Analyyttistä geometriaa kilpailutehtävien kautta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Analyyttistä geometriaa kilpailutehtävien kautta"

Transkriptio

1 nalyyttistä geometriaa kilailutehtävien kautta Jouni Seänen Johdanto. Joskus kehäkulmalauseeseen kyllästyy ja haluaa ratkaista geometrian tehtävän algebrallisesti. Tässä monisteessa esitetään tarkoitukseen aukeinoja esimerkkien avulla. Tehtävä. on tasakylkinen kolmio, jossa ja on terävä. on sellainen iste, että suorat ja ovat kohtisuorassa. ei sijaitse suoralla. on sellainen iste, että on suunnikas. Suorat ja leikkaavat isteessä M. Osoita, että M on janan keskiiste. [ritish Mathematical Olymiad 998] setetaan x-akseli yhtymään suoraan ja y-akseli suoraan, jolloin origo on iste. Olkoon (, 0), (, a) ja (0, c). Koska on suunnikas, (, a) eli (, a + c). Olkoon M janan keskiiste ( + ) (0, a + c). Koska isteen M x-koordinaatti on 0, se on suorien ja leikkausiste M. Koordinaatisto. nalyyttisessä geometriassa isteillä on koordinaatit, ja ratkaisijalla on valta valita soiva koordinaatisto. Usein kannattaa yrkiä siihen, että tehtävässä esiintyvien isteiden koordinaateista monet ovat nollia. Koordinaatiston mittakaavan voimme valita vaaasti, ja yllä äätimme valita isteen x-koordinaatiksi, mikä kiinnitti isteen vastaavan koordinaatin, mutta muita annettuja suureita jouduimme merkitsemään kirjaimilla a ja c, koska ne voivat vaihdella isteen sijainnista riiumatta. Koordinaattiarin voi tulkita aitsi isteeksi myös vektoriksi origosta isteeseen. isteiden ja erotus on vektori isteestä isteeseen (merkitään joskus ), ja kun se lisätään isteeseen, äädytään suunnikkaan määritelmän nojalla isteeseen. isteiden ja uolivälissä oleva iste M voidaan laskea keskiarvona ( + ), missä merkinnässä vektorin kertominen luvulla tarkoittaa kummankin koordinaatin kertomista samalla luvulla. istetulo. Usein esiintyvä laskutoimitus on vektorien sisä- eli istetulo. Kun a ja b ovat vektoreita, sisätulo on luku (ei vektori!) a b ab cos(a, b), missä cos(a, b) tarkoittaa vektoreiden välisen kulman koia. Tässä ja jäljemänä merkitään vektoria lihavoidulla kirjaimella ja sen itutta vastaavalla kursiivikirjaimella: vektorin a ituus on a. istetulon laskeminen sujuu helosti koordinaattien avulla. Kirjoitetaan a (a x, a y ) a(cos φ, φ), missä φ on vektorin suuntakulma, ja vastaavasti ja b (b x, b y ) b(cos ψ, ψ). Silloin koin erotuskaavan mukaan a b ab cos(φ ψ) ab(cos φ cos ψ + φ ψ) a x b x + a y b y. Sisätulon avulla voidaan laskea rojektioita. Kun vektori a rojisoidaan vektorin b määräämälle suoralle, rojektion ituus on a cos(α), missä α on vektorien välinen kulma. Tämä on melkein sisätulo: a b/b. Jos ituuden lisäksi tarvitaan vektorin koordinaatit, kerrotaan ituudella vektorin b suuntainen yksikkövektori: [(/b)a b](/b)b (a b/b )b. α a b

2 Tehtävä. Olkoon suorakulmio, jossa. Olkoon E sivun keskiiste ja sivun mielivaltainen sisäiste. Olkoon F isteen rojektio suoralle ja G isteen rojektio suoralle. Todista, että isteet E, F, ja G ovat saman ymyrän kehällä. [altian tie 003] Valitaan tehtävässä koordinaatisto siten, että E (0, 0), (, 0), (, ), (, ) ja (, 0). Olkoon isteen x-koordinaatti. Jatkossa tarvitaan isteen etäisyyksiä isteisiin ja, joten lasketaan ne ythagoraan lauseella ja merkitään β ( + ) ja γ ( ) + +. rojisoidaan iste suoralle sisätulon avulla: Samoin F G β ( +, ) joten F ( + β, ). β γ (, ) joten G ( + γ, ). γ Tuloksille kannattaa tehdä merkkivirheiden varalta järkevyystestaus. Jos 0, saadaan F (, ) ja G (, ), eli jos on särmän keskellä, rojektioisteet osuvat suorakulmion uolikkaiden keskiisteisiin. Jos taas, saadaan G (, ). Kun kaikilla isteillä on koordinaatit, jäljellä on enää sen todistaminen, että EF G on jännenelikulmio. Tämä on yhtäitävää esimerkiksi sen kanssa, että kulmien GEF ja F G summa on 80. Kulmien laskeminen on taas harjoitus istetulon käytöstä: ennäkin Toiseksi ja vastaavasti joten cos F G cos. βγ EF EG (βγ) ( ( + + )( + ) + ) (βγ) ( 4 + ), EF β ( ( + + ) + ) β ( + )( + + ) β ( + ) EG γ ( ( + ) + ) γ ( + )( + ) γ ( + ), cos GEF (βγ) ( + ) (βγ) / ( + ) βγ cos F G. Molemmat kulmat ovat välillä (0, 80 ), joten niiden summa on välttämättä 80, mistä väite seuraa. F E G eterminantti. Sisätulon lisäksi toinen hyödyllinen tulo on -determinantti ( ) ax a det(a, b) det y a b x b x b y b x a y. () y eterminantti on ns. ristitulon kaksiulotteinen vastine. Kuten istetulolla, sillä on yhteys vektorien väliseen kulmaan: det(a, b) a x b y b x a y ab(cos φ ψ φ cos ψ) ab (ψ φ), missä jälleen a a(cos φ, φ) ja b b(cos ψ, ψ). Siis determinantti () on vektorien ituuksien ja niiden välisen suunnatun kulman in tulo. eterminantin itseisarvo on siis vektorien virittämän suunnikkaan intaala. Etumerkki määräytyy siitä, kummassa järjestyksessä vektorit luetellaan. Usein on tareen laskea kolmion inta-ala, kun tunnetaan sen kärkiisteet. Tähän voidaan käyttää edellistä determinanttikaavaa: ±ala det(, ). Vielä näärämi on käyttää kolmen vektorin determinanttia: ±ala a x a y det b x b y. c x c y

3 Yleisen 3 3-determinantin voi laskea kaavasta a b c det d e f aei + bfg + cdh afh bdi ceg, g h i johon sijoittamalla inta-alakaavan voi tarkistaa. Yhteensattumasta ei tietenkään ole kyse: 3 3-determinantin itseisarvo kertoo kolmen avaruusvektorin virittämän suuntaissärmiön tilavuuden, ja kun vektorien ääteisteet sijaitsevat tasolla z, tilavuus on kantasuunnikkaan inta-alan ja korkeuden tulo. Tehtävä 3. Olkoon O-keskisen ymyrän halkaisija. Valitaan ymyrän kehältä iste siten, että O ja ovat kohtisuorassa toisaan vastaan. Olkoon mielivaltainen (lyhemmän) kaaren iste ja leikatkoot suorat ja isteessä Q. Valitaan R suoralta niin, että RQ ja ovat kohtisuorassa toisaan vastaan. Osoita, että Q QR. [M 995] Ymyrät tuottavat analyyttisissä ratkaisuissa helosti ongelmia. Usein on arasta tehdä ymyrästä origokeskinen yksikköymyrä. Olkoon O (0, 0), (, 0), (, 0) ja (0, ), jolloin sijaitsee koordinaatiston ensimmäisessä neljänneksessä; kirjoitetaan (, ), missä. isteen Q y-koordinaatti on tietysti 0 ja x-koordinaatin määräämiseksi voidaan käyttää kolmion alan kaavaa: koska, ja Q ovat samalla suoralla, niiden määräämän kolmion inta-ala on 0. Merkitään Q (q, 0) ja ratkaistaan q yhtälöstä det 0 0. q 0 Saadaan q /( ). Samoin ratkaistaan iste R (q, r): 0 det 0 ( + )r + r. On todistettava, että q r, mikä käy mekaanisesti: ja r ( + /( )) + q + ( + ) ( )( + ) + + ( + )( + ). Tehtävä 4. Kueran nelikulmion lävistäjät ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Janojen ja keskinormaalien leikkausiste sijaitsee :n sisällä. Todista, että :n ymäri voidaan iirtää ymyrä, jos ja vain jos kolmioiden ja inta-alat ovat samat. [IMO 998] setetaan ( a, 0), (0, b), (c, 0) ja (0, d), missä luvut a, b, c ja d ovat ei-negatiivisia. isteen otenssia koskevan lauseen mukaan nelikulmion ymäri voidaan iirtää ymyrä, jos ja vain jos ac bd. Janan keskinormaalin yhtälö on y +b (a/b)(x+a) ja janan keskinormaalin yhtälö y d (c/d)(x c). Niiden leikkausiste (, q) ratkeaa näistä yhtälöistä: Kolmion inta-ala on ja kolmion inta-ala q + b a ( + a) b q d c ( c) d b(d c ) + d(b a ) ad bc q a(d c ) + c(b a ). ad bc a 0 det 0 b ab + aq + b q c 0 det 0 d cd cq d. q O R Q 3

4 Nämä ovat yhtäsuuret, jos ja vain jos Ennäkin ja toiseksi q(a + c) + (b + d) (cd ab). () q(a + c) a d a c + acd ac 3 + ab c a 3 c + b c a c ad bc (b + d) b d b c + bd 3 bc d + b 3 d a bd + b d a d. ad bc Kun yhtälö () kerrotaan uolittain nimittäjällä ad bc, saadaan vasemmalle uolelle [q(a + c) + (b + d)](ad bc) a c + acd ac 3 + ab c a 3 c + b d + bd 3 bc d + b 3 d a bd ja oikealle uolelle uolten erotus on (cd ab)(ad bc) (acd bc d a bd + ab c). a c + acd ac 3 + ab c a 3 c + b d + bd 3 bc d + b 3 d a bd (acd bc d a bd + ab c) a c ac 3 a 3 c + b d + bd 3 + b 3 d acd + bc d + a bd ab c (bd ac)(a + b + c + d + bd + ac). Koska kaikki tulon jälkimmäisen tekijän termit ovat ei-negatiivisia ja useat suuremia kuin nolla (muuten nelikulmio olisi surkastunut), yhtälö () on yhtäitävä sen kanssa, että bd ac. Suora. isteiden ja kautta kulkevan suoran yhtälön voimme äätellä samoin kuin tehtävän 4 ratkaisussa: koska suoralla olevien isteiden määräämän kolmion ala on 0, yhtälö on det x y a x a y 0. (3) b x b y Yhdensuuntaisella suoralla isteen kautta on yhtälö x c x y c y 0 det a x a y 0, b x b y mikä nähdään esimerkiksi siitä, että x:n ja y:n kertoimet ovat samat kuin yhtälössä (3) mutta vakiotermi on muuttunut, ja jos (x, y) (c x, c y ), determinantin arvoksi tulee 0. Näitä suoria vastaan kohtisuoralla suoralla isteen kautta on yhtälö det c y y x c x 0 a x a y 0. (4) b x b y Tämä seuraa suorien kohtisuoruusehdosta, joka esitetään jäljemänä. Yleinen suoran yhtälö on muotoa x + Qy + R 0, (5) missä ei voi olla Q 0. Jos suoralla olevan isteen x-koordinaattiin lisätään Q, y-koordinaatista on vähennettävä, jotta äädytään taas suoralle. Siis vektori (Q, ) on suoran suuntainen. (Jos Q 0, suora on y-akselin suuntainen, kuten on myös vektori (0, ).) Koska (, Q) (Q, ) 0, vektori (, Q) on suoraa vastaan kohtisuorassa ja kutsumme sitä suoran normaalivektoriksi. Yksi taa selvittää suorien välisiä kulmia on laskea näiden normaalivektorien välisiä kulmia istetulolla. Erityisesti suorat ovat kohtisuorassa, jos ja vain jos normaalivektorit ovat kohtisuorassa: jos suorien yhtälöt ovat x + Q y + R 0 ja x + Q y + R 0, suorat ovat kohtisuorassa jos ja vain jos + Q Q 0. Tästä seuraa yhtälö (4). 4

5 Jos yhtälössä (5) Q 0, yhtälö voidaan saattaa muotoon y kx + c, missä k /Q on suoran kulmakerroin. Kulmakerroin kertoo, montako yksikköä suora nousee ylösäin, kun kuljetaan yhden yksikön verran oikealle. Se on siis suoran x-akselista mitatun suuntakulman tangentti. Jos kahdella suoralla on kulmakertoimet k ja k, niiden välisen kulman tangentti on tangentin erotuskaavan mukaan k k + k k. Kaava ei tietenkään äde, jos k k, jolloin suorat ovat kohtisuorassa. Jos iste (x, y) ei ole suoralla (5), luku x + Qy + R on sitä suuremi, mitä kauemana iste on suorasta. Yhtälön (3) vasemman uolen determinantti voidaan tulkita sellaisen suunnikkaan (etumerkilliseksi) intaalaksi, jonka kanta on jana ja korkeus on isteen kohtisuora etäisyys suorasta. Kannan ituuden neliö on (a x b x ) + (a y b y ) Q +, joten etäisyydelle saadaan kaava Jos kahdella suoralla on yhtälöt x + Qy + R + Q. x + Qy, Sx + T y, suorien leikkausiste on ( (x, y) ( ) ( ) ) ( ) Q Q det, det, det. T S S T Kaavan voi todeta oikeaksi sijoittamalla: (T Q) + Q( S) ( T QS), S(T Q) + T ( S) ( T QS). Tämä on erikoistaaus ns. ramerin säännöstä. Jos determinantti on nolla, suorat ovat yhdensuuntaiset, jolloin yhtälöarilla ei ole yhtään ratkaisua tai on äärettömän monta ratkaisua (taauksessa, jossa yhtälöt kuvaavat samaa suoraa). Tehtävä 5. Määritä tasasivuisen kolmion kaikki sellaiset sisäisteet, joiden etäisyys yhdestä kolmion sivusta on niiden kolmion kahdesta muusta sivusta mitattujen etäisyyksien geometrinen keskiarvo. [M 04] Olkoot kolmion kärkiisteet (, 0), (, 0) ja (0, 3). Sisäisteen (x, y) etäisyys sivusta on y, etäisyys sivusta on suunnikkaan inta-alan kaavan erusteella x y det 0 ( ) 3x y ja etäisyys sivusta vastaavasti x y det 0 3 ) 3x y + 3. ( 0 Tehtävän ehto on yhtäitävä sen kanssa, että ja edelleen sen kanssa, että ( )( ) 3x y + 3 3x y + 3 y 4 ( x + y + ) Tämä on sellaisen ymyrän yhtälö, jonka keskiiste on kolmion keskiisteen eilikuva sivun suhteen. Ymyrän kaarella ovat esim. isteet, ja kolmion keskiiste, joten itse asiassa ymyrä on kolmion ymäri iirretyn ymyrän eilikuva. Tehtävässä kysytyt isteet ovat tällaisten kolmen ymyrän ne isteet, jotka jäävät kolmion sisälle. 5

6 Tehtävä 6. Kolmion sisään iirretty ymyrä sivuaa kolmion sivuja, ja isteissä, E ja F, tässä järjestyksessä. Olkoon G se sisään iirretyn ymyrän iste, jolle F G on ymyrän halkaisija. Suorat EG ja F leikkaavat isteessä H. Todista, että H. [altian tie 0] Valitaan koordinaatisto niin, että sisään iirretty ymyrä on origokeskinen yksikköymyrä ja x-akseli on suoran suuntainen. Silloin F (0, ) ja G (0, ). Olkoon (cos δ, δ) ja E (cos ɛ, ɛ). Suoran yhtälö on (cos δ)x + ( δ)y ja suoran E yhtälö (cos ɛ)x + ( ɛ)y, joten isteen y-koordinaatti on y Suoran EG yhtälö on ja suoran F yhtälö cos δ cos ɛ cos δ ɛ cos ɛ δ Siten isteen H y-koordinaatti on H y δ+ɛ (δ ɛ) δ+ɛ cos det x y cos ɛ ɛ ( ɛ )x (cos ɛ)y + cos ɛ 0 0 det x y cos δ δ ( δ + )x (cos δ)y cos δ 0. 0 ( δ + ) cos ɛ + ( ɛ ) cos δ cos ɛ cos δ + (δ + ɛ) ( ɛ ) cos δ + cos ɛ( δ + ) cos ɛ + cos δ + (δ ɛ) δ+ɛ cos δ+ɛ + δ+ɛ δ+ɛ cos cos + cos δ+ɛ cos δ+ɛ ( + cos δ+ɛ ) cos δ+ɛ (cos + ) δ+ɛ cos Koska isteillä ja H on sama y-koordinaatti, suora H on x-akselin ja siten suoran suuntainen. Tehtävä 7. on tasakylkinen kolmio, jossa. Oletetaan, että. y.. M on sivun keskiiste ja O sellainen iste suoralla M, että O on kohtisuorassa sivua vastaan,. Q on mielivaltainen isteistä ja eroava iste janalla ja 3. E sijaitsee suoralla ja F suoralla niin, että E, Q ja F ovat saman suoran eri isteitä. Osoita, että OQ ja EF ovat kohtisuorassa, jos ja vain jos QE QF. [IMO 994] setetaan origo isteeseen Q ja x-akseli yhtymään suoraan. Olkoon, M a ja Q:n suunnattu etäisyys M:stä q. Silloin kolmion koordinaatit ovat ( q, a), ( q, 0) ja ( q, 0). Suoran yhtälö on y a(x + + q) ja suoran yhtälö y a(x +q). isteen O koordinaateiksi saadaan O ( q, /a) kulmakerrointen kohtisuoruusehdosta. Suoran OQ kulmakerroin on siten /qa. Olkoon suoran EF kulmakerroin k. Ratkaistaan isteen E x-koordinaatti: { y kx a( + q) x y a(x + + q) k a ja vastaavasti isteen F x-koordinaatti: { y kx y a(x + q) x a( q) k + a. E M O Q F Koska Q on origo ja suoralla EF, etäisyys EQ QF jos ja vain jos nämä x-koordinaatit ovat toistensa vastaluvut. Tämä ätee jos ja vain jos + q k a q k + a ( + q)(k + a) ( q)(k a) k qa. Koska suoran OQ kulmakerroin on /qa, tämä on yhtäitävää sen kanssa, että suorat OQ ja EF ovat kohtisuorassa. 6

7 Ymyrä. Ymyrä on niiden isteiden ura, jotka ovat säteen etäisyydellä keskiisteestä. Jos keskiiste on (a x, a y ) ja säde on r, ymyrällä on yhtälö (x a x ) + (y a y ) r. Ymyrätehtävissä on usein hyödyllistä valita origoksi ymyrän keskiiste ja säteeksi, jolloin yhtälö on kätevästi x + y. Trigonometriset funktiot määritellään yksikköymyrän avulla: jos vektori keskiisteestä kehän isteeseen on x-akselin suhteen kulmassa φ, kehän isteen koordinaatit ovat (cos φ, φ). Trigonometrian kaavoja on syytä osata ainakin seuraavat ovat hyödyllisiä: (x + y) x cos y + y cos x cos(x + y) cos x cos y x y x cos(x) cos x + cos(x) x + y x + y x y cos x + y cos x + cos y cos x + y cos x cos y x + y cos x y x y cos x y x y Origokeskistä yksikköymyrää isteessä (cos φ, φ) sivuavalla suoralla on näärä yhtälö cos φx + φy, koska tämä suora on kohtisuorassa isteeseen iirrettyä sädettä vastaan ja kulkee vaaditun isteen kautta. Tehtävä 8. Olkoot ja ymyrän kaksi halkaisijaa ja :n mielivaltainen iste. Olkoot R ja S isteestä :lle ja :lle iirrettyjen kohtisuorien kantaisteet. Osoita, että janan RS ituus ei riiu isteen valinnasta. [altian tie 0] Valitaan koordinaatisto siten, että ymyrä on origokeskinen yksikköymyrä ja iste (, 0). Olkoon (cos β, β) ja cos δ, δ). isteen rojektioiksi saadaan R (cos β, cos β β) ja S (cos δ, cos δ δ). rojektiot yhdistävä vektori on S R S (cos β cos δ, cos β β cos δ δ) (cos(β) cos(δ), (β) (δ)) ( (β δ) (β + δ), (β δ) cos(β + δ)) R ja sen ituuden neliö on siten RS (β δ)( (β + δ) + cos (β + δ)) (β δ). Tässä käytettiin useita edellä lueteltuja trigonometrisia identiteettejä. Koska RS riiuu vain halkaisijoiden suuntakulmien erotuksesta, sama tulos saadaan jos valitaan isteen sijasta jokin toinen iste ja käännetään koordinaatistoa siten, että osuu koordinaatteihin (, 0). eterminantin ominaisuuksia. Yleinen n n-determinantti... n... n det... n n... nn lasketaan käymällä läi kaikki lukujen,,..., n ermutaatiot π ja laskemalla tulot,π(),,π(),..., n,π(n) yhteen, toi sanottuna sijoittamalla ruudukkoon kaikin mahdolli tavoin n tornia siten etteivät ne uhkaa toisiaan ja kertomalla keskenään tornien eittämät luvut. Kukin yhteenlaskettava varustetaan ermutaation etumerkillä, jonka määritelmä jää tämän esityksen ulkouolelle. Todetaan kuitenkin, että äädiagonaalia vastaavan identtisen ermutaation etumerkki on ositiivinen, ja jokainen vaihto, jossa kaksi tornia ysyy samoissa sarakkeissa mutta siirtyy toistensa riveille, kääntää etumerkin. 7

8 Määritelmästä nähdään joitakin determinantin ominaisuuksia:. Jos determinantin jokin rivi muodostuu elkistä nollista, determinantin arvo on 0. (Jokainen summan termi on 0.). Jos determinantissa on kaksi samaa riviä, determinantin arvo on 0. (Käytetään mainittua etumerkkiä koskevaa tietoa.) 3. eterminantin voi laskea ienemien alideterminanttien avulla: esimerkiksi a b c ( ) ( ) ( ) det d e f e f d f d e a det b det + c det, h i g i g h g h i missä jokainen ensimmäisen rivin alkio kerrotaan alideterminantilla, joka saadaan oistamalla ensimmäinen rivi ja kyseisen alkion sarake. Huomaa etumerkkien vaihtelu. Ymyrä. Tarkastellaan taas ymyrän yhtälöä (x x ) + (y y ) r. Kolmen isteen, ja (jotka eivät ole samalla suoralla) kautta voidaan iirtää ymyrä, jonka yhtälö saadaan ienellä nokkeluudella esitettyä determinantin avulla: x + y x y det a x + a y a x a y b x + b y b x b y 0. c x + c y c x c y Kyseessä on ymyrän yhtälö, koska jakamalla determinantti x + y :n kertoimella se saadaan muotoon x + vakio x + y + vakio y vakio, missä vasemman uolen lauseke voidaan täydentää kahdeksi neliöksi. Ymyrä kulkee annettujen isteiden kautta, koska jos esimerkiksi (x, y) (a x, a y ), determinantissa on kaksi samaa riviä. Kerroin, jolla edellä jaettiin, on alideterminantti a x a y b x b y. c x c y Neliöksi täydennyksessä ymyrän keskiisteen koordinaateiksi tulee a det x + a y a y b x + b y b y, a x + a y a x b c x + c x + b y b x. y c y c x + c y c x Tehtävä 9. Olkoon neliö. Olkoon M sivun sisäiste ja N sivun sisäiste, joille MN 45. Todista, että kolmion M N ymäri iirretyn ymyrän keskiiste on suoralla. [altian tie 003] Valitaan koordinaatisto niin, että (0, 0), (0, ), (, ), (, 0) ja M (m, ). Suoran M kulmakerroin on /m, joten suoran N kulmakerroin on tangentin summakaavan mukaan ( /m)/( + /m) (m )/(m + ). Siten N (, (m )/(m + )). Kolmion M N ymäri iirretyn ymyrän keskiiste on 0 0 det m +, det + (m ) (m + ) (m+) m m+ 0 0 m + m + (m ) (m+) ( (m + )(m ) + (m + ) + (m ), ) (m + )(m + ) + m((m + ) + (m ) ) (m ) ( (m + ), (m + ) ), missä on alideterminantti, jolla ei ole väliä, sillä isteen nähdään olevan suoralla. M N 8

9 Tehtävä 0. Eri isteet,, ja sijaitsevat samalla suoralla tässä järjestyksessä. - ja -halkaisijaiset ymyrät leikkaavat X:ssä ja Y :ssä. Suorien XY ja leikkausiste on Z. on suoran XY iste, ei kuitenkaan Z. Suora leikkaa -halkaisijaisen ymyrän isteissä ja M, ja suora leikkaa -halkaisijaisen ymyrän isteissä ja N. Osoita, että suorat M, N ja XY leikkaavat samassa isteessä. [IMO 995] Olkoon Z (0, 0), X (0, ), (0, ), ymyrän keskiiste (a, 0) ja säde r, jolloin (a r, 0) ja (a + r, 0). Koska X on ymyrällä, a + r. Suorat M ja ovat kohtisuorassa, koska uoliymyrän sisältämä kehäkulma on suora. Suoran kulmakerroin on /(a + r), joten suoran M yhtälö on y a+r (x a + r), joten suorien M ja XY leikkausisteen M koordinaatit ovat (0, r a ) (0, /). Loutulos ei riiu muusta kuin isteen koordinaateista, joten tämä ätee jokaiselle tavalle iirtää ymyrä, kunhan sen keskiiste on x-akselilla ja se kulkee kiinnitettyjen isteiden X ja Y kautta. Ymyrä täyttää nämä ehdot. M Z M X Y 9

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla 3 Vektorin kertominen reaaliluvulla Summalla a + a + a tarkoitetaan lausekkeessa esiintyvän vektorin a kanssa samansuuntaista, mutta pituudeltaan tähän nähden kolminkertaista vektoria. Tätä summaa on tarkoituksenmukaista

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 2012 helpommat valmennustehtävät ratkaisuja 1 Määritä sellaisen kolmion ala, jonka kaksi kulmaa ovat 60 ja 45 ja jonka pisimmän sivun pituus on 1 Ratkaisu Olkoon

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 3 MS-A7 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 925 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 2 7.2.2013 1. Matematiikan lukiokurssissa on esitetty, että ylöspäin aukeavan paraabelin f(x) = ax 2 +bx+c,a > 0,minimikohtasaadaan,kunf

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j) (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11 (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot