Rak RAKENTEIDEN MEKANIIKAN PERUSTEET Luentomoniste

Transkriptio

1 Rk-5. RKENTEIDEN EKNIIKN ERUSTEET unomonis Jukk lo ( ) ( ) 6 q EI 6 q EI EI qd d d q ds dq ( q ds) d ds ds q

2 . STTTISESTI ÄÄRÄTTYJEN R- KENTEIDEN STTIIKK Tässä luvuss pln sissi määräjn rknidn siikn käsiln. Ensimmäinn koskus ihsn siin, kun Siikn kurssiss käsiliin risikkoj j suvojn likkusrsiusn määriämisä. Rknidn lujuusopin kurssin osn II luvuiss, j ihn käsilä jkiin j n jkn vilä jonkin vrrn npäin. Kosk siävä on suor jko Rknidn lujuusopin miniuill luvuill, knn n ässä vihss kädä läpi kruksn vuoksi.. Sisn määräämäömdn krluku. Sissi määrä j sissi määräämäön rknn Rknn (i sn os) on sissi määrä, jos siihn vikuv unmom voimsuur voidn rkis ksikäsiissi kään spinohälöiä. Jos näin i ol, rknn on sissi määräämäön. Rknn on ulkoissi sissi määrä, jos sn ukivoim voidn määriää spinohälöiä kään. uuss puksss s on ulkoissi sissi määräämäön.. Sisn määräämäömdn krluku Trkslln rknn (i sn os), j hlun määriää siihn vikuv voimsuur. Jos rkns piirrään vpkpplkuvio, os siihn vikuvis ulkoisis voimsuuris on unmomi. rkiään näidn lukumäärää smbolill n un. Siikn prusll rknll voidn muodos i määrä riippumomi spinohälöiä. rkiään näidn lukumäärää smbolill n h. Jos unmom voimsuur voidn määriää plkäsään spinohälöidn vull (li siikn kinoin), snon, ä rknn on sissi määrä. roblm muodosuu siis n h hälösä, joiss on n un unmon. Jos hälöiä on hä pljon kuin unmomi li n n, hälörhmällä on ksikäsiinn rkisu. h un Yhälörhmän piää lisäksi oll rkisviss, li sn krroinmriisin ul oll i-singulrinn. Tämä ho ouuu, jos spinohälö ov riippumomi. Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno Rknn (i sn osn) sisn määräämäömdn krluku määrillään kvll n n n (.) s un h Sissi määrässä rknss siis nun nh li sisn määräämäömdn krluku ns. Jos ns on rknn sissi määräämäön. Tällöin n s ilmis niidn unmomin voimsuuridn lukumäärän, joi i siikn kinoin kä määriämään. Näidn määriämisksi rvin lisähälöiä, joidn muodosmis käsillään sissi määräämäömin rknidn rkismisn hdssä. Jos ns rknn muodos mknismin.. Risikon sisn määräämäömdn krluku () Kuv.: Tsorisikko: () u (b) ukirkio Trkslln sorisikko (kuv.). Tunmomin ov suvvoim j ukivoim jon n un s, missä s on suvojn lukumäärä j on unn liivin siirmärjoiidn (ns. ksirvoisn ukin) lukumäärä. Tsorisikoss kukin nivlä kohi voidn kirjoi kksi spinohälöä, jon n h k, missä k on nivln lukumäärä. Tsorisikon sisn määräämäömdn krluku on sin n s k (.) s (b) (Kuvn. puksss sdn ns 5 6 ). Jos ns, risikko on vllissi sissi määrä, jos ns, risikko on sissi määräämäön j jos ns, risikko muodos mknismin. Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

3 vruusrisikoll voidn suori vsvnlinn rkslu. vruusrisikoss kukin nivlä kohi voidn kirjoi kolm spinohälöä, jon hälöidn lukumäärä on n k. usk (.) vs n lusk n s k, (.) s joss rmin k pikll on rmi k.. lkin, khän i krn sisn määräämäömdn krluku Rknn, joss i ol suljuj rnki Trkslmm nsin plkki, sokhää, sokr i niidn hdislmää, joss i ol suljuj rnki. Kuv. siää ällis rknn, jonk os on lii oisiins monoliiissi li liikkumomin liioksin. () Kuvn. mukissi rknn pisn vk- j pssiirmä skä kirmä on s, pisn pssiirmä on s j pisn vk j pssiirmä on s. Näisä unnois muodosuu rknn ksirvois u (rjoi) j niidn lukumäärä on 6. Näiä unoj vsvsi rknn vpkpplkuvioss (kuv.b) rknsn kohdisuu nun 6 unmon ukirkio (5 voim j ksi momni). Kosk sorknll voidn kirjoi riippumon spinohälöä, nh. Näin rknn sisn määräämäömdn krluvull sdn kv n n n s un h (j riissi kuvn. puksss ulos ns 6 ). () D 6 6 (b) (b) n n un kok h 6 n n un h 6 (c) D n vs h Kuv.: () Tsorknn, jonk os liivä oisiins monoliiissi j (b) sn vpkpplkuvi. D Kuv.: () Tsorknn, joss on nivl, (b) sn vpkpplkuvio skä (c) nivln vsmmn puolisn osn vpkpplkuvio. Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

4 Trkslln survksi kuvn. sorknn, jok muodosuu khds monoliiiss oss, joidn välillä on nivl. Tsorknn nivl mhdollis kirmisn siihn liivin rknn osin välillä. Nivl on sin liios, joll on ksi vpuss, kirmä. Rknmm liiosn vpussidn lukumäärä on sin c. Koko rknn vpkpplkuvioss (kuv.b) on sm kuusi unmon ukivoim, jon n un 6 j sill voidn muodos n spinohälöä. Näidn hälöidn lisäksi rknll voidn kok h muodos ksi lisäspinohälö survsi. jlln rknn osin välinn nivl poisuksi, j rkslln vsmmn puolisn osn vpkpplkuvio (kuv.c). Kirjoimll ämän osn momnispinohälö nivlpisn D suhn, sdn lkupräisn unmomin ukirkioidn välill uusi riippumon spinohälö. kok vs Näin kuvn. rknll siin nh nh nh riippumon spinohälöä. Jos rknss on usmpi liioksi, sdn kukin liios kohi vsvsi ksi uusi riippumon spinohälö. Näin, jos rknn liiosn vpussidn lukumäärä on c, sill voidn kirjoi n h c riippumon spinohälöä. Näin rknn sisn määräämäömdn krluvull sdn kv nivl. Khdn rknn osn välisn nivln vpussidn lukumäärä c, kosk nivl sllii rknn osin välisn kirmän. Kolmn rknn osn välisn nivln vpussidn lukumäärä c, jn. Kuv. hvinnollis si, kun suvoj on nljä j c. uunlisikin liioksi siin. () (b) Kuv.: Nivl khärknn nurkss: () nljään suvn liivä nivl, jonk c, (b) vsv ksivpussis nivl Kuvss.5 on kolm liios. Kuvn () liios on khdn suvn välinn nivl, jon c, kuvn (b) liios on kolmn suvn välinn nivl, jon c j kuvn (c) liios sllii khdn suvn välisn vksiirvän j kirmän, jon c. () (b) (c) n n n c s un h (j riissi kuvn. puksss ulos ns 6 ). Tämän johdlvn rkslun prusll päädmm johopääöksn, ä plkin, sokhän, sokrn i niidn hdislmän, joss i ol suljuj rnki, sisn määräämäömdn krluku voidn määriää kvll c c Kuv.5: iioksi. Rknn, joss on suljuj rnki c ns c, (.) missä on rknn ksirvoisn ukin (rjoiidn) lukumäärä j c on sn liiosn vpussidn lukumäärä. Survss rkslln joikin pillisiä liioksi j niidn vpussi. iioksn vpussidn lukumäärä iioksn vpussidn lukumäärällä c mmärrään sn sllimin liikmhdollisuuksin lukumäärä. Ylisin suvrknidn liios on Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 5 Jos rknss on suljuj rnki, unmomin lukumäärä ksv. Tvoin nä on, ä rknn kikki voimsuur (mös likkusrsiuks) voidn määriää spinorksluill. Trkslln kuvn.6 mukis monoliiis sokhää, joss on sulju rngs. Yksirvoisn ukin lukumäärä uill j on 5, joi vsv kuvn.6b unmom ukirkio. Vikk jälkimmäis unnisiin, likkusrsiuksi suljun rnkn suvoiss i käisi määriämään. jlln rknn sulju rngs likuksi pissä kuvn (c) mukissi, jolloin hävään ul Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 6

5 lisäunmon, likkusrsiuks N, Q j. Jos ukirkioidn lisäksi nämä unnisiin, voiisiin rknn kikki voimsuur määriää. Thävässä on sin n un määriävää unmon j käävissä on nh spinohälöä. Vsvsi, jos rknss on usmpi suljuj rnki, sn unmomin lukumäärä ksv rvoll r, missä r on suljujn rnkidn lukumäärä, jolloin hävän unmomin lukumäärä on nun r. Näin monoliiisn rknn, joss on r sulju rngs, sisn määräämäömdn krluku on Jos rknss on lisäksi liioksi niidn vikuus on smnlinn kuin dllä. Tämän johdlvn rkslun prusll päädmm uloksn, ä plkin, sokhän, sokrn i niidn hdislmän, joss on suljuj rnki, sisn määräämäömdn krluku voidn määriää kvll n rc, (.5) s n nun nh r. s () (b) missä on rknn ksirvoisn ukin (rjoiidn) lukumäärä, r on suljujn rnkidn lukumäärä j c on sn liiosn vpussidn lukumäärä. Vsvn vruusrknn sisn määräämäömdn krluvun kv on n 6rc 6, (.6) s Tämä kv ro kvs (.5) vin sin, ä luvu on korvu luvuill 6. Tämä johuu siiä, ä kolmidimnsioisss puksss on käävissä kuusi riippumon spinohälöä j ä jokisss kkisuss on 6 jännisrsulni. (c) Q N Q Kolmidimnsioisn suvrknidn lisimmä liioks ov srnj pllonivl. Srnnivl mhdollis kirmisn in kslin mpäri j sn vpussidn lukumäärä on. llonivl mhdollis kirmisn kolmn kslin mpäri j sn vpussidn lukumäärä on. Kuv.6: () Tsokhä, joss on sulju rngs, (b) sn vpkpplkuvio j (b) sn khdn osn vpkpplkuvio. Khän ulkois kuormius i ol mrki kuvn. Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 7 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 8

6 Esimrkki.: ääriään ohisn sorisikon sisn määräämäömdn krluku. (Risävä digonlisuv pääsvä vpsi liukumn oisns suhn.) Esimrkki.: ääriään ohisn sokhän sisn määräämäömdn krluku. Sdn: s 5, k 8,, n sk 58 s Esimrkki.: ääriään ohisn sokhän sisn määräämäömdn krluku. Sdn: 6, r, c, n rc6. s Esimrkki.: ääriään ohisn vruuskhän sisn määräämäömdn krluku. llonivl Jäkkä kiinnis Sdn: 6, c, n c6. s Sdn: 5, r, c, n 6rc s Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 9 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

7 . Klvn i pssuorn sosuvn likkusrsiuks lkuos Q N N Q oppuos Kuv.7: Klvn suorn suvn likkusrsiusn posiiivis suunn Klvn i pssuorn suvn likkusrsiusn posiiivis suunn on si kuvss.7. N voidn ilmis snllissi survsi: Esimrkki.5: ääriään ohisn sokhän rsiuskuvio. Rkisu: m kn 5m Sisn määräämäömdn krluku: ns c Sissi määrä m kn/m D m Normlivoim N on suvn kslin suuninn j sn posiiivinn suun on rkslvs suvn oss ulospäin. ikkusvoim Q on suvn ksli vsn kohisuor j sn posiiivinn suun on suvn lkuosss kohi posiiivis run j suvn loppuosss kohi ngiivis run. osiiivinn ivuusmomni prkii vnämään plkin posiiivis run, s. momninuoln hänä on posiiivisll puolll. Tukirkio: VKK: m kn 9,5m kn (5kN) 8m kn 5m D,5m D m kn kn D m kn 9,5m kn m kn m D,95kN D m kn 8m kn m kn,5m,5kn Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

8 Väli : Väli : VKK X X Q kn sin (kn) kn cos,5kn cos,5kn sin (, 5kN) N cos 5 sin 5 5 VKK X m kn, 5kN m kn X Q N X N kn cos,5kn sin N kn, 5kN 5, 6kN 5 5 Q kn sin,5kn cos Q kn, 5kN, 77kN 5 5 kn sin, 5kN cos ( kn, 5kN ), 77kN 5 5 N kn N kn Q,5kN kn Q,5kN X,5kN (m ) kn m+kn,85knm,5kn Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

9 Väli D: Rsiuskuvio: VKK XD kn/m (5m ) N Q X kn/m 5m 5m D,95kN cos,95kn sin (,95kN) N-kuvio: 5,6kN kn,6kn D N,95kN sin N,95kN,6kN 5 QkN/m (5m ),95kN cos Q5kN kn/m,95kn, kn kn/m 5 Q-kuvio:, 77kN, 5kN, kn D, 77kN 5m X,95kN cos (5m ) kn/m (5m ),65kNm,kN,5kN/m -kuvio:,85knm,65knm,knm D Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 5 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 6

10 Esimrkki.6: ääriään ohisn kolminivlkhän rsiuskuvio. D E G G VKK EG: G 8 G E E E Huomuus: Kolminivlkhäksi kusun khdll siirmäömällä nivlull uu khää, joss on ksi nivl. S on riäin käöklpoinn sissi määrä rknn. Rkisu: Sisn määräämäömdn krluku: E G G G G G G G ns c Sissi määrä Tukirkio: Huomuus: Sissi määrän rknn, joss on nivl, ukirkio voidn määriää (simrkiksi) muodosmll koko rknn spinohälö skä nivln kohdl kkisun rknn jommn kummn osn momnispinohälö nivlpisn suhn. VKK: D E G G G Sdn vilä: G, G. 8 Ohisn kuvn on piirr koko rknn vpkpplkuvio, jonk ukirkio n unnn. S rkoius on hlpo likkusrsiusn määriämisä vrn rvivin rknn osin vpkpplkuvioidn piirämisä. VKK: D 5 E 5 5 G G G Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 7 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 8

11 ikkusrsiuks: ääriään ässä likkusrsiuks kään hödksi Rknidn lujuusopin osn II luvun lus. Kosk välillä,,...,g i viku jkuunu kuorm, ov normlivoim j likkusvoim niillä vkioi j ivuusmomni jkuuu linrissi. Normlivoim j likkusvoim: Väli : 5 Väli : N Q 5 5 cos sin Q N N sin cos 5 N sin cos, 5 Q cos sin 5 Q cos sin,7 cos 5 N sin cos sin N, 5 Q cos sin cos Q,, sin Väli D: Väli DE: D Q N Väli E: Väli G: N 5 5 Q 5 5 Q 5 G Q 5 N 5 N sin cos sin N,8 5 Q cos sin cos Q,8 N 5 N sin cos sin N,5 5 Q cos sin cos Q, N cos sin N, Q sin cos Q, N cos sin N, Q sin cos Q,9 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 9 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

12 Tivuusmomni: is E: is : 5 is : E 5 5 G E 5 5 is : 5 is : G is G: G 5 5 G is D: D 8 5 D Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

13 Rsiuskuvio: N-kuvio:,, 5,8, E D, 98,86 G Q-kuvio:,76 D E,8,,7,66,9 -kuvio:,58 D, 6 E,8,8 G Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

14 . Krv sosuv Krvn sosuvn ksli on soss olv kri. Siihn voidn liiää piuuskoordini s, jok h suvn ksliin. Kulm on vkson j s-kslin välinn kulm, rkslvn likkuksn kohdll. lkuos Q oppuos Q N s Esimrkki.7: Kuvn mprän nljännksn muoois kr kuormi vkson piuusksikköä kohi sn jkuunu kuorm q. ääriä krn likkusrsiuks kulmn funkion. q Rkisu: Kuv.8: Krvn sosuvn likkusrsiusn posiiivis suunn Krvn sosuvn likkusrsiusn posiiivis suunn on si kuvss.8. N voidn ilmis snllissi survsi: Normlivoim N on suvn kslin kkisukohn sun ngnin suuninn j sn posiiivinn suun on rkslvs suvn oss ulospäin. ikkusvoim Q on suvn kslin kkisukohn sun normlin suuninn j sn posiiivinn suun on suvn lkuosss kohi posiiivis run j suvn loppuosss kohi ngiivis run. Sisn määräämäömdn krluku: ns c Sissi määrä Tukirkio: VKK q osiiivinn ivuusmomni prkii vnämään plkin posiiivis run, s. momninuoln hänä on posiiivisll puolll. Krvn sosuvn normlivoimn j likkusvoimn määriäminn on mukvin suori muodosmll suvn kslin rkslvn likkuksn kohdll olvn ngnin suuninn j siä vsn kohisuor spinohälö. Edllissä hälösä sdn suorn rkisuksi normlivoim j jälkimmäissä likkusvoim. q q q q, q Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 5

15 Normlivoim j likkusvoim: q VKK X: cos q qsin X q sin N qsin Q qsin cos Normlivoimkuvio:,5 N q [] 9 q q N cos qsin N (cos sin ) q q Q sin qsincos Q sin ( cos ) Tivuusmomni: VKK X: ( cos ) q qsin Q sin X N ikkusvoimkuvio:,5 Q q Tivuusmomnikuvio:, q 9 [] [] 9 sin q X qsin ( cos ) q ( cos sin ) Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 6 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 7

16 Esimrkki.8: Ohis kolminivlkr kuormi piskuorm j vkson piuu kohi lsku sinn kuorm q /. Kri on prblin muooinn j sn hälö on ( ),5,5. ääriä krn rsiuskuvio.,5,5 q / VKK D: D D D D Huomuus: Kolminivlkrksi kusun khdll siirmäömällä nivlull uu kr, joss on ksi nivl. S on riäin linn j käöklpoinn sissi määrä krirknn. D,5 Rkisu: Sisn määräämäömdn krluku: ns c Sissi määrä Tukirkio: Ohisn kuvn on piirr koko rknn vpkpplkuvio, jonk ukirkio n unnn. S rkoius on hlpo likkusrsiusn määriämisä vrn rvivin rknn osin vpkpplkuvioidn piirämisä. VKK: q / VKK: D,5 ( ) D,5 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 8 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 9

17 ikkusrsiuks: Väli jkuu Gomri: Tivuusmomni: ( ),5,5, n ( ),5 n sin, cos n n n n X Väli : (, krn lkuosn vull) Normlivoim j likkusvoim:,5 sin sin cos,5 sin,5 Q cos,5 cos X N X,5,5,5 (,5,5 ),5,5( ) N sin cos,5sin N sin cos,5sin [cos (,5 )sin ] Q cos sin,5cos Q cos sin,5cos [ sin (,5 ) cos ] Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

18 Väli : Väli jkuu ( ; krn loppuosn vull) Tivuusmomni: Normlivoim j likkusvoim: Q D N X ( )cos ( )sin,5 cos ( ),5 sin,5 sin cos X D ( ),5 N ( )sin cos,5sin N [cos (,5 )sin ] Q( )cos sin,5cos Q[ sin (,5 )cos ] X ( ),5 ( ) ( ),5 ( ),5,5 (,5,5 ) (,5,5 ) sklm: / n sin cos N/ Q/ /( ),5,8,555 -,,8,5,77,77 -,5,7,75,5,7,89 -,9,,5,7,89 -,56 -,,5 - -,75 -,5 -,7,89 -,6 -,5, ,77 -,8 -,5 -,5 -,8,555 -,9,8 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

19 D N-kuvio:,,5,9, 56,9, 6,8,5 D N Q-kuvio:,, 5, 8 D, 8,7 Q, -kuvio: D,75,75 Vihohoinn p määriää normlivoim j likkusvoim: Klvin, suorin suvojn skä krvin suvojn hdssä normlivoim N j likkusvoim Q voidn määriää mös sin, ä niidn sijs määriään nsin ns. horisonlirsius H j ns. vriklirsius V (kuv.9), jok ov jännisrsulnivoimn vk- j pssuor komponni. s Kuv.9: Horisonlirsius j vriklirsius. Kun nämä sin unnn voidn normlivoim N j likkusvoim Q, jok ov jännisrsulnivoimn ksili- j poikiiskomponni, määriää kvoill N Hcos Vsin, Q Hsin Vcos. V N Q H (.) Kvoj (.) käässä on ärkää piää milssä, ä kulm on kuvn.9 mukissi määril vksuunnn (vsmml oikll) j suvn kslin suunnn s välisksi kulmksi, jonk posiiivinn suun on vspäivään. Huomuus : Horisonlirsiuksn H j vriklirsiuksn V määriäminn phuu pljoli smn pn kuin vksuorn suvn normlivoimn j likkusvoimn määriäminn. Huomuus : Jos kr kuormi plkäsään pssuor kuormius, on horisonlirsius H vkio. Huomuus : Suuri H j V voiisiin kusu plkäsään horisonlivoimksi j vriklivoimksi. Tässä on kuinkin kä rmjä horisonlirsius j vriklirsius muisumn siiä, ä ksms on likkusrsiuksis. Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 5

20 Esimrkki.9: ääriään simrkin.8 horisonli- j vriklirsiusn luskk j niidn vull normli- j likkusvoimn luskk. Väli : (, krn lkuosn vull) Horisonli- j vriklirsius: Väli : ( ; krn loppuosn vull) Horisonli- j vriklirsius: H V X D X V H ( ),5,5 H H V,5 ( ) V (,5 ) H H V,5 V (,5 ) Normli- j likkusvoim: N Hcos Vsin [cos (,5 )sin ] Q Hsin Vcos [ sin (,5 )cos ] Normli- j likkusvoim: N Hcos Vsin [cos (,5 )sin ] Q Hsin Vcos [ sin (,5 )cos ] Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 6 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 7

21 . urisusviiv nnu kuormius vsvll purisusviivll mmärrään sllisn suvn ksli, johon nnu kuormius snnää plkän (purisvn) normlivoimn. urisusviiv on jo hvin kun ollu riäin ärkä suunnilun punuvo. Siä käiin vo ksämäömin rknidn kun muurujn holvin j krin konsruoimisn. Edullinn muoo krll (i holvill), jonk om pino suhss sn muihin kuormiuksiin on vrrin suuri, siin konsruoimll ko. rknll purisusviiv. Ylisssä puksss purisusviivn muooisn krn konsruoiminn on iriivinn prosssi: luksi oksun krn gomri (krn kslin muoo j poikkilikkuksn vihlu), jonk prusll sdn omn pinon j psvän kuormn jkuum. ääriään ko. kuormius vsv purisusviiv. Sn prusll sdn krll uusi muoo j mös poikkilikkus voidn jouu muumn. ääriään uusi kuormn jkuum, jn. Kun purisusviiv j krn gomri on su vlmiiksi, joudun krn oimin vrmismn muuuvill kuormill. urisusviivn ul kikiss kuormiuspuksiss, krn kusskin poikkilikkuksss psä ns. sdänkuvion sisäpuolll. oikkilikkuksn sdänkuvio rkslln möhmmin ässä kurssiss. urisusviivn määriäminn Ennn lskinn j iokonidn ik purisusviiv määriiin grfissi ns. kösimonikulmioll, jo käiin mös kösin nlsissä. Tässä siksssä i kösimonikulmio rksll, vn purisusviiv priään määriämään nlissi. Esiävä mnl prusuu siihn, ä purisusviivn muooisn suvn ivuusmomni on jokisss suvn pisssä noll. Rjoiun rknisiin, joi rsi pssuor kuormius. Om pino j usin mös psvä kuorm ov ällisi. Eräänlisn prushävänä purisusviivn määriämisssä voidn piää kuvn. kr, jok on uu liikkuvill nivluill pisisä j j johon viku purisv vkvoim. Käään krn (purisusviivn) korkussmll vliuun vksoon (-ksli) nähdn mrkinää (). isidn j ku kulkvn purisusviivn korkussm () sdn kirjoimll pisn X vsmmn i oikn puolisn rknn osn momnispinohälö pisn X suhn j rkismll () sdus hälösä. Kuv.: isidn j ku kulkv purisusviiv. Tvllissi problmn on määriää purisusviiv, jok kulk kolmn pisn ku. Kuvss. rkslln pisidn, j ku kulkvn purisusviivn määriämisä. Ensin määriään pisidn j ku kulkvn purisusviivn pisn korkussm ( ) piän vkvoim unmomn prmrin. isidn, j ku kulkv purisusviiv vsv :n rvo sdn sin hdos ( ). ( ) q ( ) q ( ) : (, ) Kuv.: isidn, j ku kulkv purisusviiv. Huomuus: urisusviivn korkussmll on ässä kä mrkinää (), jonk posiiivinn suun on löspäin j vsv globli,- ( ) urisusviiv urisusviiv? Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 8 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 9

22 koordiniso on siis oikkäinn. Tsosuvoill kä pikllinn,-koordiniso s oli (,-soss rkslun) vsnkäinn j vksuorn suvn -koordini oli lspäin. Ksmksssä ov siis ri koordiniso. urisusviivn muooisn suvn normlivoim urisusviivn muooisn suvn normlivoimll (purisusviiv vsvs kuormiukss) sdn kuvn. prusll kv N H -V s Esimrkki.: ääriään purisusviiv rknll, jo kuormi ohinn sinn kuorm j piskuorm j jok kulk pisidn, j ku. ääriään mös normlivoimn jkuum purisusviivll. q / : (, ) Kuv.: lkän normlivoimn rsim poikkilikkus. : (,) : (8, ) H N, (.) cos missä H on suvn horisonlirsius. Kuvn. VKK:n vksuors spinohdos sur horisonlirsiuksll hlposi ulos H j kuvn.b prusll nähdään, ä cos / ( ) sdn purisusviivn muooisn suvn normlivoimll ulos. Sijoimll nämä uloks kvn (.) Rkisu: q / D N ( ). (.5) () q ( ) (b) urisusviiv? V H ( ) n ( ) Kuv.: urisusviiv vsvn normlivoimn määriäminn. Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

23 Tukirkio: Vkvoimn rvo: 8 D ( ) 7 urisusviivn määris: Tukirkioill sdn n isn korkussm: Väli : X N 8 N ( ) omnispinohälö pisn X suhn: X omnispinohälö pisn suhn: 7 ( ) ( ) 8 ( ) 8 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

24 Väli D: X N Tulos: q / omnispinohälö pisn X suhn: 7 D urisusviiv X ( ) 7 7 Normlivoim: Väli : Väli D: D X 5 7 ( ) 5 7 N( ) ( ) ( ) N 6 Väli D: ( ) 7 7 N( ) ( ) ( ),6 Väli D: omnispinohälö pisn X suhn: X 8 ( ) ( 6 ) ( ) 7 N( ) ( ) ( ), Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 5

25 N-kuvio: 7,8,, 6, N( ) Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 6

26 .5 Väänn rkn on käännön rkn voidn riiävällä rkkuudll nlsoid kään dllä käsilä sosuvrknn mlli, joss likkusrsiuks oliv N, Q j. Omll näidn lisäksi käöön nljäs likkusrsius, väänömomni, voimm sisällää rkslumm piiriin ksli j sllis vksoss olv suvrkn, joi kuormi pssuuninn kuormius. Vksoss olv khärknn, jo kuormi pssuuninn kuormius, kusun usin rinksi. Trkslmm mös vksoss krv plkki. Rjoiumm luonnollissi ässäkin sissi määräihin puksiin..5 Väänömomni Survss rkslln vin väänömomnin määriämisä. uidn likkusrsiusn määriäminn onkin jo uu. Väänömomnin posiiivinn suun on kuvn. mukinn. omnin kirosuun määrä oikn kädn ruuvisäännön mukn. Väänömomnill käään ässä lnsä kksoisnuolimrkinää..5 Väänömomnin määriäminn Kun ukirkio on määri rkslln rknn, jo kuormi spinoss olv voimssmi. Rknn in suvn pisssä X vikuv väänömomni sdn jlmll rknn likuksi pisn X kohdl khn osn j määriämällä jommn kummn osn momnispinohälö suvn kslin suhn..5 Väännn suv-lkion spinohälö Trkslln kuvn.6 suor suv, jo kuormi jkuunu väänävä ulkoinn momni m. ( ) m ( ) lkuos oppuos d Kuv.: Väänömomnin posiiivinn suun. Hvin, ä Väänömomninuoli on suvn kslin suuninn j sn posiiivinn suun on rkslvs likkuskohds ulospäin (mrilis poispäin) Huomuus: Tsopuksss momnill (sim. ivuusmomni) on ouu käämään krv nuol (kuv.5). Kolmidimnsioisss puksss momni mrkiään joko kksoisnuolll (kuv.5b) i nuolll j kirosuunnn ilmisvll krvll nuolll (kuv.5c) () (b) (c) Kuv.5: omninuoli: () sopus, (b) j (c) kolmidimnsioinn pus. Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 7 Kuv.6: Väänn suor suv m d Kuv.7: Väänn suv-lkio d d d Suv-lkion, jonk piuus on d, (kuv.7) momnispinohälöksi suvn kslin suhn sdn d d md d d d ( md ) m d d Huomuus: Kksoisnuolimrkinä rkoi ässä siä, ä muodosn momnispinohälö vk-kslin suhn piän kksoisnuoln ilmism kirosuun posiiivisn. Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 8

27 Suv-lkion momnispinohälö sn kslin suhn on siis m (.5) Esimrkki.: iirrään ohisn sissi pörivän kslin rsiuskuvio. Tu j ov lkri, jok mhdollisv kslin pörimisn, j uki sää mös kslin liukumisn piuussuunnss. Tulokss (.5) sur hlposi surv lus, jok ov voimss suorll suvll: us : Suvn kuormimomll osll ( m ) on on vkio. 5N 5N D on linrinn kulm- us : Tsisn kuormiuksn m lull on kroimn ollss m. us : Väänävän ulkoisn pismomnin kohdll on ämän momnin suuruinn hppäs. :n rvoss Rkisu: cm cm cm5n cm cm Kosk ksli pörii sissi (vkio kulmnopudll) on ksmksssä siikn problm. Tukirkio j voim : Kosk rknsn viku vin pssuori kuormi, on rkslu hlpoin suori pisidn j ku kulkvss pssoss. Sms ssä voidn päällä, ä lhn rdililkrin j lhn ksililkrin ukirkioidn vksuunis komponni häviävä. iirrään kslin VKK, johon on rdusoiu kikoil välivä väänävä momni. Sn vull ukirkio j voim voidn hlposi määriää: VKK: 5N 5Ncm 5cm D Ncm N cm cm cm 5Ncm 5cm Ncm 5N N 8cm N cm (5N ) cm 75N Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 9 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 5

28 N ikkusrsiuks: Rknn VKK, johon on mrki ukirkio: VKK: (5N ) cm 8cm N cm 75N ääriään nsin väänömomni j likkusvoim kään hväksi io, ä n ov kslin kuormimomll osll vkioi. Väli : Ncm Ncm kn Q N cm cm cm 75N DNcm N 75N Väli D: Ncm Ncm+Ncm Q N 75N N 75N ääriään sin ivuusmomni kään hväksi io, ä s on kslin kuormimomll osll linrinn. Trvin siis vin ivuusmomnin rvo pisissä,, D j. is : is : N N N 75N DNcm N Q N Ncm Ncm QN Q N cm N cm 6Ncm Väli D: kn is D: N Ncm 75N Q D cm 75N cm Ncm Ncm QN 75N Q 5N D N 6cm 75N cm 7Ncm Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 5 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 5

29 is : N -kuvio: D 75N D N cm cm cm N cm 75N 8cm N cm Trkisus kslin loppuoss: 75N 75N Rsiuskuvio: kuvio: D Ncm Q-kuvio: 75N D 5N N Q Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 5.5 ikkusrsiusn posiiivis suunn rinrknss rinrknn on siis vksoss olv khä, johon viku pssuuninn kuormius. Sn likkusrsiuks ov likkusvoim Q, ivuusmomni j väänömomni. rinrknn on usin rkoiuksnmukis rksll lhääläpäin ksoun. Kuv.8 siää likkusrsiusn posiiivisi suuni rinrknn suvss lhääläpäin ksoun. lkuos 6Nm Q 7Nm oppuos Kuv.8: ikkusrsiusn posiiivis suunn rinrknss Huomuus: rkinä (nuoln kärki ksojn päin) rkoi ksojn päin suunuuv voim j mrkinä (nuoln prsö ksojn päin) rkoi ksojs poispäin suunuuv voim. ös ksojs poispäin suunuuv -ksli kuvn kuvss.8 mrkinnällä. Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 5 Q

30 Esimrkki.: Kuvn rinrknn kuormi pssuor sn jkuunu viivkuorm q suvll D. Rknn on uu sin, ä u, j ov pllo-nivluki, jok sävä psliikkn. iirrään rknn, Q- j -kuvio. posiiivisn. rkinnällä s-pinohälön dssä rkoin siä, ä on kirjoiu kuvso vsn kohisuor voimspinohälö piän suun ksojn päin posiiivisn. Vsvnlisi muikin mrkinöjä, joidn mrkis on ilminn käään survss. q D E Rkisu: Tukirkio: ikkusrsiuks: VKK: q q D E q rin on mukvin rksll lhääläpäin. Kosk ukin psliik on s, niillä on vin pssuor ukirkiokomponni. VKK: q D E q q q D Suv D: q X Q Suv E: q X X Q q Q q q q q q Q Q q q Huomuus: rkinnällä spinohälön dssä rkoin siä, ä on kirjoiu momnispinohälö pisidn j ku kulkvn suorn suhn piän kksoisnuoln osoim kirosuun X Q X X q q Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 55 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 56

31 Suv D: q X Q X X q q Q Q q q Rsiuskuvio: Rsiuskuvio voidn piirää simrkiksi rknn soon. Käään kkoviiv viimn vliuun rsiuskuvion posiiivisn suunn kullkin suvll. Q-kuvio: Suv DE: q q q q q D Q -kuvio: D E q X D X q q Q q Q q ( ) q q( ) q q D E q q kuvio: q q 8 q D E Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 57 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 58

32 Esimrkki.: Kuvn mukinn vksoss krv silplkki on mprän muooinn j sn säd on. lkki on uu pikällä srnnivlllä pisssä j pllonivlllä, jonk liikä vksoss i ol s, pisssä. Siä kuormi sinn viivkuorm q kuvn mukissi. ääriä Q-, - j kuvio. (Kuvn misuh ivä ol rlisis, vn plkin poikkilikkus on sn piuun nähdn suhomn suuri.) Rkisu: Gomri: Ympränkrll olvn viivkuormn rsulni sijis mprän krn viivkskiön kohdll. Sn smll lö siikn oppikirjois ohisn kuvn mukinn kv. q sin ääriään ukän joikin mioj krll, jonk kskuskulm on j viivkskiö on. Niiä käään survss siinvin vpkpplkuvioidn mioj lskss. sin( / ) sin( / ) / cos ( cos ) 5 / sin( / ) / sin sin( / ) sin cos( / ) / Tukirkio:,79,79 q, q,77,99,997q,q q,7q, q, 99,997 s / /8,77 q q,997,99 q,79,77 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 59 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 6

33 ikkusrsiuks: Q X sin ( cos ) Rsiuskuvio: Q-kuvio:,5,5,75 5, q, cos q,7q,q,q sin cos sin kuvio: Q,7q,q,5,5,75 5 Q,qq Q(,7 ) q X sin q q q, cos,7 ( cos ) (,cos,7,7cos sin ) (,7,cos sin ) q -kuvio:,5,5,75 5,8q X cos q q q, sin,7 sin (,sin cos ) q sklm: [] [rd] Q/( q) /( q ) /( q ),7 -,,5 /6,79 -,6,66,5 /8 -,5 -,5,8,75 /6 -,78 -,,66 5 / -, Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 6 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 6

34 .6 Kolmidimnsiois rkn Ylisssä kolmidimnsioisss puksss likkusrsiuksi on siis kuusi kppl. Niidn määriämisä vrn suvn liiään suorkulminn, koordiniso, sin, ä ksli h suvn ksliin. uidn kslin suunn määrävä simrkiksi sin, ä ksli sn vksoon. lkuos Q Q N N Q Kuv.9: Kolmidimnsioisn suvn likkusrsiusn posiiivis suunn. Q oppuos Esimrkki.: ääriä ohisn vruuskhän suvn likkusrsiuks. Rkisu: Kosk rknn on ulokminn, i ukirkioi rvis määriää, jos likkusrsiuks määriään rkslmll likkuskohdn ulokkn puolisn rknn osn spino. sn suvn koordiniso, jonk ksli h jnn, ksli on vksuor j ksli suunuuu lspäin. Kosk suvll i viku jkuunu kuorm, normlivoim, likkusvoim j väänömomni ov suvll vkioi j ivuusmomni jkuuv linrissi. Näin riiää, kun määriämm normlivoimn, likkusvoim j väänömomnin rvo suvll skä ivuusmomnin rvo suvn päissä. D Kolmidimnsioisn suvrknn likkusrsiusn määriäminn kä päinsä vsvn pn kuin dllä on ksinkrismmiss puksiss kuvu. sklmin hvinnollisminn on vin himn vikmp j lskminn öläämpää. Käännössä siinvä kolmidimnsiois suvrkn ov usimmin sissi määräämäömiä. Niidn nlsoini phuu vllissi ns. lisä siirmämnlmää, jo kusun usin mös suvrknidn lmnimnlmäksi, kään iokonll. Huomuus: osiiivis ivuusmomni j ihuv vo plkin posiiivisill (posiiivisn j kslin osoimill) puolill. Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 6 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 6

35 Normlivoim, likkusvoim j väänömomni: Tivuusmomni pisssä : VKK: N Q Q D VKK: D N N Q Q Q Q Vsus: Tivuusmomni pisssä : Suvn normlivoim, likkusvoim j väänömomni ov vkioi j niillä on rvo: VKK: D N, Q, Q, Suvn ivuusmomnin rvo sn päissä ov: ää :, ää :, äidn välillä ivuusmomni jkuuv linrissi. Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 65 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 66

36 . Yksinkrisn rknidn siirmin määriämissä. Sissi määrän risikon siirmäil Sissi määrän risikon siirmäiln määriäminn, kun suvvoim j niidn vull määri suvojn vnmä unnn, i ol suorl kädlä ivn hlppo hävä. Vähänkään monimukismmn rknn hdssä joudun hlposi gomrisiin rksluihin, jok ivä ol kikkin milsä mukvi. Eräs hokkimmis mnlmisä ähän rkoiuksn on niin snou ksikkövoimmnlmä, jo käsillään Rknidn mkniikk I:ssä Tässä siään pinhköjä sorisikoi vrn nlinn käsilp, joll gomris konsrukio voidn välää. nl prusuu hn hlposi muisiss säilvään kvn, mu sn käö vii jonkin vrrn huolllisuu. luksi johdn ämä kv. Trkslln kuvn. nivlsuv, jonk vnmä unnn. rkiään ässä suvn ksliin hvää piuuskoordini j sn ksilis siirmää smbolill j u skä siirmiä globliss, koordinisoss smbolill u j v. Suvn suunisll ksikkövkorill sdn kuvn. prusll cosi sin j, (.) missä suvn klvuuskulmn sinill j kosinill on voimss j i j i cos, sin. (.) Jos suvn rkslvn pisn siirmävkori on u ui vj (.) suvn ksilisll siirmäll sdn lusk u u cos usin v. (.), v uj j, u, v j i i j, u, u j i i u i Kuv.: Nivlsuvn siirminn. Kuvn. prusll sdn hälö, u Kuv.: Nivlsuv. ( )cos uj u i, (.5) Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 67 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 68

37 missä on suvn roiokulm. Jos hdään vnominn pinn roioidn olmus, joss on niin pini, ä voidn mrkiä cos, hälö (.) s muodon u u. (.6) j i Sovlmll kv (.) suvn päissä i j j, sdn äsä cos ( u u ) sin ( v v ). (.7) j i j i Kosk nivlsuvn on vllissi homogninn, on sn vnmä vkio j piuudnmuuoksll on voimss. Omll lopuksi huomioon luskk (.), sdn hälö ( )( u u ) ( )( v v ). (.8) j j i j i j i j i ij ij v, v j j u j, u missä E ij on suvn ksilijäkks j S ij on sn suvvoim. Kun ksmksssä on sissi määrä risikko, jok suv kok lämpöiln muuoksn T, suvn vnmä on ij T (.) ij ij ij missä ij on suvn piuudn lämpöilkrroin. riln smll vll voidn joh kv ( j i)( uj ui) ( j i)( vj vi) ( j i)( wj wi) ijij, (.) jo voidn käää sissi määrän kolmidimnsioisn risikon siirmäiln määriämisn. Yhälöidn (.8) j (.) käöä sissi määrän risikon suvvoimin määriämisn rkslln surviss simrkissä. v i ij ij i i u i i j, u Kuv.: Yhälöön (.8) liivä kuv. Kuvss. on si kvn (.8) liivä mrkinnä. Sn on siis hälö, jok sioo nivlsuvn ij nivln siirmiä u i, v i, u j j v j, kun suv kok nnun vnmän ij. Kun ksmksssä on sissi määrä mknissi kuormiu risikko, jonk suvvoim voidn määriää vnomisn pn, rkslvn suvn vnmä on S ij ij, (.9) Eij Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 69 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 7

38 Esimrkki.: ääriään ohisn sorisikon nivln siirmä () Kuorms j (b) lämpöiln muuokss T. Risikon suvojn poikkipin-l, kimmomoduuli E j piuudn lämpöilkrroin ov vkioi. Rkisu: ääriään luksi nivln siirmä, suvojn vnmin vull j käään sin suj luskki kohiin () j (b). Yhälö (.8) on ( )( u u ) ( )( v v ) j i j i j i j i ij ij Kirjoin s kullkin suvll j on smll huomioon ukihdo Suv : ( u u) ( v v) Suv : ( u u ) ( v v ) ( ) Sdn hälörhmä v u v u Jonk rkisuksi sdn v u v ( ) () Kuorm Suvvoim: Nivl : S Nivl : S S Suvojn vnmä: S sin 5 S S cos5s S S S Sij ij,, E E E Suv : ( u u ) ( v v ) Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 7 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 7

39 Nivln siirmä: u, v, u, v, u, v ( ) ( ) E E Esimrkki.: ääriä ohisn risikon nivln siirmä. Kikkin suvojn ksilijäkks on E. (b) ämpöiln muuos: Suvojn vnmä: ij T (kikki suv) E Nivln siirmä: u, v, u, v T, u T, v ( T T ) T D Risikon siirmäkuvio: (Siirmämikv pärlisisn suuri.) () Kuorm (b) ämpöiln muuos Rkisu: Gomri: 5 cos, sin 5 5 Suvvoimin määris: E ( ) E T T loin nivlsä E, johon lii kksi suv: S E S DE /5 5 SDE sin SDE E /5 SDE cos SE SE SDE 5 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 7 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 7

40 Siirrään sin nivln D, johon lii n kksi unmon suvvoim: Suvojn piuud, suvvoim j vnmä: S D S 5 D D 5 5 SD sin sin SD /5 /5 5 8 SD SD cos cos SD SD 5 v,, u E Siirrään sin nivln, johon lii n kksi unmon suvvoim: D S S 5 5 S sin S sin sin 5 S S /5 /5 /5 5 S cos S cos cos S S 5 5 S, S 6 Suv j i j i ij S ij ij 5 5 /6 5 /(6 E) 5 5 / 5 /( E) D / 8 /( E) D 5 5 / 5 /( E) E 8 8 / /( E) DE 5 5 / 5 /( E) Nivln siirmä: Yhälö: ( )( u u ) ( )( v v ) j i j i j i j i ij ij Kirjoin s kikill suvoill j on huomioon ukihdo: Suv : Suv : 5 (5 ) u ( u) v ( v) 6 E 5 (5 ) u ( u) v ( v) E Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 75 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 76

41 Suv D: Suv D: Suv E: Suv DE: 8 (8 ) 8 u ( D u) ( vd v) E 5 (5 ) u ( D u) v ( D v) E (8 ) 8 u ( E u) ( ve v) E 5 (5 ) u ( E ud) v ( E vd) E u, v 6,9 u D, vd E 6, u E, ve,6 Risikon siirmäkuvio: Sdn hälörhmä (Siirmämikv pärlisisn suuri.) 5 u v 6 E 5 u v E 6 ud E 5 u v ud vd E u ue E 5 u D v D u E v E E v,, u E jok on mriisimuodoss D u 5/6 v 5/ u D 6/. vd E 5/ ue / ve 5/ Yhälörhmän rkisu sdn hlposi skulskimll i mmiikkohjlmll. S on: skmn voi suori mös käsin ilmn hälörhmän rkisij. ähmällä liikkll uil j, omll hi huomioon niidn ukihdo j nmällä kolmio krrlln, sdn nivln siirmä rkisu vihiin. sklm on surv: Suv j : 5 (5 ) 5 u ( u) v ( v) u v 6E 6 E 5 (5 ) 5 u ( u) v ( v) u v E E Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 77 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 78

42 5 u, E E 5 v 6,9 8 E E Suv D j D: 8 (8 ) 8 u ( D u) ( vd v 6 ) E ud E 5 5 E 8 E 65 5 (5 ) ud vd u ( D u ) v ( D v ) 6 E E 6 ud, E E 65 7 vd ud 6, 8 E 8 E E Suv E j DE: 5 5 E 8 E (8 ) 5 8 u ( E u ) ( ve v ) ue E E E 8 E u v 5 (5 ) u ( E E 6 E ud ) v ( E vd ) E E 5 ue, E E ve ue,6 8 E 8 E E Esimrkki.: ääriään ohisn vruusrisikon nivln D siirmä, kun kikkin suvojn ksilijäkks on E. Voim on -kslin suuninn j voim on -kslin suuninn. Rkisu: Risikon suvvoim määriiin Rknidn lujuusopin osn I hävässä.5. Suvojn piuud, suvvoim j vnmä: Suv j i j i j i ij Sij ij D 5 5 / 5 /( E) D 8 / 8 /( E) D / E Yhälö (.): D Nivln koordini: : (,,) : (,,) : (,, ) D: (,,) S ij ( j i)( uj ui) ( j i)( vj vi) ( j i)( wj wi) E ij Kirjoin s kikill suvoill j on huomioon ukihdo: 5 (5 ) Suv D: u ( D u) v ( D v) ( wd w) E 8 ( ) Suv D: ( ud u) ( vd v) ( wd w) E Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 79 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 8

43 (5 ) Suv D: ( ud u) ( vd v) ( wd w) 5 E Yhälörhmä j rkisu: 5 5 u D D, D v u v D E 9 E E E vd vd,67 E E E v 5 5 D wd 5 E wd vd 55,89 E 9 E E ` Risikon siirmäkuvio: (Siirmämikv pärlisisn suuri.) D Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 8

44 . lkin ipumin j kirmin määriäminn momnipinmnlmällä. Johdno Rknidn lujuusopin kurssiss uusuimm plkin ivuuksn liiviin pruskäsiisiin j ipumn diffrnilihälöihin. Niidn vull voiiin määriää ipumn v ( ) luskki sjäkill ulok- j kksiukisill skä sissi määräill ä mös määräämäömill plkill. Joiin uloksi on kooun lunomonisn osn II ulukoss 8.. Edlln uusuimm suprposiioprisn, jo kään simrkiksi miniun ulukon ulosn vull voidn rkis monimukismpi kuormiuspuksi. lkin ipumn määriäminn lähin liikkll plkin diffrnilihälösä muodosuu kuinkin moniss puksiss vrsin hnklksi. Tällisi ov simrkiksi plki, joidn ivuusjäkks vihl, plki, joidn u ivä ol plkin päissä, nivlplki, jn. Survss sillään ns. momnipinmnlmä, jok sovluu sissi määräjn plkkin ipumin j kirmin määriämisn hluuiss pisissä. Sn käö on vrsin hvinnollis j hoks kiknlisn sissi määräjn plkkin hdssä. Yhälö, joihin plkin ipumn määriäminn prusuu, ov kirmän j ipumn hs v, (.) kärismän j ipumn hs v, jok voidn siää mös kärismän j kirmän hnä muodoss (.) skä linrissi kimmoisn plkin kärismän j ivuusmomnin hs. (.) EI Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 8 lkin kärismä näl momnipinmnlmässä ärkää os. Jos sissi määrän plkkiin viku mkninn kuormius j siiä ihuuu ivuusmomnijkum ( ), plkin kärismän jkum sdn ällöin kvs (.). lkki voi sd kärismän mös muus ssä kuin sillä vikuvs ivuusmomnis. Eräs ärkä pus on lämpöiln muuos. Trkslln plkki, jok s lämpöiln muuoksn, jok vihl plkin korkussuunnss. Tissä poikkikikkuksss lämpöiln muuos on siis funkio koordinis, li T( ) (vr. kuv.). Oksun, ä plkki on homogninn, jolloin piuudn lämpöilkrroin on vkio. Kuv. ämpöiln muuoksn jkum T( ) suvn korkussuunnss Oksun, ä plkin läpin s lämpöiln muuoksn T lä j lpin s lämpöiln muuoksn T l. Oksun dlln, ä lämpöiln muuos jkuuu plkin korkussuunnss linrissi. Tämä oksum dllää sn lisäksi, ä plkin poikkilikkus on homogninn, mös sn, ä lämmön virus on sionris. ämpöiln muuoksn linrisll jkumll T( ) plkin korkussuunnss sdn (kuv.). T T( ) T, (.5) h missä h h lä h l ämpöiln muuos i ihu sissi määrän plkkiin ivuusmomni. T lä T T l T T( ) Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 8

45 hltlä hlätl T, T Tl Tlä. (.6) h ov lämpöiln muuos plkin kslin kohdll skä l- j läpinnn lämpöiln muuosn rous. ämpöiln muuokss ihuuv vnmä ( ) on n T ( ) T( ) T h (.7) li v v, v Kuv.5: Dformoiuvn plkin os. ( ), (.8) missä, T on lämpöiln muuokss ihuuv plkin kslin vnmä j T (.9) h on lämpöiln muuokss ihuuv plkin kärismä.. omnipinmnlmän hälö Trkslln dformoiuvn plkin os (kuv.5). Ingroimll kirmän j kärismän hs ( ) ( ) (.) puoliin pissä pissn sdn ( ) d ( ) d ( ) ( ) ( ) d, (.) li Tässä siis T mrkis lämpöiln muuos j T l- j läpinnn lämpöiln muuosn rous. Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 8 (.), missä ( ) ( ) d d EI( ) (.) voidn mmärää kärismäpinnn ( ) pisidn j välisksi pin-lksi (vr. kuv.7 jäljmpänä). Kvn (.) viiminn häsuuruus on voimss, kun ksssä on mknissi kuormiu, linrissi kimmoinn, homogninn plkki. Tällöin voidn siis mös puhu / EI pinnn pin-ls. Trkslln surv joho vrn ilnn, joss j käään dllisä ulos, jolloin sdn ( ) ( ), (.) missä ( ) ( ) d (.5) voidn n mmärää kärismäkuvion ( ) pisidn j välisksi pin-lksi. Sijoin ulos (.5) ipumn j kirmän hn Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 85

46 v( ) ( ), (.6) jolloin sdn v( ) ( ). (.7) Ingroimll ämä lusk puoliin pissä pissn sdn v( ) d [ ( )] d v ( ) v ( ) ( d ) ( ) ( ) d. (.8) Sovlmll sdun luskkn viimisn ingrliin osiisingroini sdn missä ( ) ( ) ( ) d ( ) d EI( ) (.) voidn mmärää kärismäpinnn ( ) pisidn j välisn osn momniksi pisn suhn (vr. kuv.6). Kvn (.) viiminn häsuuruus on voimss, kun ksssä on mknissi kuormiu, linrissi kimmoinn, homogninn plkki. Tällöin voidn mös puhu / EI -pinnn momnis. d ( ) ( ) d ( ) d ( ) ( ) d ( d ) ( ) ( ) ( ) ( ) d (.9) ( ) ( ) d. Sijoimll ämä ulos luskksn (.8) sdn lopul v( ) v( ) ( ) ( ) ( ) d (.) li v v ( ), (.) ( ) ( ) EI( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d Kuv.6: Kärismäpinnn momnin muodosuminn. Kv (.) j (.) muodosv momnipinmnlmän pruskvprin. N ov siis, v v ( ). Kuv.7 sil näissä kvoiss siinviä suuri. (.) Kärismäpinnn pin-ln j momnin määriäminn hlpouu huomvsi, jos s voidn jk ospinoihin, joidn pinl j niidn pinkskiö unnn. ös ää rkoius vrn voidn Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 86 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 87

47 () v b b h b h, v v b h b h b (b) b b h b h ( ) ( ) EI( ) Kuv.7: omnipinmnlmä: () plkin dformoiuminn välillä j (b) plkin kärismäpin välillä. käää kuv.8, joss on pillisn pinojn pin-loj j pinkskiöiä. Huomuus: uonvin nimi sill mnlmäll olisi kärismäpinmnlmä, kosk siinä oproidn nimnomn kärismäkuvion ( ) määrilmillä pinnoill. Kosk linrissi kimmoisn, sjäkän plkin ( EI vkio ) puksss, mknissi kuormiun plkin kärismä ( ) ( )/ EI on suorn vrrnnollinn ivuusmomniin, mnlmän nimksi on kuinkin vkiinunu momni-pinmnlmä. nlmä sovluu kuinkin mös sissi määräihin plkkihin, joidn mrililki on pälinrinn j kärismän j ivuusmomnin hs sin muoo ( ). Tässä hdssä puh momnipinmnlmäsä i ol nää kovin milkäsä. h b h b b 5 8 b 8 b 5 b 5 b 5 b h b h b 5 Kuv.8: in-loj j pinkskiöiä. h h b h b h rbli Kuuioprbli Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 88 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 89

48 . Esimrkkjä Esimrkki.: ääriään momnipinmnlmällä ohisn ulokplkin kirmä j ipum päässä. kuvio: EI EI EI EI EI Rkisu: EI Tivuusmomnin rvo pisissä j : ( ) EI EI ( ) EI Kosk plkill i ol jkuunu kuorm, jkuuu ivuusmomni pisidn, j välillä linrissi. -kuvio: Ospinojn l: ( ) EI EI ( ) EI EI ( ) EI EI isidn j välisn -pinnn l j momni pisn suhn: EI EI ( ) Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 9 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 9

49 Sovlmll momnipinmnlmän hälöiä välillä j omll huomioon ukihdo, sdn: EI v v ( ) v v ( ) ( ) EI EI EI Esimrkki.5: ääriään momnipinmnlmällä ohisn plkin kirmä pisissä j skä ipum pisssä. lkin ivuusjäkks on EI vkio. Rkisu: q Tukirkio : q q q Tivuusmomnin rvoj: 8 q q D 8 D D q D q 8 8 D q 6 8 q q q q 8 q 6 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 9 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 9

50 -kuvio: -kuvio: D ( ) ( ) ( ) 6 q EI 6 q 6 q EI Ospinojn l skä pisidn j välisn pinnn l: q q EI 96 EI q q 6 EI 6 EI q q q 96 EI 6 EI EI EI isidn j välisn -pinnn momni pisn suhn: q q ( ) 96 EI 6 EI q 8 EI Sovlln momnipinmnlmän hälöiä välillä : q v v ( ) 8 EI q q 7 q 8 EI EI 8 EI ( ) 6 isidn j välisn -pinnn momni pisn suhn: q q 6 96 EI 6 EI 6 q 9 EI Sovlln momnipinmnlmää välillä : / v v ( ) q q 5 q v 8 EI 9 EI 768 EI Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 9 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 95

51 Esimrkki.6: Ohisn plkin lpin s lämpöiln muuoksn T läpinnn lämpöiln psssä nnlln. lkin korkus on h, ivuusjäkks on EI j piuudn lämpöilkrroin on. ääriä pisidn j D ipum. Rkisu: lkin kärismä: T ( T ) T h h h -kuvio: Tukiväli : D T/ h T T, T h h h T D h T/ h Sovlln momnimnlmän hälöiä välillä j huomioidn ukihdo: T D T v v ( ) h T T T h h h Siin siis ukin j kirmä. Väli : T T, T h h h Sovlln momnipinmnlmän hälöä välillä j huomioidn ukihdo: v v v h h h T T T ( ) Väli D: D T T D, T D D h h h T/ h D T/ h Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 96 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 97

52 Sovlln momnipinmnlmän hälöä välillä D j huomioidn ukihdo: v v v h T vd h T T D ( D ) D D D h lkin ipum: T h D v ( ) T h Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 98

53 . Sissi määräämäömin rknidn siikn prusi. Johdno Survss rkslln sissi määräämäömin rknidn rkismis kään ns. voimmnlmää. Voimmnlmässä unmomin ov lis voim (voim, momni, jn.) j hälö unmomin määriämisksi sdn sovlmll ns. hnsopivuushoj, jok sävä vsvin lisjn siirmin (siirmä, kirmä, jn.) phumisn. Kosk ässä kurssiss i käsillä rknidn mkniikn nrgiprii j niihin prusuv ns. ksikkövoimmnlmää rknidn lisjn siirmin määriämisksi, rkslumm rjoiuu ässä risikoihin j plkkihin. Tämä rjoius i kuinkn sä miä käsilmäsä voimmnlmän prii j sn sovlmis räisiin rknnuskniikss kikkin lisimmin siinviin sissi määräämäömiin rknisiin.. Sissi määrä prusmuoo j sissi määräämäömä suur Sissi määräämäömän rknn ns. sissi määrä prusmuoo (S) sdn lkupräissä rkns simrkiksi survsi: oisn rkns (ksirvoisi) uki, kunns rkns ul sissi määrä, j vrusn u ukirkioill, jok sävä vsvin lisjn siirmin snmisn uill. isäään rknsn liioksi (vllisimmin nivliä), kunns siiä ul sissi määrä, j vrusn liioks rjoivoimill, jok sävä vsvin lisjn siirmin snmisn liioksiss. iniu ukirkio i rjoivoim ov problmn unmom suur, j niiä kusun sissi määräämäömiksi suuriksi. Jo n rouisiv muis vsvis suuris, niill käään usin riisä mrkinäp. Vrsin linn käänö on mrkiä sissi määräämäömiä suuri hävässä, jonk sisn määräämäömdn krluku on n s, smbolill X i, i,, ns. (Jos ns lindksi voidn jäää pois.) Yhälö sissi määräämäömin suuridn rkismisksi sdn määriämällä niiä vsvin lisjn siirmin luskk (sissi määräämäömin suuridn X i funkion) j kirjoimll niill sinomis hnsopivuushdo.. Sissi määräämäön risikko Trkslln sissi määräämäömän risikon rkismis survn simrkin vull. Esimrkki.: ääriään ohisn sissi määräämäömän sorisikon suvvoim. Vksuorin suvojn ksilijäkks on E j klvin E /. D E Rkisu: Sisn määräämäömdn krluku: n sk 7 5 Sissi määräämäön s Sissi määrä prusmuoo (S): jlln uki poisuksi, j on sissi määräämäömäksi suurksi ukirkio, li X. S: D E X Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 99 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

54 N ulisi määriää unmomn voimn X suuruus sin, ä rknn i iro us. Toisin snon rknn pssiirmän ull ulisi häviä, li v. Tämä ho kusun rknn hnsopivuushdoksi ull. Kun voim X on määri, S on sissi määrä rknn, johon viku unnu kuormius. Näin lkupräinn sissi määräämäön rknn on su pluuksi sissi määräksi. Jo voisimm muodos hnsopivuushdon, joudumm rkismn S:n nivln pssiirmän, piän rkisuss sissi määräämäönä suur X prmrin. Siä vrn joudumm risikon puksss nsin määriämään suvvoim j sn jälkn siirmän v. S:n suvvoim: ääriään suvvoim piän sissi määräämäönä suur X prmrin. ähdään liikkll nivlsä. Kun suvvoim prmrin X vull lusuuin unnn, määriään risikon nivln pssiirmä v kvn (.8) prusuvll mnlllä. nl n sivuuon mös muidn nivln siirmä. Suvojn piuud, suvvoim j vnmä: S: D E X S S DE S E S E X E X S X S X SE SE S S X E E SE X S E ( X ) S X E SDE SDE X Suv j i j i ij S ij ij X X / E D ( X ) ( X )/ E D ( X ) ( X )/ E E ( X ) ( X )/ E DE X ( X )/ E X X / E E X X / E S D D S D X S D D D D S S D D X D S S ( X ), S ( X ) S D S Nivln siirmä: Yhälö: ( )( u u ) ( )( v v ) j i j i j i j i ij ij ( X ) S ( X ) X ( X ) ( X ) S X S X Ns. ksikkövoimmnlmällä, jo rkslln Rknidn mkniikk I kurssiss, voidn risikon nivln ksiäinn siirmäkomponni rkis jonkin vrrn pinmmällä öllä. Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

55 Suv, D j D: ( ) u ( u) ( v v) X E ( ) u ( D u) v ( D v) ( X) E ( ) u ( ud) v ( vd) ( X) E u X E ud ( X ) E vd X E Yhnsopivuusho: v (8X 6 ) X E 7 Suvvoim: Kosk suvvoim oli jo lsku sissi määräämäömän suurn X funkion, j si dllä sissä ulukoss, sdn lopullis suvvoim hlposi. Suv E j DE: X E ( ) u ( E u ) v ( E v) ( X) E ( X ) X E E ( ) u ( E ud ) ( ve vd ) ( X) E ue ( 7X 6 ) E ve (X ) E Suv j E: X E ( ) u ( u ) ( v v) X E ( 7X6 ) (X ) E E ( ) u ( ue ) v ( ve ) X E u X E v (8X 6 ) E Näin siin nivln siirmä. Suv S ij /7,57 D /7,66 D / 7,66 E / 7,66 DE /7, /7,57 E / 7,88 Nivln siirmä: Hluss risikon nivln siirmä voidn määriää vsvn pn. Nivl u i v i 8, 7 E E 6,9 7 E E D 6,9,57 7 E E 7 E E E 8,57 E 7 E E Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

56 Tulukko.: Ulok- j vpsi uun plkin ipumi j kirmiä Ulokplkki Tipum Tipum j kirmä päässä v v ( ) ( ) EI 6EI v EI v v ( ) EI EI v EI v ( ) ( ) v ( ) 6EI 6EI b v ( ) EI EI v v ( ) v ( ) ( ) EI b EI EI v 5 v q q v ( ) [6( ) ( ) ( ) ] EI q v 8EI q 6EI Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 5 Vpsi uu plkki Tipum Kirmä uill 6 v ( ) [ ( ) ( ) ] 6EI EI 6EI v 7 v ( ) [ ( ) ] 6EI 6EI EI v 8 b v ( ) [ ( b) b( ) ] 6EI b( b) b( ) b b 6EI 6EI v ( ) v EI 9 b v ( ) [( ) ( ) ] ( b ) ( ) b 6EI 6EI 6EI b( b ) v ( ) v EI q q v ( ) [ ( ) ( ) ] EI q 5 q EI v( ) 8 EI v Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 6

57 . Sissi määräämäön plkki Sissi määräämäömän plkin rkismis rkslln survin simrkkin vull. Niissä käään pun ulukko., joss on si uloksi ulokplkin j vpsi uun plkin ipumill j kirmill. Tulukkojn käö nopu lsklmi j u sin kskimään rkisun kskisn problmiikkn. Esimrkki.: ääriään lusk ohisn kksiukkoisn, sjäkän, sisn kuormn kuormimn plkin ivuusmomnill kskiun kohdll. Rkisu: EI Sisn määräämäömdn krluku: ns c q () jlln uki poisuksi j vlin sissi määräämäömäksi suurksi ukirkio, jok sää plkin ipumn pisssä : Sissi määrä prusmuoo (S): EI q X EI b EI b isn ipum: Tsiss kuorms q (Tulukko., koh ): q qb v v( ) [ ( ) ( ) ] ( b b) EI EI (Välivih, kuink sdn luskkn oikn puolinn muoo, jok on ässä käöklpoismpi, sivuun.) iskuorms X (Tulukko., koh 8): X b v v( ) EI Sovlmll suprposiiopri sdn: qb b v v v ( b b) X EI EI Sissi määräämäömän suurn X rkisminn hnsopivuushdos: qb b q v ( b b) X X ( b b) EI EI 8b Tukirkio pisssä : q / q b X b q X X b Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 7 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 8

58 Tivuusmomni pisssä : omnis X (Tulukko., kohd 7 j 6): q b X q q ( X) q b qb b X vs ( X ) oik Xb, EI EI Sovlmll suprposiiopri sdn: Sdn qb b qb b q q X ( b b) ( bb ) 8b 8 q q( b ) q( b ) ( b b) 8 8( b) 8 Käiin hä: b ( b)( b b ). (b) jlln ull nivl j vlin sissi määräämäömäksi suurksi ivuusmomni, jok pko kirmä nivln vsmmll j oikll puolll häsuuriksi. Sissi määrä prusmuoo (S): Huom: Kuvss vsmmn j oikn puolinn ivuusmomninuoli kohdisuv vsvsi nivln vsmmn j oikn puolisn plkkin osn. isn kirmä plkin osiss: Tsiss kuorms q (Tulukko., koh ): vs EI X q oik qb, EI EI q EI b vs vs vs oik oik oik q X, qb b X EI EI EI EI Sissi määräämäömän suurn X rkisminn hnsopivuushdos: q qb b X EI EI EI EI q( b ) q( b ) X 8( b) 8 vs oik X Tivuusmomni pisssä : q b X 8 ( ) ääriään lopuksi ivuusmomnikuvio, kun, j b,6: q ( b ) q (,,6 ) 8 8,5q Huomuus: Kun ivuusmomnin rvo uill, j unnn (ässä puksss ), sdn plkin (survn sivun kuv (c)) ivuusmomnijkuum ( ) mukvimmin jlmll sn muodosuvn suprposiioprin mukn survn sivun kuvin () j (b) ivuusmomnin summs. lkin os kuviss () j (b) ov kksiukisi vpsi uuj plkkj. Tpuksss () plkin osin ivuusmomni ov linrisi ukirvojn, j välillä. Tpuksss (b) plkin osin ivuusmomni ov kksiukisn vpsi uun sisn kuormn kuormimn plkin ivuusmomni, jok on hlppo määriää. Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 9 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

59 () (b) q Esimrkki.: ääriään ohisn kolmiukkoisn sjäkän jkuvn plkin ivuusmomnikuvio. EI Rkisu: / / / / Sisn määräämäömdn krluku: D (c) Tivuusmomnikuvion piirämisä vrn n määriään ässä vin välin kskipisissä D j E : q(, ) D,,75,5 8 q(,6 ) E,5,75,75 8,5 D,5,75 Kksiukisn vpsi uun sisn kuormn q kuormimn plkin ivuusmomnin rvo plkin kskipisssä on q /8, missä on plkin piuus. q E Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno ns c5 () jlln u j poisuiksi j vlin sissi määräämäömiksi suuriksi ukirkio j, jok sävä plkin ipum pisissä j : Sissi määrä prusmuoo (S): X / / / isidn j ipum: (Tulukko., koh 8): ( ) / 5 / 5 5 ( / ) v v( ) [ ( ) ( ) ] 6 EI ( ) ( ) ( ) / / [ ( ) ( ) ] 6 EI ( ) ( X)( ) [ ( ) ( ) ] 6 EI ( ) ( X)( ) [ ( ) ( ) ] 6 EI ( ) 7 7 X X EI 9 EI 8 EI EI / Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno X D

60 ( ) /5 / 5 5 ( /) v v( ) [ ( ) ( ) ] 6 EI ( ) ( ) ( ) / / ( /) [ ( ) ( ) ] 6 EI ( ) ( ) ( X)( ) [ ( ) ( ) ] 6 EI ( ) ( ) X 6 EI ( ) ( )( ) [ ( ) ( ) ] 5 7 X X 6 EI 8 EI 9 EI Tivuusmomnin rvo piskuormin kohdll:,5 /,5 / /,5,65,5,75 Yhnsopivuushdo, hälörhmä j rkisu: v X X X X EI 9 EI 8 EI v X X X X 6 EI 8 EI 9 EI X7X 8 8 7X X 8 7X8X X , X ,5 Tukirkio: D,, 5 D / / / / / D, 5,5,5 /,5,75 D,5,5,5 Tivuusmomnikuvio:,75,5 D,75,65 5 D,,5,5 D,5, D,5 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno

61 (b) jlln uill j nivl j vlin sissi määräämäömiksi suuriksi ivuusmomni j, jok pkov kirmä nivln vsmmll j oikll puolll häsuuriksi. Sissi määrä prusmuoo (S): isidn j kirmä plkin osiss: Ulkoiss kuorms (Tulukko., koh 8): vs vs X / / / ( ) ( ) 6EI 6 EI 6EI 6 EI ( ) oik, 6EI 6 EI omnis X (Tulukko., kohd 6 j 7): oik, vs ( X) X oik X vs X oik,,, EI EI EI 6EI omnis X (Tulukko., kohd 6 j 7): vs oik X X vs X X oik X,,, 6EI 6EI EI EI EI EI / X D vs vs vs vs X X 6 EI 6EI EI oik oik oik oik X EI Yhnsopivuushdo, hälörhmä j rkisu: 6 EI EI 6 EI EI 6EI vs oik X X X 6 EI 6EI EI EI X X X X 8 XX 8 EI X 7 X 8 5 vs oik X X X Tivuusmomni uill j : 7 X,75,,5 Tivuusmomnikuvio:,75,875,5,5,75,65 D Sovlmll suprposiiopri sdn: vs vs vs vs X 6 EI EI oik oik oik oik X X 6 EI EI 6EI Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 5 Tivuusmomni pisissä j :,875,65,,5,75 Kksiukisn vpsi uun plkin ivuusmomni sn kskipisssä, joss viku piskuorm, on /. Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 6

62 .5 Kolmn momnin hälö jkuvn plkin rkismisksi Johdn lopuksi ns. kolmn momnin hälö, jo voidn käää jkuvn plkin ukimomnin (ivuusmomnin rvo plkin ukin kohdill) määriämisn. Oksun plkin ukin välisn osin olvn sjäkkiä. Trkslln jkuv plkki, joss on n jännä j n uk (kuv.). Sn nsimmäisllä ull j viimisllä ull n on joko kiinä nivl i jäkkä kiinnis. lkin S muodosn lisäämällä plkkiin ukin kohdill nivl, jolloin sissi määräämäömä suur ov ivuusmomni i ukin kohdll. Näin S:n kukin jänn oimii kun vpsi uu kksiukinn plkki. vs oik i i vs i i i i oik i i i i i i 6EIi EIi EIi 6EIi j dlln ( ), i,, n (.) 6EI EI EI 6EI i i i i vs oik i i i i i i i i i Tämä on jkuvn plkin kolmn momnin hälö, jollinn voidn kirjoi plkin kikill sisäuill,,n. Näiä hälöiä on n kppl j niissä on n unmon,, n. uuuv kksi lisähälöä sdn ukihdois plkin päissä. EI EI EIn n n EI n n n Jos plkin päässä on nivl, siä vs lisäho on. (.) Jos plkin päässä n on nivl, siä vs lisäho on Kuv.: Jkuv plkki, joss on n jännä j n uk. i EI i i i i i Kuv.: Jkuvn plkin S un i lähllä. Kuv. siää plkin S:o un i lähllä. Kirmäll un i vsmmll j oikll puolll sdn (Tulukko., kohd 6 j 7) vs i i i i vs i i vs i i i i i 6EIi EIi 6EIi EIi i oik i i i i oik i i oik i i i i i EIi 6EIi EIi 6EIi vs missä i j oik i ov ulkoiss kuormiukss ihuuv krmä. Yhnsopivuushdos un i kohdll sdn n i EI i, i i, n. (.) Kuv.: Jkuvn plkin S jäkäsi kiinnin un lähllä Jos uki on jäkäsi kiinni, S:n (kuv.) kirmäll sdn lusk EI 6EI j hnsopivuushdon prusll sur lisähälö EI. (.) EI Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 7 Rk-5. Rknidn mkniikn prus, lunno 8