 4ac ), joten 1 + 2El2 mk 2 cos(ϕ ϕ ) ) eli = ε = 1 + ε cos θ ; katioleikkaus, θ ϕ ϕ, = l2 mk ε = 0 ymyä 1 + 2El2 mk 2 ; eksentisyys 0 < ε < 1 ellisi ε = 1 aaabeli ε > 1 hyebeli

8 Katioleikkaukset ellisi aaabeli hyebeli Ellisissä leikkaava taso on ienemmässä kulmassa vaakatasoon nähden kuin kation vaia. Paaabelissa kation vaia ja leikkaava taso ovat samassa kulmassa vaakatasoon nähden. Hyebelissä leikkaava taso on suuemmassa kulmassa vaakatasoon nähden kuin kation vaia ymyä ellisi aaa beli hyebeli

9 Pakonoeus Millä noeudella kaaleen tulee liikkua, jotta se akenee toisen kaaleen ainovoimakentästä? Tällöin ε = 1 + 2El2 mm 1; missä µ = µk2 m + M eli E 0. Pakenee T + U 0 : 1 2 µv2 e = GMm ; 2GMm v e = µ = 2G(M + m) 2GM Esim. 1 Maan inta v e = 11.2 km/s Auingon inta v e = 618 km/s Esim. 2 Lähtö geostationaaiselta adalta, = 6.6 R E : vauhti aluksi v ϕ0 = 2π/(24 h) = 3.06 km/s; tavitaan yhteensä v e = 11.2 km/s/ 6.6 = 4.36 km/s eli lisäotku liikkeen suuntaan v = v e v ϕ0 = 1.3 km/s

10 Kelein lait atayhtälöstä K-I Suljettu laneettaata = 1 + ε cos ϕ on ellisi eli sille ε = 1 + 2El2 < 1; mk 2 osoittaa laneetasta toiseen olttoisteeseen. Isoakselin uolikas a; ikkuakselin uolikas b; 2a = 1 ε ε = 2 1 ε 2 c = a /(1 + ε) = εa b 2 = a 2 c 2 = a 2 (1 ε 2 ) = a K-II Pienellä aikavälillä dt a c c + = 2a da = 1 2 dϕ Ȧ =1 2 2 ϕ = l 2m = vakio K-III Yllä b 2 a = = l2 al mk b =. mk Ellisin inta-ala A = πab. Toisaalta b ϕ a c A = T 0 A dt = lt 2m = πa al T = 2π mk m k a3/2 Huom. T ei iiu ellisin muodosta vaan ainoastaan isoakselin ituudesta.

11 Lalace-Runge-Lentz -vektoi R L = L mk ṘL = ṗ L mk v + mk ṙ 2 = F L mk v ϕe ϕ F = (k/ 3 ) ja L = m 2 ϕe z, joten (e e z = e ϕ ) F L = mk ϕ e ϕ = mk v ϕe ϕ ṘL = 0. R L on siis liikevakio. Selvästi R L on atatasossa. Johdetaan vielä yhtälö :lle; lasketaan R L = ( L) mk R L cos ϕ = L ( ) mk = l 2 mk ( 1 + R ) L mk cos ϕ = l2 mk eli jälleen saadaan = 1 + ε cos ϕ ; = l2 mk, ε = R L mk RL 2 = 2 l 2 + m 2 k 2 2 mk ( l2 = m 2 k m 2 mv2 k = m 2 k 2 + 2mEl 2 ε = 1 + 2El2 mk 2 ) l 2

12 R L = L mk R L mk e R L R O L L L mk e R L mk e L

13 Riiumattomat liikevakiot ja ataelementit :llä 3 komonenttia LY (N-II) on 2. kl. DY 6 integoimisvakiota Löydetyt liikevakiot: L, R L, E, t 0 (yhteensä 8 kl) näistä kaikki eivät voi olla iiumattomia! Riiuvuudet: R L = mkε = mk 1 + 2El2 mk 2 ja L R L = 0 Riiumattomia esim. L, ε, t 0 ja R L :n kulma L:n ymäi. Mek. (, R L ) ϕ = 1 + ε cos ϕ :llä minimi, kun ϕ = 0 R L osoittaa oigosta kohti eiasista (l. eisentiä) Vastakohta (:n maksimi, ϕ = π) aoasis (l. aosenti) Rataelementit (laneettaliike) isoakselin uolikas a eksentisyys ε (tai e) inklinaatio i (tai ι) nousevan solmun ituus Ω (kevättasausisteestä Υ) eihelin agumentti ω; t. eihelin ituus ϖ eiheliaika τ