Permutaatioryhmien radoista. Tero Suokas

Transkriptio

1 Permutaatioryhmien radoista Tero Suokas Pro Gradu -tutkielma Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2015

2 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä Ryhmistä Homomorsmeista Permutaatiot Permutaatio Permutaatioryhmä Syklit Konjugoinnista 19 5 Alternoiva ryhmä Permutaation pariteetti Alternoiva ryhmä A n Alternoivan ryhmän yksinkertaisuus Permutaatioryhmän rata 32 7 Esimerkkejä Symmetriaryhmät Kombinatorisia tarkasteluja Lähdeluettelo 43 1

3 1 Johdanto Tämän työn tarkoituksena on perehdyttää lukijansa permutaatioryhmien ominaisuuksiin ja käyttömahdollisuuksiin. Luvussa 2 käydään läpi ryhmäteorian määritelmiä, lauseita ja esimerkkejä. Muutamaa poikkeusta lukuunottamatta lauseiden todistukset on jätetty kirjoittamatta, mutta lähde todistuksille on kuitenkin mainittu. Vaikka luku käsitteleekin paljon pohjatietoja, lukijan odotetaan kuitenkin omaavan jonkinlaisia perustietoja algebrasta ja ryhmäteorian alkeista jo senkin takia, että luvun 2 lauseiden todistuksia voisi itse käydä läpi. Kolmannessa luvussa esitellään permutaation käsite ja tutkitaan permutaatioiden muodostamaa ryhmää ja sen ominaisuuksia. Samalla todistetaan Arthur Cayleyn mukaan nimetty tulos, jonka mukaan jokainen ryhmä voidaan rinnastaa johonkin permutaatioryhmään. Luvussa 4 määritellään mitä tarkoittaa, kun alkiot ovat toistensa konjugaatteja. Lisäksi tutkitaan konjugointia permutaatioryhmissä. Luvussa 5 saamme nähdä millaisia ovat parilliset ja parittomat permutaatiot. Myöhemmin nähdään, että parilliset permutaatiot muodostavat myös ryhmän, jota kutsutaan alternoivaksi ryhmäksi. Luvun päätteeksi sivutaan viime vuosisadan suurta matemaattista saavutusta eli kaikkien äärellisten yksinkertaisten ryhmien löytämistä ja osoitetaan, että alternoivat ryhmät ovat eräs äärellisten yksinkertaisten ryhmien joukko. Kuudennen luvun aiheena on permutaatioryhmän radat. Kappaleen lopussa esitellään käyttökelpoinen ei-burnsiden lemma. Viimeiseen lukuun on koottu esimerkkejä permutaatioryhmien soveltamisesta. Erityisesti perehdytään siihen, kuinka ei-burnsiden lemmaa voidaan käyttää hyödyksi kombinatorisissa tarkasteluissa. 2

4 2 Määritelmiä 2.1 Ryhmistä Määritelmä 2.1. Olkoon S epätyhjä joukko. Kuvausta S S S sanotaan joukon S binääriseksi operaatioksi ja parin (x, y) kuvaa merkitään x y. Joukkoa S varustettuna binäärioperaatiolla merkitään (S, ). Määritelmä 2.2. Olkoon G epätyhjä joukko ja joukon G binäärinen operaatio. Paria (G, ) sanotaan ryhmäksi, jos se toteuttaa seuraavat kolme aksioomaa: (G1) Jos a, b, c G, niin a (b c) = (a b) c, eli operaatio on assosiatiivinen. (G2) On olemassa sellainen alkio e G, että a e = e a = a aina, kun a G. Alkiota e sanotaan ryhmän G neutraalialkioksi tai ykkösalkioksi. Käytetään myös merkintää e = 1 tai e = 1 G. (G3) Aina, kun a G, on olemassa sellainen alkio b G, että a b = b a = e. Alkiota b sanotaan alkion a käänteisalkioksi ryhmässä G ja merkitään b = a 1. Määritelmä 2.3. Ryhmää (G, ) sanotaan Abelin ryhmäksi, jos se edellisen määritelmän lisäksi toteuttaa aksiooman: (G4) Aina, kun a, b G, niin a b = b a, eli operaatio on kommutatiivinen. Selkeyden vuoksi jatkossa käytetään lyhennettyä merkintää a b = ab ja puhutaan ryhmästä G ryhmän (G, ) sijaan. Otetaan myös käyttöön potenssimerkintä a n = aa a }{{} nkpl ja a n = (a 1 ) n, kun n on positiivinen kokonaisluku. Lisäksi merkitään a 0 = e. 3

5 Lemma 2.1. Olkoon G ryhmä. (1) Jos xa = xb tai ax = bx, niin a = b aina, kun a G ja b G. (2) Ykkösalkio e on yksikäsitteinen. (3) Jokaisella alkiolla a on yksikäsitteinen käänteisalkio a 1 ryhmässä G. (4) Jos a G, niin (a 1 ) 1 = a. Todistus. Ks. [6] Lemma 2.19, s Määritelmä 2.4. Jos ryhmässä G on äärellinen määrä alkioita, niin sanotaan, että G on äärellinen ryhmä. Ryhmän G alkioiden lukumäärää sanotaan ryhmän G kertaluvuksi ja sitä merkitään G. Määritelmä 2.5. Olkoon a G. Pienintä sellaista positiivista kokonaislukua n, että a n = e kutsutaan alkion a kertaluvuksi ja merkitään a = n. Lause 2.2. Jos G on äärellinen ryhmä ja G = n, niin a n = e aina, kun a G. Todistus. Ks. [2] Lauseet ja 2.4.5, s. 60. Määritelmä 2.6. Olkoon G = n. Ryhmää G sanotaan sykliseksi ryhmäksi, jos on olemassa sellainen alkio g, että ryhmän G jokainen alkio voidaan esittää sen potenssina, G = {e, g, g 2,..., g n 1 }. Tällöin sanotaan, että alkio g generoi ryhmän G ja merkitän G =< g >. Määritelmä 2.7. Olkoon H ryhmän G epätyhjä osajoukko. Jos H muodostaa ryhmän ryhmässä G määritellyn operaation suhteen, sitä kutsutaan ryhmän G aliryhmäksi ja merkitään H G. Lemma 2.3. (Aliryhmäkriteeri) Ryhmän G epätyhjä osajoukko H on ryhmän G aliryhmä jos ja vain jos ehdosta a, b H seuraa, että ab 1 H. Todistus. Ks. [6] Propositio 2.26, s

6 Määritelmä 2.8. Olkoon H ryhmän G aliryhmä ja a G. Joukkoa ah = {ah h H} sanotaan alkion a määräämäksi aliryhmän H vasemmanpuoleiseksi sivuluokaksi ryhmässä G. Samalla tavalla määritellään oikeanpuoleinen sivuluokka Ha. Sivuluokkien lukumäärää kutsutaan aliryhmän H indeksiksi, ja sitä merkitään [G : H]. Lause 2.4. Olkoon H G. Määritellään ryhmässä G relaatio seuraavasti: x y, jos ja vain jos x 1 y H. Tällöin on ekvivalenssirelaatio. Todistus. Ks. [3] Propositio 5.3, s.39 Lause 2.5. Olkoon H G ja lauseessa 2.4 esitelty ekvivalenssirelaatio. Tällöin alkion g G määräämä ekvivalenssiluokka on vasen sivuluokka gh. Todistus. Ks. [3] Propositio 5.4, s. 39 Huomautus 2.1. Aliryhmän H vasemmanpuoleiset sivuluokat ovat siis erillisiä ekvivalenssiluokkia ja ryhmä G voidaan esittää niiden yhdisteenä. Lause 2.6. (Lagrange) Jos H on äärellisen ryhmän G aliryhmä, niin G = H [G : H]. Todistus. Ks. [1] Lause 1.12, s. 51. Määritelmä 2.9. Ryhmän G aliryhmää N sanotaan normaaliksi aliryhmäksi, jos an = Na aina, kun a G. Ryhmän G normaalia aliryhmää merkitään N G. Kun G on ryhmä, niin selvästi {1} G ja G G. Normaaleja aliryhmiä {1} ja G sanotaan triviaaleiksi normaaleiksi aliryhmiksi. 5

7 Lemma 2.7. (Normaalisuuskriteeri) Ryhmän G aliryhmä N on normaali, jos ja vain jos ana 1 N aina, kun a G ja n N. Todistus. Oletetaan ensin, että ryhmä N on ryhmän G normaali aliryhmä. Siis an = Na, eli on olemassa sellainen ryhmän N alkio n 1, että an = n 1 a aina, kun n N. Tästä seuraa, että ana 1 = n 1 N. Siis väite pätee toiseen suuntaan. Oletetaan sitten, että a G, jolloin täytyy osoittaa, että an = Na. Olkoon n N ja merkitään ana 1 = n 1. Tällöin oletuksen mukaan n 1 N, joten saadaan, että an = n 1 a Na. Siis an Na. Tutkitaan sitten alkiota a 1. Merkitään a 1 na = n 2, jolloin oletuksen mukaan n 2 N. Saadaan, että na = a 1 n 2 eli Na an. Yhdistämällä lopputulokset saadaan, että an = Na aina, kun a G. Siis aliryhmä N on normaali. Lause 2.8. Olkoon G ryhmä ja N sen normaali aliryhmä. Aliryhmän N vasemmanpuolisten sivuluokkien joukko varustettuna operaatiolla an bn = abn muodostaa ryhmän. Todistus. Ks. [3] Propositio 7.11, s.62. Määritelmä Lauseessa 2.8 saatua vasemmanpuolisten sivuluokkien muodostamaa ryhmää kutsutaan ryhmän G tekijäryhmäksi modulo N ja merkitään G/N. 2.2 Homomorsmeista Määritelmä Olkoon (G, ) ja (H, ) ryhmiä. Kuvausta ϕ : G H sanotaan homomorsmiksi, jos ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y) aina, kun x, y G. Jos homomorsmi on bijektio, niin sitä kutsutaan isomorsmiksi. Ryhmiä G ja H sanotaan isomorsiksi, jos on olemassa sellainen isomorsmi, että ϕ : G H. Tällöin merkitään G = H. 6

8 Lemma 2.9. Olkoon G ja H ryhmiä ja ϕ : G H homomorsmi. Tällöin (1) ϕ(1 G ) = 1 H, eli ryhmän G neutraalialkio kuvautuu ryhmän H neutraalialkioksi. (2) ϕ(a 1 ) = ϕ(a) 1 aina, kun a G. Todistus. Ks. [2] Lemma 2.5.2, s. 70. (1) Olkoon g G. Koska g = g1 G, saadaan ϕ(g) = ϕ(g1 G ) = ϕ(g)ϕ(1 G ). Lemman 2.1 kohdan (1) nojalla saadaan ϕ(1 G ) = 1 H. (2) Nyt ϕ(aa 1 ) = ϕ(1 G ) = 1 H aina, kun a G. Tästä seuraa, että 1 H = ϕ(aa 1 ) = ϕ(a)ϕ(a 1 ). Tällöin ϕ(a 1 ) = ϕ(a) 1. Määritelmä Olkoon ϕ : G H homomorsmi. Joukkoa Im(ϕ) = {h H h = ϕ(g), kun g G} sanotaan homomorsmin ϕ kuvaksi. Joukkoa Ker(ϕ) = {g G ϕ(g) = 1 H } sanotaan homomorsmin ϕ ytimeksi. Lause Olkoon ϕ : G H homomorsmi. Silloin (1) Im(ϕ) H. (2) Ker(ϕ) G. Todistus. Ks. [6] Propositio 2.37, s (1) Lemman 2.9 perusteella nähdään kaksi asiaa. Ensiksi 1 = ϕ(1) Im(ϕ). Sitten, jos h = ϕ(x) Im(ϕ), niin h 1 = ϕ(x) 1 = ϕ(x 1 ) Im(ϕ). Jos lisäksi k = ϕ Im(ϕ), niin hk = ϕ(x)ϕ(y) = f(xy) Im(ϕ). Seuraa, että Im(ϕ) H. (2) Lemman 2.9 mukaan 1 Ker(ϕ), sillä ϕ(1) = 1. Jos x, y Ker(ϕ), niin ϕ(x) = 1 = ϕ(y). Tällöin ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = 1 1 = 1, eli xy Ker(ϕ). Jos 7

9 edelleen x Ker(ϕ), niin ϕ(x) = 1 ja tällöin ϕ(x 1 ) = ϕ(x) 1 = 1 1 = 1. Siis x 1 Ker(ϕ) ja Ker(ϕ) G. Lisäksi jos x Ker(ϕ) ja a G, niin ϕ(axa 1 ) = ϕ(a)ϕ(x)ϕ(a) 1 = ϕ(a)1ϕ(a) 1 = ϕ(a)ϕ(a) 1 = 1 Siis axa 1 Ker(ϕ), joten normaaliuskriteerin mukaan Ker(ϕ) G. Lemma Olkoon G ja H ryhmiä ja ϕ : G H homomorsmi. Tällöin ϕ(y 1 x) = ϕ(y) 1 ϕ(x) aina, kun x, y G. Todistus. Koska ϕ on homomorsmi, saadaan ϕ(y)ϕ(y 1 x) = ϕ(y(y 1 x)) = ϕ(x). Kertomalla molemmat puolet vasemmalta alkiolla ϕ(y) 1 saadaan ϕ(y 1 x) = ϕ(y) 1 ϕ(x). Lause (Homomorsmien peruslause) Olkoon G ja H ryhmiä sekä kuvaus ϕ : G H homomorsmi. Tällöin G/Ker(ϕ) = Im(ϕ) Todistus. Ks. [3] Lause 8.13(3), s. 71. Merkitään Ker(ϕ) = K. Määritellään kuvaus γ : G/K H siten, että γ(gk) = ϕ(g) aina, kun g G. Nyt täytyy osoittaa, että γ on hyvin määritelty, homomorsmi ja bijektio. Oletetaan, että xk = yk, eli x = yk, missä k K. Tällöin γ(xk) = ϕ(x) = ϕ(yk) = ϕ(y)ϕ(k) = ϕ(y)1 H = ϕ(y) = γ(yk), eli γ on hyvin määritelty. Oletetaan sitten, että x, y G, jolloin γ(xk)γ(yk) = ϕ(x)ϕ(y) = ϕ(xy) = γ(xyk). 8

10 Siis γ on homomorsmi. Jokainen joukon Im(ϕ) alkio on muotoa ϕ(x) = γ(xk), kun x G, joten γ on surjektio. Jos lisäksi γ(xk) = γ(yk), niin ϕ(x) = ϕ(y). Kertomalla puolittain oikealta alkiolla ϕ(y) 1 ja käyttämällä apuna Lemmaa 2.11 saadaan 1 H = ϕ(y) 1 ϕ(x) = ϕ(y 1 x), joten y 1 x K. Tästä seuraa, että xk = xy, eli γ on injektio ja täten myös bijektio. Homomorsmien peruslausetta käyttämällä saadaan osoitettua seuraava hyödyllinen tulos. Lause (Toinen isomoralause) Olkoon H ryhmän G aliryhmä ja N ryhmän G normaali aliryhmä. Tällöin N HN, N H H ja H/(N H) = HN/N. Todistus. Ks.[3] Lause 8.15, s. 72 9

11 3 Permutaatiot 3.1 Permutaatio Kirjoitetut sanat muodostuvat tiettyyn järjestykseen asetetuista kirjaimista. Tutkitaan sanaa OPEL. Monellako eri tavalla kirjaimet voidaan järjestää? Ensimmäinen kirjain voidaan valita neljästä mahdollisesta, seuraava kolmesta, kolmannelle kirjaimelle jää kaksi vaihtoehtoa ja viimeiselle kirjaimelle enää yksi. Kaikkiaan vaihtoehtoja on siis 4! = = 24 kappaletta. ELOP LEOP OELP PELO ELPO LEPO OEPL PEOL EOLP LOEP OLEP PLEO EOPL LOPE OLPE PLOE EPLO LPEO OPEL POEL EPOL LPOE OPLE POLE Kaikki nämä ovat sanan OPEL kirjainten eri järjestyksiä eli anagrammeja. Kirjainten uudelleen järjestämistä voidaan kutsua permutaatioksi. Määritelmä 3.1. Olkoon X = {1, 2,..., n}. Jos kuvaus σ : X X on bijektio, niin sanotaan, että σ on joukon X permutaatio. Permutaatiosta käytetään merkintää ( ) n σ =. σ(1) σ(2)... σ(n) Esimerkki 3.1. Neljä henkilöä on muodostanut jonon. Jonossa ensimmäinen päättää päästää muut edelleen ja siirtyä jonossa viimeiseksi. Tapausta voidaan kuvata permutaatiolla ( ) σ =

12 3.2 Permutaatioryhmä Lause 3.1. Olkoon S X joukon X kaikkien permutaatioiden muodostama joukko ja kuvausten yhdistämisoperaatio. Tällöin (S X, ) on ryhmä. Todistus. Kahden bijektion yhdiste on edelleen bijektio ja näin ollen myös binäärinen operaatio. Lisäksi S X toteuttaa ryhmäaksioomat: (G1) (π σ) τ = π (σ τ), aina kun π, σ, τ S X. Siis on assosiatiivinen. (G2) Kuvaus e : X X, e(x) = x aina, kun x X, on identiteettikuvaus, jolle σ e = e σ = σ aina, kun σ S X. (G3) Jos σ : X X on bijektio, niin σ 1 : X X on myös bijektio. Siis σ 1 on permutaatio ja permutaation σ käänteisalkio, jolle σ σ 1 = e = σ 1 σ. Määritelmä 3.2. Ryhmää (S X, ) sanotaan symmetriseksi ryhmäksi. Jos X = n, niin symmetrisestä ryhmästä käytetään merkintää S n. Tällöin sanotaan, että S n ja sen aliryhmät ovat astetta n olevia permutaatioryhmiä. Todistetaan seuraavaksi Arthur Cayleyn mukaan nimetty tulos, joka luo yhteyden permutaatioryhmien sekä abstraktiempien ryhmien välille. Lause 3.2. (Cayleyn Teoreema) Jokainen ryhmä on isomornen jonkin permutaatioryhmän kanssa. Todistus. Ks. [6] Lause 2.66, s.178. Olkoon G ryhmä. Osoitetaan, että G on isomornen jonkin symmetrisen ryhmän S G aliryhmän kanssa. Määritellään nyt jokaiselle ryhmän G kiinteälle alkiolle a kuvaus τ a : G G, τ a (x) = ax aina, kun x G. Olkoon sitten a, b G. Nyt (τ a τ b )(x) = τ a (τ b (x)) = τ(bx) = a(bx) = (ab)x 11

13 laskutoimituksen assosiatiivisuuden nojalla, joten τ a τ b = τ ab. Tästä seuraa, että τ a τ a 1 = τ aa 1 = τ 1 = 1 G = τ a 1 a. Siis jokaisella kuvauksella τ a on käänteiskuvaus τ a 1, joten se on bijektio ja τ a S G. Tarkastellaan sitten kuvausta ϕ : G S G, ϕ(a) = τ a. Kuvaus on homomor- smi, sillä ϕ(a)ϕ(b) = τ a τ b = τ ab = ϕ(ab). Jos ϕ(a) = ϕ(b), niin τ a = τ b eli τ a (x) = τ b (x) aina, kun x G. Kun valitaan x = 1, saadaan a = b, eli ϕ on myös injektio. Täten ϕ on bijektio ja siis haluttu isomorsmi. Lemma 3.3. Ryhmän S n kertaluku on n!. Todistus. Olkoon 1, 2,..., n joukon X permutoitavat alkiot ja σ joukon S n permutaatio. Vaihtoehtoja ensimmäisen alkion kuvaksi σ(1) on nyt n kpl. Koska permutaatiot ovat bijektioita, kuvalle σ(2) jää enää n 1 vaihtoehtoa, kuvalle σ(3) jää n 2 vaihtoehtoa ja niin edelleen. Viimeiselle kuvalle σ(n) jää enää yksi vaihtoehto, joten S n = n (n 1) (n 2)... 1 = n!. Esimerkki 3.2. Ryhmän S 3 alkioiden lukumäärä on S 3 = 3! = 6. Alkiot ovat: ( ) ( ) ( ) ( ) ,,,, ( ) ( ) ja

14 Permutaatioilla laskettaessa kuvausten yhdistäminen aloitetaan aina jälkimmäisestä permutaatiosta. Olkoon ( ) ( ) σ = ja τ = ryhmän S 3 permutaatioita. Nyt τ(1) = 3 ja σ(3) = 1, joten (σ τ)(1) = 1. Vastaavasti (σ τ)(2) = 3 ja (σ τ)(3) = 2. Siis ( ) ( ) ( ) σ τ = = Kuvausten yhdistäminen ei ole kommutoiva operaatio, sillä ( ) ( ) ( ) τ σ = = σ τ Määritetään vielä permutaation σ käänteispermutaatio σ 1. Nyt σ(1) = 2, joten σ 1 (2) = 1. Vastaavasti σ(2) = 3, joten σ 1 (3) = 2. Edelleen σ(3) = 1, jolloin σ 1 (1) = 3. Saadaan lopulta ( ) σ 1 = Selkeyden vuoksi yhdistämisoperaation merkki jätetään kirjoittamatta ja jatkossa merkitään lyhyemmin σ τ = στ. Otetaan myös käyttöön merkintä σ 2 = σσ = σ σ tarkoittamaan permutaation yhdistämistä itsensä kanssa. Vastaavasti σ 3 = σσσ = σ σ σ ja niin edelleen. Myös permutaation kaksirivinen esitystapa on epäkäytännöllinen. Seuraavassa alaluvussa määritellään yksinkertaisempi merkintätapa. 3.3 Syklit Määritelmä 3.3. Olkoon σ S n ja i {1, 2,..., n}. Jos σ(i) = i niin, sanotaan, että σ säilyttää alkion i. Jos σ(i) i, niin sanotaan, että σ siirtää alkion i. 13

15 Määritelmä 3.4. Merkinnällä (i 1 i 2... i r 1 i r ) tarkoitetaan sellaista permutaatiota σ, että σ(i 1 ) = i 2, σ(i 2 ) = i 3,..., σ(i r 1 ) = i r, σ(i r ) = i 1 ja σ säilyttää muut alkiot. Tällaista permutaatiota sanotaan r-sykliksi tai r:n pituiseksi sykliksi. Lisäksi 2-sykliä kutsutaan transpoosiksi. Kaikki alkiot säilyttävää identiteettikuvausta voidaan ajatella 1-syklinä ja siitä voidaan käyttää merkintää (1). Esimerkki 3.3. Tarkastellaan ryhmän S 5 permutaatiota ( ) σ = Kaksirivisestä esitystavasta ei selkeästi nähdä, onko σ sykli. Nyt σ(1) = 4, σ(4) = 5, σ(5) = 2, σ(2) = 3 ja σ(3) = 1. Siis voidaan merkitä σ = ( ) eli σ on 5-sykli. Sen sijaan ryhmän S 5 permutaatio ( ) τ = ei ole sykli, sillä τ(1) = 3 ja τ(3) = 1, mutta τ(2) 2. Syklin voi aloittaa mikä tahansa siihen kuuluva alkio, sillä (1 3 2) = (3 2 1) = (2 1 3). Ainoastaan alkioiden järjestyksellä on merkitystä. Vakiintunut merkintätapa on kuitenkin aloittaa sykli pienimmällä siihen kuuluvalla kokonaisluvulla. Lemma 3.4. Syklin α = (i 1 i 2... i r ) käänteisalkio on sykli (i r i r 1... i 1 ). Todistus. Ks. [6] Propositio 2.11, s Määritelmä 3.5. Kahta permutaatiota, jotka eivät siirrä yhtään samaa alkiota, sanotaan erillisiksi permutaatioiksi. Lisäksi kahta sykliä, jotka eivät siirrä yhtään samaa alkiota, sanotaan erillisiksi sykleiksi. 14

16 Lemma 3.5. Olkoon α ja β erillisiä syklejä. Tällöin ne kommutoivat. Todistus. Ks. [6] Lemma 2.7, s Oletetaan ensin, että sykli β siirtää alkion i X, esimerkiksi β(i) = j Tällöin β siirtää myös alkion j. Syklit α ja β ovat erillisiä, joten α(i) = i ja α(j) = j. Tästä seuraa, että βα(i) = j = αβ(i). Vastaavasti oletetaan, että sykli α siirtää alkion i, esimerkiksi α(i) = j. Tällöin α siirtää myös alkion j, mutta β säilyttää molemmat alkiot. Seuraa edelleen, että αβ(i) = j = βα(i). Viimeiseksi oletetaan, että kumpikin sykli säilyttää alkion i. Tällöin αβ(i) = i = βα(i). Siis αβ = βα. Lause 3.6. Jos σ S n, niin σ on joko sykli tai voidaan esittää erillisten syklien tulona. Todistus. Ks. [6] Propositio 2.8, s Olkoon k permutaation σ siirtämien alkioiden lukumäärä. Todistetaan väite induktiolla luvun k suhteen. Jos k = 0, niin σ on identiteettikuvaus eli 1- sykli. Jatkossa oletetaan, että k > 0. Tehdään induktio-oletus: Jos permutaation siirtämien alkioiden lukumäärä on pienempi kuin k, niin permutaatio voidaan esittää erillisten syklien tulona. Olkoon i 1 eräs permutaation σ siirtämä alkio ja σ(i 1 ) = i 2. Olkoon edelleen σ(i 2 ) = i 3,..., σ(i r ) = i r+1, missä r on pienin sellainen luku, että i r+1 {i 1, i 2,..., i r }. Väitetään, että σ(i r ) = i 1. Jos σ(i r ) = i j, missä j 2 r, niin σ ei ole injektio, sillä myös σ(i j 1 ) = i j. Siis täytyy olla σ(i r ) = i 1. Olkoon α = (i 1 i 2 i 3... i r ) r-sykli. Jos r = n, niin σ = α ja σ on sykli. Jos r < n, niin tarkastellaan permutaatiota σα 1. Nyt permutaatio σα 1 säilyttää alkiot i 1,... i r, joten se siirtää alle k kpl alkioita. Induktio-oletuksen nojalla σα 1 voidaan esittää erillisten syklien tulona. Olkoon σα 1 = β 1 β 2... β t. Nyt β 1 β 2... β t ja α ovat erillisiä ja σ = β 1 β 2... β t α on erillisten syklien tulo. Seuraus 3.7. Erilliset permutaatiot kommutoivat. Todistus. Seuraa Lemmasta 3.5 ja Lauseesta

17 Esimerkki 3.4. Permutaation ( ) σ = esitys erillisten syklien tulona on ( )(2 7)(5). 1-syklit jätetään usein kirjoittamatta, jolloin tulo lyhenee muotoon ( )(2 7). Lemma 3.8. Jos α on r-sykli, niin sen kertaluku on r. Todistus. Täytyy osoittaa, että α = r. Olkoon α = (i 1 i 2... i r ). Tutkitaan r-syklin α potensseja. 1. α(i j ) = i j+1 aina, kun 1 j r 1 ja α(i r ) = i α 2 (i j ) = i j+2 aina, kun 1 j r 2, α 2 (i r 1 ) = i 1 ja α 2 (i r ) = i α 3 (i j ) = i j+3 aina, kun 1 j r 3. Lisäksi α 3 (i r 2 ) = i 1, α 3 (i r 1 = i 2 ja α 3 (i r ) = i 3. Näin jatkamalla saadaan r-syklin potensseille esitys i α k j+k, jos 1 j r k (i j ) = i j+k r, jos r k < j r Kun k = r, niin r k = r r = 0 ja saadaan α r (i j ) = i j+r r = i j. Siis α r = e(identiteettikuvaus). Osoitetaan seuraavaksi, että r on pienin tällainen luku. Nyt α l (i 1 ) = i 1+l aina, kun 1 l < r. Koska i 1+l i 1 aina, kun 1 l < r, niin α l e aina, kun 1 l < r. Siis r on pienin luku, jolla α r = e. Täten α = r. Lause 3.9. Olkoon σ ryhmän S n permutaatio ja σ = α 1 α 2 α k sen esitys erillisten syklien tulona. Olkoon lisäksi α i = m i aina, kun i = 1, 2,..., k. Tällöin permutaation σ kertaluku on kertalukujen m 1, m 2,..., m k pienin yhteinen jaettava. 16

18 Todistus. Ks. [2] Lause 3.2.4, s Olkoon M lukujen m 1, m 2,..., m k pienin yhteinen jaettava. Tulossa σ = α 1 α 2 α k jokainen α i on erillinen m i :n mittainen sykli, joten ne kommutoivat. Lisäksi α i = m i ja m i M aina, kun i = 1,..., k, joten αi M = e aina, kun i = 1,..., k. Saadaan σ M = (α 1 α 2 α k ) M = α1 M α2 M αk M = e Tästä seuraa, että σ M. Toisaalta, jos σ N = e, niin α1 N α2 N αk N = e. Saadussa tulossa αn i = e aina, kun i = 1,..., k, koska syklit ovat erillisiä. Tällöin m i N, koska syklin α i kertaluku on m i. Tästä seuraa, että N on jaollinen lukujen m 1, m 2,..., m k pienimmällä yhteisellä jaettavalla, eli M N. Siis σ = M. Esimerkki 3.5. Määritetään permutaation ( ) σ = kertaluku. Esitetään σ erillisten syklien tulona, jolloin σ = (1 3 5)(2 7)( ). Permutaatio σ muodostuu siis yhdestä 3-syklistä, yhdestä transpoosista ja yhdestä 4-syklistä. Lemman 3.8 mukaan (1 3 5) = 3, (2 7) = 2 ja ( ) = 4. Edelleen Lauseen 3.9 mukaan σ = pyj(3, 2, 4) = 12. Lemma Jokainen r-sykli voidaan esittää transpoosien tulona. Todistus. Ks. [3] Propositio 9.10, s. 81. Syklillä α = ( r) on esitys α = (1 r)... (1 3)(1 2), joten r-sykli (i 1 i 2... i r ) voidaan esittää muodossa (i 1 i r )... (i 1 i 3 )(i 1 i 2 ), mikä on transpoosien tulo. 17

19 Lause Jokainen permutaatio voidaan esittää transpoosien tulona. Todistus. Väite seuraa lauseesta 3.6 ja lemmasta Esimerkki 3.6. Esimerkissä 3.4 permutaation σ esitys erillisten syklien tulona oli ( )(2 7). Esitetään σ edelleen transpoosien tulona. Nyt Lemman 3.10 nojalla ( ) = (1 4)(1 6)(1 3), jolloin saadaan σ = (1 4)(1 6)(1 3)(2 7). 18

20 4 Konjugoinnista Määritelmä 4.1. Olkoon a ja b ryhmän G alkioita. Jos on olemassa sellainen ryhmän G alkio g, että b = g 1 ag, niin sanotaan että alkiot a ja b konjugoivat ryhmässä G. Alkiota b sanotaan alkion a konjugaatiksi. Määritellään ryhmässä G relaatio seuraavasti: a b, jos on olemassa sellainen alkio x G, että b = x 1 ax. Osoitetaan, että on ekvivalenssirelaatio. (1) Nyt a a, sillä a = e 1 ae, missä e G on identiteettikuvaus. (2) Jos a b, niin b = x 1 ax. Tästä saadaan a = (x 1 ) 1 bx 1, eli b a. (3) Jos a b ja b c, niin b = x 1 ax ja c = y 1 by, missä x G ja y G. Saadaan c = y 1 (x 1 ax)y, eli c = (xy) 1 a(xy), ja edelleen a c. Siis relaatio on ekvivalenssirelaatio ja ryhmä G jakautuu erillisiin ekvivalenssiluokkiin ja voidaan esittää niiden yhdisteenä: r G = K i ja G = i=1 r K i, missä K i K j = aina, kun i j. i=1 Määritellään seuraavassa relaation ekvivalenssiluokat tarkemmin. Määritelmä 4.2. Ryhmän G osajoukkoa {g 1 ag g G} sanotaan alkion a määräämäksi konjugointiluokaksi ja sitä merkitään [a]. Huomautus 4.1. Jos N G, niin g 1 ng N aina, kun n N ja g G. Siis normaali aliryhmä on aina joidenkin konjugointiluokkien unioni. Seuraavaksi tarkastellaan konjugointia ryhmässä S n. Määritelmä 4.3. Olkoon σ ja τ ryhmän S n alkioita, jolloin ne voidaan esittää erillisten syklien tulona. Jos näissä esityksissä on täsmälleen saman verran k-syklejä aina, kun k 1,..., n, niin sanotaan, että permutaatioilla σ ja τ on sama syklirakenne. 19

21 Lemma 4.1. Olkoon α = (i 1 i 2... i k ) ja τ ryhmän S n τ 1 ατ = (τ 1 (i 1 )τ 1 (i 2 )... τ 1 (i k )). alkioita. Tällöin Todistus. Ks. [5] Lemma 1.2, s. 8. Olkoon x alkio, joka ei kuulu joukkoon {τ 1 (i 1 ), τ 1 (i 2 ),..., τ 1 (i k )}. Tällöin τ(x) ei kuulu joukkoon {i 1, i 2,..., i k }, eli α(τ(x)) = τ(x). Lisäksi τ 1 (i τ 1 ατ(τ 1 j+1 ), kun 1 j k + 1 (i j )) = τ 1 (i k ), kun j = k Lemma 4.2. Permutaation σ konjugaateilla on sama syklirakenne kuin permutaatiolla σ. Todistus. Ks. [5] Lemma 1.3, s. 8. Olkoon τ 1 στ jokin permutaation σ konjugaatti. Esitetään σ erillisten syklien tulona, jolloin σ = α 1 α 2... α l. Saadaan τ 1 στ = τ 1 α 1 α 2... α l τ = τ 1 α 1 ττ 1 α 2 τ... τ 1 α l τ. Tässä tulossa τ 1 α 1 τ, τ 1 α 2 τ,..., τ 1 α l τ ovat erillisiä syklejä ja lemman 4.1 nojalla jokainen sykli τ 1 α i τ on yhtä pitkä kuin α i aina, kun i {1, 2,..., l}. Siis konjugaatilla τ 1 στ on sama syklirakenne kuin permutaatiolla σ. Lause 4.3. Olkoon σ ja τ ryhmän S n alkioita. Permutaatiot σ ja τ konjugoivat, jos ja vain jos niillä on sama syklirakenne. Todistus. Lemman 4.2 nojalla konjugoivilla permutaatioilla on sama syklirakenne. Riittää siis osoittaa, että saman syklirakenteen omaavat permutaatiot konjugoivat. Olkoon siis σ ja τ permutaatioita, joilla on sama syklirakenne. Merkitään σ = (a 1... a k1 )(b 1... b k2 )... (x 1... x kr ) 20

22 ja Olkoon sitten Tällöin τ = (α 1... α k1 )(β 1... β k2 )... (χ 1... χ kr ). ( ) a1... a k1 b 1... b k2... x 1... x kr π =. α 1... α k1 β 1... β k2... χ 1... χ kr π 1 τπ = σ, joten σ ja τ ovat konjugaatteja. Seuraus 4.4. Saman syklirakenteen omaavat permutaatiot muodostavat aina konjugointiluokan ryhmässä S n. Esimerkki 4.1. Ryhmän S 5 alkiot (1 3 5)(2 4) ja (2 3 4)(1 5) konjugoivat, sillä niillä on sama syklirakenne. Molemmissa on yksi 3-sykli ja yksi transpoosi. Lisäksi on olemassa permutaatio σ = (1 2)(4 5), jolle σ 1 (1 3 5)(2 4)σ = (2 3 4)(1 5). Esitellään vielä kappaleen loppuun työkalu konjugointiluokan alkioiden lukumäärän laskemiseen. Määritelmä 4.4. Olkoon G ryhmä ja g G. Joukkoa C G (g) = {x G xg = gx} = {x G g = x 1 gx} sanotaan alkion g sentralisoijaksi ryhmässä G. Lause 4.5. Olkoon G ryhmïä ja g G. Alkion g määräämässä konjugointiluokan alkioiden lukumäärä on. [G : C G (g)] = G C G (g) 21

23 Todistus. [5] Lause 1.4, s. 10. Alkion g konjugaatit ovat muotoa x 1 gx, missä x G. Tutkitaan milloin konjugoinnin tuloksena saadaan sama alkio. Olkoon x 1, x 2 G. Nyt x 1 1 gx 1 = x 1 2 gx 2 (x 2 x1 1 )g = g(x 2 x 1 1 ) x 2 x 1 1 C G (g) x 2 C G (g)x 1. Siis alkion g konjugaatteja on täsmälleen yhtä monta kuin aliryhmän C G (g) oikeanpuoleisia sivuluokkia. Täten {x 1 gx x G} = [G : C G (g)]. 22

24 5 Alternoiva ryhmä 5.1 Permutaation pariteetti Otetaan käyttöön merkinnät N = (j i) 1 i<j n ja σn = (σ(j) σ(i)), 1 i<j n kun σ S n. Nyt σn = ±N, sillä tulojen N ja σn termit eroavat korkeintaan etumerkiltään. Jos σ(j) < σ(i), niin termi (j i) on tulossa N ja vastaavasti, jos σ(j) > σ(i), niin termi (j i) on tulossa N. Määritelmä 5.1. Olkoon σ S n. Määritellään kuvaus F : S n ({1, 1}, ) seuraavasti: 1, jos σn = N F (σ) = 1, jos σn = N Lause 5.1. Kuvaus F on ryhmähomomorsmi. Todistus. Ks. [5], s.6. Olkoot σ ja τ ryhmän S n alkioita. Jos i < j, niin merkitään σ(i) = i ja σ(j) = j. Tällöin (τσ)n = [τσ(j) τσ(i)] = [τ(j ) τ(i )] 1 i<j n 1 i<j n Korvataan saadussa tulossa jokainen tekijä τ(j ) τ(i ), missä i > j, tekijällä [τ(i ) τ(j )]. Saadaan [τ(j ) τ(i )] = F (σ) [τ(j) τ(i)] 1 i<j n 1 i<j n = F (σ)f (τ)n. Siis F (τσ) = F (σ)f (τ) = F (τ)f (σ), joten kuvaus F : S n ({1, 1}, ) on ryhmähomomorsmi. 23

25 Määritelmä 5.2. Olkoon σ S n. Jos F (σ) = 1, niin sanotaan, että σ on parillinen permutaatio. Vastaavasti, jos F (σ) = 1, niin sanotaan, että σ on pariton permutaatio. Lemma 5.2. Transpoosi on aina pariton permutaatio. Todistus. Ks. [5], s.6. Olkoon σ = (l k), missä l < k. Siis σ(l) = k, σ(k) = l ja σ(i) = i aina, kun i {1,..., n}\{l, k}. Tarkastellaan tuloa σn = [σ(j) σ(i)]. 1 i<j n Tulossa negatiivisia tekijöitä saadaan kahdessa tapauksissa. Kun i = l ja l + 1 j k, niin saadaan k l termiä. Kun j = k ja l < i < k, saadaan k l 1 termiä. Siis 1 esiintyy tulossa yhteensä 2(k l) 1 kertaa. 2(k l) 1 on pariton luku, joten F (σ) = 1 ja näin ollen σ on pariton. Myös permutaatioille on voimassa pariteettisäännöt: 1. parillinen parillinen = parillinen 2. parillinen pariton = pariton 3. pariton pariton = parillinen. Esimerkki 5.1. