Analyyttistä geometriaa kilpailutehtävien kautta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Analyyttistä geometriaa kilpailutehtävien kautta"

Transkriptio

1 nalyyttistä geometriaa kilailutehtävien kautta Jouni Seänen Johdanto. Joskus kehäkulmalauseeseen kyllästyy ja haluaa ratkaista geometrian tehtävän algebrallisesti. Tässä monisteessa esitetään tarkoitukseen aukeinoja esimerkkien avulla. Tehtävä. on tasakylkinen kolmio, jossa ja on terävä. on sellainen iste, että suorat ja ovat kohtisuorassa. ei sijaitse suoralla. on sellainen iste, että on suunnikas. Suorat ja leikkaavat isteessä M. Osoita, että M on janan keskiiste. [ritish Mathematical Olymiad 998] setetaan x-akseli yhtymään suoraan ja y-akseli suoraan, jolloin origo on iste. Olkoon (, 0), (, a) ja (0, c). Koska on suunnikas, (, a) eli (, a + c). Olkoon M janan keskiiste ( + ) (0, a + c). Koska isteen M x-koordinaatti on 0, se on suorien ja leikkausiste M. Koordinaatisto. nalyyttisessä geometriassa isteillä on koordinaatit, ja ratkaisijalla on valta valita soiva koordinaatisto. Usein kannattaa yrkiä siihen, että tehtävässä esiintyvien isteiden koordinaateista monet ovat nollia. Koordinaatiston mittakaavan voimme valita vaaasti, ja yllä äätimme valita isteen x-koordinaatiksi, mikä kiinnitti isteen vastaavan koordinaatin, mutta muita annettuja suureita jouduimme merkitsemään kirjaimilla a ja c, koska ne voivat vaihdella isteen sijainnista riiumatta. Koordinaattiarin voi tulkita aitsi isteeksi myös vektoriksi origosta isteeseen. isteiden ja erotus on vektori isteestä isteeseen (merkitään joskus ), ja kun se lisätään isteeseen, äädytään suunnikkaan määritelmän nojalla isteeseen. isteiden ja uolivälissä oleva iste M voidaan laskea keskiarvona ( + ), missä merkinnässä vektorin kertominen luvulla tarkoittaa kummankin koordinaatin kertomista samalla luvulla. istetulo. Usein esiintyvä laskutoimitus on vektorien sisä- eli istetulo. Kun a ja b ovat vektoreita, sisätulo on luku (ei vektori!) a b ab cos(a, b), missä cos(a, b) tarkoittaa vektoreiden välisen kulman koia. Tässä ja jäljemänä merkitään vektoria lihavoidulla kirjaimella ja sen itutta vastaavalla kursiivikirjaimella: vektorin a ituus on a. istetulon laskeminen sujuu helosti koordinaattien avulla. Kirjoitetaan a (a x, a y ) a(cos φ, φ), missä φ on vektorin suuntakulma, ja vastaavasti ja b (b x, b y ) b(cos ψ, ψ). Silloin koin erotuskaavan mukaan a b ab cos(φ ψ) ab(cos φ cos ψ + φ ψ) a x b x + a y b y. Sisätulon avulla voidaan laskea rojektioita. Kun vektori a rojisoidaan vektorin b määräämälle suoralle, rojektion ituus on a cos(α), missä α on vektorien välinen kulma. Tämä on melkein sisätulo: a b/b. Jos ituuden lisäksi tarvitaan vektorin koordinaatit, kerrotaan ituudella vektorin b suuntainen yksikkövektori: [(/b)a b](/b)b (a b/b )b. α a b

2 Tehtävä. Olkoon suorakulmio, jossa. Olkoon E sivun keskiiste ja sivun mielivaltainen sisäiste. Olkoon F isteen rojektio suoralle ja G isteen rojektio suoralle. Todista, että isteet E, F, ja G ovat saman ymyrän kehällä. [altian tie 003] Valitaan tehtävässä koordinaatisto siten, että E (0, 0), (, 0), (, ), (, ) ja (, 0). Olkoon isteen x-koordinaatti. Jatkossa tarvitaan isteen etäisyyksiä isteisiin ja, joten lasketaan ne ythagoraan lauseella ja merkitään β ( + ) ja γ ( ) + +. rojisoidaan iste suoralle sisätulon avulla: Samoin F G β ( +, ) joten F ( + β, ). β γ (, ) joten G ( + γ, ). γ Tuloksille kannattaa tehdä merkkivirheiden varalta järkevyystestaus. Jos 0, saadaan F (, ) ja G (, ), eli jos on särmän keskellä, rojektioisteet osuvat suorakulmion uolikkaiden keskiisteisiin. Jos taas, saadaan G (, ). Kun kaikilla isteillä on koordinaatit, jäljellä on enää sen todistaminen, että EF G on jännenelikulmio. Tämä on yhtäitävää esimerkiksi sen kanssa, että kulmien GEF ja F G summa on 80. Kulmien laskeminen on taas harjoitus istetulon käytöstä: ennäkin Toiseksi ja vastaavasti joten cos F G cos. βγ EF EG (βγ) ( ( + + )( + ) + ) (βγ) ( 4 + ), EF β ( ( + + ) + ) β ( + )( + + ) β ( + ) EG γ ( ( + ) + ) γ ( + )( + ) γ ( + ), cos GEF (βγ) ( + ) (βγ) / ( + ) βγ cos F G. Molemmat kulmat ovat välillä (0, 80 ), joten niiden summa on välttämättä 80, mistä väite seuraa. F E G eterminantti. Sisätulon lisäksi toinen hyödyllinen tulo on -determinantti ( ) ax a det(a, b) det y a b x b x b y b x a y. () y eterminantti on ns. ristitulon kaksiulotteinen vastine. Kuten istetulolla, sillä on yhteys vektorien väliseen kulmaan: det(a, b) a x b y b x a y ab(cos φ ψ φ cos ψ) ab (ψ φ), missä jälleen a a(cos φ, φ) ja b b(cos ψ, ψ). Siis determinantti () on vektorien ituuksien ja niiden välisen suunnatun kulman in tulo. eterminantin itseisarvo on siis vektorien virittämän suunnikkaan intaala. Etumerkki määräytyy siitä, kummassa järjestyksessä vektorit luetellaan. Usein on tareen laskea kolmion inta-ala, kun tunnetaan sen kärkiisteet. Tähän voidaan käyttää edellistä determinanttikaavaa: ±ala det(, ). Vielä näärämi on käyttää kolmen vektorin determinanttia: ±ala a x a y det b x b y. c x c y

3 Yleisen 3 3-determinantin voi laskea kaavasta a b c det d e f aei + bfg + cdh afh bdi ceg, g h i johon sijoittamalla inta-alakaavan voi tarkistaa. Yhteensattumasta ei tietenkään ole kyse: 3 3-determinantin itseisarvo kertoo kolmen avaruusvektorin virittämän suuntaissärmiön tilavuuden, ja kun vektorien ääteisteet sijaitsevat tasolla z, tilavuus on kantasuunnikkaan inta-alan ja korkeuden tulo. Tehtävä 3. Olkoon O-keskisen ymyrän halkaisija. Valitaan ymyrän kehältä iste siten, että O ja ovat kohtisuorassa toisaan vastaan. Olkoon mielivaltainen (lyhemmän) kaaren iste ja leikatkoot suorat ja isteessä Q. Valitaan R suoralta niin, että RQ ja ovat kohtisuorassa toisaan vastaan. Osoita, että Q QR. [M 995] Ymyrät tuottavat analyyttisissä ratkaisuissa helosti ongelmia. Usein on arasta tehdä ymyrästä origokeskinen yksikköymyrä. Olkoon O (0, 0), (, 0), (, 0) ja (0, ), jolloin sijaitsee koordinaatiston ensimmäisessä neljänneksessä; kirjoitetaan (, ), missä. isteen Q y-koordinaatti on tietysti 0 ja x-koordinaatin määräämiseksi voidaan käyttää kolmion alan kaavaa: koska, ja Q ovat samalla suoralla, niiden määräämän kolmion inta-ala on 0. Merkitään Q (q, 0) ja ratkaistaan q yhtälöstä det 0 0. q 0 Saadaan q /( ). Samoin ratkaistaan iste R (q, r): 0 det 0 ( + )r + r. On todistettava, että q r, mikä käy mekaanisesti: ja r ( + /( )) + q + ( + ) ( )( + ) + + ( + )( + ). Tehtävä 4. Kueran nelikulmion lävistäjät ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Janojen ja keskinormaalien leikkausiste sijaitsee :n sisällä. Todista, että :n ymäri voidaan iirtää ymyrä, jos ja vain jos kolmioiden ja inta-alat ovat samat. [IMO 998] setetaan ( a, 0), (0, b), (c, 0) ja (0, d), missä luvut a, b, c ja d ovat ei-negatiivisia. isteen otenssia koskevan lauseen mukaan nelikulmion ymäri voidaan iirtää ymyrä, jos ja vain jos ac bd. Janan keskinormaalin yhtälö on y +b (a/b)(x+a) ja janan keskinormaalin yhtälö y d (c/d)(x c). Niiden leikkausiste (, q) ratkeaa näistä yhtälöistä: Kolmion inta-ala on ja kolmion inta-ala q + b a ( + a) b q d c ( c) d b(d c ) + d(b a ) ad bc q a(d c ) + c(b a ). ad bc a 0 det 0 b ab + aq + b q c 0 det 0 d cd cq d. q O R Q 3

4 Nämä ovat yhtäsuuret, jos ja vain jos Ennäkin ja toiseksi q(a + c) + (b + d) (cd ab). () q(a + c) a d a c + acd ac 3 + ab c a 3 c + b c a c ad bc (b + d) b d b c + bd 3 bc d + b 3 d a bd + b d a d. ad bc Kun yhtälö () kerrotaan uolittain nimittäjällä ad bc, saadaan vasemmalle uolelle [q(a + c) + (b + d)](ad bc) a c + acd ac 3 + ab c a 3 c + b d + bd 3 bc d + b 3 d a bd ja oikealle uolelle uolten erotus on (cd ab)(ad bc) (acd bc d a bd + ab c). a c + acd ac 3 + ab c a 3 c + b d + bd 3 bc d + b 3 d a bd (acd bc d a bd + ab c) a c ac 3 a 3 c + b d + bd 3 + b 3 d acd + bc d + a bd ab c (bd ac)(a + b + c + d + bd + ac). Koska kaikki tulon jälkimmäisen tekijän termit ovat ei-negatiivisia ja useat suuremia kuin nolla (muuten nelikulmio olisi surkastunut), yhtälö () on yhtäitävä sen kanssa, että bd ac. Suora. isteiden ja kautta kulkevan suoran yhtälön voimme äätellä samoin kuin tehtävän 4 ratkaisussa: koska suoralla olevien isteiden määräämän kolmion ala on 0, yhtälö on det x y a x a y 0. (3) b x b y Yhdensuuntaisella suoralla isteen kautta on yhtälö x c x y c y 0 det a x a y 0, b x b y mikä nähdään esimerkiksi siitä, että x:n ja y:n kertoimet ovat samat kuin yhtälössä (3) mutta vakiotermi on muuttunut, ja jos (x, y) (c x, c y ), determinantin arvoksi tulee 0. Näitä suoria vastaan kohtisuoralla suoralla isteen kautta on yhtälö det c y y x c x 0 a x a y 0. (4) b x b y Tämä seuraa suorien kohtisuoruusehdosta, joka esitetään jäljemänä. Yleinen suoran yhtälö on muotoa x + Qy + R 0, (5) missä ei voi olla Q 0. Jos suoralla olevan isteen x-koordinaattiin lisätään Q, y-koordinaatista on vähennettävä, jotta äädytään taas suoralle. Siis vektori (Q, ) on suoran suuntainen. (Jos Q 0, suora on y-akselin suuntainen, kuten on myös vektori (0, ).) Koska (, Q) (Q, ) 0, vektori (, Q) on suoraa vastaan kohtisuorassa ja kutsumme sitä suoran normaalivektoriksi. Yksi taa selvittää suorien välisiä kulmia on laskea näiden normaalivektorien välisiä kulmia istetulolla. Erityisesti suorat ovat kohtisuorassa, jos ja vain jos normaalivektorit ovat kohtisuorassa: jos suorien yhtälöt ovat x + Q y + R 0 ja x + Q y + R 0, suorat ovat kohtisuorassa jos ja vain jos + Q Q 0. Tästä seuraa yhtälö (4). 4

5 Jos yhtälössä (5) Q 0, yhtälö voidaan saattaa muotoon y kx + c, missä k /Q on suoran kulmakerroin. Kulmakerroin kertoo, montako yksikköä suora nousee ylösäin, kun kuljetaan yhden yksikön verran oikealle. Se on siis suoran x-akselista mitatun suuntakulman tangentti. Jos kahdella suoralla on kulmakertoimet k ja k, niiden välisen kulman tangentti on tangentin erotuskaavan mukaan k k + k k. Kaava ei tietenkään äde, jos k k, jolloin suorat ovat kohtisuorassa. Jos iste (x, y) ei ole suoralla (5), luku x + Qy + R on sitä suuremi, mitä kauemana iste on suorasta. Yhtälön (3) vasemman uolen determinantti voidaan tulkita sellaisen suunnikkaan (etumerkilliseksi) intaalaksi, jonka kanta on jana ja korkeus on isteen kohtisuora etäisyys suorasta. Kannan ituuden neliö on (a x b x ) + (a y b y ) Q +, joten etäisyydelle saadaan kaava Jos kahdella suoralla on yhtälöt x + Qy + R + Q. x + Qy, Sx + T y, suorien leikkausiste on ( (x, y) ( ) ( ) ) ( ) Q Q det, det, det. T S S T Kaavan voi todeta oikeaksi sijoittamalla: (T Q) + Q( S) ( T QS), S(T Q) + T ( S) ( T QS). Tämä on erikoistaaus ns. ramerin säännöstä. Jos determinantti on nolla, suorat ovat yhdensuuntaiset, jolloin yhtälöarilla ei ole yhtään ratkaisua tai on äärettömän monta ratkaisua (taauksessa, jossa yhtälöt kuvaavat samaa suoraa). Tehtävä 5. Määritä tasasivuisen kolmion kaikki sellaiset sisäisteet, joiden etäisyys yhdestä kolmion sivusta on niiden kolmion kahdesta muusta sivusta mitattujen etäisyyksien geometrinen keskiarvo. [M 04] Olkoot kolmion kärkiisteet (, 0), (, 0) ja (0, 3). Sisäisteen (x, y) etäisyys sivusta on y, etäisyys sivusta on suunnikkaan inta-alan kaavan erusteella x y det 0 ( ) 3x y ja etäisyys sivusta vastaavasti x y det 0 3 ) 3x y + 3. ( 0 Tehtävän ehto on yhtäitävä sen kanssa, että ja edelleen sen kanssa, että ( )( ) 3x y + 3 3x y + 3 y 4 ( x + y + ) Tämä on sellaisen ymyrän yhtälö, jonka keskiiste on kolmion keskiisteen eilikuva sivun suhteen. Ymyrän kaarella ovat esim. isteet, ja kolmion keskiiste, joten itse asiassa ymyrä on kolmion ymäri iirretyn ymyrän eilikuva. Tehtävässä kysytyt isteet ovat tällaisten kolmen ymyrän ne isteet, jotka jäävät kolmion sisälle. 5

6 Tehtävä 6. Kolmion sisään iirretty ymyrä sivuaa kolmion sivuja, ja isteissä, E ja F, tässä järjestyksessä. Olkoon G se sisään iirretyn ymyrän iste, jolle F G on ymyrän halkaisija. Suorat EG ja F leikkaavat isteessä H. Todista, että H. [altian tie 0] Valitaan koordinaatisto niin, että sisään iirretty ymyrä on origokeskinen yksikköymyrä ja x-akseli on suoran suuntainen. Silloin F (0, ) ja G (0, ). Olkoon (cos δ, δ) ja E (cos ɛ, ɛ). Suoran yhtälö on (cos δ)x + ( δ)y ja suoran E yhtälö (cos ɛ)x + ( ɛ)y, joten isteen y-koordinaatti on y Suoran EG yhtälö on ja suoran F yhtälö cos δ cos ɛ cos δ ɛ cos ɛ δ Siten isteen H y-koordinaatti on H y δ+ɛ (δ ɛ) δ+ɛ cos det x y cos ɛ ɛ ( ɛ )x (cos ɛ)y + cos ɛ 0 0 det x y cos δ δ ( δ + )x (cos δ)y cos δ 0. 0 ( δ + ) cos ɛ + ( ɛ ) cos δ cos ɛ cos δ + (δ + ɛ) ( ɛ ) cos δ + cos ɛ( δ + ) cos ɛ + cos δ + (δ ɛ) δ+ɛ cos δ+ɛ + δ+ɛ δ+ɛ cos cos + cos δ+ɛ cos δ+ɛ ( + cos δ+ɛ ) cos δ+ɛ (cos + ) δ+ɛ cos Koska isteillä ja H on sama y-koordinaatti, suora H on x-akselin ja siten suoran suuntainen. Tehtävä 7. on tasakylkinen kolmio, jossa. Oletetaan, että. y.. M on sivun keskiiste ja O sellainen iste suoralla M, että O on kohtisuorassa sivua vastaan,. Q on mielivaltainen isteistä ja eroava iste janalla ja 3. E sijaitsee suoralla ja F suoralla niin, että E, Q ja F ovat saman suoran eri isteitä. Osoita, että OQ ja EF ovat kohtisuorassa, jos ja vain jos QE QF. [IMO 994] setetaan origo isteeseen Q ja x-akseli yhtymään suoraan. Olkoon, M a ja Q:n suunnattu etäisyys M:stä q. Silloin kolmion koordinaatit ovat ( q, a), ( q, 0) ja ( q, 0). Suoran yhtälö on y a(x + + q) ja suoran yhtälö y a(x +q). isteen O koordinaateiksi saadaan O ( q, /a) kulmakerrointen kohtisuoruusehdosta. Suoran OQ kulmakerroin on siten /qa. Olkoon suoran EF kulmakerroin k. Ratkaistaan isteen E x-koordinaatti: { y kx a( + q) x y a(x + + q) k a ja vastaavasti isteen F x-koordinaatti: { y kx y a(x + q) x a( q) k + a. E M O Q F Koska Q on origo ja suoralla EF, etäisyys EQ QF jos ja vain jos nämä x-koordinaatit ovat toistensa vastaluvut. Tämä ätee jos ja vain jos + q k a q k + a ( + q)(k + a) ( q)(k a) k qa. Koska suoran OQ kulmakerroin on /qa, tämä on yhtäitävää sen kanssa, että suorat OQ ja EF ovat kohtisuorassa. 6

7 Ymyrä. Ymyrä on niiden isteiden ura, jotka ovat säteen etäisyydellä keskiisteestä. Jos keskiiste on (a x, a y ) ja säde on r, ymyrällä on yhtälö (x a x ) + (y a y ) r. Ymyrätehtävissä on usein hyödyllistä valita origoksi ymyrän keskiiste ja säteeksi, jolloin yhtälö on kätevästi x + y. Trigonometriset funktiot määritellään yksikköymyrän avulla: jos vektori keskiisteestä kehän isteeseen on x-akselin suhteen kulmassa φ, kehän isteen koordinaatit ovat (cos φ, φ). Trigonometrian kaavoja on syytä osata ainakin seuraavat ovat hyödyllisiä: (x + y) x cos y + y cos x cos(x + y) cos x cos y x y x cos(x) cos x + cos(x) x + y x + y x y cos x + y cos x + cos y cos x + y cos x cos y x + y cos x y x y cos x y x y Origokeskistä yksikköymyrää isteessä (cos φ, φ) sivuavalla suoralla on näärä yhtälö cos φx + φy, koska tämä suora on kohtisuorassa isteeseen iirrettyä sädettä vastaan ja kulkee vaaditun isteen kautta. Tehtävä 8. Olkoot ja ymyrän kaksi halkaisijaa ja :n mielivaltainen iste. Olkoot R ja S isteestä :lle ja :lle iirrettyjen kohtisuorien kantaisteet. Osoita, että janan RS ituus ei riiu isteen valinnasta. [altian tie 0] Valitaan koordinaatisto siten, että ymyrä on origokeskinen yksikköymyrä ja iste (, 0). Olkoon (cos β, β) ja cos δ, δ). isteen rojektioiksi saadaan R (cos β, cos β β) ja S (cos δ, cos δ δ). rojektiot yhdistävä vektori on S R S (cos β cos δ, cos β β cos δ δ) (cos(β) cos(δ), (β) (δ)) ( (β δ) (β + δ), (β δ) cos(β + δ)) R ja sen ituuden neliö on siten RS (β δ)( (β + δ) + cos (β + δ)) (β δ). Tässä käytettiin useita edellä lueteltuja trigonometrisia identiteettejä. Koska RS riiuu vain halkaisijoiden suuntakulmien erotuksesta, sama tulos saadaan jos valitaan isteen sijasta jokin toinen iste ja käännetään koordinaatistoa siten, että osuu koordinaatteihin (, 0). eterminantin ominaisuuksia. Yleinen n n-determinantti... n... n det... n n... nn lasketaan käymällä läi kaikki lukujen,,..., n ermutaatiot π ja laskemalla tulot,π(),,π(),..., n,π(n) yhteen, toi sanottuna sijoittamalla ruudukkoon kaikin mahdolli tavoin n tornia siten etteivät ne uhkaa toisiaan ja kertomalla keskenään tornien eittämät luvut. Kukin yhteenlaskettava varustetaan ermutaation etumerkillä, jonka määritelmä jää tämän esityksen ulkouolelle. Todetaan kuitenkin, että äädiagonaalia vastaavan identtisen ermutaation etumerkki on ositiivinen, ja jokainen vaihto, jossa kaksi tornia ysyy samoissa sarakkeissa mutta siirtyy toistensa riveille, kääntää etumerkin. 7

8 Määritelmästä nähdään joitakin determinantin ominaisuuksia:. Jos determinantin jokin rivi muodostuu elkistä nollista, determinantin arvo on 0. (Jokainen summan termi on 0.). Jos determinantissa on kaksi samaa riviä, determinantin arvo on 0. (Käytetään mainittua etumerkkiä koskevaa tietoa.) 3. eterminantin voi laskea ienemien alideterminanttien avulla: esimerkiksi a b c ( ) ( ) ( ) det d e f e f d f d e a det b det + c det, h i g i g h g h i missä jokainen ensimmäisen rivin alkio kerrotaan alideterminantilla, joka saadaan oistamalla ensimmäinen rivi ja kyseisen alkion sarake. Huomaa etumerkkien vaihtelu. Ymyrä. Tarkastellaan taas ymyrän yhtälöä (x x ) + (y y ) r. Kolmen isteen, ja (jotka eivät ole samalla suoralla) kautta voidaan iirtää ymyrä, jonka yhtälö saadaan ienellä nokkeluudella esitettyä determinantin avulla: x + y x y det a x + a y a x a y b x + b y b x b y 0. c x + c y c x c y Kyseessä on ymyrän yhtälö, koska jakamalla determinantti x + y :n kertoimella se saadaan muotoon x + vakio x + y + vakio y vakio, missä vasemman uolen lauseke voidaan täydentää kahdeksi neliöksi. Ymyrä kulkee annettujen isteiden kautta, koska jos esimerkiksi (x, y) (a x, a y ), determinantissa on kaksi samaa riviä. Kerroin, jolla edellä jaettiin, on alideterminantti a x a y b x b y. c x c y Neliöksi täydennyksessä ymyrän keskiisteen koordinaateiksi tulee a det x + a y a y b x + b y b y, a x + a y a x b c x + c x + b y b x. y c y c x + c y c x Tehtävä 9. Olkoon neliö. Olkoon M sivun sisäiste ja N sivun sisäiste, joille MN 45. Todista, että kolmion M N ymäri iirretyn ymyrän keskiiste on suoralla. [altian tie 003] Valitaan koordinaatisto niin, että (0, 0), (0, ), (, ), (, 0) ja M (m, ). Suoran M kulmakerroin on /m, joten suoran N kulmakerroin on tangentin summakaavan mukaan ( /m)/( + /m) (m )/(m + ). Siten N (, (m )/(m + )). Kolmion M N ymäri iirretyn ymyrän keskiiste on 0 0 det m +, det + (m ) (m + ) (m+) m m+ 0 0 m + m + (m ) (m+) ( (m + )(m ) + (m + ) + (m ), ) (m + )(m + ) + m((m + ) + (m ) ) (m ) ( (m + ), (m + ) ), missä on alideterminantti, jolla ei ole väliä, sillä isteen nähdään olevan suoralla. M N 8

9 Tehtävä 0. Eri isteet,, ja sijaitsevat samalla suoralla tässä järjestyksessä. - ja -halkaisijaiset ymyrät leikkaavat X:ssä ja Y :ssä. Suorien XY ja leikkausiste on Z. on suoran XY iste, ei kuitenkaan Z. Suora leikkaa -halkaisijaisen ymyrän isteissä ja M, ja suora leikkaa -halkaisijaisen ymyrän isteissä ja N. Osoita, että suorat M, N ja XY leikkaavat samassa isteessä. [IMO 995] Olkoon Z (0, 0), X (0, ), (0, ), ymyrän keskiiste (a, 0) ja säde r, jolloin (a r, 0) ja (a + r, 0). Koska X on ymyrällä, a + r. Suorat M ja ovat kohtisuorassa, koska uoliymyrän sisältämä kehäkulma on suora. Suoran kulmakerroin on /(a + r), joten suoran M yhtälö on y a+r (x a + r), joten suorien M ja XY leikkausisteen M koordinaatit ovat (0, r a ) (0, /). Loutulos ei riiu muusta kuin isteen koordinaateista, joten tämä ätee jokaiselle tavalle iirtää ymyrä, kunhan sen keskiiste on x-akselilla ja se kulkee kiinnitettyjen isteiden X ja Y kautta. Ymyrä täyttää nämä ehdot. M Z M X Y 9

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi. Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j). (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11. (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla 3 Vektorin kertominen reaaliluvulla Summalla a + a + a tarkoitetaan lausekkeessa esiintyvän vektorin a kanssa samansuuntaista, mutta pituudeltaan tähän nähden kolminkertaista vektoria. Tätä summaa on tarkoituksenmukaista

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö. TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5..008 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. Ratkaise

Lisätiedot

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10 Helsingin ylioisto, Itä-Suomen ylioisto, Jyväskylän ylioisto, Oulun ylioisto, Tamereen ylioisto ja Turun ylioisto Matematiikan valintakokeen 3.6.0 ratkaisut. Oletetaan, että litralla (uhdasta) bensiiniä

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 3 MS-A7 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 925 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot