Analyyttistä geometriaa kilpailutehtävien kautta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Analyyttistä geometriaa kilpailutehtävien kautta"

Transkriptio

1 nalyyttistä geometriaa kilailutehtävien kautta Jouni Seänen Johdanto. Joskus kehäkulmalauseeseen kyllästyy ja haluaa ratkaista geometrian tehtävän algebrallisesti. Tässä monisteessa esitetään tarkoitukseen aukeinoja esimerkkien avulla. Tehtävä. on tasakylkinen kolmio, jossa ja on terävä. on sellainen iste, että suorat ja ovat kohtisuorassa. ei sijaitse suoralla. on sellainen iste, että on suunnikas. Suorat ja leikkaavat isteessä M. Osoita, että M on janan keskiiste. [ritish Mathematical Olymiad 998] setetaan x-akseli yhtymään suoraan ja y-akseli suoraan, jolloin origo on iste. Olkoon (, 0), (, a) ja (0, c). Koska on suunnikas, (, a) eli (, a + c). Olkoon M janan keskiiste ( + ) (0, a + c). Koska isteen M x-koordinaatti on 0, se on suorien ja leikkausiste M. Koordinaatisto. nalyyttisessä geometriassa isteillä on koordinaatit, ja ratkaisijalla on valta valita soiva koordinaatisto. Usein kannattaa yrkiä siihen, että tehtävässä esiintyvien isteiden koordinaateista monet ovat nollia. Koordinaatiston mittakaavan voimme valita vaaasti, ja yllä äätimme valita isteen x-koordinaatiksi, mikä kiinnitti isteen vastaavan koordinaatin, mutta muita annettuja suureita jouduimme merkitsemään kirjaimilla a ja c, koska ne voivat vaihdella isteen sijainnista riiumatta. Koordinaattiarin voi tulkita aitsi isteeksi myös vektoriksi origosta isteeseen. isteiden ja erotus on vektori isteestä isteeseen (merkitään joskus ), ja kun se lisätään isteeseen, äädytään suunnikkaan määritelmän nojalla isteeseen. isteiden ja uolivälissä oleva iste M voidaan laskea keskiarvona ( + ), missä merkinnässä vektorin kertominen luvulla tarkoittaa kummankin koordinaatin kertomista samalla luvulla. istetulo. Usein esiintyvä laskutoimitus on vektorien sisä- eli istetulo. Kun a ja b ovat vektoreita, sisätulo on luku (ei vektori!) a b ab cos(a, b), missä cos(a, b) tarkoittaa vektoreiden välisen kulman koia. Tässä ja jäljemänä merkitään vektoria lihavoidulla kirjaimella ja sen itutta vastaavalla kursiivikirjaimella: vektorin a ituus on a. istetulon laskeminen sujuu helosti koordinaattien avulla. Kirjoitetaan a (a x, a y ) a(cos φ, φ), missä φ on vektorin suuntakulma, ja vastaavasti ja b (b x, b y ) b(cos ψ, ψ). Silloin koin erotuskaavan mukaan a b ab cos(φ ψ) ab(cos φ cos ψ + φ ψ) a x b x + a y b y. Sisätulon avulla voidaan laskea rojektioita. Kun vektori a rojisoidaan vektorin b määräämälle suoralle, rojektion ituus on a cos(α), missä α on vektorien välinen kulma. Tämä on melkein sisätulo: a b/b. Jos ituuden lisäksi tarvitaan vektorin koordinaatit, kerrotaan ituudella vektorin b suuntainen yksikkövektori: [(/b)a b](/b)b (a b/b )b. α a b

