Todennäköisyyslaskennan kertausta

Transkriptio

1 Todeäkösyyslaskea kertausta Todeäkösyyslaskea kertausta 1. Joukko-opp Alko, Erotus, Joukko, Komplemett, Lekkaus, Perusjoukko, Psteveraus, Tyhjä joukko, Uo, Yhdste. Todeäkösyys ja se määrtteleme Alkestapahtuma, Alko, Empre todeäkösyys, Frekvess, Frekvesstulkta, Joukko, Klasse todeäkösyys, Koetosto, Lukumääräfukto, Mahdoto tapahtuma, Mtta, Otosavaruus, Perusjoukko, Sattuma, Satuaslmö, Satuaskoe, Suhteelle frekvess, Suhteelle osuus, Suotusa alkestapahtuma, Symmetrsyys, Tapahtuma, Todeäkösyys, Tyhjä joukko, Varma tapahtuma 3. Todeäkösyyslaskea peruslaskusääöt Alkestapahtuma, Ehdolle todeäkösyys, Ehtotapahtuma, Erotustapahtuma, Joukko, Komplemetttapahtuma, Lekkaus, Mahdoto tapahtuma, Otata, Otata palauttae, Otata palauttamatta, Otosavaruus, Psteveraus, Rppumattomuus, Satuasotata, Tapahtuma, Todeäkösyys, Tosesa possulkevuus, Tulosäätö, Varma tapahtuma, Yhdste, Yhdstetty tapahtuma, Yhteelaskusäätö 4. Klasse todeäkösyys ja kombatorkka Bomkaava, Bomkerro, Joo, Joukko, Kertoma, Klasse todeäkösyys, Kombaato, Kombatorkka, Kertolaskuperaate, Lukumääräfukto, Multomkerro, Osajoo, Osajoukko, Pascal kolmo, Permutaato, Rppumattomuus, Suotusa alkestapahtuma, Varaato, Yhteelaskuperaate 5. Todeäkösyyde aksoomat Boole algebra, Joukko, Komplemetttapahtuma, Otosavaruus, Perusjoukko, Rppumattomuus, -algebra, Tapahtuma, Todeäkösyyde aksoomat, Todeäkösyyskettä, Todeäkösyysmtta, Tosesa possulkevuus, Yhdstetty tapahtuma, Yhteelaskusäätö 6. Kokoastodeäkösyys ja Bayes kaava Bayes kaava, Ehdolle todeäkösyys, Kokoastodeäkösyyde kaava, Ostus 7. Verkot ja todeäkösyyslasketa Isdesskuvaus, Pste, Puu, Puutodeäkösyys, Rett, Ra kytketä, Sarjaa kytketä, Särmä, Tomtatodeäkösyys, Tomtaverkko, Tulosäätö, Verkko, Yhteelaskusäätö 8. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Dskreett jakauma, Dskreett satuasmuuttuja, Jatkuva jakauma, Jatkuva satuasmuuttuja, Pstetodeäkösyysfukto, Satuasmuuttuja, Theysfukto, Todeäkösyysjakauma 9. Kertymäfukto Dskreett jakauma, Dskreett satuasmuuttuja, Jatkuva jakauma, Jatkuva satuasmuuttuja, Kertymäfukto, Pstetodeäkösyysfukto, Satuasmuuttuja, Theysfukto, Todeäkösyysjakauma 10. Jakaume tuusluvut Dskreett jakauma, Dskreett satuasmuuttuja, Hupukkuus, Jatkuva jakauma, Jatkuva satuasmuuttuja, Keskusmomett, Markov epäyhtälö, Momett, Odotusarvo, Paopste, Pstetodeäkösyysfukto, Satuasmuuttuja, Stadardpokkeama, Theysfukto, Todeäkösyysjakauma, Todeäkösyysmassa, Tshebyshev epäyhtälö Tuusluku, Varass, Ilkka Mell (010) 1/94

2 Todeäkösyyslaskea kertausta 11. Dskreettejä jakauma Beroull-jakauma, Beroull-koe, Bomjakauma, Dskreett tasae jakauma, Ekspoettjakauma, Geometre jakauma, Hypergeometre jakauma, Kertymäfukto, Negatve bomjakauma, Odotusarvo, Otata, Otata palauttae, Otata palauttamatta, Otatasuhde, Pstetodeäkösyysfukto, Posso-jakauma, Stadardpokkeama, Varass 1. Jatkuva jakauma Bomjakauma, Beta-jakauma, Cauchy-jakauma, Ekspoettjakauma, Gamma-jakauma, Jatkuva tasae jakauma, Kertymäfukto, Keskee raja-arvolause, Log-ormaaljakauma, Normaalapproksmaato, Normaaljakauma, Odotusarvo, Posso-jakauma, Stadardpokkeama, Stadardot, Taulukot, Theysfukto, Varass, Webull-jakauma 13. Normaaljakaumasta johdettuja jakauma -jakauma, F-jakauma, Normaaljakauma, Normaaljakaumasta johdetutut jakaumat, Odotusarvo, Stadardpokkeama, t-jakauma, Taulukot, Theysfukto, Vapausasteet, Varass 14. Moulotteset satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Dskreett jakauma, Ehdolle jakauma, Ehdolle odotusarvo, Ehdolle varass, Jatkuva jakauma, Karteese tulo, Kertymäfukto, Korrelaato, Korrelomattomuus, Korrelotuesuus, Kovarass, Odotusarvo, Pstetodeäkösyysfukto, Regressofukto, Reuajakauma, Rppumattomuus, Rppuvuus, Theysfukto, Varass, Yhtesjakauma 15. Moulottesa jakauma Bomjakauma, Dskreett jakauma, Ehdolle jakauma, Ehdolle odotusarvo, Ehdolle varass, Jatkuva jakauma, Kaksulottee ormaaljakauma, Korrelaato, Korrelomattomuus, Korrelotuesuus, Kovarass, Kulmakerro, Multomjakauma, Odotusarvo, Paopste, Pstetodeäkösyysfukto, Regressofukto, Regressosuora, Reuajakauma, Rppumattomuus, Rppuvuus, Suora, Theysfukto, Todeäkösyysmassa, Varass, Yhtesjakauma, Yhteskorrelaatokerro 16. Momettemäfukto ja karakterste fukto Bomjakauma, Dskreett tasae jakauma, Ekspoettjakauma, Geometre jakauma, Jatkuva tasae jakauma, Karakterste fukto, Kolmojakauma, Momett, Momettemäfukto, Negatve bomjakauma, Normaaljakauma, Odotusarvo, Posso-jakauma, Summa jakauma, Taylor sarja, Varass 17. Satuasmuuttuje muuokset ja de jakaumat Jacob determatt, Maksm, Mm, Mootoe muuos, Muuos, Osamäärä jakauma, Summa jakauma, Yhtesjakauma 18. Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Approksmatve jakauma, Artmeette keskarvo, Jakaumakovergess, Kertymäfukto, Keskee raja-arvolause, Kovergesskästteet, Kvadraatte kovergess, Melke varma kovergess, Normaaljakauma, Odotusarvo, Stadardpokkeama, Stadardot, Stokaste kovergess, Summa jakauma, Suurte lukuje lak, Ilkka Mell (010) /94

3 Todeäkösyyslaskea kertausta 1. Joukko-opp Joukko ja se alkot Äärelle joukko vodaa aa määrtellä luettelemalla se alkot. Ylesemm joukko määrtellää atamalla ehto, joka jouko alkode o toteutettava. O syytä huomata, että joukkoja o aa syytä tarkastella jok hyv määrtelly perusjouko osajoukkoa. Jos perusjouko S alko x o jouko A alko el x kuuluu joukkoo A, merktsemme x A Vastaavast, jos perusjouko S alko x e ole jouko A alko el x e kuulu joukkoo A, merktsemme x A Jos A o de perusjouko S alkode x joukko, jotka toteuttavat ehdo P(x) el jolle lause P(x) o tos, merktsemme Osajoukko A x S P( x) Jos jokae jouko A alko o myös jouko B alko, joukko A o jouko B osajoukko ja merktsemme Ste A Tyhjä joukko A B ta B A B, jos ja va jos x A x B Joukko o tyhjä, jos sä e ole yhtää alkota. Merktsemme tyhjää joukkoa symbollla Tyhjä joukko o kakke joukkoje osajoukko. Ss, jos A o perusjouko S melvaltae osajoukko, A Joukko-op perusoperaatot: yhdste Olkoot joukot A ja B perusjouko S osajoukkoja. Joukkoje A ja B uo el yhdste AB o de perusjouko S alkode joukko, jotka kuuluvat joukkoo A ta joukkoo B (ta molemp): A B x S x A ta x B Joukko-op perusoperaatot: lekkaus Olkoot joukot A ja B perusjouko S osajoukkoja. Joukkoje A ja B lekkaus AB o de perusjouko S alkode joukko, jotka kuuluvat joukkoo A ja joukkoo B: A B x S x A ja x Ilkka Mell (010) 3/94

4 Todeäkösyyslaskea kertausta Jos AB = saomme, että joukot A ja B ovat psteverata. Joukko-op perusoperaatot: komplemett Olkoo joukko A perusjouko S osajoukko. Jouko A komplemett A c o de perusjouko S alkode joukko, jotka evät kuulu joukkoo A: c A x S x A Joukko-op perusoperaatot: erotus Olkoot joukot A ja B perusjouko S osajoukkoja. Joukkoje A ja B erotus A\B o de perusjouko S alkode joukko, jotka kuuluvat joukkoo A, mutta evät kuulu joukkoo B: Selväst A\B =x x A ja x B A\B = AB Ilkka Mell (010) 4/94

5 Todeäkösyyslaskea kertausta. Todeäkösyys ja se määrtteleme Satuaslmö Reaalmaalma lmö o stokaste lmö el satuaslmö, jos sllä o seuraavat omasuudet: () () () Ilmö vo päätyä alkutlastaa uses erlas lopputloh el lmöllä o useta erlasa vahtoehtosa tuloksa. Ilmö alkutla perusteella e voda tarkast eustaa lmö lopputlaa el stä, mkä mahdollssta tulosvahtoehdosta realsotuu el toteutuu. Vakka lmö lopputlaa e voda eustaa tarkast, tulosvahtoehtoje suhteellste frekvesse el osuukse ähdää lmö tostuessa käyttäytyvä sääömukasest. Kutsumme satuaslmötä use satuaskokeeks ja satuaslmö estymskertaa koetostoks. Todeäkösyyslaskea peruskästteet Todeäkösyyslaskea peruskästteet ovat otosavaruus, tapahtuma ja alkestapahtuma: () () () Satuaslmö (satuaskokee) kakke mahdollste tulosvahtoehtoje muodostamaa joukkoa saotaa otosavaruudeks. Tapahtuma o jok otosavaruude tulosvahtoehtoje muodostama joukko. Alkestapahtuma o satuaslmö (satuaskokee) tulosvahtoehto, jota alkeellsemp tulosvahtoehtoh satuaslmötä e voda purkaa. Ku saomme, että jok tapahtuma sattuu, tarkotamme, että jok tapahtumaa lttyvstä alkestapahtumsta sattuu. Todeäkösyyslaskea ja joukko-op peruskästteet vastaavat seuraavalla tavalla tosaa: Otosavaruus Perusjoukko Tapahtuma Joukko Mahdoto tapahtuma Tyhjä joukko Alkestapahtuma Alko Todeäkösyys ja se perusomasuudet Olkoo A jok otosavaruude S tapahtuma el olkoo A S Todeäkösyys Pr() o joukkofukto, joka lttää tapahtumaa A reaalluvu: Pr( A) Todeäkösyyde perusomasuudet: () () Olkoo tapahtuma A jok otosavaruude S tapahtuma. Tällö 0 Pr(A) 1 Tyhjä joukko ja mahdoto tapahtuma samastetaa ja Pr() = Ilkka Mell (010) 5/94

6 Todeäkösyyslaskea kertausta () Otosavaruus S ja varma tapahtuma samastetaa ja Pr(S) = 1 Empre todeäkösyys Tarkastellaa satuaskoetta, jota vodaa tostaa ste, että seuraavat ehdot pätevät: () () Kokee olosuhteet sälyvät muuttumattoma koetostosta tosee. Koetostot ovat rppumattoma sä melessä, että yhdekää koetosto tulos e rpu stä mtä tuloksa musta koetostosta saadaa. Tarkkallaa tapahtuma A estymstä koetostoje akaa. Jos tapahtuma A suhteelle frekvess el osuus lähestyy jotak kteätä lukua koetostoje lukumäärä kasvaessa rajatta, tätä lukua kutsutaa ko. tapahtuma emprseks todeäkösyydeks. Oletetaa, että satuaskoetta tostetaa kertaa. Olkoo f A tapahtuma A frekvess el lukumäärä koetostoje joukossa. Tällö f A o tapahtuma A suhteelle frekvess el suhteelle osuus koetostoje joukossa. Aetaa koetostoje lukumäärä kasvaa rajatta. Oletetaa, että (jossak melessä) ku f A A p. Tällö luku p A o ko. tapahtuma empre todeäkösyys. Todeäkösyyde frekvesstulkta Oletetaa, että tostamme jotak satuaskoetta ja tarkkalemme tapahtuma A suhteellsta frekvessä koetostoje akaa. Todeäkösyyde frekvesstulka mukaa tapahtuma A suhteelle frekvess vahtelee satuasest koetostosta tosee, mutta saa keskmäär tapahtuma todeäkösyyttä lähellä oleva arvoja. Olkoo tapahtuma A todeäkösyys Pr(A) = p Oletetaa, että stä satuaskoetta, joka tulosvahtoehtoa tapahtuma A o, tostetaa kertaa. Tällö todeäkösyyde frekvesstulkasta seuraa, että o odotettavssa, että tapahtuma A frekvess f o lähellä lukua p Lukumääräfukto Olkoo ( A) fukto, joka kertoo jouko A alkode lukumäärä. Jos ss A a1 a a k {,,, } o äärelle joukko, joka alkode lukumäärä o k, ( A) Ilkka Mell (010) 6/94

7 Todeäkösyyslaskea kertausta Kutsumme fuktota ( ) lukumääräfuktoks. Klasse todeäkösyys Oletetaa, että äärellse otosavaruude alkestapahtumat S = {s 1, s,, s } s, = 1,,, ovat yhtä todeäkösä el 1 Pr( s ), 1,,, Tällö saomme, että alkestapahtumat s, = 1,,, ovat symmetrsä. Olkoo tapahtuma A otosavaruude S osajoukko. Tällö tapahtuma A klasse todeäkösyys Pr(A) saadaa määräämällä tapahtumalle A suotuse alkestapahtume suhteelle osuus kaksta alkestapahtumsta el jossa ja Todeäkösyys mttaa Pr(A) = (A)/(S) (A) = tapahtumalle A suotuse alkestapahtume lukumäärä = joukkoo A kuuluve alkestapahtume lukumäärä (S) = kakke mahdollste alkestapahtume lukumäärä = otosavaruutee S kuuluve alkestapahtume lukumäärä Todeäkösyys o mtta, joka mttaa satuaslmö tapahtume sattumse Ilkka Mell (010) 7/94

8 Todeäkösyyslaskea kertausta 3. Todeäkösyyslaskea peruslaskusääöt Todeäkösyyslaskea perusoperaatot Todeäkösyyslaskea perusoperaatolla tarkotetaa operaatota, jolla tapahtumsta johdetaa uusa tapahtuma. Todeäkösyyslaskea peruslaskusääöllä tarkotetaa laskusäätöjä, jolla alkeellsemmsta tapahtumsta joukko-op operaatolla johdettuje uuse, yhdstettyje tapahtume todeäkösyydet määrätää alkeellsempe tapahtume todeäkösyykse avulla. Todeäkösyyslaskea ja joukko-op perusoperaatot vastaavat seuraavalla tavalla tosaa: Tapahtuma A e satu el tapahtuma A komplemetttapahtuma sattuu Jouko A komplemett A c Tapahtuma A sattuu ta tapahtuma B sattuu ta molemmat sattuvat Joukkoje A ja B uo el yhdste AB Tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B sattuu Joukkoje A ja B lekkaus AB Tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B e satu Joukkoje A ja B erotus A\B Komplemetttapahtuma todeäkösyys Olkoo tapahtuma A otosavaruude S osajoukko. Jouko A komplemetttapahtuma todeäkösyys o c A x S x A Pr(A c ) = 1 Pr(A) Yhdstee todeäkösyys Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruude S osajoukkoja. Tällö Pr(AB) o todeäkösyys slle, että tapahtuma A sattuu ta tapahtuma B sattuu ta molemmat sattuvat. Lekkaukse todeäkösyys Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruude S osajoukkoja. Tällö Pr(AB) o todeäkösyys slle, että tapahtuma A sattuu ja tapahtuma B sattuu. Ylee yhteelaskusäätö Ylese yhteelaskusääö mukaa Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Ilkka Mell (010) 8/94

9 Todeäkösyyslaskea kertausta Tosesa possulkeve tapahtume yhteelaskusäätö Jos tapahtumat A ja B evät vo sattua samaakasest el ovat tosesa possulkeva, AB = Ste tosesa possulkevat tapahtumat ovat joukkoa psteverata. Jos tapahtumat A ja B ovat tosesa possulkeva el AB =, pätee tosesa possulkeve tapahtume yhteelaskusäätö Pr(AB) = Pr(A) + Pr(B) Olkoot A 1, A,, A k paretta tosesa possulkeva, jollo A A j =, ku j. Tällö yhdstee todeäkösyys o Ehdolle todeäkösyys A 1 A A k = A 1 ta A ta ta A k sattuu Pr(A 1 A A k ) = Pr(A 1 ) + Pr(A ) + + Pr(A k ) Olkoot tapahtumat A ja B otosavaruude S osajoukkoja. Tällö tapahtuma A ehdolle todeäkösyys sllä ehdolla, että tapahtuma B o sattuut saadaa kaavalla Pr( A B) Pr( A B) Pr( B) jossa Pr(AB) o tapahtume A ja B lekkaukse todeäkösyys el todeäkösyys slle, että tapahtuma A o sattuut ja tapahtuma B o sattuut. Ylee tulosäätö Ylese tulosääö mukaa Pr(AB) = Pr(A B)Pr(B) Tarkastellaa tapahtuma A 1, A,, A k. Tällö lekkaukse todeäkösyys o A 1 A A k = A 1 ja A ja ja A k sattuvat Pr( A A A ) 1 k Pr( A1 ) Pr( A A1 ) Pr( A3 A1 A ) Pr( Ak A1 A Ak 1) Rppumattomuus ja rppumattome tapahtume tulosäätö Tapahtumat A ja B ovat rppumattoma, jos ja va jos rppumattome tapahtume tulosäätö Pr( A B) Pr( A) Pr( B) pätee. Rppumattome tapahtume tulosäätö o yhtäptävä se kassa, että Pr( A B) Pr( Ilkka Mell (010) 9/94

10 Todeäkösyyslaskea kertausta Tarkastellaa tapahtuma A 1, A,, A k. Jos tapahtumat A 1, A,, A k ovat rppumattoma, tälöö pätee rppumattome tapahtume tulosääö ylestys Satuasotata ja tulosäätö Pr( A A A ) Pr( A ) Pr( A ) Pr( A ) Pr( A ) 1 k 1 3 Ylestä tulosäätöä sovelletaa tapahtume todeäkösyykse määräämsessä otaassa lma takaspaoa el palauttamatta. Rppumattome tapahtume tulosäätöä sovelletaa tapahtume todeäkösyykse määräämsessä otaassa takaspaolla el palauttae. Ilkka Mell (010) 10/94

11 Todeäkösyyslaskea kertausta 4. Klasse todeäkösyys ja kombatorkka Kombatorka perusperaatteet () () Joukko Kertolaskuperaate Oletetaa, että operaato M vodaa suorttaa m:llä er tavalla ja operaato N vodaa suorttaa :llä er tavalla ja oletetaa lsäks, että operaatot M ja N vodaa suorttaa tosstaa rppumatta. Tällö yhdstetty operaato Suortetaa operaato M ja operaato N vodaa suorttaa m:llä er tavalla. Yhteelaskuperaate Oletetaa, että operaato M vodaa suorttaa m:llä er tavalla ja operaato N vodaa suorttaa :llä er tavalla ja oletetaa lsäks, että operaatot M ja N ovat tosesa possulkeva. Tällö yhdstetty operaato Suortetaa operaato M ta operaato N vodaa suorttaa (m + ):llä er tavalla. Joukko o täys määrätty, jos se alkot tuetaa. Olkoot äärellse jouko S (erlaset) alkot Tällö merktää s 1, s,, s S = {s 1, s,, s } Joukot A ja B ovat samat, jos ssä o samat alkot el jos ja va jos Olkoo A = B x A x B S = (S) lukumääräfukto, joka kertoo jouko S (erlaste) alkode lukumäärä. Ste jouko S (erlaste) alkode lukumäärä o Joo S = (S) = Joo o täys määrätty, jos se alkot ja de järjestys tuetaa. Olkoo äärellse joo s. alko Tällö merktää s, = 1,,, s = (s 1, s,, s Ilkka Mell (010) 11/94

12 Todeäkösyyslaskea kertausta Joot a = (a 1, a,, a ) ja b = (b 1, b,, b ) ovat samat, jos ssä o samat alkot samassa järjestyksessä el jos ja va jos a = b a = b, = 1,,, Kombatorka perusogelmat Olkoo S äärelle joukko, joka (erlaste) alkode lukumäärä o = (S) Kombatorka perusogelmat: (1a) Kuka moella er tavalla jouko S alkot vodaa järjestää jooo? (1b) Kuka moella er tavalla jouko S alkosta vodaa muodostaa k: alko osajoo? () Kuka moella er tavalla jouko S alkosta vodaa muodostaa k: alko osajoukko? Kombatorka perusogelme ratkasut Olkoo S äärelle joukko, joka (erlaste) alkode lukumäärä o = (S) Kombatorka perusogelme ratkasut: (1a) Kutsumme jouko S kakke alkode jooja jouko S alkode permutaatoks. Jouko S alkode kakke mahdollste permutaatode lukumäärä o jossa! o -kertoma.! = ( 1) 1 (1b) Kutsumme jouko S k: alko osajooja jouko S alkode k-permutaatoks el varaatoks. Jouko S alkode kakke mahdollste k-permutaatode lukumäärä o! P(, k) ( 1) ( k 1) ( k)! () Kutsumme jouko S k: alko osajoukkoja jouko S alkode k alkota ssältävks kombaatoks. Jouko S alkode kakke mahdollste k alkota ssältäve kombaatode lukumäärä o jossa o bomkerro. C(, k) k! k k!( Ilkka Mell (010) 1/94

13 Todeäkösyyslaskea kertausta Kombatorka perusogelme (1a), (1b) ja () ratkasut vodaa perustella kombatorka kertolaskuperaattee avulla. Pascal kolmo Bomkertomet saadaa s. Pascal kolmosta. Alla o aettu Pascal kolmo 8 esmmästä rvä Lukuu ottamatta kolmo reuolla oleva ykkösä jokae kolmo luvusta o saatu laskemalla yhtee kaks edeltävä rv lukua uolte suutaa. Pascal kolmo ja bomkertomet Pascal kolmo (+1). rv luvut vodaa lmasta bomkertome avulla seuraavassa muodossa:,,,,, Pascal kolmo muodostamssäätö vodaa lmasta bomkertome avulla seuraavassa muodossa: 1 1 k k 1 k Kaava mukaa Pascal kolmo. rv k. luku saadaa laskemalla yhtee rv ( 1) luvut pakossa (k 1) ja k. Se, että Pascal kolmo o symmetre kolmo rve keskkohda suhtee, vodaa lmasta bomkertome avulla seuraavassa muodossa:! k k!( k)! Ilkka Mell (010) 13/94

14 Todeäkösyyslaskea kertausta Bomkaava Bomkaava mukaa bom x + y k. potess vodaa esttää muodossa ( x y) x y k 0 k k k k Äärellse jouko osajoukkoje lukumäärä Olkoo jouko S alkode lukumäärä = (S). Tällö jouko S osajoukkoje lukumäärä o Multomkerro N Olkoo jouko S alkode lukumäärä = (S). Oletetaa, että postvset kokoasluvut toteuttavat ehdo, = 1,,, k k = Ostetaa joukko S psteveras osajoukkoh A, = 1,,, k, että joukossa A o = (A ) alkota. Kuka moella erlasella tavalla tällae ostus vodaa tehdä? Vastaukse ataa multomkerro jossa ss! 1 k 1!! k! k = Huomaa, että jos k =, saadaa bomkerro jossa!!! Ilkka Mell (010) 14/94

15 Todeäkösyyslaskea kertausta 5. Todeäkösyyde aksoomat Todeäkösyys äärellsssä otosavaruuksssa Tarkastellaa es todeäkösyyde määrttelemstä äärellsssä otosavaruuksssa. Huomattava osa todeäkösyyde peruslaskusääöstä vodaa todstaa äärellste otosavaruukse aksoomsta. Boole algebra Olkoo S joukko ja jok F jouko S osajoukkoje muodostama perhe el AF A S Joukkoperhe F o Boole algebra, jos seuraavat 3 ehtoa pätevät: () () F A c F A () AF, B F A B F F Kutsumme todeäkösyyslaskeassa perusjoukkoa S otosavaruudeks ja Boole algebraa F kuuluva otosavaruude S osajoukkoja A tapahtumks. Olkoot AF, B F Boole algebra aksoomsta seuraa suoraa, että F A B c c F F A B F Lsäks vodaa osottaa, että S F c c c A B ( A B ) F c A \ B A B F Todeäkösyyde aksoomat äärellsssä otosavaruuksssa Olkoo S äärelle joukko ja F jok jouko S osajoukkoje muodostama Boole algebra. Olkoo lsäks Pr joukkofukto, joka lttää jokasee Boole algebraa F kuuluvaa jouko S osajoukkoo A reaalkuvu el A F A S Pr( A) Joukkofukto Pr o äärellse otosavaruude todeäkösyysmtta, jos seuraavat 3 ehtoa pätevät: () Pr( S) 1 () 0 Pr( A) 1 kaklle Ilkka Mell (010) 15/94

16 Todeäkösyyslaskea kertausta () AF, B F, A B Pr( A B) Pr( A) Pr( B) Äärelle todeäkösyyskettä Kolmkko ( S, F, Pr) o äärelle todeäkösyyskettä, jos S o äärelle otosavaruus, F o otosavaruudessa S määrtelty Boole algebra ja Pr o Boole algebrassa F määrtelty todeäkösyysmtta. Rppumattomuus ja rppumattome tapahtume tulosäätö Tapahtumat A ja B ovat rppumattoma, jos ja va jos rppumattome tapahtume tulosäätö pätee. Pr( A B) Pr( A) Pr( B) Todeäkösyys melvaltasssa otosavaruuksssa Tarkastellaa todeäkösyyde määrttelemstä melvaltasssa otosavaruuksssa. -algebra Olkoo S joukko ja jok F jouko S osajoukkoje muodostama perhe el AF A S Joukkoperhe F o -algebra, jos seuraavat 3 ehtoa pätevät: () () F A c F A () A 1, A, A 3, F A 1 F F Kutsumme perusjoukkoa S otosavaruudeks ja -algebraa F kuuluva otosavaruude S osajoukkoja A tapahtumks. Kakk Boole algebrolle todstetut teoreemat pätevät myös -algebrolle. Todeäkösyyde aksoomat melvaltasssa otosavaruuksssa Olkoo S joukko ja F jok jouko S osajoukkoje muodostama -algebra. Olkoo lsäks Pr joukkofukto, joka lttää jokasee -algebraa F kuuluvaa jouko S osajoukkoo A reaalluvu el A F A S Pr( A) Joukkofukto Pr o todeäkösyysmtta, jos seuraavat 3 ehtoa pätevät: () Pr( S) 1 () 0 Pr( A) 1 kaklle AF () F 1 A, A, A, ja A A, j Pr A Pr( A ) 1 3 j Ilkka Mell (010) 16/94

17 Todeäkösyyslaskea kertausta Todeäkösyyskettä Kolmkko ( S, F, Pr) o todeäkösyyskettä, jos S o otosavaruus, F o otosavaruudessa S määrtelty -algebra ja Pr o -algebrassa F määrtelty todeäkösyysmtta. Kakk äärellslle todeäkösyysketlle todstetut teoreemat pätevät myös äärettömssä todeäkösyysketssä. Epämtallset joukot O syytä huomata, että jos otosavaruus S o ääretö, se kaklle osajoukolle e voda välttämättä määrtellä todeäkösyyttä. Ntä otosavaruude S osajoukkoja, jolle todeäkösyys vodaa määrtellä, saotaa mtallsks ja tä, jolle todeäkösyyttä e voda määrtellä, saotaa epämtallsks. Vodaa osottaa, että otosavaruude S mtallset osajoukot muodostavat aa -algebra. Lause 1. Lause. Olkoo ( S, F, Pr) todeäkösyyskettä ja A1, A, A3, F Tällö pätee: (a) Jos A1 A A3, Pr A lm Pr( A ) 1 (b) Jos A1 A A3, Pr A lm Pr( A ) 1 Olkoo ( S, F, Pr) todeäkösyyskettä ja A1, A, A3, F Tällö pätee: Jos A1 A A3, lm Pr( A ) 0 Vodaa osottaa, että Kolmogorov aksooma () F 1 o yhtäptävä aksoome A, A, A, ja A A, j Pr A Pr( A ) 1 3 j 1 () A A Pr A A Pr A Pr A (v) A A A A 1 3 lm Pr 0 kassa. Aksoomaa (v) kutsutaa use todeäkösyyde Ilkka Mell (010) 17/94

18 Todeäkösyyslaskea kertausta 6. Kokoastodeäkösyys ja Bayes kaava Ostus Jouko S osajoukot B 1, B,, B muodostavat jouko S ostukse, jos seuraavat 3 ehtoa pätevät: () B, 1,,, () B B, j j () S B1 B B Kokoastodeäkösyyde kaava Olkoo A epätyhjä otosavaruude S osajoukko: A S, A Oletetaa, että joukot B 1, B,, B muodostavat otosavaruude S ostukse. Tällö pätee kokoastodeäkösyyde kaava Pr( A) Pr( B ) Pr( A B ) 1 Bayes kaava Olkoo A epätyhjä otosavaruude S osajoukko: A S, A Oletetaa, että joukot B 1, B,, B muodostavat otosavaruude S ostukse. Tällö pätee Bayes kaava Pr( B ) Pr( A B ) Pr( B A), 1,,, Pr( B ) Pr( A B ) Ilkka Mell (010) 18/94

19 Todeäkösyyslaskea kertausta 7. Verkot ja todeäkösyyslasketa Verkko Verkko el graaf muodostuu pstede joukosta V, särme joukosta A ja sdesskuvauksesta jossa : A V V V, A, A V Isdesskuvaus kertoo, mtkä verko pstestä ovat särme yhdstämä. Verkkoja tarkastellaa tässä suuattua verkkoa, mllä tarkotetaa stä, että verko jokasella särmällä o suuta, joka osottaa särmä alkupsteestä särmä loppupsteesee. Esmerkk: Rett Särmät Kuvossa okealla ja esmerkks V { v, v, v, v, v, v, v, v, v, v, v } A { a, a, a, a, a, a, a, a, a, a } ( a ) ( v, v ) a a ,,, ak 1 muodostavat ret psteestä v 1 psteesee v k, jos o olemassa psteet ste, että v 1, v,, v k ( a ) ( v, v ), 1,,, k 1 1 Jos psteestä v 1 psteesee v k o rett, saotaa, että rett ve psteestä v 1 psteesee v k ta, että psteestä v 1 pääsee psteesee v k. Esmerkk: Puu Kuvossa yllä särmät a 1, a 3, a 7, a 8 muodostavat ret psteestä v 1 psteesee v 6. Verkko o puu, joka juurea o pste v 1, jos seuraavat ehdot pätevät: () () () Verkko o yhteäe. Verkossa e ole slmukota. Jos w v 1 o melvaltae verko pste, psteestä v 1 psteesee w pääsee täsmällee yhtä rettä Ilkka Mell (010) 19/94

20 Todeäkösyyslaskea kertausta Esmerkk: Yllä oleva kuvo verkko e ole puu, koska sä o slmukota ja se e ole yhteäe. Se sjaa okealla oleva kuvo verkko o puu. Puudagramm kostruot satuaslmölle Satuaslmötä vodaa kuvata puudagrammlla, jos lmö osataa esttää seuraavassa muodossa: () () () (v) Ilmöllä o yks alkutla ja yks ta useampa lopputloja. Ilmö koostuu vahtoehtossta tapahtumajoosta. Tapahtumajoossa edetää vahetta tapahtumasta tosee lähte lmö alkutlasta ja päätye johok lmö lopputlosta. Jokasessa vaheessa kohdataa yks ta useampa tapahtumavahtoehtoja, josta yks realsotuu ja johtaa uus tapahtumavahtoehtoh. Satuaslmötä vastaava puudagramm kostruodaa seuraavalla tavalla: () () () (v) (v) Asetetaa puu juur vastaamaa lmö alkutlaa. Asetetaa puu loppupsteet ( okse kärjet ) vastaamaa lmö lopputloja. Asetetaa puu psteet ( okse haarautumskohdat ) vastaamaa lmö tapahtuma. Vedää puu jokasesta psteestä särmä ( oksa ) kakk sellas pstes, jota vastaavat tapahtumavahtoehdot ovat lmö sä vaheessa mahdollsa. Ltetää jokasee psteestä lähtevää särmää sä vaheessa mahdollste tapahtumavahtoehtoje todeäkösyydet. Puutodeäkösyydet Puutodeäkösyydellä tarkotetaa todeäkösyyttä päästä puu alkupsteestä yhde ta useamma muu puu pstee määräämää yhdstettyy tapahtumaa. Pstee todeäkösyys saadaa määräämällä alkupsteestä ko. psteesee vevä ret todeäkösyys. Ret todeäkösyys saadaa soveltamalla rett kuuluve särme todeäkösyyks tulosäätöä. Usea pstee määräämä yhdstety tapahtuma todeäkösyys saadaa soveltamalla ko. pstes veve rette todeäkösyyks yhteelaskusäätöä. Puutodeäkösyykse tulosäätö Ret todeäkösyys saadaa määräämällä rett kuuluve särme todeäkösyykse tulo. Puutodeäkösyykse yhteelaskusäätö Jos useta (loppu-) tloja yhdstetää yhdeks tapahtumaks, ä saadu yhdstety tapahtuma todeäkösyys saadaa määräämällä ko. tloh veve rette todeäkösyykse Ilkka Mell (010) 0/94

21 Todeäkösyyslaskea kertausta Tomtaverkot Tomtaverkko o systeem, joka koostuu kompoetesta, jotka o kytketty ra ta sarjaa. Alla olevat kytketäkaavot kuvaavat kahde kompoet K 1 ja K muodostama sarjaa- ja rakytketöjä. Sarjaa kytkeä tomtatodeäkösyys Oletetaa, että kompoett K 1 ja K o kytketty sarjaa ja oletetaa lsäks, että kompoet K 1 tomta (ta tommattomuus) e rpu kompoet K tomasta (ja käätäe). Kompoette K 1 ja K muodostama sarjaa kytketä tom, jos kompoett K 1 tom ja kompoett K tom. Määrtellää tapahtumat A 1 = Kompoett K 1 tom A = Kompoett K tom Olkoot tapahtume A 1 ja A todeäkösyydet p 1 = Pr(A 1 ) p = Pr(A ) Koska tapahtumat A 1 ja A ovat oletukse mukaa rppumattoma, saadaa kompoette K 1 ja K muodostama sarjaa kytkeä tomtatodeäkösyydeks rppumattome tapahtume tulosääö mukaa Pr(Kompoett K 1 tom ja kompoett K tom) = Pr(A 1 A ) = Pr(A 1 )Pr(A ) = p 1 p = Pr(Kompoett K 1 tom)pr(kompoett K tom) Rakytkeä tomtatodeäkösyys Oletetaa, että kompoett K 1 ja K o kytketty ra ja oletetaa lsäks, että kompoet K 1 tomta (ta tommattomuus) e rpu kompoet K tomasta (ja Ilkka Mell (010) 1/94

22 Todeäkösyyslaskea kertausta Kompoette K 1 ja K muodostama ra kytketä tom, jos kompoett K 1 tom ta kompoett K tom (ta molemmat tomvat). Määrtellää tapahtumat A 1 = Kompoett K 1 tom A = Kompoett K tom Olkoot tapahtume A 1 ja A todeäkösyydet p 1 = Pr(A 1 ) p = Pr(A ) Koska tapahtumat A 1 ja A ovat oletukse mukaa rppumattoma, saadaa kompoette K 1 ja K muodostama ra kytkeä tomtatodeäkösyydeks ylese yhteelaskusääö ja rppumattome tapahtume tulosääö mukaa Pr(Kompoett K 1 tom ta kompoett K tom) = Pr(A 1 A ) = Pr(A 1 ) + Pr(A ) Pr(A 1 A ) = Pr(A 1 ) + Pr(A ) Pr(A 1 )Pr(A ) = p 1 + p p 1 p = Pr(Kompoett K 1 tom) + Pr(Kompoett K tom) Pr(Kompoett K 1 tom)pr(kompoett K Ilkka Mell (010) /94

23 Todeäkösyyslaskea kertausta 8. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Satuasmuuttuja Olkoo ( S, F, Pr) todeäkösyyskettä, jossa S = otosavaruus (perusjoukko) F = otosavaruude S osajoukkoje joukossa määrtelty -algebra Pr = -algebraf alkolle määrtelty todeäkösyysmtta Jos o otosavaruude S reaalarvoe (mtalle) fukto el : S o satuasmuuttuja. Jos ss s S ( s) Todeäkösyysjakauma Satuasmuuttuja todeäkösyysjakaumalla tarkotetaa kuvaukse : S reaallukuje joukkoo dusomaa todeäkösyysmttaa. Dskreett satuasmuuttuja Olkoo : S satuasmuuttuja. Jos otosavaruus S o äärelle ta umerotuvast ääretö, jollo myös fukto arvoalue o äärelle ta umerotuvast äärelle, saotaa satuasmuuttujaa dskreetks. Dskreet satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto Olkoo : S dskreett satuasmuuttuja, joka arvot ovat x 1, x, x 3,, x ta x 1, x, x 3,, x, Olkoo ta T = {x 1, x, x 3,, x } T = {x 1, x, x 3,, x, } satuasmuuttuja arvoje joukko. Joukko T o ss äärelle ta umerotuvast Ilkka Mell (010) 3/94

24 Todeäkösyyslaskea kertausta Reaalarvoe fukto f määrttelee dskreet satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto, jos seuraavat 3 ehtoa pätevät: (1) f ( x ) Pr( x ) kaklle x T () f ( x ) 0 kaklle x T (3) f ( x ) 1 Todeäkösyys xt Pr( x ) f ( x ) p, 1,,3, o satuasmuuttuja arvoa x vastaava pstetodeäkösyys. Dskreett todeäkösyysjakauma Jos f o dskreet satuasmuuttuja : S pstetodeäkösyysfukto, saomme, että satuasmuuttuja oudattaa dskreettä todeäkösyysjakaumaa, joka pstetodeäkösyysfukto o f. Reaalaksel väle todeäkösyydet Olkoo : S dskreett satuasmuuttuja ja f vastaava pstetodeäkösyysfukto. Tällö reaalaksel väl [a, b] todeäkösyys o Jatkuva satuasmuuttuja Olkoo Pr( a b) f ( x ) Pr( x ) : S x a b x a b,, satuasmuuttuja. Satuasmuuttuja o jatkuva, jos seuraavat ehtoa pätevät: () Satuasmuuttuja saa kakk reaallukuarvot joltak reaalaksel välltä. () Todeäkösyys, että satuasmuuttuja saa mkä tahasa yksttäse arvo = 0. Jatkuva satuasmuuttuja theysfukto Olkoo : S jatkuva Ilkka Mell (010) 4/94

25 Todeäkösyyslaskea kertausta Reaalarvoe fukto f määrttelee satuasmuuttuja theysfukto, jos seuraavat 4 ehtoa pätevät: (1) f ( x) o x: jatkuva fukto () f ( x) 0 kaklle x (3) f ( x ) dx 1 (4) Pr( a b) f ( x) dx Jatkuva todeäkösyysjakauma Jos f o jatkuva satuasmuuttuja : S b a theysfukto, saomme, että satuasmuuttuja oudattaa jatkuvaa todeäkösyysjakaumaa, joka theysfukto o f. Reaalaksel väle todeäkösyydet Olkoo : S jatkuva satuasmuuttuja ja f vastaava theysfukto. Tällö reaalaksel väl [a, b] todeäkösyys o Huomaa, että kaklle x. Pr( a b) f ( x) dx Pr( = x) = 0 b Ilkka Mell (010) 5/94

26 Todeäkösyyslaskea kertausta 9. Kertymäfukto Kertymäfukto Olkoo : S satuasmuuttuja. Satuasmuuttuja kertymäfukto o reaalarvoe fukto Fukto F( x) Pr( x) F : [0,1] o kertymäfukto, jos ja va jos Jos fukto (1) lm F( x) 0 x () lm F( x) 1 x (3) F o e - väheevä: F( x ) F( x ), jos x x 1 1 (4) F o jatkuva okealta: lm F( x h) F( x) h0 o kertymäfukto, F : [0,1] (5) Pr( x) 1 F( x) (6) Pr( a b) F( b) F( a) Dskreet jakauma kertymäfukto Olkoo : S dskreett satuasmuuttuja ja f vastaava pstetodeäkösyysfukto. Tällö satuasmuuttuja kertymäfukto o ja käätäe F( x) Pr( x) f ( x ) Pr( x ) x x x x f ( x ) Pr( x ) F( x ) F( x ) 1 Reaalaksel väle todeäkösyydet Olkoo : Ilkka Mell (010) 6/94

27 Todeäkösyyslaskea kertausta dskreett satuasmuuttuja, f vastaava pstetodeäkösyysfukto ja F vastaava kertymäfukto. Tällö reaalaksel väl (a, b] todeäkösyys o Pr( a b) F( b) F( a) x a, b x a, b Jatkuva jakauma kertymäfukto Olkoo : S f ( x ) Pr( x ) jatkuva satuasmuuttuja ja f vastaava theysfukto. Tällö satuasmuuttuja kertymäfukto o ja käätäe F( x) Pr( x) f ( t) dt x d f ( x) F( x) F( x) dx Reaalaksel väle todeäkösyydet Olkoo : S jatkuva satuasmuuttuja, f vastaava theysfukto ja F vastaava kertymäfukto. Tällö reaalaksel väl (a, b] todeäkösyys o Pr( a b) F( b) F( a) b f ( x) dx Huomaa, että jatkuvlle satuasmuuttujlle pätee: a Pr( a b) Pr( a b) Pr( a b) Pr( a Ilkka Mell (010) 7/94

28 Todeäkösyyslaskea kertausta 10. Jakaume tuusluvut Dskreet satuasmuuttuja odotusarvo Olkoo f ( x ) Pr( x ) p, 1,,3, satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto. Tällö satuasmuuttuja ja stä vastaava todeäkösyysjakauma odotusarvo o e-satuae vako E( ) x f ( x ) x Pr( x ) x p Dskreet satuasmuuttuja odotusarvo o olemassa, jos x f ( x ) x Pr( x ) x p Jatkuva satuasmuuttuja odotusarvo Olkoo f ( x) jatkuva satuasmuuttuja theysfukto. Tällö satuasmuuttuja ja stä vastaava todeäkösyysjakauma odotusarvo o e-satuae vako E( ) xf ( x) dx Jatkuva satuasmuuttuja odotusarvo o olemassa, jos x f ( x) dx Odotusarvo omasuuksa Satuasmuuttuja odotusarvo o satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma todeäkösyysmassa paopste. Olkoo a vako. Tällö E( a) a Olkoot, = 1,,, satuasmuuttuja ja a, = 1,,, vakota. Tällö E a a E( ) 1 1 Dskreet satuasmuuttuja fukto odotusarvo Olkoo f ( x ) Pr( x ) p, 1,,3, dskreet satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto ja olkoo g reaalarvoe Ilkka Mell (010) 8/94

29 Todeäkösyyslaskea kertausta Tällö satuasmuuttuja g() odotusarvo o e-satuae vako E( g( )) g( x ) f ( x ) g( x ) Pr( x ) g( x ) p Jatkuva satuasmuuttuja fukto odotusarvo Olkoo f ( x) g ( ) jatkuva satuasmuuttuja theysfukto ja olkoo g reaalarvoe fukto. Tällö satuasmuuttuja g() odotusarvo o e-satuae vako Varass E( g( )) g( ) g( x) f ( x) dx Olkoo satuasmuuttuja odotusarvo E( ) Tällö satuasmuuttuja varass o e-satuae vako D ( ) Var( ) E[( ) ] Varass vodaa laskea myös kaavalla jossa D ( ) Var( ) E( ) E( ) = satuasmuuttuja.momett Dskreet satuasmuuttuja varass Olkoo f ( x ) Pr( x ) p, 1,,3, dskreet satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto. Tällö satuasmuuttuja varass o D ( ) Var( ) E[( ) ] ( x ) p Dskreet satuasmuuttuja varass o olemassa, jos D ( ) Jatkuva satuasmuuttuja varass Olkoo f ( x) jatkuva satuasmuuttuja theysfukto. Tällö satuasmuuttuja varass Ilkka Mell (010) 9/94

30 Todeäkösyyslaskea kertausta D ( ) Var( ) E[( ) ] ( ) ( ) x f x dx Jatkuva satuasmuuttuja varass o olemassa, jos Stadardpokkeama D ( ) Satuasmuuttuja stadardpokkeama o e-satuae vako Varass omasuuksa D( ) E[( ) ] Satuasmuuttuja varass ja stadardpokkeama kuvaavat satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma todeäkösyysmassa hajaatuesuutta todeäkösyysmassa paopstee E( ) ympärllä. Olkoo a vako. Tällö D ( a) Var( a) 0 Olkoot, = 1,,, rppumattoma satuasmuuttuja ja a, = 1,,, vakota. Tällö Markov epäyhtälö D a a D ( ) 1 1 Olkoo g() satuasmuuttuja postve reaalarvoe fukto, joka odotusarvo o E(g()) Tällö jokaselle reaalselle, e-satuaselle vakolle a > 0 pätee Markov epäyhtälö: Tshebyshev epäyhtälö E( g( )) Pr( g( ) a) a Olkoo satuasmuuttuja, joka odotusarvo o ja varass o E() = µ Var() = Tällö pätee Tshebyshev epäyhtälö: 1 Pr( k ) k Komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaavasta seuraa, että 1 Pr( k ) 1 Pr( k ) 1 Ilkka Mell (010) 30/94

31 Todeäkösyyslaskea kertausta Momett Olkoo satuasmuuttuja. Tällö satuasmuuttuja k odotusarvo k E( ), k 0,1,, k o satuasmuuttuja k. momett el k. momett orgo suhtee. Ertysest: E( ) Ste satuasmuuttuja 1. momett orgo suhtee o satuasmuuttuja odotusarvo. Olkoo satuasmuuttuja, joka odotusarvo o E( ) Tällö satuasmuuttuja ( ) k odotusarvo k E ( ) k, k 0,1,, o satuasmuuttuja k. keskusmomett el k. momett paopstee suhtee. Ertysest: 0 1 E ( ) Var( ) D ( ) Ste satuasmuuttuja 1. keskusmomett hävää ja. keskusmomett o satuasmuuttuja varass. Satuasmuuttuja k. orgomomett o olemassa, jos k E( ) Satuasmuuttuja k. keskusmomett o olemassa, jos vastaava orgomomett o olemassa. Vodaa osottaa, että jos jollek, E( ) k E( ) kaklle k <. Jos ss satuasmuuttujalla o. orgomomett, sllä o myös kakk alempe kertalukuje momett. Vous Tuuslukua 3 1 3/ käytetää todeäkösyysjakaume voude Ilkka Mell (010) 31/94

32 Todeäkösyyslaskea kertausta Jos todeäkösyysjakauma pste-todeäkösyys- ta theysfukto o ykshuppue, pätee seuraava: 1 < 0: 1 = 0: 1 > 0: Jakauma o egatvsest vo el vo vasemmalle, jollo jakauma vase hätä o ptemp ku okea hätä. Jakauma o symmetre. Huomautus: Normaaljakaumalle 1 = 0. Hupukkuus Tuuslukua 3 4 Jakauma o postvsest vo el vo okealle, jollo jakauma okea hätä o ptemp ku vase hätä. käytetää todeäkösyysjakaume hupukkuude mttaa. Jos todeäkösyysjakauma pstetodeäkösyys- ta theysfukto o ykshuppue, pätee seuraava: > 0: = 0: < 0: Huomautus: Normaaljakaumalle = 0. Kvatlt Olkoo satuasmuuttuja. Olkoo lsäks 0 < p < 1 Jos luku x p toteuttaa ehdot Pr( x p ) p Jakauma o hupukas (ormaaljakaumaa verrattua). Jakauma o yhtä hupukas ku ormaaljakauma. Jakauma o laakea (ormaaljakaumaa verrattua). Pr( x p ) 1 p saomme, että x p o satuasmuuttuja ja se jakauma kvatl kertalukua p. Kvatl x p toteuttaa epäyhtälöt Pr( < x p ) p Pr( x p ) Kvatlt vodaa määrätä myös sellaslle satuasmuuttujlle, jolla e ole mometteja. Kvatlt evät välttämättä ole ykskästtesä: () () Olkoo Dskreette satuasmuuttuje kvatlt ovat use mokästtesä. Jatkuve satuasmuuttuje kvatlt ovat ykskästtesä. F(x) = Pr( Ilkka Mell (010) 3/94

33 Todeäkösyyslaskea kertausta jatkuva satuasmuuttuja kertymäfukto. Tällö satuasmuuttuja kvatl x p toteuttaa yhtälö F(x p ) = p Kvatl x p jakaa satuasmuuttuja jakauma todeäkösyysmassa kahtee osaa, että massasta p100 % o kvatlsta x p vasemmalla ja (1 p)100 % o kvatlsta x p okealla. Kvatlt ja tlastollset taulukot Usemmssa todeäkösyyslaskea ja tlastotetee oppkrjossa o taulukotua keskeste tlastollsessa päättelyssä käytettäve jatkuve jakaume (so. ormaaljakauma, -jakauma, t-jakauma ja F-jakauma) kvatleja x p ja tä vastaava todeäkösyyksä p ja usemmssa tlastollsssa tetokoeohjelmssa o alohjelma, jotka laskevat tavallsmpe jatkuve jakaume kvatleja x p ja tä vastaava todeäkösyyksä p. Prosettpsteet Jos p o muotoa p = q/100, q = 1,,, 99 kvatla x p kutsutaa q. prosettpsteeks. Jatkuva satuasmuuttuja tapauksessa q. prosettpste jakaa jakauma todeäkösyysmassa kahtee osaa, että massasta q % o q. prosettpsteestä vasemmalla ja (100 q) % o q. prosettpsteestä okealla. Deslt Jos p o muotoa p = 10q/100, q = 1,,, 9 kvatla x p kutsutaa q. deslks. Jatkuva satuasmuuttuja tapauksessa q. desl jakaa jakauma todeäkösyysmassa kahtee osaa, että massasta 10q % o q. deslstä vasemmalla ja o q. deslstä okealla. (100 10q) Ilkka Mell (010) 33/94

34 Todeäkösyyslaskea kertausta Kvartlt Jos p o muotoa p = 5q/100, q = 1,, 3 kvatla x p kutsutaa q. kvartlks. Jatkuva satuasmuuttuja tapauksessa q. kvartl jakaa jakauma todeäkösyysmassa kahtee osaa, että massasta 5q % o q. kvartlsta vasemmalla ja o q. kvartlsta okealla. (100 5q) % Kvartleja merktää tavallsest symbolella Q 1, Q, Q 3 ja saotaa, että Q 1 = alakvartl Q = keskkvartl Q 3 = yläkvartl Jatkuva satuasmuuttuja tapauksessa kvartlt jakavat jakauma todeäkösyysmassa eljää yhtä suuree osaa: Medaa Jos 5 % massasta o kvartlsta Q 1 vasemmalle 5 % massasta o kvartle Q 1 ja Q välssä 5 % massasta o kvartle Q ja Q 3 välssä 5 % massasta o kvartlsta Q 3 okealle p = 0.5 kvatla x p kutsutaa medaaks. Medaaa merktää tavallsest symbollla Me. Jatkuva satuasmuuttuja tapauksessa medaa Me jakaa jakauma todeäkösyysmassa kahtee yhtä suuree osaa, että massasta 50 % o medaasta vasemmalla ja 50 % o medaasta okealla. Jakauma medaa e välttämättä ole ykskästtee. Jakauma medaa yhtyy jakauma 50. prosettpsteesee, 5. desl ja keskkvartl Q. Medaa vodaa määrätä myös sellaslle satuasmuuttujlle, jolla e ole odotusarvoa. Jos satuasmuuttuja jakauma o symmetre suora x = a suhtee, jakauma medaa yhtyy psteesee a: Me = Ilkka Mell (010) 34/94

35 Todeäkösyyslaskea kertausta Jos symmetrsellä jakaumalla o odotusarvo E() = µ, jakauma medaa yhtyy psteesee µ: Mood Me = µ Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka pstetodeäkösyysfukto o f(x) = Pr( = x) Pste Mo o dskreet satuasmuuttuja ja se jakauma mood, jos pstetodeäkösyysfukto f(x) saavuttaa maksmsa psteessä x = Mo: f ( Mo) max f ( x) x Olkoo jatkuva satuasmuuttuja, joka theysfukto o f(x) Pste Mo o jatkuva satuasmuuttuja ja se jakauma mood, jos theysfukto f(x) saavuttaa maksmsa psteessä x = Mo: f ( Mo) max f ( x) x Jakauma mood e välttämättä ole ykskästtee. Mood vodaa määrätä myös sellaslle satuasmuuttujlle, jolla e ole Ilkka Mell (010) 35/94

36 Todeäkösyyslaskea kertausta 11. Dskreettejä jakauma Dskreett tasae jakauma Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka mahdollset arvot ovat x 1, x,, x Oletetaa, että satuasmuuttuja mahdolls arvoh x 1, x,, x lttyvät todeäkösyydet ovat yhtä suura: 1 Pr( x ), 1,,, Tällö satuasmuuttuja oudattaa dskreettä tasasta jakaumaa, joka pstetodeäkösyysfukto o 1 f ( x ) Pr( x ) p, 1,,, Dskreet tasase jakauma tuusluvut Odotusarvo:. momett: Varass: 1 E( ) x x E( ) Stadardpokkeama: 1 x D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] x x 1 1 D( ) ( x x) 1 Beroull-jakauma Olkoo A otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Tällö tapahtuma A komplemetttapahtuma (tapahtuma A e satu) A c todeäkösyys o Pr(A c ) = 1 p = q Määrtellää dskreett satuasmuuttuja seuraavalla tavalla: 1, jos tapahtuma A sattuu 0, jos tapahtuma A e Ilkka Mell (010) 36/94

37 Todeäkösyyslaskea kertausta Tällö satuasmuuttuja jakauma o Pr( 1) p Pr( 0) 1 p q ja satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto o f x p q p q p x x 1x ( ), 0 1, 1, 0,1 Saomme, että satuasmuuttuja oudattaa Beroull-jakaumaa parametrlla p ja käytämme tästä merktää: Beroull( p) Beroull-kokede yhteys eräs dskreetteh todeäkösyysjakaum Tostetaa tosstaa rppumatta samaa Beroull-koetta ja tarkastellaa tapahtuma A sattumsta tostoje akaa. () () () (v) Bomjakauma saadaa määräämällä todeäkösyys slle, että tapahtuma A sattuu x kertaa, ku koetta tostetaa kertaa. Geometre jakauma saadaa määräämällä todeäkösyys slle, että tapahtuma A sattuu esmmäse kerra x. koetostossa. Negatve bomjakauma saadaa määräämällä todeäkösyys slle, että tapahtuma A sattuu r. kerra x. koetostossa. Posso-jakauma vodaa johtaa bomjakauma raja-arvoa, ku koetostoje lukumäärä aetaa tettyje ehtoje valltessa kasvaa rajatta. Ste Posso-jakauma kuvaa harvaste tapahtume todeäkösyyksä ptkssä tostokoesarjossa. Bomjakauma Olkoo A otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Tällö tapahtuma A komplemetttapahtuma (tapahtuma A e satu) A c todeäkösyys o Pr(A c ) = 1 p = q Tostetaa stä satuaskoetta, joka tulosvahtoehtoja otosavaruus S kuvaa, kertaa, jossa o kteä (e-satuae), ee koetostoje tekemstä päätetty luku. Oletetaa lsäks, että koetostot ovat tosstaa rppumattoma. Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka kuvaa tapahtuma A estymskertoje lukumäärää koetostoje joukossa. Tällö satuasmuuttuja oudattaa bomjakaumaa parametre ja p: B(, p) ja se pstetodeäkösyysfukto o x x f ( x) Pr( x) p q, 0 p 1, q 1 p, x 0,1,,, Ilkka Mell (010) 37/94

38 Todeäkösyyslaskea kertausta Bomjakauma tuusluvut Odotusarvo: E( ) p Varass: D ( ) Var( ) pq Stadardpokkeama: D( ) pq Bomjakaumaa oudattave satuasmuuttuje summa jakauma Olkoot 1,,, ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jotka oudattavat bomjakauma parametre ( 1, p), (, p),, ( k, p):,,, 1 k B(, p), 1,,, k Tällö dskreett satuasmuuttuja k 1 oudattaa bomjakaumaa parametre = k ja p: B(, p) Bomjakauma ja Beroull-jakauma yhteys Olkoot 1,,, ovat rppumattoma, samaa Beroull-jakaumaa Beroull(p) oudattava dskreettejä satuasmuuttuja:,,, 1 Beroull( p), 1,,, Tällö dskreett satuasmuuttuja 1 oudattaa bomjakaumaa parametre ja p: B(, p) Geometre jakauma Olkoo A otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Tällö tapahtuma A komplemetttapahtuma (tapahtuma A e satu) A c todeäkösyys o Pr(A c ) = 1 p = Ilkka Mell (010) 38/94

39 Todeäkösyyslaskea kertausta Tostetaa stä satuaskoetta, joka tulosvahtoehtoja otosavaruus S kuvaa kues tapahtuma A havataa 1. kerra. Oletetaa lsäks, että koetostot ovat tosstaa rppumattoma. Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetostoje lukumäärää, ku tapahtuma A havataa 1. kerra. Tällö satuasmuuttuja oudattaa geometrsta jakaumaa parametrlla p: Geom( p) ja se pstetodeäkösyysfukto o x1 f ( x) Pr( x) q p, 0 p 1, q 1 p, x 1,,3, Satuasmuuttuja kertymäfukto o jossa F( x) Pr( x) 1 (1 p) x x = suur kokoasluku, joka x Komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaava mukaa Pr( x) 1 Pr( x) 1 F( x) (1 p) x Geometrse jakauma tuusluvut Odotusarvo: Varass: Stadardpokkeama: 1 E( ) p D ( ) Var( ) q p D( ) q p Negatve bomjakauma Olkoo A otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Tällö tapahtuma A komplemetttapahtuma (tapahtuma A e satu) A c todeäkösyys o Pr(A c ) = 1 p = q Tostetaa stä satuaskoetta, joka tulosvahtoehtoja otosavaruus S kuvaa kues tapahtuma A havataa r. kerra. Oletetaa lsäks, että koetostot ovat tosstaa rppumattoma. Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetostoje lukumäärää, ku tapahtuma A havataa r. Ilkka Mell (010) 39/94

40 Todeäkösyyslaskea kertausta Tällö satuasmuuttuja oudattaa egatvsta bomjakaumaa parametre r ja p: NegB( r, p) ja se pstetodeäkösyysfukto o x 1 xr r f ( x) Pr( x) q p, 0 p 1, q 1 p r 1 r 1,,3, ; x r, r 1, r, Negatvse bomjakauma tuusluvut Odotusarvo: r E( ) p Varass: rq D ( ) Var( ) p Stadardpokkeama: rq D( ) p Geometre jakauma egatvse bomjakauma erkostapauksea Olkoo NegB( r, p) jossa r = 1 Tällö oudattaa geometrsta jakaumaa parametrlla p: Geom( p) Hypergeometre jakauma Olkoo perusjouko S alkode lukumäärä (S) = N Tarkastellaa perusjouko S ostusta joukkoo A ja se komplemett A c ja olkoo (A) = r (A c ) = N r Valtaa perusjoukosta S satuasest osajoukko B ja olkoo (B) Ilkka Mell (010) 40/94

41 Todeäkösyyslaskea kertausta Perusjouko S ostus joukoks A ja A c duso jouko B ostukse joukoks BA ja BA c. Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka kuvaa joukossa B oleve jouko A (el jouko BA) alkode lukumäärää. Tällö satuasmuuttuja oudattaa hypergeometrsta jakaumaa parametre N, r ja : HyperGeom( N, r, ) ja se pstetodeäkösyysfukto o r N r x x f ( x) Pr( x), max[0, ( N r)] x m(, r) N Hypergeometrse jakauma tuusluvut Odotusarvo: Varass: Stadardpokkeama: E( ) r N r r N N N N 1 D ( ) Var( ) 1 r r N D( ) 1 N N N 1 Hypergeometrse jakauma ja bomjakauma yhteys Hypergeometrsta jakaumaa vodaa approksmoda bomjakaumalla, jos otatasuhde jossa /N = (B) = otoskoko N = (S) = perusjouko koko o kyll pe. Nä o käytäössä, jos /N < 0.05 Huomaa, että jos perusjouko S koko N lähestyy ääretötä, otatasuhde kovergo ollaa kohde ja ste hypergeometre jakauma lähestyy bomjakaumaa. Otata takaspaolla ja lma takaspaoa Pomtaa perusjoukosta satuasest otos (osajoukko) arpomalla alkot perusjoukosta otoksee yks Ilkka Mell (010) 41/94

42 Todeäkösyyslaskea kertausta Otokse pomta vodaa toteuttaa joko takaspaolla ta lma takaspaoa: () () Otaassa takaspaolla el palauttae perusjouko alkot arvotaa otoksee yks kerrallaa, että alkot palautetaa välttömäst jokase arpomse jälkee takas perusjoukkoo, jollo sama alko vo tulla pomtuks otoksee useta kertoja. Otaassa lma takaspaoa el palauttamatta alkot arvotaa otoksee yks kerrallaa, että alkota e palauteta arpomse jälkee takas perusjoukkoo, jollo sama alko vo tulla pomtuks otoksee va kerra. Olkoo perusjouko S koko N = (S) Tarkastellaa perusjouko S osajoukkoa A, joka koko o r = (A) Pomtaa perusjoukosta S satuasest osajoukko B, joka koko o = (B) Määrtellää dskreett satuasmuuttuja = A-tyyppste alkode lukumäärä otoksessa B Jos otos pomtaa perusjoukosta palauttae el takaspaolla, satuasmuuttuja oudattaa bomjakaumaa parametre ja p: B(, p) Jos otos pomtaa perusjoukosta palauttamatta el lma takaspaoa, satuasmuuttuja oudattaa hypergeometrsta jakaumaa parametre N, r ja : HyperGeom( N, r, ) Posso-jakauma Tostetaa samaa satuaskoetta ja oletetaa, että tostot ovat tosstaa rppumattoma. Tarkastellaa jok tapahtuma A sattumsta tostoje akaa. Oletetaa, että tapahtuma A tapahtumatesteett el keskmääräe lukumäärä aka- (ta tlavuus-) ykskköä kohde o. Määrtellää dskreett satuasmuuttuja : = Tapahtuma A estymste lukumäärä aka- (ta tlavuus-) ykskköä kohde Tety oletuks satuasmuuttuja oudattaa Posso-jakaumaa parametrlla s: jossa Posso(s) s = ajajakso ptuus akaykskössä = tapahtuma A estymste keskmääräe lukumäärä aka- (ta tlavuus-) ykskköä kohde ja se pstetodeäkösyysfukto Ilkka Mell (010) 4/94

43 Todeäkösyyslaskea kertausta s x e ( s) f ( x) Pr( x), x 0,1,, x! Posso-jakauma tuusluvut Odotusarvo: E( ) Varass: s D ( ) Var( ) s Stadardpokkeama: D( ) s Posso-jakaumaa oudattave satuasmuuttuje summa jakauma Olkoot 1,,, ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jotka oudattavat Posso-jakauma parametre 1,,, k :,,, 1 k Posso( ), 1,,, k Tällö dskreett satuasmuuttuja k 1 oudattaa Posso-jakaumaa parametrlla = k : Posso( ) Posso-jakauma ja bomjakauma yhteys Olkoo Aetaa ja ste, että p 0 p = B(, p) Tällö satuasmuuttuja jakauma lähestyy Posso-jakaumaa parametrlla : lm f ( x) f ( x), x 0,1,, p 0 p B(, p) Posso( Ilkka Mell (010) 43/94

44 Todeäkösyyslaskea kertausta Posso-jakauma ja ekspoettjakauma yhteys Olkoo Oletetaa, että ja olkoo = tapahtume lukumäärä akaykskköä kohde Posso() Y = odotusaka 1. tapahtumalle (ta tapahtume välaka) Tällö Y o jatkuva satuasmuuttuja, joka oudattaa ekspoettjakaumaa parametrlla : jollo Y Exp() E(Y) = 1/ Vodaa osottaa, että jakaume väle yhteys tom molemp suut: ts. jos satuasmuuttuja = odotusaka 1. tapahtumalle (ta tapahtume välaka) oudattaa ekspoettjakaumaa parametrlla : satuasmuuttuja Exp() Z = tapahtume lukumäärä akaykskköä kohde oudattaa Posso-jakaumaa parametrlla : Z Ilkka Mell (010) 44/94

45 Todeäkösyyslaskea kertausta 1. Jatkuva jakauma Jatkuva tasae jakauma Olkoo jatkuva satuasmuuttuja theysfukto 0, x a 1 f ( x), a x b b a 0, x a Tällö satuasmuuttuja oudattaa jatkuvaa tasasta jakaumaa parametre a ja b. Merktää: Uform( a, b) Jatkuva tasase jakauma tuusluvut Odotusarvo: a b E( ) Varass ja stadardpokkeama: ( b a) D ( ) Var( ) 1 b a D( ) 3 Jatkuva tasase jakauma kertymäfukto Jatkuva tasase jakauma kertymäfukto o 0, x a x a F( x) Pr( x), a x b b a 1, x b Ekspoettjakauma Olkoo jatkuva satuasmuuttuja theysfukto f(x) = exp( x), > 0, x 0 Tällö satuasmuuttuja oudattaa ekspoettjakaumaa parametrlla. Merktää: Exp( Ilkka Mell (010) 45/94

46 Todeäkösyyslaskea kertausta Ekspoettjakauma tuusluvut Odotusarvo: E( ) 1 Varass ja stadardpokkeama: D ( ) Var( ) 1 D( ) 1 Ekspoettjakauma kertymäfukto Ekspoettjakauma kertymäfuktoks saadaa Ste x F( x) f ( t) dt exp( t) dt x 0 0 exp( t) 1 exp( x), 0, x 0 Pr( > x) = 1 P( x) = 1 F(x) = exp( x) jossa F(x) o ekspoettjakauma kertymäfukto. Ekspoettjakauma ja Posso-jakauma yhteys Olkoo Oletetaa, että ja olkoo = odotusaka 1. tapahtumalle (ta tapahtume välaka) Exp() Z = tapahtume lukumäärä akaykskköä kohde Tällö Z o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa Posso-jakaumaa parametrlla : jollo Z Posso() E(Z) = Vodaa osottaa, että jakaume väle yhteys tom molemp suut: ts. jos satuasmuuttuja Z = tapahtume lukumäärä akaykskköä kohde oudattaa Posso-jakaumaa parametrlla : satuasmuuttuja Z Posso() x Ilkka Mell (010) 46/94

47 Todeäkösyyslaskea kertausta = odotusaka 1. tapahtumalle (ta tapahtume välaka) oudattaa ekspoettjakaumaa parametrlla : Exp() Normaaljakauma Olkoo jatkuva satuasmuuttuja theysfukto 1 1 x f ( x) exp,, 0, x Tällö satuasmuuttuja oudattaa ormaaljakaumaa parametre ja. Merktää: N(, ) Normaaljakauma theysfukto omasuuksa () () Normaaljakauma theysfukto f(x) o kakkalla postve: f(x) > 0, < x < + Theysfukto o ykshuppue. () Theysfukto saa maksmarvosa psteessä. (v) Theysfukto o symmetre pstee x = suhtee: f( x) = f( + x), < x < + Normaaljakauma tuusluvut Odotusarvo: E( ) Varass ja stadardpokkeama: D ( ) Var( ) D( ) Stadardotu ormaaljakauma Jos N(0,1) saomme, että satuasmuuttuja oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa. Stadardot Jos N(, Ilkka Mell (010) 47/94

48 Todeäkösyyslaskea kertausta Z N(0,1) Normaaljakauma ja stadardotu ormaaljakauma Olkoo Tällö ja Z N(, ) N(0,1) a b a b Pr( a b) Pr Pr Z Ste ormaaljakaumaa N(, ) lttyvät todeäkösyydet vodaa määrätä stadardodu ormaaljakauma N(0,1) avulla. Esmerkk: Rppumattome ormaaljakaumaa oudattave satuasmuuttuje summa jakauma Käytämme tehtävä ratkasemsessa stadardodu ormaaljakauma N(0, 1) taulukota. Kursslla jaetussa taulukossa o taulukotua stadardodu ormaaljakauma N(0,1) kertymäfukto arvoja F(x) = Pr( x) ku x saa arvoja suljetulta välltä [ 3.59, +3.59] 0.01: väle: x = 3.59(0.01)+3.59 Stadardodu ormaaljakauma N(0,1) taulukosta saadaa: Aluee A pta-ala Pr(1.5 3) Pr 1 / 1 / 1 / Pr( 1 Z ) Z N(0,1) Pr( Z ) Pr( Z 1) Ilkka Mell (010) 48/94