Analyyttistä geometriaa kilpailutehtävien kautta

Transkriptio

1 nalyyttistä geometriaa kilailutehtävien kautta Jouni Seänen Johdanto. Joskus kehäkulmalauseeseen kyllästyy ja haluaa ratkaista geometrian tehtävän algebrallisesti. Tässä monisteessa esitetään tarkoitukseen aukeinoja esimerkkien avulla. Tehtävä. on tasakylkinen kolmio, jossa ja on terävä. on sellainen iste, että suorat ja ovat kohtisuorassa. ei sijaitse suoralla. on sellainen iste, että on suunnikas. Suorat ja leikkaavat isteessä M. Osoita, että M on janan keskiiste. [ritish Mathematical Olymiad 998] setetaan x-akseli yhtymään suoraan ja y-akseli suoraan, jolloin origo on iste. Olkoon (, 0), (, a) ja (0, c). Koska on suunnikas, (, a) eli (, a + c). Olkoon M janan keskiiste ( + ) (0, a + c). Koska isteen M x-koordinaatti on 0, se on suorien ja leikkausiste M. Koordinaatisto. nalyyttisessä geometriassa isteillä on koordinaatit, ja ratkaisijalla on valta valita soiva koordinaatisto. Usein kannattaa yrkiä siihen, että tehtävässä esiintyvien isteiden koordinaateista monet ovat nollia. Koordinaatiston mittakaavan voimme valita vaaasti, ja yllä äätimme valita isteen x-koordinaatiksi, mikä kiinnitti isteen vastaavan koordinaatin, mutta muita annettuja suureita jouduimme merkitsemään kirjaimilla a ja c, koska ne voivat vaihdella isteen sijainnista riiumatta. Koordinaattiarin voi tulkita aitsi isteeksi myös vektoriksi origosta isteeseen. isteiden ja erotus on vektori isteestä isteeseen (merkitään joskus ), ja kun se lisätään isteeseen, äädytään suunnikkaan määritelmän nojalla isteeseen. isteiden ja uolivälissä oleva iste M voidaan laskea keskiarvona ( + ), missä merkinnässä vektorin kertominen luvulla tarkoittaa kummankin koordinaatin kertomista samalla luvulla. istetulo. Usein esiintyvä laskutoimitus on vektorien sisä- eli istetulo. Kun a ja b ovat vektoreita, sisätulo on luku (ei vektori!) a b ab cos(a, b), missä cos(a, b) tarkoittaa vektoreiden välisen kulman koia. Tässä ja jäljemänä merkitään vektoria lihavoidulla kirjaimella ja sen itutta vastaavalla kursiivikirjaimella: vektorin a ituus on a. istetulon laskeminen sujuu helosti koordinaattien avulla. Kirjoitetaan a (a x, a y ) a(cos φ, φ), missä φ on vektorin suuntakulma, ja vastaavasti ja b (b x, b y ) b(cos ψ, ψ). Silloin koin erotuskaavan mukaan a b ab cos(φ ψ) ab(cos φ cos ψ + φ ψ) a x b x + a y b y. Sisätulon avulla voidaan laskea rojektioita. Kun vektori a rojisoidaan vektorin b määräämälle suoralle, rojektion ituus on a cos(α), missä α on vektorien välinen kulma. Tämä on melkein sisätulo: a b/b. Jos ituuden lisäksi tarvitaan vektorin koordinaatit, kerrotaan ituudella vektorin b suuntainen yksikkövektori: [(/b)a b](/b)b (a b/b )b. α a b

2 Tehtävä. Olkoon suorakulmio, jossa. Olkoon E sivun keskiiste ja sivun mielivaltainen sisäiste. Olkoon F isteen rojektio suoralle ja G isteen rojektio suoralle. Todista, että isteet E, F, ja G ovat saman ymyrän kehällä. [altian tie 003] Valitaan tehtävässä koordinaatisto siten, että E (0, 0), (, 0), (, ), (, ) ja (, 0). Olkoon isteen x-koordinaatti. Jatkossa tarvitaan isteen etäisyyksiä isteisiin ja, joten lasketaan ne ythagoraan lauseella ja merkitään β ( + ) ja γ ( ) + +. rojisoidaan iste suoralle sisätulon avulla: Samoin F G β ( +, ) joten F ( + β, ). β γ (, ) joten G ( + γ, ). γ Tuloksille kannattaa tehdä merkkivirheiden varalta järkevyystestaus. Jos 0, saadaan F (, ) ja G (, ), eli jos on särmän keskellä, rojektioisteet osuvat suorakulmion uolikkaiden keskiisteisiin. Jos taas, saadaan G (, ). Kun kaikilla isteillä on koordinaatit, jäljellä on enää sen todistaminen, että EF G on jännenelikulmio. Tämä on yhtäitävää esimerkiksi sen kanssa, että kulmien GEF ja F G summa on 80. Kulmien laskeminen on taas harjoitus istetulon käytöstä: ennäkin Toiseksi ja vastaavasti joten cos F G cos. βγ EF EG (βγ) ( ( + + )( + ) + ) (βγ) ( 4 + ), EF β ( ( + + ) + ) β ( + )( + + ) β ( + ) EG γ ( ( + ) + ) γ ( + )( + ) γ ( + ), cos GEF (βγ) ( + ) (βγ) / ( + ) βγ cos F G. Molemmat kulmat ovat välillä (0, 80 ), joten niiden summa on välttämättä 80, mistä väite seuraa. F E G eterminantti. Sisätulon lisäksi toinen hyödyllinen tulo on -determinantti ( ) ax a det(a, b) det y a b x b x b y b x a y. () y eterminantti on ns. ristitulon kaksiulotteinen vastine. Kuten istetulolla, sillä on yhteys vektorien väliseen kulmaan: det(a, b) a x b y b x a y ab(cos φ ψ φ cos ψ) ab (ψ φ), missä jälleen a a(cos φ, φ) ja b b(cos ψ, ψ). Siis determinantti () on vektorien ituuksien ja niiden välisen suunnatun kulman in tulo. eterminantin itseisarvo on siis vektorien virittämän suunnikkaan intaala. Etumerkki määräytyy siitä, kummassa järjestyksessä vektorit luetellaan. Usein on tareen laskea kolmion inta-ala, kun tunnetaan sen kärkiisteet. Tähän voidaan käyttää edellistä determinanttikaavaa: ±ala det(, ). Vielä näärämi on käyttää kolmen vektorin determinanttia: ±ala a x a y det b x b y. c x c y

3 Yleisen 3 3-determinantin voi laskea kaavasta a b c det d e f aei + bfg + cdh afh bdi ceg, g h i johon sijoittamalla inta-alakaavan voi tarkistaa. Yhteensattumasta ei tietenkään ole kyse: 3 3-determinantin itseisarvo kertoo kolmen avaruusvektorin virittämän suuntaissärmiön tilavuuden, ja kun vektorien ääteisteet sijaitsevat tasolla z, tilavuus on kantasuunnikkaan inta-alan ja korkeuden tulo. Tehtävä 3. Olkoon O-keskisen ymyrän halkaisija. Valitaan ymyrän kehältä iste siten, että O ja ovat kohtisuorassa toisaan vastaan. Olkoon mielivaltainen (lyhemmän) kaaren iste ja leikatkoot suorat ja isteessä Q. Valitaan R suoralta niin, että RQ ja ovat kohtisuorassa toisaan vastaan. Osoita, että Q QR. [M 995] Ymyrät tuottavat analyyttisissä ratkaisuissa helosti ongelmia. Usein on arasta tehdä ymyrästä origokeskinen yksikköymyrä. Olkoon O (0, 0), (, 0), (, 0) ja (0, ), jolloin sijaitsee koordinaatiston ensimmäisessä neljänneksessä; kirjoitetaan (, ), missä. isteen Q y-koordinaatti on tietysti 0 ja x-koordinaatin määräämiseksi voidaan käyttää kolmion alan kaavaa: koska, ja Q ovat samalla suoralla, niiden määräämän kolmion inta-ala on 0. Merkitään Q (q, 0) ja ratkaistaan q yhtälöstä det 0 0. q 0 Saadaan q /( ). Samoin ratkaistaan iste R (q, r): 0 det 0 ( + )r + r. On todistettava, että q r, mikä käy mekaanisesti: ja r ( + /( )) + q + ( + ) ( )( + ) + + ( + )( + ). Tehtävä 4. Kueran nelikulmion lävistäjät ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Janojen ja keskinormaalien leikkausiste sijaitsee :n sisällä. Todista, että :n ymäri voidaan iirtää ymyrä, jos ja vain jos kolmioiden ja inta-alat ovat samat. [IMO 998] setetaan ( a, 0), (0, b), (c, 0) ja (0, d), missä luvut a, b, c ja d ovat ei-negatiivisia. isteen otenssia koskevan lauseen mukaan nelikulmion ymäri voidaan iirtää ymyrä, jos ja vain jos ac bd. Janan keskinormaalin yhtälö on y +b (a/b)(x+a) ja janan keskinormaalin yhtälö y d (c/d)(x c). Niiden leikkausiste (, q) ratkeaa näistä yhtälöistä: Kolmion inta-ala on ja kolmion inta-ala q + b a ( + a) b q d c ( c) d b(d c ) + d(b a ) ad bc q a(d c ) + c(b a ). ad bc a 0 det 0 b ab + aq + b q c 0 det 0 d cd cq d. q O R Q 3

4 Nämä ovat yhtäsuuret, jos ja vain jos Ennäkin ja toiseksi q(a + c) + (b + d) (cd ab). () q(a + c) a d a c + acd ac 3 + ab c a 3 c + b c a c ad bc (b + d) b d b c + bd 3 bc d + b 3 d a bd + b d a d. ad bc Kun yhtälö () kerrotaan uolittain nimittäjällä ad bc, saadaan vasemmalle uolelle [q(a + c) + (b + d)](ad bc) a c + acd ac 3 + ab c a 3 c + b d + bd 3 bc d + b 3 d a bd ja oikealle uolelle uolten erotus on (cd ab)(ad bc) (acd bc d a bd + ab c). a c + acd ac 3 + ab c a 3 c + b d + bd 3 bc d + b 3 d a bd (acd bc d a bd + ab c) a c ac 3 a 3 c + b d + bd 3 + b 3 d acd + bc d + a bd ab c (bd ac)(a + b + c + d + bd + ac). Koska kaikki tulon jälkimmäisen tekijän termit ovat ei-negatiivisia ja useat suuremia kuin nolla (muuten nelikulmio olisi surkastunut), yhtälö () on yhtäitävä sen kanssa, että bd ac. Suora. isteiden ja kautta kulkevan suoran yhtälön voimme äätellä samoin kuin tehtävän 4 ratkaisussa: koska suoralla olevien isteiden määräämän kolmion ala on 0, yhtälö on det x y a x a y 0. (3) b x b y Yhdensuuntaisella suoralla isteen kautta on yhtälö x c x y c y 0 det a x a y 0, b x b y mikä nähdään esimerkiksi siitä, että x:n ja y:n kertoimet ovat samat kuin yhtälössä (3) mutta vakiotermi on muuttunut, ja jos (x, y) (c x, c y ), determinantin arvoksi tulee 0. Näitä suoria vastaan kohtisuoralla suoralla isteen kautta on yhtälö det c y y x c x 0 a x a y 0. (4) b x b y Tämä seuraa suorien kohtisuoruusehdosta, joka esitetään jäljemänä. Yleinen suoran yhtälö on muotoa x + Qy + R 0, (5) missä ei voi olla Q 0. Jos suoralla olevan isteen x-koordinaattiin lisätään Q, y-koordinaatista on vähennettävä, jotta äädytään taas suoralle. Siis vektori (Q, ) on suoran suuntainen. (Jos Q 0, suora on y-akselin suuntainen, kuten on myös vektori (0, ).) Koska (, Q) (Q, ) 0, vektori (, Q) on suoraa vastaan kohtisuorassa ja kutsumme sitä suoran normaalivektoriksi. Yksi taa selvittää suorien välisiä kulmia on laskea näiden normaalivektorien välisiä kulmia istetulolla. Erityisesti suorat ovat kohtisuorassa, jos ja vain jos normaalivektorit ovat kohtisuorassa: jos suorien yhtälöt ovat x + Q y + R 0 ja x + Q y + R 0, suorat ovat kohtisuorassa jos ja vain jos + Q Q 0. Tästä seuraa yhtälö (4). 4

5 Jos yhtälössä (5) Q 0, yhtälö voidaan saattaa muotoon y kx + c, missä k /Q on suoran kulmakerroin. Kulmakerroin kertoo, montako yksikköä suora nousee ylösäin, kun kuljetaan yhden yksikön verran oikealle. Se on siis suoran x-akselista mitatun suuntakulman tangentti. Jos kahdella suoralla on kulmakertoimet k ja k, niiden välisen kulman tangentti on tangentin erotuskaavan mukaan k k + k k. Kaava ei tietenkään äde, jos k k, jolloin suorat ovat kohtisuorassa. Jos iste (x, y) ei ole suoralla (5), luku x + Qy + R on sitä suuremi, mitä kauemana iste on suorasta. Yhtälön (3) vasemman uolen determinantti voidaan tulkita sellaisen suunnikkaan (etumerkilliseksi) intaalaksi, jonka kanta on jana ja korkeus on isteen kohtisuora etäisyys suorasta. Kannan ituuden neliö on (a x b x ) + (a y b y ) Q +, joten etäisyydelle saadaan kaava Jos kahdella suoralla on yhtälöt x + Qy + R + Q. x + Qy, Sx + T y, suorien leikkausiste on ( (x, y) ( ) ( ) ) ( ) Q Q det, det, det. T S S T Kaavan voi todeta oikeaksi sijoittamalla: (T Q) + Q( S) ( T QS), S(T Q) + T ( S) ( T QS). Tämä on erikoistaaus ns. ramerin säännöstä. Jos determinantti on nolla, suorat ovat yhdensuuntaiset, jolloin yhtälöarilla ei ole yhtään ratkaisua tai on äärettömän monta ratkaisua (taauksessa, jossa yhtälöt kuvaavat samaa suoraa). Tehtävä 5. Määritä tasasivuisen kolmion kaikki sellaiset sisäisteet, joiden etäisyys yhdestä kolmion sivusta on niiden kolmion kahdesta muusta sivusta mitattujen etäisyyksien geometrinen keskiarvo. [M 04] Olkoot kolmion kärkiisteet (, 0), (, 0) ja (0, 3). Sisäisteen (x, y) etäisyys sivusta on y, etäisyys sivusta on suunnikkaan inta-alan kaavan erusteella x y det 0 ( ) 3x y ja etäisyys sivusta vastaavasti x y det 0 3 ) 3x y + 3. ( 0 Tehtävän ehto on yhtäitävä sen kanssa, että ja edelleen sen kanssa, että ( )( ) 3x y + 3 3x y + 3 y 4 ( x + y + ) Tämä on sellaisen ymyrän yhtälö, jonka keskiiste on kolmion keskiisteen eilikuva sivun suhteen. Ymyrän kaarella ovat esim. isteet, ja kolmion keskiiste, joten itse asiassa ymyrä on kolmion ymäri iirretyn ymyrän eilikuva. Tehtävässä kysytyt isteet ovat tällaisten kolmen ymyrän ne isteet, jotka jäävät kolmion sisälle. 5

6 Tehtävä 6. Kolmion sisään iirretty ymyrä sivuaa kolmion sivuja, ja isteissä, E ja F, tässä järjestyksessä. Olkoon G se sisään iirretyn ymyrän iste, jolle F G on ymyrän halkaisija. Suorat EG ja F leikkaavat isteessä H. Todista, että H. [altian tie 0] Valitaan koordinaatisto niin, että sisään iirretty ymyrä on origokeskinen yksikköymyrä ja x-akseli on suoran suuntainen. Silloin F (0, ) ja G (0, ). Olkoon (cos δ, δ) ja E (cos ɛ, ɛ). Suoran yhtälö on (cos δ)x + ( δ)y ja suoran E yhtälö (cos ɛ)x + ( ɛ)y, joten isteen y-koordinaatti on y Suoran EG yhtälö on ja suoran F yhtälö cos δ cos ɛ cos δ ɛ cos ɛ δ Siten isteen H y-koordinaatti on H y δ+ɛ (δ ɛ) δ+ɛ cos det x y cos ɛ ɛ ( ɛ )x (cos ɛ)y + cos ɛ 0 0 det x y cos δ δ ( δ + )x (cos δ)y cos δ 0. 0 ( δ + ) cos ɛ + ( ɛ ) cos δ cos ɛ cos δ + (δ + ɛ) ( ɛ ) cos δ + cos ɛ( δ + ) cos ɛ + cos δ + (δ ɛ) δ+ɛ cos δ+ɛ + δ+ɛ δ+ɛ cos cos + cos δ+ɛ cos δ+ɛ ( + cos δ+ɛ ) cos δ+ɛ (cos + ) δ+ɛ cos Koska isteillä ja H on sama y-koordinaatti, suora H on x-akselin ja siten suoran suuntainen. Tehtävä 7. on tasakylkinen kolmio, jossa. Oletetaan, että. y.. M on sivun keskiiste ja O sellainen iste suoralla M, että O on kohtisuorassa sivua vastaan,. Q on mielivaltainen isteistä ja eroava iste janalla ja 3. E sijaitsee suoralla ja F suoralla niin, että E, Q ja F ovat saman suoran eri isteitä. Osoita, että OQ ja EF ovat kohtisuorassa, jos ja vain jos QE QF. [IMO 994] setetaan origo isteeseen Q ja x-akseli yhtymään suoraan. Olkoon, M a ja Q:n suunnattu etäisyys M:stä q. Silloin kolmion koordinaatit ovat ( q, a), ( q, 0) ja ( q, 0). Suoran yhtälö on y a(x + + q) ja suoran yhtälö y a(x +q). isteen O koordinaateiksi saadaan O ( q, /a) kulmakerrointen kohtisuoruusehdosta. Suoran OQ kulmakerroin on siten /qa. Olkoon suoran EF kulmakerroin k. Ratkaistaan isteen E x-koordinaatti: { y kx a( + q) x y a(x + + q) k a ja vastaavasti isteen F x-koordinaatti: { y kx y a(x + q) x a( q) k + a. E M O Q F Koska Q on origo ja suoralla EF, etäisyys EQ QF jos ja vain jos nämä x-koordinaatit ovat toistensa vastaluvut. Tämä ätee jos ja vain jos + q k a q k + a ( + q)(k + a) ( q)(k a) k qa. Koska suoran OQ kulmakerroin on /qa, tämä on yhtäitävää sen kanssa, että suorat OQ ja EF ovat kohtisuorassa. 6

7 Ymyrä. Ymyrä on niiden isteiden ura, jotka ovat säteen etäisyydellä keskiisteestä. Jos keskiiste on (a x, a y ) ja säde on r, ymyrällä on yhtälö (x a x ) + (y a y ) r. Ymyrätehtävissä on usein hyödyllistä valita origoksi ymyrän keskiiste ja säteeksi, jolloin yhtälö on kätevästi x + y. Trigonometriset funktiot määritellään yksikköymyrän avulla: jos vektori keskiisteestä kehän isteeseen on x-akselin suhteen kulmassa φ, kehän isteen koordinaatit ovat (cos φ, φ). Trigonometrian kaavoja on syytä osata ainakin seuraavat ovat hyödyllisiä: (x + y) x cos y + y cos x cos(x + y) cos x cos y x y x cos(x) cos x + cos(x) x + y x + y x y cos x + y cos x + cos y cos x + y cos x cos y x + y cos x y x y cos x y x y Origokeskistä yksikköymyrää isteessä (cos φ, φ) sivuavalla suoralla on näärä yhtälö cos φx + φy, koska tämä suora on kohtisuorassa isteeseen iirrettyä sädettä vastaan ja kulkee vaaditun isteen kautta. Tehtävä 8. Olkoot ja ymyrän kaksi halkaisijaa ja :n mielivaltainen iste. Olkoot R ja S isteestä :lle ja :lle iirrettyjen kohtisuorien kantaisteet. Osoita, että janan RS ituus ei riiu isteen valinnasta. [altian tie 0] Valitaan koordinaatisto siten, että ymyrä on origokeskinen yksikköymyrä ja iste (, 0). Olkoon (cos β, β) ja cos δ, δ). isteen rojektioiksi saadaan R (cos β, cos β β) ja S (cos δ, cos δ δ). rojektiot yhdistävä vektori on S R S (cos β cos δ, cos β β cos δ δ) (cos(β) cos(δ), (β) (δ)) ( (β δ) (β + δ), (β δ) cos(β + δ)) R ja sen ituuden neliö on siten RS (β δ)( (β + δ) + cos (β + δ)) (β δ). Tässä käytettiin useita edellä lueteltuja trigonometrisia identiteettejä. Koska RS riiuu vain halkaisijoiden suuntakulmien erotuksesta, sama tulos saadaan jos valitaan isteen sijasta jokin toinen iste ja käännetään koordinaatistoa siten, että osuu koordinaatteihin (, 0). eterminantin ominaisuuksia. Yleinen n n-determinantti... n... n det... n n... nn lasketaan käymällä läi kaikki lukujen,,..., n ermutaatiot π ja laskemalla tulot,π(),,π(),..., n,π(n) yhteen, toi sanottuna sijoittamalla ruudukkoon kaikin mahdolli tavoin n tornia siten etteivät ne uhkaa toisiaan ja kertomalla keskenään tornien eittämät luvut. Kukin yhteenlaskettava varustetaan ermutaation etumerkillä, jonka määritelmä jää tämän esityksen ulkouolelle. Todetaan kuitenkin, että äädiagonaalia vastaavan identtisen ermutaation etumerkki on ositiivinen, ja jokainen vaihto, jossa kaksi tornia ysyy samoissa sarakkeissa mutta siirtyy toistensa riveille, kääntää etumerkin. 7

8 Määritelmästä nähdään joitakin determinantin ominaisuuksia:. Jos determinantin jokin rivi muodostuu elkistä nollista, determinantin arvo on 0. (Jokainen summan termi on 0.). Jos determinantissa on kaksi samaa riviä, determinantin arvo on 0. (Käytetään mainittua etumerkkiä koskevaa tietoa.) 3. eterminantin voi laskea ienemien alideterminanttien avulla: esimerkiksi a b c ( ) ( ) ( ) det d e f e f d f d e a det b det + c det, h i g i g h g h i missä jokainen ensimmäisen rivin alkio kerrotaan alideterminantilla, joka saadaan oistamalla ensimmäinen rivi ja kyseisen alkion sarake. Huomaa etumerkkien vaihtelu. Ymyrä. Tarkastellaan taas ymyrän yhtälöä (x x ) + (y y ) r. Kolmen isteen, ja (jotka eivät ole samalla suoralla) kautta voidaan iirtää ymyrä, jonka yhtälö saadaan ienellä nokkeluudella esitettyä determinantin avulla: x + y x y det a x + a y a x a y b x + b y b x b y 0. c x + c y c x c y Kyseessä on ymyrän yhtälö, koska jakamalla determinantti x + y :n kertoimella se saadaan muotoon x + vakio x + y + vakio y vakio, missä vasemman uolen lauseke voidaan täydentää kahdeksi neliöksi. Ymyrä kulkee annettujen isteiden kautta, koska jos esimerkiksi (x, y) (a x, a y ), determinantissa on kaksi samaa riviä. Kerroin, jolla edellä jaettiin, on alideterminantti a x a y b x b y. c x c y Neliöksi täydennyksessä ymyrän keskiisteen koordinaateiksi tulee a det x + a y a y b x + b y b y, a x + a y a x b c x + c x + b y b x. y c y c x + c y c x Tehtävä 9. Olkoon neliö. Olkoon M sivun sisäiste ja N sivun sisäiste, joille MN 45. Todista, että kolmion M N ymäri iirretyn ymyrän keskiiste on suoralla. [altian tie 003] Valitaan koordinaatisto niin, että (0, 0), (0, ), (, ), (, 0) ja M (m, ). Suoran M kulmakerroin on /m, joten suoran N kulmakerroin on tangentin summakaavan mukaan ( /m)/( + /m) (m )/(m + ). Siten N (, (m )/(m + )). Kolmion M N ymäri iirretyn ymyrän keskiiste on 0 0 det m +, det + (m ) (m + ) (m+) m m+ 0 0 m + m + (m ) (m+) ( (m + )(m ) + (m + ) + (m ), ) (m + )(m + ) + m((m + ) + (m ) ) (m ) ( (m + ), (m + ) ), missä on alideterminantti, jolla ei ole väliä, sillä isteen nähdään olevan suoralla. M N 8

9 Tehtävä 0. Eri isteet,, ja sijaitsevat samalla suoralla tässä järjestyksessä. - ja -halkaisijaiset ymyrät leikkaavat X:ssä ja Y :ssä. Suorien XY ja leikkausiste on Z. on suoran XY iste, ei kuitenkaan Z. Suora leikkaa -halkaisijaisen ymyrän isteissä ja M, ja suora leikkaa -halkaisijaisen ymyrän isteissä ja N. Osoita, että suorat M, N ja XY leikkaavat samassa isteessä. [IMO 995] Olkoon Z (0, 0), X (0, ), (0, ), ymyrän keskiiste (a, 0) ja säde r, jolloin (a r, 0) ja (a + r, 0). Koska X on ymyrällä, a + r. Suorat M ja ovat kohtisuorassa, koska uoliymyrän sisältämä kehäkulma on suora. Suoran kulmakerroin on /(a + r), joten suoran M yhtälö on y a+r (x a + r), joten suorien M ja XY leikkausisteen M koordinaatit ovat (0, r a ) (0, /). Loutulos ei riiu muusta kuin isteen koordinaateista, joten tämä ätee jokaiselle tavalle iirtää ymyrä, kunhan sen keskiiste on x-akselilla ja se kulkee kiinnitettyjen isteiden X ja Y kautta. Ymyrä täyttää nämä ehdot. M Z M X Y 9