2 Tehtävä. Olkoon suorakulmio, jossa. Olkoon E sivun keskiiste ja sivun mielivaltainen sisäiste. Olkoon F isteen rojektio suoralle ja G isteen rojektio suoralle. Todista, että isteet E, F, ja G ovat saman ymyrän kehällä. [altian tie 003] Valitaan tehtävässä koordinaatisto siten, että E (0, 0), (, 0), (, ), (, ) ja (, 0). Olkoon isteen x-koordinaatti. Jatkossa tarvitaan isteen etäisyyksiä isteisiin ja, joten lasketaan ne ythagoraan lauseella ja merkitään β ( + ) ja γ ( ) + +. rojisoidaan iste suoralle sisätulon avulla: Samoin F G β ( +, ) joten F ( + β, ). β γ (, ) joten G ( + γ, ). γ Tuloksille kannattaa tehdä merkkivirheiden varalta järkevyystestaus. Jos 0, saadaan F (, ) ja G (, ), eli jos on särmän keskellä, rojektioisteet osuvat suorakulmion uolikkaiden keskiisteisiin. Jos taas, saadaan G (, ). Kun kaikilla isteillä on koordinaatit, jäljellä on enää sen todistaminen, että EF G on jännenelikulmio. Tämä on yhtäitävää esimerkiksi sen kanssa, että kulmien GEF ja F G summa on 80. Kulmien laskeminen on taas harjoitus istetulon käytöstä: ennäkin Toiseksi ja vastaavasti joten cos F G cos. βγ EF EG (βγ) ( ( + + )( + ) + ) (βγ) ( 4 + ), EF β ( ( + + ) + ) β ( + )( + + ) β ( + ) EG γ ( ( + ) + ) γ ( + )( + ) γ ( + ), cos GEF (βγ) ( + ) (βγ) / ( + ) βγ cos F G. Molemmat kulmat ovat välillä (0, 80 ), joten niiden summa on välttämättä 80, mistä väite seuraa. F E G eterminantti. Sisätulon lisäksi toinen hyödyllinen tulo on -determinantti ( ) ax a det(a, b) det y a b x b x b y b x a y. () y eterminantti on ns. ristitulon kaksiulotteinen vastine. Kuten istetulolla, sillä on yhteys vektorien väliseen kulmaan: det(a, b) a x b y b x a y ab(cos φ ψ φ cos ψ) ab (ψ φ), missä jälleen a a(cos φ, φ) ja b b(cos ψ, ψ). Siis determinantti () on vektorien ituuksien ja niiden välisen suunnatun kulman in tulo. eterminantin itseisarvo on siis vektorien virittämän suunnikkaan intaala. Etumerkki määräytyy siitä, kummassa järjestyksessä vektorit luetellaan. Usein on tareen laskea kolmion inta-ala, kun tunnetaan sen kärkiisteet. Tähän voidaan käyttää edellistä determinanttikaavaa: ±ala det(, ). Vielä näärämi on käyttää kolmen vektorin determinanttia: ±ala a x a y det b x b y. c x c y

3 Yleisen 3 3-determinantin voi laskea kaavasta a b c det d e f aei + bfg + cdh afh bdi ceg, g h i johon sijoittamalla inta-alakaavan voi tarkistaa. Yhteensattumasta ei tietenkään ole kyse: 3 3-determinantin itseisarvo kertoo kolmen avaruusvektorin virittämän suuntaissärmiön tilavuuden, ja kun vektorien ääteisteet sijaitsevat tasolla z, tilavuus on kantasuunnikkaan inta-alan ja korkeuden tulo. Tehtävä 3. Olkoon O-keskisen ymyrän halkaisija. Valitaan ymyrän kehältä iste siten, että O ja ovat kohtisuorassa toisaan vastaan. Olkoon mielivaltainen (lyhemmän) kaaren iste ja leikatkoot suorat ja isteessä Q. Valitaan R suoralta niin, että RQ ja ovat kohtisuorassa toisaan vastaan. Osoita, että Q QR. [M 995] Ymyrät tuottavat analyyttisissä ratkaisuissa helosti ongelmia. Usein on arasta tehdä ymyrästä origokeskinen yksikköymyrä. Olkoon O (0, 0), (, 0), (, 0) ja (0, ), jolloin sijaitsee koordinaatiston ensimmäisessä neljänneksessä; kirjoitetaan (, ), missä. isteen Q y-koordinaatti on tietysti 0 ja x-koordinaatin määräämiseksi voidaan käyttää kolmion alan kaavaa: koska, ja Q ovat samalla suoralla, niiden määräämän kolmion inta-ala on 0. Merkitään Q (q, 0) ja ratkaistaan q yhtälöstä det 0 0. q 0 Saadaan q /( ). Samoin ratkaistaan iste R (q, r): 0 det 0 ( + )r + r. On todistettava, että q r, mikä käy mekaanisesti: ja r ( + /( )) + q + ( + ) ( )( + ) + + ( + )( + ). Tehtävä 4. Kueran nelikulmion lävistäjät ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Janojen ja keskinormaalien leikkausiste sijaitsee :n sisällä. Todista, että :n ymäri voidaan iirtää ymyrä, jos ja vain jos kolmioiden ja inta-alat ovat samat. [IMO 998] setetaan ( a, 0), (0, b), (c, 0) ja (0, d), missä luvut a, b, c ja d ovat ei-negatiivisia. isteen otenssia koskevan lauseen mukaan nelikulmion ymäri voidaan iirtää ymyrä, jos ja vain jos ac bd. Janan keskinormaalin yhtälö on y +b (a/b)(x+a) ja janan keskinormaalin yhtälö y d (c/d)(x c). Niiden leikkausiste (, q) ratkeaa näistä yhtälöistä: Kolmion inta-ala on ja kolmion inta-ala q + b a ( + a) b q d c ( c) d b(d c ) + d(b a ) ad bc q a(d c ) + c(b a ). ad bc a 0 det 0 b ab + aq + b q c 0 det 0 d cd cq d. q O R Q 3

4 Nämä ovat yhtäsuuret, jos ja vain jos Ennäkin ja toiseksi q(a + c) + (b + d) (cd ab). () q(a + c) a d a c + acd ac 3 + ab c a 3 c + b c a c ad bc (b + d) b d b c + bd 3 bc d + b 3 d a bd + b d a d. ad bc Kun yhtälö () kerrotaan uolittain nimittäjällä ad bc, saadaan vasemmalle uolelle [q(a + c) + (b + d)](ad bc) a c + acd ac 3 + ab c a 3 c + b d + bd 3 bc d + b 3 d a bd ja oikealle uolelle uolten erotus on (cd ab)(ad bc) (acd bc d a bd + ab c). a c + acd ac 3 + ab c a 3 c + b d + bd 3 bc d + b 3 d a bd (acd bc d a bd + ab c) a c ac 3 a 3 c + b d + bd 3 + b 3 d acd + bc d + a bd ab c (bd ac)(a + b + c + d + bd + ac). Koska kaikki tulon jälkimmäisen tekijän termit ovat ei-negatiivisia ja useat suuremia kuin nolla (muuten nelikulmio olisi surkastunut), yhtälö () on yhtäitävä sen kanssa, että bd ac. Suora. isteiden ja kautta kulkevan suoran yhtälön voimme äätellä samoin kuin tehtävän 4 ratkaisussa: koska suoralla olevien isteiden määräämän kolmion ala on 0, yhtälö on det x y a x a y 0. (3) b x b y Yhdensuuntaisella suoralla isteen kautta on yhtälö x c x y c y 0 det a x a y 0, b x b y mikä nähdään esimerkiksi siitä, että x:n ja y:n kertoimet ovat samat kuin yhtälössä (3) mutta vakiotermi on muuttunut, ja jos (x, y) (c x, c y ), determinantin arvoksi tulee 0. Näitä suoria vastaan kohtisuoralla suoralla isteen kautta on yhtälö det c y y x c x 0 a x a y 0. (4) b x b y Tämä seuraa suorien kohtisuoruusehdosta, joka esitetään jäljemänä. Yleinen suoran yhtälö on muotoa x + Qy + R 0, (5) missä ei voi olla Q 0. Jos suoralla olevan isteen x-koordinaattiin lisätään Q, y-koordinaatista on vähennettävä, jotta äädytään taas suoralle. Siis vektori (Q, ) on suoran suuntainen. (Jos Q 0, suora on y-akselin suuntainen, kuten on myös vektori (0, ).) Koska (, Q) (Q, ) 0, vektori (, Q) on suoraa vastaan kohtisuorassa ja kutsumme sitä suoran normaalivektoriksi. Yksi taa selvittää suorien välisiä kulmia on laskea näiden normaalivektorien välisiä kulmia istetulolla. Erityisesti suorat ovat kohtisuorassa, jos ja vain jos normaalivektorit ovat kohtisuorassa: jos suorien yhtälöt ovat x + Q y + R 0 ja x + Q y + R 0, suorat ovat kohtisuorassa jos ja vain jos + Q Q 0. Tästä seuraa yhtälö (4). 4

5 Jos yhtälössä (5) Q 0, yhtälö voidaan saattaa muotoon y kx + c, missä k /Q on suoran kulmakerroin. Kulmakerroin kertoo, montako yksikköä suora nousee ylösäin, kun kuljetaan yhden yksikön verran oikealle. Se on siis suoran x-akselista mitatun suuntakulman tangentti. Jos kahdella suoralla on kulmakertoimet k ja k, niiden välisen kulman tangentti on tangentin erotuskaavan mukaan k k + k k. Kaava ei tietenkään äde, jos k k, jolloin suorat ovat kohtisuorassa. Jos iste (x, y) ei ole suoralla (5), luku x + Qy + R on sitä suuremi, mitä kauemana iste on suorasta. Yhtälön (3) vasemman uolen determinantti voidaan tulkita sellaisen suunnikkaan (etumerkilliseksi) intaalaksi, jonka kanta on jana ja korkeus on isteen kohtisuora etäisyys suorasta. Kannan ituuden neliö on (a x b x ) + (a y b y ) Q +, joten etäisyydelle saadaan kaava Jos kahdella suoralla on yhtälöt x + Qy + R + Q. x + Qy, Sx + T y, suorien leikkausiste on ( (x, y) ( ) ( ) ) ( ) Q Q det, det, det. T S S T Kaavan voi todeta oikeaksi sijoittamalla: (T Q) + Q( S) ( T QS), S(T Q) + T ( S) ( T QS). Tämä on erikoistaaus ns. ramerin säännöstä. Jos determinantti on nolla, suorat ovat yhdensuuntaiset, jolloin yhtälöarilla ei ole yhtään ratkaisua tai on äärettömän monta ratkaisua (taauksessa, jossa yhtälöt kuvaavat samaa suoraa). Tehtävä 5. Määritä tasasivuisen kolmion kaikki sellaiset sisäisteet, joiden etäisyys yhdestä kolmion sivusta on niiden kolmion kahdesta muusta sivusta mitattujen etäisyyksien geometrinen keskiarvo. [M 04] Olkoot kolmion kärkiisteet (, 0), (, 0) ja (0, 3). Sisäisteen (x, y) etäisyys sivusta on y, etäisyys sivusta on suunnikkaan inta-alan kaavan erusteella x y det 0 ( ) 3x y ja etäisyys sivusta vastaavasti x y det 0 3 ) 3x y + 3. ( 0 Tehtävän ehto on yhtäitävä sen kanssa, että ja edelleen sen kanssa, että ( )( ) 3x y + 3 3x y + 3 y 4 ( x + y + ) Tämä on sellaisen ymyrän yhtälö, jonka keskiiste on kolmion keskiisteen eilikuva sivun suhteen. Ymyrän kaarella ovat esim. isteet, ja kolmion keskiiste, joten itse asiassa ymyrä on kolmion ymäri iirretyn ymyrän eilikuva. Tehtävässä kysytyt isteet ovat tällaisten kolmen ymyrän ne isteet, jotka jäävät kolmion sisälle. 5

6 Tehtävä 6. Kolmion sisään iirretty ymyrä sivuaa kolmion sivuja, ja isteissä, E ja F, tässä järjestyksessä. Olkoon G se sisään iirretyn ymyrän iste, jolle F G on ymyrän halkaisija. Suorat EG ja F leikkaavat isteessä H. Todista, että H. [altian tie 0] Valitaan koordinaatisto niin, että sisään iirretty ymyrä on origokeskinen yksikköymyrä ja x-akseli on suoran suuntainen. Silloin F (0, ) ja G (0, ). Olkoon (cos δ, δ) ja E (cos ɛ, ɛ). Suoran yhtälö on (cos δ)x + ( δ)y ja suoran E yhtälö (cos ɛ)x + ( ɛ)y, joten isteen y-koordinaatti on y Suoran EG yhtälö on ja suoran F yhtälö cos δ cos ɛ cos δ ɛ cos ɛ δ Siten isteen H y-koordinaatti on H y δ+ɛ (δ ɛ) δ+ɛ cos det x y cos ɛ ɛ ( ɛ )x (cos ɛ)y + cos ɛ 0 0 det x y cos δ δ ( δ + )x (cos δ)y cos δ 0. 0 ( δ + ) cos ɛ + ( ɛ ) cos δ cos ɛ cos δ + (δ + ɛ) ( ɛ ) cos δ + cos ɛ( δ + ) cos ɛ + cos δ + (δ ɛ) δ+ɛ cos δ+ɛ + δ+ɛ δ+ɛ cos cos + cos δ+ɛ cos δ+ɛ ( + cos δ+ɛ ) cos δ+ɛ (cos + ) δ+ɛ cos Koska isteillä ja H on sama y-koordinaatti, suora H on x-akselin ja siten suoran suuntainen. Tehtävä 7. on tasakylkinen kolmio, jossa. Oletetaan, että. y.. M on sivun keskiiste ja O sellainen iste suoralla M, että O on kohtisuorassa sivua vastaan,. Q on mielivaltainen isteistä ja eroava iste janalla ja 3. E sijaitsee suoralla ja F suoralla niin, että E, Q ja F ovat saman suoran eri isteitä. Osoita, että OQ ja EF ovat kohtisuorassa, jos ja vain jos QE QF. [IMO 994] setetaan origo isteeseen Q ja x-akseli yhtymään suoraan. Olkoon, M a ja Q:n suunnattu etäisyys M:stä q. Silloin kolmion koordinaatit ovat ( q, a), ( q, 0) ja ( q, 0). Suoran yhtälö on y a(x + + q) ja suoran yhtälö y a(x +q). isteen O koordinaateiksi saadaan O ( q, /a) kulmakerrointen kohtisuoruusehdosta. Suoran OQ kulmakerroin on siten /qa. Olkoon suoran EF kulmakerroin k. Ratkaistaan isteen E x-koordinaatti: { y kx a( + q) x y a(x + + q) k a ja vastaavasti isteen F x-koordinaatti: { y kx y a(x + q) x a( q) k + a. E M O Q F Koska Q on origo ja suoralla EF, etäisyys EQ QF jos ja vain jos nämä x-koordinaatit ovat toistensa vastaluvut. Tämä ätee jos ja vain jos + q k a q k + a ( + q)(k + a) ( q)(k a) k qa. Koska suoran OQ kulmakerroin on /qa, tämä on yhtäitävää sen kanssa, että suorat OQ ja EF ovat kohtisuorassa. 6

7 Ymyrä. Ymyrä on niiden isteiden ura, jotka ovat säteen etäisyydellä keskiisteestä. Jos keskiiste on (a x, a y ) ja säde on r, ymyrällä on yhtälö (x a x ) + (y a y ) r. Ymyrätehtävissä on usein hyödyllistä valita origoksi ymyrän keskiiste ja säteeksi, jolloin yhtälö on kätevästi x + y. Trigonometriset funktiot määritellään yksikköymyrän avulla: jos vektori keskiisteestä kehän isteeseen on x-akselin suhteen kulmassa φ, kehän isteen koordinaatit ovat (cos φ, φ). Trigonometrian kaavoja on syytä osata ainakin seuraavat ovat hyödyllisiä: (x + y) x cos y + y cos x cos(x + y) cos x cos y x y x cos(x) cos x + cos(x) x + y x + y x y cos x + y cos x + cos y cos x + y cos x cos y x + y cos x y x y cos x y x y Origokeskistä yksikköymyrää isteessä (cos φ, φ) sivuavalla suoralla on näärä yhtälö cos φx + φy, koska tämä suora on kohtisuorassa isteeseen iirrettyä sädettä vastaan ja kulkee vaaditun isteen kautta. Tehtävä 8. Olkoot ja ymyrän kaksi halkaisijaa ja :n mielivaltainen iste. Olkoot R ja S isteestä :lle ja :lle iirrettyjen kohtisuorien kantaisteet. Osoita, että janan RS ituus ei riiu isteen valinnasta. [altian tie 0] Valitaan koordinaatisto siten, että ymyrä on origokeskinen yksikköymyrä ja iste (, 0). Olkoon (cos β, β) ja cos δ, δ). isteen rojektioiksi saadaan R (cos β, cos β β) ja S (cos δ, cos δ δ). rojektiot yhdistävä vektori on S R S (cos β cos δ, cos β β cos δ δ) (cos(β) cos(δ), (β) (δ)) ( (β δ) (β + δ), (β δ) cos(β + δ)) R ja sen ituuden neliö on siten RS (β δ)( (β + δ) + cos (β + δ)) (β δ). Tässä käytettiin useita edellä lueteltuja trigonometrisia identiteettejä. Koska RS riiuu vain halkaisijoiden suuntakulmien erotuksesta, sama tulos saadaan jos valitaan isteen sijasta jokin toinen iste ja käännetään koordinaatistoa siten, että osuu koordinaatteihin (, 0). eterminantin ominaisuuksia. Yleinen n n-determinantti... n... n det... n n... nn lasketaan käymällä läi kaikki lukujen,,..., n ermutaatiot π ja laskemalla tulot,π(),,π(),..., n,π(n) yhteen, toi sanottuna sijoittamalla ruudukkoon kaikin mahdolli tavoin n tornia siten etteivät ne uhkaa toisiaan ja kertomalla keskenään tornien eittämät luvut. Kukin yhteenlaskettava varustetaan ermutaation etumerkillä, jonka määritelmä jää tämän esityksen ulkouolelle. Todetaan kuitenkin, että äädiagonaalia vastaavan identtisen ermutaation etumerkki on ositiivinen, ja jokainen vaihto, jossa kaksi tornia ysyy samoissa sarakkeissa mutta siirtyy toistensa riveille, kääntää etumerkin. 7

8 Määritelmästä nähdään joitakin determinantin ominaisuuksia:. Jos determinantin jokin rivi muodostuu elkistä nollista, determinantin arvo on 0. (Jokainen summan termi on 0.). Jos determinantissa on kaksi samaa riviä, determinantin arvo on 0. (Käytetään mainittua etumerkkiä koskevaa tietoa.) 3. eterminantin voi laskea ienemien alideterminanttien avulla: esimerkiksi a b c ( ) ( ) ( ) det d e f e f d f d e a det b det + c det, h i g i g h g h i missä jokainen ensimmäisen rivin alkio kerrotaan alideterminantilla, joka saadaan oistamalla ensimmäinen rivi ja kyseisen alkion sarake. Huomaa etumerkkien vaihtelu. Ymyrä. Tarkastellaan taas ymyrän yhtälöä (x x ) + (y y ) r. Kolmen isteen, ja (jotka eivät ole samalla suoralla) kautta voidaan iirtää ymyrä, jonka yhtälö saadaan ienellä nokkeluudella esitettyä determinantin avulla: x + y x y det a x + a y a x a y b x + b y b x b y 0. c x + c y c x c y Kyseessä on ymyrän yhtälö, koska jakamalla determinantti x + y :n kertoimella se saadaan muotoon x + vakio x + y + vakio y vakio, missä vasemman uolen lauseke voidaan täydentää kahdeksi neliöksi. Ymyrä kulkee annettujen isteiden kautta, koska jos esimerkiksi (x, y) (a x, a y ), determinantissa on kaksi samaa riviä. Kerroin, jolla edellä jaettiin, on alideterminantti a x a y b x b y. c x c y Neliöksi täydennyksessä ymyrän keskiisteen koordinaateiksi tulee a det x + a y a y b x + b y b y, a x + a y a x b c x + c x + b y b x. y c y c x + c y c x Tehtävä 9. Olkoon neliö. Olkoon M sivun sisäiste ja N sivun sisäiste, joille MN 45. Todista, että kolmion M N ymäri iirretyn ymyrän keskiiste on suoralla. [altian tie 003] Valitaan koordinaatisto niin, että (0, 0), (0, ), (, ), (, 0) ja M (m, ). Suoran M kulmakerroin on /m, joten suoran N kulmakerroin on tangentin summakaavan mukaan ( /m)/( + /m) (m )/(m + ). Siten N (, (m )/(m + )). Kolmion M N ymäri iirretyn ymyrän keskiiste on 0 0 det m +, det + (m ) (m + ) (m+) m m+ 0 0 m + m + (m ) (m+) ( (m + )(m ) + (m + ) + (m ), ) (m + )(m + ) + m((m + ) + (m ) ) (m ) ( (m + ), (m + ) ), missä on alideterminantti, jolla ei ole väliä, sillä isteen nähdään olevan suoralla. M N 8

9 Tehtävä 0. Eri isteet,, ja sijaitsevat samalla suoralla tässä järjestyksessä. - ja -halkaisijaiset ymyrät leikkaavat X:ssä ja Y :ssä. Suorien XY ja leikkausiste on Z. on suoran XY iste, ei kuitenkaan Z. Suora leikkaa -halkaisijaisen ymyrän isteissä ja M, ja suora leikkaa -halkaisijaisen ymyrän isteissä ja N. Osoita, että suorat M, N ja XY leikkaavat samassa isteessä. [IMO 995] Olkoon Z (0, 0), X (0, ), (0, ), ymyrän keskiiste (a, 0) ja säde r, jolloin (a r, 0) ja (a + r, 0). Koska X on ymyrällä, a + r. Suorat M ja ovat kohtisuorassa, koska uoliymyrän sisältämä kehäkulma on suora. Suoran kulmakerroin on /(a + r), joten suoran M yhtälö on y a+r (x a + r), joten suorien M ja XY leikkausisteen M koordinaatit ovat (0, r a ) (0, /). Loutulos ei riiu muusta kuin isteen koordinaateista, joten tämä ätee jokaiselle tavalle iirtää ymyrä, kunhan sen keskiiste on x-akselilla ja se kulkee kiinnitettyjen isteiden X ja Y kautta. Ymyrä täyttää nämä ehdot. M Z M X Y 9

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0007 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 3 MS-A7 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 925 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5..008 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. Ratkaise

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia

Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10

10 y 2 3 x D 100; D 30 29 59 6 D 10 5. 100 10 2 3 a: Vastaavasti sadalla kilometrillä kulutettavan polttoaineen E10 energiasisältö on 90 100 x a C 10 Helsingin ylioisto, Itä-Suomen ylioisto, Jyväskylän ylioisto, Oulun ylioisto, Tamereen ylioisto ja Turun ylioisto Matematiikan valintakokeen 3.6.0 ratkaisut. Oletetaan, että litralla (uhdasta) bensiiniä

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12 Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Avaruusgeometrian kysymyksiä

Avaruusgeometrian kysymyksiä Avaruusgeometrian kysymyksiä Tässä esitettävät tehtävät ja lauseet kattavat asioita, jotka saattavat tulla vastaan mahdollisissa kolmiulotteisen geometrian kilpailukysymyksissä. Lukemista helpottaa, jos

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja

Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriaa: kolmioita ja kaavoja Trigonometriset funktiot voidaan määritellä eri tavoin Yksikköympyrään x + y 1 perustuva määritelmä on yleensä selkeä Jos A 1, 0) ja t 0 on reaaliluku, on olemassa

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Baltian Tie 2005 ratkaisuja

Baltian Tie 2005 ratkaisuja Baltian Tie 2005 ratkaisuja. Osoitetaan, että jonossa on aina kaksi samaa lukua. Olkoon k pienin positiivinen kokonaisluku, jolle on voimassa (k +) 9 2005 < 0 k. (Tällainen luku on olemassa, koska epäyhtälön

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä.

Vektorilla on suunta ja suuruus. Suunta kertoo minne päin ja suuruus kuinka paljon. Se on siinä. Koska varsinkin toistensa suhteen liikkuvien kappaleiden liikkeen esittäminen suorastaan houkuttelee käyttämään vektoreita, mutta koska ne eivät kaikille ehkä ole kuitenkaan niin tuttuja kuin ansaitsisivat,

Lisätiedot