Permutaatioista alternoivaan ryhmään
|
|
- Riitta Nurmi
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Permutaatioista alternoivaan ryhmään Pro Gradu-tutkielma Sini-Susanna Fetula Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2014
2 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 3 Permutaatioista Symmetrinen ryhmä ja permutaation määritys Permutaatioiden esitystavoista Permutaatiot erillisten syklien tulona Parilliset ja parittomat permutaatiot Permutaatioryhmistä ja niiden käytöstä Alternoivasta ryhmästä Alternoivan ryhmän A n määritteleminen Alternoivan ryhmän ominaisuuksia Yhteenveto ja loppusanat. 29 1
3 1 Johdanto Tutkielmani aihe liittyy ryhmäteoriaan ja on mielestäni yksi sen mielenkiintoisimmista aihealueista. Ryhmäteoriassa ei tarvita (ainakaan tällä tasolla kovin pitkälle meneviä matemaattisia laskutekniikoita, vaan se vaatii uudenlaisen ajatusmaailman sisäistämistä. Siinä onkin sen haastavuus, sekä helppous ja mielenkiintoisuus. Tässä työssä en lähde aivan ryhmäteorian alkeista, tai ainakaan käy niitä tarkemmin läpi. Esitietoja käsittelevässä osiosta löytyy muutama esimerkki ja määritelmä, jotka katsoin hyväksi laittaa muistin virkistämiseksi ja selkiyttämiseksi. Sekä tämän tutkielman aiheen teoria, että ryhmäteorian alkeet löytyy päälähteenä käyttämästäni I.N Hersteinin kirjasta Abstract Algebra. Lisäksi itse olen käyttänyt myös Algebra II - kurssin luentomonistetta ja luentomuistiinpanoja apuna. Esitietoja kappaleessa on ryhmäteorian alkeisiin kuuluvia määritelmiä, lauseita ja joitain todistuksia. Kaikkia lauseita ei ole todistettu, vaan ne otetaan pelkkänä tuloksena, jotta fokus säilyisi olennaisessa. Nämä tiedot ovat kuitenkin olennaisia ja niitä käytetään moneen kertaan tutkielman aikana ja liittyvät sinänsä tiiviisti tutkielman aiheeseen. Luvussa 3 käsitellään tutkielman aiheen perusteita, eli permutaatioita ja niiden ominaisuuksia. Luvun kahdessa ensimmäisessä kappaleessa määritellään permutaatiot, esitetään niille muutama esitystapa ja havainnollistetaan niiden käyttöä esimerkein. Luvussa 3.3 keskitytään permutaatioiden esitykseen muiden permutaatioiden avulla eli esitykseen erillisten syklien tulona. Luvun viimeisessä kappaleessa tarkastellaan permutaatioiden pariteettia, joka on yksi permutaatioiden käytetyimmistä ominaisuuksista. Neljännessä luvussa käsitellään permutaatioryhmiä, niiden ratoja sekä permutaatioiden käyttöä käytännön sovelluksissa. Lisäksi todistetaan muutama ominaisuus permutaatioryhmälle ja sen radoille. Tämän kaappaleen tarkoitus on esitellä permutaatioiden syvempää, soveltavampaa puolta ja näyttää, että niitä voidaan hyödyntää myös käytännössä. Luvussa 5 päästään sitten käsiksi alternoivaan ryhmään. Ensimmäisessä kappaleessa luonnollisesti esitellään miten alternoiva ryhmä A n määritellään ja mitä se käytännössä tarkoittaa. Kappaleessa 5.2 lähdetään vähän kiertotietä tutkimaan alternoivan ryhmän ominaisuuksia. Jotta näitä ominaisuuksia pääsisi tutkimaan, täytyy ensin perehtyä hieman permutaatioiden konjugointiin. Tämän kappaleen päämäärä ja koko tutkielman yksi päätuloksista on alternoivan ryhmän A n yksinkertaisuus, kun n 5. 2
4 2 Esitietoja Määritelmä 2.1. Olkoon G epätyhjä joukko ja kuvaus :G G G, (a, b = a b. Nyt pari (G, on ryhmä mikäli 1. ( on joukon G binäärinen operaatio, eli (a, b = a b G kaikilla a, b G. 2. ( on assosiatiivinen operaatio joukossa G eli a (b c = (a b c kaikilla a, b, c G. 3. Joukossa G on neutraalialkio e, jolle pätee a e = e a = a kaikilla a G. 4. Jokaiselle alkiolle a G on olemassa joukossa G käänteisalkio a 1, jolle pätee a 1 a = a a 1 = e, missä e on siis joukon G neutraalialkio. Esimerkki 2.2. Tutkitaan onko pari ({1, 1},, missä ( on kokonaislukujen kertolasku ryhmä: Nyt 1 a b {1, 1} kaikilla a, b {1, 1} 2 kokonaislukujen kertolaskulle pätee assosiatiivisuus, joten (a b c = a (b c kaikilla a, b, c {1, 1} 3 neutraalialkio i = 1 {1, 1} = 1 = i ja 1 1 = 1 = i,joten a 1 {1, 1} kaikilla a {1, 1} kohtien 1, 2, 3 ja 4 nojalla pari ({1, 1}, on ryhmä. Määritelmä 2.3. Olkoon pari (G, ryhmä (toteuttaa edellä mainitut ehdot. Jos pari toteuttaa lisäksi ehdon a b = b a kaikilla a, b G, eli ( on kommutatiivinen operaatio G:ssä, niin pari (G, on Abelin ryhmä. Määritelmä 2.4. Olkoon (G, ryhmä ja H G, H, eli H on joukon G epätyhjä osajoukko. Nyt (H, on ryhmän (G, aliryhmä, mikäli pari (H, on ryhmä. Tällöin merkitään (H, (G,, tai lyhemmin H G. Määritelmä 2.5. Olkoon (G, ryhmä ja (H, sen aliryhmä. Nyt (H, on ryhmän (G, normaali aliryhmä, jos Ha = {h a h H} = {a h h H} = ah kaikilla a G. Joukkoa Ha kutsutaan alkion a määräämäksi aliryhmän (H, oikeaksi sivuluokaksi ja joukkoa ah kutsutaan vastaavasti alkion a määräämäksi aliryhmän (H, vasemmaksi sivuluokaksi. 3
5 Lause 2.6 (normaalisuuskriteeri. Olkoon (G, ryhmä ja (H, sen aliryhmä. Nyt (H, on normaali jos ja vain jos aha 1 H aina, kun a G. Määritelmä 2.7. Olkoot (G, ja (G, ryhmiä ja kuvaus f : G G. Nyt kuvaus f on homomorsmi, jos f(a b = f(a f(b kaikilla a, b G. Eli kuvaus f niin sanotusti säilyttää operaation. Määritelmä 2.8. Olkoot (G, ja (G, ryhmiä ja ρ : G G homomorsmi. Kuvauksen ρ kuvaksi sanotaan joukkoa Im(ρ = {ρ(a a G}. Eli joukkoa johon kuuluu kaikki ne ryhmän (G, alkiot, jotka saadaan kuvauksella ρ. Joukkoa Ker(ρ = {a G ρ(a = e }, missä e on ryhmän (G, neutraalialkio, sanotaan kuvauksen ρ ytimeksi. Ytimeen siis kuuluu kaikki ne ryhmän (G, alkiot, jotka ρ kuvaa maaliryhmän (G, neutraalialkioksi. Lause 2.9 (Homomorsmin peruslause, hpl. Olkoot (G, ja (G, ryhmiä ja homomorsmi g : G G surjektio,eli Im(g = G. Olkoon lisäksi Ker(g = K Nyt G = Im(g = G/K. Määritelmä Kuvausten yhdistämisoperaatio ( määritellään seuraavasti: f g(x = f(g(x, missä f ja g ovat siis kuvauksia. Lause Kuvausten yhdistämisoperaatio ( on assosiatiivinen. Todistus. Olkoon f, g ja h kuvauksia, joiden lähtö- ja maalijoukot ovat sopivat. Nyt [(f g h](x = (f g(h(x = f(g(h(x = f(g h(x = [f (g h](x. Määritelmä Olkoon G ryhmä ja α G. Nyt alkion α kertaluku α = s, missä s on pienin kokonaisluku s, jolle pätee α s = (i. Määritelmä Ryhmän G keskus Z(G = {σ G gσ = σg, g G} sisältää kaikki ne ryhmän alkiot σ, jotka kommutoivat ryhmän muiden alkioioden kanssa. Lause Jos (i σ A n, niin on olemassa 3-sykli τ, jolle pätee στ τσ. Todistus. Vastaoletus: Olkoon α A n 3-sykli. Tällöin σα = ασ. Olkoon sitten g A n. Nyt voidaan kirjoittaa g = α 1 α 2 α r, missä α i, i = 1,..., r on 3-syklejä, sillä 3-syklit generoivat A n :n. Tällöin vastaoletuksen nojalla gσ = σα 1 α 2 α r = α 1 α 2 α r σ = σg. Tällöin (i σ Z(A n = {(i}, mikä on ristiriita. Täten vastaoletus on siis väärä ja väite tosi. 4
6 Lause Olkoon G ryhmä ja H G sekä N ryhmän G normaali aliryhmä. Tällöin N H on normaali ryhmässä H. Todistus. Nyt N H = {x x N ja x H}. Joten N H H,N H on ryhmä (N ja H ovat ryhmiä ja lisäksi normaalius ehto toteutuu, sillä N on normaali. Tästä seuraa, että N H on normaali aliryhmä H:ssa. 5
7 3 Permutaatioista. Tässä kappaleessa määritellään mitä permutaatio tarkoittaa, esitetään niille muutamakin erilainen esitystapa. Lisäksi tarkastellaan permutaatioiden ominaisuuksia, kuten pariteettia ja esitystä erillisten syklien tulona. 3.1 Symmetrinen ryhmä ja permutaation määritys. Määritelmä 3.1. Merkitään joukkoa {x 1,..., x n } = X Jos kuvaus σ : X X on bijektio, niin sitä kutsutaan joukon X permutaatioksi. Merkitään lisäksi joukon X = {x 1,..., x n } kaikkien permutaatioiden joukkoa S n :llä. Lause 3.2. Pari (S n,, missä ( on kuvausten yhdistämisoperaatio, on ryhmä. Todistus. Olkoon α, β, γ S n. Nyt 1 α β : X X on bijektio,eli α β S n, sillä α : X X ja β : X X ovat bijektioita. 2 Kuvaus i(x = x, x X kuuluu joukkoon S n. Lisäksi α i = i α = α, joten neutraalialkio i S n. 3 Kuvausten yhdistämis operaatiolle pätee assosiatiivisuus, joten (α β γ = α (β γ. 4 α 1 : X X on bijektio, sillä α : X X on bijektio. Lisäksi α 1 α = α α 1 = i, joten käänteisalkio ehto toteutuu. kohtien 1, 2, 3 ja 4 nojalla pari (S n, on ryhmä. Määritelmä 3.3. Ryhmää (S n, sanotaan astetta n olevaksi symmetriseksi ryhmäksi. Ryhmäteoriassa on usein tapana jättää tunnettujen ryhmien operaatio merkitsemättä käytännön syistä, joten jatkossa merkitään (S n, = S n. Voidaan todeta päättelemällä, että astetta n olevan symmetrisen ryhmän S n kertaluku S n = n (n = n!. 6
8 3.2 Permutaatioiden esitystavoista. Kun jatketaan permutaatioiden ja permutaatioryhmien käsittelyä, tarvitaan jokin kätevä tapa kuvata permutaatioita ja miten ne kuvaavat kunkin joukon X alkion. Tässä luvussa esitellään kolme erilaista tapaa merkitä/kuvata permutaatioita. Olkoon siis joukko X = {x 1, x 2,..., x n } ja annettu permutaatio σ S n sellainen, että σ(x 1 = x 2, σ(x 2 = x 3,...,σ(x n 1 = x n ja σ(x n = x 1. Permutaatiota voidaan havainnollistaa esimerkiksi siten, että kirjoitetaan riviin kaikki joukon X alkiot ja niiden alapuolelle niiden kuvat vastaavassa järjestyksessä. Tällöin esitys näyttäisi seuraavalta: ( x1 x σ = 2... x n 1 x n x 2 x 3... x n x 1 Tätä merkintätapaa voidaan vielä yksinkertaistaa samaistamalla kaikki joukot X, joissa on n kappaletta elementtejä/alkioita. Samaistaminen onnistuu numeroimalla alkiot ja käsittelemällä ( niitä vain lukuina n 1 n Tällöin X = {1, 2,..., n} ja σ = n 1 Esimerkki 3.4. Olkoon X = {1, 2, 3, 4} ja σ S 4 seuraavanlainen ( permuutaatio: σ(1 = 3,σ(2 = 2,σ(3 = 1 ja σ(4 = 4. Tällöin σ = Huomautus 3.5. Edellä esitetyssä kaksirivisessä esitystavassa ei ole välttämätöntä kirjoittaa yläriville joukon X alkioita järjestyksessä, vaan sama permutaatio voidaan kirjoittaa useammalla eri tavalla. Esimerkiksi edellisen esimerkin permutaatio: σ = ( = ( = ( = Tästä kaksirivisestä esitystavasta on myös helppo saada selville annetun permutaatiokuvauksen käänteiskuvaus. Jos esimerkiksi σ(1 = 2, niin σ 1 (2 = 1. Kun tämä tehdään kaikille alkioille, niin käytännössä rivien paikat vain vaihtuu. Esimerkki 3.6. Jos τ = Jos σ = ( , niin σ = ( , niin τ = ( = ( = ( (
9 Huomautus 3.7. Kuvaus voi siis olla myös itsensä käänteiskuvaus, kuten edellisen esimerkin σ. Entäpä sitten yhdistetyn kuvauksen laskeminen kaksirivisen esitystavan avulla? Kuvausten yhdistämisoperaation määrittelyn nojalla yhdistetty kuvaus saadaan kertomalla permutaatiot oikealta vasemmalle. Jos esimerkiksi τ(3 = 2 ja σ(2 = 2, niin σ τ(3 = 2. Seuraavassa esimerkissä on pyritty havainnollistamaan tätä käytännössä. ( ( Esimerkki 3.8. Olkoon σ = ja τ = Nyt ( σ τ =, τ σ = ( Edellä käytetyssä kaksirivisessä esitystavassa on usein tapana kirjoittaa ylemmälle riville alkiot järjestyksessä, ( joten se voidaan jossain tapauksissa jättää kirjoittamatta. Esimerkiksi σ = = ( Huom! Tätä yksirivistä esitystapaa ei kuitenkaan pidä sekoittaa seuraavaksi käsiteltävään sykliesitykseen. Jatketaan siis edelleen permutaatioiden käsittelyä ja vieläkin yksinkertaisemman esitystavan hakemista. Olkoon edelleen X = {1, 2,..., (n 1, n}. Nyt permutaatio σ säilyttää alkion i X, jos ja vain jos σ(i = i. Vastaavasti σ siirtää alkion j X, jos ja vain jos σ(j j. Merkintä σ = ( i 1 i 2... i r, missä ik X, 1 k n tarkoittaa, että σ(i 1 = i 2, σ(i 2 = i 3,..., σ(i r 1 = i r ja σ(i r = i 1 ja lisäksi σ säilyttää muut joukon X alkiot. Määritelmä 3.9. Permutaatiota σ = ( i 1 i 2... i r, jonka pituus on r sanotaan r-sykliksi ( Esimerkki σ = = ( = ( 3 1 ja ( τ = = ( = ( = ( = ( Seuraavassa vielä muutama asia, jotka on syytä mainita sykliesityksen yhteydessä. 1 Identiteettikuvausta, joka säilyttää kaikki alkiot merkitään usein i = ( 1 8
10 2 2-syklejä σ = ( i 1 i 2 kutsutaan transpooseiksi 3 k-syklin kertaluku on k. perustellaan vielä kohta 3: Olkoon σ = ( k S n. Nyt σ(1 = 2, σ 2 (1 = σ(σ(1 = σ(2 = 3,..., σ k (1 = 1. Vastaavasti σ(i k = i kaikilla i {1, 2,..., k}. Lisäksi σ säilyttää ne joukon X alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon {1, 2,..., k}, joten saadaan että σ(i k = i kaikilla i {1, 2,..., n} = X. Täten σ:n kertaluku σ = k. Myös sykliesityksestä saadaan kätevästi annetun permutaation käänteiskuvaus kirjoittamalla annetun syklin elementit käänteisessä järjestyksessä. Jos esimerkiksi σ = ( , niin σ 1 = ( Sykliesityksessä on helppouden ja yksinkertaisuuden lisäksi yksi iso etu verrattuna aikaisempiin esitystapoihin. Sykliesityksen avulla voidaan nimittäin kirjoittaa pitkät ja hankalat permutaatiokuvaukset lyhyempien ja selkeämpien syklien avulla. Seuraavassa luvussa käydäänkin tätä asiaa läpi. 3.3 Permutaatiot erillisten syklien tulona Määritelmä Kaksi sykliä ovat erilliset, mikäli niillä ei ole yhtään samaa elementtiä, eli ne eivät siirrä yhtään samaa alkiota. Esimerkiksi ( S 7 ja ( 2 7 S 7 ovat erillisiä syklejä, mutta ( S7 ja ( S 7 eivät ole erillisiä. Lause Mikäli σ, τ S n ovat erillisiä, niin niille pätee τσ = στ. Todistus. Olkoon i X. 1. Olkoon lisäksi σ(i = i sekä τ(i = i. Nyt στ(i = σ(τ(i = σ(i = i = τ(i = τ(σ(i = τσ(i 2. Olkoon sitten σ(i i, tällöin τ(i = i, sillä σ ja τ ovat erillisiä. Nyt στ(i = σ(τ(i = σ(i ( = τ(σ(i = τσ(i. (*= τ ei siirrä alkiota σ(i, koska σ ja τ ovat erillisiä. 3. Tapaus, jossa τ(i i, ja σ(i = i toimii vastaavasti kuin kohta 2. Näistä kolmesta kohdasta saadaan, että στ(i = τσ(i kaikilla i S n ja väite on todistettu. 9
11 Vähän myöhemmin tullaan todistamaan, että jokainen permutaatio voidaan esittää erillisten syklien tulona. Tarkastellaan nyt ensin, miten ylipäätään voidaan löytää "osasyklejä" annetun syklin sisältä. Määritelmä ( alkion i X määräämä sykli permutaatiossa σ S n on σ(i σ 2 (i... σ s 1 (i, missä s on pienin kokonaisluku, joka toteuttaa ehdon σ s (i = i. ( Esimerkki Jos σ =, niin 1. määräämä sykli ( σ:ssa on Lause Jokainen permutaatio voidaan esittää erillisten syklien tulona. Todistus. Olkoon σ S n sellainen permutaatio, joka siirtää k alkiota. Todistetaan väite induktiolla K:n suhteen. 1 Jos k = 0, niin σ = i = ( 1 ( 2 (n. Olkoon siis jatkossa k > 0. 2 Induktio-oletus: Jos σ:n siirtämien alkioiden lukumäärä on pienempi kuin k, niin se voidaan esittää erillesten syklien tulona. 3 Olkoon nyt σ S n sellainen permutaatio, joka siirtää k alkiota ja i 1 eräs alkio, jonka σ siirtää. Merkitään i 1 :n määräämää sykliä σ:ssa α = ( i 1 i 2...i r. Luonnollisesti r k, jos r = k, niin σ = α ja σ on itsessään sykli. Oletetaan siis seuraavaksi, että r < k ja tarkastellaan permutaatiota σα 1. Nyt σα 1 :n kertaluku on korkeintaan k ja se säilyttää alkiot i 1, i 2,..., i r, joten sen siirtämien alkioiden lukumäärä on pienempi kuin k. Induktio-oletuksen nojalla siis σα 1 = β 1 β 2...β t, missä β 1, β 2,..., β t ovat erillisiä. Lisäksi β 1, β 2,..., β t ovat erillisiä α:n kanssa, sillä σα 1 säilyttää kaikki α:n alkiot, joten ne eivät ole mukana syklissä σα 1. Olemme siis saaneet seuraavan yhtälön, jossa σ on erillisten syklien tulo. σα 1 = β 1 β 2...β t σ = β 1 β 2...β t α Induktioperiaatteen nojalla väite on nyt todistettu. Lause Jokainen sykli voidaan esittää transpoosien tulona. Todistus. Nyt σ = ( k = ( 1 k ( 1 k 1 (1 3 ( 1 2, joten jokainen permutaatio voidaan esittää transpoosien (Ei välttämättä erillisiä! tulona. 10
12 Seuraus Kahden edellisen lauseen nojalla jokainen permutaatio voidaan esittää transpoosien tulona. ( Esimerkki Esitetään σ = erillisten syklien tulona. ( Nyt σ = = ( ( 2 ( = ( ( Lause Jos σ = α 1 α 2...α t on permutaation σ esitys erillisten syklien tulona ja α i = k i, 1 i k, niin σ = pyj(k 1, k 2,..., k t. Todistus. Merkitään pyj(k 1, k 2,..., k t = M. Nyt σ M = α1 M α2 M...αt M. Koska M = pyj(k 1, k 2,..., k t, niin αi M = i, kaikilla 1 i k ja siten σ M = i. Toisaalta, jos σ N = i, niin vastaavasti αi N = i, kaikilla 1 i k. Syklin kertaluvun määritelmän nojalla k i N kaikilla 1 i k. Siten myös M = pyj(k 1, k 2,..., k t N ja σ = M = pyj(k 1, k 2,..., k t. Tämän kappaleen tärkein tulos on, että jokainen permutaatio voidaan esittää erillisten (eivät siirrä yhtään samaa alkiotasyklien tulona ja kertaluku saadaan esityksen erillisten syklien kertalukujen pienimmästä yhteisestä jaettavasta. 3.4 Parilliset ja parittomat permutaatiot. Permutaation esitys transpoosien tulona ei ole yksikäsitteinen, mutta tietyt ominaisuudet määräytyvät yksiselitteisesti annetusta permutaatiosta. Lähdetään seuraavaksi tarkastelemaan permutaatioiden pariteettia. Tarkastelussa täytyy lähteä liikkeelle hieman mutkan kautta ja ensin määritelläänkin kaksi uutta kuvausta. Olkoon N = (j i. Jos σ S n, niin merkitään σn = 1 i<j n 1 i<j n (σ(j σ(i. Kuvaukselle N pätee myös σn = N tai σn = N kaikilla σ S n. Tätä ominaisuutta en perustele tarkemmin tässä työssä, vaan otan sen pelkkänä tuloksena. Katsotaan seuraavaksi kuitenkin pari esimerkkiä, jotka tukevat väitettä. 11
13 Esimerkki Olkoon n=3, σ = ( 1 2 S 3, τ = ( S 3. Nyt N = (2 1(3 2(3 1 = 2 ja σn = (σ(2 σ(1(σ(3 σ(2(σ(3 σ(1 = (1 2(3 1(3 2 = 2 = N sekä τn = (τ(2 τ(1(τ(3 τ(2(τ(3 τ(1 = (3 2(1 3(1 2 = 2 = N. Määritellään seuraavaksi kuvaus F : S n ({1, 1},, ( on kokonais lukujen kertolasku ja pari ({1, 1}, on ryhmä (todistus esitietoja käsittelevässä osiossa seuraavasti: { 1, kun σn = N F (σ = 1, kun σn = N. Kuvauksien σn ja F avulla määritellään permutaation pariteetti seuraavalla tavalla: Määritelmä Kuvausta σ S n sanotaan parittomaksi permutaatioksi, jos F (σ = 1. Vastaavasti sitä kutsutaan parilliseksi permutaatioksi, jos F (σ = 1. Esimerkki Edellisen esimerkin σ = ( 1 2 S 3 on pariton permutaatio, sillä σn = 2 = N F (σ = 1 ja τ = ( S 3 on parillinen, sillä τn = 2 = N F (τ = 1. Lause Jos σ S n on transpoosi, niin σ on pariton permutaatio. Todistus. Olkoon σ = ( i j,missä 1 i < j n. Laskettaessa tuloa σn lasketaan lukujen (σ(u σ(v, missä 1 v < u n tuloa. Huomataan, että negatiivisia tulontekijöitä tässä tulossa on 2(j i 1+1 = 2j 2i 1 = 2(j i 1 kappaletta. Koska 1 i < j n ja j ja i ovat kokonaislukuja, niin 2(j i on parillinen kokonaisluku. Täten negatiivisten tulontekijöiden lukumäärä 2(j i 1 on pariton kokonaisluku ja tulo σn < 0. Tulon ominaisuuden perusteella σn = N ja σ on pariton. Jotta kuvauksien σn ja F avulla saataisiin selville muidenkin kuin transpoosien pariteetti, tarkastellaan miten kuvaus F toimii yhdistetylle kuvaukselle. Olkoon σ, τ S n. Tällöin (τσn = (τσ(j τσ(i = (τ(j τ(i. 1 i<j n 12
14 Kun tähän lisätään ehto τ(j τ(i = [τ(i τ(j ] kaikilla i > j, niin saadaan (τσn = F (σ (τ(j τ(i = F (στn = F (σf (τn. 1 i<j n Tästä saadaan kuvauksen F määritelmä huomioiden tulos F (τ σ = F (τf (σ, eli F on ryhmähomomorsmi. Tiedetään lisäksi, että F (σ = 1, kun σ on transpoosi. Tämän ja edellä todistetun ominaisuuden F (τσ = F (τf (σ nojalla voidaan suoraan päätellä, että permutaatio α S n on pariton jos ja vain jos sen esityksessä transpoosien tulona on pariton määrä transpooseja. Edellisessä luvussa todettiin, että k-sykli σ = ( k S n voidaan esittää transpoosien tulona seuraavasti: σ = ( k = ( 1 k ( 1 k 1 (1 3 ( 1 2. Tässä esityksessä transpooseja on k-1 kappaletta ja voidaan suoraan päätellä, että jos k on parillinen, niin k-1 on pariton luku ja k-syklit ovat parittomia permutaatioita. Vastaavasti, jos k on pariton,niin k-1 on parillinen ja k-syklit ovat parillisia permutaatioita. Syklin pariteetin näkee siis kätevästi suoraan syklin pituudesta/kertaluvusta. Esimerkki syklit σ = ( i j k ovat parillisia, sillä k=3 on pariton. 6-syklit σ = ( ovat parittomia, sillä k=6 on parillinen. Kuvauksen F homomorsuudesta voidaan myös päätellä seuraavat "pariteetti laskusäännöt": 1 parillinen parillinen=parillinen 2 parillinen pariton=pariton 3 pariton pariton=parillinen. Esimerkki Olkoon ( σ = = ( ( ( 7 = ( ( } {{ } } {{ } pariton parillinen Nyt F (σ = F ( ( F ( ( = 1 1 = 1 Huomautus Symmetrisen ryhmän S n permutaatio σ on joko pariton tai parillinen, mutta ei voi olla molempia. 13
15 Lause Permutaatiolla σ ja sen käänteiskuvauksella σ 1 on sama pariteetti. Todistus. Olkoon σ = α 1 α 2 α k permutaation esitys transpoosien tulona. Nyt σ 1 1 ( = (α 1 α 2 α k = α 1 k α 1 k 1 α 1 ( 1 = α k α k 1 α 1. Joten kuvauksilla σ ja σ 1 on sama pariteetti. ( = yhdistetyn kuvauksen käänteiskuvaus. ( = transpoosit ovat itsensä käänteiskuvauksia. Tiivistettynä tämän kappaleen tärkeimmät tulokset ovat 1 k-sykli on parillinen, jos k on pariton, ja päinvastoin. 2 pariteetti laskusäännöt 3 permutaatiolla ja sen käänteiskuvauksella on sama pariteetti. Tästä onkin hyvä jatkaa eteenpäin permutaatioryhmiin. 14
16 4 Permutaatioryhmistä ja niiden käytöstä. Permutaatioilla on myös tiettyjä käytännön soveluksia. Tässä luvussa tarkastellaan miten permutaatioryhmä on määritelty ja mitä tarkoittaa permutaatioryhmän rata. Lisäksi tutkitaan muutamia soveltavia esimerkkejä, joissa hyödynnetään juuri permutaatioryhmän ratoja. Määritelmä 4.1. Olkoon X = {1, 2,..., n} ja G S n. Aliryhmää G sanotaan antetta n olevaksi permutaatioryhmäksi. Merkitään lisäksi relaatio ( : i j on olemassa g G siten, että g(i = j. Nyt ( on ekvivalenssirelaatio joukossa X ja jakaa siis kyseisen joukon pistevieraisiin ekvivalenssiluokkiin. Näitä ekvivalenssilokkia voidaan merkitä T 1, T 2,...T r ja tällöin sanotaan, että ne ovat permutaatioryhmän G radat joukossa X. Huomautus 4.2. Seuraavassa pari huomautusta permutaatioryhmän radoista. 1 Joukko X = T i T 2... T r voidaan kirjoittaa ratojen unionina ja T i T j =, kun i j. Tästä seuraa myös, että n = X = r i=1 T i. 2 Alkion i määräämä rata G:ssä T i = {g(i g G}, missä G siis on permutaatioryhmä. 3 Jos permutaatioryhmällä on vain yksi rata, sitä kutsutaan transitiiviseksi. Esimerkki 4.3. Olkoon N = {1, 2, 3, 4, 5} ja G = { ( 1, ( 1 3, ( 2 4 5, ( 2 5 4, ( 1 3 ( 2 4 5, ( 1 3 ( } S5. Tällöin T 1 = {g(1 g G} = {1, 3} = T 3 ja T 2 = {2, 4, 5} = T 4 = T 5 15
17 Määritelmä 4.4. Alkion i stabiloija ryhmässä G on G i = {g G g(i = i}. Lause 4.5. Olkoon G permutaatioryhmä, T sen rata ja k T. Tällöin T = [G : G k ]. Todistus. Olkoon G = r i=1 g ig k. 1 Jos x g i G k, niin x = g i g, missä g G k. Tällöin x(k = g i g(k ( = g i (k. 2 Jos, jollakin h G h(k = g i (k, niin g 1 i h(k = k. Joten g 1 i h(k G k ja h g i G k. Täten siis {g(k g G} = T = {g i G k i = 1,..r} = [G : G k ]. Huomautus 4.6. Transitiivisessa ryhmässä G = T G k = X G k. Määritelmä 4.7. Merkitään fix X (g = {i X g(i = i}, missä G on permutaatioryhmä joukossa X. Lemma 4.8. (Ei-Burnsiden lemma Olkoon G permutaatioryhmä joukossa X. Tällöin ryhmän G ratojen lukumäärä joukossa X = 1 G g G fix X(g. Todistus. Olkoot T 1,...T r permutaatioryhmän G radat joukon X suhteen. Merkitään S j = {(i, g T j x G g(i = i}. Nyt S j = g G fix T j (g ja toisaalta S j = l T j G l, missä G l on alkion l T j stabiloija. Nyt T j = G G l G l = G T j. Tällöin S j = l T j G l = G l T j T j = T j G = T j G. Edelleen g G fix X(g = r j=1 ( g G fix T j (g = r j=1 S j = r j=1 G = r G r = T j = 1 g G fix G X(g. 16
18 Esimerkki 4.9. (Kuution tahkojen erilaiset väritykset Kuution tahkot väritetään käyttäen kolmea väriä. Kuinka monta erilaista väritystä saadaan? Värityksiä pidetään samoina, jos ne saadaan toisistaan kuution kiertojen avulla. Ratk. Kuution värityksiä on kaiken kaikkiaan 3 6 = 729 kappaletta. Kuution kierrot muodostaa permutaatioryhmän G, joka permutoi kuution kaikkien väritysten joukkoa. Tällöin samanlaiset väritykset ovat G:n samalla radalla. On siis määritettävä kuinka monta rataa G:llä on kaikkien väritysten joukossa. Merkataan kuution tahkoja ja kulmia seuraavasti: etutahko T 1,vasen sivutahko T 2, takatahko T 3, oikea sivutahko T 4, ylätahko T 5 ja alatahko T 6. Etu vasen ylä-kulma=evy=1, ovy=2, eva=3, eoa=4, tvy=5, toy=6, tva=7, toa=8. Tällöin saadaan: 1 Kierto 90 myötäpäivään ylä- ja alatahkon keskipisteiden kautta kulkevan akselin suhteen. R 1 = ( T 1 T 2 T 3 T 4 ( T5 ( T6. Tyyppiä R1 olevia ratoja on 3 kpl (ylä- ja alatahkoina oleva tahkopari voidaan valita kolmella tavalla. 2 Kierto 180 saman akselin suhteen. Tällöin R 2 = R 2 1 = ( T 1 T 3 ( T2 T 4 ( T5 ( T6. Kuten tyyppiä R 1, myös tyyppiä R 2 olevia kiertoja on 3 kappaletta. 3 Kierto 270 saman akselin suhteen. Tällöin R 3 = R 3 1 = ( T 1 T 4 T 3 T 2 ( T5 ( T6. Kuten tyyppiä R 1, myös tyyppiä R 3 olevia kiertoja on 3 kappaletta. 4 Kierto 120 kärkien 1 ja 8 määräämän akselin suhteen. R 4 = ( T 1 T 5 T 2 ( T3 T 6 T 4. (Kulmat siirtyvät 2 5,5 3, 3 2, 6 7, 7 4, 4 6. Tyyppiä R 4 olevia kiertoja on 4 kpl, koska akselin määräävä kulmapari voidaan valita neljällä eri tavalla. 5 Kierto 240 saman akselin suhteen. R 5 = R 2 4 = ( T 1 T 2 T 5 ( T3 T 4 T 6. (Kulmat siirtyvät 2 5,5 3, 3 2, 6 7, 7 4, 4 6. Samoin kuin tyyppiä R 4 myös tyyppiä R 5 olevia kiertoja on 4 kpl. 6 Kierto 180 vastakkaisten särmien (esim 3-7 ; 2-6 keskipisteiden kautta kulkevan akselin suhteen. R 6 = ( T 1 T 3 ( T2 T 6 ( T4 T 5.Kulmat siirtyvät seuraavasti: 3 7, 2 6, 1 8, 4 5. Vastakkaisia särmäpareja on kuusi, joten tyyppiä R 6 olevia kiertoja on 6kpl. 17
19 kiertotyyppi lkm säilyvien väritysten lkm lisäys lausekkeeseen g G fix x(g (i = R = = 81 R = = 243 R = = 81 R = = 36 R = = 36 R = = 162 g G fixx (g = 1368 Täten erilaisten väritysten lukumäärä= ryhmän G ratojen lukumäärä= 1 g G fix G x (g = = Vastaus on siis 57 erilaista väritystä. Esimerkki Tarkastellaan leimauskorttia, joka on 3x3-ruudukko. Tehdään leima/reikä kahteen ruutuun. Kuinka monta erilaista rei'itystä on mahdollista tehdä? Rei'ityksiä pidetään samoina, jos ne saadaan toisistaan kiertämällä korttia. Merkitään kaikkien rei'itysten joukkoa X:llä. Nyt X = ( 9 2 = 9! = 36. Numeroivaan ruudut edeten vasemmasta ylänurkasta oikeaan alanurkkaan, ylhäältä alas ja vasemmalta oikealle. 2!7! Tällöin: 1 90 kiertoa myötäpäivään vastaa permutaatio α = ( ( ( kiertoa myötäpäivään vastaa permutaatio α 2 = ( 1 9 ( 3 7 ( ( kiertoa myötäpäivään vastaa permutaatio α 3 = ( ( ( 5. Nyt < α >= {(i, α, α 2, α 3 } on permutaatioryhmä joukon X suhteen ja samat rei'itykset ovat ovat < α >:n samalla radalla tässä joukossa. Täten erilaisten rei'itysten lukumäärä= < α >:n ratojen lukumäärä joukossa X= 1 g <α> fix <α> X(g = 1 ( fix 4 X((i + fix X (α + fix X (α 2 + fix X (α 3 = 1 ( =
20 Lause (Caychy'n lause Olkoon G äärellinen ryhmä, p alkuluku ja p G. Tällöin G:llä on sellainen alkio a, jolle pätee a = p. Todistus. Merkitään X = {(g 1, g 2,..., g p g i G, g 1 g 2...g p = 1}. Nyt X, sillä (1, 1,..., 1 X. Kuinka monta alkiota joukossa X sitten on? Alkiot g 1,..., g p 1 voidaan valita vapaasti ryhmästä G ja alkio g p valitaan niin, että näiden tuloksi tulee yksi(g p = (g 1...g p 1 1. Tästä saadaan,että X = G p 1. Määritellään seuraavaksi kuvaus α : X X, α((g 1, g 2,..., g p = (g 2, g 3,..., g p, g 1. Nyt kuvaus α on bijektio, eli se on permutaatio joukon X suhteen. Nyt α 2 ((g 1, g 2,..., g p = (g 3, g 4,..., g p, g 1 g 2,..., α p ((g 1, g 2,..., g p = (g 1 g 2...g p = (i. Siten α = p ja < α > on kertalukua p oleva permutaatioryhmä joukossa X. Koska p on alkuluku, niin < α >:n radat sisältävät, joko yhden tai p alkiota. Oletetaan, että yhden kappaleen ratoja on s kappaletta ja p alkion ratoja r kappaletta. Täten s 1 + r p = X = G = p 1 ( (pt p 1 s = (pt p 1 rp p s. Nyt (1, 1,..., 1 X muodostaa yhden alkion radan, joten s 1. Koska p 2,p s, niin s 2. Täten on olemassa alkio a = (a,...a X, missä a = (a,...a (1,..., 1. Tällöin }{{} a..a = 1 a p = 1 a = p. p kpl Tämän luvun sisältämän teorian ydinkohdat ovat permutaatioryhmän ja sen radan määritteleminen sekä lausekkeet joiden avulla voidaan laskea ratojen lukumäärä ja radan pituus, kun tunnetaan yksi alkio, joka kuuluu kyseenomaiseen rataan. Ja toki sovellus esimerkit ovat myös luvun yksi pääkohdista. 19
21 5 Alternoivasta ryhmästä. Tässä luvussa keskitytään alternoivan ryhmän määrittelemiseen ja sen ominaisuuksiin. 5.1 Alternoivan ryhmän A n määritteleminen. Edellisessä luvussa määriteltiin kuvaukset σn ja F. Niiden avulla määritellään myös alternoiva ryhmä A n seuraavasti: Määritelmä 5.1. Paria (A n,, missä A n = {σ S n F (σ = 1} ja ( on kuvausten yhdistämisoperaatio, kutsutaan astetta n olevaksi alternoivaksi ryhmäksi. Se sisältää siis kaikki symmetrisen ryhmän S n parilliset permutaatiot ja sitä merkitään jo otsikossakin löytyvällä tavalla A n. Todistetaan vielä, että pari (A n, todella on ryhmä: Olkoon σ, τ, α A n. Nyt 1 στ A n, sillä F (στ = F (σf (τ = 1 1 = 1 2 (στα = σ(τα, sillä σ, τ, α S n (A n S n ja S n on ryhmä. 3 i A n, sillä in = N F (i = 1, koska i on identiteettikuvaus eikä muuta kuvausta N mitenkään. 4 josσ A n, niin σ 1 A n, sillä aikaisemmin todettiin kuvauksella ja sen käänteiskuvauksella olevan sama paritetti. Lisäksi σ 1 on olemassa, koska σ 1 S n. Nyt kohtien 1, 2, 3 ja 4 nojalla (A n, = A n on ryhmä. Lisäksi huomataan, että jos ρ S n ja σ A n, niin ρ 1 σρ A n, sillä σ on parillinen ja kuvauksilla ρ 1, ρ on sama pariteetti, joten paritetti laskusääntöjen mukaan tulo ρ 1 σρ on parillinen ja kuuluu siten ryhmään A n, jossa siis tämän nojalla toteutuu normaalisuuskriteeri. Saadaan siis, että alternoiva ryhmä A n on symmetrisen ryhmän S n normaali aliryhmä. Toisessa luvussa pääteltiin, että symmetrisen ryhmän kertaluku S n = n!. Alternoivan ryhmän A n kertaluvun määrittelemiseksi täytyy tutkia edellisessä luvussa määriteltyä kuvausta F hieman tarkemmin. Tutkittava kuvaus määriteltiin seuraavasti: F : S n ({1, 1},, { 1, kun σn = N F (σ = 1, kun σn = N. 20
22 Samalla todettiin myös, että kaikille σ S n pätee, että σn = N tai σn = N, joten kuvauksen F kuvajoukko im(f = {1, 1} ja F on näin ollen surjektio. Lisäksi kuvauksen F ydin Ker(F = {σ S n F (σ = 1} = A n. Nyt kuvaukselle F pätee homomorsmien peruslause, jonka mukaan Im(F = S n /Ker(F. Eli {1, 1} = S n /A n, josta saadaan ryhmän ominaisuuksien nojalla Sn A n = {1, 1} n! A n = 2 A n = n! 2. Tämän kappaleen yhteenvetona ollaan siis saatu, että alternoiva ryhmä A n on symmetrisen ryhmän S n normaali aliryhmä, joka sisältää kaikki S n :n parilliset permutaatiot ja jonka kertaluku on Sn Alternoivan ryhmän ominaisuuksia. Lähdetään seuraavaksi tutkimaan alternoivaa ryhmää tarkemmin. Tämän kappaleen ja koko tutkielman yksi pää tavoitteista on todistaa seuraava tulos: Kun n 5, niin alternoiva ryhmä A n on yksinkertainen. Ennen kuin tähän päästään tutkitaan hieman permutaatioiden konjugointia ja todistetaan muutama muu ominaisuus alternoivalle ryhmälle A n. Lähdetään liikeelle transpooseeja koskevasta lauseesta, jota käytetään myöhemmin hyödyksi. Lause 5.2. Jos n 3 ja τ 1, τ 2 S n ovat transpooseja, niin τ 1 τ 2 on 3-sykli tai kahden 3-syklin tulo. Todistus. 1 Olkoon τ 1 = τ 2, niin τ 1 τ 2 = τ 2 1 = i = ( ( Jos τ 1 τ 2 ja permutaatioilla yksi yhteinen alkio/elementti, jota ne siirtää. Tällöin voidaan merkitä, että τ 1 = ( 1 2 ja τ 2 = ( 1 3. Jolloin τ 1 τ 2 = ( 1 2 ( 1 3 = ( Olkoon τ 1 τ 2 ja permutaatioilla ei ole yhtään yhteistä alkiota/elementtiä, jota ne siirtävät. Tällöin voidaan merkitä, että τ 1 = ( 1 2 ja τ 2 = ( 3 4. Nyt τ1 τ 2 = ( 1 2 ( 3 4 = ( ( Kohtien 1, 2, 3 nojalla väite on todistettu. Lause syklit generoivat alternoivan ryhmän A n, kun n 3. Todistus. Olkoon σ A n jokin parillinen permutaatio. Nyt σ voidaan esittää transpoosien tulona, jossa on parillinen määrä transpooseja. Voidaan kirjoitaa σ = α 1 α 2 α 2m, m 1 Z. Nyt transpoosit voidaan siis jakaa pareihin ja edellisen lauseen nojalla jokainen transpoosipari α 2i 1 α 2i, missä 1 i m on 3-sykli tai kahden 3-syklin tulo. Joten nyt σ on 3-sykli tai jokin korkeintaan 2m:n 3-syklin tulo. Ollaan siis todistettu, että mielivaltainen alternoivan ryhmän permutaatio voidaan esittää 3-syklien avulla, mikä tarkoittaa, että 3-syklit generoivat altenoivan ryhmän A n. 21
23 Tarkastellaan seuraavaksi permutaatioiden konjugointia ja edetään tutkimaan alternoivaa ryhmää. Ja todistetaan ryhmälle A n ominaisuus: 3-syklit konjugoivat ryhmässä. Määritellään kuitenkin ensin, mitä tarkoitetaan sillä, että kaksi alkiota konjugoivat keskenään. Määritelmä 5.4. Olkoon G ryhmä sekä x, y G. Jos on olemassa a G, jolle a 1 xa = y, niin x ja y konjugoivat G:ssä. Seuraavassa esimerkki kahdesta permutaatiosta, jotka konjugoivat. Nyt σ = ( ja τ = ( konjugoivat ryhmässä S 6, sillä. ( 1 ( ( ( = } {{ } } {{ } S n S n Lause 5.5. Konjugointikuvaus K : S n S n, K(x = ρ 1 xρ, ρ S n on homomorsmi. Todistus. Nyt K(στ = ρ 1 στρ = ρ 1 σ(ρρ 1 τρ = (ρ 1 σρ(ρ 1 τρ = K(σK(τ, joten kuvaus K on ryhmähomomorsmi. Lause 5.6. k-syklin konjugaatti on k-sykli. Todistus. Olkoon α = ( a 1 a 2... a k Sn, β S n ja lisäksi 1 Olkoon x S n sellainen, että β(x / {a 1, a 2,..., a k }. Nyt β 1 αβ(x = β 1 α(β(x = β 1 (β(x = x, eli β 1 αβ(x ei siirrä alkiota x. 2 Olkoon sitten x S n sellainen, että β(x {a 1, a 2,..., a k }. Nyt β 1 αβ(x = β 1 α(β(x merk.β(x=ar = β 1 α(a r = Kohdat 1 ja 2 yhdistämällä saadaan, että { β 1 (a r+1, kun 1 r k 1 β 1 (a 1, kun r = k β 1 αβ = ( β 1 (a 2 β 1 (a 3... β 1 (a k β 1 (a 1 = ( β 1 (a 1 β 1 (a 2... β 1 (a k. Joka on k-sykli.. Esimerkki 5.7. Edellisen esimerkin permutaation τ = ( konjugaatti σ = ( on 3-sykli, samoin kuin τ itse. 22
24 Pohditaan seuraavaksi, miten saadaan selville konjugoivatko, jotkin kaksi annettua permutaatiota. Väitetään, että kaksi permutaatiota konjugoivat, jos ja vain jos niillä on sama syklirakenne. Samalla syklirakenteella tarkoitetaan seuraavaa: Määritelmä 5.8. kahdella syklillä σ, τ S n on sama syklirakenne, jos niiden esitykset erillisten syklien tulona vastaavat toisiaan kun otetaan huomioon syklien pituudet ja lukumäärät. Esimerkki 5.9. Sykleillä ( σ = = ( ( 2 4 ( 3 8 ja τ = on sama syklirakenne. ( = ( 1 6 ( ( Lause Kaksi sykliä σ, τ S n konjugoivat, jos ja vain jos niillä on sama syklirakenne. Todistus. Olkoon σ = α 1 α 2 α k permutaation esitys erillisten syklien tulona ja τ = ρ 1 σρ, ρ S n eräs permutaation σ konjugaatti. Nyt τ = ρ 1 σρ = ρ 1 (α 1 α 2 α k ρ = ρ 1 α 1 (ρρ 1 α 2 (ρρ 1 (ρρ 1 α k ρ = (ρ 1 α 1 ρ (ρ 1 α } {{ } 2 ρ (ρ 1 α k ρ = α 1α 2 α k α 1 :nkonjugaatti ja sykleillä σ, τ on sama syklirakenne, sillä k-syklin konjugaatti on k-sykli. Olkoon σ = ( a 1 a 2... ( a k1 b1 b 2... ( b k2 x1 x 2... x kr ja τ = ( α 1 α 2... ( α k1 β1 β 2... ( β k2 χ1 χ 2... χ kr kaksi symmetrisen ryhmän S n permutaatiota, joilla on sama syklirakenne. Nyt, jos ( a1 a ρ = 2... a k1 b 1 b 2... b k2 x 1 x 2... x kr S α 1 α 2... α k1 β 1 β 2... β k2 χ 1 χ 2... χ n kr, niin ρ 1 τρ = σ ja τ ja σ konjugoivat. 23
25 Katsotaan edellä olevan permutaation ρ valinnan tueksi, miten ρ 1 τρ kuvaa alkion a 1. Nyt ρ 1 τρ(a 1 = ρ 1 τ(ρ(a 1 = ρ 1 τ(α 1 = ρ 1 (α 2 = a 2 = σ(a 1. Määritelmä Kokonaisluvun n jaotuksella tarkoitetaan luvun n esitystä kokonaislukujen summana seuraavasti: n = n 1 + n n k, missä 0 n 1 n 2... n k n ja n i, 1 i k ovat kokonaislukuja. Lause Konjugointiluokkien lukumäärä symmetrisessä ryhmässä S n on samalla myös kokonaisluvun n jaotuksien lukumäärä. Todistus. Nyt kaksi sykliä konjugoivat jos ja vain jos niillä on sama syklirakenne, joten konjugointi luokkien lukumäärä ryhmässä S n on myös ryhmässä S n olevien erilaisten syklirakenteiden lukumäärä. Koska symmetrisen ryhmän permutaatiot kuvaavat alkioita 1, 2,..., n, niin erilaiset syklirakenteet voidaan samaistaa kokonaisluvun n jaotuksiksi seuraavasti: Olkoon σ = α 1 α 2 α k S n permutaation esitys erillisten syklien tulona ja r i syklin α i, 1 i k kertaluku. Samaistetaan tämä syklirakenne jaotukseksi n = } {{ } +Σ 1 i k r i, (n Σ 1 i k r i kpl missä kokonaisluvut r i ovat suuruusjärjestyksessä ja kirjoittamattomat 1- syklit on "luettu"kokonaisluvuksi 1 ja lisätty summaan. Näin ollen kokonaisluvun n jaotusten lukumäärä = S n :n erilaisten sykliesitysten lukumäärä = S n :n konjugointiluokkien lukumäärä. Esimerkki Nyt ( σ = = ( ( 2 4 ( 3 8 S 8 voidaan samaistaan kokonaisluvun 8 jaotukseen 8 = Lause Jos n 5, niin 3-syklit konjugoivat alternoivassa ryhmässä A n. Todistus. Olkoon σ 1 ja s 2 kaksi 3-sykliä S n :ssä. Nyt ne konjugoivat ryhmässä S n ja voidaan kirjoittaa σ 1 = ( ja σ 2 = ρ ( ρ 1, jollakin ρ S n. Jos ρ on pariton, niin τ = ρ ( 4 5 A n on parillinen. Tällöin τσ 1 τ 1 = τ ( τ 1 = ρ ( 4 5 ( ( ρ 1 = ρ ( ρ 1 = σ 2, eli σ 1 ja σ 2 konjugoivat myös alternoivassa ryhmässä A n. 24
26 Lause Jos n 5, niin symmetrisen ryhmän S n ainoa ei-triviaali normaali aliryhmä on alternoiva ryhmä A n. Todistus. Olkoon N symmetrisen ryhmän S n normaali aliryhmä, joka on eitriviaali. Eli N {i} ja N S n. Olkoon sitten σ i N. Nyt S n :n keskus on {i} ja transpoosit generoivat ryhmän S n, joten on olemassa transpoosi τ S n siten, että στ τσ. Aiemmin todistettiin, että k-syklin konjugaatti on myös k-sykli, joten τ 1 = στσ 1 on myös transpoosi. Tällöin ττ 1 = τστσ 1 = (τστσ 1 = (τστ 1 σ 1 i on normaaliuskriteerin nojalla myös joukossa N. Nyt joukko N sisältää siis elementin, joka on kahden transpoosin tulo. Lauseen (4.2 nojalla voidaan todeta: 1 Jos transpooseilla τ ja τ 1 on yksi yhteinen elementti, niin ττ 1 on 3-sykli. Täten joukko N sisältää 3-syklin ja koska 3-syklit konjugoivat joukossa S n ja N on sen normaali aliryhmä, niin joukko N sisältää kaikki 3-syklit. Tästä taas voidaan päätellä, että A n N, sillä 3-syklit generoivat ryhmän A n. 2 Jos transpooseilla τ ja τ 1 on yksi yhteinen elementti, niin voidaan merkitä τ = ( 1 2 ja τ 1 = ( 3 4 ja tiedetään ττ 1 = ( 1 2 ( 3 4 N. Koska n ( 5, niin 1 5 ( S n ja tällöin 1 5 ( 1 2 ( 3 4 ( 1 ( ( 1 5 = N, sillä N on Sn :n } {{ } N ( normaali ( aliryhmä. ( Tästä ( saadaan edelleen N:n normaaliuden nojalla, että N. Joukko N sisältää siis tässäkin tapauksessa } {{ } } {{ } N N 3-syklin ja normaaliuden nojalla kaikki 3-syklit kuuluvat sinne. Tällöin pätee A n N. Koska symmetrisellä ryhmällä S n ei ole aliryhmiä, joiden kertalu olisi alternoivan ryhmän kertaluvun A n ja symmetrisen ryhmän kertaluvun S n välissä, niin täytyy olla, että N = A n ja väite on tosi. Lause A 5 on kertalukua 60 oleva yksinkertainen ryhmä. Todistus. Oletetaan, että A n ei ole yksinkertainen. Tällöin on olemassa sellainen ryhmän A 5 normaali aliryhmä N, jolle pätee {i} < N < A 5 ja N on pienin mahdollinen. Olkoon sitten T = {σ S n σnσ 1 N} merkintä aliryhmän N normalisoijalle ryhmässä S 5. Koska N on normaali aliryhmä ryhmässä A 5, niin normalisoijan ehto toteutuu kaikilla σ A 5. Eli A 5 T ja koska lisäksi T S n, niin täytyy olla joko T = A 5 tai T = S 5. Jos T = S 5, niin se tarkoittaisi, että N olisi normaali aliryhmä myös joukossa S n, mikä on edellisen lauseen nojalla ristiriita. Täytyy siis olla T = A 5. Tällöin 25
27 ( 1 2 / T = A5 ja näin ollen M merk. = ( 1 2 N ( N. Nyt σmσ 1 = σ ( 1 2 N ( σ 1 = ( 1 2 [ ( ( σ 1 2 N ( ( σ ] ( } {{ } } {{ } A 5 =T A 5 =T ( ( N 1 2 NnormaaliA 5 :ss = Siis myös M on ryhmän A 5 normaali aliryhmä ja aliryhmien ominaisuuksista voidaan suoraan päätellä, että myös M N = {a a Mja a N} ja MN = {mn m Mja n N} ovat ryhmän A 5 normaaleja aliryhmiä. Nyt M = ( 1 2 N ( N, joten myös M N N. Tällöin M N < N ja koska N valittiin minimaaliseksi normaaliksi aliryhmäksi ryhmässä A 5, niin täytyy olla M N = {(i} ( Tutkimalla joukkoa 1 2 MN ( = } {{ } ( =N että 1 = NM N,Mnormaaleja = MN huomataan, ( ( 1 ( ( M N 1 2 } {{ } =M 2 kuuluu joukon MN normalisoijaan joukossa S 5. Koska normalisoija on S 5 :n aliryhmä, sekä A ( 5 ja 1 2 kuuluvat normalisoijaan, täytyy olla MN = A 5. Tutkitaan seuraavaksi ryhmän MN kertalukua. Tiedetään, että M = N (k-syklin konjugaatti on k-sykli ja MN = A 5 sekä M N = {(i}. Nämä yhdistämällä voidaan päätellä, että N 2 = MN = A 5 = 60, mikä ei voi pitää paikkaansa, sillä 60 ei ole minkään kokonaisluvun neliö. Täten vastaoletus on siis väärä ja väite tosi. Edellä esitetty todistus on esitetty I.N Hersteinin kirjassa Abstract Algebra s Algebra II kurssin luentomuistiinpanoissa on toisenlainen versio todistuksesta. Tämä versio on mielestäni selkeämpi, joten haluan esittää myös sen tässä. Todistus. Oletetaan, että N on alternoivan ryhmän A 5 normaali aliryhmä ja N {(i}. Tällöin on olemassa σ N, σ (i. Nyt koska N = 5, niin σ = ( 1 2 3, σ = ( 1 2 ( 3 4 tai σ = ( Tutkitaan tilanne näissä jokaisessa tapauksessa erikseen. 1 Olkoon σ = ( Nyt permutaation σ konjugaatti ασα 1, α A 5 on 3-sykli ja kuuluu ryhmän N normaliuden nojalla joukkoon N. On siis osoitettu, että normaali aliryhmä N sisältää 3-syklin, koska 3-syklit konjugoivat ryhmässä A 5, niin kaikki 3-syklit kuuluvat joukkoon N. Lisäksi 3-syklit generoivat ryhmän A 5, joten A 5 N. Nyt N A 5 ja A 5 N, joten täytyy olla N = A 5. 26
28 2 Olkoon σ = ( 1 2 ( 3 4. Nyt τ = ( 3 5 ( 1 2 A 5 ja τστ 1 N. Täten τ 1 στσ = ( 3 5 ( 1 2 ( 1 2 ( 3 4 ( 3 5 ( 1 2 ( 1 2 ( 3 4 = ( N. Päädytään siis 1-kohdan tilanteeseen, jossa joukko N sisältää 3-syklin. Kuten 1-kohdassakin, voidaan päätellä, että N = A 5. 3 Olkoon σ = ( ja τ = ( A 5. Nyt τ 1 στ N ja τ 1 στσ 1 = ( ( ( ( = ( N. Saadaan siis tässäkin tapauksessa, että N sisältää 3-syklin ja 1- kohdan nojalla N = A 5. Kohdat 1, 2 ja 3 yhdistämällä ollaan siis saatu: N on normaali aliryhmä A 5 :ssä N = {(i} tai N = A 5. Joten A 5 on yksinkertainen. Edellisen todistuksen mekaanisissa laskuissa on hypätty monta välivaihetta pois, jotta todistus pysyisi selkeänä. Katsotaan tässä todistuksen jälkeen toinen näistä laskuista välivaiheineen, jotta laskut eivät jää epäselviksi. Toinen laskuista menee vastaavasti. τ 1 στσ = ( ( 3 5 ( ( 1 2 ( 3 4 ( 3 5 ( 1 2 ( 1 2 ( 3 4 = ( ( ( 1 2 ( 3 4 ( 3 5 ( 1 2 ( 1 2 ( 3 4 = ( 1 2 ( 3 5 ( 1 2 ( 3 4 ( 3 5 ( 1 2 ( 1 2 ( 3 4 = ( 3 5 ( 1 2 ( 1 2 ( 3 4 ( 3 5 ( 1 2 ( 1 2 ( 3 4 = ( Lause Alternoiva ryhmä A 6 on yksinkertainen. Todistus. Aiemmin todistettiin, että alternoiva ryhmä A 5 on yksinkertainen. Todistuksessa tehtiin vastaoletus. Joka päättyi ristiriitaan, missä alternoivan ryhmän A 5 kertaluku A 5 = 5! = 60 pitäisi olla jonkin kokonaisluvun neliö N 2. Samaa päättelyä voidaan käyttää myös A 6 :n tapauksessa. Myöskään 2 A 6 = 6! = ei ole minkään kokonaisluvun neliö, joten A 6 on yksinkertainen. 27
29 Lause Alternoiva ryhmä A n on yksinkertainen, kun n 5 Todistus. Aiemmin todistettiin tapaus n=5, joten jatkossa voidaan olettaa n 6. Olkoon sitten N {(i} ryhmän A n normaali aliryhmä. Tällöin on siis olemassa σ (i N A n. Lisäksi alternoivan ryhmän keskus Z(A n = {(i}, kun n > 3 ja 3-syklit generoivat ryhmän A n, joten on olemassa 3-sykli τ, jolle pätee στ τσ (Lause (2.14. Tällöin στσ 1 τ 1 (i. Lisäksi koska N on normaali aliryhmä ryhmässä A n, niin στσ 1 τ 1 N. Nyt koska τ on 3- sykli, niin sen konjugaatti στσ 1 ja käänteiskuvaus τ 1 ja στσ 1 τ 1 (i N on kahden 3-syklin tulo. Tämä tulo siirtää korkeintaan kuutta alkiota, joten voidaan ajatella, että στσ 1 τ 1 (i H = A 6 A n Täten N H (i ja esitietoja käsittelevässä kappaleessa olevan lauseen (2.15 nojalla N H (i ryhmän A 6 normaali aliryhmä. Koska A 6 on yksinkertainen niin täytyy olla N H = H. Koska 3-syklit generoivat ryhmän H = A 6, niin joukon N täytyy myös sisältää 3-sykli. Aiemmin todistettiin, että 3-syklit gonjugoivat ryhmässä S n ja koska N on normaali A n :ssä, niin se sisältää kaikki 3-syklit ja näin ollen N = A n (3-syklit generoivat A n :nja väite on todistettu. 28
30 6 Yhteenveto ja loppusanat. Tämän tutkielman aikana on käyty läpi ryhmäteorian perusteita ja permutaatioilla laskemista sekä niiden ominaisuuksia ja vähän sovelluksiakin. Kokonaisuudessaan siis melko laaja katsaus ryhmäteorian ja permutaatioiden maailman ytimeen. Esitietoja käsittelevässä kappaleessa on kerätty yhteen tärkeimmät asiat aivan ryhmäteorian alkeista, mutta esimerkkejä ei pahemmin ole ja osan perusteluistakin jätin pois. Tämä siksi, että tutkielman fokus pysyisi paremmin sen ytimessä. Tämän kappaleen teoriasta ja muusta esimerkkeineen saisi aivan oman minitutkielman, jos lähtisi tarkasti käymään läpi. Kolmannessa luvussa käydään läpi perustietoja permutaatioista. Tärkeimpinä voisi mainita ainakin kuvausten sykliesityksen ja sykleillä laskemisen ja laskusäännöt. Sekä permutaatioiden esityksen erillisten syklien tulona ja pariteetin päättelyn + pariteettilaskusäännöt. Pyrin laittamaan paljon esimerkkejä tähän kappaleeseen, jotta lukija saisi harjoitusta ja ymmärrystä siitä, miten laskeminen tapahtuu käytännössä. Esimerkit kannattaakin käydä läpi, niin että lukee tehtävänannon ja laskee sitten itse paperille ja tarkistaa vastauksen. Neljännessä luvussa käsitellään permutaatioiden sovelluksia ja käyttöä. Kappaleen teoria menee vähän syvemmälle aiheeseen ja on astetta vaativampaa. Päälimmäisenä tästä kappaleesta olisi varmaan hyvä jäädä mieleen permutaatioryhmä ja sen rata, sekä se miten ratojen lukumäärä tietyssä joukossa ja radan pituus(kun tiedetään yksi alkio, joka kuuluu ko. rataan voidaan laskea. Ja tietenkin myös se, että käytäntöön permutaatioita ja ratoja voidaan soveltaa tapauksissa, jossa pitää ottaa huomioon kappaleen kierrot. Viimeisessä luvussa palataan taas enemmän ryhmäteorian pariin ja lähdetään tarkastelemaan alternoivaa ryhmää. Liikkeelle lähdetään aivan alusta, eli määritelmästä ja edetään konjugoinnin kautta todistamaan muutama ominaisuus alternoivalle ryhmälle. Kappaleen päätulos on sen viimeinen lause, jonka väite on: Kun n 5, niin alternoiva ryhmä A n on yksinkertainen. 29
31 Viitteet [1] I.N. Herstein: Abstract Algebra, Prentice-Hall,1996 [2] M. Niemenmaa ; K. Myllylä ; J-M. Tirilä: Algebra 1, luentorunko, Oulun yliopisto, 2010 [3] K. Myllylä ; Algebra 1, luennot ja muistiinpanot, Oulun yliopisto, kevät 2010 [4] M. Niemenmaa ; Algebra 2, luennot ja muistiinpanot, Oulun yliopisto, kevät
Alternoivien ryhmien ominaisuuksista
Alternoivien ryhmien ominaisuuksista Pro gradu -tutkielma Anssi Aska 2257068 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Peruskäsitteitä 3 2.1 Ryhmä ja aliryhmä........................
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotMikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
LisätiedotCauchyn ja Sylowin lauseista
Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4
LisätiedotRatkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä
Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas 2192712 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015 Sisältö 1 Perusteita 3 1.1 Ryhmät ja aliryhmät.......................
LisätiedotPermutaatioryhmien radoista. Tero Suokas
Permutaatioryhmien radoista Tero Suokas Pro Gradu -tutkielma Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä 3 2.1 Ryhmistä............................. 3 2.2 Homomorsmeista........................
LisätiedotTekijäryhmät ja homomorsmit
Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä 1953004 henna.isokaanta@gmail.com Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotTekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.
3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää
LisätiedotSymmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin
Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin 16. marraskuuta 2006 1 Symmetrisistä ryhmistä... Bijektiivistä kuvausta {1,..., n} {1,..., n} kutsutaan n-permutaatioksi. Merkitään n-permutaatioden joukkoa S n.
LisätiedotTekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}.
Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa suuriin, helpommin käsiteltäviin osiin. Tämän jälkeen voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin
LisätiedotPermutaatioiden ominaisuuksista
Permutaatioiden ominaisuuksista Pro gradu -tutkielma Ville-Antero Valpas 1732513 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2015 Sisältö Johdanto................................ 2 1 Esitietoja
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
LisätiedotSymmetristen ja alternoivien ryhmien yksinkertaisuus ja ratkeavuus
Symmetristen ja alternoivien ryhmien yksinkertaisuus ja ratkeavuus Pro gradu Tuomo Holma 2379771 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Permutaatiot 3 2 Ryhmistä
LisätiedotLuuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006
Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3
LisätiedotLuupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014
Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Perusteita 3 1.1 Kuvauksista............................ 3 1.2 Relaatioista............................
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
LisätiedotTIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta
Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotTransversaalit ja hajoamisaliryhmät
Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,
Lisätiedot2 Permutaatioryhmät. 2.1 Permutaation olemus
2 Permutaatioryhmät Rubikin kuution siirrot ovat tietynlaisia permutaatioita Permutaatiot muodostavat ryhmiä, ja tällä tavoin ryhmäteorian työkaluja päästään käyttämään kuutioongelman selvittämisessä Tässä
Lisätiedot2 Permutaatioryhmät. 2.1 Permutaation olemus. 2.2 Permutaatioilla laskeminen
2 Permutaatioryhmät Rubikin kuution siirrot ovat tietynlaisia permutaatioita Permutaatiot muodostavat ryhmiä, ja tällä tavoin ryhmäteorian työkaluja päästään käyttämään kuutio-ongelman selvittämiseen Tässä
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotEräitä ratkeavuustarkasteluja
Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
Lisätiedot1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
Lisätiedot5.6 Yhdistetty kuvaus
5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty
LisätiedotVieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
LisätiedotApprobatur 3, demo 5, ratkaisut
Approbatur 3, demo 5, ratkaisut 51 Tehtävänä on luetella kaikki joukon S 4 alkiot eli neljän alkion permutaatiot Tämä tarkoittaa kaikkia eri tapoja kuvata joukko {1, 2, 3, 4} bijektiivisesti itselleen
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Lisätiedot6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedotπ πρ = ρ, π πρ 3 = ρ 3, πρ 2 πρ = ρ 3 πρ 2 πρ 3 = ρ.
Rhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 4, ratkaisuehdotus (5 sivua) 26.11.2012 Tehtävä 1. Etsi neliön smmetriarhmän D 8 kaikki alirhmät. Mitkä niistä ovat normaaleja? Ratkaisu. Rhmää D 8
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotRyhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua)
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) 10.12.2012 Tehtävä 1. Osoita, että tuloryhmän R np R sp indeksi Rubikin paikkaryhmässä R p on täsmälleen kaksi. (Tarkkaan
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotSanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.
Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotH = H(12) = {id, (12)},
7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedota 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.
Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotSyklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016
Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................
Lisätiedotx gxg 1 Esimerkin 3-sykli saatiin siis konjugoimalla siirretyksi toimimaan lukujen 1, 2 ja 3 sijasta luvuilla 5, 8 ja 6.
4 Konjugointi 4.1 Konjugoinnin määritelmä Usein ryhmän alkiot kuvaavat operaatioita jossain joukossa. Permutaatiot ovat tästä hyvä esimerkki. Tällaisessa tapauksessa voidaan konjugoinnilla siirtää jossain
LisätiedotRyhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta
Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki
LisätiedotJohdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197
Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedot4 Konjugointi. 4.1 Konjugoinnin määritelmä
4 Konjugointi 4.1 Konjugoinnin määritelmä Usein ryhmän alkiot kuvaavat operaatioita jossain joukossa. Ryhmäteoriassa tätä kutsutaan ryhmän toiminnaksi. Permutaatiot ovat hyvä esimerkki ryhmän toiminnasta.
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos meillä
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
LisätiedotSylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Aleksi Heiskanen Sylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Marraskuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
LisätiedotSurjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.
5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
Lisätiedot15. Laajennosten väliset homomorfismit
15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
Lisätiedota b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotLineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016
Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotEkvivalenssirelaatio. Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli. Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa
Määritelmä 1 Olkoot x ja y joukon A alkioita. Jos R on jokin ominaisuus/ehto, joka määritellään yksikäsitteisesti joukon A kaikkien alkioiden välille siten, että se joko toteutuu tai ei toteudu alkioiden
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 5 / vko 41
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 5 / vko 4 Tuntitehtävät 4-42 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 45-46 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 43-44 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotLaitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedot