HYDRODYNAMIIKKA S. Erkki Thuneberg

Transkriptio

1 HYDRODYNAMIIKKA S Ekki Thunebeg Fysiikan laitos Oulun yliopisto 2011

2 Jäjestelyjä Kussin vekkosivu on Vekkosivulta löytyy luentomateiaali (tämä moniste), hajoitustehtävät ja myöhemmin myös hajoitustehtävien atkaisut. Katso sieltä myös mahdolliset muutokset luento- ja hajoitusaikoihin. Aikataulut 2011 Luennot: ti 10-12, sali TE320 ( ) Hajoitukset: ma 10-12, to 10-12, sali TE320 ( ) Tentti: Hajoitusassistentti: Matti Silvei Kussiin kuuluvat oleellisena osana laskuhajoitukset, joiden tehtävät laitetaan kussin vekkosivulle pian vastaavan luennon jälkeen. Määäaikaan mennessä näytetyistä tehdyistä hajoituksista saa yhden avosanapykälän kootuksen loppuavosanaan. (Ei pisteajoja, jokainen tehtävä vaikuttaa paitsi että loppuavosana pyöistetään kokonaisluvuksi.) Koostettakoon että nämä lisäpisteet ovat vain pieni lisä siihen hyötyyn, joka laskuhajoitusten tekemisestä on kussin asian ymmätämiselle ja siten tenttimenestykselle. Hajoitustehtäviä kannattaa yittää laskea ensin itsenäisesti esim. kotona, vasinkin jos ei pääse kuin toiseen hajoitusajoista. 1. Johdanto Hydodynamiikka takoittaa suoaan käännettynä veden liikeoppia. Nykyisin hydodynamiikalla takoitetaan paljon yleisempää käsitettä. Kaikkein yleisimmässä mielessä hydodynaaminen teoia takoittaa makoskooppista teoiaa eli vastakohtaa mikoskooppiselle teoialle. Mikoskooppisessa teoiassa mateian käyttäytymistä pyitään selittämään lähtien yksittäisistä hiukkasista. Tapauksesta iippuen nämä hiukkaset voivat olla esimekikisi elektoneja, atomeja tai molekyylejä. (Joissain tapauksessa hiukkaset saattavat olla tähtiä jotka muodostavat galaksin.) Hydodynaamisessa teoiassa hiukkasjoukkoa takastellaan mittakaavalla L, joka on paljon suuempi kuin hiukkasten välimatka a, siis L a. Tällöin yksittäisten hiukkasten liikkeen sijasta käsitellään niiden keskimäääistä liikettä. Monissa tapauksissa aineen hiukkasmainen akenne voidaan kokonaan jättää huomiotta, ja käsitellä ainetta täysin jatkuvana. Yksinketainen esimekki yleisestä hydodynaamisesta teoiasta on Hooken laki. Sen mukaan voima F, joka tavitaan sauvan venyttämiseksi, on veannollinen sauvan venymään s sekä poikkipinta-alaan A ja kääntäen veannollinen sauvan pituuteen l. Kaavana F = Y As l. (1) Veannollisuusketoimena esiintyy mateiaalia kuvaava paameti Y, Yongin moduuli. Hydodynaamisissa teoioissa esiintyy tällaisia ainetta kuvaavia paameteja, joiden avot useimmiten tiedetään mittausten peusteella. Y :n avo on seuausta aineen atomien välisistä voimista, ja peiaatteessa se voitaisiin laskea mikoskooppisella teoialla. Useimmiten tällaisen mikoskooppisen laskun tekeminen on epäkäytännöllistä, ellei mahdotonta. Yllä olevassa mielessä hydodynaaminen teoia voidaan muodostaa kaikille mateian olomuodoille. Samaten siinä voi esiintyä sähköisiä ja magneettisia voimia. Tapauksesta iippuen kutsutaan teoioita ei nimillä. nesteet ja kaasut (englanniksi fluid ) ei sähkömagneettisia voimia: hydodynamiikka sähkömagneettiset voimat: magnetohydodynamiikka... kiinteät aineet ei sähkömagneettisia voimia: elastisuusteoia sähkömagneettiset voimat: dielektisyysteoia... Suppeassa mielessä hydodynamiikka takoittaa siis sähkövaauksettomien kaasujen ja nesteiden teoiaa mittakaavalla, jossa aineen atomaainen akenne ei ole oleellinen. 1

3 Suppeassakin mielessä hydodynamiikka on hyvin laaja ala. Eikoistapauksina se sisältää mm. elativistisen, nestekiteiden ja supanesteiden hydodynamiikan (viimeinen on oma tutkimusalani). Tässä kussissa takastelemme vain yksinketaisten nesteiden ja kaasujen epäelativistista hydodynamiikkaa. Sisältö johdanto jatkuvuusyhtälö esimekkivitauksia nestestatiikka liikeyhtälön johto Navie-Stokes-yhtälön atkaisuja Eulein yhtälön atkaisuja ääniaallot tubulenssi A.R. Pateson, A fist couse in fluid dynamics (1983). Pääkijana tällä kussilla. Kompomissi yllä ja alla olevan vaihtoehdon väliltä. Ongelmana kokeellisen datan puuttuminen. Y. Nakayama ja R. Bouche, Intoduction to Fluid Mechanics (1999). Teknillisen tiedekunnan Nestemekaniikan kussilla käytetty oppikija. Enemmän käytännön tapeisiin kuin tieteellisesti oientoitunut kija. G.K. Batchelo, An intoduction to fluid dynamics (1967). Hyvin täydellinen kija, sisältää myös valokuvia vitauksista. Demonstaatiofilmejä Monet tässä kussissa tutkitut vitaukset ja lukemattomia muita on toteutettu ja kuvattu filmeille, jotka ovat vapaasti saatavissa vekkosivulla Monia lyhyempiä ja uudempia filmipätkiä selityksineen: Multimedia Fluid mechanics, Second edition, Homsy et al (Cambidge Univesity Pess). nesteen pinta-aallot Esitiedot Fysiikan matematiikkaa Mekaniikka (Aaltoliike ja optiikka) (Temofysiikka) Muiden kussien osaaminen helpottaa kussin ymmätämistä, mutta ei ole välttämätöntä. Kijoja Tähän kussimonisteeseen on koottu luennoilla esitettävän mateiaalin pääosa. Kuvia on kuitenkin kasittu ja suluissa oleva teksti (kuva) viittaa luennolla piiettävään kuvaan. Luentomateiaalin syventämiseksi on tapeen peehtyä alan kijallisuuteen. Kijoja on lukemattomia eilaisia, joissa samat pääasiat. L.D. Landau ja E.M. Lifshitz, Fluid mechanics. Einomaisen hyvä teoeettisesti, mutta käsittele pääsääntöisesti ongelmia, joilla on selkeä atkaisu. (Samassa sajassa myös yleisen hydodynaamisen teoian piiiin kuuluvat Theoy of elasticity ja Electodynamics of continuous media.) 2

4 2. Peuskäsitteitä 2.1 Vektoimatematiikkaa Tätä on käsitelty liitteessä. 2.2 Olomuodot Kiinteä aine: muotoutuu pienestä voimasta mutta palaa alkupeäiseen muotoonsa voiman poistuttua. Nesteet ja kaasut (fluidit): muotoutuu ajattomasti pienen voiman vaikutuksesta Neste: pinta, vähän kokoonpuistuva kaasu: ei pintaa, kokoonpuistuva 2.3 Jatkumomalli Hydodynamiikan voimassaoloalue voidaan määitellä käyttämällä Knudsenin lukua Kn = λ L. (2) Tässä λ on hiukkasten vapaa matka, ja L takasteltavaa systeemiä kuvaava pituusmitta. Hydodynaamista teoiaa voidaan käyttää kun L λ, eli Kn 1. Muussa tapauksessa on käytettävä mikoskooppista teoiaa. Nesteissä vapaa matka on samaa suuuusluokkaa kuin atomien koko, 0.1 nm. Nomaalipaineisessa ja lämpöisessä ilmassa se on jonkin vean suuempi, λ 100 nm. Kaasussa vapaa matka kasvaa paineen laskiessa (kääntäen veannollisesti paineeseen). Keskimäääinen tiheys määitellään massan ja tilavuuden osamääänä, ρ = M/V. Aineen atomaaisesta akenteesta johtuen se ei ole hyvin määitelty kun V 0. Kuitenkin hydodynamiikassa käytetään tiheyttä ρ(, t), jonka oletetaan olevan hyvin määitelty funktio. Sillä oletetaan olevaksi esim. gadientti ρ(, t). ρ(, t) voidaan ymmätää keskimäääiseksi tiheydeksi yli tilavuuden, jonka sisältää suuen määän hiukkasia, mutta on silti hyvin pieni veattuna L:ään. 2.4 Nopeuskenttä Vitausta voidaan kuvata seuaamalla nestealkion liikkeitä (esim. väjäämällä ja ottamalla valokuvia). Nestealkion paikasta (t) ei ajanhetkillä määätään nopeus d = v(, t). (3) dt Selvittämällä kaikkien hiukkasten adat, saadaan nopeuskenttä v(, t) kaikilla ja t. Toisin päin: kun tunnetaan nopeuskenttä v(, t), voidaan nestealkioiden adat laskea. Usein nopeuskenttä on tavattoman monimutkainen (esim. tubulenssi), jota ei voi esittää analyyttisillä menetelmillä. Näissäkin tapauksissa keskiavoistettu vitaus on kuitenkin jotenkin hallittavissa. 2.5 Esimekkivitauksia Esimekki 1) v = (ay, ax, 0). Hiukkasadat (oik. nestealkioiden adat) saadaan yhtälöistä dx dt = ay, dy dt = ax, dz dt = 0. (4) Ratkaisemalla alkuavoilla x = x 0, y = y 0, z = z 0, t = 0, saadaan Eliminoimalla t saadaan x = x 0 cos at + y 0 sin at y = x 0 sin at + y 0 cos at z = z 0. (5) x 2 + y 2 = x y 2 0 = vakio z = z 0. (6) Kyseessä on ympyävitaus z-akselin ympäi. Oheinen kuva esittää joitakin hiukkasatoja Vitauksen luonne on selvemmin nähtävissä sylinteikoodinaatistossa (, θ, z): v = v x cos θ + v y sin θ = 0 v θ = v x sin θ + v y cos θ = a. (7) Kaavoja (4) vastaten saamme d dt = 0, dθ dt = a, dz dt = 0, (8) mistä = 0, θ = θ 0 at ja z = z 0. Kyseessä on tasainen pyöiminen z-akselin ympäi. Esimekki 2) v = (ay, a(x bt), 0). Hiukkasatojen yhtälöt ovat samantapaisia kuin yllä. Ne voidaan kijoittaa muotoon d 2 x dt 2 + a2 x = a 2 bt 3

5 ay = dx dt dz = 0. (9) dt Ratkaisemalla ensimmäinen ja sitten sijoittamalla toiseen saadaan x = x 0 cos at + (y 0 b/a) sin at + bt y = x 0 sin at + (y 0 b/a) cos at + b/a z = z 0. (10) Tämä esittää pyöimisliikettä säteellä x (y 0 b/a) 2 ympäi pisteen (bt, b/a, z 0 ), joka liikkuu tasaisella nopeudella. Tällaista ataa kutsutaan sykloidiksi Kuvassa muutamia hiukkasatoja (x 0 = 0, at = [0, 2π]). Esimekki 3a) v = (a(t)x, a(t)y, 0), yleinen a(t). Hiukkasatojen yhtälöt dx dt = a(t)x, Yksi tapa on ensin atkaista josta saadaan Aikaiippuvuudeksi saadaan dy dt = a(t)y, dz dt = 0. (11) dx dy = x y, (12) xy = vakio. (13) x = x 0 e A(t), y = y 0 e A(t), z = z 0, (14) missä A(t) = t 0 a(t )dt. Ratkaisut ovat hypebelejä b) Tapaus a = vakio, v = (ax, ay, 0). (15) Tämä voisi kuvata seinämää kohtaavaa vitausta (esim. y > 0), jossa nopeus pisteessä x = 0, y = 0 häviää. Myöhemmin osoitetaan että tämä vitaus on peusteltavissa tietyin edellytyksin, paitsi että aivan seinämän lähellä vitaus ei voi olla tätä muotoa (koska oikeassa vitauksessa nopeus kiinteällä pinnalla täytyy hävitä). 2.6 Määitelmiä Kaksiulotteinen vitaus: v z 0. Pysyvä vitaus (steady flow): ρ(), v() jne. ajasta iippumattomia (esim. 1 ja 3b). Pysähtymispiste (stagnation point): v = 0. (esim. 1 ja 3: ajasta iippumaton piste, esim. 2: x = bt, y = 0) Eulein takastelutapa: kentät ilmaistu muuttujilla ja t, esim. v(, t). Lagangen takastelutapa: kentät ilmaistu muuttujilla 0 ja t, esim. v( 0, t). Tässä 0 kuvaa hiukkasten paikkaa ajanhetkellä t = 0. Matemaattisesti hankalampi kuin Eulein. Kuvataan takastelutapojen eoja esimekillä 3b, jossa x = x 0 e at, y = y 0 e at, z = z 0, (16) Nopeus Lagangen muodossa on ( ) v = = (ax 0 e at, ay 0 e at, 0). (17) 0 Eulein muoto taas on (annettu esimekin alussa): v = (ax, ay, 0). (18) Lasketaan kiihtyvyys samojen muuttujien mukaan. ( ) v Lagange : = a 2 (x, y, 0) ( ) 0 v Eule : = 0. (19) Tämä voidaan ymmätää siten että hiukkaset kiihtyvät, mutta vitaus ei. Koskeen tuleva tukki kiihtyy koska veden nopeus sen kohdalla kasvaa. Sen sijaan annalla oleva takkailija, joka katsoo vain joen yhtä kohtaa, näkee vakionopeuden. 2.7 Vitaviivat Takastellaan nopeuskenttää v(, t) yhdellä ajanhetkellä. Sellaista käyää joka joka paikassa on nopeusvektoin suuntainen kutsutaan vitaviivaksi. Esimekiksi sääkattaan, jossa tuulen nopeus on mekitty nuolin, 4

6 voidaan piitää jatkuva viiva kulkien aina kussakin paikassa olevien nuolten suuntaan. (kuva) Huomaa että vitaviiva yleisesti on ei kuin hiukkasen ata. Vitaviiva piietään yhdellä hetkellä vallitsevan nopeuskentän mukaan. Oikealle hiukkaselle kestää aikaa kulkea paikasta toiseen. Tänä aikana vitauskenttä yleisesti on muuttunut, ja siksi hiukkanen kulkeutuu toisaalle kuin aiemman hetken mukaiset vitaviivat. Yleisesti jokaiselle hetkelle saadaan eilaiset vitaviivat. Kuitenkin jos vitaus on pysyvä, ovat vitaviivat kaikilla hetkillä samat, ja ne yhtyvät hiukkasten atoihin. Mekitään vitaviivan paikkavektoia p(s):llä, missä s on viivan paameti. Vitaviivojen yhtälö on dp ds = λv(p, t). (20) Tässä λ on mielivaltainen vakio. Siitä voidaan päästä eoon määittelemällä s uudelleen. Tällöin saadaan vitaviivojen yhtälöksi dp ds = v(p, t). (21) Tämä eoaa hiukkasen adan yhtälöstä (3) koska yhtälössä (21) t on vakio. Jos vitaus on pysyvä [v(p, t) v(p)], voidaan s valita samaksi kuin aika, jolloin yhtälöt ovat samat. Esimekki 1) v = (ay, ax, 0). Vitaus on pysyvä, joten sekä vitaviivat että hiukkasten adat ovat ympyöitä. Esimekki 2) v = (ay, a(x bt), 0). Vitaviivoille saadaan yhtälöt dx ds = ay, Näistä saadaan dy dz = a(x bt), ds d 2 x ds 2 + a2 x = a 2 bt = 0. (22) ds ay = dx ds dz = 0. (23) ds Ratkaisemalla ensimmäinen ja sitten sijoittamalla toiseen saadaan x = (x 0 bt) cos as + y 0 sin as + bt y = (x 0 bt) sin as + y 0 cos as z = z 0, (24) missä vitaviiva avolla s = 0 on valittu kulkemaan pisteen (x 0, y 0, z 0 ) kautta. Vitaviivat ovat ympyöitä säteellä (x 0 bt) 2 + y 2 0 keskipisteenä (bt, 0, z 0). 3. Massan säilyminen ja vitafunktio 3.1 Jatkuvuusyhtälö Newtonin mekaniikassa massa on vakio. Jatkuvan aineen mekaniikassa massan säilymislaki ilmaistaan jatkuvuusyhtälöllä, joka seuaavassa johdetaan. Takastellaan tiheyskenttää ρ(, t). Mekitään V :llä jotain osaa avauudesta, joka ei iipu ajasta. Tämän alueen sisällä olevalle massalle saadaan M V (t) = ρ(, t)dv. (25) V Lasketaan nyt massan M V (t) aikadeivaatta: dm V (t) = d ρ(, t) ρ(, t)dv = dv, (26) dt dt V missä deivaatan ottaminen integaalin sisään on sallittua koska integointialue on vakio. Toisaalta massan muutos täytyy aiheutua siitä, että massaa vitaa alueelle V ja pois sieltä. Tämä muutos voidaan ilmaista pintaintegaalina alueen V sulkevan pinnan S yli: dm V (t) dt = S V ρ v ds, (27) sillä ρ v ds t antaa pintaelementin ds läpi ajassa t ulos kulkeneen massan. d S Tässä ds = ds n on vektoi, jonka pituus on pintaelementin pinta-ala ds ja sen suunta n on pinta-elementin nomaali osoittaen alueesta V ulospäin. Pintaintegaali (27) voidaan Gaussin lausetta käyttäen muuttaa tilavuusintegaaliksi ρv ds = (ρv)dv. (28) S Kaavoista (26) (28) saadaan [ ] ρ + (ρv) dv = 0. (29) V Koska alue V on mielivaltainen, täytyy integandin olla nolla kaikkialla. Tämä antaa jatkuvuusyhtälön V ρ + (ρv) = 0. (30) Tämä on yksi keskeisimmistä hydodynamiikan yhtälöistä. 5

7 Jos ρ on vakio, edusoituu jatkuvuusyhtälö muotoon v = 0. (31) Jos vitaus on pysyvä (ajasta iippumaton), saadaan (ρv) = 0. (32) Seuaavassa tutkitaan vielä muita jatkuvuusyhtälön muotoja. 3.2 D/Dt Paikassa ajanhetkellä t tiheys on ρ(, t). Hetkellä t + δt neste-elementti on paikassa + vδt ja sen tiheys on Tiheyden muutos on siis ρ( + vδt, t + δt). (33) ρ( + vδt, t + δt) ρ(, t) = δt(v ρ + ρ ) + O(δt2 ). (34) Tästä voidaan päätellä, että neste-elementin tiheyden muutosnopeus on tämä jaettuna infinitesimaalisella aika-askeleella δt, siis Tälle käytetään mekintää Dρ/Dt, siis v ρ + ρ. (35) Dρ Dt = ρ + v ρ. (36) Tämä siis antaa Lagangen muutoksen (seuataan hiukkasta) käyttäen Eulein takastelutapaa (muuttujat ja t). Yleisemmin D/Dt-mekintää käytetään muillekin suueille, joten kijoitetaan D Dt = + v. (37) [Huom! D/Dt on sama kuin kokonaisdeivaatta d/dt muuttujien (, t) funktiosta. Isoa D:tä käytetään, jotta se selkeämmin eottuisi osittaisdeivaatasta /.] Jatkuvuusyhtälö (30) voidaan kijoittaa myös muotoon mikä taas on sama kuin ρ + v ρ + ρ v = 0, (38) Dρ + ρ v = 0. (39) Dt Kokoonpuistumattomalle nesteelle Dρ/Dt = 0, joten v = 0. (40) Kun D/Dt-mekintää sovelletaan nopeuteen saadaan Dv Dt = v + v v. (41) Tällä selittyy edellä olevassa esimekissämme todettu Eulein ja Lagangen kiihtyvyyksien eo. Ne voidaan nyt kijoittaa Lagange : Eule : Dv Dt = a2 (x, y, 0) v = 0, (42) ja eo näiden välillä täytyy tulla temistä v v. Käyttäen nopeuskenttää (18) tämä voidaan todeta laskemalla ja v = (ax, ay, 0) ( x, y, z ) = ax x ay y v v = (ax x ay )(ax, ay, 0) y 3.3 Vitafunktio = (a 2 x, a 2 y, 0) = a 2 (x, y, 0). (43) Tutkitaan kokoonpuistumatonta vitausta, v = 0, joka on kaksiulotteista v = u(x, y)i + v(x, y)j, (44) Kokoonpuistumattomuusehto voidaan kijoittaa u x + v = 0. (45) y Tästä nähdään että funktiot u ja v eivät ole iippumattomia. Systemaattisin tapa siityä vain yhden funktion käyttöön on määitellä vitafunktio ψ(x, y) siten että u = ψ y, v = ψ x. (46) Sijoittamalla nämä kaavaan (45) todetaan että se toteutuu automaattisesti. Patesonin kijassa osoitetaan, että kaavojen (46) määittelemän funktio ψ todella on olemassa. Edellä oleva on eikoistapaus yleisemmästä teoeemasta. Se sanoo että kun v = 0, (47) niin on olemassa vektoipotentiaali A siten että v = A. (48) Kaksiulotteinen tapaus (46) saadaan tästä eikoistapauksena A = ψk. 6

8 Edellä olevien määitelmien mukaan voidaan kijoittaa v = ( ψ) k. (49) Tästä nähdään, että ψ:n gadientti on kohtisuoassa v:tä vastaan. Tiedetään että ψ on kohtisuoassa ψ vakiokäyiä vastaan, ja v taas on vitaviivan suuntainen. Saadaan että ψ on vakio vitaviivaa pitkin. ψ = vakio ψ = vakio vitaviiva ψ Esimekki 1) x-akselin suuntainen vakiovitaus. mistä ψ = Uy. u = ψ y = U, v v = ψ x = 0, (50) Esimekki 2) x-akselin suuntainen tasainen leikkausvitaus u = βy. (Esimekiksi tuuli maan pinnan lähellä.) Saadaan ψ = 1 2 βy2. Esimekki 4) ympyävitaus v = 0, v θ (). Tyypillisesti esiintyvät tapaukset ovat jäykkä pyöiminen v θ = D, (54) missä keoin D = Ω on kulmanopeus, ja pyöeviiva Jälkimmäiselle v θ = C. (55) ψ = C ln(/a), (56) missä a on jokin pituudenlaatuinen vakio. Pyöeviivassa nopeus kasvaa ajatta viivaa lähestyttäessä, joten aivan viivan lähellä yllä oleva nopeuskenttä ei voi olla oikea. u(y) ψ = vakio y x Seuaavissa esimekeissä tavitsemme napakoodinaatistoa, jossa ( v = ( ψ) k = ˆ ψ + ˆθ 1 ) ψ k θ ja siksi = ˆ 1 ψ θ v = 1 ˆθ ψ, (51) ψ θ, v θ = ψ. (52) Esimekki 3) adiaalinen vitaus v θ = 0, missä v sama kaikkiin suuntiin. Ratkaisu ψ = Aθ, v = A. (53) Koska nopeus divegoi kun 0, ei tämä vitaus voi olla ealistinen oigon läheisyydessä, missä vitauksella täytyy olla lähde (tai nielu jos A < 0). Vakio A kuvaa lähteen voimakkuutta. Pyöteen voimakkuutta kuvaa sen sikulaatio. Yleisesti sikulaatio määitellään viivaintegaalina Γ = v dl, (57) missä integointi on jotain nesteessä olevaa suljettua polkua l pitkin. Tämä voidaan helposti laskea pyöeviivalle (55) käyttäen polkuna oigokeskeistä ympyää. Saadaan Γ = 2π 0 l v θ dθ = 2πC, (58) mikä tulos ei iipu käytetyn ympyän säteestä. Siten voidaan kaavoissa (55) ja (56) kijoittaa C = Γ/2π. 5) Takastellaan vitafunktiota ψ = U ) ( a2 sin θ. (59) 7

9 Osoita hajoitustehtävänä, että tämä on mahdollinen vitaus a-säteisen sylintein ohi ainakin siinä mielessä, että mitään vitaa ei kulje pinnan = a läpi. ψ = vakio 4. Pyöteisyys Edellä takasteltiin suuetta v. Toinen täkeä suue on pyöteisyys v, jota nyt tutkitaan. Yleisesti voidaan sanoa, että jos on annettu v = f(), v = g(), (60) U ψ = 0 a θ niin näistä yhtälöistä (sopivien eunaehtojen kanssa) voidaan määätä v:n kaikki kolme komponenttia. Esimekki pyöteisyydestä leikkausvitauksessa: u = βy, v = 0, ψ = 1 2 βy2. (61) Myöhemmin osoitetaan että tämä vitaus on peusteltavissa tietyin edellytyksin, paitsi että aivan seinämän lähellä vitaus ei voi olla tätä muotoa (koska oikeassa vitauksessa nopeuden täytyy hävitä kiinteällä pinnalla). Tälle vitaukselle v = βk. Ajatellaan laitettavaksi vitaukseen kaksi istikkäistä tikkua ja tutkitaan niiden liikettä vitauksen mukana. ε A (u+βε)δt A' B uδt B' Nähdään että viiva A B on kietynyt kulmalla βδt. Koska vaakasuoa viiva ei kiey, on keskimäääinen kulmanopeus 1 2 β. 4.1 Lokaali muutos Seuaavassa on takoitus analysoida neste-elementin liikettä siten että se voidaan jakaa osiin a) siityminen, b) pyöiminen, c) muodon ja tilavuuden muutos. a) b) c) Tutkitaan liikettä kahdesta alkupisteestä x ja x + ξ nopeuskentässä v(, t). Lyhyen ajan δt kuluttua ensimmäinen hiukkanen on paikassa Toinen taas on paikassa x + v(x, t)δt. (62) x + ξ + v(x + ξ, t)δt. (63) Tayloin sajan alimpien temien mukaan tämä on x + ξ + v(x, t)δt + ξ vδt. (64) 8

10 Vetaamalla pisteitä voidaan tunnistaa tasainen siityminen v(x, t)δt. Pisteiden liikkeiden eo tulee temistä ξ v δt = v i x j ξ j δt. (65) (Huomaa että tässä oletetaan summaus j:n yli vaikka summamekkiä ei ole kijoitettu.) Sama lauseke voidaan kijoittaa myös matiisien avulla muodossa ξ v δt = v 1 x 1 v 2 v 1 x 2 v 2 v 1 x 3 v 2 x 1 v 3 x 2 v 3 x 3 v 3 x 1 x 2 x 3 Olennaisena tässä on tensoi v i x j = v 1 x 1 v 2 v 1 x 2 v 2 v 1 x 3 v 2 x 1 v 3 x 2 v 3 x 3 v 3 x 1 x 2 x 3 ξ 1 ξ 2 ξ 3 δt. (66). (67) (Matiisia kijoitettaessa v:n indeksi on tulkittu ensimmäiseksi, jolloin v 1 esiintyy ylimmällä vaakaivillä, v 2 seuaavalla jne.) [Mikä on tensoi? Vektoi on suue jolla on kolme komponenttia v i, i = 1, 2, 3. Se eoaa mielivaltaisesta kolmen luvun joukosta sillä peusteella, että kun muutetaan koodinaatistoa (esim. kateesisesta sylinteikoodinaatistoon), nämä luvut muuttuvat, mutta silti ne takoittavat samaa vektoia. Täysin analogisesti, (toisen ketaluvun) tensoi voidaan ilmoittaa käyttäen yhdeksää lukua A ij, missä i = 1, 2, 3 ja j = 1, 2, 3, ts. matiisia A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33. (68) Kun muutetaan koodinaatistoa, nämä luvut muuttuvat, mutta silti ne takoittavat samaa tensoia. Koodinaattimuunnoksista on lyhyesti keottu liitteessä.] Antisymmetinen osuus Jokainen tensoi A ij voidaan jakaa symmetiseen ja antisymmetiseen osaan A ij = 1 2 (A ij + A ji ) (A ij A ji ). (69) Sovelletaan tätä tensoiin v i / x j : v i = 1 ( vi + v ) j + 1 ( vi v ) j x j 2 x j x i 2 x j x i = e ij + ij. (70) Antisymmetinen osuus ij vastaa matiisia (71) Tämä voidaan yhtä hyvin kijoittaa 0 R 3 R 2 R 3 0 R 1. (72) R 2 R 1 0 Suhteellinen liike (65) voidaan nyt kijoittaa v i x j ξ j δt = (e ij + ij )ξ j δt. (73) Tämän antisymmetinen osuus siitää hiukkasen paikasta ξ i paikkaan ξ i + ij ξ j δt. (74) ts. ξ ξ+(r 2 ξ 3 R 3 ξ 2, R 3 ξ 1 R 1 ξ 3, R 1 ξ 2 R 2 ξ 1 )δt, (75) eli ξ ξ + R ξδt. (76) Tämä on vektoin ξ jäykkä pyöiminen kulmanopeudella R. Kulmanopeuden komponentit saadaan vetaamalla kaavoja (70) ja (72): R 1 = 32 = 1 2 R 2 = 13 = 1 2 R 3 = 21 = 1 2 ( v 3 x 2 ( v 1 x 3 v2 x 3 ) = 1 2 ( v) 1 v3 x 1 ) = 1 2 ( v) 2 ( ) v 2 x 1 v1 x 2 = 1 2 ( v) 3. (77) Todetaan että pyöimisen kulmanopeus on 1 2 v. Tämä yleinen tulos on sama kuin pääteltiin leikkausvitaukselle edellä. Symmetinen osuus Koska siityminen ja pyöiminen ovat ainoat liikkeet, joihin ei sisällä muodonmuutosta, kuvaa jäljellä oleva liike ξ i ξ i + e ij ξ j δt (78) muodonmuutosta. Lineaaialgebasta tiedetään että jokainen symmetinen matiisi on sopivalla kannanvaihdolla saatavissa diagonaaliseen muotoon, siis e ij = e e e 3 Tällaisessa koodinaatistossa siis ξ 1 ξ 1 + e 1 ξ 1 δt, ξ 2 ξ 2 + e 2 ξ 2 δt,. (79) ξ 3 ξ 3 + e 3 ξ 3 δt. (80) eli kolmessa kohtisuoassa suunnassa tapahtuu venytys tekijöillä (1 + e 1 δt), (1 + e 2 δt) ja (1 + e 3 δt). Negatiivinen e 1 vastaa kokoonpuistumista 1-suunnassa, ja vastaavasti muissa suunnissa. 9

11 Tilavuus muuttuu tekijällä (1 + e 1 δt)(1 + e 2 δt)(1 + e 3 δt) = 1 + (e 1 + e 2 + e 3 )δt + O(δt 2 ). (81) Lineaaialgebasta (toivottavasti) myös tiedetään, että matiisin jälki (diagonaalielementtien summa) on iippumaton kannan valinnasta. Siis e 1 + e 2 + e 3 = e 11 + e 22 + e 33 = v 1 x 1 + v 2 x 2 + v 3 x 3 = v. (82) Siis tilavuuden muutosnopeus on veannollinen v:hen. Kokoonpuistumattomalle nesteelle tämä häviää, kuten on luonnollista. Epätasaiselle leikkausvitaukselle saadaan pyöteisyys v = u(y)i (88) v = u (y)k. (89) Jos u(y) muuttuu nopeasti kahden vakioavon välillä, saadaan pyöepinta, jossa pyöteisyys on ajoittunut vain ohueen keokseen. Tällainen pyöepinta syntyy esimekiksi tuulessa jonkin esteen taakse. Esimekkejä Tasainen leikkausvitaus Tälle vitaukselle u = βy, v = 0, v i x j = v = βk. (83) 0 β , (84) mistä saadaan antisymmetiselle ja symmetiselle osuudelle 0 β/2 0 0 β/2 0 ij = β/2 0 0, e ij = β/ Pyöimisen kulmanopeudelle saadaan R = 1 2βk. Koska symmetisen osuuden diagonaalielementtien summa on nolla, ei tapahdu tilavuuden muutosta. Muodonuutos sen sijaan tapahtuu siten, että nestealkio venyy suunnassa i + j ja puistuu kasaan suunnassa i + j. Matemaattisesti tämän voi todeta etsimällä ominaisavot e ja ominaisvektoit a, joilla e 11 e 12 e 13 e 21 e 22 e 23 e 31 e 32 e 33 a 1 a 2 a 3 = e a 1 a 2 a 3. (86) Jotta yhtälöllä olisi nollasta poikkeava atkaisu, täytyy deteminantin e 11 e e 12 e 13 e 21 e 22 e e 23 = 0, (87) e 31 e 32 e 33 e mistä ominaisavot voidaan atkaista. Esimekkitapauksessamme ominaisavot ovat β/2, β/2 ja 0, ja vastaavat ominaisvektoit (1, 1, 0)/ 2, ( 1, 1, 0)/ 2 ja (0, 0, 1). Kaksiulotteisen vitauksen pyöteisyydelle saadaan napakoodinaatistossa lauseke (katso liite) v = k ( (vθ ) v ). (90) θ Katsotaan ympyävitausta v = 0, v θ (). Jäykälle pyöimiselle v θ = D saadaan v = 2Dk. (91) Pyöeviivalle v θ = C/ lasketaan kaavasta (90) v = 0 (92) kun 0. Siis pyöeviivassa pyöteisyys näyttäisi olevan. (85) nolla. Miksi tätä silti kutsutaan pyöevitauksesi johtuu siitä, että vitauksen keskipisteessä pyöteisyys välttämättä on nollasta poikkeava. v θ = C/:n singulaiteetti voidaan katkaista esim. jäykästi pyöivällä atkaisulla v θ = D kun < a. Kun vaaditaan että v θ on jatkuva = a:ssa saadaan D = C/a 2, jolloin pyöteisyydelle keskialueessa saadaan 2C/a 2. 10

12 5. Hydostatiikka Hydostatiikka on hydodynamiikan osa-alue, jossa tutkitaan levossa olevaa nestettä tai kaasua. Levossa kaikki voimat kumoavat toisensa. Voimat voidaan jakaa tilavuusvoimiin ja jännitysvoimiin. Tilavuusvoima on ulkoisesta kentästä neste-elementtiin vaikuttava voima. Yleisin esimekki tästä on gavitaatiovoima. Tilavuusvoimalle määitellään voima massaa kohti, f = df dm = 1 df ρ dv, (93) missä jälkimmäinen muoto seuaa koska massa dm = ρdv. Tilavuusvoima (93) esiintyy jatkossa usein diffeentiaalisessa muodossa df = ρf dv, (94) missä tilavuusvoiman veannollisuus tilavuuteen on selvästi näkyvissä. Lisäksi määitellään potentiaali Φ kaavalla f = Φ. (95) Tasaiselle gavitaatiovoimalle voidaan helposti todeta f = gẑ, Φ = gz, (96) missä g on gavitaatiokiihtyvyys ja z pystysuoa koodinaatti. Pyöimisliikkeeseen kulmanopeudella Ω liittyy myös kiihtyvyys Ω 2. Pyöivässä koodinaatistossa tätä vastaava näennäinen keskipakoisvoima ja sen potentiaali ovat f = Ω 2 ˆ, Φ = 1 2 Ω2 2, (97) kun pyöiminen on z-akselin ympäi sylinteikoodinaateissa (, θ, z). Toisen luokan voimia muodostavat jännitysvoimat, jotka vaikuttavat nesteosasten välillä. Takastellaan kuvaa, jossa puoleen 1 kohdistuu pintaelementin ds kautta voima puoli 2 puoli 1 df = ΣdS (98) Pinnan nomaali n valitaan voiman kohteesta (puoli 1) poispäin. Tällöin kuvan tapaus, missä Σ n > 0, vastaa vetoa. Ehkä yleisempi tapaus on kuitenkin puistus, missä Σ n < 0, ja kuvassa Σ siten osoittaisi alaspäin. 5.1 Jännitystensoi Pyitään seuaavaksi määäämään kuinka jännitysvoima Σ iippuu pinnan suunnasta n. Tässä ei vielä tehdä oletusta levossa olevasta nesteestä, joten käsittely pätee yleisesti. Heti aluksi päätellään Newtonin kolmannesta laista, että saman pintaelementin ds kautta puoleen 2 kohdistuva voima on vastakkaismekkinen kuin puoleen 1 kohdistuva voima. Puolen 2 nomaalivektoi on n, joten tämä voidaan kijoittaa kaavana A i k P Σ( n) = Σ(n). (99) C Yleisemmän tuloksen saamiseksi takastellaan kuvan pyamidia. Sen tahkojen pinta-alat olkoon B BP C : δa 1, AP C : δa 2, AP B : δa 3, j ABC : δa. (100) Tahkojen ulospäin suunnatut nomaalit ovat BP C : i, AP C : j, AP B : k, ABC : n. (101) Pinta-alojen ja nomaalien välille saadaan elaatiot δa 1 = i nδa, δa 2 = j nδa, δa 3 = k nδa. (102) Ulkopuolelta kohdistuu pinnan BP C läpi sisäpuoleen voima Σ( i, )ds (103) BP C Tayloin kehitelmällä saadaan Σ( i, ) = Σ( i, P ) + O(δ Σ). (104) Näin ollen saadaan voimaksi Σ( i, P )δa 1 + O(δA 1 δ Σ). (105) 11

13 Samaan tapaan saadaan ei seinien kautta tulevat voimat BP C : Σ( i, P )δa 1, AP C : Σ( j, P )δa 2, AP B : Σ( k, P )δa 3, ABC : Σ(n, P )δa, (106) lisättynä kojaustemeillä suuuusluokkaa δa i δ Σ. Pyamidin liikeyhtälö on nyt (a on kiihtyvyys, jätetään P mekitsemättä) ρaδv = ρfδv + Σ(n)δA +Σ( i)δa 1 + Σ( j)δa 2 + Σ( k)δa 3 +kojauksia (107) Jaetaan tämä δa:lla ja annetaan pyamidin koon (muotoa muuttamatta) lähestyä nollaa. Saadaan 0 = 0 + Σ(n) + Σ( i)i n +Σ( j)j n + Σ( k)k n + 0 (108) Käyttäen kaavaa (99) saamme vihdoin Σ(n) = Σ(i)i n + Σ(j)j n + Σ(k)k n (109) Määitellään vielä ( = 1, 2, 3) Tällöin (109) saa muodon σ n = [Σ(n)], σ 1 = [Σ(i)], σ 2 = [Σ(j)], σ 3 = [Σ(k)]. (110) σ n = σ 1 n 1 + σ 2 n 2 + σ 3 n 3 (111) Jännitysvoima (98) saa nyt muodon df i = σ ij ds j, (112) mistä iippuvuus pinnan suunnasta ds j = ds n j on heti todettavissa. Sanallisesti: jännitys suuntaa n saadaan laskemalla jännitykset suuntiin i, j ja k ja laskemalla ne yhteen n i :llä painotettuina. Suuetta σ ij = σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 (113) kutsutaan jännitystensoiksi. Voidaan osoittaa että tämä tensoi on symmetinen, σ ij = σ ji. (114) Lasku noudattaa samaa ideaa kuin yllä paitsi että voimien sijasta lasketaan voimien momenttia. Muodostamalla liikeyhtälö nähdään, että kaikki muut temit menevät nollaan ajalla V 0 paitsi σ ij :n epäsymmetisyydestä tuleva temi, jonka siis täytyy olla nolla. Lasku on esitetty Patesonin kijassa. Yleisen teoeeman mukaan symmetinen (ja eaalinen) tensoi voidaan aina saattaa diagonaaliseen muotoon valitsemalla koodinaattiakselit sopivasti. Tällaisessa koodinaatistossa siis σ ij = σ σ σ 3. (115) Tällainen matiisi voidaan aina esittää summana isotooppisesta (= kaikkiin suuntiin samanlainen) ja epäisotooppisesta matiisista + σ σ σ 3 = 1 3 σ ii σ σ ii σ σ ii σ σ ii, (116) missä σ ii = σ 1 + σ 2 + σ 3. Epäisotooppisen osuuden diagonaalielementtien summa on nolla. Jännitystensoi nesteissä ja kaasuissa Yllä oleva jännitystensoin käsittely on iippumaton aineen olomuodosta, ja onko se liikkeessä vai levossa. Seuaavaksi takastellaan vain nesteitä ja kaasuja. Pääväittämä on että nesteissä ja kaasuissa, kun ne ovat levossa, jännitystensoi on isotooppinen. Ajatellaan esimekiksi tapausta, jossa olisi σ 2 > σ 1. Tämä saisi aikaan nesteen vitauksen, ts. sitä ei voi esiintyä tasapainotilassa. F = σ y S v Tasapainossa esiintyvä isotooppinen jännitys tulkitaan hydostaattiseksi paineeksi p, siis σ ij = pδ ij. (117) Miinusmekki johtuu siitä että paine vastaa puistusta, missä neste-elementtiin kohdistuva jännitysvoima on sisäänpäin, df = pds = p ds n. (118) [Katso määitelmät kaavan (98) yhteydessä.] 12

14 Kun neste vitaa, on epäisotooppinen osuus yleisesti nollasta poikkeava. Tähän palataan myöhemmin. 5.2 Tasapainoehto Tutkitaan tiettyyn alueeseen V kohdistuvia voimia. Sen ulkopuolelta siihen kohdistuu jännitysvoima (112) σ ij ds j. (119) S Lisäksi vaikuttaa tilavuusvoima (94) ρf i dv. (120) V Tasapainon vallitessa näiden summa täytyy olla nolla, ρf i dv + σ ij ds j = 0. (121) V Käyttämällä kaavaa (117) ja divegenssilausetta (liite) saadaan (ρf i p )dv = 0. (122) x i V Tämä täytyy toteutua kaikille mahdollisille alueille. Tällöin ainoa mahdollisuus on, että integoitava häviää, eli ρf p = 0, (123) mikä on hydostaattinen tasapainoyhtälö. Esimekkejä Kijoitetaan tasapainoyhtälö käyttäen potentiaalia f = Φ: p = ρ Φ. (124) Ottamalla molemmista puolista saadaan S ρ Φ = 0. (125) Tästä nähdään että ρ:n ja Φ:n gadientit ovat samansuuntaisia. Siis pinnalla missä Φ on vakio, täytyy myös ρ:n olla vakio. Eityisesti tämä koskee nesteen vapaata pintaa, minkä täytyy siis vastata Φ:n vakioavoa. Φ = vakio ρ = vakio mistä integoimalla saadaan p(z) = p(0) g z Jos tiheys voidaan olettaa vakioksi saadaan 0 ρ(ζ)dζ. (127) p(z) = p(0) gρz. (128) 2) Tasaisesti pyöivässä nesteessä tulee potentiaaliin lisäksi keskipakoisvoimasta tuleva osuus. Pystysuoalle pyöimisakselille z potentiaali on Φ = gz 1 2 Ω2 2 (129) Nesteen pinta vastaa tämän vakioavoa, eli pinta on paaboloidi z = z Ω2 2 /g. Paine nesteen sisällä saadaan yhtälöstä (124): Olettamalla tiheys vakioksi saadaan p = ρω2, p θ = 0, p = ρg. (130) z p = p 0 ρgz ρω2 2. (131) 5.3 Hydostaattiset voimat Edellä takasteltua jännitysvoimaa (118) voidaan käyttää myös laskettaessa kiinteisiin kappaleisiin tai seinämiin kohdistuvia voimia. Tutkitaan tätä tasaisen gavitaation tapauksessa Φ = gz. Kiinteään kappaleeseen kohdistuvalle voimalle saadaan lauseke F = p ds, (132) missä integointi on kappaleen pinnan S yli. Edellä johdettiin että kaasussa/nesteessä vallitseva paine p (127) samoin kuin tiheys ovat vain koodinaatin z funktioita, p(z) ja ρ(z). Seuaavassa yleistetään p ja ρ takoittamaan näitä funktioita kaikkialla, myös kappaleen sisällä. F z S 1) Tasaisen gavitaation tapauksessa Φ = gz. Edellisestä päätellään, että tasapainossa tiheys voi olla vain z:n funktio, ρ(z). Samoin paine on samaa muotoa ja sille saadaan kaavasta (124) dp(z) dz = gρ(z), (126) g ρ(z) Divegenssilauseesta (liite) saadaan F = p(z) ds = p(z) dv. (133) S V 13

15 Käyttämällä tasapainoehtoa p = ρf = ρgẑ saadaan F = gẑ ρ(z) dv, (134) V missä siis integoidaan nesteen/kaasun tiheysfunktiota ρ(z) kappaleen tilavuuden V yli. Tämä on Akhimedeen laki. Sanallisesti ilmaistuna kappaleeseen kohdistuu noste, joka on yhtä suui kuin kappaleen syjäyttämän neste/kaasumäään paino. Olettamalla ρ = vakio, vastaten esimekiksi nesteessä upoksissa olevaa kappaletta, saadaan Momentti on sama kuin jos koko voima (138) vaikuttaisi pisteeseen kokeudella kanavan pohjasta. ζ = 1 6 [H3 (H h) 3 ] 1 2 [H2 (H h) 2 ] (142) F = gρv ẑ. (135) Kanavan luukkuun kohdistuva voima z=0 h H P Vasemmalta vaikuttaa voima (l on luukun leveys, p 0 ilman paine) 0 H Oikealta vaikuttaa voima p 0 hl + (p 0 ρgz)ldz = p 0 Hl ρgh2 l. (136) h H Kokonaisvoimaksi saadaan [p 0 ρg(z + h)]ldz = p 0 Hl ρgl(h h)2. (137) F = 1 2 ρgl[h2 (H h) 2 ], (138) missä p 0 :n vaikutusta ei enää näy. Ehkä yllättävästi, voima ei iipu pelkästään nestepintojen kokeuseosta h, vaan myös kanavan syvyydestä H. Lasketaan vielä voimien momentti pisteen P suhteen. Jättäen p 0 pois saadaan vasemmalta ja oikealta 0 H ( ρgzl)(z + H)dz = 1 6 ρglh3 (139) h H [ ρgzl(z + h)](z + H)dz = 1 6 ρgl(h h)3. (140) Kokonaismomentti siis on 1 6 ρgl[h3 (H h) 3 ]. (141) 14

16 6. Liikeyhtälö Muodostamme nyt liikeyhtälön. Takastelemme paikallaan olevaa aluetta ja laskemme kuinka paljon sen sisällä oleva liikemäää muuttuu. Tämä muutos aiheutuu kolmesta osasta. 1) Liikemäään kulkeutuminen alueen V pinnan S läpi vitauksen mukana. Samaan tapaan kuin jatkuvuusyhtälön tapauksessa (27), tästä aiheutuu sisällä olevan liikemäään muutosnopeus dp (1) i dt sillä liikemäään tiheys on ρv i. = ρv i v ds, (143) S 2) Voimat jotka vaikuttavat suoaan tilavuuden sisälle. Newtonin lain mukaan näistä aiheutuu liikemäään muutosnopeus dp (2) i = ρf i dv. (144) dt 3) Pinnan S läpi jännitystensoista aiheutuva voima. Kun nomaali on ulospäin, aiheutuu tästä sisällä olevaan liikemääään muutosnopeus dp (3) i dt = V S σ ij ds j, (145) Toisaalta liikemäää V :n sisällä on P i = ρv i dv. (146) V Tämän muutosnopeus siis d ρv i dv = ρv i v ds + ρf i dv + σ ij ds j. dt V S V S (147) Kijoitetaan ρv i v ds = ρv i v j ds j ja muutetaan kaikki tilavuusintegaaleiksi. Saadaan V ( ρvi + ρv iv j x j ρf i σ ij x j ) dv = 0. (148) Koska tämän pitää olla voimassa kaikille alueille V, on ainoa mahdollisuus että integoitava häviää, ρv i + ρv iv j x j Käyttämällä jatkuvuusyhtälöä = ρf i + σ ij x j. (149) ρ + (ρv) = 0 (30) voidaan liikeyhtälön (149) vasen puoli kijoittaa yksinketaisempaan muotoon ρ v i + ρv v i j = ρf i + σ ij. (150) x j x j Huomataan että vasemman puolen toinen temi on ρv v. Vasen puoli on siis tiheys ketaa nopeuden konvektiivinen deivaatta (41). Liikeyhtälö voidaan kijoittaa siis myös ρ Dv i Dt = ρf i + σ ij x j. (151) Jotta liikeyhtälöä voitaisiin soveltaa, on tunnettava σ ij. Jos käytämme tälle samaa muotoa kuin päättelimme hydostatiikassa σ ij = pδ ij (117), saamme ρ Dv Dt Tämä tunnetaan Eulein yhtälönä. = ρf p. (152) Eulein yhtälö toimii hyvin monissa tapauksissa, mutta toisissa se johtaa selvästi viheellisiin tuloksiin. Pyitään seuaavassa ymmätämään, mitä olennaista vielä puuttuu. Viskositeetti Jos aine olisi täysin jatkuvaa, olisi Eulein yhtälö vamaankin iittävä. Aine kuitenkin koostuu hiukkasista (atomeista tai molekyyleistä). Sen lisäksi että nämä vitaavat keskimäääisellä nopeudella v, kulkee kukin hiukkanen omaa vasin satunnaista ataansa, kun se tömäilee muihin hiukkasiin. Tätä kutsutaan diffuusioksi. U+u U s Tutkitaan tapausta, jossa meillä pinnan S ei puolilla on eisuuet keskimäääiset nopeudet, molemmat pinnan suuntaisia. Satunnaisliikkeen takia hiukkasia kulkeutuu pinnan läpi molempiin suuntiin. Yläpuolelta tulevilla hiukkasilla on kuitenkin keskimääin suuempi liikemäää x-suuntaan kuin alapuolelta tulevilla. Siksi liikemääää kulkeutuu pinnan läpi vaikka keskimäääinen massan vitaus pinnan läpi häviää. Tällaista liikemäään kulkeutumista kutsutaan viskositeetiksi. (Se että tämä vastaa kokemustamme, että esim. öljyllä on suuempi viskositeetti kuin vedellä, tulee ilmeiseksi vasta myöhemmin.) Nopeuden epäjatkuvuutta ealistisempi tapaus on jatkuva nopeuden muutos U(y). Hydodynamiikassa oletetaan, että diffuusiosta aiheutuva liikemäään kulkeutuminen on pientä. Tällöin voidaan olettaa, että se on suoaan veannollista nopeuden deivaattaan du/dy. Tämä takoittaa että mahdollisista kokeammista deivaatoista tai du/dy:n kokeammista potensseista tulevat kojaukset oletetaan mitättömiksi. Liikemäään kulkeutumisen takia ylä- ja alapuolen välillä vaikuttaa jännitysvoima, joka voidaan ottaa mukaan y x 15

17 jännitystensoin komponentilla σ xy. Yllä olevan mukaan sen oletetaan olevan muotoa σ xy = µ U y. (153) Tässä esiintyy ainetta kuvaava veannollisuuskeoin µ. Pyimme nyt selvittämään viskositeetin yleisen muodon. Kijoitamme σ ij = pδ ij + σ ij (154) missä σ ij on viskoosinen jännitystensoi. Tasainen liike ei voi johtaa viskositeettitemeihin, joten σ ij = 0 jos v on vakio. Toisaalta oletamme viskositeettitemit pieneksi, joten niiden täytyy olla suoaan veannollisia nopeuden deivaattaan, eli tensoiin v i / x j (67). Yleisesti tällainen veannollisuus on neljännen asteen tensoi A ijkl : σ ij = A ijkl v l x k. (155) Seuaavaksi väitämme että tasainen pyöiminen ei myöskään voi johtaa nollasta poikkeavaan σ ij :hin. Peusteluna voidaan esittää, että tasainen pyöiminen on tasapainotila, jossa liike-enegia ei voi muuttua lämmöksi (kuten enegialle viskositeetin vaikutuksesta yleisesti tapahtuu). Tämän peusteella σ ij voi iippua ainoastaan tensoin v i / x j symmetisestä osuudesta e ij = 1 ( vi + v j 2 x j x i ). (156) Seuaavaksi väitämme että ainoa mahdollinen elaatio (155) on muotoa ( σ ij vi = a + v ) j v k + bδ ij. (157) x j x i x k Peusteluna on lähinnä se, että yitäpä keksiä jokin yleisempi muoto, joka ei asettaisi mitään avauuden suuntaan eityisasemaan toisiin nähden. On tapana kijoittaa (157) ekvivalenttiin muotoon ( σ ij vi = µ + v j 2 ) v k v k δ ij + Kδ ij, (158) x j x i 3 x k x k joka samalla määittelee vakiot µ ja K. Tämä on jatkossa käytännöllisempi muoto, koska sulkulausekkeen jälki häviää. Todetaan että yksinketaisen nesteen tai kaasun viskositeetin kuvaamiseksi tavitaan kaksi viskositeettikeointa, µ ja K. Nestettä/kaasua jonka viskoosinen jännitystensoi on kaavan (158) mukainen kutsutaan newtonilaiseksi. 6.1 Navie-Stokes-yhtälö Sijoitetaan nyt jännitystensoi (154) ja (158) liikeyhtälöön (151), jolloin saadaan ρ Dv i Dt = ρf i p + ( µ v i + µ v ) j x i x j x j x i + [ ] (K 2 x 3 µ) v k. (159) i x k Tämä on Navie-Stokes-yhtälö yleisimmässä muodossaan. Useimmissa tapauksissa voidaan µ ja K olettaa vakioiksi. Tällöin Navie-Stokes-yhtälö saa muodon ρ Dv Dt = ρf p + µ 2 v + ( K µ) v. (160) Jos neste/kaasu on myös kokoonpuistumatonta, v = 0, saa Navie-Stokes-yhtälö muodon ρ Dv Dt = ρf p + µ 2 v. (161) Jos viskositeetti ei ole olennainen, voidaan olettaa µ K 0, ja saadaan Eulein yhtälö ρ Dv Dt = ρf p. (152) Paikallaan olevalle nesteelle (v = 0) Navie-Stokes-yhtälö (159) edusoituu hydostaattiseksi tasapainoyhtälöksi ρf p = 0. (123) Eityisesti yllä olevia kehystettyjä yhtälöitä tullaan takastelemaan jatkossa. Viskositeettiketoimet µ ja K tiedetään mittauksista. Keoin µ saadaan mittaamalla leikkausvitausta, jota takastellaan myöhemmin. Keoin K liittyy kokoonpuistuvuuteen, ja sen avo voidaan päätellä ääniaallon vaimenemisesta. Yleisesti K on samaa suuuusluokkaa kuin µ. Jakamalla Navie-Stokes-yhtälö (161) tiheydellä saadaan Dv Dt = f 1 ρ p + ν 2 v, (162) missä on määitelty kinemaattinen viskositeetti ν = µ/ρ. Alla muutamia avoja tiheydelle ρ ja viskositeeteille µ ja ν. aine ρ (kg/m 3 ) µ [kg/(m s)] ν (m 2 /s) ilma 1, vesi elohopea oliiviöljy glyseiini Oleellisempaa kuin viskositeetin avot sinänsä on veata ei temien suuuuksia. Usein keskeinen suue on inetiaalitemin ρv v ja viskoosin temin µ 2 v suhde. Jos esimekiksi vitaus nopeudella U kulkee kappaleen ohi, ja kappaleen kokoa kuvaa pituus a, on temien suuuusluokkien suhde Re = ρua µ, (163) 16

18 mitä kutsutaan Reynoldsin luvuksi. Esimekiksi ilman vitaus nopeudella 1 m/s ja a = 10 cm antaa Re = (164) Tässä tapauksessa viskoositemi on hyvin pieni veattuna inetiaalitemiin. Tästä huolimatta viskoositemillä voi olla olennainen vaikutus vitaukseen, kuten myöhemmin tullaan näkemään. Navie-Stokes on vektoiyhtälö, joten komponentteina kijoitettuna se vastaa kolmea yhtälöä. Yhdessä jatkuvuusyhtälön kanssa ne muodostavat neljän yhtälön yhmän. Niissä esiintyy tuntemattomina neljä kenttää v x (, t), v y (, t), v z (, t) ja p(, t). Ilman todistusta väitetään, että kyseiset neljä yhtälöä määäävät juui nämä neljä kenttää. Lisätietoina tavitaan kuitenkin, miten tiheys iippuu paineesta, ρ(p), mikäli aine on kokoonpuistuvaa. Lisäksi tavitaan eunaehtoja. Tyypillisin eunaehto on että nopeus v häviää, v = 0, (165) kiinteän kappale pinnalla (olettaen että kappale on paikallaan). Tämä on luonnollista nopeuden nomaalikomponentille, mutta se pätee vasin hyvin myös tangentiaalikomponentille. v v On syytä mainita että täydellisessä hydodynaamisessa teoiassa on vielä yksi lisämuuttuja ja sitä vastaava diffeentiaaliyhtälö. Muuttajaksi voidaan valita vaikka sisäinen enegia ɛ, lämpötila T tai entopia. Lisäyhtälö saadaan enegian säilymisestä. Kijoitetaan se tässä ilman johtoa, ρ Dɛ Dt = p + µ 2 ( vi + v j 2 x j x i 3 v k δ ij x k ) 2 +K( v) 2 + (k T ). (166) Huomataan että tässä esiintyvät samantyyppiset temit kuin viskoosin jännitystensoin σ ij lausekkeessa (158). Nähdään että aina kun σ ij 0, sisäinen enegia kasvaa. Tämä takoittaa, että vitauksen enegia muuttuu viskositeetin vaikutuksesta lämmöksi. Toinen huomattava seikka on, että kun lämpötila ei ole vakio, lämpö johtuu kuumemmasta kylmempään. Tätä kuvaa yhtälön (166) viimeinen temi, ja vakio k on lämmönjohtavuus. Jatkossa takastelemme tapauksia, joissa lämpötila ei ole oleellinen muuttuja. Siksi meille iittää Navie-Stokes- ja jatkuvuusyhtälö, emmekä tavitse enegiayhtälöä (166). Pyöivä koodinaatisto Pienenä lisäyksenä Navie-Stokes-yhtälöön käsittelemme pyöivää koodinaatistoa. Mekaniikan kussissa on (toivottavasti) johdettu, että jos pyöivässä koodinaatistossa mielivaltaiselle vektoille A(t) laskettu aikadeivaatta on (DA/Dt), on vastaava aikadeivaatta inetiaalikoodinaatistossa ( ) ( ) DA DA = + Ω A. (167) Dt Dt i Tämä on lyhyesti johdettu myös liitteessä D. Tässä Ω on kulmanopeusvektoi, jolla pyöivä koodinaatisto pyöii. Soveltamalla sääntöä paikkavektoiin saadaan v i = ( D Dt ) i = ( D Dt ) + Ω = v + Ω. (168) Soveltamalla sääntöä toistamiseen saadaan ( ) ( ) Dvi D = (v + Ω ) + Ω (v + Ω ) Dt i Dt ( ) Dv = + 2Ω v + Ω (Ω ), (169) Dt missä on oletettu että Ω on vakio. Sijoitetaan tämä Navie-Stokes-yhtälöön. Koska jatkossa kaikki ilmaistaan pyöivässä koodinaatistossa, voidaan indeksi jättää pois, jolloin Navie-Stokes-yhtälö saa muodon ρ Dv + 2ρΩ v + ρω (Ω ) Dt = ρf p + viskositeettitemit. (170) Tässä temi 2ρΩ v kuvaa Coiolisvoimaa, ja temi ρω (Ω ) keskipakoisvoimaa. Yhtälöä (170) saadaan yksiketaistettua seuaavasti. Hydostaattisessa tapauksessa (v = 0) se edusoituu muotoon ρω (Ω ) = ρf p 1, (171) missä painetta on mekitty p 1 :lla. Tämä vastaa tasaista pyöimistä, ja se atkaistiin edellä [kaava (131)]. Vähentämällä (171) liikeyhtälöstä ja mekitsemällä p 2 = p p 1 saadaan ρ Dv Dt + 2ρΩ v = p 2 + visk. (172) Jatkossa on oleellista veata temien v v ja 2Ω v (173) suuuuksia. Oletetaan että takastellaan ilmastoa, jolloin tyypillinen mittakaava on 1000 km ja nopeus 10 m/s. Koska Ω = /s, on näiden kahden temin suuuusluokat yksiköissä m/s /( ) ja (174) 17

19 7. Navie-Stokes-yhta lo n atkaisuja eli 10 4 ja (175) Kokoonpuistumattomalle vitaukselle on atkaistava yhta lo t Na hda a n etta Coiolistemi on dominoiva ta ssa tapauksessa. Jos vitauksen mittakaava olisi yksi meti, Coiolistemi olisi ha via va n pieni, ja siksi silla ei ole mekitysta ammeesta tyhjentyva n veden tapauksessa. v v + ρv v ρ Ilmaston tapauksessa voidaan ensimma isessa appoksimaatiossa ja tta a aikadeivaatta ja viskoosit temit pois, jolloin saadaan 2ρΩ v = p2. ja Z p2 () = p2 (0) + (176) = p + µ 2 v. (179) Na ista nelja sta yhta lo sta pita isi atkaista nelja tuntematonta v ja p. Na illa yhta lo illa on muutamia helposti saatavia atkaisuja, joita nyt takastelemme. (177) 7.1 Vitaus kahden tason va lissa Oletetaan paikallaan olevat seina t y = ±a ja vitaus 2ρΩvθ ()d. 0, (Ta ssa temi ρf on eliminoitu va henta ma lla hydostaattinen yhta lo ρf p1 = 0, ja mekitsema lla p2 = p p1 :ta yksiketaisesti p:lla.) Ta lla on atkaisu v = vθ θ, Ω = Ωk, = (178) v = U (y)i. 0 Na hda a n etta ilma vitaa vakiopaineka yia pitkin. Coiolisvoima ja painegadientti kumoavat toisensa. Pohjoisella pallonpuoliskolla (Ω > 0) tuulet kieta va t matalapainealueita (dp2 /d > 0) positiiviseen kietosuuntaan (vθ > 0). (180) y 2a v x Jatkuvuusyhta lo toteutuu automaattisesti. Liikeyhta lo sta saadaan d2 U p +µ 2, x dy p 0 =, y p 0 =. z 0 = (181) Kahdesta ja lkimma isesta saadaan, etta p on vain x:n funktio, p(x). Todetaan etta ensimma isessa yhta lo ssa dp/dx voi iippua vain x:sta ja µd2 U /dy 2 voi iippua vain y:sta. Jotta ta ma olisi mahdollista, ta ytyy kummankin temin olla vakio, siis dp d2 U = G, µ 2 = G. dx dy (182) Ta ssa G on painegadientti, ja paineen pita a olla suuempi vasemmalla, jotta vitaus olisi oikealle (x-akselilla). Paineelle saadaan p = c1 Gx. Myo s nopeus saadaan helpolla integoinnilla Oheisessa sa a katassa tuulet ovat la hes vakiopaineka yien suuntaiset, ja kietosuunta on ylla olevan tuloksen mukainen. (La hde: Helsingin sanomat) U = c2 + c3 y G 2 y, 2µ (183) missa c1, c2 ja c3 ovat vakioita. Reunaehtoina vaaditaan U = 0 kun y = ±a. Ta sta saadaan nopeudelle U= 18 G 2 (a y 2 ). 2µ (184)

20 Tulokset voi ilmaista myös mekitsemällä paineita kanavan päissä p = p 0 kun x = 0 ja p = p 1 kun x = l, jolloin saadaan p = p 0 p 0 p 1 x, l U = p 0 p 1 (a 2 y 2 ). (185) 2µl Lasketaan vielä seinään kohdistuva voima. Alapinnalla pinnan nomaali n = j (siis voiman kohteesta poispäin). Olemme eityisesti kiinnostuneet voimasta suuntaan i. Tällöin voima pinta-alayksikköä kohti saadaan [kaavan (112) mukaan] jännitystensoin komponentista σ 12. Tälle lasketaan käyttäen kaavoja (154) ja (158) σ 12 = σ 12 = µ ( du dy ) y= a = (p 0 p 1 )a. (186) l Tämä siis seinälle y = a. Seinälle y = +a saadaan vastakkaismekkinen σ 12 mutta molempiin seinämiin kohdistuu sama voima (koska nomaalin suunta on vastakkainen). Lasketaan nesteeseen vaikuttava kokonaisvoima. Mekitään kanavan leveyttä z suuntaan L:llä. Voiman x-komponentille saadaan 1) ylä- ja alaseinistä 2(p 0 p 1 )al, 2) vasemmalta 2aLp 0 ja 3) oikealta 2aLp 1. Nähdään että kokonaisvoima häviää niin kuin kuuluukin, sillä muuten liike olisi kiihtyvää. Tästä esimekistä nähdään, että viskositeetti µ vastaa kokemustamme viskositeetista: samalla paine-eolla vitausnopeus pienenee kun viskositeetti kasvaa, tai tavitaan suuempi paine-eo saman vitauksen aikaansaamiseen. 7.2 Vitaus putkessa Tutkitaan vitausta pyöeässä putkessa ja oletetaan 2a z v = U()k. (187) v Ratkaisu on hyvin samantyyppinen kuin edellä. Hankaluutta lisää kuitenkin se että liikeyhtälö on lausuttava sylinteikoodinaateissa. Eityisesti 2 v ei löydy nomaaleista taulukkokijoista, mutta se on useimmissa hydodynamiikan kijoissa. Seuaten Patesonia peustellaan lauseke vain eikoistapausta (187) vaten. Koska k on vakiovektoi, 2 (U()k) = k 2 U(). Tälle saadaan liitteestä B k 2 U() = k ( d 2 U d ) du. (188) d Liikeyhtälö saadaan muotoon 0 = p, 0 = 1 p θ, 0 = p z + µ ( d 2 U d Nämä atkaistaan kuten edellä ja saadaan p = p 0 Gz, ) du. (189) d U = G 4µ (a2 2 ). (190) Tämä atkaisu tunnetaan Poiseuillen kaavana. Vitausnopeus on paabolinen ja maksimissaan U max = Ga 2 /4µ kun = 0. Seinämiin kohdistuva leikkausjännitys voidaan laskea jännitystensoista (158), missä tavittavan muodonmuutostensoin 2e ij (156) lauseke sylinteikoodinaateissa on johdettu liitteessä B, kaava (356). Saadaan (n = ˆ, ollaan kiinnostuttu voimasta ẑ) ( ) du σ z = σ z = µ = 1 Ga, (191) d =a 2 ja kokonaisvoima Keskinopeus on U ave = 1 πa 2 F = 2πal 1 2 Ga = πa2 lg. (192) a 0 U()2πd = Ga2 8µ = 1 2 U max. (193) Nähdään että kokonaisvitaus Q = πa 2 U ave = πga 4 /8µ on veannollinen painegadienttiin ja putken halkaisijan neljänteen potenssiin. 7.3 Dimensioanalyysi Dimensioanalyysi on käsite, joka usein esitetään hydodynamiikan yhteydessä, vaikka kysymyksessä on asia joka on yhteinen kaikelle fysiikalle, ja muillekin matemaattisille tieteille. Esitän tässä dimensionanalyysin yhdistettynä yhtälöiden numeeiseen atkaisuun, ja palataan vasta sen jälkeen muihin käyttötapoihin. Oletetaan että olisi atkaistava numeeisesti Navie-Stokes-yhtälöyhmä v = 0 ρ v + ρv v = p + µ 2 v. (179) Tietokoneen muistipaikoille voi kuitenkin syöttää vain lukuja, ei laatuja. Siksi esim. koodinaatille x kijoitamme 19

21 x = X x 0, missä X on tietokoneen muistipaikkaan sijoitettava laaduton luku. Ketova tekijä x 0 on laatu (dimensio). Se voi olla esim. x 0 = 1 m tai 20 mm. Usein ei kuitenkaan ole tavetta kiinnittää sille mitään numeoavoa. Esimekiksi, jos tutkitaan vitausta putkessa, jonka halkaisija on D, on hyvä valinta x 0 = D. Samaan tapaan valitaan laadut muille suueille. Esimekiksi nopeudelle v = V v 0 ja ajalle t = T t 0. Nopeuden laaduksi on luonnollista valita v 0 = x 0 /t 0. Yhtälön (179) atkaisuna halutaan nopeuskenttä v(x, y, z, t). Tietokoneen muistissa se on muodossa V (X, Y, Z, T ). [Muistin ajallisuuden takia V on laskettu vain diskeeteissä pisteissä, ja muissa pisteissä sen avo saadaan intepoloimalla. Ei kiinnitetä huomiota tähän tällä ketaa.] Fysikaalinen v(x, y, z, t) saadaan kaavasta v(x, y, z, t) = V ( x x 0, y x 0, z x 0, t t 0 )v 0 (194) ja vastaavasti painekenttä p(x, y, z, t) = P ( x x 0, y x 0, z x 0, t t 0 )p 0. (195) Sijoitetaan kentät yhtälöihin (179). Mekitään nablaa laaduttomien yksiköiden suhteen Saadaan R = ( X, Y, ). (196) Z R V = 0 (197) V T + V RV = p 0 ρv0 2 R P + µ 2 ρv 0 x RV. 0 Kiinnitetään nyt paineen yksikkö p 0 = ρv 2 0 ja Reynoldsin luku Re = ρx 0v 0 µ, (198) niin saadaan yhtälöyhmäksi R V = 0 V T + V RV = R P + 1 Re 2 RV. (199) Todetaan että tämä iippuu ainoastaan paametista Re. Reunaehdoista iippuen yhtälöyhmän atkaisut iippuvat myös muista laaduttomista paameteista. Esimekiksi vitaus suoakaiteen muotoisessa putkessa iippuu suoakaiteen sivujen pituuksien suhteesta. Yllä olevalla on voitettu se, että numeeinen lasku on suoitettava vai kean kullakin Reynoldsin luvun avolla. Fysikaalinen atkaisu kahta paksummalla putkella mutta puolella vitausnopeudella (tai kaksinketaisella viskositeetin avolla) saadaan samasta numeeisesta atkaisusta vaihtamalla laatuja. Edellistä tulosta voidaan käyttää myös koetulosten yleistämiseen. Riittää tutkia vain yhtä nestettä yhdessä putkessa ei vitausnopeuksilla. Näin saaduista tuloksista voidaan päätellä tulokset ei kokoisille putkille ja ei viskositeetin ja tiheyden nesteille. Testit eikokoisilla putkilla osoittavat kokeiden tukevan edellä johdettuja skaalauslakeja. Oheisessa kuvassa on esitetty kokeellisesti mitattu paine-eo putkessa muodossa p 0 p 1 l = ρu ave 2 2D f(ρdu ave µ, e ). (200) D Funktio f (fiction facto) iippuu Reynoldsin luvun lisäksi putken pinnan epätasaisuuksien kokeudesta e. (Kuva Wikipediasta: chat) Kun Re < 2000, on Poiseuillen laminaainen atkaisu (190) yhtäpitävä koetulosten kanssa. (Ratkaise f:n lauseke tässä tapauksessa.) Suuemmilla avoilla havaitaan kokeissa useimmiten epäsäännöllinen ja aikaiippuva tubulentti vitaus. Tubulentti vitaus on suui ongelma teoeettisesti. Mitään takkaa analyyttistä atkaisua ei ole löydetty. Suuuusluokat kyllä pystytään avioimaan. Navie-Stokes-yhtälöitä voidaan atkaista myös numeeisesti (esimekkisimulaatiota), mutta nämä vaativat unsaasti laskentaa, ja täysin tubulentin tapauksen käsittely on silti hyvin vaikeaa. Insinööit käyttävät tubulentille vitaukselle kaavoja, jotka peustuvat yksiketaisiin funktioihin, joiden paametit on sovitettu kokeellisiin tuloksiin. On syytä koostaa, että tubulentti vitaus on Navie-Stokes-yhtälöiden atkaisu. (Numeeiset laskut tukevat tätä päätelmää.) Siis Navie-Stokes-yhtälöissä sinänsä ei ole mitään vikaa. Kysymyksessä on vain näiden yhtälöiden tavattoman monimutkainen atkaisu. Tällaisia kaoottisia atkaisuja esiintyy tyypillisesti epälineaaisilla yhtälöillä. Navie-Stokes-yhtälön epälineaaisuus tulee temistä V R V kaavassa (199). Pienellä Reynoldsin luvuilla tämän temin vaikutus on pieni, jolloin vitaus on laminaaista. Suuella Reynoldsin luvuilla viskoositemi ei iitä vaimentamaan epälineaaisesta temistä aiheutuvaa epästabiilisuutta. 20

22 Edellä käsiteltiin vitausta putkessa. Nämä tulokset voidaan kvalitatiivisesti yleistää muihinkin tapauksiin, esimekiksi vitaukseen jonkin kappaleen ohitse. Pienillä Reynoldsin luvuilla vitaus on laminaaista. Suuilla Reynoldsin luvuilla vitaus on tubulenttia. Millä Reynoldsin luvulla laminaainen vitaus tulee epästabiiliksi, iippuu kappaleen muodosta ja siitä kuinka huolellisesti koe tehdään (esim. kuinka laminaaista vitaus alun pein on). Peustellaan vielä kaavan (200) muoto. Edellä johdettiin että numeeinen lasku laaduttomilla suueilla antaa, että paine on muotoa (195), missä laaduton funktio P lisäksi voi iippua vain Reynoldsin luvusta ja suhteellisista pinnan epätasaisuuksista e/x 0. Siis p(x, y, z, t) = p 0 P ( x x 0, y x 0, z x 0, t t 0, ρx 0v 0 µ, e x 0 ). (201) Toisaalta keskiavopaine-eo pitkässä putkessa ei voi iippua x:tä, y:stä eikä ajasta t. Lisäksi sen tulee olla lineaainen z:ssa. Saadaan siis jollain toisella funktiolla F p(z) p 0 = vakio + z x 0 F ( ρx 0v 0 µ, e x 0 ). (202) Tämä on sama kuin yhtälö (200), kun vain yksiköt x 0 ja v 0 on valittu sopivasti. Vielä joitain huomioita skaalauksesta. Kun katsoo yhtälöä (199), jossa ei esiinny mitään muita ykkösestä poikkeavia ketoimia kuin Reynoldsin luku, luulisi naivisti, että vaihtuminen kahden ei atkaisutyypin välillä tapahtuisi sunnilleen kun Re 1. Se että todellisuudessa tämä tapahtuu lähellä avoa Re 2000 on mielenkiintoinen osoitus siitä, että edellinen päättely ei aina toimi hyvin. Skaalaus mahdollistaa mallikokeiden tekemisen. Sen sijaan että kokeiltaisiin laivan pohjan, potkuin tai lentokoneen muotoja täysikokoisina, voidaan tehdä niistä pienoismalleja. Jotta pienoismalleilla saatavat tulokset olisivat skaalattavissa täysikokoiseen tapaukseen, on huolehdittava että Reynoldsin luku on sama mallissa ja todellisuudessa. Joissain tapauksissa skaalauksen takkuus heikkenee, kun yhtälö (179) ei enää ole iittävä appoksimaatio. Näin esimekiksi kun gavitaatio (esim. laivan synnyttämät aallot) tai kaasun kokoonpuistuvuus (esim. lentäminen lähellä äänen nopeutta) tulevat olennaisiksi. 7.4 Rajakeos U(y,t) U 0 Tutkitaan ongelmaa jossa neste/kaasu on aluksi levossa levyn y = 0 yläpuolella. Hetkestä t = 0 alkaen levy alkaa y x liikkua vakionopeudella U 0 i. Oletetaan että nopeuskenttä on muotoa v = U(y, t)i. (203) Täsmällisemmin sanottuna eunaehdot ovat U(0, t) = U 0 kun t > 0, U(y, 0) = 0 kun y > 0, U(y, t) 0 kun y, kaikilla t. (204) Jatkuvuusyhtälö toteutuu automaattisesti, ja Navie-Stokes-yhtälö antaa ρ U = p x + µ 2 U y 2, 0 = p y, 0 = p z. (205) Nähdään että paine ei voi iippua y:stä eikä z:sta. Mutta se ei voi iippua myöskään x:stä eikä t:stä, sillä muutoin levyn liike vaikuttaisi jopa ajalla y. Siis p = vakio. Jäljelle jää yhtälö U = ν 2 U y 2 (206) Tämä tunnetaan diffuusioyhtälönä. Yhtälö on aivan sama, kuin tutkittaisiin molekyylien leviämistä huokoisessa aineessa (U molekyylien konsentaatio) tai lämmön johtumista kiinteässä aineessa (U lämpötila). Seuaten Patesonia, atkaistaan yhtälö (206) seuaavasti. Ensinnäkin, yhtälö on lineaainen U:ssa. Siten nopeuskentän tulee olla suoaan veannollinen U 0 :aan. Lisäksi yhtälössä esiintyy vain suueet y, t ja ν, joten atkaisun täytyy olla muotoa U(y, t) = U 0 f(y, t, ν). (207) Nyt kuitenkin suueista y, t ja ν voi muodostaa vain yhden laaduttoman suueen. Jatko on helpointa, jos täksi valitaan η = y. (208) 4νt Siis etsitään atkaisua muodossa Reunaehdot vaativat että y U(y, t) = U 0 f( ). (209) 4νt U(0, t) = U 0 f(0) = 1, U(y, 0) = 0 f( ) = 0, U(, t) = 0 f( ) = 0. (210) Sijoittamalla yhtälöön (206) saadaan f (η) = 2ηf (η). (211) 21

23 Tämän atkaisu on f (η) = Ae η2. (212) Integoimalla ja vaatimalla eunaehto ääettömyydessä saadaan f(η) = A η e s2 ds. (213) Reunaehto η = 0:ssa vaatii ( ) 1 A = e s2 ds = 2 (214) π Ratkaisu on siten 0 2 U(y, t) = U 0 π e s 2 ds. (215) y 4νt Kun kappaleen pituus on L, kestää vitaus siiven ohi suunnilleen ajan t L/U. Analogisesti edellisen laskun kanssa, muodostuu siiven pinnalle ajakeos. Sen paksuus siiven takaosassa on suuuusluokkaa d ν t νl ν U = L UL = L. (217) Re Nähdään, että ajakeos voi olla hyvin ohut siiven kokoon veattuna, jos Reynoldsin luku on suui. Esimekiksi pujekoneella U = 15 m/s ja L = 1 m, saadaan d 1 mm. Ratkaisu voidaan ilmaista myös ef-funktion avulla, f(η) = 1 ef(η). (216) ef(η) η Ratkaisulla on mielenkiintoisia ominaisuuksia. 1) funktion muoto on sama kaikilla ajanhetkillä. Ajan nelinketaistuessa leviää atkaisu y-akselilla kaksinketaiseksi U(y)/U 0 t = 1, 4, 16, 64 t ) funktio on oleellisesti nollasta poikkeava vain kun η < 1.5, eli levyä päällystää ajakeos paksuudelta y 3 νt. Rajakeoksen ulkopuolella neste/kaasu on lähes levossa. 7.5 Yleinen vitaus kappaleen ohi Vitaviivainen kappale Tutkitaan vitausta vitaviivaisen kappaleen, esim. siiven, ohi. U L y U U U Oheisessa kuvassa on hahmoteltu vitausnopeus ei poikkileikkauksissa kun Re 1. Siiven kohdalla vitausnopeus siiven ympäillä kasvaa sillä ilmamäää, joka kulkee siiven ohi, on kaikissa poikkileikkauksissa oltava sama. Kuitenkin aivan siiven pinnalla nopeus siipeen nähden häviää eunaehdon v = 0 takia. Tämä nopeuden pudotus tapahtuu hyvin ohuessa ajakeoksessa, kun Re 1. Rajakeoksessa vitaus on voimakkaasti pyöteistä, v U/d. Tämä pyöteisyys säilyy ja leviää siiven jälkeisessä vanassa (wake), jonka paksuus νx/u kasvaa kuten etäisyyden x neliöjuui. Jatkossa tullaan kehittelemään ajatusta, että viskositeetti on mekityksellistä vain ajakeoksessa ja vanassa. Näiden ulkopuolella viskositeetti voidaan jättää huomiotta, jolloin Navie-Stokes-yhtälö edusoituu Eulein yhtälöksi. Näin esimekiksi nopeuden kasvu siiven ympäillä voitaisiin laskea Eulein yhtälöstä. Epävitaviivainen kappale Takastellaan esimekiksi vitausta sylintein ohi. U p suui p pieni p pieni toisiovitaus p suui 22

24 Rajakeoksen ulkopuolella tulemme takastelemaan Eulein yhtälöä ja näemme, että suuempi vitausnopeus sylintein sivuilla johtaa siihen että paine siellä on pienempi kuin sylintein edessä ja takana, jossa nopeus on pieni. Esimekiksi suuempi paine sylintein takana jauttaa nesteen nopeutta kun se siityy sivulta taakse. Sama painejakauma on voimassa myös ajakeoksessa. (Edellä olevassa laskussa paine oli vakio pinnan nomaalin suunnassa.) Toisaalta aivan pinnan lähellä nopeus on pieni, joten mitään jautusta ei tavita. Sen sijaan paine-eo saa aikaan toisiovitauksen sylintein pinnalla, joka suuntautuu takaa sivuille. Riittävän suuella Reynoldsin luvulla tämä saa aikaan ajakeosvitauksen itoamisen sylintein pinnalta. Syntyy pyöepinta ja leveä vana. U Pieni Reynoldsin luku pyöepinta vana Edellä on keskitytty suuiin Reynoldsin lukuihin. Jos luku on pieni, ulottuu viskositeetin vaikutus laajalle, eikä ole jäkevää eotella mitään ajakeosta. Kun Re on hyvin pieni, Re < 1, voidaan Navie-Stokes-yhtälöä (179) yksinketaistaa jättämällä pois epälineaainen temi v v. Tällöin voidaan johtaa mm. että nestevitauksessa paikallaan olevaan palloon kohdistuva voima on (Stokesin kaava) F = 6πµaU, (218) missä a on pallon säde ja U nopeus kaukana pallosta. Voidaan laskea myös sylinteiin kohdistuva voima. Hankalan laskun tuloksena saadaan, että samalla voimalla saadaan sylintei liikkumaan akselinsa suunnassa kaksi ketaan nopeammin kuin akselia kohtisuoassa. (Voimat molemmissa tapauksissa ovat liikkeen suuntaan.) F U U F nopeudella U 0 i. p p 0 U 0 α x x Jos kapenemiskulma α on pieni, vitauspofiili on hyvin takasti sama kuin laskettiin edellä kaavassa (183), mutta nyt vakiot c 2, c 3 ja G ovat x:n funktiota. Nähdään että jos kyseessä olisi puhdas leikkausvitaus (G 0), niin väliin pakkautuisi vasemmalta enemmän nestettä kuin oikealta vitaisi pois. Jotta saavutettaisiin tasapainotilanne, syntyy väliin ympäistöä suuempi paine (kuva), joka ajaa ylimäääisen nesteen pois [G(x) 0]. Tämä ylipaine estää kiinteiden pintojen suoan kosketuksen, jolloin sekä vastusvoima liikkeelle että osien kuluminen on atkaisevasti pienempi kuin suoassa kosketuksessa. Uiminen, sillä tavalla kuin me sen tunnemme, peustuu olennaisesti nesteen hitauteen. Siksi sama tyyli ei onnistu pienen Reynoldsin luvun tapauksessa. Bakteeit voivat uida pyöittämällä siimaa. Esimekiksi pyöittäessään kokkiuuvin muotoista siimaa syntyy liike eteenpäin johtuen edellä mainitusta tekijän 2 eosta sylintein nopeudessa ei liikesuuntiin. Teknisesti eittäin täkeä pienen Reynoldsin luvun ilmiö on voitelu. Takastellaan nestettä (tai kaasua) kapenevassa välissä, missä alempi seinämä liikkuu 23

25 8. Viskoositon vitaus Edellisen peusteella viskositeetti on keskeinen 1) aina kun Reynoldsin luku on pieni, ja 2) suuella Reynoldsin luvulla ajakeoksessa. Myös pyöepinnalla ja vanassa viskositeetilla on vaikutusta, mutta se ei välttämättä ole dominoiva. Näiden alueiden ulkopuolella viskositeetin mekitys on pieni. Seuaavassa pyitään tutkimaan alueita, joissa viskositeetti voidaan jättää huomiotta, mukaan lukien likimäääisesti myös pyöepinnat ja vana. Tutkitaan siis Eulein yhtälöä (152). Sen paina on jatkuvuusyhtälö (30) ρ + (ρv) = 0, v + v v = f 1 p. ρ (219) Yksiketaisuuden vuoksi takastellaan kokoopuistumatonta vitausta, ja kijoitetaan voima potentiaalin avulla (95), jolloin yhtälöt ovat v 8.1 Pyöteisyys v = 0, + v v = ( Φ + p ). (220) ρ Edellä on määitelty sikulaatio polun l yli kaavalla Γ = v d, (57) l Tähän läheisesti liittyvä suue on pyöteisyys ω = v. Tämä johtuu siitä että Stokesin lauseen (331) mukaan viivaintegaali (57) voidaan muuttaa pintaintegaaliksi pinnan yli, jonka eunan polku muodostaa. Siis Γ = v ds = ω ds. (221) S Takastellaan esimekiksi pyöeviivaa. Tässä Γ 0, mutta vitaus pyöteen ytimen ulkopuolella on pyöteetöntä. Tällainen viiva ei voi päättyä nesteen/kaasun sisällä. Sillä jos näin olisi, voitaisiin integointipinta valita kokonaan pyöteettömässä alueessa kulkevaksi, ja silloin Γ häviäisi. Päättelemme siis että vitauspyöteet voivat vain sulkeutua itseensä (esim. savuengas) tai päättyä johonkin ajapinnalle (esim. tonado). Sama pätee pyöepintoihin. Lasketaan nyt kuinka paljon sikulaatio muuttuu, kun samalla annetaan polun muuttua vitauksen mukana. Lasketaan siis DΓ Dt = D v d. (222) Dt Nyt on deivoitava myös viivaelementtiä d, koska se muuttuu vitauksen mukana. Saadaan ( ) DΓ Dv Dt = Dd d + v. (223) Dt Dt S Jälkimmäisessä temissä voidaan vaihtaa D:n ja d:n jäjestystä ja saadaan v Dd = v d D Dt Dt = v dv = d( 1 2 v2 ). (224) Käyttäen Eulein yhtälöä (220) saadaan DΓ Dt = d(φ + p ρ 1 2 v2 ) = 0, (225) sillä sulkulausekkeen sisällä on yksikäsitteinen funktio, jonka muutos suletulla polulla täytyy hävitä. Tulos DΓ Dt = 0 (226) tunnetaan Kelvinin teoeemana. Siis vitauksen mukana liikkuvan polun yli laskettu sikulaatio pysyy vakiona. Oletuksena oli viskoositon, kokoonpuistumaton vitaus. Usein viskositeetti ei ole häviävän pieni. Silloin Kelvinin teoeema ei ole takasti voimassa, mutta saattaa silti olla hyvä appoksimaatio kun ei takastella kovin pitkää aikaväliä. Kelvinin teoeeman mukaan pyöeviivat ja -pinnat liikkuvat vitauksen mukana. Edellä on takasteltu pyöeviivan nopeuskenttää, joka sylinteikoodinaateissa on v = Γ 2π ˆθ. (55) Takastellaan nyt esimekkinä kahta pyöeviivaa, joiden sikulaatio on vastakkaisiin suuntiin. v V d v V Vasemmanpuoleinen pyöe aiheuttaa oikeanpuoleisen kohdalla nopeuden V = Γ/2πd, missä Γ on yhden pyöteen sikulaatio ja d on pyöteiden etäisyys. Oikeanpuoleinen taas aiheuttaa saman suuuisen ja suuntaisen nopeuden vasemman pyöteen kohdalla. Tuloksena on että pyöepai ja samalla koko vitauskenttä etenee muotoaan muuttamatta samaan suuntaan nopeudella Γ/2πd. Edellinen esimekki kuvaa myös pyöeengasta (jonka näkyvä muoto on savuengas), sillä siinä vastakkaisilla laidoilla pyöimissuunta on vastakkaisen. Myös pyöeengas etenee muotoaan muuttamatta, kun Kelvinin teoeeman oletukset on täytetty. (Pyöeenkaan nopeus on hieman hankalampi laskea kuin pyöepain 24

26 koska pitää laskea enkaan itseensä indusoima nopeus, ja se iippuu myös pyöteen ytimen akenteesta, mutta on samaa suuuusluokkaa kun pyöepaille kun d on enkaan halkaisija.) Esimekkejä pitkäikäisistä pyöteistä: 1) tombit ja huikaanit. 2) Tuuli maa pinnan lähellä muistuttaa leikkausvitausta, ja on siksi pyöteistä. Kelvinin teoeeman mukaan pyöeviivat eivät voi leikata esimekiksi savupiippua, ja siksi ne taipuvat sen ympäi, ja aiheuttavat alaspäinvitauksen savupiipun takana. (kuva) 3) lentokoneesta aiheutuvat pyöeviivat, joita takastellaan jäljempänä. Toinen täkeä seuaus Kelvinin teoeemasta on että jos vitaus alun pein on pyöteetön, se myös jää pyöteettömäksi. Palataan tähän hetken päästä. 8.2 Benoullin yhtälö Jos nopeuskenttä on tiedossa, voidaan Eulein yhtälö tulkita yhtälöksi paineelle. Pyitään nyt atkaisemaan paine. Rajoitutaan pysyvään (ajasta iippumattomaan) vitaukseen. Liitteessä on johdettua identiteetti (327), joka nopeusvektoiin sovellettuna on v v = ( 1 2 v2 ) v ( v), (227) Käytetään tätä Eulein yhtälössä (220), jolloin saadaan v ω = ( 1 2 v2 + Φ + p ). (228) ρ Otetaan tämän pistetulo nopeuden suuntavektoin s kanssa. Vasen puoli häviää, joten Tästä seuaa että s ( 1 2 v2 + Φ + p ) = 0. (229) ρ 1 2 v2 + Φ + p = vakio vitaviivaa pitkin. (230) ρ Tämä on Benoullin yhtälön eäs muoto. S P R Q h Sovelletaan Benoullin yhtälöä vitaukseen astiasta kuvan tapauksessa. Pisteissä P (nopeus V, poikkipinta-ala A) ja Q (nopeus v, poikkipinta-ala a) saadaan 1 2 V 2 + gh + p 0 ρ = 1 2 v2 + p 0 ρ, (231) missä p 0 on ilmanpaine. Massan säilyminen antaa toisen yhtälön ρv A = ρva. (232) Näistä saadaan Tästä saadaan V 2 ( A2 1) = 2gh. (233) a2 dh 2gha dt = V = 2 A 2 a 2. (234) Olettamalla a A saadaan dh 2gha dt = 2 A 2. (235) Ratkaisemalla diffeentiaaliyhtälö saadaan h = ( h0 Tyhjentymisajaksi saadaan A a ) 2 ga 2 2A 2 t. (236) 2h 0 g. (237) Veataan pisteitä P ja R. Koska nopeus on molemmissa saman, on paine pisteessä R hydostaattisen paineen vean suuempi. Kuljettaessa vitaviivaa eteenpäin, paine alkaa lopulta pudota ja neste kiihtyä, kunnes paine on taas ilmanpaine pisteessä Q. Yllä olevissa tuloksissa ei ole huomioitu viskositeettia. Viskositeetin vaikutuksesta tyhjennysputken eunoille muodostuu ajakeos. Yllä olevat tulokset pitävät likimääin paikkansa jos ajakeoksen paksuus on pieni veattuna tyhjennysputken halkaisijaan. Sylinteiin kohdistuva voima Hajoitustehtävänä on vitausta sylintein ympäi kuvattu vitafunktiolla ) ψ = U ( a2 sin θ. (59) Jäljempänä tullaan peustelemaan, että tämä on Eulein yhtälön atkaisu. Siksi sitä voi käyttää kuvaamaan vitausta suuilla Reynoldsin luvuilla ajakeoksen ja vanan ulkopuolella. Lasketaan tätä käyttäen sylinteiin kohdistuva voima. 25

27 ψ = vakio Takastellaan vielä tapausta, jossa sylintein ympäi on pyöeviivaa vastaava vitaus. Pyöeviivalle johdettiin edellä vitafunktio (56) sekä todettiin sikulaatioksi Γ = 2πC, joten vitafunktio voidaan kijoittaa U ψ = 0 a θ ψ = Γ 2π ln a. (243) Yhdistetään tämä vitaus edelliseen, jolloin koko vitafunktio on Sylintein pinta vastaa vitaviivaa ψ = 0, ja sillä 1 2 v2 + p ρ = vakio = 1 2 U 2 + p 0 ρ. (238) Vitafunktiosta saadaan nopeudeksi pinnalla 2U sin θˆθ, joten p = p ρu 2 (1 4 sin 2 θ). (239) Vitaussuuntaan vaikuttavaksi kokonaisvoimaksi (pituusyksikköä kohti) saadaan F = π π pa cos θdθ, (240) koska jokaisessa pinta-elementissä adθ voima kohdistuu sylintein keskustaan. Saadaan F = 0. Tätä kutsutaan d Alembetin paadoksiksi. Todellisuudessa sylintein pinnalle muodostuu ajakeos ja peään vana. Tämän takka laskeminen ei ole helppoa, mutta voidaan tehdä kakea suuuusluokka-avio samaan tapan kuin avioitiin ajakeoksen paksuutta d (217). Näin saadaan F aσ 12 aµ U d aρu 2 Re. (241) Tässä siis oletetaan nopeuden olevan sen vean pieni, että ajakeos ei itoa. Kun suuemmalla nopeudella ajakeos itoaa sylintein pinnalta, ei yllä oleva lasku päde ollenkaan. Kun vitaus itoaa, putoaa paine sylintein takasyjällä lähelle tasapainopainetta p 0, kun taas sylintein etupuolella p on oleellisesti sama kuin edellä. Tästä päättelemme vastusvoimalle kakean avion F aρu 2. (242) Veattaessa itoamattoman ajakeoksen tapaukseen (241), on tämä vastusvoima huomattavasti suuempi, tekijällä Re. Jos halutaan minimoida vastusvoima, on kappale siten suunniteltava niin että vitauksen itoamista tapahtuisi mahdollisimman vähän. Tässä suhteessa edellä käsitelty vitaviivaisen kappaleen muoto, pyöeä etueuna, litteä muoto ja suippo takaeuna, on ideaalinen. ψ = U( a2 ) sin θ Γ 2π ln a. (244) Oheisessa kuvassa on piietty ψ:n tasaväliset vakioavokäyät kun Γ = 2πaU. U F a θ Laskemalla kaavoista (52) vitausnopeus sylintein pinnalla todetaan, että vitauksella on olemassa pysähtymispiste kun F Γ 4πaU. (245) Oletetaan että näin on, jolloin saadaan Benoullin yhtälöstä p + 1 ( 2 ρ 2U sin θ Γ ) 2 = p πa 2 ρu 2. (246) Voimalla voi nyt olla sekä vitauksen suuntainen että sitä vastaan kohtisuoa komponentti. Laskemalla saadaan ja F = π π pa cos θdθ = 0, (247) π F = pa sin θdθ π = ρuγ π sin 2 θdθ π π = ρu Γ. (248) Saadaan siis vitausta vastaan kohtisuoa voima. Se voidaan kvalitatiivisesti ymmätää siten että toisella puolen sylinteiä nopeus on suuempi kuin toisella ja siksi näissä on paine-eo. 26

28 Siipi Potentiaaliteoialla (seuaava luku) voidaan muodostaa Eulein yhtälön atkaisu myös siipimäisen muodon, ns. Zhukovskin siipipofiilin (Patesonin kijassa Joukowski aeofoil ) ympäillä. Oheisessa kuvassa siiven paksuus on valittu suueksi paemman näkyvyyden saavuttamiseksi. Γ = -κ v siiven lähtöpaikka Γ = κ Γ = 0 Kuvassa on esitetty vitaviivat siinä tapauksessa että sikulaatio siiven ympäi häviää, Γ = 0. Tällöin myös siiven nostovoima häviää, F = 0, ts. edellä laskettu tulos sylinteille pätee iippumatta kappaleen muodosta. Tämä kuvaa vitausta pienillä nopeuksilla, niin hyvin kuin viskoositon teoia siihen pystyy. Yllä olevassa kuvassa kiinnittää huomiota, että pysähtymispiste siiven jättöpuolella on siiven yläpinnalla siiven takaeunan etupuolella. Siten alapuolelta kulkeva vitaus joutuu tekemään jykän mutkan siiven takaeunan ympäi. Tämän takia alapuolelta tuleva ajakeos helposti itoaa siivestä. a) b) Näin syntyy siiven ja sen lähtöpaikan väliin alaspäin suuntautuva ilmavitaus. Ajatellen lentokonetta, jossa siipien käkiväli on L, syntyy suoakaiteen muotoinen suljettu pyöeviiva pinta-alaltaan LU t. Kokonaisliikemäää tässä vitauksessa on Newtonin lain mukaan gmt, missä M on lentokoneen massa (vähennettynä sen syjäyttämän ilman massalla). Lentokone pysyy ilmassa koska siivet siitävät painovoimasta johtuvan pystysuoan liikemäään muutoksen tälle pyöevitaukselle. Benoullin yhtälön muita sovellutuksia - pitotputki - kuistusputki Kokeile itse - puhallus kahden iippuvan pallon väliin - pallo nousevassa ilmaviassa - lankaulla ja levy: puhallus ullan läpi estää alla olevaa levyä putoamasta Siivestä itoaa pyöe, jonka ympäi sikulaatio κ > 0. Koska kokonaissikulaatio säilyy, muodostuu tämän seuauksena siiven ympäille sikulaatio Γ = κ. Tällöin siipeen kohdistuu nostovoima F 0. Sikulaation seuauksena pysähtymispiste siityy lähemmäs siiven takaeunaa. Sikulaatiota itoaa kunnes pysähtymispiste on siitynyt siiven takaeunalle. Tällöin nopeus on tasainen siiven takaeunan kohdalla, kuten seuaavassa kuvassa. Γ < 0 Ajatellaan että siipi ja ilma on aluksi paikallaan, mutta ajanhetkellä t = 0 siipi lähtee liikkeelle nopeudella U. Edellä kuvatun posessin seuauksena syntyy kaksi pyöettä. 27

29 9. Potentiaaliteoia Tutkitaan millä edellytyksillä vitaus voidaan olettaa pyöteettömäksi, v = 0. (249) Takastellaan esimekiksi vitausta jonkin kappaleen ohi. Pyöteisyyden muutosta vitauksen mukana voidaan tutkia Kelvinin teoeemalla (226). Jos voidaan olettaa, että alkutilassa (kaukana kappaleesta) vitaus on pyöteetöntä, tämä osoittaa että vitaus säilyy pyöteettömänä. Siis vitaus suuella Reynoldsin luvulla voidaan jakaa kahteen alueeseen: 1) ajakeokseen ja vanaan, joissa vitaus on pyöteellistä. 2) Näiden ulkopuoliseen alueeseen, jossa vitaus on pyöteetöntä (249). Pyöteettömyys koskee myös esimekiksi ammeessa aluksi paikallaan olevaa vettä. Kun ammeen tulppa avataan, säilyy vitaus pääosin pyöteettömänä. Poikkeuksena ovat pyöteen ydin ja ajakeos ammeen pohjalla, missä viskositeetti on olennainen. Pyöteettömyysoletus on voimassa myös ääniaaltojen ja veden pinta-aaltojen tapauksessa, joita tutkitaan myöhemmin. Pyöteettömälle vitaukselle on jäkevää määitellä nopeuspotentiaali φ kaavalla v = φ. (250) Tällöin pyöteettömyysehto (249) on automaattisesti toteutunut. (Tehtävä: vetaa nopeuspotentiaalin ja vitafunktion määitelmiä.) Usein voidaan olettaa, että vitaus on sekä pyöteetöntä että kokoonpuistumatonta, v = 0 ja v = 0. (251) Tästä seuaa että nopeuspotentiaali toteuttaa Laplace-yhtälön 2 φ = 0. (252) Todetaan, että useat edellä peusteluitta esitetyt vitaukset toteuttavat molemmat ehdot (251). Näitä ovat vitaus kohti seinää (15), adiaalinen vitaus (53), pyöeviiva (56), vitaus sylintein ohi (59) ja Zhukovkin siipipofiilivitaus, sekä kaikki niiden yhdistelmät. Nämä voidaan nyt peustella seuaavasti. Väitetään että vitaus, joka toteuttaa ehdot (251), on aina Navie-Stokes-yhtälön (161) atkaisu. Sen sijaan eunaehdot eivät useimmiten kuitenkaan ole oikeat. Todistus: Käyttäen kaavoja (227), (250) ja ρ = vakio saadaan Navie-Stokes-yhtälö muotoon ( φ v2 + Φ + p ρ ) = v ( v) + ν 2 φ. (253) Nähdään että vasemman puolen temit häviävät koska v = 0 ja 2 φ = 0 (nablojen jäjestys voidaan vaihtaa). Jäljelle jää vain ehto φ v2 + Φ + p = f(t). (254) ρ missä f(t) on jokin vain ajasta iippuva funktio. Tämä on Benoullin yhtälön vaihtoehtoinen muoto. Huomaa, että siinä esiintyvä suue (254) ei ole vakio vain vitaviivaa pitkin, vaan kaikkialla. Olemme siis osoittaneet, että vitauskenttä, joka toteuttaa kaavat (251), on myös Navie-Stokes-yhtälön atkaisu, ja paine määäytyy Benoullin yhtälöstä (254). Lähes poikkeuksetta ehdot (251) toteuttava vitaus ei toteuta Navie-Stokes-yhtälön atkaisuilta vaadittavia eunaehtoja (165). Sen vuoksi tällaista vitausta on kojattava käsittelemällä ajakeos eikseen. Nähdään että ehdot (251) toteuttavien vitausten systemaattinen etsiminen johtaa Laplacen yhtälön (252) atkaisemiseen. Tätä kutsutaan potentiaaliteoiaksi. Potentiaaliteoia on myös käytössä sähköopissa, sillä ajasta iippumattoman sähkö- ja magneettikentän potentiaalit toteuttavat sen. Ratkaisumenetelmiä Laplacen yhtälö on lineaainen, joten sille on paljon helpompi löytää atkaisuja kuin Navie-Stokes-yhtälölle. Yhteen Laplace-yhtälön atkaisumenetelmään, muuttujien eotteluun, olemme jo tutustuneet hajoitustehtävissä ja liitteessä C. Mainitaan tässä toinen menetelmä, jolla voidaan atkaista kaksiulotteisia potentiaaleja. Muodostetaan paikkakoodinaateista x ja y kompleksiluku z = x + iy. Ajatellaan että meillä on jokin analyyttinen funktio f(z), esim f(z) = z 3 tai f(z) = cos(z). Funktio f(z) voidaan jakaa eaali- ja imaginaaiosiin f = u + iv. Matematiikan kusseissa osoitetaan että analyyttinen funktio toteuttaa Cauchy-Riemann-yhtälöt u x = v y, u y = v x. (255) Näiden peusteella voi helposti osoittaa, että sekä u(x + iy) että v(x + iy) toteuttavat Laplace-yhtälön 2 u x u y 2 = 0, 2 v x v = 0. (256) y2 Lisäksi nähdään, että jos f:n eaaliosa tulkitaan nopeuspotentiaaliksi, u = φ, on imaginaaiosa sama kuin vitafunktio, v = ψ. Nähdään siis että jokainen analyyttinen funktio voidaan tulkita joksikin vitaukseksi. Vitausongelmia atkaistaessa taas on konstuoitava sopiva analyyttinen funktio, jonka muodostama vitaus toteuttaa annetut ehdot. Esimekiksi vitaus sylintein ohi (59) saadaan funktiosta f(z) = U (z + a2 z ). (257) 28

30 Mainittakoon että Zhukovskin siipivitaus saadaan implisiittisesti määitellystä funktiosta f(z) = e iα w µ a z = w + 1 w + a e iα (w µ) w µ + iγ ln, a missä a = 1 µ takaa siiven teävän takaeunan, ja esimekiksi µ = i. α kuvaa vitauksen tulosuuntaa ja γ sikulaatiota. Lisää esimekkejä potentiaaliteoian käytöstä löytyy Patesonin kijan luvusta XI, sekä täydellisempi selitys kompleksisesta potentiaalista ja sen käytöstä luvuista XVI ja XVII. (258) 10. Ääniaallot Ääniaallot ovat paineessa ja aineen tiheydessä tapahtuvia vaihteluja, jotka etenevät vasin nopeasti. Niitä esiintyy kaikissa kolmessa olomuodossa, mutta tässä takastellaan vain nesteitä ja kaasuja. Ääniaallon nopeus ilmassa on m/s ja vedessä m/s. Kiinteissä aineissa se yleensä on suuempi. Tyypillinen paineenvaihtelu ääniaallossa ilmassa on N/m 2. Suhteellinen paineenvaihtelu on siten välillä , joskin on mahdollista synnyttää paljon voimakkaampiakin aaltoja (esim. äjähdykset). Ihminen kuulee ääniaaltoja noin väliltä Hz. Matalimmat taajuudet tunnetaan väinänä. Kokeampia taajuuksia kutsutaan ultaääneksi. Seuaavassa johdamme aaltoyhtälön ääniaalloille. Patesonin kijasta poiketen lähdetään liikkeelle peiaatteessa jatkuvuusyhtälöstä ja Navie-Stokes-yhtälöstä. Koska kuitenkin oletamme viskositeetin häviävän pieneksi, voimme kovata Navie-Stokesin Eulein yhtälöllä. Siis 29 ρ + (ρv) = 0, ρ v + ρv v = p. (259) Huomaa että toisin kuin useimmiten edellä, emme oleta ainetta kokoonpuistumattomaksi. Ääniaallot ovat peusesimekki tapauksesta missä nesteen/kaasun kokoonpuistuvuus on olennaista. Tietäen että paineen vaihtelu ääniaallossa on vähäistä, atkaistaan yhtälöt (259) lineaisoinnilla. Takastellaan ensin tasapainotilaa, missä p = p 0 ja ρ = ρ 0 ovat vakioita ja v 0. Tällöin yhtälöt (259) toteutuvat identtisesti. Seuaavaksi kijoitamme p = p 0 + p, ρ = ρ 0 + ρ, v = v. (260) Suueet p ja ρ, ja v oletetaan nyt niin pieniksi, että kun lausekkeet (260) sijoitetaan yhtälöihin (259), voidaan jättää pois kaikki temit, jotka ovat toista tai kokeampaa astetta pilkutetuissa suueissa. Eityisesti temistä v v ei siten tule mitään kontibuutiota. Näin saadaan lineaisoidut yhtälöt ρ + ρ 0 v = 0, v ρ 0 + p = 0. (261) Jotta päästäisiin eteenpäin, meidän on tiedettävä kuinka paine muuttuu tiheyden mukana. Koska muutokset ovat pieniä, iittää lineaainen vastaavuus ( ) p p = ρ, (262) ρ s

31 missä indeksi s takoittaa että entopia pitää olla vakio. (Ts. tiheyden muutos tapahtuu sen vean nopeasti että lämmönjohtumista ei ehdi tapahtua.) Käyttäen ideaalikaasulle pätevää adiabaattista tilanyhtälöä p = kρ γ (k = vakio) saadaan helposti ( ) p = γkρ γ 1 0 = γp 0. (263) ρ ρ 0 s Sijoittamalla yhtälöön (261) saadaan yhtälöpai p :lle ja v:lle, p + γp 0 v = 0, v ρ 0 + p = 0. (264) Opeoimalla jälkimmäiseen :lla ja käyttämällä ylempää yhtälöä voidaan v eliminoida, ja saadaan paineelle 2 p 2 c2 2 p = 0. (265) Tämä on aaltoyhtälö. Siinä esiintyy paameti c = γp 0 /ρ 0, (266) joka voidaan tunnistaa etenevän aallon nopeudeksi, kuten pian peustellaan. Ilmalle nomaaliolosuhteissa voidaan olettaa γ = 1.4, p 0 = N/m 2, ρ 0 = 1.23 kg/m 3, (267) josta saadaan c = 339 m/s. (268) Tämä on lähellä mitattua avoa kuivalle ilmalle. Samanlainen aaltoyhtälö kuin p :lle voidaan myös muodostaa ρ :lle ja myös nopeuspotentiaalille φ (250). Tutkitaan tasoaaltoa. Tällä takoitetaan että p(, t) iippuu vain yhdestä paikkakoodinaatista, esim. p(x, t). Tässä tapauksessa aaltoyhtälö (265) saa muodon 2 p 2 c2 2 p = 0. (269) x2 Tämän yleinen atkaisu on p(x, t) = a(x ct) + b(x + ct), (270) missä a(ξ) ja b(ξ) ovat mielivaltaisia (kahdesti deivoituvia) yhden muuttujan funktiota. Sijoittamalla voi helposti todeta, että yite (270) toteuttaa yhtälön (269). Tutkimalla atkaisua (270) ei ajanhetkillä voi todeta, että ensimmäinen temi kuvaa +x suuntaan nopeudella c liikkuvaa atkaisua ja jälkimmäinen temi x suuntaan nopeudella c liikkuvaa atkaisua. Nesteiden/kaasujen ääniaalloilla on monia yhteisiä piiteitä kiinteässä aineessa esiintyvien aaltojen kanssa. Samoin sähkömagneettisilla aalloilla on monia yhteisiä piiteitä. Yhteiset ominaisuudet peustuvat siihen että nämä kaikki toteuttavat saman aaltoyhtälön (265). Aaltoliikkeen yleisiin ominaisuuksiin on tutustuttu kussilla Aaltoliike ja optiikka, joten ei käsitellä tätä aihetta enempää tässä. 11. Tubulenssi Seuaavassa takastellaan lyhyesti tubulenssin skaalausteoiaa. Tätä aihetta ei ole käsitelty Patesonin kijassa, mutta se löytyy Landau-Lifshitzistä. Tutkitaan vitausta hyvin suuella Reynoldsin luvulla Re = V L ν 1, (271) ja oletetaan vitaus täysin tubulentiksi. Tällä takoitetaan, että epäsäännöllistä liikettä esiintyy jatkuvasti laajalla alueella eikä vain ajoittain tai paikallisesti. Idea on seuaava. Vitaukseen syntyy aluksi pyöteitä, joiden mittakaava (kakealla takkuudella) on L, geometialle kaakteistinen pituus, esimekiksi putken halkaisija. Näissä pyöteissä nopeus on vastaavasti kaakteistisen nopeuden V suuuusluokkaa. Nämä pyöteet synnyttävät pyöteitä, joiden mittakaava on hieman pienempi. Nämä taas synnyttävät edelleen pienempiä pyöteitä. Siis vitauksen enegia vähitellen siityy isoilta pyöteiltä pienemmille. Mikä on sitten pienin esiintyvä pyöe? Tutkitaan pyöteitä, joiden kokoluokka on l. Mekitään tämän kokoisiin pyöteisiin liittyvää nopeutta v l :llä. Nyt voidaan määitellä myös Reynoldsin luku ei kokoisille pyöteille eikseen, Re l = v ll ν. (272) Suuimmille pyöteille tämä on hyvin suui (Re L Re), ja niiden tapauksessa viskositeetti ei siksi ole mekityksellinen. Kun mennään pienempiin pyöteisiin, Re l pienenee (olettaen että v l ei kasva samalla, mikä peustellaan pian). Näillekin viskositeetti on mekityksetön sikäli kun Re l 1. Pyöteiden pienetessä jossain vaiheessa saavutetaan Re l 1. Tässä mittakaavassa viskositeetti tulee olennaiseksi, ja pyöteiden vitausenegia muuttuu lämmöksi. (Huomaa että kyseessä vasin kakea suuuusluokka-aviointi, sillä jopa avo ) Inetiaalisella mittakaava-alueella, missä Re l 1, viskositeetti ei ole mekityksellinen, ja siksi Navie-Stokes-yhtälön sijasta voidaan käyttää Eulein yhtälöä. Eulein yhtälössä taas ei ole mitään laadutonta paametia. [Katso yhtälö (199) ajalla Re.] Siis atkaisut ei mittakaavan pyöteille saadaan toisistaan pelkällä skaalauksella. Nyt voidaan v l -iippuvuus atkaista dimensioanalyysin avulla. Ainoa jäjestelmässä esiintyvä vakio on enegiavita suuemmista pyöteistä pienempiin, jonka täytyy olla vakio inetiaalisella alueella. Käytännössä on kätevintä valita täksi vakioksi enegiavita massayksikköä kohti, ɛ. Sen laatu on [ ɛ] = 1 J kg s = 1m2 s 3 (273) 30

32 Ainoa mahdollinen elaatio joka voi sitoa tätä, nopeutta [v l ] = m/s ja mittakaavaa [l] = m on Siis ɛl v 3 l = vakio 1. (274) v l ( ɛl) 1/3, (275) eli v l pienenee l:n mukana kuin l:n kuutiojuui. Enegiavita itsessään ei voi iippua siitä mitä tapahtuu pienillä mittakaavoilla. Siksi se voi iippua vain suueista L ja V. Sama dimensioagumentti kuin edellä antaa ɛ V 3 L. (276) Ehto Re l 1 antaa pienimpien pyöteiden mittakaavaksi l min L. (277) Re3/4 Se että enegiavita (276) on iippumaton viskositeetin ν avosta on sopusoinnussa sen kanssa, että vitaus putkessa tulee iippumattomaksi Reynoldsin luvusta kun Re 1. [Katso kaavan (200) yhteydessä oleva kuva.] 12. Nesteen pinta-aallot Ääniaaltojen ohella nesteissä esiintyy aaltoliikettä, jossa määäävänä tekijänä on nesteen pinta. Olennaista pinta-aalloille on gavitaatio tai pintajännitys, joka pykii palauttamaan pinnan suoaksi. Nesteen kokoonpuistuvuus ei pinta-aalloissa ole olennaista, ja yksinketaisuuden vuoksi neste voidaan olettaa kokoonpuistumattomaksi. Tässä pyitään kuvaamaan joitakin yksinketaisimpia tapauksia nesteiden pinta-aalloista. Lineaisoidut yhtälöt Oletetaan että viskositeetti on mitätön. Otetaan alkutilanteeksi täysin levossa oleva neste alueessa z < 0, jolloin se luonnollisestikin on myös pyöteetön, v = 0. Kun aalto saapuu tutkittavaan alueeseen, ei pyöteisyys voi muuttua Kelvinin teoeeman mukaan. Vitausnopeutta voidaan siis kuvata nopeuspotentiaalilla v = φ. (250) Kun tämän lisäksi oletetaan nesteen kokoonpuistumattomuus ( v = 0), todetaan nopeuspotentiaalin toteuttavan Laplace-yhtälön 2 φ = 0. (252) Tämä yhtälö kuuluu atkaista alueessa (kuva) < z < ζ(x, y, t), (278) missä ζ(x, y, t) on nesteen pinnan z-koodinaatti. Jotta voisimme tämän atkaista meidän on takasteltava eunaehtoja. Samoin kuin ääniaaltojen tapauksessa, pidetään mukana vain ensimmäisen ketaluvun poikkeamat tasapainotilasta. (i) Hyvin syvällä oletetaan nesteen olevan paikoillaan, φ 0, kun z. (279) (ii) Nesteen pinnalla paine oletetaan vakioksi, p = p 0. Toisaalta paine nesteessä määäytyy edellä johdetusta Benoullin yhtälöstä (254) φ v2 + Φ + p = f(t). (254) ρ Nyt Φ = gz. Lineaisoitua yhtälöä muodostettaessa voidaan v 2 /2-temi jättää huomiotta, ja suueet f(t) ja p 0 voidaan sisällyttää φ:hin, koska ne eivät vaikuta nopeuteen (250). Sovellettaessa kaavaa (254) nesteen pintaan saadaan siis ( ) φ + gζ = 0. (280) z=ζ Lausutaan ensimmäinen temi Tayloin sajana pisteen z = 0 suhteen. Koska sekä φ/ että ζ oletetaan 31

33 pieniksi, jää tästä vain alin temi, jolloin saadaan lineaisoitu euna-ehto ( ) φ + gζ = 0. (281) z=0 (iii) Nesteen liike pystysuunnassa v z = φ z (282) vaikuttaa pinnan kokeuteen. Yksinketaisimmillaan ( ) φ = ζ z. (283) z=ζ Takempi eunaehto saataisiin kaavasta 0 = D Dt (z ζ) = v z ζ v ζ x x v ζ y y, (284) mutta lineaisoinnissa kaksi viimeistä temiä kuitenkin häviää. Kun vielä lineaisoidaan ehto (283) samoin kuin kaava (280), saadaan eunaehto ( φ z ) z=0 Yhteenvetona saadaan lineaisoidut yhtälöt = ζ. (285) 2 φ = 0, kun z 0 (286) sekä yhdistämällä (281) ja (285) saadaan 2 φ 2 + g φ = 0, kun z = 0. (287) z Kun nämä on atkaistu, saadaan pinnan kokeus kaavasta ζ = 1 ( ) φ. (288) g z=0 Pyitään nyt atkaisemaan Laplace-yhtälö. Käytetään muuttujien eottelua, mitä on myös takasteltu liitteessä. Ratkaisua etsitään muodossa φ(x, y, z, t) = f(z)φ 0 (x, y, t). (289) Sijoittamalla Laplace-yhtälöön saadaan ( 2 ) φ 0 f(z) x φ 0 y 2 + φ 0 f (z) = 0 (290) eli f (z) f(z) = 1 ( 2 ) φ 0 φ 0 x φ 0 y 2 (291) Koska vasen puoli iippuu vain z:sta ja oikea vain x:stä, y:stä ja t:stä, on ainoa mahdollisuus, että molemmat puolet ovat vakioita. Mekitään tätä vakiota k 2 :lla, jolloin vasemmalta puolelta saadaan yhtälöksi f (z) k 2 f(z) = 0. (292) Tämän yleinen atkaisu on Reunaehto (279) ajaa atkaisuksi f(z) = Ae kz + Be kz. (293) f(z) = e kz, (294) missä k on positiivinen eaaliluku. (A voidaan siitää funktioon φ 0.) Laplace-yhtälöstä jää atkaistavaksi yhtälö 2 φ 0 x φ 0 y 2 + k2 φ 0 = 0. (295) Ennen kuin mennään eteenpäin, kommentoidaan yleisesti muuttujien eottelu -menetelmää. Joissain onnekkaissa tapauksissa sattuu, että sepaoitu yite (289) toteuttaa myös kaikki eunaehdot. Useimmiten kuitenkaan näin ei ole. Ratkaisu voidaan kuitenkin esittää summana eotelluista atkaisuista, tässä tapauksessa φ(x, y, z, t) = k A k f(z, k)φ 0 (x, y, t, k) (296) jollain ketoimilla A k. Katso esimekkiä liitteestä. Etsitään lopuissa muuttujissa tasoaaltotyyppistä atkaisua φ(x, z, t) = Be kz e i(qx ωt). (297) Tässä kompleksisessa yitteessä vain eaaliosa vastaa fysikaalista atkaisua. Sijoittamalla yhtälöön (295) todetaan että se toteutuu kun q = k, eli φ(x, z, t) = Be kz e i(kx ωt). (298) Sijoittamalla pintaehtoon (287) saadaan eli dispesioelaatio ω 2 + gk = 0 (299) ω = gk. (300) (Sekä q:lle että ω:lle saadaan myös vastakkaismekkiset juuet, mutta ne eivät johda mekittävästi eilaisiin atkaisuihin.) Ratkaisu (298) esittää pinta-aaltoa, jonka aaltoluku on k ja siten aallonpituus λ = 2π/k. Se tunkeutuu nesteeseen oleellisesti syvyydelle z λ, sillä exp( 2π) = Aallon nopeus on c = ω k = g k = gλ 2π. (301) Ääniaalloista poiketen pinta-aallon nopeus iippuu aallonpituudesta. Lyhyet aallot kulkevat hitaammin kuin pitkät. Oheisessa taulukossa on avoja vedelle maanpäällisissä olosuhteissa, ja T = 2π/ω on väähdysaika. 32

34 λ (m) c (m/s) T (s) Taulukon avoja lyhyemmille aalloille veden pintajännitys tulee olennaiseksi. Osoittautuu että lyhyemmät kuin 4.4 cm aallot kulkevatkin nopeammin (katso esim. Landau-Lifshitz). Pinta-aallot edustavat aaltoliikettä, joka ei kuitenkaan tottele tavallista aaltoyhtälöä. Pateson tosin kijoittaa aaltoyhtälön (269) myös tässä tapauksessa, mutta se on hahaanjohtavaa koska siinä nopeus c iippuu atkaisun aaltovektoista. Tutkitaan vielä nopeuskenttää pinta-tasoaallossa. Mekitään pinnan kokeuden amplitudia A:lla, jolloin kaavasta (288) Tästä saadaan nopeus ζ = Ae i(kx ωt) (302) B = iga ω v x = φ x = ikbekz e i(kx ωt) (303) v z = φ z = kbekz e i(kx ωt) (304) Tästä nähdään että molemman suuntaiset liikkeet ovat saman suuuiset mutta poikkeavat vaiheella π/2. Laskemalla hiukkasten adat todetaan että ne ovat ympyöitä joiden säde on k B ω ekz = A e kz. (305) Π 2 Π muodostaa ajattua pakettia, mutta paketin nopeus saadaan silti laskettua. Oletetaan aallot lähekkäisillä aaltovektoeilla k ± δk, ζ = Ae i[(k+δk)x (ω+δω)t] + Ae i[(k δk)x (ω δω)t]. (306) Tämä on sama kuin ζ = 2A cos(kx ωt) cos(δkx δωt). (307) Tässä lyhytaaltoisen aallon (λ = 2π/k) amplitudi on moduloitu pitkäaaltoisella aallolla (λ = 2π/δk), ts. se esittää sajaa aaltopaketteja joiden välillä on vain pientä aaltoilua. ζ v g Nyt moduloivan aallon nopeus antaa aaltopaketin nopeuden, jota kutsutaan yhmänopeudeksi, c x v g = δω δk dω dk. (308) Ääniaallolle ω = ck ja siksi v g = c, ts. kaikki aallot liikkuvat samalla nopeudella ja aaltopaketin muoto pysyy muuttumattomana. Nesteen pinta-aalloille taas ω = gk (300), joten v g = dω dk = 1 g 2 k = c 2. (309) Siis aaltopaketin muodostavat aallot liikkuvat tuplasti nopeammin kuin itse paketti. Aallot näyttävät syntyvän paketin loppupäässä, etenevän sen läpi ja sitten taas häviävän aaltopaketin edellä. Tämän voi havaita esimekiksi takastelemalla moottoiveneen synnyttämää aaltoa. Kuvassa ympyät kuvaavat hiukkasten liikeatoja ja aaltoviiva nesteen pintaa. Huomaa että tämä kuvaus on takka vain sillä ajalla että aallon kokeus on pieni veattuna aallon pituuteen. Ryhmänopeus Edellä laskettiin monokomaattisen aallon nopeus. Yhdistämällä eitaajuisia aaltoja voidaan muodostaa aaltopaketti, jolla on vain ajallinen kesto. Osoittautuu, että aaltopaketin nopeus poikkeaa aaltojen nopeuksista. Yksinketaisuuden vuoksi tutkimme vain kahden ei aaltovektoin aallon yhdistämistä. Tällä ei voida Laivan aallot Tukholman saaistossa 33