Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Transkriptio

1 alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN

2 Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä kulmien x ja y suuuudet, kun suoat l ja m ovat yhdensuuntaiset l m x 48 x = = 1 ja y = = 8 y a) Laske kulman x suuuus b) Laske janan pituus 4 x E 68 5,0 cm 1,0 cm 15,0 cm a) Kolmiossa kulma = 180 (68 + ) = 80 Tällöin kulma E = 100 o Kulma E = 180 o (100 o + 4 o ) = 56 o, joten x = 180 o 66 o = 14 o b) Lasketaan sivujen ja pituudet: = 1,0 5,0 = 1, 0 (cm) = 15,0 1,0 = 9,0 (cm) Tällöin = 9,0 cm 5,0 cm = 4,0 cm Sähköpylvään yläpäästä lähtevä ns hausvaijei on kiinnitetty maahan 5, metin päähän pylväästä, ja se muodostaa maanpinnan kanssa 60 :n kulman Laske pylvään kokeus ja hausvaijein pituus Pylvään kokeus 5, h = 5, tan ,0 10,4 (m) o 9,0 (m) Hausvaijein pituus on 4 Laske oheisen kuvion kulmien x ja y suuuudet 9 x Kulma x = 9, koska samaa kaata vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuet Samasta syystä kulma y = 5 y 5 Lukion alculus

3 Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut F 5 Kolmiot ja EF ovat yhdenmuotoisia Laske kolmion EF pinta-ala cm 4 cm 1,5 cm Kolmion hypotenuusan pituus on 5 cm Yhdenmuotoisten kolmioiden välinen 1,5 mittakaava on vastinsivujen suhde eli =,5 Kolmion pinta-ala on 5 4 cm cm = 6 cm Kolmion EF pinta-ala on,5 6 cm = 7,5 cm Toinen tapa: Lasketaan tunnettua mittakaavaa käyttäen kolmion EF tuntemattomat sivut F =,5 4 cm = 10 cm ja EF =,5 cm = 7,5 cm Kolmion EF ala on 10 7,5 cm = 7,5 cm 6 Laske a) sivun c pituus, b) kolmion EF pinta-ala a) Kosinilauseen mukaan c = cos 60 5 cm o 60 c 8 cm 0 mm = 49 Sivun c pituudeksi tulee tällöin 7 cm b) Kolmion EF pinta-ala on = sin 0 o = 100(mm ) F 0 mm 7 Litan pulloon kaadetaan 0,90 litaa vettä ja se pannaan pakastimeen Veden jäätyessä sen tilavuus kasvaa kahdeksan posenttia Kuinka kokealle tällöin työntyy lieiömäinen jäätulppa 5,00 cm :n kokoisesta pullon suusta? Kun vesi jäätyy, sen tilavuus on 1,08 0,90 dm = 1, 0044 dm Litan pullosta ulos työntyvän jäätulpan tilavuus on siis 0,0044 dm Koska pullon suun pinta-ala on 0,0500 dm 0,0044, jäätulppa nousee dm = 0,88cm 0, Kolmesta vahakuutiosta, joiden sämät ovat cm, 4 cm ja 5 cm, leivotaan yksi ainoa kuutio Laske uuden kuution sämän pituus Kuinka monta posenttia tässä toimituksessa kokonaispinta-ala muuttui? Uuden kuution tilavuus on = 16(cm ) Sämän pituus on 16 = 6 (cm) Kolmen kuution yhteinen pinta-ala on 6 ( ) = 00 (cm ) Uuden kuution pinta-ala on 16 (cm 84 ) Pinta-ala pienenee = 0,8 = 8 % 00 E E Lukion alculus

4 Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 9 Puolen metin mittainen hauki painaa yhden kilogamman Kuinka paljon painaa 80 cm:n mittainen hauki olettaen, että hauki kasvaessaan säilyttää muotonsa? Hauki painaa 80 ( ) 50 1,0 kg 4,1 kg 10 Suoakulmaisen sämiön käkien kautta kulkeva taso leikkaa sämiöstä pois osan vieeisen kuvan mukaisesti Laske jäljelle jäävän kappaleen tilavuus 4 5 lkupeäisen kappaleen tilavuus 60 tilavuusyksikköä (ty) Poisleikattava kappale on pyamidi, jonka kokeus on Pyamidin pohjana on suoakulmainen kolmio, jonka 1 kateetit ovat 4 ja 5 ja ala näin ollen 10 Pyamidin tilavuus on siis 10 = 10 (ty), joten jäljelle jäävän kappaleen tilavuus on 50 (ty) Ketauskoe 1 (M) 1 Kuinka suuet kulmat muodostuvat suunnikkaan lävistäjien leikkauspisteeseen P oheisessa kuviossa? Laskevan lävistäjän ja kantasivun välinen kulma on 55 4 (samankohtainen ylimmän kolmion 55 :n kulman kanssa) Toisen pisteeseen P muodostuvan kulman suuuus on 180 ( ) = 8 o o o o o o o Toinen kulmista on tällöin = 97 Kuinka pitkiin osiin kulman puolittaja jakaa sivun vieeisessä kuviossa? Olkoon sivun vasemman puoleinen osa x Tällöin saadaan kulmanpuolittajalauseen nojalla yhtä- x 7,4 lö = 7,8 x 4, osat ovat noin 5,0 cm ja,8 cm, jonka atkaisuna x 5, 0 Sivun 7,4 cm 55 7,8 cm P 4, cm Pujevene on matkalla lounaaseen nopeudella 7, kn (solmua) Kello 14:10 Pikkukallan majakka näkyy etuoikealla menosuuntaan nähden 18 o :n kulmassa Kello 14:55 majakka näkyy etuoikealla 75 o :n kulmassa Laske veneen senhetkinen etäisyys majakasta (1 kn = 1 85 m/h) Lukion alculus

5 4 Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut Matka pisteestä pisteeseen on 45 h 7, 1,85 km/h 10,0 km Kulma 60 on 57 Etäisyys atkaistaan sinilauseella 10,0 10,0 sin18 =, =,7 (km) sin18 sin 57 sin 57 majakka klo 1455 klo Vesimolekyylissä H O happi- ja vetyatomien ytimien H 9 välinen etäisyys on 9,58 10 m ja vetyatomien välinen etäisyys 1,5 10 m Laske happi-vety-sidosten välisen kulman suuuus O Sidosten välinen kulma α atkaistaan kosinilauseella: (1,5 10 ) = (9,58 10 ) (9,58 10 ) cosα Tästä saadaanα 105 H 5 Kuvassa on ympyän halkaisija ja P tangentti Todista kolmiot P ja yhdenmuotoisiksi Δ P ~ Δ (kk), koska 1) < P = < ( = 90 ), ) < = < P (samaa kaata vastaavina kehäkulmina) P O 6 Kanavan poikkileikkaus on puolisuunnikas Eäässä kohdassa kanavan syvyys on,7 m, leveys pohjassa,0 m ja veden pinnassa,0 m sekä veden vitausnopeus 1,6 m/s Eäässä toisessa kohdassa leveys pohjassa on,0 m, pinnassa 4,0 m ja vitausnopeus 1, m/s Mikä on kanavan syvyys tässä kohdassa? Koska kanavassa vitaavan veden määä aikayksikössä pysyy vakiona, saadaan syvyys h =,0 m yhtälöstä,7 1,6 = h 1,,0 +,0 m,0 + 4,0 m s s 7 Ympyän kehällä olevasta pisteestä piietään kaksi yhtä pitkää jännettä niin, että niiden välinen kulma on 0 Kuinka monta posenttia jänteiden välisen ympyän osan ala on koko ympyän alasta? Kysytty alue voidaan jakaa kahdeksi tasakylkiseksi, keskenään yhteneväksi kolmioksi sekä sektoiksi Kolmioiden yhteenlaskettu pinta-ala on sin150 = Lukion alculus

6 Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 5 60 π Sektoin pinta-ala on π = 60 6 π 1 ( + ) on 6 0,6 =,6 % π lueen osuus koko ympyän pinta-alasta 8 Pohjan suuntainen taso jakaa kation kokeuden käjestä lukien suhteessa : 4 Missä suhteessa taso jakaa kation a) vaipan, b) tilavuuden? Kun otetaan huomioon, että yhdenmuotoisten kappaleiden pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö ja tilavuuksien suhde mittakaavan kuutio saadaan V V pieni iso pieni iso = 7 = 7 = = 9, 49 7, 4 joten vaippojen alojen suhde on 9: 40 joten tilavuuksien suhde on 7:16 9 Suunnikkaan kulmien ja puolittajat kohtaavat sivun pisteessä P Osoita, että P puolittaa sivun ja että kulma P on suoa Olkoon < = α, jolloin < = 180 α Osoitetaan kulma P suoaksi Koska P ja P ovat kulmien puolittajia, niin < P = α ja < P = 90 α Näin ollen < P = 180 ( α + 90 α) = 90 Osoitetaan seuaavana janat P ja P samanpituisiksi Kulma P = α samankohtaisina kulmina suoan leikatessa kahta yhdensuuntaista suoaa Kolmio P on siis tasakylkinen, jolloin P = Vastaavasti myös kolmio P on tasakylkinen, jolloin = P Koska = suunnikkaan vastakkaisina sivuina, niin myös P = P Näin on osoitettu, että P puolittaa sivun α α P P () (4) (7) Ketauskoe (M) 1 Tasakylkisen kolmion kantakulman ja huippukulman suhde on : 1 Määitä kolmion kulmien suuuudet Olkoon huippukulman suuuus x, jolloin kumpikin kantakulma on x Yhtälöstä x + x + x = 180 saadaan huippukulman suuuudeksi 6 Kumpikin kantakulmista on siis 7 Lukion alculus

7 6 Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut Kolmiossa sivu pituus on 4 pituusyksikköä, < = 45 ja < = 0 Laske muiden sivujen takat avot sekä -desimaaliset likiavot Piietään pisteestä sivulle kokeusjana ja mekitään sen kantapistettä :llä 4 Muistikolmioiden avulla saadaan = = =, = 4 ja = = 6 Kolmion sivut ovat = 4 5, 66 ja = ( + 6) 7, 7,4 cm Metsäpalsta on puolisuunnikkaan muotoinen Kuinka monta hehtaaia palsta on, kun piios on laadittu mittakaavassa 1 : 0 000? 45 4, cm Puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituuseo on 1,8 cm, joka on yhtä suui,4 + 4, kuin puolisuunnikkaan kokeus Piioksen ala on 1,8 cm = 5,94 cm Metsäpalstan ala on ,94 cm 4 ha 4 Nelikulmion peäkkäisten sivujen pituudet ovat 0,, 4 ja 6 mm Kahden lyhimmän sivun välinen kulma on 10 Laske nelikulmion pinta-ala Jaetaan nelikulmio lävistäjällä kahteen kolmioon Lasketaan ensin kosinilauseella lävistäjän l pituus: l = cos10 = 14, josta l 6, 4 (mm) Sovelletaan kosinilausetta seuaavana kulman α laskemiseen l = cosα Tästä saa- α daan kulmalle α avo 9, Pinta-ala on sin sin 9, 500 (mm ) l 10 6 mm 4 mm 0 mm 90 cm mm 5 Kuinka monta posenttia auton takaikkunan pintaalasta lasinpyyhkijä pystyy puhdistamaan? 40 cm cm π 8 π 10 Puhdistettava osuus on ,55 = 55% cm Lukion alculus

8 Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 7 6 Todista, että tasasivuisen kolmion keskijana jakaa kolmion kahdeksi yhteneväksi kolmioksi Oletus: Kolmio on tasasivuinen ja sen keskijana Väite: Δ Δ Todistus: Δ Δ (sss), koska on yhteinen sivu, = tasasivuisen kolmion sivuina ja = oletuksen mukaan 7 Yhdistämällä suoakulmaisen sämiön käkipisteet, ja saadaan oheisen kuvan mukainen kolmio Laske kolmion suuin kulma,6 dm, dm 4,0 dm Lasketaan sivutahkojen lävistäjät =,6 + 4,0 4,77, =, +,6 4, 1 ja = 4,0 +, 5, 1 Näin ollen kolmion suuin kulma on kulma Sen suuuus lasketaan kosinilauseella: 5,1 = 4,77 + 4,1 4,77 4,1 cos( ) Tästä < 69, 9 8 Rauta- ja kupaitangoilla on sama massa (840 g) ja sama pituus Rautatangon halkaisija on 18 mm Laske kupaitangon halkaisija Raudan tiheys on kg/m ja kupain tiheys kg/m Kun mekitään kupaitangon sädettä x:llä, saadaan massoja vetailemalla yhtälö 7870 π 9 l = 8960 π x l, jossa l takoittaa sauvan pituutta Yhtälön atkaisuksi saadaan x 8,4 Kupaitangon halkaisija on siis noin 17 mm 9 Kun sähköjohto viedään seinän läpi, tavitaan ympäille suojaputki, jonka sisämitan on oltava vähintään sama kuin johdon ulkomitta Kuinka suui on sellaisen suojaputken halkaisija, johon mahtuu kolme 1,0 cm:n paksuista johtoa? Olkoon johdon säde ( = 5 mm) Silloin kuvassa olevan tasasivuisen kolmion sivun pituus on ja kokeus Kokeusjana on samalla mediaani, joten sen pitempi osa on Suojaputken säde R = + 10, 8, joten halkaisija on noin mm =, cm R Lukion alculus