= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

Transkriptio

1 30 VEKTORIANALYYSI Lento 4 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f= f( r) = f( xyz,, ) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt, kn mikä tahansa mttjista mtt. Osittaisderivaatta kvaa sitä, miten yhden mttjan mttaminen vaikttaa fnktioon, kn mt mttjat pysyvät mttmattomina: A 1.3 f f( x+ hyz,, ) f( xyz,, ) = lim, x h 0 h f f( xy, + hz, ) f( xyz,, ) = lim, y h 0 h f f( xyz,, + h) f( xyz,, ) = lim. z h 0 h Näille käytetään sein merkintää f = x f, f = y f, f =z. x y z (Adamsin merkintä f x= f1 jne. on sikäli hono, että sen saattaa sekoittaa vektorin komponenttiin.) Esimerkki: Lasketaan skalaarikentän osittaisderivaatat. f( xyz,, ) = xy + xy+ y = + + = x f 3xy 4 xy, y f= xy x+4 y, z f 0.

2 31 Esimerkki: Ketjsääntö pätee myös osittaisderivointiin. Olkoon f= f( gxy (, )), missä f( g) = sin g ja gxy (, ) = xy. Toisin sanoen, f= sin( xy). Osittaisderivaatat ovat df ( g) g( x, y) x f g x y = = g xy = xy x y dg x ( (, )) (cos )( ) cos( ), df ( g) g( x, y) y f gxy = = g x = x xy dg y ( (, )) (cos )( ) cos( ). Gradientti f A 16.1 Skalaarikentälle f= f( xyz,, ) voidaan määritellä derivaatta, joka kvaa sen mttmista, kn piste (x,y,z) mtt. Tätä ktstaan gradientiksi ja määritellään (,, ) f f f xyz = i+ j+ f k. x y z Gradientti f on siis vektori, jonka komponentteina ovat fnktion f osittaisderivaatat eli f = ( f, f, f). x y z Symboli eli nabla tarkoittaa derivaattaoperaattoria i = + j+ k. x y z Josks gradientista käytetään myös merkintää f = grad f. Jotkt lisäävät nablan päälle nolen, ettei sen vektorilonne nohtisi, siis f.

3 3 Kaksilotteisessa tapaksessa (( xy-taso), ) gradientti on i = +. j x y Esimerkki: Fnktion f ( x, y, z) = xy + z gradientti on ( ) ( ) f = xy + z i + xy + z j + ( xy + z) k x y z = yi+ xj + k. Gradientti f on vektori. Mikä merkitys sen snnalla on? Origosta lähtevä polisora S määrittää jonkin ( xyz,, ) -avarden snnan. Olkoon dr = dx i+ dy j + dz k tähän sntaan osoittava paikkavektorin mtos. Silloin ( ) f f f f dr i j k = + + dx i+ dy j + dz k x y z f f f = dx + dy + dz x y z = df = f : n kokonaisdifferentiaali. Tämä tlos eli

4 33 df = f dr kertoo, että fnktio f kasvaa nopeiten gradienttinsa snnassa. Silloin nimittäin f dr = f dr cos θ = f dr. Kn piste r= ( xyz,, ) liikk avardessa niin, että sen mtos dr on aina kohtisorassa gradienttia f vastaan, fnktion f arvo ei mt eli df = 0. Piste piirtää avarteen pinnan, jossa f( xyz,, ) = vakio, niin sanotn tasa-arvopinnan (kaksilotteisessa tapaksessa tasa-arvokäyrän). Gradientti f on tasa-arvopinnan normaali, joten normaalin sntainen yksikkövektori n on f n = ±. f Matemaattinen välisoitto: Yhden mttjan fnktiota f( x ) sanotaan differentioitvaksi pisteessä x, jos on olemassa lk f '( x ) ja fnktio g( dx ) siten, että f ( x + dx) f ( x) = f '( x) dx + g( dx), missä g( dx) dx 0, kn dx 0. Useamman mttjan fnktion f= f( xyz,, ) tapaksessa f on differentioitva pisteessä r, jos osittaisderivaatat

5 34 f, f, f ovat olemassa ja on olemassa fnktio x y z g( dr ) siten, että f ( r + dr ) f ( r ) = f ( r ) dr + g( dr ), missä g( dr ) dr 0, kn dr Esimerkki (Adamsista): Lasketaan fnktion f( xy, ) x y = + gradientti pisteessä (1,). f xy = i + j x + y x y = i ( x + y ) + j ( x + y ) x y = xi+ yj, (, ) ( ) joten f(1, ) = i+ 4 j. Pisteessä (1,) f (1, ) = 5, joten vektori f(1, ) = i+ 4 j on fnktion f tasa-arvokäyrän f( xy, ) = 5 normaali pisteessä (1,). Tasa-arvokäyrä on 5 -säteinen ympyrä. Esimerkki: R-säteisen pallon yhtälö on Merkitään x + y + z = R. f xyz x y z (,, ) = + +.

