HYDRODYNAMIIKKA S. Erkki Thuneberg

Transkriptio

1 HYDRODYNAMIIKKA S Ekki Thunebeg Fysiikan laitos Oulun yliopisto 2011

2 Jäjestelyjä Kussin vekkosivu on Vekkosivulta löytyy luentomateiaali (tämä moniste), hajoitustehtävät ja myöhemmin myös hajoitustehtävien atkaisut. Katso sieltä myös mahdolliset muutokset luentoja hajoitusaikoihin. Aikataulut 2011 Luennot: ti 10-12, sali TE320 ( ) Hajoitukset: ma 10-12, to 10-12, sali TE320 ( ) Tentti: Hajoitusassistentti: Matti Silvei Kussiin kuuluvat oleellisena osana laskuhajoitukset, joiden tehtävät laitetaan kussin vekkosivulle pian vastaavan luennon jälkeen. Määäaikaan mennessä näytetyistä tehdyistä hajoituksista saa yhden avosanapykälän kootuksen loppuavosanaan. (Ei pisteajoja, jokainen tehtävä vaikuttaa paitsi että loppuavosana pyöistetään kokonaisluvuksi.) Koostettakoon että nämä lisäpisteet ovat vain pieni lisä siihen hyötyyn, joka laskuhajoitusten tekemisestä on kussin asian ymmätämiselle ja siten tenttimenestykselle. Hajoitustehtäviä kannattaa yittää laskea ensin itsenäisesti esim. kotona, vasinkin jos ei pääse kuin toiseen hajoitusajoista. 1. Johdanto Hydodynamiikka takoittaa suoaan käännettynä veden liikeoppia. Nykyisin hydodynamiikalla takoitetaan paljon yleisempää käsitettä. Kaikkein yleisimmässä mielessä hydodynaaminen teoia takoittaa makoskooppista teoiaa eli vastakohtaa mikoskooppiselle teoialle. Mikoskooppisessa teoiassa mateian käyttäytymistä pyitään selittämään lähtien yksittäisistä hiukkasista. Tapauksesta iippuen nämä hiukkaset voivat olla esimekikisi elektoneja, atomeja tai molekyylejä. (Joissain tapauksessa hiukkaset saattavat olla tähtiä jotka muodostavat galaksin.) Hydodynaamisessa teoiassa hiukkasjoukkoa takastellaan mittakaavalla L, joka on paljon suuempi kuin hiukkasten välimatka a, siis L a. Tällöin yksittäisten hiukkasten liikkeen sijasta käsitellään niiden keskimäääistä liikettä. Monissa tapauksissa aineen hiukkasmainen akenne voidaan kokonaan jättää huomiotta, ja käsitellä ainetta täysin jatkuvana. Yksinketainen esimekki yleisestä hydodynaamisesta teoiasta on Hooken laki. Sen mukaan voima F, joka tavitaan sauvan venyttämiseksi, on veannollinen sauvan venymään s sekä poikkipinta-alaan A ja kääntäen veannollinen sauvan pituuteen l. Kaavana F = Y As l. (1) Veannollisuusketoimena esiintyy mateiaalia kuvaava paameti Y, Yongin moduuli. Hydodynaamisissa teoioissa esiintyy tällaisia ainetta kuvaavia paameteja, joiden avot useimmiten tiedetään mittausten peusteella. Y :n avo on seuausta aineen atomien välisistä voimista, ja peiaatteessa se voitaisiin laskea mikoskooppisella teoialla. Useimmiten tällaisen mikoskooppisen laskun tekeminen on epäkäytännöllistä, ellei mahdotonta. Yllä olevassa mielessä hydodynaaminen teoia voidaan muodostaa kaikille mateian olomuodoille. Samaten siinä voi esiintyä sähköisiä ja magneettisia voimia. Tapauksesta iippuen kutsutaan teoioita ei nimillä. nesteet ja kaasut (englanniksi fluid ) ei sähkömagneettisia voimia: hydodynamiikka sähkömagneettiset voimat: magnetohydodynamiikka... kiinteät aineet ei sähkömagneettisia voimia: elastisuusteoia sähkömagneettiset voimat: dielektisyysteoia... Suppeassa mielessä hydodynamiikka takoittaa siis sähkövaauksettomien kaasujen ja nesteiden teoiaa mittakaavalla, jossa aineen atomaainen akenne ei ole oleellinen. Suppeassakin mielessä hydodynamiikka on hyvin laaja ala. Eikoistapauksina se sisältää mm. elativistisen, nestekiteiden ja supanesteiden hydodynamiikan (viimeinen on oma tutkimusalani). 1

3 Tässä kussissa takastelemme vain yksinketaisten nesteiden ja kaasujen epäelativistista hydodynamiikkaa. Sisältö johdanto jatkuvuusyhtälö esimekkivitauksia nestestatiikka liikeyhtälön johto Navie-Stokes-yhtälön atkaisuja Eulein yhtälön atkaisuja ääniaallot tubulenssi nesteen pinta-aallot G.K. Batchelo, An intoduction to fluid dynamics (1967). Hyvin täydellinen kija, sisältää myös valokuvia vitauksista. Demonstaatiofilmejä Monet tässä kussissa tutkitut vitaukset ja lukemattomia muita on toteutettu ja kuvattu filmeille, jotka ovat vapaasti saatavissa vekkosivulla Esitiedot Fysiikan matematiikkaa Mekaniikka (Aaltoliike ja optiikka) (Temofysiikka) Muiden kussien osaaminen helpottaa kussin ymmätämistä, mutta ei ole välttämätöntä. Kijoja Tähän kussimonisteeseen on koottu luennoilla esitettävän mateiaalin pääosa. Kuvia on kuitenkin kasittu ja suluissa oleva teksti (kuva) viittaa luennolla piiettävään kuvaan. Luentomateiaalin syventämiseksi on tapeen peehtyä alan kijallisuuteen. Kijoja on lukemattomia eilaisia, joissa samat pääasiat. L.D. Landau ja E.M. Lifshitz, Fluid mechanics. Einomaisen hyvä teoeettisesti, mutta käsittele pääsääntöisesti ongelmia, joilla on selkeä atkaisu. (Samassa sajassa myös yleisen hydodynaamisen teoian piiiin kuuluvat Theoy of elasticity ja Electodynamics of continuous media.) A.R. Pateson, A fist couse in fluid dynamics (1983). Pääkijana tällä kussilla. Kompomissi yllä ja alla olevan vaihtoehdon väliltä. Ongelmana kokeellisen datan puuttuminen. Y. Nakayama ja R. Bouche, Intoduction to Fluid Mechanics (1999). Teknillisen tiedekunnan Nestemekaniikan kussilla käytetty oppikija. Enemmän käytännön tapeisiin kuin tieteellisesti oientoitunut kija. 2

4 2. Peuskäsitteitä 2.1 Vektoimatematiikkaa Tätä on käsitelty liitteessä. 2.2 Olomuodot Kiinteä aine: muotoutuu pienestä voimasta mutta palaa alkupeäiseen muotoonsa voiman poistuttua. Nesteet ja kaasut (fluidit): muotoutuu ajattomasti pienen voiman vaikutuksesta Neste: pinta, vähän kokoonpuistuva kaasu: ei pintaa, kokoonpuistuva 2.3 Jatkumomalli Hydodynamiikan voimassaoloalue voidaan määitellä käyttämällä Knudsenin lukua Kn = λ L. (2) Tässä λ on hiukkasten vapaa matka, ja L takasteltavaa systeemiä kuvaava pituusmitta. Hydodynaamista teoiaa voidaan käyttää kun L λ, eli Kn 1. Muussa tapauksessa on käytettävä mikoskooppista teoiaa. Nesteissä vapaa matka on samaa suuuusluokkaa kuin atomien koko, 0.1 nm. Nomaalipaineisessa ja lämpöisessä ilmassa se on jonkin vean suuempi, λ 100 nm. Kaasussa vapaa matka kasvaa paineen laskiessa (kääntäen veannollisesti paineeseen). Keskimäääinen tiheys määitellään massan ja tilavuuden osamääänä, ρ = M/V. Aineen atomaaisesta akenteesta johtuen se ei ole hyvin määitelty kun V 0. Kuitenkin hydodynamiikassa käytetään tiheyttä ρ(, t), jonka oletetaan olevan hyvin määitelty funktio. Sillä oletetaan olevaksi esim. gadientti ρ(, t). ρ(, t) voidaan ymmätää keskimäääiseksi tiheydeksi yli tilavuuden, jonka sisältää suuen määän hiukkasia, mutta on silti hyvin pieni veattuna L:ään. 2.4 Nopeuskenttä Vitausta voidaan kuvata seuaamalla nestealkion liikkeitä (esim. väjäämällä ja ottamalla valokuvia). Nestealkion paikasta (t) ei ajanhetkillä määätään nopeus d = v(, t). (3) dt Selvittämällä kaikkien hiukkasten adat, saadaan nopeuskenttä v(, t) kaikilla ja t. Toisin päin: kun tunnetaan nopeuskenttä v(, t), voidaan nestealkioiden adat laskea. Usein nopeuskenttä on tavattoman monimutkainen (esim. tubulenssi), jota ei voi esittää analyyttisillä menetelmillä. Näissäkin tapauksissa keskiavoistettu vitaus on kuitenkin jotenkin hallittavissa. 2.5 Esimekkivitauksia Esimekki 1) v = (ay, ax, 0). Hiukkasadat (oik. nestealkioiden adat) saadaan yhtälöistä dx dt = ay, dy dt = ax, dz dt = 0. (4) Ratkaisemalla alkuavoilla x = x 0, y = y 0, z = z 0, t = 0, saadaan Eliminoimalla t saadaan x = x 0 cos at + y 0 sin at y = x 0 sin at + y 0 cos at z = z 0. (5) x 2 + y 2 = x y 2 0 = vakio z = z 0. (6) Kyseessä on ympyävitaus z-akselin ympäi. Oheinen kuva esittää joitakin hiukkasatoja x y Vitauksen luonne on selvemmin nähtävissä sylinteikoodinaatistossa (, θ, z): v = v x cos θ + v y sin θ = 0 v θ = v x sin θ + v y cos θ = a. (7) Kaavoja (4) vastaten saamme d dt = 0, dθ dt = a, dz dt = 0, (8) mistä = 0, θ = θ 0 at ja z = z 0. Kyseessä on tasainen pyöiminen z-akselin ympäi. Esimekki 2) v = (ay, a(x bt), 0). Hiukkasatojen yhtälöt ovat samantapaisia kuin yllä. Ne voidaan kijoittaa muotoon d 2 x dt 2 + a2 x = a 2 bt ay = dx dt dz = 0. (9) dt 3

5 Ratkaisemalla ensimmäinen ja sitten sijoittamalla toiseen saadaan x = x 0 cos at + (y 0 b/a) sin at + bt y = x 0 sin at + (y 0 b/a) cos at + b/a z = z 0. (10) Tämä esittää pyöimisliikettä säteellä x (y 0 b/a) 2 ympäi pisteen (bt, b/a, z 0 ), joka liikkuu tasaisella nopeudella. Tällaista ataa kutsutaan sykloidiksi. b a y Kuvassa muutamia hiukkasatoja (x 0 = 0, at = [0, 2π]). Esimekki 3a) v = (a(t)x, a(t)y, 0), yleinen a(t). Hiukkasatojen yhtälöt dx dt = a(t)x, Yksi tapa on ensin atkaista josta saadaan Aikaiippuvuudeksi saadaan dy dt = a(t)y, dz dt a x b = 0. (11) dx dy = x y, (12) xy = vakio. (13) x = x 0 e A(t), y = y 0 e A(t), z = z 0, (14) missä A(t) = t 0 a(t )dt. Ratkaisut ovat hypebelejä b) Tapaus a = vakio, y x v = (ax, ay, 0). (15) Tämä voisi kuvata seinämää kohtaavaa vitausta (esim. y > 0), jossa nopeus pisteessä x = 0, y = 0 häviää. Myöhemmin osoitetaan että tämä vitaus on peusteltavissa tietyin edellytyksin, paitsi että aivan seinämä lähellä vitaus ei voi olla tätä muotoa (koska oikeassa vitauksessa nopeus kiinteällä pinnalla täytyy hävitä). 2.6 Määitelmiä Kaksiulotteinen vitaus: v z 0. Pysyvä vitaus (steady flow): ρ(), v() jne. ajasta iippumattomia (esim. 1 ja 3b). Pysähtymispiste (stagnation point): v = 0. (esim. 1 ja 3: ajasta iippumaton piste, esim. 2: x = bt, y = 0) Eulein takastelutapa: kentät ilmaistu muuttujilla ja t, esim. v(, t). Lagangen takastelutapa: kentät ilmaistu muuttujilla 0 ja t, esim. v( 0, t). Tässä 0 kuvaa hiukkasten paikkaa ajanhetkellä t = 0. Matemaattisesti hankalampi kuin Eulein. Kuvataan takastelutapojen eoja esimekillä 3b, jossa x = x 0 e at, y = y 0 e at, z = z 0, (16) Nopeus Lagangen muodossa on ( ) v = = (ax 0 e at, ay 0 e at, 0). (17) t 0 Eulein muoto taas on (annettu esimekin alussa): v = (ax, ay, 0). (18) Lasketaan kiihtyvyys samojen muuttujien mukaan. ( ) v Lagange : = a 2 (x, y, 0) t ( ) 0 v Eule : = 0. (19) t Tämä voidaan ymmätää siten että hiukkaset kiihtyvät, mutta vitaus ei. Koskeen tuleva tukki kiihtyy koska veden nopeus sen kohdalla kasvaa. Sen sijaan annalla oleva takkailija, joka katsoo vain joen yhtä kohtaa, näkee vakionopeuden. 2.7 Vitaviivat Takastellaan nopeuskenttää v(, t) yhdellä ajanhetkellä. Sellaista käyää joka joka paikassa on nopeusvektoin suuntainen kutsutaan vitaviivaksi. Esimekiksi sääkattaan, jossa tuulen nopeus on mekitty nuolin, voidaan piitää jatkuva viiva kulkien aina kussakin paikassa olevien nuolten suuntaan. (kuva) Huomaa että vitaviiva yleisesti on ei kuin hiukkasen ata. Vitaviiva piietään yhdellä hetkellä vallitsevan nopeuskentän mukaan. Oikealle hiukkaselle kestää aikaa kulkea paikasta toiseen. Tänä aikana vitauskenttä yleisesti on muuttunut, ja siksi hiukkanen kulkeutuu toisaalle kuin aiemman hetken mukaiset vitaviivat. Yleisesti jokaiselle hetkelle saadaan eilaiset vitaviivat. Kuitenkin jos vitaus 4

6 on pysyvä, ovat vitaviivat kaikilla hetkillä samat, ja ne yhtyvät hiukkasten atoihin. Mekitään vitaviivan paikkavektoia p(s):llä, missä s on viivan paameti. Vitaviivojen yhtälö on dp ds = λv(p, t). (20) Tässä λ on mielivaltainen vakio. Siitä voidaan päästä eoon määittelemällä s uudelleen. Tällöin saadaan vitaviivojen yhtälöksi dp = v(p, t). (21) ds Tämä eoaa hiukkasen adan yhtälöstä (3) koska yhtälössä (21) t on vakio. Jos vitaus on pysyvä [v(p, t) v(p)], voidaan s valita samaksi kuin aika, jolloin yhtälöt ovat samat. Esimekki 1) v = (ay, ax, 0). Vitaus on pysyvä, joten sekä vitaviivat että hiukkasten adat ovat ympyöitä. Esimekki 2) v = (ay, a(x bt), 0). Vitaviivoille saadaan yhtälöt dx ds = ay, Näistä saadaan dy dz = a(x bt), ds d 2 x ds 2 + a2 x = a 2 bt = 0. (22) ds ay = dx ds dz = 0. (23) ds Ratkaisemalla ensimmäinen ja sitten sijoittamalla toiseen saadaan x = (x 0 bt) cos as + y 0 sin as + bt y = (x 0 bt) sin as + y 0 cos as z = z 0, (24) missä vitaviiva avolla s = 0 on valittu kulkemaan pisteen (x 0, y 0, z 0 ) kautta. Vitaviivat ovat ympyöitä säteellä (x0 bt) 2 + y 2 0 keskipisteenä (bt, 0, z 0). 3. Massan säilyminen ja vitafunktio 3.1 Jatkuvuusyhtälö Newtonin mekaniikassa massa on vakio. Jatkuvan aineen mekaniikassa massan säilymislaki ilmaistaan jatkuvuusyhtälöllä, joka seuaavassa johdetaan. Takastellaan tiheyskenttää ρ(, t). Mekitään V :llä jotain osaa avauudesta, joka ei iipu ajasta. Tämän alueen sisällä olevalle massalle saadaan M V (t) = ρ(, t)dv. (25) V Lasketaan nyt massan M V (t) aikadeivaatta: dm V (t) = d ρ(, t) ρ(, t)dv = dv, (26) dt dt t V missä deivaatan ottaminen integaalin sisään on sallittua koska integointialue on vakio. Toisaalta massan muutos täytyy aiheutua siitä, että massaa vitaa alueelle V ja pois sieltä. Tämä muutos voidaan ilmaista pintaintegaalina alueen V sulkevan pinnan S yli: dm V (t) = ρ v ds, (27) dt sillä ρ v ds t antaa pintaelementin ds läpi ajassa t ulos kulkeneen massan. Tässä ds = ds n on vektoi, jonka pituus on pintaelementin pinta-ala ds ja sen suunta n on pinta-elementin nomaali osoittaen alueesta V ulospäin. Pintaintegaali (27) voidaan Gaussin lausetta käyttäen muuttaa tilavuusintegaaliksi ρv ds = (ρv)dv. (28) S Kaavoista (26) (28) saadaan [ ] ρ t + (ρv) dv = 0. (29) V Koska alue V on mielivaltainen, täytyy integandin olla nolla kaikkialla. Tämä antaa jatkuvuusyhtälön S V V ρ + (ρv) = 0. (30) t Tämä on yksi keskeisimmistä hydodynamiikan yhtälöistä. Jos ρ on vakio, edusoituu jatkuvuusyhtälö muotoon v = 0. (31) 5

7 Jos vitaus on pysyvä (ajasta iippumaton), saadaan (ρv) = 0. (32) Seuaavassa tutkitaan vielä muita jatkuvuusyhtälön muotoja. 3.2 D/Dt Paikassa ajanhetkellä t tiheys on ρ(, t). Hetkellä t+δt neste-elementti on paikassa + vδt ja sen tiheys on Tiheyden muutos on siis ρ( + vδt, t + δt). (33) ρ( + vδt, t + δt) ρ(, t) = δt(v ρ + ρ t ) + O(δt2 ). (34) Tästä voidaan päätellä, että neste-elementin tiheyden muutosnopeus on tämä jaettuna infinitesimaalisella aikaaskeleella δt, siis v ρ + ρ t. (35) Tälle käytetään mekintää Dρ/Dt, siis Dρ Dt = ρ + v ρ. (36) t Tämä siis antaa Lagangen muutoksen (seuataan hiukkasta) käyttäen Eulein takastelutapaa (muuttujat ja t). Yleisemmin D/Dt-mekintää käytetään muillekin suueille, joten kijoitetaan D Dt = + v. (37) t [Huom! D/Dt on sama kuin kokonaisdeivaatta d/dt muuttujien (, t) funktiosta. Isoa D:tä käytetään, jotta se selkeämmin eottuisi osittaisdeivaatasta / t.] Jatkuvuusyhtälö (30) voidaan kijoittaa myös muotoon mikä taas on sama kuin ρ + v ρ + ρ v = 0, (38) t Dρ + ρ v = 0. (39) Dt Kokoonpuistumattomalle nesteelle Dρ/Dt = 0, joten v = 0. (40) Kun D/Dt-mekintää sovelletaan nopeuteen saadaan Dv Dt = v + v v. (41) t Tällä selittyy edellä olevassa esimekissämme todettu Eulein ja Lagangen kiihtyvyyksien eo. Ne voidaan nyt kijoittaa Lagange : Eule : Dv Dt = a2 (x, y, 0) v = 0, (42) t ja eo näiden välillä täytyy tulla temistä v v. Käyttäen nopeuskenttää (18) tämä voidaan todeta laskemalla ja v = (ax, ay, 0) ( x, y, z ) = ax x ay y v v = (ax x ay )(ax, ay, 0) y 3.3 Vitafunktio = (a 2 x, a 2 y, 0) = a 2 (x, y, 0). (43) Tutkitaan kokoonpuistumatonta vitausta, v = 0, joka on kaksiulotteista v = u(x, y)i + v(x, y)j, (44) Kokoonpuistumattomuusehto voidaan kijoittaa u x + v = 0. (45) y Tästä nähdään että funktiot u ja v eivät ole iippumattomia. Systemaattisin tapa siityä vain yhden funktion käyttöön on määitellä vitafunktio ψ(x, y) siten että u = ψ y, v = ψ x. (46) Sijoittamalla nämä kaavaan (45) todetaan että se toteutuu automaattisesti. Patesonin kijassa osoitetaan, että kaavojen (46) määittelemän funktio ψ todella on olemassa. Edellä oleva on eikoistapaus yleisemmästä teoeemasta. Se sanoo että kun v = 0, (47) niin on olemassa vektoipotentiaali A siten että v = A. (48) Kaksiulotteinen tapaus (46) saadaan tästä eikoistapauksena A = ψk. Edellä olevien määitelmien mukaan voidaan kijoittaa v = ( ψ) k. (49) Tästä nähdään, että ψ:n gadientti on kohtisuoassa v:tä vastaan. Tiedetään että ψ on kohtisuoassa ψ vakiokäyiä vastaan, ja v taas on vitaviivan suuntainen. Saadaan että ψ on vakio vitaviivaa pitkin. ψ = vakio vitaviiva ψ v 6

8 Esimekki 1) x-akselin suuntainen vakiovitaus. mistä ψ = Uy. u = ψ y = U, v = ψ x = 0, (50) Esimekki 2) x-akselin suuntainen tasainen leikkausvitaus u = βy. (Esimekiksi tuuli maan pinnan lähellä.) Saadaan ψ = 1 2 βy2. Jälkimmäiselle ψ = C ln(/a), (56) missä a on jokin pituudenlaatuinen vakio. Pyöeviivassa nopeus kasvaa ajatta viivaa lähestyttäessä, joten aivan viivan lähellä yllä oleva nopeuskenttä ei voi olla oikea. ψ = vakio u(y) y x Seuaavissa esimekeissä tavitsemme napakoodinaatistoa, jossa ( v = ( ψ) k = ˆ ψ + ˆθ 1 ) ψ k θ ja siksi = ˆ 1 ψ θ v = 1 ˆθ ψ, (51) ψ θ, v θ = ψ. (52) Esimekki 3) adiaalinen vitaus v θ = 0, missä v sama kaikkiin suuntiin. Ratkaisu ψ = Aθ, v = A. (53) Koska nopeus divegoi kun 0, ei tämä vitaus voi olla ealistinen oigon läheisyydessä, missä vitauksella täytyy olla lähde (tai nielu jos A < 0). Vakio A kuvaa lähteen voimakkuutta. Pyöteen voimakkuutta kuvaa sen sikulaatio. Yleisesti sikulaatio määitellään viivaintegaalina Γ = v dl, (57) l missä integointi on jotain nesteessä olevaa suljettua polkua l pitkin. Tämä voidaan helposti laskea pyöeviivalle (55) käyttäen polkuna oigokeskeistä ympyää. Saadaan Γ = 2π 0 v θ dθ = 2πC, (58) mikä tulos ei iipu käytetyn ympyän säteestä. Siten voidaan kaavoissa (55) ja (56) kijoittaa C = Γ/2π. 5) Takastellaan vitafunktiota ) ψ = U ( a2 sin θ. (59) Osoita hajoitustehtävänä, että tämä on mahdollinen vitaus a-säteisen sylintein ohi ainakin siinä mielessä, että mitään vitaa ei kulje pinnan = a läpi. ψ = vakio ψ = vakio U ψ = 0 a θ Esimekki 4) ympyävitaus v = 0, v θ (). Tyypillisesti esiintyvät tapaukset ovat jäykkä pyöiminen v θ = D, (54) missä keoin D = Ω on kulmanopeus, ja pyöeviiva v θ = C. (55) Myöhemmin osoitetaan että tämä vitaus on peusteltavissa tietyin edellytyksin, paitsi että aivan seinämän lähellä vitaus ei voi olla tätä muotoa (koska oikeassa vitauksessa nopeuden täytyy hävitä kiinteällä pinnalla). 7

9 4. Pyöteisyys Edellä takasteltiin suuetta v. Toinen täkeä suue on pyöteisyys v, jota nyt tutkitaan. Yleisesti voidaan sanoa, että jos on annettu v = f(), v = g(), (60) niin näistä yhtälöistä (sopivien eunaehtojen kanssa) voidaan määätä v:n kaikki kolme komponenttia. Esimekki pyöteisyydestä leikkausvitauksessa: u = βy, v = 0, Tälle vitaukselle v = βk. ψ = 1 2 βy2. (61) Ajatellaan laitettavaksi vitaukseen kaksi istikkäistä tikkua ja tutkitaan niiden liikettä vitauksen mukana. ε A B (u+βε)δt uδt Nähdään että viiva A B on kietynyt kulmalla βδt. Koska vaakasuoa viiva ei kiey, on keskimäääinen kulmanopeus 1 2 β. 4.1 Lokaali muutos Seuaavassa on takoitus analysoida neste-elementin liikettä siten että se voidaan jakaa osiin a) siityminen, b) pyöiminen, c) muodon ja tilavuuden muutos. B' a) b) c) A' (Huomaa että tässä oletetaan summaus j:n yli vaikka summamekkiä ei ole kijoitettu.) Sama lauseke voidaan kijoittaa myös matiisien avulla muodossa ξ v δt = v 1 x 1 v 2 v 1 x 2 v 2 v 1 x 3 v 2 x 1 v 3 x 2 v 3 x 3 v 3 x 1 x 2 x 3 Olennaisena tässä on tensoi v i x j = v 1 x 1 v 2 v 1 x 2 v 2 v 1 x 3 v 2 x 1 v 3 x 2 v 3 x 3 v 3 x 1 x 2 x 3 ξ 1 ξ 2 ξ 3 δt. (66). (67) (Matiisia kijoitettaessa v:n indeksi on tulkittu ensimmäiseksi, jolloin v 1 esiintyy ylimmällä vaakaivillä, v 2 seuaavalla jne.) [Mikä on tensoi? Vektoi on suue jolla on kolme komponenttia v i, i = 1, 2, 3. Se eoaa mielivaltaisesta kolmen luvun joukosta sillä peusteella, että kun muutetaan koodinaatistoa (esim. kateesisesta sylinteikoodinaatistoon), nämä luvut muuttuvat, mutta silti ne takoittavat samaa vektoia. Täysin analogisesti, (toisen ketaluvun) tensoi voidaan ilmoittaa käyttäen yhdeksää lukua A ij, missä i = 1, 2, 3 ja j = 1, 2, 3, ts. matiisia A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33. (68) Kun muutetaan koodinaatistoa, nämä luvut muuttuvat, mutta silti ne takoittavat samaa tensoia. Koodinaattimuunnoksista on lyhyesti keottu liitteessä.] Antisymmetinen osuus Jokainen tensoi A ij voidaan jakaa symmetiseen ja antisymmetiseen osaan A ij = 1 2 (A ij + A ji ) (A ij A ji ). (69) Tutkitaan liikettä kahdesta alkupisteestä x ja x + ξ nopeuskentässä v(, t). Lyhyen ajan δt kuluttua ensimmäinen hiukkanen on paikassa Toinen taas on paikassa x + v(x, t)δt. (62) x + ξ + v(x + ξ, t)δt. (63) Tayloin sajan alimpien temien mukaan tämä on x + ξ + v(x, t)δt + ξ vδt. (64) Vetaamalla pisteitä voidaan tunnistaa tasainen siityminen v(x, t)δt. Pisteiden liikkeiden eo tulee temistä ξ v δt = v i x j ξ j δt. (65) Sovelletaan tätä tensoiin v i / x j : v i = 1 ( vi + v ) j + 1 ( vi v ) j x j 2 x j x i 2 x j x i = e ij + ij. (70) Antisymmetinen osuus ij vastaa matiisia (71) Tämä voidaan yhtä hyvin kijoittaa 0 R 3 R 2 R 3 0 R 1. (72) R 2 R 1 0 8

10 Suhteellinen liike (65) voidaan nyt kijoittaa v i x j ξ j δt = (e ij + ij )ξ j δt. (73) Tämän antisymmetinen osuus siitää hiukkasen paikasta ξ i paikkaan ξ i + ij ξ j δt. (74) ts. ξ ξ+(r 2 ξ 3 R 3 ξ 2, R 3 ξ 1 R 1 ξ 3, R 1 ξ 2 R 2 ξ 1 )δt, (75) eli ξ ξ + R ξδt. (76) Tämä on vektoin ξ jäykkä pyöiminen kulmanopeudella R. Kulmanopeuden komponentit saadaan vetaamalla kaavoja (70) ja (72): R 1 = 32 = 1 2 R 2 = 13 = 1 2 R 3 = 21 = 1 2 ( v 3 x 2 ( v 1 x 3 v2 x 3 ) = 1 2 ( v) 1 v3 x 1 ) = 1 2 ( v) 2 ( ) v 2 x 1 v1 x 2 = 1 2 ( v) 3. (77) Todetaan että pyöimisen kulmanopeus on 1 2 v. Tämä yleinen tulos on sama kuin pääteltiin leikkausvitaukselle edellä. Symmetinen osuus Koska siityminen ja pyöiminen ovat ainoat liikkeet, joihin ei sisällä muodonmuutosta, kuvaa jäljellä oleva liike ξ i ξ i + e ij ξ j δt (78) muodonmuutosta. Lineaaialgebasta tiedetään että jokainen symmetinen matiisi on sopivalla kannanvaihdolla saatavissa diagonaaliseen muotoon, siis e ij = e e e 3 Tällaisessa koodinaatistossa siis ξ 1 ξ 1 + e 1 ξ 1 δt, ξ 2 ξ 2 + e 2 ξ 2 δt,. (79) ξ 3 ξ 3 + e 3 ξ 3 δt. (80) eli kolmessa kohtisuoassa suunnassa tapahtuu venytys tekijöillä (1 + e 1 δt), (1 + e 2 δt) ja (1 + e 3 δt). Negatiivinen e 1 vastaa kokoonpuistumista 1-suunnassa, ja vastaavasti muissa suunnissa. Tilavuus muuttuu tekijällä (1 + e 1 δt)(1 + e 2 δt)(1 + e 3 δt) = 1 + (e 1 + e 2 + e 3 )δt + O(δt 2 ). (81) Lineaaialgebasta (toivottavasti) myös tiedetään, että matiisin jälki (diagonaalielementtien summa) on iippumaton kannan valinnasta. Siis Siis tilavuuden muutosnopeus on veannollinen v:hen. Kokoonpuistumattomalle nesteelle tämä häviää, kuten on luonnollista. Esimekkejä Tasainen leikkausvitaus Tälle vitaukselle u = βy, v = 0, v i x j = v = βk. (83) 0 β , (84) mistä saadaan antisymmetiselle ja symmetiselle osuudelle ij = β/2 0 0, e ij = β/ (85) 0 β/2 0 0 β/ Pyöimisen kulmanopeudelle saadaan R = 1 2βk. Koska symmetisen osuuden diagonaalielementtien summa on nolla, ei tapahdu tilavuuden muutosta. Muodonuutos sen sijaan tapahtuu siten, että nestealkio venyy suunnassa i+j ja puistuu kasaan suunnassa i+j. Matemaattisesti tämän voi todeta etsimällä ominaisavot e ja ominaisvektoit a, joilla e 11 e 12 e 13 e 21 e 22 e 23 e 31 e 32 e 33 a 1 a 2 a 3 = e a 1 a 2 a 3. (86) Jotta yhtälöllä olisi nollasta poikkeava atkaisu, täytyy deteminantin e 11 e e 12 e 13 e 21 e 22 e e 23 = 0, (87) e 31 e 32 e 33 e mistä ominaisavot voidaan atkaista. Esimekkitapauksessamme ominaisavot ovat β/2, β/2 ja 0, ja vastaavat ominaisvektoit (1, 1, 0)/ 2, ( 1, 1, 0)/ 2 ja (0, 0, 1). Epätasaiselle leikkausvitaukselle saadaan pyöteisyys v = u(y)i (88) v = u (y)k. (89) Jos u(y) muuttuu nopeasti kahden vakioavon välillä, saadaan pyöepinta, jossa pyöteisyys on ajoittunut vain ohueen keokseen. Tällainen pyöepinta syntyy esimekiksi tuulessa jonkin esteen taakse. e 1 + e 2 + e 3 = e 11 + e 22 + e 33 = v 1 x 1 + v 2 x 2 + v 3 x 3 = v. (82) 9

11 Kaksiulotteisen vitauksen pyöteisyydelle saadaan napakoodinaatistossa lauseke (katso liite) v = k ( (vθ ) v ). (90) θ Katsotaan ympyävitausta v = 0, v θ (). Jäykälle pyöimiselle v θ = D saadaan v = 2Dk. (91) Pyöeviivalle v θ = C/ lasketaan kaavasta (90) v = 0 (92) kun 0. Siis pyöeviivassa pyöteisyys näyttäisi olevan nolla. Miksi tätä silti kutsutaan pyöevitauksesi johtuu siitä, että vitauksen keskipisteessä pyöteisyys välttämättä on nollasta poikkeava. v θ = C/:n singulaiteetti voidaan katkaista esim. jäykästi pyöivällä atkaisulla v θ = D kun < a. Kun vaaditaan että v θ on jatkuva = a:ssa saadaan D = C/a 2, jolloin pyöteisyydelle keskialueessa saadaan 2C/a Hydostatiikka Hydostatiikka on hydodynamiikan osa-alue, jossa tutkitaan levossa olevaa nestettä tai kaasua. Levossa kaikki voimat kumoavat toisensa. Voimat voidaan jakaa tilavuusvoimiin ja jännitysvoimiin. Tilavuusvoima on ulkoisesta kentästä neste-elementtiin vaikuttava voima. Yleisin esimekki tästä on gavitaatiovoima. Tilavuusvoimalle määitellään voima massaa kohti, f = df dm = 1 df ρ dv, (93) missä jälkimmäinen muoto seuaa koska massa dm = ρdv. Tilavuusvoima (93) esiintyy jatkossa usein diffeentiaalisessa muodossa df = ρf dv, (94) missä tilavuusvoiman veannollisuus tilavuuteen on selvästi näkyvissä. Lisäksi määitellään potentiaali Φ kaavalla f = Φ. (95) Tasaiselle gavitaatiovoimalle voidaan helposti todeta f = gẑ, Φ = gz, (96) missä g on gavitaatiokiihtyvyys ja z pystysuoa koodinaatti. Pyöimisliikkeeseen kulmanopeudella Ω liittyy myös kiihtyvyys Ω 2. Pyöivässä koodinaatistossa tätä vastaava näennäinen keskipakoisvoima ja sen potentiaali ovat f = Ω 2 ˆ, Φ = 1 2 Ω2 2, (97) kun pyöiminen on z-akselin ympäi sylinteikoodinaateissa (, θ, z). Toisen luokan voimia muodostavat jännitysvoimat, jotka vaikuttavat nesteosasten välillä. Takastellaan kuvaa, jossa puoleen 1 kohdistuu pintaelementin ds kautta voima df = ΣdS (98) puoli 2 puoli 1 Pinnan nomaali n valitaan voiman kohteesta (puoli 1) poispäin. Tällöin kuvan tapaus, missä Σ n > 0, vastaa vetoa. Ehkä yleisempi tapaus on kuitenkin puistus, missä Σ n < 0, ja kuvassa Σ siten osoittaisi alaspäin. 5.1 Jännitystensoi Pyitään seuaavaksi määäämään kuinka jännitysvoima Σ iippuu pinnan suunnasta n. Tässä ei vielä tehdä oletusta levossa olevasta nesteestä, joten käsittely pätee yleisesti. 10

12 Heti aluksi päätellään Newtonin kolmannesta laista, että saman pintaelementin ds kautta puoleen 2 kohdistuva voima on vastakkaismekkinen kuin puoleen 1 kohdistuva voima. Puolen 2 nomaalivektoi on n, joten tämä voidaan kijoittaa kaavana Σ( n) = Σ(n). (99) lisättynä kojaustemeillä suuuusluokkaa δa i δ Σ. Pyamidin liikeyhtälö on nyt (a on kiihtyvyys, jätetään P mekitsemättä) ρaδv = ρfδv + Σ(n)δA +Σ( i)δa 1 + Σ( j)δa 2 + Σ( k)δa 3 +kojauksia (107) k C Jaetaan tämä δa:lla ja annetaan pyamidin koon (muotoa muuttamatta) lähestyä nollaa. Saadaan 0 = 0 + Σ(n) + Σ( i)i n +Σ( j)j n + Σ( k)k n + 0 (108) A i P Yleisemmän tuloksen saamiseksi takastellaan kuvan pyamidia. Sen tahkojen pinta-alat olkoon B BP C : δa 1, AP C : δa 2, AP B : δa 3, j ABC : δa. (100) Tahkojen ulospäin suunnatut nomaalit ovat BP C : i, AP C : j, AP B : k, ABC : n. (101) Pinta-alojen ja nomaalien välille saadaan elaatiot δa 1 = i nδa, δa 2 = j nδa, δa 3 = k nδa. (102) Ulkopuolelta kohdistuu pinnan BP C läpi sisäpuoleen voima Σ( i, )ds (103) BP C Tayloin kehitelmällä saadaan Σ( i, ) = Σ( i, P ) + O(δ Σ). (104) Näin ollen saadaan voimaksi Σ( i, P )δa 1 + O(δA 1 δ Σ). (105) Samaan tapaan saadaan ei seinien kautta tulevat voimat BP C : Σ( i, P )δa 1, AP C : Σ( j, P )δa 2, AP B : Σ( k, P )δa 3, ABC : Σ(n, P )δa, (106) Käyttäen kaavaa (99) saamme vihdoin Σ(n) = Σ(i)i n + Σ(j)j n + Σ(k)k n (109) Määitellään vielä ( = 1, 2, 3) Tällöin (109) saa muodon σ n = [Σ(n)], σ 1 = [Σ(i)], σ 2 = [Σ(j)], σ 3 = [Σ(k)]. (110) σ n = σ 1 n 1 + σ 2 n 2 + σ 3 n 3 (111) Jännitysvoima (98) saa nyt muodon df i = σ ij ds j, (112) mistä iippuvuus pinnan suunnasta ds j = ds n j on heti todettavissa. Sanallisesti: jännitys suuntaa n saadaan laskemalla jännitykset suuntiin i, j ja k ja laskemalla ne yhteen n i :llä painotettuina. Suuetta σ ij = σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 (113) kutsutaan jännitystensoiksi. Voidaan osoittaa että tämä tensoi on symmetinen, σ ij = σ ji. (114) Lasku noudattaa samaa ideaa kuin yllä paitsi että voimien sijasta lasketaan voimien momenttia. Muodostamalla liikeyhtälö nähdään, että kaikki muut temit menevät nollaan ajalla V 0 paitsi σ ij :n epäsymmetisyydestä tuleva temi, jonka siis täytyy olla nolla. Lasku on esitetty Patesonin kijassa. Yleisen teoeeman mukaan symmetinen (ja eaalinen) tensoi voidaan aina saattaa diagonaaliseen muotoon valitsemalla koodinaattiakselit sopivasti. Tällaisessa koodinaatistossa siis σ ij = σ σ σ 3. (115) 11

13 Tällainen matiisi voidaan aina esittää summana isotooppisesta (= kaikkiin suuntiin samanlainen) ja epäisotooppisesta matiisista σ σ σ 3 + = 1 3 σ ii σ σ ii σ σ ii σ σ ii, (116) missä σ ii = σ 1 + σ 2 + σ 3. Epäisotooppisen osuuden diagonaalielementtien summa on nolla. Jännitystensoi nesteissä ja kaasuissa Yllä oleva jännitystensoin käsittely on iippumaton aineen olomuodosta, ja onko se liikkeessä vai levossa. Seuaavaksi takastellaan vain nesteitä ja kaasuja. Pääväittämä on että nesteissä ja kaasuissa, kun ne ovat levossa, jännitystensoi on isotooppinen. Ajatellaan esimekiksi tapausta, jossa olisi σ 2 > σ 1. Tämä saisi aikaan nesteen vitauksen, ts. sitä ei voi esiintyä tasapainotilassa. F = σ y S v Tasapainon vallitessa näiden summa täytyy olla nolla, ρf i dv + σ ij ds j = 0. (121) V Käyttämällä kaavaa (117) ja divegenssilausetta (liite) saadaan (ρf i p )dv = 0. (122) x i V Tämä täytyy toteutua kaikille mahdollisille alueille. Tällöin ainoa mahdollisuus on, että integoitava häviää, eli ρf p = 0, (123) mikä on hydostaattinen tasapainoyhtälö. Esimekkejä Kijoitetaan tasapainoyhtälö käyttäen potentiaalia f = Φ: p = ρ Φ. (124) Ottamalla molemmista puolista saadaan S ρ Φ = 0. (125) Tästä nähdään että ρ:n ja Φ:n gadientit ovat samansuuntaisia. Siis pinnalla missä Φ on vakio, täytyy myös ρ:n olla vakio. Eityisesti tämä koskee nesteen vapaata pintaa, minkä täytyy siis vastata Φ:n vakioavoa. Φ = vakio ρ = vakio Tasapainossa esiintyvä isotooppinen jännitys tulkitaan hydostaattiseksi paineeksi p, siis σ ij = pδ ij. (117) Miinusmekki johtuu siitä että paine vastaa puistusta, missä neste-elementtiin kohdistuva jännitysvoima on sisäänpäin, df = pds = p ds n. (118) [Katso määitelmät kaavan (98) yhteydessä.] Kun neste vitaa, on epäisotooppinen osuus yleisesti nollasta poikkeava. Tähän palataan myöhemmin. 5.2 Tasapainoehto Tutkitaan tiettyyn alueeseen V kohdistuvia voimia. Sen ulkopuolelta siihen kohdistuu jännitysvoima (112) σ ij ds j. (119) S Lisäksi vaikuttaa tilavuusvoima (94) ρf i dv. (120) V 1) Tasaisen gavitaation tapauksessa Φ = gz. Edellisestä päätellään, että tasapainossa tiheys voi olla vain z:n funktio, ρ(z). Samoin paine on samaa muotoa ja sille saadaan kaavasta (124) dp(z) = gρ(z), (126) dz mistä integoimalla saadaan p(z) = p(0) g z Jos tiheys voidaan olettaa vakioksi saadaan 0 ρ(ζ)dζ. (127) p(z) = p(0) gρz. (128) 2) Tasaisesti pyöivässä nesteessä tulee potentiaaliin lisäksi keskipakoisvoimasta tuleva osuus. Pystysuoalle pyöimisakselille z potentiaali on Φ = gz 1 2 Ω2 2 (129) Nesteen pinta vastaa tämän vakioavoa, eli pinta on paaboloidi z = z Ω2 2 /g. Paine nesteen sisällä saadaan 12

14 yhtälöstä (124): Olettamalla tiheys vakioksi saadaan p = ρω2, p θ = 0, p = ρg. (130) z p = p 0 ρgz ρω2 2. (131) 5.3 Hydostaattiset voimat Edellä takasteltua jännitysvoimaa (118) voidaan käyttää myös laskettaessa kiinteisiin kappaleisiin tai seinämiin kohdistuvia voimia. Tutkitaan tätä tasaisen gavitaation tapauksessa Φ = gz. Kiinteään kappaleeseen kohdistuvalle voimalle saadaan lauseke F = p ds, (132) S missä integointi on kappaleen pinnan S yli. Edellä johdettiin että kaasussa/nesteessä vallitseva paine p (127) samoin kuin tiheys ovat vain koodinaatin z funktioita, p(z) ja ρ(z). Seuaavassa yleistetään p ja ρ takoittamaan näitä funktioita kaikkialla, myös kappaleen sisällä. F z z=0 H P h Vasemmalta vaikuttaa voima (l on luukun leveys, p 0 ilman paine) 0 H (p 0 ρgz)ldz = p 0 Hl ρgh2 l. (136) Oikealta vaikuttaa voima p 0 hl + h H Kokonaisvoimaksi saadaan [p 0 ρg(z + h)]ldz = p 0 Hl ρgl(h h)2. (137) F = 1 2 ρgl[h2 (H h) 2 ], (138) missä p 0 :n vaikutusta ei enää näy. Ehkä yllättävästi, voima ei iipu pelkästään nestepintojen kokeuseosta h, vaan myös kanavan syvyydestä H. Lasketaan vielä voimien momentti pisteen P suhteen. Jättäen p 0 pois saadaan vasemmalta 0 H ( ρgzl)(z + H)dz = 1 6 ρglh3 (139) ja oikealta g ρ(z) Divegenssilauseesta (liite) saadaan F = p(z) ds = p(z) dv. (133) S V Käyttämällä tasapainoehtoa p = ρf = ρgẑ saadaan F = gẑ ρ(z) dv, (134) V missä siis integoidaan nesteen/kaasun tiheysfunktiota ρ(z) kappaleen tilavuuden V yli. Tämä on Akhimedeen laki. Sanallisesti ilmaistuna kappaleeseen kohdistuu noste, joka on yhtä suui kuin kappaleen syjäyttämän neste/kaasumäään paino. Olettamalla ρ = vakio, vastaten esimekiksi nesteessä upoksissa olevaa kappaletta, saadaan h H [ ρgzl(z + h)](z + H)dz = 1 6 ρgl(h h)3. (140) Kokonaismomentti siis on 1 6 ρgl[h3 (H h) 3 ]. (141) Momentti on sama kuin jos koko voima (138) vaikuttaisi pisteeseen kokeudella kanavan pohjasta. ζ = 1 6 [H3 (H h) 3 ] 1 2 [H2 (H h) 2 ] (142) F = gρv ẑ. (135) Kanavan luukkuun kohdistuva voima 13

15 6. Liikeyhtälö Muodostamme nyt liikeyhtälön. Takastelemme paikallaan olevaa aluetta ja laskemme kuinka paljon sen sisällä oleva liikemäää muuttuu. Tämä muutos aiheutuu kolmesta osasta. 1) Liikemäään kulkeutuminen alueen V pinnan S läpi vitauksen mukana. Samaan tapaan kuin jatkuvuusyhtälön tapauksessa (27), tästä aiheutuu sisällä olevan liikemäään muutosnopeus dp (1) i dt sillä liikemäään tiheys on ρv i. = ρv i v ds, (143) S 2) Voimat jotka vaikuttavat suoaan tilavuuden sisälle. Newtonin lain mukaan näistä aiheutuu liikemäään muutosnopeus dp (2) i = ρf i dv. (144) dt 3) Pinnan S läpi jännitystensoista aiheutuva voima. Kun nomaali on ulospäin, aiheutuu tästä sisällä olevaan liikemääään muutosnopeus dp (3) i dt = V S σ ij ds j, (145) Toisaalta liikemäää V :n sisällä on P i = ρv i dv. (146) V Tämän muutosnopeus siis d ρv i dv = ρv i v ds + ρf i dv + σ ij ds j. dt V S V S (147) Kijoitetaan ρv i v ds = ρv i v j ds j ja muutetaan kaikki tilavuusintegaaleiksi. Saadaan V ( ρvi t + ρv iv j x j ρf i σ ) ij dv = 0. (148) x j Koska tämän pitää olla voimassa kaikille alueille V, on ainoa mahdollisuus että integoitava häviää, ρv i t + ρv iv j x j Käyttämällä jatkuvuusyhtälöä = ρf i + σ ij x j. (149) ρ + (ρv) = 0 (30) t voidaan liikeyhtälön (149) vasen puoli kijoittaa yksinketaisempaan muotoon ρ v i t + ρv v i j = ρf i + σ ij. (150) x j x j Huomataan että vasemman puolen toinen temi on ρv v. Vasen puoli on siis tiheys ketaa nopeuden konvektiivinen deivaatta (41). Liikeyhtälö voidaan kijoittaa siis myös ρ Dv i Dt = ρf i + σ ij x j. (151) Jotta liikeyhtälöä voitaisiin soveltaa, on tunnettava σ ij. Jos käytämme tälle samaa muotoa kuin päättelimme hydostatiikassa σ ij = pδ ij (117), saamme ρ Dv Dt Tämä tunnetaan Eulein yhtälönä. = ρf p. (152) Eulein yhtälö toimii hyvin monissa tapauksissa, mutta toisissa se johtaa selvästi viheellisiin tuloksiin. Pyitään seuaavassa ymmätämään, mitä olennaista vielä puuttuu. Viskositeetti Jos aine olisi täysin jatkuvaa, olisi Eulein yhtälö vamaankin iittävä. Aine kuitenkin koostuu hiukkasista (atomeista tai molekyyleistä). Sen lisäksi että nämä vitaavat keskimäääisellä nopeudella v, kulkee kukin hiukkanen omaa vasin satunnaista ataansa, kun se tömäilee muihin hiukkasiin. Tätä kutsutaan diffuusioksi. U+u U s Tutkitaan tapausta, jossa meillä pinnan S ei puolilla on eisuuet keskimäääiset nopeudet, molemmat pinnan suuntaisia. Satunnaisliikkeen takia hiukkasia kulkeutuu pinnan läpi molempiin suuntiin. Yläpuolelta tulevilla hiukkasilla on kuitenkin keskimääin suuempi liikemäää x-suuntaan kuin alapuolelta tulevilla. Siksi liikemääää kulkeutuu pinnan läpi vaikka keskimäääinen massan vitaus pinnan läpi häviää. Tällaista liikemäään kulkeutumista kutsutaan viskositeetiksi. (Se että tämä vastaa kokemustamme, että esim. öljyllä on suuempi viskositeetti kuin vedellä, tulee ilmeiseksi vasta myöhemmin.) Nopeuden epäjatkuvuutta ealistisempi tapaus on jatkuva nopeuden muutos U(y). Hydodynamiikassa oletetaan, että diffuusiosta aiheutuva liikemäään kulkeutuminen on pientä. Tällöin voidaan olettaa, että se on suoaan veannollista nopeuden deivaattaan du/dy. Tämä takoittaa että mahdollisista kokeammista deivaatoista tai du/dy:n kokeammista potensseista tulevat kojaukset oletetaan mitättömiksi. Liikemäään kulkeutumisen takia ylä- ja alapuolen välillä vaikuttaa jännitysvoima, joka voidaan ottaa mukaan jännitystensoin komponentilla σ xy. Yllä olevan mukaan sen oletetaan olevan muotoa y x σ xy = µ U y. (153) 14

16 Tässä esiintyy ainetta kuvaava veannollisuuskeoin µ. Pyimme nyt selvittämään viskositeetin yleisen muodon. Kijoitamme σ ij = pδ ij + σ ij (154) missä σ ij on viskoosinen jännitystensoi. Tasainen liike ei voi johtaa viskositeettitemeihin, joten σ ij = 0 jos v on vakio. Toisaalta oletamme viskositeettitemit pieneksi, joten niiden täytyy olla suoaan veannollisia nopeuden deivaattaan, eli tensoiin v i / x j (67). Yleisesti tällainen veannollisuus on neljännen asteen tensoi A ijkl : σ ij = A ijkl v l x k. (155) Seuaavaksi väitämme että tasainen pyöiminen ei myöskään voi johtaa nollasta poikkeavaan σ ij :hin. Peusteluna voidaan esittää, että tasainen pyöiminen on tasapainotila, jossa liike-enegia ei voi muuttua lämmöksi (kuten enegialle viskositeetin vaikutuksesta yleisesti tapahtuu). Tämän peusteella σ ij voi iippua ainoastaan tensoin v i / x j symmetisestä osuudesta e ij = 1 2 ( vi + v ) j. (156) x j x i Seuaavaksi väitämme että ainoa mahdollinen elaatio (155) on muotoa ( σ ij vi = a + v ) j v k + bδ ij. (157) x j x i x k Peusteluna on lähinnä se, että yitäpä keksiä jokin yleisempi muoto, joka ei asettaisi mitään avauuden suuntaan eityisasemaan toisiin nähden. On tapana kijoittaa (157) ekvivalenttiin muotoon ( σ ij vi = µ + v j 2 x j x i 3 v k δ ij x k ) + Kδ ij v k x k, (158) joka samalla määittelee vakiot µ ja K. Tämä on jatkossa käytännöllisempi muoto, koska sulkulausekkeen jälki häviää. Todetaan että yksinketaisen nesteen tai kaasun viskositeetin kuvaamiseksi tavitaan kaksi viskositeettikeointa, µ ja K. Nestettä/kaasua jonka viskoosinen jännitystensoi on kaavan (158) mukainen kutsutaan newtonilaiseksi. 6.1 Navie-Stokes-yhtälö Sijoitetaan nyt jännitystensoi (154) ja (158) liikeyhtälöön (151), jolloin saadaan ρ Dv i Dt = ρf i p x i + x j + x i ( µ v i + µ v ) j x j x i [ (K 2 3 µ) v k x k ]. (159) Tämä on Navie-Stokes-yhtälö yleisimmässä muodossaan. Useimmissa tapauksissa voidaan µ ja K olettaa vakioiksi. Tällöin Navie-Stokes-yhtälö saa muodon ρ Dv Dt = ρf p + µ 2 v + ( K µ) v. (160) Jos neste/kaasu on myös kokoonpuistumatonta, v = 0, saa Navie-Stokes-yhtälö muodon ρ Dv Dt = ρf p + µ 2 v. (161) Jos viskositeetti ei ole olennainen, voidaan olettaa µ K 0, ja saadaan Eulein yhtälö ρ Dv Dt = ρf p. (152) Paikallaan olevalle nesteelle (v = 0) Navie-Stokesyhtälö (159) edusoituu hydostaattiseksi tasapainoyhtälöksi ρf p = 0. (123) Eityisesti yllä olevia kehystettyjä yhtälöitä tullaan takastelemaan jatkossa. Viskositeettiketoimet µ ja K tiedetään mittauksista. Keoin µ saadaan mittaamalla leikkausvitausta, jota takastellaan myöhemmin. Keoin K liittyy kokoonpuistuvuuteen, ja sen avo voidaan päätellä ääniaallon vaimenemisesta. Yleisesti K on samaa suuuusluokkaa kuin µ. Jakamalla Navie-Stokes-yhtälö (161) tiheydellä saadaan Dv Dt = f 1 ρ p + ν 2 v, (162) missä on määitelty kinemaattinen viskositeetti ν = µ/ρ. Alla muutamia avoja tiheydelle ρ ja viskositeeteille µ ja ν. aine ρ (kg/m 3 ) µ [kg/(m s)] ν (m 2 /s) ilma 1, vesi elohopea oliiviöljy glyseiini Oleellisempaa kuin viskositeetin avot sinänsä on veata ei temien suuuuksia. Usein keskeinen suue on inetiaalitemin ρv v ja viskoosin temin µ 2 v suhde. Jos esimekiksi vitaus nopeudella U kulkee kappaleen ohi, ja kappaleen kokoa kuvaa pituus a, on temien suuuusluokkien suhde Re = ρua µ, (163) mitä kutsutaan Reynoldsin luvuksi. Esimekiksi ilman vitaus nopeudella 1 m/s ja a = 10 cm antaa Re = (164) Tässä tapauksessa viskoositemi on hyvin pieni veattuna inetiaalitemiin. Tästä huolimatta viskoositemillä voi 15

17 olla olennainen vaikutus vitaukseen, kuten myöhemmin tullaan näkemään. Navie-Stokes on vektoiyhtälö, joten komponentteina kijoitettuna se vastaa kolmea yhtälöä. Yhdessä jatkuvuusyhtälön kanssa ne muodostavat neljän yhtälön yhmän. Niissä esiintyy tuntemattomina neljä kenttää v x (, t), v y (, t), v z (, t) ja p(, t). Ilman todistusta väitetään, että kyseiset neljä yhtälöä määäävät juui nämä neljä kenttää. Lisätietoina tavitaan kuitenkin, miten tiheys iippuu paineesta, ρ(p), mikäli aine on kokoonpuistuvaa. Lisäksi tavitaan eunaehtoja. Tyypillisin eunaehto on että nopeus v häviää, v = 0, (165) kiinteän kappale pinnalla (olettaen että kappale on paikallaan). Tämä on luonnollista nopeuden nomaalikomponentille, mutta se pätee vasin hyvin myös tangentiaalikomponentille. On syytä mainita että täydellisessä hydodynaamisessa teoiassa on vielä yksi lisämuuttuja ja sitä vastaava diffeentiaaliyhtälö. Muuttajaksi voidaan valita vaikka sisäinen enegia ɛ, lämpötila T tai entopia. Lisäyhtälö saadaan enegian säilymisestä. Kijoitetaan se tässä ilman johtoa, ρ Dɛ Dt = p + µ 2 ( vi + v j 2 x j x i 3 v k δ ij x k ) 2 +K( v) 2 + (k T ). (166) Huomataan että tässä esiintyvät samantyyppiset temit kuin viskoosin jännitystensoin σ ij lausekkeessa (158). Nähdään että aina kun σ ij 0, sisäinen enegia kasvaa. Tämä takoittaa, että vitauksen enegia muuttuu viskositeetin vaikutuksesta lämmöksi. Toinen huomattava seikka on, että kun lämpötila ei ole vakio, lämpö johtuu kuumemmasta kylmempään. Tätä kuvaa yhtälön (166) viimeinen temi, ja vakio k on lämmönjohtavuus. Jatkossa takastelemme tapauksia, joissa lämpötila ei ole oleellinen muuttuja. Siksi meille iittää Navie-Stokes- ja jatkuvuusyhtälö, emmekä tavitse enegiayhtälöä (166). Pyöivä koodinaatisto Pienenä lisäyksenä Navie-Stokes-yhtälöön käsittelemme pyöivää koodinaatistoa. Mekaniikan kussissa on (toivottavasti) johdettu, että jos pyöivässä koodinaatistossa mielivaltaiselle vektoille A(t) laskettu aikadeivaatta on (DA/Dt), on vastaava aikadeivaatta inetiaalikoodinaatistossa ( ) DA = Dt i ( ) DA + Ω A. (167) Dt Tämä on lyhyesti johdettu myös liitteessä D. Tässä Ω on kulmanopeusvektoi, jolla pyöivä koodinaatisto pyöii. Soveltamalla sääntöä paikkavektoiin saadaan v i = ( D Dt ) i = ( D Dt ) + Ω = v + Ω. (168) Soveltamalla sääntöä toistamiseen saadaan ( ) ( ) Dvi D = (v + Ω ) + Ω (v + Ω ) Dt i Dt ( ) Dv = + 2Ω v + Ω (Ω ), (169) Dt missä on oletettu että Ω on vakio. Sijoitetaan tämä Navie-Stokes-yhtälöön. Koska jatkossa kaikki ilmaistaan pyöivässä koodinaatistossa, voidaan indeksi jättää pois, jolloin Navie-Stokes-yhtälö saa muodon ρ Dv + 2ρΩ v + ρω (Ω ) Dt = ρf p + viskositeettitemit. (170) Tässä temi 2ρΩ v kuvaa Coiolisvoimaa, ja temi ρω (Ω ) keskipakoisvoimaa. Yhtälöä (170) saadaan yksiketaistettua seuaavasti. Hydostaattisessa tapauksessa (v = 0) se edusoituu muotoon ρω (Ω ) = ρf p 1, (171) missä painetta on mekitty p 1 :lla. Tämä vastaa tasaista pyöimistä, ja se atkaistiin edellä [kaava (131)]. Vähentämällä (171) liikeyhtälöstä ja mekitsemällä p 2 = p p 1 saadaan ρ Dv Dt + 2ρΩ v = p 2 + visk. (172) Jatkossa on oleellista veata temien v v ja 2Ω v (173) suuuuksia. Oletetaan että takastellaan ilmastoa, jolloin tyypillinen mittakaava on 1000 km ja nopeus 10 m/s. Koska Ω = /s, on näiden kahden temin suuuusluokat yksiköissä m/s 2 eli 10 2 /( ) ja (174) 10 4 ja (175) Nähdään että Coiolistemi on dominoiva tässä tapauksessa. Jos vitauksen mittakaava olisi yksi meti, Coiolistemi olisi häviävän pieni, ja siksi sillä ei ole mekitystä ammeesta tyhjentyvän veden tapauksessa. Ilmaston tapauksessa voidaan ensimmäisessä appoksimaatiossa jättää aikadeivaatta ja viskoosit temit pois, jolloin saadaan Tällä on atkaisu 2ρΩ v = p 2. (176) v = v θˆθ, Ω = Ωk, (177) 16

18 ja Z p2 () = p2 (0) + 7. Navie-Stokes-yhta lo n atkaisuja 2ρΩvθ ()d. Kokoonpuistumattomalle vitaukselle on atkaistava yhta lo t (178) 0 Na hda a n etta ilma vitaa vakiopaineka yia pitkin. Coiolisvoima ja painegadientti kumoavat toisensa. Pohjoisella pallonpuoliskolla (Ω > 0) tuulet kieta va t matalapainealueita (dp2 /d > 0) positiiviseen kietosuuntaan (vθ > 0). v = 0, v + ρv v = p + µ 2 v. (179) ρ t (Ta ssa temi ρf on eliminoitu va henta ma lla hydostaattinen yhta lo ρf p1 = 0, ja mekitsema lla p2 = p p1 :ta yksiketaisesti p:lla.) Na ista nelja sta yhta lo sta pita isi atkaista nelja tuntematonta v ja p. Na illa yhta lo illa on muutamia helposti saatavia atkaisuja, joita nyt takastelemme. 7.1 Vitaus kahden tason va lissa Oletetaan paikallaan olevat seina t y = ±a ja vitaus v = U (y)i. (180) y 2a v x Jatkuvuusyhta lo keyhta lo sta saadaan Oheisessa sa a katassa tuulet ovat la hes vakiopaineka yien suuntaiset, ja kietosuunta on ylla olevan tuloksen mukainen. (La hde: Helsingin sanomat) toteutuu automaattisesti. Lii- d2 U p +µ 2, x dy p 0 =, y p 0 =. (181) z Kahdesta ja lkimma isesta saadaan, etta p on vain x:n funktio, p(x). Todetaan etta ensimma isessa yhta lo ssa dp/dx voi iippua vain x:sta ja µd2 U /dy 2 voi iippua vain y:sta. Jotta ta ma olisi mahdollista, ta ytyy kummankin temin olla vakio, siis 0 = d2 U dp = G, µ 2 = G. dx dy (182) Ta ssa G on painegadientti, ja paineen pita a olla suuempi vasemmalla, jotta vitaus olisi oikealle (x-akselilla). Paineelle saadaan p = c1 Gx. Myo s nopeus saadaan helpolla integoinnilla G 2 U = c2 + c3 y y, (183) 2µ missa c1, c2 ja c3 ovat vakioita. Reunaehtoina vaaditaan U = 0 kun y = ±a. Ta sta saadaan nopeudelle U= G 2 (a y 2 ). 2µ (184) Tulokset voi ilmaista myo s mekitsema lla paineita kanavan pa issa p = p0 kun x = 0 ja p = p1 kun x = l, jolloin saadaan p0 p1 p = p0 x, l p0 p1 2 U = (a y 2 ). (185) 2µl 17

19 Lasketaan vielä seinään kohdistuva voima. Alapinnalla pinnan nomaali n = j (siis voiman kohteesta poispäin). Olemme eityisesti kiinnostuneet voimasta suuntaan i. Tällöin voima pinta-alayksikköä kohti saadaan [kaavan (112) mukaan] jännitystensoin komponentista σ 12. Tälle lasketaan käyttäen kaavoja (154) ja (158) σ 12 = σ 12 = µ ( du dy ) y= a = (p 0 p 1 )a. (186) l Tämä siis seinälle y = a. Seinälle y = +a saadaan vastakkaismekkinen σ 12 mutta molempiin seinämiin kohdistuu sama voima (koska nomaalin suunta on vastakkainen). Lasketaan nesteeseen vaikuttava kokonaisvoima. Mekitään kanavan leveyttä z suuntaan L:llä. Voiman x- komponentille saadaan 1) ylä- ja alaseinistä 2(p 0 p 1 )al, 2) vasemmalta 2aLp 0 ja 3) oikealta 2aLp 1. Nähdään että kokonaisvoima häviää niin kuin kuuluukin, sillä muuten liike olisi kiihtyvää. Tästä esimekistä nähdään, että viskositeetti µ vastaa kokemustamme viskositeetista: samalla paine-eolla vitausnopeus pienenee kun viskositeetti kasvaa, tai tavitaan suuempi paine-eo saman vitauksen aikaansaamiseen. 7.2 Vitaus putkessa Tutkitaan vitausta pyöeässä putkessa ja oletetaan 2a z v = U()k. (187) Ratkaisu on hyvin samantyyppinen kuin edellä. Hankaluutta lisää kuitenkin se että liikeyhtälö on lausuttava sylinteikoodinaateissa. Eityisesti 2 v ei löydy nomaaleista taulukkokijoista, mutta se on useimmissa hydodynamiikan kijoissa. Seuaten Patesonia peustellaan lauseke vain eikoistapausta (187) vaten. Koska k on vakiovektoi, 2 (U()k) = k 2 U(). Tälle saadaan liitteestä B k 2 U() = k v ( d 2 U d 2 Liikeyhtälö saadaan muotoon 0 = p, 0 = 1 p θ, 0 = p z + µ ( d 2 U d du d Nämä atkaistaan kuten edellä ja saadaan p = p 0 Gz, ). (188) ) du. (189) d U = G 4µ (a2 2 ). (190) Tämä atkaisu tunnetaan Poiseuillen kaavana. Vitausnopeus on paabolinen ja maksimissaan U max = Ga 2 /4µ kun = 0. Seinämiin kohdistuva leikkausjännitys voidaan laskea jännitystensoista (158), missä tavittavan muodonmuutostensoin 2e ij (156) lauseke sylinteikoodinaateissa on johdettu liitteessä B, kaava (354). Saadaan (n = ˆ, ollaan kiinnostuttu voimasta ẑ) ( ) du σ z = σ z = µ = 1 Ga, (191) d 2 ja kokonaisvoima Keskinopeus on U ave = 1 πa 2 =a F = 2πal 1 2 Ga = πa2 lg. (192) a 7.3 Dimensioanalyysi 0 U()2πd = Ga2 8µ = 1 2 U max. (193) Dimensioanalyysi on käsite, joka usein esitetään hydodynamiikan yhteydessä, vaikka kysymyksessä on asia joka on yhteinen kaikelle fysiikalle, ja muillekin matemaattisille tieteille. Esitän tässä dimensionanalyysin yhdistettynä yhtälöiden numeeiseen atkaisuun, ja palataan vasta sen jälkeen muihin käyttötapoihin. Oletetaan että olisi atkaistava numeeisesti Navie- Stokes-yhtälöyhmä v = 0 ρ v t + ρv v = p + µ 2 v. (179) Tietokoneen muistipaikoille voi kuitenkin syöttää vain lukuja, ei laatuja. Siksi esim. koodinaatille x kijoitamme x = X x 0, missä X on tietokoneen muistipaikkaan sijoitettava laaduton luku. Ketova tekijä x 0 on laatu (dimensio). Se voi olla esim. x 0 = 1 m tai 20 mm. Usein ei kuitenkaan ole tavetta kiinnittää sille mitään numeoavoa. Esimekiksi, jos tutkitaan vitausta putkessa, jonka halkaisija on D, on hyvä valinta x 0 = D. Samaan tapaan valitaan laadut muille suueille. Esimekiksi nopeudelle v = V v 0 ja ajalle t = T t 0. Nopeuden laaduksi on luonnollista valita v 0 = x 0 /t 0. Yhtälön (179) atkaisuna halutaan nopeuskenttä v(x, y, z, t). Tietokoneen muistissa se on muodossa V(X, Y, Z, T ). [Muistin ajallisuuden takia V on laskettu vain diskeeteissä pisteissä, ja muissa pisteissä sen avo saadaan intepoloimalla. Ei kiinnitetä huomiota tähän tällä ketaa.] Fysikaalinen v(x, y, z, t) saadaan kaavasta v(x, y, z, t) = V( x x 0, y x 0, z x 0, t t 0 )v 0 (194) ja vastaavasti painekenttä p(x, y, z, t) = P ( x x 0, y x 0, z x 0, t t 0 )p 0. (195) 18

20 Sijoitetaan kentät yhtälöihin (179). Mekitään nablaa laaduttomien yksiköiden suhteen Saadaan R = ( X, Y, ). (196) Z R V = 0 (197) V T + V RV = p 0 ρv0 2 R P + µ 2 ρv 0 x RV. 0 Kiinnitetään nyt paineen yksikkö p 0 = ρv 2 0 ja Reynoldsin luku Re = ρx 0v 0 µ, (198) niin saadaan yhtälöyhmäksi R V = 0 V T + V RV = R P + 1 Re 2 RV. (199) Todetaan että tämä iippuu ainoastaan paametista Re. Reunaehdoista iippuen yhtälöyhmän atkaisut iippuvat myös muista laaduttomista paameteista. Esimekiksi vitaus suoakaiteen muotoisessa putkessa iippuu suoakaiteen sivujen pituuksien suhteesta. Yllä olevalla on voitettu se, että numeeinen lasku on suoitettava vai kean kullakin Reynoldsin luvun avolla. Fysikaalinen atkaisu kahta paksummalla putkella mutta puolella vitausnopeudella (tai kaksiketaisella viskositeetin avolla) saadaan samasta numeeisesta atkaisusta vaihtamalla laatuja. Edellistä tulosta voidaan käyttää myös koetulosten yleistämiseen. Riittää tutkia vain yhtä nestettä yhdessä putkessa ei vitausnopeuksilla. Näin saaduista tuloksista voidaan päätellä tulokset ei kokoisille putkille ja ei viskositeetin ja tiheyden nesteille. Testit eikokoisilla putkilla osoittavat kokeiden tukevan edellä johdettuja skaalauslakeja. Oheisessa kuvassa on esitetty kokeellisesti mitattu paineeo putkessa muodossa p 0 p 1 l = ρu ave 2 2D f(ρdu ave µ, e ). (200) D Funktio f (fiction facto) iippuu Reynoldsin luvun lisäksi putken pinnan epätasaisuuksien kokeudesta e. (Kuva calc pipe fiction.cfm) Kun Re < 2000, on Poiseuillen laminaainen atkaisu (190) yhtäpitävä koetulosten kanssa. (Ratkaise f:n lauseke tässä tapauksessa.) Suuemmilla avoilla havaitaan kokeissa useimmiten epäsäännöllinen ja aikaiippuva tubulentti vitaus. Tubulentti vitaus on suui ongelma teoeettisesti. Mitään takkaa analyyttistä atkaisua ei ole löydetty. Suuuusluokat kyllä pystytään avioimaan. Navie-Stokesyhtälöitä voidaan atkaista myös numeeisesti (esimekkisimulaatiota), mutta nämä vaativat unsaasti laskentaa, ja täysin tubulentin tapauksen käsittely on silti hyvin vaikeaa. Insinööit käyttävät tubulentille vitaukselle kaavoja, jotka peustuvat yksiketaisiin funktioihin, joiden paametit on sovitettu kokeellisiin tuloksiin. On syytä koostaa, että tubulentti vitaus on Navie- Stokes-yhtälöiden atkaisu. (Numeeiset laskut tukevat tätä päätelmää.) Siis Navie-Stokes-yhtälöissä sinänsä ei ole mitään vikaa. Kysymyksessä on vain näiden yhtälöiden tavattoman monimutkainen atkaisu. Edellä käsiteltiin vitausta putkessa. Nämä tulokset voidaan kvalitatiivisesti yleistää muihinkin tapauksiin, esimekiksi vitaukseen jonkin kappaleen ohitse. Pienillä Reynoldsin luvuilla vitaus on laminaaista. Suuilla Reynoldsin luvuilla vitaus on tubulenttia. Millä Reynoldsin luvulla laminaainen vitaus tulee epästabiiliksi, iippuu kappaleen muodosta ja siitä kuinka huolellisesti koe tehdään (esim. kuinka laminaaista vitaus alun pein on). Peustellaan vielä kaavan (200) muoto. Edellä johdettiin että numeeinen lasku laaduttomilla suueilla antaa, että paine on muotoa (195), missä laaduton funktio P lisäksi voi iippua vain Reynoldsin luvusta ja suhteellisista pinnan epätasaisuuksista e/x 0. Siis p(x, y, z, t) = p 0 P ( x x 0, y x 0, z x 0, t t 0, ρx 0v 0 µ, e x 0 ). (201) Toisaalta keskiavopaine-eo pitkässä putkessa ei voi iippua x:tä, y:stä eikä ajasta t. Lisäksi sen tulee olla lineaainen z:ssa. Saadaan siis jollain toisella funktiolla F p(z) p 0 = vakio + z x 0 F ( ρx 0v 0 µ, e x 0 ). (202) Tämä on sama kuin yhtälö (200), kun vain yksiköt x 0 ja v 0 on valittu sopivasti. Vielä joitain huomioita skaalauksesta. Kun katsoo yhtälöä (199), jossa ei esiinny mitään muita ykkösestä poikkeavia ketoimia kuin Reynoldsin luku, luulisi naivisti, että vaihtuminen kahden ei atkaisutyypin välillä tapahtuisi sunnilleen kun Re 1. Se että todellisuudessa tämä tapahtuu lähellä avoa Re 2000 on mielenkiintoinen osoitus siitä, että edellinen päättely ei aina toimi hyvin. Skaalaus mahdollistaa mallikokeiden tekemisen. Sen sijaan että kokeiltaisiin laivan pohjan, potkuin tai lentokoneen muotoja täysikokoisina, voidaan tehdä niistä pienoismalleja. Jotta pienoismalleilla saatavat tulokset olisi- 19