Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Transkriptio

1 Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat ja jakaumat 3. Momettemäfukto ja karakterste fukto 4. Satuasmuuttuje muuoste jakaumat 5. Stokastka kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Ilkka Mell 09

2 Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Ilkka Mell 0

3 Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Ssällys 9. SATUNNAISMUUTTUJAT JA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT SATUNNAISMUUTTUJAT JA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT: JOHDATTELEVIA ESIMERKKEJÄ SATUNNAISMUUTTUJAT JA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT: MÄÄRITELMÄT SATUNNAISMUUTTUJA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT TILASTOLLISINA MALLEINA 3 SATUNNAISMUUTTUJIEN TYYPPEJÄ DISKREETIT SATUNNAISMUUTTUJAT JA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT 4 JOHDATTELEVA ESIMERKKI 4 DISKREETTI SATUNNAISMUUUTTUJA 6 DISKREETIN SATUNNAISMUUTTUJAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 7 DISKREETTI TODENNÄKÖISYYSJAKAUMA 8 PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTION KUVAAJA 8 DISKREETTI TODENNÄKÖISYYSJAKAUMA JA REAALIAKSELIN VÄLIEN TODENNÄKÖISYYDET 9 TODENNÄKÖISYYKSIEN VERTAILU 30 DISKREETTIEN TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN PARAMETROINTI 30 HAVAINNOLLISTUS: GEOMETRINEN JAKAUMA 30 DISKREETTEJÄ TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIA JATKUVAT SATUNNAISMUUTTUJAT JA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT 35 JOHDATTELEVA ESIMERKKI. 35 JATKUVA SATUNNAISMUUTTUJA 36 JATKUVAN SATUNNAISMUUTTUJAN TIHEYSFUNKTIO 37 TIHEYSFUNKTION KUVAAJA 37 JATKUVA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMA JA REAALIAKSELIN VÄLIEN TODENNÄKÖISYYDET 37 TODENNÄKÖISYYKSIEN VERTAILU 39 JATKUVIEN TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN PARAMETROINTI 39 HAVAINNOLLISTUS: EKSPONENTTIJAKAUMA 40 JATKUVIA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIA DISKREETIT JAKAUMAT VS JATKUVAT JAKAUMAT KERTYMÄFUNKTIO KERTYMÄFUNKTIO JA SEN OMINAISUUDET DISKREETIN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 48 DISKREETIN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTION JA KERTYMÄFUNKTION YHTEYS 49 DISKREETIN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTION KUVAAJA 49 DISKREETTI JAKAUMA JA REAALIAKSELIN VÄLIEN TODENNÄKÖISYYDET 49 DISKREETIN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO JA KERTYMÄFUNKTIO: HAVAINNOLLISTUS _ JATKUVAN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 5 JATKUVAN JAKAUMAN TIHEYSFUNKTION JA KERTYMÄFUNKTION YHTEYS 5 JATKUVAN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTION KUVAAJA 5 JATKUVA JAKAUMA JA REAALIAKSELIN VÄLIEN TODENNÄKÖISYYDET 5 JATKUVAN JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO JA KERTYMÄFUNKTIO: HAVAINNOLLISTUS 5. JAKAUMIEN TUNNUSLUVUT 54.. ODOTUSARVO 55 JOHDATTELEVA ESIMERKKI 55 Ilkka Mell

4 Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat DISKREETIN SATUNNAISMUUTTUJAN ODOTUSARVO 57 JATKUVAN SATUNNAISMUUTTUJAN ODOTUSARVO 58.. ODOTUSARVON OMINAISUUDET 6 ODOTUSARVON OLEMASSAOLO 6 ODOTUSARVO TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAN TODENNÄKÖISYYSMASSAN PAINOPISTEENÄ 6 VAKION ODOTUSARVO 6 LINEAARIMUUNNOKSEN ODOTUSARVO 6 ODOTUSARVON TULKINTA JAKAUMAN SIJAINTIPARAMETRINA 6 SUMMAN JA EROTUKSEN ODOTUSARVOT 64 LINEAARIKOMBINAATION ODOTUSARVO YLEINEN ODOTUSARVO 64 DISKREETIN SATUNNAISMUUTTUJAN FUNKTION ODOTUSARVO 64 JATKUVAN SATUNNAISMUUTTUJAN FUNKTION ODOTUSARVO VARIANSSI JA STANDARDIPOIKKEAMA 65 VARIANSSI 65 VARIANSSIN VAIHTOEHTOINEN LASKUKAAVA 65 STANDARDIPOIKKEAMA 66 VARIANSSIN JA STANDARDIPOIKKEAMAN DIMENSIOT 66 VARIANSSIN JA STANDARDIPOIKKEAMAN TULKINTA 66 DISKREETIN SATUNNAISMUUTTUJAN VARIANSSI 67 JATKUVAN SATUNNAISMUUTTUJAN VARIANSSI VARIANSSIN OMINAISUUDET 69 VARIANSSIN OLEMASSAOLO 69 VAKION VARIANSSI 70 LINEAARIMUUNNOKSEN VARIANSSI 70 STANDARDOINTI 7 SUMMAN JA EROTUKSEN VARIANSSI 7 LINEAARIKOMBINAATION VARIANSSI 7 EMPIIRISEN JAKAUMAN ODOTUSARVO JA VARIANSSI 73 ARITMEETTISEN KESKIARVON ODOTUSARVO JA VARIANSSI MARKOVIN JA TSHEBYSHEVIN EPÄYHTÄLÖT 74 MARKOVIN EPÄYHTÄLÖ 74 TSHEBYSHEVIN EPÄYHTÄLÖ MOMENTIT 77 MOMENTTIEN OLEMASSAOLO VINOUS JA HUIPUKKUUS 78 VINOUS 78 HUIPUKKUUS KVANTIILIT 80 KVANTIILIN MÄÄRITELMÄ 80 KVANTIILIEN OMINAISUUKSIA 80 KVANTIILIT JA TILASTOLLISET TAULUKOT 80 PROSENTTIPISTEET 8 DESIILIT 8 KVARTILIT 8 MEDIAANI 8.0. MOODI 83.. SUURTEN LUKUJEN LAKI 84. MONIULOTTEISET SATUNNAISMUUTTUJAT JA JAKAUMAT 87.. JOHDANTO 88.. KAKSIULOTTEISET SATUNNAISMUUTTUJAT 88 Ilkka Mell

5 Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat.3. DISKREETIT KAKSIULOTTEISET JAKAUMAT 88 DISKREETIT KAKSIULOTTEISET JAKAUMAT JA TAPAHTUMIEN TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN _ 89 DISKREETIT KAKSIULOTTEISET JAKAUMAT JA SYMMETRISET TODENNÄKÖISYYSKENTÄT JATKUVAT KAKSIULOTTEISET JAKAUMAT 94 JATKUVAT KAKSIULOTTEISET JAKAUMAT JA TAPAHTUMIEN TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN KAKSIULOTTEISTEN JAKAUMIEN KERTYMÄFUNKTIOT 95 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 95 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO KAKSIULOTTEISTEN JAKAUMIEN REUNAJAKAUMAT JA RIIPPUMATTOMUUS 96 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN REUNAJAKAUMAT 96 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN REUNAJAKAUMAT 99 SATUNNAISMUUTTUJIEN RIIPPUMATTOMUUS 99 USEAMMAN SATUNNAISMUUTTUJAN RIIPPUMATTOMUUS 00 SATUNNAISMUUTTUJIEN RIIPPUMATTOMUUS JA TAPAHTUMIEN TODENNÄKÖISYYS 0.7. KAKSIULOTTEISTEN JAKAUMIEN ODOTUSARVOT 03 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN YLEINEN ODOTUSARVO 03 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN YLEINEN ODOTUSARVO 03 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN REUNAJAKAUMIEN ODOTUSARVOT ODOTUSARVON OMINAISUUDET 04 ODOTUSARVO PAINOPISTEENÄ 04 SUMMAN JA EROTUKSEN ODOTUSARVOT 04 LINEAARIKOMBINAATION ODOTUSARVO 05 SATUNNAISMUUTTUJIEN RIIPPUMATTOMUUS JA TULON ODOTUSARVO KAKSIULOTTEISTEN JAKAUMIEN VARIANSSIT JA STANDARDIPOIKKEAMAT 07 REUNAJAKAUMIEN VARIANSSIT 07 VAIHTOEHTOISET LASKUKAAVAT VARIANSSEILLE 07 STANDARDIPOIKKEAMAT 07 VARIANSSIN JA STANDARDIPOIKKEAMAN TULKINTA 07 VARIANSSIN JA STANDARDIPOIKKEAMAN DIMENSIOT 08 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN VARIANSSIT 08 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN VARIANSSIT 0.0. KOVARIANSSI 0 VAIHTOEHTOINEN LASKUKAAVA KOVARIANSSILLE KOVARIANSSIN TULKINTA DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN KOVARIANSSI JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN KOVARIANSSI.. KOVARIANSSIN OMINAISUUDET SATUNNAISMUUTTUJIEN LINEAARIMUUNNOSTEN KOVARIANSSI SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JA EROTUKSEN VARIANSSIT KORRELOIMATTOMUUS 3 SATUNNAISMUUTTUJIEN RIIPPUMATTOMUUS JA KOVARIANSSI 3 RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JA EROTUKSEN VARIANSSI 4.. KORRELAATIO 4 KORRELAATIOKERTOIMEN DIMENSIO 4.3. KORRELAATIOKERTOIMEN OMINAISUUDET 5 KORRELAATIO JA KOVARIANSSI 5 SATUNNAISMUUTTUJIEN LINEAARIMUUNNOSTEN KORRELAATIO 5 KORRELAATIOKERTOIMEN TULKINTA KORRELOIMATTOMUUS.4. EHDOLLISET JAKAUMAT 4 EHDOLLINEN TODENNÄKÖISYYS 4 EHDOLLISET JAKAUMAT 4 EHDOLLISET JAKAUMAT JA EHTOMUUTTUJA 4 EHDOLLISET JAKAUMAT JA RIIPPUMATTOMUUS 4 Ilkka Mell 3

6 Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat.5. EHDOLLISET ODOTUSARVOT JA VARIANSSIT 5 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN EHDOLLISET ODOTUSARVOT 5 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN EHDOLLISET ODOTUSARVOT 5 EHDOLLISET ODOTUSARVOT JA EHTOMUUTTUJAT 5 EHDOLLISET ODOTUSARVOT JA RIIPPUMATTOMUUS 6 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN EHDOLLISET VARIANSSIT 6 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN EHDOLLISET VARIANSSIT 6 EHDOLLISET VARIANSSIT JA EHTOMUUTTUJAT 6 EHDOLLISET VARIANSSIT JA RIIPPUMATTOMUUS 7 ITEROIDUN ODOTUSARVON LAIT 7 REGRESSIOFUNKTIOT JA -KÄYRÄT 8 REGRESSIOFUNKTIOT JA ENNUSTAMINEN 8 HAVAINNOLLISTUKSIA 9 3. MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA KARAKTERISTINEN FUNKTIO MOMENTTIEMÄFUNKTIO 4 MOMENTTIEMÄFUNKTION OLEMASSAOLO 4 DISKREETIN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 4 JATKUVAN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 4 MOMENTTIEMÄFUNKTION YKSIKÄSITTEISYYS 4 MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA SATUNNAISMUUTTUJAN MOMENTIT 4 MOMENTTIEMÄFUNKTION TAYLORIN SARJAKEHITELMÄ 43 SATUNNAISMUUTTUJAN LINEAARIMUUNNOKSEN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 44 RIIPPUMATTOMIEN SAMOIN JAKAUTUNEIDEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 45 RIIPPUMATTOMIEN SAMOIN JAKAUTUNEIDEN SATUNNAISMUUTTUJIEN ARITMEETTISEN KESKIARVON MOMENTTIEMÄFUNKTIO 46 MOMENTTIEMÄFUNKTIOIDEN KONVERGENSSI KARAKTERISTINEN FUNKTIO 49 KARAKTERISTISEN FUNKTION OLEMASSAOLO 49 INVERSIOTEOREEMA 49 DISKREETIN SATUNNAISMUUTTUJAN KARAKTERISTINEN FUNKTIO 49 JATKUVAN SATUNNAISMUUTTUJAN KARAKTERISTINEN FUNKTIO 50 KARAKTERISTISEN FUNKTION YKSIKÄSITTEISYYS 50 KARAKTERISTINEN FUNKTIO JA MOMENTTIEMÄFUNKTIO 5 KARAKTERISTISEN FUNKTION OMINAISUUDET 5 KARAKTERISTINEN FUNKTIO JA SATUNNAISMUUTTUJAN MOMENTIT 5 KARATERISTISEN FUNKTION TAYLORIN SARJAKEHITELMÄ 5 SATUNNAISMUUTTUJAN LINEAARIMUUNNOKSEN KARAKTERISTINEN FUNKTIO 5 RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN KARAKTERISTINEN FUNKTIO 53 RIIPPUMATTOMIEN SAMOIN JAKAUTUNEIDEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN KARAKTERISTINEN FUNKTIO 53 RIIPPUMATTOMIEN SAMOIN JAKAUTUNEIDEN SATUNNAISMUUTTUJIEN ARITMEETTISEN KESKIARVON KARAKTERISTINEN FUNKTIO 53 KARAKTERISTISTEN FUNKTIOIDEN KONVERGENSSI SATUNNAISMUUTTUJIEN MUUNNOSTEN JAKAUMAT SATUNNAISMUUTTUJAN LINEAARIMUUNNOKSEN JAKAUMA SATUNNAISMUUTTUJAN MONOTONISEN MUUNNOKSEN JAKAUMA 58 LINEAARIMUUNNOKSEN JAKAUMA 60 Ilkka Mell 4

7 Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat CAUCHY-JAKAUMA SATUNNAISMUUTTUJAN EI-MONOTONISTEN MUUNNOSTEN JAKAUMAT 6 χ ()-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO KAKSIULOTTEISTEN SATUNNAISMUUTTUJIEN MUUNNOSTEN JAKAUMAT 63 NORMAALIJAKAUTUNEIDEN SATUNNAISLUKUJEN GENEROINTI RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 66 χ (N)-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN OSAMÄÄRÄN JAKAUMA 7 F-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 73 T-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN MINIMIN JA MAKSIMIN JAKAUMAT 78 RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN MINIMIN JAKAUMA 78 RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN MAKSIMIN JAKAUMA STOKASTIIKAN KONVERGENSSIKÄSITTEET JA RAJA-ARVOLAUSEET SATUNNAISMUUTTUJIEN JONOT VARMA KONVERGENSSI MELKEIN VARMA KONVERGENSSI KVADRAATTINEN KONVERGENSSI 86 SOVELLUS: RIIPPUMATTOMIEN SAMOIN JAKAUTUNEIDEN SATUNNAISMUUTTUJIEN ARITMEETTISTEN KESKIARVOJEN MUODOSTAMAN JONON KVADRAATTINEN KONVERGENSSI STOKASTINEN KONVERGENSSI 87 SOVELLUS: RIIPPUMATTOMIEN SAMAA NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAIS-MUUTTUJIEN ARITMEETTISTEN KESKIARVOJEN MUODOSTAMAN JONON STOKASTINEN KONVERGENSSI JAKAUMAKONVERGENSSI 89 MOMENTTIEMÄFUNKTIOIDEN KONVERGENSSI JA JAKAUMAKONVERGENSSI 90 KARAKTERISTISTEN FUNKTIOIDEN KONVERGENSSI JA JAKAUMAKONVERGENSSI STOKASTIIKAN KONVERGENSSIKÄSITTEIDEN YHTEYDET SUURTEN LUKUJEN LAIT 93 VAHVA SUURTEN LUKUJEN LAKI 93 HEIKKO SUURTEN LUKUJEN LAKI 93 SUURTEN LUKUJEN LAIT: KOMMENTTEJA 94 SUURTEN LUKUJEN LAKI: SUHTEELLISEN FREKVENSSIN ASYMPTOOTTINEN KÄYTTÄYTYMINEN KESKEINEN RAJA-ARVOLAUSE 96 LINDEBERGIN JA LEVYN LAUSE 97 LINDEBERGIN JA LEVYN LAUSE: KOMMENTTEJA 300 LIAPUNOVIN LAUSE 30 LIAPUNOVIN LAUSE: KOMMENTTEJA 30 LINDEBERGIN JA FELLERIN LAUSE 30 KESKEINEN RAJA-ARVOLAUSE: KOMMENTTEJA 303 KESKEINEN RAJA-ARVOLAUSE SEKÄ BINOMIJAKAUMAN, HYPERGEOMETRISEN JAKAUMAN JA POISSON- JAKAUMAN ASYMPTOOTTISET JAKAUMAT 304 Ilkka Mell 5

8 Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Ilkka Mell 6

9 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat: Johdatteleva esmerkkejä 9.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat: Määrtelmät 9.3. Dskreett satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9.4. Jatkuvat satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9.5. Dskreett jakaumat vs jatkuvat jakaumat Jos satuaslmötä halutaa malltaa matemaattsest, lmö tulosvahtoehdot o osattava kuvata ja lmö tulosvahtoehtoh o osattava lttää todeäkösyydet umeersessa (matemaattste kaavoje) muodossa. Tämä vaatmukse täyttäme johtaa satuasmuuttuja ja se todeäkösyysjakauma kästtes. Tämä luvu tavotteea o esttää satuasmuuttuja ja se todeäkösyysjakauma määrtelmät ja perusomasuudet. Rajotumme tässä estyksessä pelkästää dskreette ja jatkuve satuasmuuttuje kästtelyy. Toteamme, että dskreett jakaumat vodaa määrtellä atamalla de pstetodeäkösyysfuktot, ku taas jatkuvat jakaumat vodaa määrtellä atamalla de theysfuktot. Avasaat: Dskreett jakauma, Dskreett satuasmuuttuja, Ekspoettjakauma, Fukto, Geometre jakauma, Jatkuva jakauma, Jatkuva satuasmuuttuja, Otosavaruus, Perusjoukko, Pkkfukto, Pstetodeäkösyysfukto, Satuasmuuttuja, Tapahtuma, Theysfukto, Todeäkösyys, Todeäkösyysjakauma, Todeäkösyyskettä, Todeäkösyysmall, Todeäkösyysmtta, Tulosvahtoehto Ilkka Mell 7

10 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat: Johdatteleva esmerkkejä Jos satuaslmötä halutaa malltaa matemaattsest, lmö tulosvahtoehdot o osattava kuvata umeersessa muodossa. Tämä tapahtuu lttämällä tulosvahtoehtoh reaalarvoe fukto, jota kutsutaa satuasmuuttujaks. Tulosvahtoehtoje todeäkösyydet kuvataa lttämällä todeäkösyydet tulosvahtoehtoja vastaav satuasmuuttuja arvoh. Satuasmuuttuja arvot yhdessä h ltettyje todeäkösyykse kassa määrttelevät satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma. Todeäkösyysjakauma kuvaa stä, mte satuaslmö tulosvahtoehtoh lttyvä todeäkösyysmassa jakautuu tulosvahtoehtoh lttyvä satuasmuuttuja arvoalueelle. Jos satuaslmö tulosvahtoehtoja umeersessa muodossa kuvaava satuasmuuttuja ja se todeäkösyysjakauma tuetaa, halltaa kakke ko. satuaslmöö lttyve tapahtume todeäkösyydet. Esmerkk. Rahahetto satuaslmöä. Tarkastellaa rahahettoa satuaslmöä. Alkestapahtumat: Otosavaruus: Kruua, Klaava S = {Kruua, Klaava} Otosavaruus o tässä äärelle joukko. Määrtellää reaalarvoe fukto ξ, joka lttää otosavaruude S alkoh umeerse kood seuraavalla tavalla: ξ(kruua) = ξ(klaava) = 0 Fuktota ξ kutsutaa satuasmuuttujaks, koska sattuma määrää mkä fukto arvosta realsotuu, ku rahaa hetetää. Huomaa, että ξ o kutek fuktoa täys määrätty. Jos raha o vrheetö, vomme tehdä seuraava oletukse stä todeäkösyyksstä, jolla ξ saa arvosa: Pr( ξ = ) = Pr( ξ = 0) = Satuasmuuttuja ξ arvot yhdessä h ltettyje todeäkösyykse kassa muodostavat satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakauma. Satuasmuuttuja ξ ja se todeäkösyysjakauma muodostavat tlastollse mall el todeäkösyysmall rahahetolle satuaslmöä. Koska satuasmuuttuja ξ saa va erllsä arvoja, stä saotaa dskreetks. Satuasmuuttuja ξ oudattaa dskreettä jakaumaa, jota kutsutaa Beroull-jakaumaks; lsätetoja: ks. lukua Dskreettejä jakauma. Esmerkk. Lapse sukupuole määräytyme satuaslmöä. Tarkastellaa lapse sukupuole määräytymstä satuaslmöä. Alkestapahtumat: Tyttö, Poka Ilkka Mell 8

11 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Otosavaruus: S = {Tyttö, Poka} Otosavaruus o tässä äärelle joukko. Määrtellää reaalarvoe fukto ξ, joka lttää otosavaruude S alkoh umeerse kood seuraavalla tavalla: ξ(tyttö) = ξ(poka) = 0 Fuktota ξ kutsutaa satuasmuuttujaks, koska sattuma määrää mkä fukto arvosta realsotuu, ku lapse sukupuol määräytyy sukusoluje yhtyessä. Huomaa, että ξ o kutek fuktoa täys määrätty. Tehdää seuraava, Suome väklukutlastoh vuoslta perustuva oletus stä todeäkösyyksstä, jolla ξ saa arvosa: Pr(ξ = ) = Pr(ξ = 0) = Satuasmuuttuja ξ arvot yhdessä h ltettyje todeäkösyykse kassa muodostavat satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakauma. Satuasmuuttuja ξ ja se todeäkösyysjakauma muodostavat tlastollse mall el todeäkösyysmall lapse sukupuole määräytymselle satuaslmöä. Koska satuasmuuttuja ξ saa va erllsä arvoja, stä saotaa dskreetks. Satuasmuuttuja ξ oudattaa dskreettä jakaumaa, jota kutsutaa Beroull-jakaumaks; lsätetoja: ks. lukua Dskreettejä jakauma. Esmerkk 3. Nopahetto satuaslmöä. Tarkastellaa opahettoa satuaslmöä. Alkestapahtumat: Slmäluvut,, 3, 4, 5, 6 Otosavaruus: S = {Slmäluku =,, 3, 4, 5, 6} Otosavaruus o tässä äärelle joukko. Määrtellää reaalarvoe fukto ξ, joka lttää otosavaruude S alkoh umeerse kood ste, että jokasee slmälukuu ltetää vastaava kokoasluku: ξ(slmäluku ) =, =,, 3, 4, 5, 6 Fuktota ξ kutsutaa satuasmuuttujaks, koska sattuma määrää mkä fukto arvosta realsotuu, ku oppaa hetetää. Huomaa, että ξ o kutek fuktoa täys määrätty. Jos oppa o vrheetö, vomme tehdä seuraava oletukse stä todeäkösyyksstä, jolla ξ saa arvosa: Pr( ξ = ) =, =,,3,4,5,6 6 Satuasmuuttuja ξ arvot yhdessä h ltettyje todeäkösyykse kassa muodostavat satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakauma. Satuasmuuttuja ξ ja se todeäkösyysjakauma muodostavat tlastollse mall el todeäkösyysmall opahetolle satuaslmöä. Ilkka Mell 9

12 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Koska satuasmuuttuja ξ saa va erllsä arvoja, stä saotaa dskreetks. Satuasmuuttuja ξ oudattaa dskreettä jakaumaa, jota kutsutaa dskreetks tasaseks jakaumaks; lsätetoja: ks. lukua Dskreettejä jakauma. Esmerkk 4. Tostuva opahetto. Hetetää oppaa tostuvast ja tarkastellaa satuaslmöä se heto järjestysumeroa, jolla saadaa esmmäse kuutoe. Alkestapahtumat: Nde hettoje järjestysumerot, jolla vodaa saada. kuutoe:,, 3, Otosavaruus: S = {Heto järjestysumero =,, 3, } Otosavaruus o tässä umerotuvast ääretö joukko. Määrtellää reaalarvoe fukto ξ, joka lttää otosavaruude S alkoh umeerse kood ste, että jokasee järjestysumeroo ltetää vastaava kokoasluku: ξ(heto järjestysumero ) =, =,, 3, Fuktota ξ kutsutaa satuasmuuttujaks, koska sattuma määrää mkä fukto arvosta realsotuu, ku oppaa hetetää tostuvast. Huomaa, että ξ o kutek fuktoa täys määrätty. Jos oppa o vrheetö ja hetot ovat tosstaa rppumattoma, vomme tehdä seuraava oletukse stä todeäkösyyksstä, jolla ξ saa arvosa: 5 Pr( ξ = ) =, =,,3, K 6 6 Oletus perustuu seuraavaa päättelyketjuu (ks. tarkemm esmerkkä tämä luvu kappaleessa Dskreett satuasmuuttujat ja de todeäkösyysjakaumat): () Jos kuutoe saadaa esmmäse kerra. hetossa, stä ee o täytyyt tapahtua ( ) hettoa, jossa e ole saatu kuutosta. () Jos oppa o vrheetö, jokase slmäluvu todeäkösyys o /6, jollo todeäkösyys slle, että e saada kuutosta o 5/6. () Koska hetot oletett tosstaa rppumattomks, todeäkösyys slle, että saadaa es ( ) e-kuutosta ja vasta. hetto ataa kuutose o rppumattome tapahtume tulosääö ojalla Satuasmuuttuja ξ arvot yhdessä h ltettyje todeäkösyykse kassa muodostavat satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakauma. Satuasmuuttuja ξ ja se todeäkösyysjakauma muodostavat tlastollse mall el todeäkösyysmall tostuvalle opahetolle, ku satuaslmöä tarkastellaa esmmäse kuutose järjestysumeroa. Koska satuasmuuttuja ξ saa va erllsä arvoja, stä saotaa dskreetks. Satuasmuuttuja ξ oudattaa dskreettä jakaumaa, jota kutsutaa geometrseks jakaumaks; lsätetoja: ks. lukua Dskreettejä jakauma. Esmerkk 5. Oepyörä pyöräytys satuaslmöä. Ilkka Mell 0

13 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Tarkastellaa oepyörä pyöräytystä satuaslmöä. Oletetaa, että oepyörä keskpsteesee o asetettu vapaast pyörvä osot, jota pyöräytetää pelssä ja tarkastellaa satuaslmöä kulmaa, joka osot pysähdyttyää muodostaa lähtöasetoosa verrattua. Alkestapahtumat: Kulmat välllä [0, 360 ) Otosavaruus: S = {Kulma x x [0, 360 )} Otosavaruus o tässä ylumerotuvast ääretö joukko. Määrtellää reaalarvoe fukto ξ, joka lttää otosavaruude S alkoh umeerse kood ste, että jokasee kulmaa x ltetää vastaava reaalluku x: ξ(kulma x) = x Fuktota ξ kutsutaa satuasmuuttujaks, koska sattuma määrää mkä fukto arvosta realsotuu, ku osotta pyöräytetää. Huomaa, että ξ o kutek fuktoa täys määrätty. Jos oepyörä tom vrheettömäst, vomme tehdä seuraava oletukse stä todeäkösyyksstä, jolla ξ saa arvosa: Jos [ ab, ] [0,360) b a Pr( ξ [ ab, ]) = 360 Tämä perustuu vaatmuksee (ks. tarkemm esmerkkä kappaleessa Jatkuvat satuasmuuttujat ja de todeäkösyysjakaumat), joka mukaa todeäkösyys slle, että osot pysähtyy vällle [a, b] e saa rppua väl sjasta oepyörä kehällä, vaa aoastaa väl ptuudesta. Satuasmuuttuja ξ arvot yhdessä h ltettyje todeäkösyykse kassa muodostavat satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakauma. Satuasmuuttuja ξ ja se todeäkösyysjakauma muodostavat tlastollse mall el todeäkösyysmall oepyörä pyöräytykselle satuaslmöä. Koska satuasmuuttuja ξ saa kakk reaallukuarvot välllä [0, 360), stä saotaa jatkuvaks. Satuasmuuttuja ξ oudattaa jatkuvaa jakaumaa, jota kutsutaa jatkuvaks tasaseks jakaumaks; lsätetoja: ks. lukua Jatkuva jakauma. Ilkka Mell

14 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat: Määrtelmät Satuasmuuttuja Olkoo ( S, F,Pr) todeäkösyyskettä, jossa ss S = otosavaruus (perusjoukko) F = otosvaruude S osajoukkoje joukossa määrtelty σ-algebra Pr = σ-algebra F alkolle määrtelty todeäkösyysmtta Jos ξ o otosavaruude S reaalarvoe (ja mtalle) fukto el ξ :S ξ o satuasmuuttuja. Satuasmuuttuja ξ määrtelmästä seuraa, että jos s S ξ () s Ks. kuvaa okealla. Satuasmuuttuja lttää satuaslmö tulosvahtoehtoh reaalluvut ta umeerset koodt. Ste satuasmuuttuja kuvaa satuaslmö tulosvahtoehtoja umeersessa muodossa. O syytä huomata, että satuasmuuttuja o fuktoa täys määrätty, mutta sattuma määrää mkä fukto arvosta realsotuu. Huomautus: Saa satuasmuuttuja o termä sä melessä epäostuut, että se e kerro stä oleasta asaa, että satuasmuuttuja o fukto. Jotta reaalarvoe fukto kelpas satuasmuuttujaks, se o oltava mtalle. Ste mkä tahasa otosavaruude reaalarvoe fukto e kelpaa satuasmuuttujaks. Vodaa osottaa, että s. dskreett ja jatkuvat satuasmuuttujat jota tässä estyksessä pelkästää kästellää ovat mtallsa fuktota. Emme täsmeä mtallsuude kästettä tässä estyksessä. Todeäkösyysjakauma Satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakaumalla tarkotetaa kuvaukse ξ :S S reaallukuje joukkoo dusomaa todeäkösyysmttaa. Todeäkösyysjakauma kuvaa koko otosavaruude S todeäkösyysmassa (= ) jakautumsta otosavaruudessa S määrtelly satuasmuuttuja ξ arvoalueella. Todeäkösyysjakauma merktys satuaslmö tlastollsea malla o sä, että kakke satuaslmö tapahtume todeäkösyydet halltaa täydellsest, jos satuaslmö tulosvahtoehtoja kuvaava satuasmuuttuja ja se todeäkösyysjakauma tuetaa. s ξ R ξ(s) Ilkka Mell

15 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyysjakaumat tlastollsa mallea Tlastotetee kehttää ja soveltaa matemaattsa meetelmä ja malleja, jode avulla jostak reaalmaalma lmöstä pyrtää tekemää johtopäätöksä lmötä kuvaave umeerste tetoje perusteella sellasssa tlatessa, jossa lmöh (ta tä kuvaav tetoh) lttyy epävarmuutta ja satuasuutta. Tlastollste meetelme ja malle avulla pyrtää erottamaa ja kuvaamaa lmöde (ta okeamm: lmötä kuvaave tetoje) sääömukaset ja satuaset prteet. Koska tlastotetee tutkm lmöh (ta tä kuvaav tetoh) lttyy epävarmuutta ja satuasuutta, tlastollset meetelmät ja mallt perustuvat todeäkösyyslasketaa. Satuaslmöde tlastollset mallt kuvaavat lmöde tulosvahtoehdot ja de todeäkösyydet matemaattsessa muodossa. Satuaslmö tlastollsessa mallssa el todeäkösyysmallssa o oltava seuraavat osat: () Ilmö tulosvahtoehtoja umeersessa muodossa kuvaava satuasmuuttuja. () Todeäkösyysmassa jakautumsta satuasmuuttuja arvoalueelle kuvaava todeäkösyysjakauma. Ku satuaslmölle kostruodaa tlastollsa malleja, vaadtaa tlastotetee ja todeäkösyyslaskea tetoje lsäks hyvä tetoja lmötä selttävästä taustateorasta. Taustateora tuottaa se teteeala, joka alueesee lmö kuuluu. Esmerkk: Taloudellste lmöde tlastollsessa aalyysssa el ekoometrassa taustateoraa o taloustede. Tlastolle tutkmus o parhammllaa tlastotetee, todeäkösyyslaskea ja tutkmukse kohteea olevaa lmötä selttävä taustateora yhtespelä. Teoreettse tlastotetee tehtävää o kostruoda tutkmukse kohteea olevlle satuaslmölle tlastollsa malleja, jotka selttävät lmöstä saatuje havatoje käyttäytymse. Emprse tlastotetee tehtävää o selvttää, ovatko kostruodut tlastollset mallt sopusoussa havatoje kassa. Huomaa, että tlastolle mall o teoreette oletus, joka ptää asettaa test havatoje tutkmukse kohteea olevasta lmöstä tuottamaa formaatota vastaa; lsätetoja tlastollssta mallesta: ks. mostetta Tlastollset meetelmät. Satuasmuuttuje tyyppejä Satuasmuuttuja määrtelt edellä mtallsea fuktoa otosavaruudesta reaallukuje joukkoo. Mtallset fuktot vovat olla fuktoa hyv momutkasa. Kakssa tlastotetee tavaomasssa sovelluksssa tullaa kutek yleesä hyv tomee seuraave satuasmuuttuje tyyppe kassa: () Dskreett satuasmuuttujat. () Jatkuvat satuasmuuttujat. Satuasmuuttujaa o dskreett, jos se arvoalue o dskreett joukko el se arvoalue muodostuu erllsstä reaalaksel pstestä. Dskreet satuasmuuttuja arvoalue o aa joko äärelle ta korketaa umerotuvast ääretö. Dskreet satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma määrttelee alkestapahtume todeäkösyydet. Kakke mude tapahtume todeäkösyydet saadaa alkestapahtume todeäkösyyksstä todeäkösyyde laskusäätöje avulla. Ilkka Mell 3

16 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Satuasmuuttujaa o jatkuva, jos se arvoalue o jok reaalaksel osaväl. Jatkuva satuas-muuttuja arvoalue o reaallukuje jouko osavälä ylumerotuva. Jatkuva satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma määrttelee satuasmuuttuja arvoalueesee kuuluve reaalaksel väle todeäkösyydet. Kakke mude tapahtume todeäkösyydet saadaa väle todeäkösyyksstä todeäkösyyde laskusäätöje avulla. Rajotumme jatkossa pelkästää dskreette ja jatkuve satuasmuuttuje kästtelyy Dskreett satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Johdatteleva esmerkk Kuva okealla esttää oepyörää, joka pta o jaettu vtee sektor A, B, C, D, E Alla olevassa taulukossa o estetty sektorede ptaaloje osuudet oepyörä kokoaspta-alasta: Sektor % A 30 B 5 C 0 D 5 E 0 Summa 00 D 5 % C 0 % E 0 % B 5 % A 30 % Oepyörä keskpsteesee o ktetty vapaast pyörvä osot. Tarkastellaa pelä, jossa osotta pyöräytetää ja pelaaja yrttää arvata mh sektoresta A, B, C, D, E osot pysähtyy. Pel o satuaslmö, joho lttyvä otosavaruus el mahdollste tulosvahtoehtoje joukko o S = {Sektort A, B, C, D, E} Oletetaa, että todeäkösyydet, jolla osot pysähtyy sektoreh A, B, C, D, E suhtautuvat tossa kute sektorede pta-alat. Tällö vomme asettaa: Pr(A) = 0.30 Pr(B) = 0.5 Pr(C) = 0.0 Pr(D) = 0.5 Pr(E) = 0.0 Määrtellää satuasmuuttuja ξ, joka lttää tulosvahtoehtoh A, B, C, D, E reaalluvut seuraavalla tavalla: A B Ilkka Mell 4

17 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat C 3 D 4 E 5 Satuasmuuttuja ξ saa arvosa seuraavlla todeäkösyyksllä: Pr(ξ = ) = 0.30 = Pr(A) Pr(ξ = ) = 0.5 = Pr(B) Pr(ξ = 3) = 0.0 = Pr(C) Pr(ξ = 4) = 0.5 = Pr(D) Pr(ξ = 5) = 0.0 = Pr(E) Saomme, että satuasmuuttuja ξ o dskreett, koska ξ saa va erllsä arvoja. Kutsumme satuasmuuttuja ξ arvoh lttyvä todeäkösyyksä pstetodeäkösyyksks, koska e lttyvät erlls pstes reaalaksellla. Dskreet satuasmuuttuja ξ arvot ja h lttyvät pstetodeäkösyydet muodostavat satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakauma. Dskreet satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakaumaa vodaa kuvata se pstetodeäkösyysfuktolla. Dskreet satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfukto kertoo mte koko otosavaruude todeäkösyysmassa (= ) jakautuu satuasmuuttuja ξ mahdollslle arvolle. O helppo ähdä, että pstetodeäkösyysfukto f o fuktoa epäjatkuva ja saa postvsa arvoja va erllsssä pstessä. Esmerk tapauksessa satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfukto f vodaa määrtellä seuraavalla tavalla: f() = Pr(ξ = ) = 0.30 = Pr(A) f() = Pr(ξ = ) = 0.5 = Pr(B) f(3) = Pr(ξ = 3) = 0.0 = Pr(C) f(4) = Pr(ξ = 4) = 0.5 = Pr(D) f(5) = Pr(ξ = 5) = 0.0 = Pr(E) Olkoo x o dskreet satuasmuuttuja ξ mahdolle arvo ja Pr( ξ = x) = px olkoo vastaava pstetodeäkösyys. Satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfuktota vodaa kuvata graafsest pkkfuktolla, joka saadaa yhdstämällä psteet (x, 0) ja (x, p x ) tossa jaolla. Alla oleva kuva esttää esmerkssä määrtelly dskreet satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakauma pstetodeäkösyysfuktota vastaavaa pkkfuktota. Ilkka Mell 5

18 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Pkke ptuudet kuvassa vastaavat ss tä todeäkösyyksä, jolla satuasmuuttuja ξ saa arvosa: p = f() = Pr(ξ = ) = 0.30 = Pr(A) p = f() = Pr(ξ = ) = 0.5 = Pr(B) p 3 = f(3) = Pr(ξ = 3) = 0.0 = Pr(C) p 4 = f(4) = Pr(ξ = 4) = 0.5 = Pr(D) p 5 = f(5) = Pr(ξ = 5) = 0.0 = Pr(E) Pstetotodeäkösyysfukto (, p ) (, p ) (3, p 3 ) (4, p 4 ) (5, p 5 ) Dskreett satuasmuuuttuja Olkoo otosavaruus S äärelle ta umerotuvast ääretö. Tällö vomme merktä S = { s, s, K, s } jos S o äärelle ja S = { s, s, s, K } 3 jos S o umerotuvast ääretö. Olkoo ξ : S satuasmuuttuja el otosavaruude (mtalle) kuvaus reaallukuje joukkoo. Jos otosavaruus S o äärelle ta umerotuvast ääretö, jollo myös fukto ξ arvoalue o äärelle ta umerotuvast ääretö, saomme, että satuasmuuttuja ξ o dskreett. Dskreett satuasmuuttujat lttyvät sellas todeäkösyyslaskea sovelluks, jossa tarkastellaa dskreettejä suureta. Dskreettejä suureta ovat esmerkks seuraavat: Laatuerot (koodattua umeersks) Luokttelut ja ryhmttelyt (koodattua umeersks) Järjestysluvut Lukumäärät Esmerkk. Laaduvalvota. Koe tekee erästä tuotetta sarjatuotatoa kpl pävässä. Oletetaa, että osa tuottesta o vallsa ja vallset tuotteet sytyvät valmstusprosess akaa täys sattumavarasest. Oletetaa edellee, että vallste tuottede suhteelle osuus valmstetusta tuottesta o keskmäär p. Tällö vomme ataa luvulle p todeäkösyystulka: p = todeäkösyys, että satuasest valttu tuote o valle Vodaa osottaa, että vallste tuottede lukumäärä pävä akaa tehtyje tuottede joukossa o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa bomjakaumaa; lsätetoja: ks. lukua Dskreettejä jakauma Ilkka Mell 6

19 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Esmerkk. Laaduvalvota. Koe tekee erästä tuotetta sarjatuotatoa kpl pävässä. Oletetaa, että osa tuottesta o vallsa ja vallset tuotteet sytyvät valmstusprosess akaa täys sattumavarasest. Oletetaa edellee, että vallste tuottede suhteelle osuus valmstetusta tuottesta o keskmäär p. Tällö vomme ataa luvulle p todeäkösyystulka: p = todeäkösyys, että satuasest valttu tuote o valle Pomtaa tuotteta tarkastettavaks, kues löydetää esmmäe valle. Vodaa osottaa, että esmmäse vallse tuottee järjestysumero tarkastettuje tuottede joukossa o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa geometrsta jakaumaa; lsätetoja: ks. lukua Dskreettejä jakauma. Esmerkk 3. Joo. Oletetaa, että palvelujooo tulee asakkata keskmäär k kappaletta akaykskköä kohde. Vodaa osottaa, että tety edellytyks jollak akavälllä jooo tuleve asakkade lukumäärä o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa Posso-jakaumaa; lsätetoja: ks. luvu Dskreettejä jakauma. Huomautus: Jos jollak akavälllä jooo tuleve asakkade lukumäärä oudattaa Possojakaumaa, aka, joka seuraava asakkaa tuloa jooo joudutaa odottamaa o jatkuva satuasmuuttuja, joka oudattaa ekspoettjakaumaa; lsätetoja: ks. lukua Jatkuva jakauma. Esmerkk 4. Järve kalakaa koo laskeme. Pyydystetää järvestä joukko kaloja elävä, merktää pyydystetyt kalat ja lasketaa e takas järvee. Pyydystetää järvestä jok aja kuluttua uus joukko kaloja. Vodaa osottaa, että merkttyje kaloje lukumäärä uudessa pyyssä o tety edellytyks dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa hypergeometrsta jakaumaa; lsätetoja: ks. lukua Dskreettejä jakauma. Huomautus: Kuvattua merktä-takaspyyt-meetelmää sovelletaa todellak (sopvast modfotua) rsta- ja kalakatoje laskemsee. Dskreet satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto Olkoo ξ : S dskreett satuasmuuttuja ja olkoo T satuasmuuttuja ξ saame äärelle ta umerotuvast ääretö arvoje joukko. Jos satuasmuuttuja ξ saame arvoje joukko T o äärelle, vomme krjottaa T = {x, x,, x } Jos satuasmuuttuja ξ saame arvoje joukko T o umerotuvast ääretö, krjotamme T = {x, x, x 3, } Ilkka Mell 7

20 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Reaalarvoe fukto f määrttelee dskreet satuasmuuttujaξ pstetodeäkösyysfukto, jos seuraavat kolme ehtoa pätevät: () f ( x ) 0 kaklle x T () f ( x ) = Pr( ξ = x ) kaklle x T (3) f( x ) = x T Saomme, että todeäkösyys Pr( ξ = x ) = f( x ) = p, x T o satuasmuuttuja ξ arvoa x vastaava pstetodeäkösyys. Ehdo () mukaa pstetodeäkösyysfukto f o kakkalla e-egatve. Ehdo () mukaa pstetodeäkösyysfukto f arvot pstessä x ovat todeäkösyyksä. Ehdo (3) mukaa kakke pstetodeäkösyykse summa =. Olkoo f dskreet satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfukto, T satuasmuuttuja ξ saame arvoje joukko ja Pr( ξ = x ) = f( x ) = p, x T satuasmuuttuja ξ arvoa x vastaava pstetodeäkösyys. Satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfukto vodaa määrtellä kaklle reaalluvulle kaavalla p, x T f( x) = Pr( ξ = x) = 0, x T Nä määrteltyä pstetodeäkösyysfukto f o epäjatkuva fukto, jossa o epäjatkuvuuskohta jokaselle x T. Dskreett todeäkösyysjakauma Jos f o dskreet satuasmuuttuja ξ :S pstetodeäkösyysfukto, saomme, että satuasmuuttuja ξ oudattaa dskreettä todeäkösyysjakaumaa, joka pstetodeäkösyysfuktoa o f. Dskreet satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfukto f kertoo mte koko otosavaruude S todeäkösyysmassa (= ) jakautuu satuasmuuttuja ξ saamlle arvolle. Pstetodeäkösyysfukto avulla vodaa määrätä kakk ko. satuaslmöö lttyvät todeäkösyydet. Pstetodeäkösyysfukto kuvaaja Olkoo f dskreet satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfukto, T satuasmuuttuja ξ saame arvoje joukko ja f ( x ) = Pr( ξ = x ) = p, x T satuasmuuttuja ξ arvoa x vastaava pstetodeäkösyys. Ilkka Mell 8

21 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfuktota f vodaa kuvata graafsest s. pkkfuktolla. Pkkfukto kostruodaa seuraavalla tavalla: () Merktää vastpsteet (x, 0) ja (x, p ) kaklle x T tasoo. () Yhdstetää vastpsteet (x, 0) ja (x, p ) kaklle x T tossa jaalla. Pstetodeäkösyysfukto Ste satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfuktota (x, p ) f ( x ) = Pr( ξ = x ) = p, x T vodaa kuvata graafsest prtämällä vaaka-aksel pstes x pkt, jode ptuudet vastaavat pstetodeäkösyyksä p. Lsäks pkke kärkpsteet (x, p ) prretää tavallsest, että e erottuvat selväst pstetä (x, 0) ja (x, p ) yhdstävästä jaasta. Ks. kuvaa okealla. Dskreett todeäkösyysjakauma ja reaalaksel väle todeäkösyydet Olkoo ξ : S dskreett satuasmuuttuja, T satuasmuuttuja ξ saame arvoje joukko ja f ( x ) = Pr( ξ = x ) = p, x T satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfukto. Tällö reaalaksel väl [a, b] todeäkösyys o Pr( a ξ b) = f( x ) = Pr( ξ = x ) x ab x ab [, ] [, ] (x, p ) Geometrsest reaalaksel väl [a,b] todeäkösyyde määrääme merktsee de pkke ptuukse p yhteelaskua, jota vastaavat satuasmuuttuja ξ arvot x [a,b]. Luvussa Todeäkösyyde aksoomat o todettu seuraavaa: () Jokae tapahtuma reaallukuje joukossa vodaa muodostaa reaalaksel välestä yhdstelemällä välejä sopvast joukko-op operaatolla. () Jokase tapahtuma todeäkösyys saadaa reaalaksel väle todeäkösyyksstä todeäkösyyslaskea laskusäätöje avulla. x (x +, p + ) p p p + x x + Ilkka Mell 9

22 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Ste se satuaslmö, joka tulosvahtoehtoja ko. dskreett satuasmuuttuja kuvaa, halltaa täydellsest, jos satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto tuetaa. Todeäkösyykse vertalu Olkoo ja Jos f ( x ) = Pr( ξ = x ) = p f ( x ) = Pr( ξ = x ) = p j j j p > p j satuasmuuttuja ξ arvoa x vastaava tulosvahtoehto o todeäkösemp ku satuasmuuttuja ξ arvoa x j vastaava tulosvahtoehto. Dskreette todeäkösyysjakaume parametrot Oletetaa, että satuasmuuttuja ξ oudattaa dskreettä todeäkösyysjakaumaa, joka pstetodeäkösyysfukto o f. Pstetodeäkösyysfukto f rppuu tavallsest parametresta el vakosta, jotka määräävät fukto f muodo. Pstetodeäkösyysfukto muodo määräävä parametreja kutsutaa tavallsest se todeäkösyysjakauma parametreks, joka todeäkösyydet ko. pstetodeäkösyysfukto määrttelee. Olkoot pstetodeäkösyysfukto f muodo määräävät parametrt θ, θ,, θ p Jos haluamme korostaa pstetodeäkösyysfukto f rppuvuutta se muodo määräävstä parametresta, krjotamme f(x; θ, θ,, θ p ) Parametrella θ, θ,, θ p o tavallsest jok ssällölle tulkta sä satuaslmössä, joka mallks f o kostruotu. Parametre θ, θ,, θ p arvot ovat sovelluksssa tavallsest tutemattoma ja de arvot o estmotava el arvotava havatoje perusteella; lsätetoja: ks. mostee Tlastollset meetelmät lukua Estmot. Parametreja θ, θ,, θ p koskeva hypoteeseja el oletuksa vodaa testata s. tlastolls teste; ks. mostee Tlastollset meetelmät lukua Tlastollset testt. Havaollstus: Geometre jakauma Hetetää oppaa tostuvast ja tarkastellaa satuaslmöä se heto järjestysumeroa, jolla saadaa esmmäse kuutoe. Esmmäe kuutoe vodaa saada hetolla umero,, 3, Esmmäse kuutose saamseks tarvttave hettoje lukumäärällä e selvästkää ole ylärajaa. Ste alkestapahtuma ovat järjestysumerot,, 3, ja otosavaruus o muotoa S = {Heto järjestysumero x x =,, 3, } Ilkka Mell 30

23 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Otosavaruus o tässä umerotuvast ääretö joukko. Määrtellää reaalarvoe fukto ξ, joka lttää otosavaruude S alkoh umeerse kood ste, että jokasee järjestysumeroo ltetää vastaava kokoasluku: ξ(heto järjestysumero x) = x, x =,, 3, ξ o dskreett satuasmuuttuja. Haluamme ratkasta seuraavat tehtävät: (a) Määrää satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfukto. (b) Määrää todeäkösyys, että oppaa joudutaa hettämää täsmällee 6 kertaa. (c) Määrää todeäkösyys, että oppaa joudutaa hettämää 6 kertaa ta useamm. (d) Määrää todeäkösyys, että oppaa joudutaa hettämää 36 kertaa ta useamm. Oletetaa, että opahetot ovat tosstaa rppumattoma sä melessä, että yhdekää heto tulos e rpu akasempe hettoje tulokssta. Määrtellää tapahtumat: A = Noppaa hetettäessä tuloksea saadaa kuutoe A c = Noppaa hetettäessä tuloksea e saada kuutosta Koska oppa oletett vrheettömäks, vomme olettaa, että Pr( A ) = 6 Komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaava mukaa c 5 Pr( A ) = Pr( A) = = 6 6 (a) Määrää satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfukto. Koska esmmäe kuutoe vodaa saada esmmäsellä, tosella, kolmaella je. hetolla, ξ o dskreett satuasmuuttuja, joka saa kakk kokoaslukuarvot,, 3, Oletetaa, että esmmäe kuutoe saadaa x. hetolla, x =,, 3, Tällö ee x. hettoa o täytyyt tapahtua (x ) hettoa, jode tuloksea e ole saatu kuutosta: Heto umero: K x x c c c Tapahtuma: A A K A A Koska hetot oletett rppumattomks, tapahtumajoo c c c AAKA A 443 ( x ) kpl todeäkösyys o rppumattome tapahtume tulosääö ojalla L = ( x ) kpl x Ilkka Mell 3

24 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Määrtellää fukto f kaavalla x 5 f( x) =, x=,,3, K 6 6 Fukto f kelpaa pstetodeäkösyysfuktoks, koska se toteuttaa pstetodeäkösyysfukto määrttelevät ehdot ()-(3). () Fukto f arvot ovat e-egatvsa (tse asassa postvsa): x 5 f( x) = > 0, x=,,3, K 6 6 () Fukto f arvot ovat todeäkösyyksä: x 5 f( x) = Pr( ξ = x) =, x=,,3, K 6 6 (3) Kakke pstetodeäkösyykse summa = geometrse sarja summa kaava mukaa: x 5 5 f( x) = Pr( ξ = x) = = = = x= x= x= x= 0 x Koska pstetodeäkösyydet x 5 f( x) = Pr( ξ = x) =, x=,,3, K 6 6 muodostavat (suppeeva) geometrse sarja, satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakaumaa saotaa geometrseks jakaumaks; lsätetoja: ks. lukua Dskreettejä jakauma. Huomaa, että jakauma pstetodeäkösyydet väheevät ekspoetaalsta vauhta el kute suppeevassa geometrsessa sarjassa, ku x kasvaa. Tämä merktsee seuraavaa: () Todeäkösyys, että esmmäe kuutoe saadaa het esmmäsellä hetolla o kakke suur. () Todeäkösyys, että esmmäe kuutoe saadaa x. hetolla, peeee hettoje lukumäärä x fuktoa ekspoetaalsta vauhta. Alla oleva taulukko ja kuva esttävät esmerkssä johdetu geometrse jakauma pstetodeäkösyyksä ku x =,,,. Ilkka Mell 3

25 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat x Pr(ξ = x ) Pstetodeäkösyysfukto (b) Määrää todeäkösyys, että oppaa joudutaa hettämää täsmällee 6 kertaa. Suoraa satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfukto kaavasta saadaa: 5 5 Pr( ξ = 6) = Todeäkösyyde frekvesstulka mukaa tämä merktsee seuraavaa: Jos 000 heklöä hettää oppaa, keskmäär. 70 saa esmmäse kuutose 6. hetolla. Johdetaa ee tehtäve (c) ja (d) ratkasemsta seuraava aputulos: Aputulos: Todeäkösyys slle, että oppaa joudutaa hettämää ee esmmäse kuutose saamsta k kertaa ta useamm, o Pr 5 = 6 ( ξ k ) k Perustelu: Komplemetttapahtuma todeäkösyyde ja geometrse sarja osasumma kaavosta seuraa, että ( ) k Pr ξ k = Pr( ξ < k) = Pr( ξ = x) x= k 5 k x = 6 x= 6 ( 5 6) = = 6 k Ilkka Mell 33

26 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat (c) (d) Määrää todeäkösyys, että oppaa joudutaa hettämää 6 kertaa ta useamm. Edellä johdetu aputulokse ojalla 5 5 Pr ( ξ 6) = Todeäkösyyde frekvesstulka mukaa tämä merktsee seuraavaa: Suuressa joukossa hmsä keskmäär 40 % joutuu hettämää oppaa 6 kertaa ta useamm ee ku he saavat esmmäse kuutose. Määrää todeäkösyys, että oppaa joudutaa hettämää 36 kertaa ta useamm. Edellä johdetu aputulokse ojalla 35 5 Pr ( ξ 36) = Todeäkösyyde frekvesstulka mukaa tämä merktsee seuraavaa: Jos 000 heklöä hettää oppaa, keskmäär - heklöä joutuu hettämää oppaa 36 kertaa ta useamm ee ku he saavat esmmäse kuutose. Nämä - heklöä varmast hmettelevät hettosarjaasa. Kohtaamme tässä tlastotetee seltykse hmelle: Harvasetk tapahtumat sattuvat suurella todeäkösyydellä eemm ta myöhemm, jos lmö tostuu rttävä mota kertaa. Dskreettejä todeäkösyysjakauma Luvussa Dskreettejä todeäkösyysjakauma määrtellää seuraavat dskreett jakaumat: Dskreett tasae jakauma. Beroull-jakauma. Bomjakauma. Geometre jakauma. Negatve bomjakauma. Hypergeometre jakauma. Posso-jakauma. Johdamme jakaume pstetodeäkösyysfuktot käyttämällä todeäkösyyslaskea laskusäätöjä ja kombatorkkaa. Lsäks luvussa estellää jakaume tärkemmät matemaattset omasuudet. Ilkka Mell 34

27 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9.4. Jatkuvat satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Johdatteleva esmerkk. Kuva okealla esttää oepyörää, joka kesk- N psteesee o ktetty vapaast pyörvä osot. Tarkastellaa satuaslmöä pelä, jossa pelaaja valtsee oepyörästä melvaltase sektor A. Osotta pyöräytetää ja pelaaja vottaa, jos osot x pysähtyy pelaaja valtsemaa sektor. Tehdää oletus, että todeäkösyys, että osot pysähtyy valttuu sektor o suhteessa sektor pta-alaa, mutta e rpu sektor pakasta. Olkoo x kulma, joka osot pysähdyttyää A muodostaa N:llä (N = orth) merkty suua kassa. Pel satuaslmöä lttyväks otosavaruudeks el mahdollste tulosvahtoehtoje joukoks vodaa ottaa joukko S = {Kulma x x [0, 360 )} Otosavaruus o tässä ylumerotuvast ääretö joukko. Määrtellää satuasmuuttuja ξ, joka lttää jokasee otosavaruude S alkoo umeerse kood ste, että jokasee kulmaa x [0, 360 ) ltetää vastaava reaalluku x: ξ(kulma x) = x Saomme, että satuasmuuttuja ξ o jatkuva, koska ξ saa kakk reaallukuarvot välltä [0, 360). Määrtellää fukto f kaavalla, x [0,360) f( x) = 360 0, x [0,360) Saomme, että fukto f määrttelee satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakauma (todeäkösyys-) theysfukto. Saamme väle [a, b] [0, 360) todeäkösyydet tegromalla fukto f välllä [a, b]: b b a Pr( ξ [ ab, ]) = f( xdx ) = 360 a mkä merktsee fukto f kuvaaja ja x-aksel välse aluee pta-ala määräämstä pstede a ja b välstä. Fukto f määrttelemää todeäkösyysjakaumaa kutsutaa jatkuvaks tasaseks jakaumaks, koska todeäkösyydet jakautuvat väl [0, 360) osavälelle tasasest sä melessä, että Pr(ξ [a, b]) = Pr(ξ [c, d]) Ilkka Mell 35

28 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat jos [a, b] ja [c, d] ovat väl [0, 360) yhtä ptkä osavälejä el toteuttavat ehdot [a, b] [0, 360) [c, d] [0, 360) Jatkuva tasae jakauma b a = c d Lsätetoja jatkuvasta tasasesta jakaumasta: ks. lukua Jatkuva jakauma. Kuva okealla esttää esmerk jatkuva tasase jakauma theysfuktota f. Kuvaa o merktty myös alue, joka vastaa oepyörää esttävää kuvaa merkttyä sektora A. Jatkuva satuasmuuttuja f(x) A Olkoo otosavaruus S ylumerotuvast ääretö ja olkoo ξ : S satuasmuuttuja el otosavaruude (mtalle) kuvaus reaallukuje joukkoo. Saomme, että satuasmuuttuja ξ o jatkuva, jos seuraavat kaks ehtoa pätevät: () Satuasmuuttuja ξ saa kakk reaallukuarvot joltak reaalaksel välltä. () Todeäkösyys, että satuasmuuttuja ξ saa mkä tahasa yksttäse arvo = 0: Pr(ξ = x) = 0 kaklle x Jatkuvat satuasmuuttujat lttyvät sellas todeäkösyyslaskea sovelluks, jossa tarkastellaa jatkuva suureta. Jatkuva suureta ovat esmerkks seuraavat: Aka ja opeus Ptuus, pta-ala, tlavuus Pao Lämpötla Rahamäärä ja korko Esmerkk. Palvelujoo. Oletetaa, että palvelujooo tulee asakkata keskmäär k kappaletta akaykskköä koht. Vodaa osottaa, että tety edellytyks aka, joka seuraava asakkaa tuloa jooo joudutaa odottamaa o jatkuva satuasmuuttuja, joka oudattaa ekspoettjakaumaa; lsätetoja: ks. lukua Jatkuva jakauma. Huomautus: Jos aka, joka seuraava asakkaa tuloa jooo joudutaa odottamaa oudattaa ekspoettjakaumaa, jollak akavälllä jooo tuleve asakkade lukumäärä o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa Posso-jakaumaa; lsätetoja: ks. lukua dskreettejä jakauma. Ilkka Mell 36

29 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Jatkuva satuasmuuttuja theysfukto Olkoo ξ : S jatkuva satuasmuuttuja. Reaalarvoe fukto f määrttelee jatkuva satuasmuuttuja ξ theysfukto, jos seuraavat eljä ehtoa pätevät: () f ( x) o jatkuva () f ( x) 0 kaklle x b (3) Pr( a ξ b) = f( x) dx + (4) f ( xdx ) = a Theysfukto määrtelmä ehdo () mukaa theysfukto o jatkuva reaalarvoe fukto. Määrtelmä ehdo () mukaa theysfukto o kakkalla e-egatve. Määrtelmä ehto () o välttämätö, koska ehdo (3) mukaa theysfukto tegraalt yl reaalaksel väle ovat todeäkösyyksä. Määrtelmä ehdo (4) mukaa theysfukto tegraal yl koko reaalaksel =. Jatkuva todeäkösyysjakauma Jos f o jatkuva satuasmuuttuja ξ : S theysfukto, saomme, että satuasmuuttuja ξ oudattaa jatkuvaa todeäkösyysjakaumaa, joka theysfukto o f. Jatkuva satuasmuuttuja ξ theysfukto kertoo, mte koko otosavaruude S todeäkösyysmassa (= ) jakautuu satuasmuuttuja ξ saame arvoje välelle. Theysfukto avulla vodaa määrätä kakk ko. satuaslmöö lttyvät todeäkösyydet. Theysfukto kuvaaja Jatkuva satuasmuuttuja ξ theysfuktota f(x) vodaa kuvata graafsest jatkuvalla käyrällä (x, f(x)) Jatkuva todeäkösyysjakauma ja reaalaksel väle todeäkösyydet Olkoo ξ :S jatkuva satuasmuuttuja ja f(x) se theysfukto. Tällö reaalaksel väl [a, b] todeäkösyys o theysfukto omasuude (3) mukaa b Pr( a ξ b) = f( x) dx a Ilkka Mell 37

30 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Geometrsest reaalaksel väl [a, b] lttyvä todeäkösyyde määrääme merktsee theysfukto kuvaaja, x-aksel ja suore x = a ja x = b rajottama tasoaluee pta-ala laskemsta. Havaollstetaa tätä seuraavalla esmerkllä. Esmerkk. Normaaljakauma. Kuva okealla esttää ormaaljakaumaa (lsätetoja: ks. lukua Jatkuva jakauma) oudattava jatkuva satuasmuuttuja ξ theysfuktota f(x). Edellä estety mukaa Pr( a ξ b) = b a f( x) dx = Aluee A pta-ala Olkoo [a, a + Δa] reaalaksel väl, jossa Δa o pe postve luku. Theysfukto omasuude (3) ja määräty tegraal omasuukse perusteella väl [a, a + Δa] todeäkösyys o a+δa Pr( a ξ a+δ a) = f( x) dx f( a) Δa a Ste vomme ajatella, että theysfukto f arvo psteessä a mttaa todeäkösyyttä slle, että satuasmuuttuja ξ saa arvoja lyhyellä psteesee a lttyvällä välllä. Huomaa, että theysfukto omasuudesta (3) ja määräty tegraal omasuukssta seuraa, että jos ξ o jatkuva satuasmuuttuja, jokase yksttäse pstee todeäkösyys = 0 el Perustelu: Pr(ξ = x) = 0 kaklle x Olkoo f(x) jatkuva satuasmuuttuja ξ theysfukto. Theysfukto omasuude (3) mukaa x+ h Pr( x ξ x+ h) = f( x) dx x Theysfukto f(x) Aetaa h 0 Kappalee.6.3. lauseesta 4 ja määräty tegraal omasuukssta seuraa, että a A b x+ h Pr( ξ = x) = lm Pr( x ξ x+ h) = lm f( x) dx= 0 h 0 h 0 x Ilkka Mell 38

31 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Luvussa Todeäkösyyde aksoomat o todettu seuraavaa: () Jokae tapahtuma reaallukuje joukossa vodaa muodostaa reaalaksel välestä yhdstelemällä välejä sopvast joukko-op operaatolla. () Jokase tapahtuma todeäkösyys saadaa reaalaksel väle todeäkösyyksstä todeäkösyyslaskea laskusäätöje avulla. Ste se satuaslmö, joka tulosvahtoehtoja ko. jatkuva satuasmuuttuja kuvaa, halltaa täydellsest, jos satuasmuuttuja theysfukto tuetaa. Todeäkösyykse vertalu Olkoo ξ jatkuva satuasmuuttuja ja f vastaava theysfukto ja olkoot Jos A = {a ξ b} C = {c ξ d} b a f ( xdx ) > f( xdx ) d tapahtuma A o todeäkösemp ku tapahtuma C: Pr( A) > Pr( C) Esmerkk 3. Ekspoettjakauma. c Kuva alla okealla esttää ekspoettjakaumaa (lsätetoja: ks. luvu Jatkuva jakauma) oudattava jatkuva satuasmuuttuja ξ theysfuktota f(x). Olkoot tapahtumat Theysfukto f(x) A= { a ξ b} C = { c ξ d} jossa b a = d c kute kuvassa. Kuva perusteella o lmestä, että Pr( a ξ b) = f( x) dx d b a > f ( xdx ) = Pr( c ξ d) c Ste tapahtuma A o todeäkösemp ku tapahtuma C: Pr( A) > Pr( C) Jatkuve todeäkösyysjakaume parametrot a b c d Oletetaa, että satuasmuuttuja ξ oudattaa jatkuvaa todeäkösyysjakaumaa, joka theysfukto o f. Theysfukto f rppuu tavallsest parametresta el vakosta, jotka määräävät 0 Ilkka Mell 39

32 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat fukto f muodo. Theysfukto muodo määräävä parametreja kutsutaa tavallsest se todeäkösyys-jakauma parametreks, joka todeäkösyydet ko. theysfukto määrttelee. Olkoot theysfukto f muodo määräävät parametrt θ, θ,, θ p Jos halutaa korostaa theysfukto f rppuvuutta se muodo määräävstä parametresta, krjotamme f(x; θ, θ,, θ p ) Parametrella θ, θ,, θ p o tavallsest jok ssällölle tulkta sä satuaslmössä, joka mallks f o kostruotu. Parametre θ, θ,, θ p arvot ovat sovelluksssa tavallsest tutemattoma ja de arvot o estmotava el arvotava havatoje perusteella; lsätetoja: ks. mostee Tlastollset meetelmät lukua Estmot. Parametreja θ, θ,, θ p koskeva hypoteeseja el oletuksa vodaa testata s. tlastolls teste; ks. mostee Tlastollset meetelmät lukua Tlastollset testt. Havaollstus: Ekspoettjakauma Tarkastellaa jok tapahtuma odotusakaa satuasmuuttujaa ja oletetaa, että tapahtume keskmääräe lukumäärä jotak akaykskköä kohde o λ. Tällö seuraava tapahtuma odotusaka ξ o jatkuva satuasmuuttuja, joka vo saada kakk e-egatvset reaallukuarvot. Tety ehdo satuasmuuttuja ξ oudattaa jatkuvaa todeäkösyysjakaumaa, joka theysfukto o muotoa λx f( x) = λe, x 0, λ 0 Satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakaumaa saotaa ekspoettjakaumaks; lsätetoja: ks. lukua Jatkuva jakauma. Tarkastellaa sovelluksea erää yrtykse puhelkeskuksee tuleve puhelude odotusakoja, ku oletamme, että keskuksee tulee keskmäär 4 puhelua muutssa. Oletukse mukaa satuasmuuttuja Ekspoettjakauma ξ = Seuraava puhelu 5 odotusaka 4 theysfukto o muotoa λx f( x) = λe, x 0, λ 0 jossa λ = 4 ku akaykskköä o muutt. Kuva okealla esmerk ekspoettjakauma theysfukto kuvaajaa välllä [0,.5] Ilkka Mell 40

33 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Haluamme ratkasta seuraavat tehtävät: (a) Määrää todeäkösyys, että seuraavaa puhelua joudutaa odottamaa korketaa 5 sekuta. (b) Määrää todeäkösyys, että seuraavaa puhelua joudutaa odottamaa korketaa 30 sekuta. (c) Kump o todeäkösempää: Se, että seuraavaa puhelua joudutaa odottamaa 5-30 sekuta, va se, että seuraavaa puhelua joudutaa odottamaa sekuta? (d) Määrää todeäkösyys, että seuraavaa puhelua joudutaa odottamaa yl 60 sekuta. Käytämme tehtäve (a)-(d) ratkasemsessa kolmea aputulosta: Aputulos : Tapahtuma ξ t todeäkösyys o t Pr ( ) ( ξ t) = f x dx= e dx= e = e 0 0 t t x x t Aputulos : Tapahtuma ξ > t todeäkösyys o komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaava ja aputulokse ojalla 4 ( ξ > t) = ( ξ t) = e Pr Pr Aputulos 3: Tapahtuma s ξ t todeäkösyys o t Pr ( ) 4 4 t t ( s ξ t) = f x dx= e dx= e = e e s s 4 0 t x x s t (a) Määrätää todeäkösyys, että seuraavaa puhelua joudutaa odottamaa korketaa 5 sekuta. Tapahtuma ξ /4 m todeäkösyys o aputulokse ojalla Pr ξ = e = e 0.63 (b) Määrätää todeäkösyys, että seuraavaa puhelua joudutaa odottamaa korketaa 30 sekuta. Tapahtuma ξ / m todeäkösyys o aputulokse ojalla 4 Pr ξ = e = e (c) Kump o todeäkösempää: Se, että seuraavaa puhelua joudutaa odottamaa 5-30 sekuta, va se, että seuraavaa puhelua joudutaa odottamaa sekuta? Tarkastellaa tapahtuma /4 m ξ / m s Ilkka Mell 4