6 35 Tämän gradientti on f = ( x + y + z ) i + ( x + y + z ) j x y + ( x + y + z ) k z = xi+ yj + zk =. r Pinnan yksikkönormaali lospäin pisteessä r on f r n = = r f r eli paikkavektorin sntainen yksikkövektori. Pallon pinta on tasa-arvopinta. Siellä f = R = vakio, ja gradientti f on kohtisorassa pintaa vastaan. Tangenttitason yhtälö. Olkoon f( xyz,, ) jokin fnktio ja f( xyz,, ) = vakio eräs sen määrittelemä pinta. Olkoon r0 = ( x0, y0, z0) jokin piste tällä pinnalla. Etsitään gradienttia hyväksi käyttäen tähän pisteeseen piirretyn pinnan tangenttitason yhtälö. Gradientti f( x0, y0, z0) on pinnan normaalin sntainen vektori, joten kaikki tangenttitasossa olevat vektorit r r 0 ovat kohtisorassa sitä vastaan: f( r ) ( r r ) =

7 36 Tämä on tangenttitason yhtälö (saadaan lasketta tästä). Esimerkki: Olkoon f ( x, y, z) = 3 xy + z. Johdetaan pisteeseen r 0 = (1,1,1) piirretyn tangenttitason yhtälö. Pinta on f( xyz,, ) = = 4. Gradientti on f ( x, y, z) = 3yi+ 3xj + zk, joten f( r 0) ( r r0) = (3i + 3 j+ k) ( ( x 1) i + ( y 1) j+ ( z 1) k) = 3( x 1) + 3( y 1) + ( z 1) = 3x+ 3y+ z 8. Tangettitason yhtälö on siten 3x+ 3y+ z = 8. Snnatt derivaatta. Josks on tarpeen tietää, miten fnktion f( xyz,, ) arvot mttvat, kn siirrytään pisteestä r jonkin tietyn vektorin sntaan. Tällöin dr = dr = dr, A 1.7 missä û on :n sntainen yksikkövektori. Merkitään dr d. Fnktion kokonaisdifferentiaaliksi pisteessä r saamme df = f dr = f ( d ). Tästä seraa df d = f = cos θ f, jossa θ on gradientin f ja vektorin û

8 37 välinen klma. Tämä on fnktion f snnatt derivaatta sntaan û 0. Snnatta derivaattaa merkitään sein myös D f = f. Koska cosθ on välillä -1 +1, ovat snnatn derivaatan arvot välillä f D f f. Snnatlla derivaatalla on srin positiivinen arvo gradientin snnassa ja srin negatiivinen arvo vastakkaisessa snnassa. Kn f, snnatt derivaatta on nolla. Snnatt derivaatta koordinaattiakselin snnassa on sama kin osittaisderivaatta, esimerkiksi snnassa û = i Df i = i f f f f i + j+ k =. x y z x x Esimerkki: Lasketaan fnktion f( xy, ) = snnatt 1 + y derivaatta vektorin = i+ j sntaan pisteessä (1,1). Ensin pitää laskea f:n gradientti: x x f = i + j f i j x y = + 1+ y 1+ y 4xy = i +. j 1 + y (1 + y ) Snnatt derivaatta on x y

9 38 i+ j 411 D (1,1) ( f = f = i + j) (1+ 1 ) 1 1 = = 0. Voimme päätellä tästä, että vektori on pisteessä (1,1) fnktion tasa-arvopinnan f = 1 (fnktion arvo pisteessä (1,1) on 1) sntainen. Esimerkki: Lasketaan fnktion 3 f ( x, y, z) = x z + y z xyz snnatt derivaatta sntaan = ( 1, 0,3). fnktio kasvaa voimakkaimmin ja pienenee voimakkaimmin pisteessä (1,1,1)? Lasketaan ensin f:n gradientti: Mihin sntaan 3 f ( x, y, z) = ( i x + j y + k z)( x z + y z xyz) 3 = ( xz yz) i + (3 y z xz) j + ( x + y z xy) k Snnatt derivaatta on

10 39 Df ( xyz,, ) = f ( 1) i+ 0 j+ 3 k = [ ( xz yz) i ( 1) (3 y z xz) j + ( x + y z xy) k = 1 3 xz yz + y z xz x + y z xy = ( )(3x + 6y z 3xy xz + yz) ( )( ) 0 (3 ) ( )( ) ] On tärkeää mistaa, että snnatn derivaatan lasekkeessa sntavektori on yksikkövektori. Tässä esimerkissä snta oli annett vektorilla, joka ei ole yksikkövektori. Se piti normittaa yksikkövektoriksi eli jakaa pitdellaan. Fnktio kasvaa voimakkaimmin gradientin sntaan ja pienenee voimakkaimmin tätä vastakkaiseen sntaan. Pisteessä (1,1,1) gradientti on f(1,1,1) = i+ j+ k eli fnktio kasvaa voimakkaimmin vektorin = i+ j+ k sntaan ja pienenee voimakkaimmin vektorin v = i j k sntaan.

11 40 Tarkastellaan lopksi snnatn derivaatan geometrista merkitystä kvan avlla. Kvassa pystyakseli kvaa fnktion f( xy, ) arvoja. Kvaan on piirretty eräs fnktion tasa-arvopinta (vihreä). ( xy-tasoon, ) on piirretty soran (pnainen) modossa snta, johon snnatt derivaatta haltaan laskea. Tämän soran katta klkevan pystysoran tason ja pinnan leikkas on em. tasossa oleva käyrä (keltainen). Fnktion f( xysnnatt, ) derivaatta ( xytason pisteessä A on, ) vastaavaan kohtaan em. käyrälle piirretyn tangentin (sininen) klmakerroin. Se siis kertoo, miten jyrkkä pinta siinä kohtaa on annettn sntaan edettäessä.