Ratkaisuja. Ratkaisuja luvun 1 tehtäviin. 1. Tehtävä 1, sivulta 14. (a) Kirjoitetaan neliöjuuri murtopotenssina ja käytetään derivoimissääntöjä

Transkriptio

1 Ratkaisuja Ratkaisuja luvun tehtäviin. Tehtävä, sivulta 4. (a) Kirjoitetaan neliöjuuri murtopotenssina ja käytetään derivoimissääntöjä f (x) D ( x 5 + x ) D ( x 5) + D 5x 4 + 5x 4 + x. ( ) x x (b) Käytetään tulon derivoimissääntöä ja ketjusääntöä ( ) x + 3 f (x) D 3x + D ( (x + 3)(3x + ) ) D(x + 3)(3x + ) + (x + 3) D(3x + ) (3x + ) + (x + 3)( )(3x + ) 3 3(x + 3) 3x + (3x + ) (3x + ) 3(x + 3) (3x + ) (3x + ) 6x + 4 6x 9 (3x + ) 5 (3x + ).

2 (c) Käytetään ketjusääntöä ( ) f (x) D ( x + 3) 5 (d) Käytetään ketjusääntöä. Tehtävä, sivulta 4. D ( ( x + 3) 5) 5( x + 3) 6 ( ) 5 ( x + 3) 6. f (x) D ( ln x ) x. x ( x) (a) (b) f (x) D ( 3x + x + ) D(3x ) + D(x) + D() 6x +, ( f (x) D 4x + ) 4 5 x5 3 ( ) ( ) D 4 x 4 + D 5 x5 4 4 x x3 x 5 + x3. D(3) (c) Käytetään tulon derivoimissääntöä ja ketjusääntöä f (x) D (x sin(3x)) D(x) sin(3x) + x D(sin(3x)) sin(3x) + x cos(3x)3 sin(3x) + 3x cos(3x).

3 3. Tehtävä 3, sivulta 4-5. Käytetään derivaattojen määrittämiseen ketjusääntöä. (a) Tehtävässä ulkofunktio on f(x) x ja sisäfunktio on g(x) x +, ulkofunktion ja sisäfunktion derivaatat ovat f (x) x ja g (x). Tällöin ( ) D (f(x)) D (x + ) D ( ) (x + ) (x + ) (x + ). x + (b) Tehtävässä ulkofunktio on f(x) x 3 ja sisäfunktio on g(x) 3 x, ulkofunktion ja sisäfunktion derivaatat ovat f (x) 3 x 5 ja g (x) x. Tällöin ( ) D (f(x)) D (3 x ) 3 3 (3 x ) 5 ( x) 6x(3 x ) 5. (c) Tehtävässä ulkofunktio on f(t) t ja sisäfunktio on g(t) t + t. Ulkofunktion derivaatta on f (t). t Sisäfunktion derivaatta saadaan tulon derivoimissäännöllä ( ) t g + (x) D t D ( (t + )(t ) ) t(t ) + ( )(t ) t(t + ) t t t(t + ) (t ) t(t ) (t ) t3 + t (t ) t3 t t 3 t (t ) 4t (t ). 3

4 4 Tällöin ( ) t + D (f(x)) D t ( (t ) ) + D t ( ) t + 4t t (t ) t ( t ) + (t ) t t (t + ) (t ) (t ) t (t + ) (t ) t. (t + ) (t ) 3 (d) Tehtävässä käytetään tulon derivoimissääntöä φ (u) dφ ( ) 7 + u 3u 4 du 3 u dφ du [ (7 + u 3u 4 )u 3 ( u 3 )u 3 + (7 + u 3u 4 ) u3 3u 3 3 3u( u3 ) u u 3u4 u u 3u4 u 5 3 6u 36u4 4 4u + 6u 4 3u 5 3 u 30u u 5. ( ) u Tehtävä 4, sivulta 5. Derivaatan määritelmä on f f(x + h) f(x) (x) lim. h 0 h

5 5 Tällöin (a) f (x + h) x (x) lim h 0 h x + xh + h x lim h 0 h xh + h lim h 0 h lim x + h h 0 x, (b) f (x) lim h 0 lim h 0 lim h 0 x+h x+h 9 h x+h x+h 9 h x x 9 x x 9 (x+h)(x 9) (x+h 9)(x 9) h x(x+h 9) (x 9)(x+h 9) x 9x + xh 9h x xh + 9x lim h 0 (x + h 9)(x 9)h lim h 0 lim h 0 9h (x + h 9)(x 9)h 9 (x + h 9)(x 9) 9 (x 9)(x 9) 9 (x 9). 5. Tehtävä 5, sivulta 5. Merkitään alkuperäisen ympyrän alaa A 0 πr0 cm. Ympyrän alan pienenemisnopeuden tiedetään olevan π cm, joten ympyrän s alan muutokselle saadaan yhtälö A(t) πr πr 0 πt. Ratkaistaan ensin ajanhetki, jolloin ympyrän ala on 75π cm, olkoon tällöin t t A(t ) πr 0 πt 75π,

6 6 josta saadaan t r Seuraavaksi tarvitaan yhtälö säteen määrittämiseksi. Se saadaan ratkaisemalla säde r ympyrän alan yhtälöstä πr πr 0 πt, jolloin r(t) r 0 t. Säteen muutosnopeus saadaan nyt derivoimalla r(t) r (t) ( r 0 t ) ( ) ( r0 t ) r 0 t Säteen muutosnopeus ajanhetkellä t on r (t ) r 0 t r0 r 0 75 r 0 r , joten säde pienenee nopeudella 75π cm. 75 ajanhetkellä, jolloin ympyrän ala on 6. Tehtävä 6, sivulta 5. Yhdistetyn funktion derivaatta on ketjusäännön perusteella f (y) h (g(y))g (y). (a) Määritetään f ( ), kun f(y) h(g(y)), h() 55, g( ), h () ja g ( ) 7. Funktion derivaatta on f (y) h (g(y))g (y).

7 7 Funktion f(y) derivaatta kohdassa y on f ( ) h (g( ))g ( ) h () (b) Määritetään G (), kun G(t) f(h(t)), h() 4, f (4) 3 ja h () 6. Funktion derivaatta on G (t) f (h(t))h (t). Funktion G(t) derivaatta kohdassa t on G () f (h())h () f (4) Tehtävä 7, sivulta Tehtävä 8, sivulta 6. (a) (3x + x + ) dx 3 x dx + xdx + dx 3 x3 3 + x + x + C x 3 + x + x + C (b) ( ) 3 x + 3 x3 + dx 3 x 3 dx + 3 x + x x + C x 3 dx + 3 x + 5 x5 + x + C 3 x x5 + x + C dx

8 8 (c) ( ) dx (x 0) 7 ((x 0) 7 ) dx (x 0) 6 + C 6 6(x 0) + C 6 (d) (t 5 5t ) dt t 5 dt 5 t dt t6 6 5t + C 6 t6 + 5 t + C (e) (5 cos(0x) 0 sin(5x))dx 5 cos(0x) dx 0 sin(5x) dx 0 cos(0x) dx + ( 5 sin(5x)) dx 9. Tehtävä 9, sivulta 7. (a) (b) (y 5 )dy 3 / dx sin(0x) + cos(5x) + C 3/ x 3 ( ) 3 + 4, 6 y6 y ( ) ( )6 ( ) 6, 6 (c) π 0 sin t cos t dt π/ sin t sin π sin

9 9 Tehtävä 0, sivulta Tehtävä 0, sivulta 7. (a) Tiedetään, että f (x) x +, joten f(x) f (x)dx x + dx x + x + C. Ratkaistaan vakio C alkuehdon f(0) 3 avulla Siis f(x) x + x + 3. f(0) C C 3. (b) Tiedetään, että f (x) x + 5 (x + 5), joten f(x) f (x)dx (x + 5) dx 3 (x + 5)3 + C. Ratkaistaan vakio C alkuehdon f(4) 3 avulla f(4) 3 (4 + 5)3 + C 3 ( 9) 3 + C C 8 + C 3, joten C 3 8. Siis f(x) 3 (x + 5)3.. Tehtävä, sivulta 7. Koska kappaleen kiihtyvyys on a(t), niin kappaleen nopeus saadaan v(t) a(t)dt ja edelleen paikka x(t) v(t)dt. (a) Määritetään ensin kappaleen nopeus integroimalla kiihtyvyys v(t) a(t) dt (t 4)dt 6t 4t + C.

10 0 Tiedon v(0) 0 perusteella saadaan selville vakio C v(0) C C 0. Kappaleen nopeus on siis v(t) 6t 4t 0. Integroimalla nopeus v(t) saadaan kappaleen paikan funktio selville x(t) v(t) dt (6t 4t 0)dt t 3 t 0t + D. Määrätään vakio D tiedon x(0) 0 perusteella x(0) D D 0. Paikan funktio on x(t) t 3 t 0t. (b) Määritetään ensin kappaleen nopeus integroimalla kiihtyvyys v(t) a(t) dt (8 cos(t)) dt 4 sin(t) + C. Tiedon v(0) 4 perusteella saadaan selville vakio C v(0) 4 sin( 0) + C 4 sin 0 + C C C 4. Kappaleen nopeus on siis v(t) 4 sin(t)+4. Integroimalla nopeus v(t) saadaan kappaleen paikan funktio selville x(t) v(t) dt (4 sin(t) + 4)dt cos(t) + 4t + D. Määrätään vakio D tiedon x(0) perusteella x(0) cos( 0)+4 0+D cos D +D +D, joten D 0. Paikan funktio on x(t) cos(t) + 4t.

11 . Tehtävä, sivulta 7. (a) (3x 5) 7 dx 3 3(3x 5) 7 dx (b) (3x 5) 8 + C (3x 5)8 + C x x + 9dx x(x + 9) dx x(x + 9) dx (x + 9) C 3 (x + 9) 3 + C 3 (x + 9) 3 + C (c) cos(kt)dt k k cos(kt)dt k sin(kt) + C (d) x sin(x )dt 4 4x sin(x )dt (e) 4 ( cos x) 5 sin xdt ( cos(x ) ) + C 4 cos(x ) + C ( cosx)6 6 + C 6 ( cos x)6 + C

12 3. Tehtävä 3, sivulta. Differentiaaliyhtälön ratkaisu toteuttaa yhtälön ja yhtälön joten x (t) x(t) 6t x (t) x(t) dt 6t dt, ln x(t) 3t + C. Tästä saadaan logaritmin määritelmän perusteella missä C e C. x(t) e 3t +C e 3t e C C e 3t, 4. Tehtävä 4, sivulta. Differentiaaliyhtälön ratkaisu toteuttaa yhtälön x (t) x(t) joten se toteuttaa myös yhtälön x x dx josta saadaan Tällöin missä C e C. 4t, 4t dt, ln x t t + C. x(t) e t t+c e t t e C C e t t, 5. Tehtävä 5, sivulta. Differentiaaliyhtälön ratkaisu toteuttaa yhtälön jota muokkaamalla saadaan x (t) 6t(x(t) ) 3, x (t) (x(t) ) 3 6t.

13 3 Tällöin ratkaisu saadaan intergoimalla x (t) eli josta saadaan (x(t) ) 3 dt x (t)(x(t) ) 3 dt 6tdt 3(x(t) ) 3 3t + C. Tätä muokkaamalla ratkaisuksi saadaan x(t) (t + C ) tdt, 6. Tehtävä 6, sivulta. Differentiaaliyhtälön ratkaisu toteuttaa yhtälön joten se toteuttaa myös yhtälö x x(t) +, x x(t) +. Tällöin ratkaisu saadaan integroimalla puolittain x dt dt, x (x(t) + ) dt x(t) + dt, josta saadaan (x(t) + ) t + C. Tällöin differentiaaliyhtälön ratkaisu on x(t) + (t + C), x(t) 4t + 4Ct + C. 7. Tehtävä 7, sivulta. Differentiaaliyhtälön ratkaisu toteuttaa yhtälön joten se toteuttaa myös yhtälöt x (t) (tx(t)) 3, x (t) t 3 3 x(t), x (t) t 3 x(t) 3, x (t)x(t) 3 t 3.

14 4 Tällöin ratkaisu saadaan integroimalla x (t)x(t) 3 dt t 3 dt, josta saadaan x(t) 5 t5 + C, x(t) 5 t5 + C, x(t) Differentiaaliyhtälön ratkaisu on ( 5 t5 + C ). x(t) ( ). 5 t5 + C 8. Tehtävä 8, sivulta. Differentiaaliyhtälön ratkaisu toteuttaa yhtälön joten se toteuttaa myös yhtälön x (t)(t + 3) tx(t), x (t) x(t) Puolittain integroimalla saadaan x (t) x(t) dt t t + 3. t t + 3 dt, ln x(t) ln t C, jolloin differentiaaliyhtälön ratkaisuksi saadaan missä C e C. x(t) e ln t +3 +C e ln t +3 e C C t + 3C,

15 9. Tehtävä 9, sivulta. Tarkistetaan, että funktio x(t) Ce t on differentiaaliyhtälön x (t) x(t) ratkaisu. Derivoidaan funktio x(t) muuttujan t suhteen d dt x(t) d dt Cet Ce t. Huomataan, että x (t) x(t). 0. Tehtävä 0, sivulta. Tarkistetaan, että funktio x(t) Ce kt on differentiaaliyhtälön x (t) x(t) ratkaisu. Derivoidaan funktio x(t) muuttujan t suhteen d dt x(t) d dt Cekt kce t. Huomataan, että x (t) kx(t).. Tehtävä, sivulta 8. Alkuarvo-ongelman kx (t) kx(t) + m k, x(0) x 0 (> 0) (a) ratkaisu kaavalla g(x(t))x (t)dt h(t)dt. Etsitään ensin differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu kx (t) kx(t) + m dt k dt ln kx(t) + m Alkuehdon toteuttava ratkaisu kt + C kx(t) + m e kt+c x(t) ekt e C m k x(t) C k ekt m k. x(0) C k ek 0 m k C k e 0 m k C k m k x 0, joten C (x k 0 + m) x 0 k k + m ja alkuarvo-ongelman ratkaisu siis on k x 0 x(t) k + m k e kt m ( k k x 0 + m ) e kt m k k 5

16 6 (b) ratkaistaan kaavalla g(x)dx h(t)dt. kx kx + m dx k dt ln kx + m kt + C kx + m e kt+c x ekt e C m k x C k ekt m k Alkuehdon toteuttava ratkaisu x(0) C k ek 0 m k C k e 0 m k C k m k x 0, joten C k (x 0 + m k ) x 0 k + m k ja alkuarvo-ongelman ratkaisu siis on x(t) x 0 k + m k e kt m ( k k x 0 + m ) e kt m k k (c) ratkaistaan kaavalla x x 0 g(v)dv t t 0 h(u)du. x x 0 kx kx + m dx t 0 k dt ln kx + m ln kx 0 + m kt k 0 ln kx + m kx 0 + m kt kx + m kx 0 + m ekt kx + m (kx 0 + m)e kt kx (kx 0 + m)e kt m x (x 0 + m k )ekt m k

17 . Tehtävä, sivulta 8. Ratkaistaan tehtävä käyttämällä kaavaa x(t) e A(t) f(t)e A(t) dt. Differentiaaliyhtälölle x (t) + x(t) A(t) a(t)dt dt t ja f(t), joten differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on x(t) e t e t dt e ( t e t + C ) e t+( t) + Ce t e 0 + Ce t + Ce t. Etsitään vakio C, joka toteuttaa alkuehdon x(0) + Ce 0 + C, joten C 0. Tällöin alkuarvo-ongelman ratkaisu on x(t). 3. Tehtävä 3, sivulta 9. Ratkaistaan tehtävä käyttämällä kaavaa x(t) e A(t) f(t)e A(t) dt. Differentiaaliyhtälölle tx (t) + x(t) 3t x (t) + t x(t) 3 A(t) a(t)dt dt ln t ja f(t) 3, joten differentiaaliyhtälön t yleinen ratkaisu on x(t) e ln t 3e ln t dt e ln t 3e ln t dt t 3t dt t (t 3 + C) t + Ct 7

18 8 Etsitään vakio C, joka toteuttaa alkuehdon x() t + C + C 5, joten C 4. Tällöin alkuarvo-ongelman ratkaisu on x(t) t + 4t. 4. Tehtävä 4, sivulta 9. Ratkaistaan tehtävä käyttämällä kaavaa x(t) e A(t) f(t)e A(t) dt. Differentiaaliyhtälölle tx (t) x(t) t x (t) t x(t) A(t) a(t)dt dt ln t ja f(t), joten differentiaaliyhtälön t yleinen ratkaisu on x(t) e ln t e ln t dt t e ln t dt t t dt t(ln t + C) t ln t + Ct. Etsitään vakio C, joka toteuttaa alkuehdon x() ln + C 0 + C C 7, Tällöin alkuarvo-ongelman ratkaisu on x(t) t ln t + 7t. 5. Tehtävä 5, sivulta Tehtävä 6, sivulta 3.

19 9 7. Tehtävä 7, sivulta 3. Etsitään differentiaaliyhtälön ratkaisu dy q + bx y dx x p ay p ay q + bx dy dx y x p ay q + bx dy dx y x p y a dy q x + bdx p ln y ay q ln x + bx + C p ln y + q ln x bx + ay + C ln y p + ln x q bx + ay + C ln y p x q bx + ay + C y p x q e bx+ay+c y p x q e bx e ay e C y p x q Ce bx e ay, missä C e C. Näin ollen differentiaaliyhtälön ratkaisu toteuttaa yhtälön y p x q Ce bx e ay

20 0 Ratkaisuja luvun tehtäviin 8. Tehtävä 8, sivulta 39. Piirretään ensin piste P keskipisteenä ympyrän kaaret suoralle l. Sitten piirretään suoran ja ympyränkaarien leikkauspisteet keskipisteinä ympyrän kaaret suoran sille puolle, jossa piste P ei sijaitse. Yhdistetään piste P ja ympyrän kaarien leikkauspisteet. 9. Tehtävä 9, sivulta 39. Piirretään ensin pisteen P kautta suoran l leikkaava mielivaltainen suora s. Piirretään sitten suorien leikkauspiste keskipisteenä ympyrän kaari, joka leikkaa molemmat suorat. Merkitään näin muodostuneen sektorin keskuskulmaa α. Piirretään samalla säteellä ympyrän kaari piste P keskipisteenä. Valitaan tämän jälkeen säteeksi ensimmäisen ympyrän kaaren ja suoran s leikkauspiste ja piirretään jälimmäisen ympyrän kaaren ja suoran s leikkauspiste keskipisteenä ympyrän kaaren leikkaava kaari. Yhdistetään näin saatu kaarten leikkauspiste ja piste P viivaimen avulla. 30. Tehtävä 30, sivulta 39. Olkoon kolmion kulmat α, β ja γ kuvan mukaisesti. C γ A α β Piirretään pisteen C kautta kolmion sivun AB kanssa yhdensuuntainen suora ja jatketaan kolmion sivuja AC ja BC. B C γ A α β Samanpaikkaset ja ristikkäiset kulmat tiedetään yhtä suuriksi ja oikokulma tunnetaan, joten α + β + γ 80. B

21 3. Tehtävä 3, sivulta 39. Piirretään tasakylkisen kolmion kärjen C kautta kannalle AB normaali. C γ A α β 3. Tehtävä 3, sivulta 44. Väitteitä ovat (a), (c), (d), (e) Väitteitä eivät ole (b), (f), (g) 33. Tehtävä 33, sivulta 44. P reaaliluku x on (aidosti) suurempi kuin x > Q reaaliluvun x neliö on (aidosti) suurempi kuin x > P reaaliluku x ei ole (aidosti) suurempi kuin reaaliluku x on yhtä suuri tai pienempi kuin x Q reaaliluvun x neliö ei ole (aidosti) suurempi kuin reaaliluvun x neliö on yhtä suuri tai pienempi kuin x (a) Oletus on P ja johtopäätös on Q. Väite P Q on tosi. (b) Oletus on Q ja johtopäätös on P. Väite Q P on epätosi, sillä esimerkiksi jos x, niin 4 >, mutta x <. (c) Oletus on P ja johtopäätös on Q. Väite P Q on epätosi, sillä esimerkiksi <, mutta ( ) 4 >. (d) Oletus on Q ja johtopäätös on P. Väite Q P on epätosi, sillä esimerkiksi jos x, niin 4 >, mutta x >. 34. Tehtävä 34, sivulta Tehtävä 35, sivulta 45. Tosia väitteitä ovat (c), (d), (e), (g), (i) Epätosia väitteitä ovat (a),(b),(f),(h), (j) 36. Tehtävä 36, sivulta 58. Todistuksessa on osoitettava oikeaksi kaksi väitettä:. jos n on parillinen, niin n on parillinen, B

22 . jos n on parillinen, niin n on parillinen. Osoitetaan ensin väite. Oletetaan, että n on parillinen, jolloin se voidaan esittää n k, k R. Tällöin n (k) 4k (m ), joten n on parillinen. Väite osoitetaan vastaoletuksen avulla. Tehdään vastaoletus, että n on pariton. Luku n voidaan nyt esittää muodossa n k +, k R. Tällöin n (k+) 4k +4k+ (k +k)+, joka on ristiriidassa oletuksen n on parillinen kanssa. Siis alkuperäinen väite on tosi. Koska väitteet. ja. ovat tosia, niin tehtävän väite on tosi. 37. Tehtävä 37, sivulta 58. Todistuksessa on osoitettava oikeaksi kaksi väitettä:. jos n on pariton, niin n on pariton,. jos n on pariton, niin n on pariton. Osoitetaan ensin väite. Oletetaan, että n on pariton. Tällöin se voidaan esittää muodossa n k +, k R, jolloin n (k + ) 4k + 4k + (k + k) +, joten n on pariton. Väite on siis tosi. Todistetaan väite vastaoletuksella. Tehdään vastaoletus, että n on parillinen. Tällöin se voidaan esittää muodossa n k, k R, jolloin n (k) 4k (k ), mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Siis alkuperäinen väite on tosi. Koska väitteet. ja. ovat tosia, niin tehtävän väite on tosi. 38. Tehtävä 38, sivulta 58. (a) Tehdään vastaoletus, että 3 on rationaalinen. Tällöin se voidaan esittää murtolukumuodossa 3 m, m,n Z, jossa lukujen m ja n suurin yhteinen tekijä on. Neliöjuuren määritelmän perusteella n saadaan 3 m n ja edelleen 3n m. Jos n on pariton, niin n on pariton, jolloin myös m on pariton. Jos n on parillinen, niin n on parillinen, jolloin m on parillinen. Koska lukujen n ja m parillisuuden vuoksi myös n ja m olisivat parillisia, niin tällöin luvuilla n ja m olisi yhteisenä tekijänä, joka on ristiriidassa oletuksen kanssa.

23 Keskitytään siis tapaukseen n ja m ovat parittomia. Tällöin n esittää muodossa n k +, kr ja m muodossa m l +, jolloin 3(k + ) (l + ) 3(4k + 4k + ) 4l + 4l + k + k + 3 4l + 4l + k + k + 4l + 4l 6k + 6k + l + l (3k + 3k) + (l + l). 3 (b) Vasen puoli on nyt pariton ja oikea puoli parillinen. Tehty vastaoletus ei siis tuota ratkaisua, joten lukua 3 ei voida esittää murtolukumuodossa. Siis alkuperäinen väite on tosi eli 3 on irrationaalinen. 39. Tehtävä 39, sivulta 58. Tehdään vastaoletus, että rationaaliluvun x ja irrationaaliluvun y summa x + y on rationaalinen. Koska x on rationaalinen, voidaan se esittää muodossa x a, a,b Z,b 0 ja summa voidaan esittää b muodossa x + y m, m,n Z,n 0. Tällöin saadaan n a b + y m n an + bny bm bny bm an bm an y, bn joka väittää luvun y olevan rationaalinen. Tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa, joten tehty vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite on tosi. 40. Tehtävä 40, sivulta 58. (a) Tehdään vastaoletus, että 3 x on rationaalinen. Tällöin se voidaan esittää muodossa 3 x m, missä m ja n ovat keskenään jaottomia eli niiden suurin yhteinen tekijä on, lisäksi n 0 ja m,n n Z. Kuutiojuuren määritelmän mukaan saadaan x m3. Koska m ja n3 n ovat kokonaislukuja, niin myös niiden kuutiot ovat kokonaislukuja. Näin ollen päädytään ristiriitaan, sillä oletuksen mukaan x on irrationaalinen. Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite on tosi.

24 4 (b) Olkoon x ( irrationaaliluku). Tällöin ( ), mikä on ristiriidassa väitteen kanssa. Alkuperäinen väite on siis epätosi. 4. Tehtävä 4, sivulta Tehtävä 4, sivulta 59. Sievennetään lauseketta sivun 50 esimerkin kaavojen avulla tan(α + β) sin(α + β) cos(α + β) sin α cos β + cos α sin β cos α cos β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β ( ) sin α sin β cos α cos β cosα sin α cos β + sinβ cos α sin α sin β cos β cos α sin α cos β + sinβ ( cos α ) sin α sin β cos β cos α cos β sin α cos α + sin β cos β sin α sin β cos α cos β tanα + tanβ tanαtanβ,

25 5 tan(α β) sin(α β) cos(α β) sin α cos β cos α sin β cos α cos β + sin α sin β sin α cos β cos α sin β ( ) sin α sin β cos α cos β + cos α cos β sin α cos α sin β cos β + sin α sin β cos α cos β tanα tanβ + tanαtanβ. 43. Tehtävä 43, sivulta 59. Käytetään kosinin, sinin ja tangentin yhteenlaskukaavoja sin(α) sin(α + α) sinαcos α + cos α sin α cosαsin α, cos(α) cos(α + α) cos α cos α sin α sin α cos α sin α, tan(α) tan(α + α) tanα + tanα tanαtanα tanα tan α. 44. Tehtävä 44, sivulta 59. Tarkastellaan suorakulmaisen kolmion a c α b

26 6 kulmaa α. Ison kolmion perusteella cos α b c ja korkeuden rajaaman pienemmän kolmion perusteella sin α h b. Näiden perusteella b c cos α ja h b sin α, joten h b sin α c cos α sin α c cos α sin α c cos α sin α c sin(α). 45. Tehtävä 45, sivulta 59. Tarkastellaan kuvan kolmiota. a β γ b α c Kolmion pinta-ala on A ch. Kuvan perusteella joista voidaan ratkaista h sin β h a, sin α h b, h a sin β, h b sin α. Valitaan h b sin α ja sijoitetaan se kolmion alan kaavaan A ch cb sin α.

27 7 Sinilauseen perusteella josta saadaan ratkaistua b sin β b sin γ, c b c sin β sin γ. Sijoitetaan saatu lauseke kolmion alan kaavaan A cb sin α sin β cc sin γ sin α c sin α sin β. sin γ 46. Tehtävä 46, sivulta 59. Tehtävässä ehdollisen lauseen oletus on ja väite x,y Z ja x > 0, y > 0 x y. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellaiset positiiviset kokonaisluvut x ja y, joilla x y. Tällöin yhtälö voidaan muuttaa muotoon (x + y)(x y). Tämän tulon tekijöitä voivat olla vain { x + y x y, sillä oletuksen mukaan x ja y ovat positiivisia kokonaislukuja. Tästä saadaan puolittain yhteen laskemalla ja ratkaisemalla x ja y { x y 0, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa, sillä aluksi oletettiin, että y > 0. Siis tehty vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite on tosi. 47. Tehtävä 47, sivulta 59. Olkoot f ja g parittomia funktioita. Siis f( x) f(x), g( x) g(x).

28 8 Muodostetaan näistä murtofunktio Tutkitaan, mitä on h( x) h(x) f(x) g(x). h( x) f( x) g( x) f(x) g(x) f(x) g(x). Siis kahden parittoman funktion murtofunktio on parillinen. 48. Tehtävä 48, sivulta Tehtävä 49, sivulta 70. A B {, 0,,, 3, 4, 5} A\C {,, 4} B D {, 0,, 3} B C {, 0,, 3, 5, 7}, joten (B C) A {, 3, 5}. 50. Tehtävä 50, sivulta 70. Kirjoitetaan joukot ensin siten, että jokainen alkio esiintyy niissä vain kerran A {0,, }, B {,, 4, 5, 7}, C {0,,, 3}. Tällöin A B {, }, A C {0,,, 3}, B C {, }, joten A B C {(0, ), (0, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, C\B {0, 3}. 5. Tehtävä 5, sivulta 70. A D A, A D A {,, 0, }, B C, E {(, ), (, 0), (, ), (, 0), (3, ), (3, 0)}. 5. Tehtävä 5, sivulta 70. Näytetään oikeaksi osittelulaki Osoitetaan väitteet A (B C) (A B) (A C).

29 9. jos x A (B C), niin x (A B) (A C). jos x (A B) (A C), niin x A (B C). Väitteen todistamiseksi olkoon x A (B C). Tällöin x A tai x B C. Leikkauksen määritelmän perusteella x B ja x C, joten x A B ja x A C. Leikkauksen määritelmän nojalla x (A B) (A C). Väitteen todistamiseksi olkoon x (A B) (A C). Tällöin leikkauksen määritelmän nojalla x A B ja x A C. Unionin määritelmästä päätellään, että x A tai x B ja x C eli x A tai x B C. Tällöin union määritelmän perusteella x A (B C). 53. Tehtävä 53, sivulta 70. Näytetään oikeaksi De Morganin laki Osoitetaan väitteet A \ (B C) (A \ B) (A \ C).. jos x A \ (B C), niin x (A \ B) (A \ C). jos x (A \ B) (A \ C), niin x A \ (B C). Väitteen todistamiseksi olkoon x A \ (B C). Tällöin x A ja x / (B C). Koska x / (B C), niin leikkauksen määritelmän perusteella x / B tai x / C. Koska x A, niin x A \ B tai x A \ C. Union määritelmän nojalla x (A \ B) (A \ C). Väitteen todistamiseksi olkoon x (A \ B) (A \ C). Tällöin unionin määritelmän perusteella x / B tai x / C. Komplementin määritelmän avulla päätellään, että x A ja x / B tai x / C. Siis x A, mutta x / B C. Tällöin komplementin määritelmän nojalla x A \ (B C). 54. Tehtävä 54, sivulta 7. Tarkistetaan osittelulakien oikeellisuus Venndiagrammien avulla. Aloitetaan ensimmäisen lain vasemmasta puolesta. Piirretään siis ensin omiin kuviinsa joukot A ja B C, joista otettu leikkaus on viimeisessä kuvassa. A B C A (B C)

30 30 Tehdään samoin lain oikealle puolelle. Ensin piirretään omiin kuviinsa joukot A B ja A C, mutta yhdistetään joukot nyt viimeiseen kuvaan unionilla. A B A C (A B) (A C) Vertaamalla kummankin kuvasarjan viimeisiä kuvia huomataan, että kyseessä ovat samat joukot ja siis ensimmäinen osittelulaki pätee. Tarkastellaan kuvien avulla myös toinen osittelulaki. Lähdetään taas liikkeelle lain vasemmalta puolelta piirtämällä omiin kuviinsa joukot A ja B C. Liitetään unionilla joukot yhteen viimeiseen kuvaan. A B C A (B C) Otetaan sitten käsittelyyn toisen lain oikea puoli. Piirretään ensin omiin kuviinsa joukot A B ja A C ja otetaan niistä leikkaus. A B A C (A B) (A C) Jälleen havaitaan, että kumpaakin lain puolta esittävät kuvat yhtenevät viimeisten kuvien osalta, joten jälkimmäinenkin laki siis pätee. 55. Tehtävä 55, sivulta 7. Tutkitaan Venn-diagrammien avulla DeMorganin lakien oikeellisuus. Aloitetaan jälleen ensimmäisen lain vasemmasta puolesta vastaavasti kuin Osittelulain yhteydessä. Ensin piirretään siis omiin kuviinsa joukot A ja B C, joista saadaan lopullinen joukko ottamalla joukon B C komplementti joukossa A.

31 3 A B C A\(B C) Tutkitaan myös lain oikea puoli siten, että ensin piirretään kuvat joukkojen B ja C komplementeista joukossa A ja otetaan näistä joukoista sitten leikkaus. A\B A\C (A\B) (A\C) Havaitaan, että viimeiset kuvat vastaavat toisiaan, joten ensimmäinen DeMorganin laki pätee näiden kuvien perusteella. Jatketaan toisen DeMorganin lain tarkastelulla. Piirretään nyt joukot A ja B C omiin kuviinsa ja sitten otetaan joukon B C komplementti joukossa A. A B C A\(B C) Oikean puolen tarkasteluun tarvitaan kuvat joukoista A\B ja A\C, joiden unioni on viimeisessä kuvassa. A\B A\C (A\B) (A\C) Siis toinenkin De Morganin laki pätee kuvien perusteella.

32 3 56. Tehtävä 56, sivulta 7. (a) {x x y +, y Z}, (b) {x x 6y, y Z}, (c) {x R x 0}. 57. Tehtävä 57, sivulta 7. Joukot ovat (a) negatiiviset reaaliluvut, (b) luvulla 3 jaolliset luonnolliset luvut, (c) ehdon x 3 4 täyttävät kokonaisluvut eli luvut 0,, ja Tehtävä 58, sivulta 7. Tehtävän väitteen todistamiseksi on osoitettava kaksi väitettä. jos A B, niin A B B,. jos A B B, niin A B. Väitteen todistamiseksi olkoon A B. Jos x A, niin myös x B, jolloin unionin määritelmän ja oletuksen perusteella A B B. Jos x B, mutta x / A, niin unionin määritelmän perusteella A B B. Väitteen todistamiseksi olkoon A B B. Unionin määritelmän perusteella x A tai x B. Yhtä suuruuden vuoksi päätellään, että A B. 59. Tehtävä 59, sivulta 7. Tehtävän väitteen todistamiseksi on osoitettava kaksi väitettä. jos A B, niin A B A,. jos A B A, niin A B. Väitteen todistamiseksi olkoon A B. Tällöin jos x A, niin myös x B. Koska x A ja x B, niin x A B. Leikkauksen määritelmän perusteella A B A. Väitteen todistamiseksi olkoon A B A. Jos x A B, niin leikkauksen määritelmän perusteella x A ja x B. Tällöin oletuksesta päätellään, että A B.

33 60. Tehtävä 60, sivulta 7. Olkoon A B E. Osoitetaan, että tällöin E\B E\A. Olkoon x E\B. Tällöin joukkojen komplementin määritelmän perusteella x E x / B. Koska A B, niin tiedetään, että x E x / A. Tästä komplementin määritelmän perusteella päätellään x E\A, joten väite on tosi. Lyhyesti x E\B x E x / B x E x / A x E\A. Siis E\B E\A. 6. Tehtävä 6, sivulta 7. (a) (b) A (B (C E \ W)) A ((B C) (B E \ W)) A ((B C) ) A B B. (E \ X Y ) (X E \ Y ) ((E \ X Y ) X) ((E \ X Y ) E \ Y ) (E \ X X) (Y X) ((E \ X E \ Y ) (Y E \ Y ) (Y X) (E \ X E \ Y ) (Y X) (E \ (X Y )). 6. Tehtävä 6, sivulta 77. Todistetaan väite induktiolla. Alkuaskel (MI) pätee, sillä kun n f (x) ( ) + sin x ( ) sin x sin x. Tehdään seuraavaksi oletus, että k on pariton luonnollinen luku. Tällöin induktio-oletus on f (k) (x) ( ) k+ sin x. Tarkastellaan sitten väitettä, kun n k + ja käytetään induktio-oletusta f (k+) (x) d ( ) f (k) dx d ( ) ( ) k+ sin x dx ( ) k+ cos x, 33

34 34 joten induktioaskel (MI) täyttyy tässä tapauksessa. Tehdään vastaava tarkastelu oletuksella, että k on parillinen luonnollinen luku. Tällöin induktiooletus on f (k) ( ) n cos x. Tarkastellaan väitettä, kun n k + ja käytetään induktio-oletusta f (k+) d ( ) f (k) dx d ) (( ) k cos x dx ( ) k ( sin x) ( ) k ( ) sin x ( ) k + sin x ( ) k + sin x ( ) k+ sin x ( ) (k+)+ sin x, joten induktioaskel (MI) on voimassa molemmissa tapauksissa. Induktioperiaatteen nojalla väite on tosi. 63. Tehtävä 63, sivulta 77. Todistetaan väite (ab) n a n b n jokaisella n N induktiolla. Alkuaskel (MI) täyttyy, sillä kun n (ab) ab a b. Olkoon väite voimassa, kun n k. Tällöin induktio-oletus on (ab) k a k b k. Tarkastellaan väitettä, kun n k +. Käytetään induktio-oletusta, jolloin (ab) k+ (ab) k (ab) a k b k ab a k ab k b a k+ b k+, joten myös induktioaskel (MI) on voimassa. Koska kohdat (MI) ja (MI) täyttyvät, niin induktioperiaatteen nojalla väite on voimassa jokaisella n N.

35 Tehtävä 64, sivulta 77. Todistetaan väite induktiolla. Alkuaskel (MI) on voimassa, sillä Olkoon väite voimassa, kun n k eli induktio oletus on 5 n + 6t,t Z. Tarkastellaan väitettä, kun n k +. Tällöin induktio-oletuksen perusteella saadaan 5 (k+) + 5 (k+) + 5 k+ + 5 (k )+ + 5 k k k + 5 k +, koska 4 on jaollinen luvulla 6 ja induktio-oletuksen mukaan 5 k + on jaollinen luvulla 6, niin näiden summasta voidaan ottaa luku 6 yhteiseksi tekijäksi. Näin ollen induktioaskel (MI) on voimassa. Koska alkuaskel (MI) ja induktioaskel (MI) ovat voimassa, niin induktioperiaatteen nojalla väite on voimassa jokaisella n N. 65. Tehtävä 65, sivulta 77. Alkuaskel on voimassa, sillä kun n , joten 3 on jaollinen luvulla 3. Olkoon väite voimassa, kun n k eli induktio-oletus on k 3 k 3t, t Z. Tarkastellaan väitettä, kun n k + (k + ) 3 (k + ) k 3 + 3k + 3k + k k 3 k + 3(k + k). Induktio-oletuksen perusteella k 3 k on jaollinen luvulla 3 ja summan jälkimmäisestä termistä 3(k + k) nähdään, että sekin on jaollinen luvulla 3. Näin ollen induktioaskel (MI) on voimassa. Koska alkuaskel (MI) ja induktioaskel (MI) ovat voimassa, niin induktioperiaatteen nojalla väite on tosi jokaisella n.

36 Tehtävä 66, sivulta 77. Alkuaskel on voimassa, sillä kun n 3 3 > 3 9 > 6. Olkoon väite voimassa, kun n k. Tällöin induktio-oletus on k > k. Tarkastellaan väitettä, kun n k + ja käytetään induktio-oletusta (k + ) k + k + > k + k + > k + (k + ). Induktioaskel (MI) on myös voimassa, joten induktioperiaatteen nojalla väite on tosi jokaisella n Tehtävä 67, sivulta 77. Osoitetaan väite induktiolla. Alkuaskel on voimassa, sillä j 0. j Olkoon väite voimassa, kun n k, jolloin induktio-oletus on k j k. j Tarkastellaan väitettä, kun n k +. Induktio-oletuksen perusteella saadaan k+ j k+ + j k j j k+ + k k + k k k+, joten induktioaskel (MI) on voimassa. Koska kohdat (MI) ja (MI) täyttyvät, on väite induktioperiaatteen nojalla voimassa kaikilla n N. 68. Tehtävä 68, sivulta 77. Alkuaskel (MI) on voimassa, sillä j 3 3 ja ( + ) j

37 37 Olkoon väite voimassa, kun n k. Tällöin induktio-oletus on k j j 3 k (k + ). 4 Tarkastellaan väitettä, kun n k +. Induktio-oletuksen perusteella saadaan k+ j 3 (k + ) 3 + j k j j 3 (k + ) 3 + k (k + ) 4 4(k + )3 + k (k + ) 4 (k + ) (4(k + ) + k ) 4 (k + ) (k + 4k + 4) 4 (k + ) (k + ) 4 (k + ) ((k + ) + ) 4 Täten myös induktioaskel (MI) on voimassa. Koska kohdat (MI) ja (MI) täyttyvät, niin induktioperiaatteen nojalla väite on voimassa jokaisella n N. 69. Tehtävä 69, sivulta 77. Alkuaskel (MI) on voimassa, sillä kun n ( + ). Olkoon väite voimassa, kun n k. Tällöin induktio-oletus on k i (k + )k. i Tarkastellaan väitettä, kun n k +. Induktio-oletuksen perusteella saadaan k+ i (k + )k + (k + ) i (k + )(k + ) ((k + ) + )(k + ).

38 38 Täten myös induktioaskel (MI) on voimassa. Koska kohdat (MI) ja (MI) täyttyvät, niin induktioperiaatteen nojalla väite on voimassa jokaisella n N. 70. Tehtävä 70, sivulta 78. Alkuaskel (MI) on voimassa, sillä kun n. Olkoon väite voimassa, kun n k. Tällöin induktio-oletus on k (i ) k. i Tarkastellaan väitettä, kun n k +. Induktio-oletuksen perusteella saadaan k+ (i ) k + ((k + ) ) i k + k + k + k + (k + ). Täten myös induktioaskel (MI) on voimassa. Koska kohdat (MI) ja (MI) täyttyvät, niin induktioperiaatteen nojalla väite on voimassa jokaisella n N. 7. Tehtävä 7, sivulta 78. Alkuaskel (MI) on voimassa, sillä kun n ar a a( r ). r Olkoon väite voimassa, kun n k. Tällöin induktio-oletus on k i ar i a( rk ). r Tarkastellaan väitettä, kun n k +. Induktio-oletuksen perusteella

39 39 saadaan k+ ar i a( rk ) r i a( rk ) r + ar k+ + ( r)ark r a( rk ) + ar k rar k r a ark + ar k ar k+ r a ark+ r a ( r k+). r Täten myös induktioaskel (MI) on voimassa. Koska kohdat (MI) ja (MI) täyttyvät, niin induktioperiaatteen nojalla väite on voimassa jokaisella n N. 7. Tehtävä 7, sivulta 78. Alkuaskel (MI) on voimassa, sillä kun n a a + a a. Olkoon väite voimassa, kun n k. Induktio-oletus on tällöin k i a i k a + a k.

40 40 Lisätään induktio-oletuksen kummallekin puolelle a k +. Tällöin k i i a i + a k+ k a + a k k+ a i k a + a k i + a k+ k+ a i ka + ka k + a k+ k+ a i ka + ka k + a k+ i i + a k+ k+ a i ka + a a + ka k + a k+ + ka k+ ka k+ k+ a i (k + )a + (k + )a k+ i k+ a i (k + ) a + a k+ i + a + ka k + a k+ ka k+ + a + a k+ k(a k+ a k ). Koska kyseessä on aritmeettinen summa, tiedetään, että a k+ a k d, missä d on vakio. Tällöin saadaan a a d, a 3 a d, a 4 a 3d,. a k+ a kd.

41 4 Sijoittamalla saadaan k+ a i (k + ) a + a k+ i k+ a i (k + ) a + a k+ i k+ a i (k + ) a + a k+, i + a + a k+ k(a k+ a k ). + kd kd. joten induktioaskel (MI) on voimassa. Induktioperiaatteen nojalla väite on voimassa. 73. Tehtävä 73, sivulta 78. Alkuaskel (MI) on voimassa, sillä -alkioisella joukolla {a } on kaksi osajoukkoa ja {a }. Olkoon väite voimassa, kun n k, jolloin induktio-oletuksena on, että k-alkioisella joukolla {a,a,...,a k } on k osajoukkoa. Joukosta {a,a,...,a k,a k+ }, jossa on k + alkiota voidaan muodostaa osajoukot {a,a,...,a k } ja {a k+ }. Jokaisesta joukon {a,a,...,a k } osajoukosta voidaan muodostaa kaksi joukon {a,a,...,a k,a k+ } osajoukkoa, toiseen joukkoon kuuluu muiden alkioiden lisäksi alkio a k+ ja toiseen ei. Koska induktio-oletuksen perusteella joukolla {a,a,...,a k } on k osajoukkoa, niin joukolla {a,a,...,a k,a k+ } on k k+ osajoukkoa, joten induktioaskel (MI) on voimassa. Induktioperiaatteen nojalla väite on voimassa. 74. Tehtävä 74, sivulta 78. Alkuaskel (MI) on voimassa, sillä kun n, niin x y x y. Olkoon väite voimassa, kun n k. Tällöin induktio-oletuksena on, että k x k y k (x y) x k y k k. 75. Tehtävä 75, sivulta 8. Olkoon joukot A ja B äärellisiä. Tällöin niissä on äärellinen määrä alkioita. Merkitään joukkojen alkioiden lukumääriä #A n ja #B m. Joukoissa A ja B voi olla samoja alkioita, jotka siis kuuluvat näiden joukkojen leikkaukseen A B. Merkitään näiden alkioiden lukumäärää #(A B) k. Joukossa A on n k alkiota, jotka eivät ole yhteisiä joukon B alkioiden kanssa. Vastaavasti joukossa B on m k alkiota, jotka eivät ole yhteisiä k0

42 4 joukon A alkioiden kanssa. Joukkojen alkiot voidaan laskea yhteen #A + #B (n k) + k + (m k) + k (n k) + (m k) + k. Huomataan, että yhteiset alkiot lasketaan tällöin kahdesti. Unionissa alkioiden moninkertoja ei kuitenkaan lasketa, joten saadusta alkioiden summasta on vähennettävä kerran yhteisten alkioiden lukumäärä. Joukon A B alkioiden lukumäärä on siis #(A B) #A + #B #(A B). 76. Tehtävä 76, sivulta Tehtävä 77, sivulta Tehtävä 78, sivulta Tehtävä 79, sivulta Tehtävä 80, sivulta Tehtävä 8, sivulta Tehtävä 8, sivulta 8.

43 43 Ratkaisuja luvun 3 tehtäviin 83. Tehtävä 83, sivulta Tehtävä 84, sivulta Tehtävä 85, sivulta Tehtävä 86, sivulta Tehtävä 87, sivulta Tehtävä 88, sivulta Tehtävä 89, sivulta Tehtävä 90, sivulta Tehtävä 9, sivulta Tehtävä 9, sivulta Tehtävä 93, sivulta 00. Tulo on reaalinen, jos sen imaginaariosa on 0. Lasketaan tulo zw zw ( i)( + i) + i i i i + i i ( i) 4( ) Tulon zw imganaariosa on 0, joten tulo on reaalinen.

44 Tehtävä 94, sivulta 00. z z 3 i 3 + i (3 i)(3 + i) 3 + i 3 i 3 + i i i, w w + i i ( + i)( i) i 4 4 i i i i, z w z w (3 i) ( 4 4 ) i i + 4 i + 4 i 3 4 ( ) i 4 i,

45 45 w z w z ( + i) ( ) 0 i i i + 0 i 6 0 ( ) i i i. 95. Tehtävä 95, sivulta 00. a)z ( i) b) z i + i i i, i + i ( i)( + i) + i ( i ) + i ( + ) + i 96. Tehtävä 96, sivulta 00. Sijoitetaan yhtälöön juuri + i ( + i) ( + i) + + i + i i ja juuri i ( i) ( i) + i + i + i Siis + i ja i ovat yhtälön x x + 0 juuret.

46 Tehtävä 97, sivulta 00. a) z z ( + 3 i)( + i) 4 + i 6 i +3 i i 7 4 i, b) z , c) z + i z + 3 i ( + i)( 3 i) ( + 3 i)( 3 i) i + i +3 3 i + 8 i Tehtävä 98, sivulta 00. z i z i z + z 3 + i + i 3z 3 + i z i 3 z + 3 i 99. Tehtävä 99, sivulta 0. Olkoon z i ja w x + y i. Ratkaistaan

47 47 yhtälöstä zw luku w zw w z w i w 00. Tehtävä 00, sivulta 0. w + i i ( + i) ( i)( + i) w + i + w + i w + i. z 5 i ( + i)z 3 z 5 i z + iz 3 z z i z i i z i z i i ( i)(i) z ( i) i 3 i +5 i z i z 5 3 i 5 3 i 0. Tehtävä 0, sivulta Tehtävä 0, sivulta Tehtävä 03, sivulta Tehtävä 04, sivulta Tehtävä 05, sivulta 0.

48 Tehtävä 06, sivulta 04. i + i, 4 + i 4 i, 5 3 i i, i + i, + 6 i 6 i. 07. Tehtävä 07, sivulta 04. Olkoon z x + y i z z + i z z + i (x y i) (x + y i) + i x y i x y i + i x 3y i + i x ja 3y (verrataan kompelksilukujen reaali- ja imaginaariosia) x ja y Tehtävä 08, sivulta 04. Olkoon x + y i iz (z ) i iz z + i iz z + i i(x + y i) (x y i) + i ix + y i x + y i + i x y + (x + y) i + i Muodostetaan reaali- ja imaginaariosia vertaamalla yhtälöpari { x y x + y { 4x y x + y. Laskemalla jälkimmäinen puolittain yhteen saadaan 3x 0 x 0. Sijoittamalla x 0 jompaan kumpaan yhtälöön saadaan y. Siis z i. 09. Tehtävä 09, sivulta 04. Kompleksiluku z 0, tapauksessa z 0

49 49 yhtälö ei ole määritelty. z i z z ( i)z z z i z z z + iz z( + i) z( + i) z + i 0. Tehtävä 0, sivulta 04. i ( + i)( i) i i. Tehtävä, sivulta 04. Väitteen osoittamiseksi on näytettävä oikeaksi kaksi väitettä:. jos z on puhtaasti imaginaarinen, niin z z,. jos kompleksiluvulle z on voimassa z z, niin z on puhtaasti imaginaarinen. Todistetaan ensin väite. Olkoon z puhtaasti imaginaarinen. Tällöin z y i ja z y i y i z. Todistetaan väite. Olkoon kompleksiluvulle z x+y i voimassa z z. Tällöin z z x + y i (x + y i) x y i x y i. Tarkastellaan puolittain reaali- ja imaginaariosia, jolloin saadaan x x ja y y. Nämä toteutuvat vain siinä tapauksessa, että x 0 ja y y eli z y i. Siis kompleksiluvun z on oltava puhtaasti imaginaarinen. Koska väitteet ja ovat tosia, on alkuperäinen väite tosi.. Tehtävä, sivulta Tehtävä 3, sivulta 05. Osoitetaan: z z. Olkoon z x+y i. Tällöin z x + y i x y i x + y i z.

50 50 4. Tehtävä 4, sivulta Tehtävä 5, sivulta Tehtävä 6, sivulta Tehtävä 7, sivulta 9. Kompleksiluvun z +i eksponenttimuoto r z ( ) +, ( ) arg(z ) tan 3π 4, z e i 3π 4, Kompleksiluvun z 6 i eksponenttimuoto r z 6 6, arg(z ) π, z 6e i π, Kompleksiluvun z 3 3 i eksponenttimuoto ( ) r 3 z ( ), ( ) arg(z 3 ) arctan π 3 6, z 3 e i π 6, 8. Tehtävä 8, sivulta 9. Kompleksiluvun z 3 i eksponenttimuoto ( r z 3) + ( ), ( ) arg(z ) tan 5π 3 6, z e i 5π 6, Kompleksiluvun z 4 eksponenttimuoto r z ( 4) 4, arg(z ) π, z 4e i π,

51 5 Kompleksiluvun z i eksponenttimuoto r z + ( ), ( ) arg(z ) arctan π 4, z e i π 4, 9. Tehtävä 9, sivulta 9. Kompleksiluvun z 4+4 i eksponenttimuoto r z , ( ) 4 arg(z ) arctan π 4 4, z 4 e i π 4, Kompleksiluvun z i eksponenttimuoto r z ( ), arg(z ) π, z e i π, Kompleksilukujen z ja z tulo z z 4 e i( π 4 π ) 8 e i π 4 8 ( ( cos π ) 4 8 ( + i 8 8 i. Kompleksilukujen z ja z osamäärä z 4 z ei( π 4 ( π )) e i 3π 4 ( cos + i. ( + i sin π )) 4 ( )) ( ) 3π + i sin 4 ( + i ) ( )) 3π 4

52 5 z 4 π e i 4 ( ( 4 cos π ) 4 ( 4 + i 8 i 8. ( + i sin π )) 4 ( )) 0. Tehtävä 0, sivulta 9. Kompleksiluvun z i eksponenttimuoto r z, ( ) arg(z ) arctan π 4, z e i π 4, Kompleksiluvun z + i eksponenttimuoto r z, ( ) arg(z ) arctan π 4, z e i π 4, Kompleksilukujen z ja z tulo z z e i( π 4 + π 4) 4e i0 Kompleksilukujen z ja z osamäärä 4(cos 0 + i sin 0) 4. z z π ei( 4 π 4) e i π ( cos π ) ( + i sin π ) 0 + i( ) i

53 53 z 4 4 e i 4( π 4) 6e i π 6 (cos ( π) + i sin ( π)) 6( + i 0) 6. Tehtävä, sivulta 9. Olkoon z re i α. Osoitetaan, että z n r n e i nα, kun n N. Induktion alkuaskel on voimassa, sillä kun n, niin z z r e iα re i α. Olkoon väite voimassa, kun n k. Tällöin induktio-oletuksena on z k r k e i kα. Kerrotaan induktio-oletus puolittain kompleksiluvulla z. Tällöin joten väite on tosi.. Tehtävä, sivulta Tehtävä 3, sivulta Tehtävä 4, sivulta Tehtävä 5, sivulta Tehtävä 6, sivulta Tehtävä 7, sivulta Tehtävä 8, sivulta Tehtävä 9, sivulta 0. z k z r k e i kα re i α z k+ r k re i kα e i α z k+ r k+ e i kα+i α z k+ r k+ e i(kα+α) z k+ r k+ e i((k+)α),

54 54 Ratkaisuja luvun 4 tehtäviin 30. Tehtävä 30, sivulta 30. [ 3 + [ 3 [ 4 [ [ 4 [ [ 4 [ 3 [ Tehtävä 3, sivulta Tehtävä 3, sivulta Tehtävä 33, sivulta l 3 3 Pituus l toteuttaa Pythagoraan lauseen mukaan l + 3 3, josta l

55 Tehtävä 34, sivulta Tehtävä 35, sivulta 3. Merkitään a 4 5. Vektorin a normi on Tehtävä 36, sivulta Tehtävä 37, sivulta Tehtävä 38, sivulta 3. a Kysytty pistetulo [ 39. Tehtävä 39, sivulta 3. a) [

56 56 [ 6 4 b) [ ( 4) ( 3) 0. 3 [ 3/ 3 c) [ ( ) [ π [ π π ( ) + ( ) π π π 0.

57 Havaitaan, että kaikissa tapauksissa vektoriparien pistetulo on nolla. Geometrisesti havaitaan lisäksi, että vektoriparit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan Tehtävä 40, sivulta Tehtävä 4, sivulta 3. a) 3 3 Vektorien pistetulo on [ 4 3 [ 3/ ja normit ovat [ [ / + ( )

58 58 b) 3 4 Vektorien pistetulo on [ [ ( 4) 8 0 ja normit ovat [ ( ) + 5 [ 4 + ( 4) 0 5. c) 3 3

59 Vektorien pistetulo on [ [ 3 ( 3) + ( ) ja normit ovat [ ( ) [ 3 ( 3) + ( ) Havaitaan, että vektorit ovat yhdensuuntaiset ja vektorien pistetulon itseisarvo on sama kuin normien tulo. 4. Tehtävä 4, sivulta 3. Todistetaan väite a b a b vääräksi yhdellä vastaesimerkillä. Jos valitaan esimerkiksi [ [ 3 a ja b, 4 0 niin a b 3 ja a b Tehtävä 43, [ sivulta 3. Olkoot a 0, b 0, a cb ja a,b R,c b R. Merkitään b. Nyt Toisaalta b [ cb b a b (cb) b [ cb + cb cb b. 59 a b cb b (cb ) + (cb ) b + b c (b + b )(b + b ) Jos c > 0, niin a b a b. c (b + b ) c b + c b. 44. Tehtävä 44, sivulta 35. a 3, a, a 4,, (A) 0, (A) Tehtävä 45, sivulta 35. b 3, a 6, a 33, a 44.

60 Tehtävä 46, sivulta 35. Tehtävässä matriisi C tarkoittaa tietenkin matriisia B. b, b 3 6, b 3 3. [ T Tehtävä 47, sivulta 35. A T Tehtävä 48, sivulta 35. A 5 3, B, C 4, D 3 3, E 6, F Tehtävä 49, sivulta 36. B Tehtävä 50, sivulta 36. B 5. Tehtävä 5, sivulta 37. a) I Tehtävä 5, sivulta 37. A, B ja C , b) O Tehtävä 53, sivulta 37. Matriisi A on symmetrinen, sillä A A T. Matriisi B ei ole, sillä B T 0 B Tehtävä 54, sivulta 37. O 3 T O

61 55. Tehtävä 55, sivulta 38. Diagonaalimatriiseja ovat B, D ja F, sillä niissä on nollasta poikkeavia alkioita vain päälävistäjällä. Yksikkömatriiseja ovat B ja F. 56. Tehtävä 56, sivulta 38. Käytetään Määritelmää 6 (s. 9) ja tutkitaan neliömatriisin ( A T) T (i,j)-alkiota ( (A ) ) T T ( A T) (A) ij ji ij. 6 Matriisin ( A T) T (i,j)-alkio on siis sama kuin matriisin A (i,j)-alkio ja matriisien ( A T) T ja A kertaluvut ovat samat, joten ( A T ) T A kaikilla A R m n. 57. Tehtävä 57, sivulta 38. Matriisi E {, kun i j eli (E) ij 0, kun i < j 58. Tehtävä 58, sivulta 38. Jos R 5, niin a), 5 4 b) a a on vektorin a komponenttien summa ja 5 a on vektorin a komponenttien keskiarvo.

62 Tehtävä 59, sivulta 38. C Tehtävä 60, sivulta a) I b) O [ [ c) 3I [ [ 0 0 d)a I 3 0 [ [ 6. Tehtävä 6, sivulta 4. Laskutoimituksista ainoastaan C + D ei ole määritelty, sillä C on 3-matriisi ja D on 3 -matriisi. Muut laskutoimitukset ovat määriteltyjä. [ (a) A + B [ (b) A B (c) A T + B (e) C T +D (f) dd [ [ [ [ [ [ [ ( ) 5 ( ) ( 5) [ [ [

63 (g) d ( D T + C ) ([ 5 [ [ Tehtävä 6, sivulta 4. Ratkaistaan yhtälöstä 3A B + C D ) [ C vähentämällä puolittain 3A ja lisäämällä puolittain B eli (huomaa, että symbolilla O merkitään nollamatriisia) 3A B + C 3A + B D 3A + B 3A 3A B + B + C D 3A + B O O + C D 3A + B C D 3A + B. Tämän jälkeen matriisi C voidaan laskea tunnettujen matriisien avulla [ [ [ C [ [ [ [ [ [ Tehtävä 63, sivulta 4. Olkoot A ja B kertalukua m n. Tällöin (A B) T M4 (A + ( )B) T L5(3) A T + (( )B) T L5(4) A T + ( )B T M4 A T B T. 64. Tehtävä 64, sivulta 4. Olkoot A, B ja C 3-matriiseja. Tällöin (): ((A + B) + C) ij M (A + B) ij + (C) ij M (A) ij + (B) ij + (C) ij.

64 64 Toisaalta (A + (B + C)) ij M (A) ij + (B + C) ij M (A) ij + (B) ij + (C) ij. (3): ( (A + B) T) ij M6 (A + B) ji M (A) ji + (B) ji M6 (A T ) ij + (B T ) ij. (4): ( (ca) T) ij M6 (ca) ji M3 c(a) ji M6 c(a T ) ij. 65. Tehtävä 65, sivulta 4. a) Luvulla kerrotusta matriisin A alkiosta vähennetään vastaava matriisin B alkio ja lisätään näin saatuun alkioon indeksien summa. [ b) 0 3 [ [ ( ) Tehtävä 66, sivulta 4. [ [ [ [ [ [ [ [ [ Tehtävä 67, sivulta 46. AB AD [ A T B A T c [ 3 3 [ 3 [ [ [ 3 [ [ [ [ [ [ Dd ei ole määritelty. D T d [ 5 4

65 68. Tehtävä 68, sivulta AI Vastaavasti IA ( 5) Tehtävä 69, sivulta Tehtävä 70, sivulta ( 5) A A 7. Tehtävä 6, sivulta 47. Matriisipotenssi on määritelty neliömatriiseille. A 3 AAA ([ [ ) [ [ [ [ [ Tehtävä 7, sivulta 47. Valitaan esimerkiksi A [. Tällöin AB [ ja BA [ Tehtävä 73, sivulta 47. Merkitään [ [ a a A b b, B a a b b Nyt. [ 3 4 [ c c ja C c c. 65 ja B

66 66 A(BC) [ a a a a [ b c + b c b c + b c b c + b c b c + b c, jolloin saadaan (A(BC)) a b c + a b c + a b c + a b c, (A(BC)) a b c + a b c + a b c + a b c, (A(BC)) a b c + a b c + a b c + a b c, (A(BC)) a b c + a b c + a b c + a b c. Toisaalta (AB)C [ a b + a b a b + a b a b + a b a b + a b [ c c c c, jolloin ((AB)C) a b c + a b c + a b c + a b c, ((AB)C) a b c + a b c + a b c + a b c, ((AB)C) a b c + a b c + a b c + a b c, ((AB)C) a b c + a b c + a b c + a b c. 74. Tehtävä 74, sivulta 48. Merkitään [ [ a a A b b, B a a b b [ c c ja C c c. A(B + C) Toisaalta AB + AC [ [ a a b + c b + c a a b + c b + c [ a (b + c ) + a (b + c ) a (b + c ) + a (b + c ) a (b + c ) + a (b + c ) a (b + c ) + a (b + c ) [ [ [ [ a a b b a a + c c a a b b a a c c [ [ a b + a b a b + a b a c + + a c a c + a c a b + a b a b + a b a c + a c a c + a c [ a (b + c ) + a (b + c ) a (b + c ) + a (b + c ). a (b + c ) + a (b + c ) a (b + c ) + a (b + c ).

67 75. Tehtävä 75, sivulta 48. Jos esimerkiksi A R 3 ja b R 3 4 on (AB) T määritelty, mutta tuloa A T B T ei ole. Vaikka A ja B olisivat neliömatriiseja, ei väite ole voimassa, sillä esimerkiksi jos niin ja (AB) T A ([ 3 A T B T [ 3 [ 4 3 [ 3 ja B ) [ 3 4 [ 4 3 [ Tehtävä 76, sivulta 48. Merkitään [ a b A ja B c d, T [ [ u v w x. [ Nyt ja (AB) T [ au + bw av + bx cu + dw cv + dx [ u w B T A T v x [ a c b d 77. Tehtävä 77, sivulta 48. Merkitään x x x n T [ au + bw cu + dw av + bx cv + dx [ ua + wb uc + wd va + xb vc + xd y x. ja y y. y n Tarkastellaan matriisituloa y x T y [ y x x... x n. x y + x y +...x n y n. Tämä on sama kuin pistetulon x y määritelmä. a) x x x T x, b) x x x x T x, c) T x. y n

68 Tehtävä 78, sivulta 56. a) b) c) x x x x 3 x x Tehtävä 79, sivulta 56. a) b) c) [ Tehtävä 80, sivulta 56. a) [ x [ sin(π) b) cos ( ) π y π z c) ei ole lineaarinen yhtälöryhmä. x x x 3 [ [ x π y 8. Tehtävä 8, sivulta joten ei ole ratkaisu , 8. Tehtävä 8, sivulta joten ei ole ratkaisu ,

69 Tehtävä 83, sivulta 57. Matriisi B 84. Tehtävä 85, sivulta 57. x 0 joten ratkaisu on x 0 x Tehtävä 85, sivulta [ 4, 4 [ 4 joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua [ [ 0, 0 0

70 Tehtävä 86, sivulta 57. (a) A 3. (b) A (c) A Tehtävä 87, sivulta 57. joten ratkaisuksi saadaan u, x v ja b 4. w 6 x, x x ja b. x 3 3 [ [ 0 A 5I 0 0 [ 0 0 [ 0, { x t x t eli x [ t, t R. t x, x y ja b z 88. Tehtävä 88, sivulta 58. [ [ [ 0 joten ratkaisuksi saadaan [ x 5 6 t x 6 t x 3 t, eli x 5 6 t 6 t t, t R.

71 7 89. Tehtävä 89, sivulta 58. [ A T A A T b [ [ /3 6 [ /3 0 4/3 [ /3 0 3/4 [ 0 8/7 0 3/4, joten ratkaisuksi saadaan x [ 8/7. 3/4 90. Tehtävä 90, sivulta 58. a) [ A 3A b [ [ 6/3 5/ [ 6/3 5/6 0 6/3 50/6 [ 0 5/ 0 6/3 50/6 [ 0 5/, 0 5/6 joten ratkaisuksi saadaan x [ 5/. 5/6

72 7 b) [ A 3I b [ [ [ 3/5 3/ joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. 0 0 [ 3/ Tehtävä 9, sivulta 60. Kyllä, sillä AB 3 0 0, I ja BA I. 9. Tehtävä 9, sivulta 60. Ei ole, sillä esimerkiksi (AB) 3/+/3+ / Tehtävä 93, sivulta 60. (): A T (A ) T (A A) T I T I (A ) T A (AA ) I T I.

73 73 (3): (AB) (B A ) A (BB )A AA I (B A ) (AB) B (A A)B B B I. 94. Tehtävä 94, sivulta 60. [ /0 /5 A /5 /5 [ ja B /6 /6 /3 / Tehtävä 95, sivulta 60. [ [ [ d b a b ad bc c a c d ad bc da bc db bd ca + ac ab + ad [ 0 0 Vastaavasti [ [ [ a b d b 0. c d ad bc c a 0 [ a b 96. Tehtävä 96, sivulta 60. Olkoot A ja B c d Nyt [ aw + by ax + bz AB, cw + dy cx + dz josta ja det(ab) (aw + by)(cx + dz) (cw + dy)(ax + bz) [ w x y z awcx + axdz + bycx + bydz cwax cwbz dyax dybz awdz + bycx cwbz dyax det(a) det(b) (ad bc)(wz yx) adwz adyx bcwz + bcyx. Lausekkeet ovat samat, joten -matriiseille pätee det(ab) det(a) det(b). [ [ Tehtävä 97, sivulta 6. Jos esimerkiksi A ja B, niin ([ ) det(a + B) det ja det(a) + det(b) + ( )..

74 Tehtävä 98, sivulta 6. Oletetaan, että A on olemassa. Tällöin AA I, josta det (AA ) det(i). Tehtävän 96 tuloksesta det (AA ) det(a) det (A ) saadaan det(a) det (A ), joten tulon nollasäännön perusteella välttämättä det(a) Tehtävä 99, sivulta 6. Tehtävässä 95 on todistettu det(a) 0 A kääntyvä. Tehtävässä 96 todistettu A kääntyvä det(a) 0. Niinpä A on kääntyvä det(a) Tehtävä 00, sivulta 6. X R n p. 0. Tehtävä 0, sivulta 6. AX C A AX A C IX A C X A C. 0. Tehtävä 0, sivulta 6. BX A + B B BX B (A + B) IX B A + B B X B A + I. 03. Tehtävä 03, sivulta 6. Koska II I (vrt. käänteismatriisin määritelmä), on I I. 04. Tehtävä 04, sivulta 6. Koska OX O kaikilla kertaluvultaan sopivilla matriiseilla X, on OX I, eikä nollamatriisille ole käänteismatriisia. 05. Tehtävä 05, sivulta 6. (DC) C D [ 06. Tehtävä 06, sivulta 69. Tiedetään, että A [ [ A / [ [ 4. Nyt

75 Tehtävä 07, sivulta 69. det(a λi) 0 ([ ) 3 λ det 0 3 λ (3 λ) 4 0 λ 6λ λ 6λ Ominaisarvoiksi saadaan siis λ 5 ja λ. 08. Tehtävä 08, sivulta 69. (A λ I)x 0 [ [ x x [ 0, 0 jota vastaavasta kokonaismatriisista saadaan ratkaisua ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori [ 0 0 [ [ 0, [ t joten ominaisvektorit ovat, t R. t Vastaavasti saadaan ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori [ 0 joten ominaisvektorit ovat [ x 0 [ t t,, t R.

76 76 [ x 09. Tehtävä 09, sivulta Koska x R x, niin x x + x, joten joukon S pisteet muodostavat origokeskisen -säteisen ympyrän kaaren. x 3 x 3 [ Lähin ja kaummainen piste löydetään, kun pisteen y kautta piirretään ympyrälle normaali. Tämä normaali kulkee origon kautta ja normaalin muodostaa suora x x. a) Lähin joukon S piste saadaan, kun tiedetään x x ja se sijaitsee ensimmäisessä neljänneksessä x + x x 4 x x. Eli lähin piste on [. b) Kauimmainen [ piste sijaitsee ympyrän vastakkaisella puolella, joten kauimmainen piste on. Pisteen y etäisyys joukon S pisteestä on d x y (x ) + (x ),