Analyyttistä geometriaa kilpailutehtävien kautta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Analyyttistä geometriaa kilpailutehtävien kautta"

Transkriptio

1 nalyyttistä geometriaa kilailutehtävien kautta Jouni Seänen Johdanto. Joskus kehäkulmalauseeseen kyllästyy ja haluaa ratkaista geometrian tehtävän algebrallisesti. Tässä monisteessa esitetään tarkoitukseen aukeinoja esimerkkien avulla. Tehtävä. on tasakylkinen kolmio, jossa ja on terävä. on sellainen iste, että suorat ja ovat kohtisuorassa. ei sijaitse suoralla. on sellainen iste, että on suunnikas. Suorat ja leikkaavat isteessä M. Osoita, että M on janan keskiiste. [ritish Mathematical Olymiad 998] setetaan x-akseli yhtymään suoraan ja y-akseli suoraan, jolloin origo on iste. Olkoon (, 0), (, a) ja (0, c). Koska on suunnikas, (, a) eli (, a + c). Olkoon M janan keskiiste ( + ) (0, a + c). Koska isteen M x-koordinaatti on 0, se on suorien ja leikkausiste M. Koordinaatisto. nalyyttisessä geometriassa isteillä on koordinaatit, ja ratkaisijalla on valta valita soiva koordinaatisto. Usein kannattaa yrkiä siihen, että tehtävässä esiintyvien isteiden koordinaateista monet ovat nollia. Koordinaatiston mittakaavan voimme valita vaaasti, ja yllä äätimme valita isteen x-koordinaatiksi, mikä kiinnitti isteen vastaavan koordinaatin, mutta muita annettuja suureita jouduimme merkitsemään kirjaimilla a ja c, koska ne voivat vaihdella isteen sijainnista riiumatta. Koordinaattiarin voi tulkita aitsi isteeksi myös vektoriksi origosta isteeseen. isteiden ja erotus on vektori isteestä isteeseen (merkitään joskus ), ja kun se lisätään isteeseen, äädytään suunnikkaan määritelmän nojalla isteeseen. isteiden ja uolivälissä oleva iste M voidaan laskea keskiarvona ( + ), missä merkinnässä vektorin kertominen luvulla tarkoittaa kummankin koordinaatin kertomista samalla luvulla. istetulo. Usein esiintyvä laskutoimitus on vektorien sisä- eli istetulo. Kun a ja b ovat vektoreita, sisätulo on luku (ei vektori!) a b ab cos(a, b), missä cos(a, b) tarkoittaa vektoreiden välisen kulman koia. Tässä ja jäljemänä merkitään vektoria lihavoidulla kirjaimella ja sen itutta vastaavalla kursiivikirjaimella: vektorin a ituus on a. istetulon laskeminen sujuu helosti koordinaattien avulla. Kirjoitetaan a (a x, a y ) a(cos φ, φ), missä φ on vektorin suuntakulma, ja vastaavasti ja b (b x, b y ) b(cos ψ, ψ). Silloin koin erotuskaavan mukaan a b ab cos(φ ψ) ab(cos φ cos ψ + φ ψ) a x b x + a y b y. Sisätulon avulla voidaan laskea rojektioita. Kun vektori a rojisoidaan vektorin b määräämälle suoralle, rojektion ituus on a cos(α), missä α on vektorien välinen kulma. Tämä on melkein sisätulo: a b/b. Jos ituuden lisäksi tarvitaan vektorin koordinaatit, kerrotaan ituudella vektorin b suuntainen yksikkövektori: [(/b)a b](/b)b (a b/b )b. α a b

2 Tehtävä. Olkoon suorakulmio, jossa. Olkoon E sivun keskiiste ja sivun mielivaltainen sisäiste. Olkoon F isteen rojektio suoralle ja G isteen rojektio suoralle. Todista, että isteet E, F, ja G ovat saman ymyrän kehällä. [altian tie 003] Valitaan tehtävässä koordinaatisto siten, että E (0, 0), (, 0), (, ), (, ) ja (, 0). Olkoon isteen x-koordinaatti. Jatkossa tarvitaan isteen etäisyyksiä isteisiin ja, joten lasketaan ne ythagoraan lauseella ja merkitään β ( + ) ja γ ( ) + +. rojisoidaan iste suoralle sisätulon avulla: Samoin F G β ( +, ) joten F ( + β, ). β γ (, ) joten G ( + γ, ). γ Tuloksille kannattaa tehdä merkkivirheiden varalta järkevyystestaus. Jos 0, saadaan F (, ) ja G (, ), eli jos on särmän keskellä, rojektioisteet osuvat suorakulmion uolikkaiden keskiisteisiin. Jos taas, saadaan G (, ). Kun kaikilla isteillä on koordinaatit, jäljellä on enää sen todistaminen, että EF G on jännenelikulmio. Tämä on yhtäitävää esimerkiksi sen kanssa, että kulmien GEF ja F G summa on 80. Kulmien laskeminen on taas harjoitus istetulon käytöstä: ennäkin Toiseksi ja vastaavasti joten cos F G cos. βγ EF EG (βγ) ( ( + + )( + ) + ) (βγ) ( 4 + ), EF β ( ( + + ) + ) β ( + )( + + ) β ( + ) EG γ ( ( + ) + ) γ ( + )( + ) γ ( + ), cos GEF (βγ) ( + ) (βγ) / ( + ) βγ cos F G. Molemmat kulmat ovat välillä (0, 80 ), joten niiden summa on välttämättä 80, mistä väite seuraa. F E G eterminantti. Sisätulon lisäksi toinen hyödyllinen tulo on -determinantti ( ) ax a det(a, b) det y a b x b x b y b x a y. () y eterminantti on ns. ristitulon kaksiulotteinen vastine. Kuten istetulolla, sillä on yhteys vektorien väliseen kulmaan: det(a, b) a x b y b x a y ab(cos φ ψ φ cos ψ) ab (ψ φ), missä jälleen a a(cos φ, φ) ja b b(cos ψ, ψ). Siis determinantti () on vektorien ituuksien ja niiden välisen suunnatun kulman in tulo. eterminantin itseisarvo on siis vektorien virittämän suunnikkaan intaala. Etumerkki määräytyy siitä, kummassa järjestyksessä vektorit luetellaan. Usein on tareen laskea kolmion inta-ala, kun tunnetaan sen kärkiisteet. Tähän voidaan käyttää edellistä determinanttikaavaa: ±ala det(, ). Vielä näärämi on käyttää kolmen vektorin determinanttia: ±ala a x a y det b x b y. c x c y

3 Yleisen 3 3-determinantin voi laskea kaavasta a b c det d e f aei + bfg + cdh afh bdi ceg, g h i johon sijoittamalla inta-alakaavan voi tarkistaa. Yhteensattumasta ei tietenkään ole kyse: 3 3-determinantin itseisarvo kertoo kolmen avaruusvektorin virittämän suuntaissärmiön tilavuuden, ja kun vektorien ääteisteet sijaitsevat tasolla z, tilavuus on kantasuunnikkaan inta-alan ja korkeuden tulo. Tehtävä 3. Olkoon O-keskisen ymyrän halkaisija. Valitaan ymyrän kehältä iste siten, että O ja ovat kohtisuorassa toisaan vastaan. Olkoon mielivaltainen (lyhemmän) kaaren iste ja leikatkoot suorat ja isteessä Q. Valitaan R suoralta niin, että RQ ja ovat kohtisuorassa toisaan vastaan. Osoita, että Q QR. [M 995] Ymyrät tuottavat analyyttisissä ratkaisuissa helosti ongelmia. Usein on arasta tehdä ymyrästä origokeskinen yksikköymyrä. Olkoon O (0, 0), (, 0), (, 0) ja (0, ), jolloin sijaitsee koordinaatiston ensimmäisessä neljänneksessä; kirjoitetaan (, ), missä. isteen Q y-koordinaatti on tietysti 0 ja x-koordinaatin määräämiseksi voidaan käyttää kolmion alan kaavaa: koska, ja Q ovat samalla suoralla, niiden määräämän kolmion inta-ala on 0. Merkitään Q (q, 0) ja ratkaistaan q yhtälöstä det 0 0. q 0 Saadaan q /( ). Samoin ratkaistaan iste R (q, r): 0 det 0 ( + )r + r. On todistettava, että q r, mikä käy mekaanisesti: ja r ( + /( )) + q + ( + ) ( )( + ) + + ( + )( + ). Tehtävä 4. Kueran nelikulmion lävistäjät ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Janojen ja keskinormaalien leikkausiste sijaitsee :n sisällä. Todista, että :n ymäri voidaan iirtää ymyrä, jos ja vain jos kolmioiden ja inta-alat ovat samat. [IMO 998] setetaan ( a, 0), (0, b), (c, 0) ja (0, d), missä luvut a, b, c ja d ovat ei-negatiivisia. isteen otenssia koskevan lauseen mukaan nelikulmion ymäri voidaan iirtää ymyrä, jos ja vain jos ac bd. Janan keskinormaalin yhtälö on y +b (a/b)(x+a) ja janan keskinormaalin yhtälö y d (c/d)(x c). Niiden leikkausiste (, q) ratkeaa näistä yhtälöistä: Kolmion inta-ala on ja kolmion inta-ala q + b a ( + a) b q d c ( c) d b(d c ) + d(b a ) ad bc q a(d c ) + c(b a ). ad bc a 0 det 0 b ab + aq + b q c 0 det 0 d cd cq d. q O R Q 3

4 Nämä ovat yhtäsuuret, jos ja vain jos Ennäkin ja toiseksi q(a + c) + (b + d) (cd ab). () q(a + c) a d a c + acd ac 3 + ab c a 3 c + b c a c ad bc (b + d) b d b c + bd 3 bc d + b 3 d a bd + b d a d. ad bc Kun yhtälö () kerrotaan uolittain nimittäjällä ad bc, saadaan vasemmalle uolelle [q(a + c) + (b + d)](ad bc) a c + acd ac 3 + ab c a 3 c + b d + bd 3 bc d + b 3 d a bd ja oikealle uolelle uolten erotus on (cd ab)(ad bc) (acd bc d a bd + ab c). a c + acd ac 3 + ab c a 3 c + b d + bd 3 bc d + b 3 d a bd (acd bc d a bd + ab c) a c ac 3 a 3 c + b d + bd 3 + b 3 d acd + bc d + a bd ab c (bd ac)(a + b + c + d + bd + ac). Koska kaikki tulon jälkimmäisen tekijän termit ovat ei-negatiivisia ja useat suuremia kuin nolla (muuten nelikulmio olisi surkastunut), yhtälö () on yhtäitävä sen kanssa, että bd ac. Suora. isteiden ja kautta kulkevan suoran yhtälön voimme äätellä samoin kuin tehtävän 4 ratkaisussa: koska suoralla olevien isteiden määräämän kolmion ala on 0, yhtälö on det x y a x a y 0. (3) b x b y Yhdensuuntaisella suoralla isteen kautta on yhtälö x c x y c y 0 det a x a y 0, b x b y mikä nähdään esimerkiksi siitä, että x:n ja y:n kertoimet ovat samat kuin yhtälössä (3) mutta vakiotermi on muuttunut, ja jos (x, y) (c x, c y ), determinantin arvoksi tulee 0. Näitä suoria vastaan kohtisuoralla suoralla isteen kautta on yhtälö det c y y x c x 0 a x a y 0. (4) b x b y Tämä seuraa suorien kohtisuoruusehdosta, joka esitetään jäljemänä. Yleinen suoran yhtälö on muotoa x + Qy + R 0, (5) missä ei voi olla Q 0. Jos suoralla olevan isteen x-koordinaattiin lisätään Q, y-koordinaatista on vähennettävä, jotta äädytään taas suoralle. Siis vektori (Q, ) on suoran suuntainen. (Jos Q 0, suora on y-akselin suuntainen, kuten on myös vektori (0, ).) Koska (, Q) (Q, ) 0, vektori (, Q) on suoraa vastaan kohtisuorassa ja kutsumme sitä suoran normaalivektoriksi. Yksi taa selvittää suorien välisiä kulmia on laskea näiden normaalivektorien välisiä kulmia istetulolla. Erityisesti suorat ovat kohtisuorassa, jos ja vain jos normaalivektorit ovat kohtisuorassa: jos suorien yhtälöt ovat x + Q y + R 0 ja x + Q y + R 0, suorat ovat kohtisuorassa jos ja vain jos + Q Q 0. Tästä seuraa yhtälö (4). 4

5 Jos yhtälössä (5) Q 0, yhtälö voidaan saattaa muotoon y kx + c, missä k /Q on suoran kulmakerroin. Kulmakerroin kertoo, montako yksikköä suora nousee ylösäin, kun kuljetaan yhden yksikön verran oikealle. Se on siis suoran x-akselista mitatun suuntakulman tangentti. Jos kahdella suoralla on kulmakertoimet k ja k, niiden välisen kulman tangentti on tangentin erotuskaavan mukaan k k + k k. Kaava ei tietenkään äde, jos k k, jolloin suorat ovat kohtisuorassa. Jos iste (x, y) ei ole suoralla (5), luku x + Qy + R on sitä suuremi, mitä kauemana iste on suorasta. Yhtälön (3) vasemman uolen determinantti voidaan tulkita sellaisen suunnikkaan (etumerkilliseksi) intaalaksi, jonka kanta on jana ja korkeus on isteen kohtisuora etäisyys suorasta. Kannan ituuden neliö on (a x b x ) + (a y b y ) Q +, joten etäisyydelle saadaan kaava Jos kahdella suoralla on yhtälöt x + Qy + R + Q. x + Qy, Sx + T y, suorien leikkausiste on ( (x, y) ( ) ( ) ) ( ) Q Q det, det, det. T S S T Kaavan voi todeta oikeaksi sijoittamalla: (T Q) + Q( S) ( T QS), S(T Q) + T ( S) ( T QS). Tämä on erikoistaaus ns. ramerin säännöstä. Jos determinantti on nolla, suorat ovat yhdensuuntaiset, jolloin yhtälöarilla ei ole yhtään ratkaisua tai on äärettömän monta ratkaisua (taauksessa, jossa yhtälöt kuvaavat samaa suoraa). Tehtävä 5. Määritä tasasivuisen kolmion kaikki sellaiset sisäisteet, joiden etäisyys yhdestä kolmion sivusta on niiden kolmion kahdesta muusta sivusta mitattujen etäisyyksien geometrinen keskiarvo. [M 04] Olkoot kolmion kärkiisteet (, 0), (, 0) ja (0, 3). Sisäisteen (x, y) etäisyys sivusta on y, etäisyys sivusta on suunnikkaan inta-alan kaavan erusteella x y det 0 ( ) 3x y ja etäisyys sivusta vastaavasti x y det 0 3 ) 3x y + 3. ( 0 Tehtävän ehto on yhtäitävä sen kanssa, että ja edelleen sen kanssa, että ( )( ) 3x y + 3 3x y + 3 y 4 ( x + y + ) Tämä on sellaisen ymyrän yhtälö, jonka keskiiste on kolmion keskiisteen eilikuva sivun suhteen. Ymyrän kaarella ovat esim. isteet, ja kolmion keskiiste, joten itse asiassa ymyrä on kolmion ymäri iirretyn ymyrän eilikuva. Tehtävässä kysytyt isteet ovat tällaisten kolmen ymyrän ne isteet, jotka jäävät kolmion sisälle. 5

6 Tehtävä 6. Kolmion sisään iirretty ymyrä sivuaa kolmion sivuja, ja isteissä, E ja F, tässä järjestyksessä. Olkoon G se sisään iirretyn ymyrän iste, jolle F G on ymyrän halkaisija. Suorat EG ja F leikkaavat isteessä H. Todista, että H. [altian tie 0] Valitaan koordinaatisto niin, että sisään iirretty ymyrä on origokeskinen yksikköymyrä ja x-akseli on suoran suuntainen. Silloin F (0, ) ja G (0, ). Olkoon (cos δ, δ) ja E (cos ɛ, ɛ). Suoran yhtälö on (cos δ)x + ( δ)y ja suoran E yhtälö (cos ɛ)x + ( ɛ)y, joten isteen y-koordinaatti on y Suoran EG yhtälö on ja suoran F yhtälö cos δ cos ɛ cos δ ɛ cos ɛ δ Siten isteen H y-koordinaatti on H y δ+ɛ (δ ɛ) δ+ɛ cos det x y cos ɛ ɛ ( ɛ )x (cos ɛ)y + cos ɛ 0 0 det x y cos δ δ ( δ + )x (cos δ)y cos δ 0. 0 ( δ + ) cos ɛ + ( ɛ ) cos δ cos ɛ cos δ + (δ + ɛ) ( ɛ ) cos δ + cos ɛ( δ + ) cos ɛ + cos δ + (δ ɛ) δ+ɛ cos δ+ɛ + δ+ɛ δ+ɛ cos cos + cos δ+ɛ cos δ+ɛ ( + cos δ+ɛ ) cos δ+ɛ (cos + ) δ+ɛ cos Koska isteillä ja H on sama y-koordinaatti, suora H on x-akselin ja siten suoran suuntainen. Tehtävä 7. on tasakylkinen kolmio, jossa. Oletetaan, että. y.. M on sivun keskiiste ja O sellainen iste suoralla M, että O on kohtisuorassa sivua vastaan,. Q on mielivaltainen isteistä ja eroava iste janalla ja 3. E sijaitsee suoralla ja F suoralla niin, että E, Q ja F ovat saman suoran eri isteitä. Osoita, että OQ ja EF ovat kohtisuorassa, jos ja vain jos QE QF. [IMO 994] setetaan origo isteeseen Q ja x-akseli yhtymään suoraan. Olkoon, M a ja Q:n suunnattu etäisyys M:stä q. Silloin kolmion koordinaatit ovat ( q, a), ( q, 0) ja ( q, 0). Suoran yhtälö on y a(x + + q) ja suoran yhtälö y a(x +q). isteen O koordinaateiksi saadaan O ( q, /a) kulmakerrointen kohtisuoruusehdosta. Suoran OQ kulmakerroin on siten /qa. Olkoon suoran EF kulmakerroin k. Ratkaistaan isteen E x-koordinaatti: { y kx a( + q) x y a(x + + q) k a ja vastaavasti isteen F x-koordinaatti: { y kx y a(x + q) x a( q) k + a. E M O Q F Koska Q on origo ja suoralla EF, etäisyys EQ QF jos ja vain jos nämä x-koordinaatit ovat toistensa vastaluvut. Tämä ätee jos ja vain jos + q k a q k + a ( + q)(k + a) ( q)(k a) k qa. Koska suoran OQ kulmakerroin on /qa, tämä on yhtäitävää sen kanssa, että suorat OQ ja EF ovat kohtisuorassa. 6

7 Ymyrä. Ymyrä on niiden isteiden ura, jotka ovat säteen etäisyydellä keskiisteestä. Jos keskiiste on (a x, a y ) ja säde on r, ymyrällä on yhtälö (x a x ) + (y a y ) r. Ymyrätehtävissä on usein hyödyllistä valita origoksi ymyrän keskiiste ja säteeksi, jolloin yhtälö on kätevästi x + y. Trigonometriset funktiot määritellään yksikköymyrän avulla: jos vektori keskiisteestä kehän isteeseen on x-akselin suhteen kulmassa φ, kehän isteen koordinaatit ovat (cos φ, φ). Trigonometrian kaavoja on syytä osata ainakin seuraavat ovat hyödyllisiä: (x + y) x cos y + y cos x cos(x + y) cos x cos y x y x cos(x) cos x + cos(x) x + y x + y x y cos x + y cos x + cos y cos x + y cos x cos y x + y cos x y x y cos x y x y Origokeskistä yksikköymyrää isteessä (cos φ, φ) sivuavalla suoralla on näärä yhtälö cos φx + φy, koska tämä suora on kohtisuorassa isteeseen iirrettyä sädettä vastaan ja kulkee vaaditun isteen kautta. Tehtävä 8. Olkoot ja ymyrän kaksi halkaisijaa ja :n mielivaltainen iste. Olkoot R ja S isteestä :lle ja :lle iirrettyjen kohtisuorien kantaisteet. Osoita, että janan RS ituus ei riiu isteen valinnasta. [altian tie 0] Valitaan koordinaatisto siten, että ymyrä on origokeskinen yksikköymyrä ja iste (, 0). Olkoon (cos β, β) ja cos δ, δ). isteen rojektioiksi saadaan R (cos β, cos β β) ja S (cos δ, cos δ δ). rojektiot yhdistävä vektori on S R S (cos β cos δ, cos β β cos δ δ) (cos(β) cos(δ), (β) (δ)) ( (β δ) (β + δ), (β δ) cos(β + δ)) R ja sen ituuden neliö on siten RS (β δ)( (β + δ) + cos (β + δ)) (β δ). Tässä käytettiin useita edellä lueteltuja trigonometrisia identiteettejä. Koska RS riiuu vain halkaisijoiden suuntakulmien erotuksesta, sama tulos saadaan jos valitaan isteen sijasta jokin toinen iste ja käännetään koordinaatistoa siten, että osuu koordinaatteihin (, 0). eterminantin ominaisuuksia. Yleinen n n-determinantti... n... n det... n n... nn lasketaan käymällä läi kaikki lukujen,,..., n ermutaatiot π ja laskemalla tulot,π(),,π(),..., n,π(n) yhteen, toi sanottuna sijoittamalla ruudukkoon kaikin mahdolli tavoin n tornia siten etteivät ne uhkaa toisiaan ja kertomalla keskenään tornien eittämät luvut. Kukin yhteenlaskettava varustetaan ermutaation etumerkillä, jonka määritelmä jää tämän esityksen ulkouolelle. Todetaan kuitenkin, että äädiagonaalia vastaavan identtisen ermutaation etumerkki on ositiivinen, ja jokainen vaihto, jossa kaksi tornia ysyy samoissa sarakkeissa mutta siirtyy toistensa riveille, kääntää etumerkin. 7

8 Määritelmästä nähdään joitakin determinantin ominaisuuksia:. Jos determinantin jokin rivi muodostuu elkistä nollista, determinantin arvo on 0. (Jokainen summan termi on 0.). Jos determinantissa on kaksi samaa riviä, determinantin arvo on 0. (Käytetään mainittua etumerkkiä koskevaa tietoa.) 3. eterminantin voi laskea ienemien alideterminanttien avulla: esimerkiksi a b c ( ) ( ) ( ) det d e f e f d f d e a det b det + c det, h i g i g h g h i missä jokainen ensimmäisen rivin alkio kerrotaan alideterminantilla, joka saadaan oistamalla ensimmäinen rivi ja kyseisen alkion sarake. Huomaa etumerkkien vaihtelu. Ymyrä. Tarkastellaan taas ymyrän yhtälöä (x x ) + (y y ) r. Kolmen isteen, ja (jotka eivät ole samalla suoralla) kautta voidaan iirtää ymyrä, jonka yhtälö saadaan ienellä nokkeluudella esitettyä determinantin avulla: x + y x y det a x + a y a x a y b x + b y b x b y 0. c x + c y c x c y Kyseessä on ymyrän yhtälö, koska jakamalla determinantti x + y :n kertoimella se saadaan muotoon x + vakio x + y + vakio y vakio, missä vasemman uolen lauseke voidaan täydentää kahdeksi neliöksi. Ymyrä kulkee annettujen isteiden kautta, koska jos esimerkiksi (x, y) (a x, a y ), determinantissa on kaksi samaa riviä. Kerroin, jolla edellä jaettiin, on alideterminantti a x a y b x b y. c x c y Neliöksi täydennyksessä ymyrän keskiisteen koordinaateiksi tulee a det x + a y a y b x + b y b y, a x + a y a x b c x + c x + b y b x. y c y c x + c y c x Tehtävä 9. Olkoon neliö. Olkoon M sivun sisäiste ja N sivun sisäiste, joille MN 45. Todista, että kolmion M N ymäri iirretyn ymyrän keskiiste on suoralla. [altian tie 003] Valitaan koordinaatisto niin, että (0, 0), (0, ), (, ), (, 0) ja M (m, ). Suoran M kulmakerroin on /m, joten suoran N kulmakerroin on tangentin summakaavan mukaan ( /m)/( + /m) (m )/(m + ). Siten N (, (m )/(m + )). Kolmion M N ymäri iirretyn ymyrän keskiiste on 0 0 det m +, det + (m ) (m + ) (m+) m m+ 0 0 m + m + (m ) (m+) ( (m + )(m ) + (m + ) + (m ), ) (m + )(m + ) + m((m + ) + (m ) ) (m ) ( (m + ), (m + ) ), missä on alideterminantti, jolla ei ole väliä, sillä isteen nähdään olevan suoralla. M N 8

9 Tehtävä 0. Eri isteet,, ja sijaitsevat samalla suoralla tässä järjestyksessä. - ja -halkaisijaiset ymyrät leikkaavat X:ssä ja Y :ssä. Suorien XY ja leikkausiste on Z. on suoran XY iste, ei kuitenkaan Z. Suora leikkaa -halkaisijaisen ymyrän isteissä ja M, ja suora leikkaa -halkaisijaisen ymyrän isteissä ja N. Osoita, että suorat M, N ja XY leikkaavat samassa isteessä. [IMO 995] Olkoon Z (0, 0), X (0, ), (0, ), ymyrän keskiiste (a, 0) ja säde r, jolloin (a r, 0) ja (a + r, 0). Koska X on ymyrällä, a + r. Suorat M ja ovat kohtisuorassa, koska uoliymyrän sisältämä kehäkulma on suora. Suoran kulmakerroin on /(a + r), joten suoran M yhtälö on y a+r (x a + r), joten suorien M ja XY leikkausisteen M koordinaatit ovat (0, r a ) (0, /). Loutulos ei riiu muusta kuin isteen koordinaateista, joten tämä ätee jokaiselle tavalle iirtää ymyrä, kunhan sen keskiiste on x-akselilla ja se kulkee kiinnitettyjen isteiden X ja Y kautta. Ymyrä täyttää nämä ehdot. M Z M X Y 9

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5..008 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. Ratkaise

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10 Helsingin ylioisto, Itä-Suomen ylioisto, Jyväskylän ylioisto, Oulun ylioisto, Tamereen ylioisto ja Turun ylioisto Matematiikan valintakokeen 3.6.0 ratkaisut. Oletetaan, että litralla (uhdasta) bensiiniä

Lisätiedot

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12 Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Avaruusgeometrian kysymyksiä

Avaruusgeometrian kysymyksiä Avaruusgeometrian kysymyksiä Tässä esitettävät tehtävät ja lauseet kattavat asioita, jotka saattavat tulla vastaan mahdollisissa kolmiulotteisen geometrian kilpailukysymyksissä. Lukemista helpottaa, jos

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriset funktiot voidaan määritellä eri tavoin Yksikköympyrään x + y 1 perustuva määritelmä on yleensä selkeä Jos A 1, 0) ja t 0 on reaaliluku, on olemassa

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,

Lisätiedot

Baltian Tie 2005 ratkaisuja

Baltian Tie 2005 ratkaisuja Baltian Tie 2005 ratkaisuja. Osoitetaan, että jonossa on aina kaksi samaa lukua. Olkoon k pienin positiivinen kokonaisluku, jolle on voimassa (k +) 9 2005 < 0 k. (Tällainen luku on olemassa, koska epäyhtälön

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2]. 7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

ALGEBRA I. Antti Majaniemi. 1 1 A x2 y2 1. x x y y. x x y y ISBN 978-952-93-5799-4

ALGEBRA I. Antti Majaniemi. 1 1 A x2 y2 1. x x y y. x x y y ISBN 978-952-93-5799-4 ALGEBRA I Antti Majaniemi x y A x y x y x x y y x x y y 05 ISBN 978-95-9-5799-4 Tämä teos on lisensoitu Creative Commons Nimeä-EiKaupallinen 40 Kansainvälinen -lisenssillä Tarkastele lisenssiä osoitteessa

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 %% % 1.11.!#"$ 2011 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 2. Oheinen kuvio muodostuu yhdeksästä neliöstä, joista jokaisen

Lisätiedot

lim Jännitystila Jännitysvektorin määrittely (1)

lim Jännitystila Jännitysvektorin määrittely (1) Jännitstila Tarkastellaan kuvan ukaista ielivaltaista koliulotteista kaaletta, jota kuoritetaan ja tuetaan siten, että se on tasaainossa. Kaaleen kuoritus uodostuu sen intaan kohdistuvista voiajakautuista,

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö 2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 (lukion 1. vuosikurssi) Ratkaisut

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 (lukion 1. vuosikurssi) Ratkaisut Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 3 pistettä 1. Sannalla oli neliön muotoisia paperiarkkeja, joille hän piirsi kuvioita. Kuinka monella näistä kuvioista on yhtä suuri piiri kuin paperiarkilla? (A) 2 (B)

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot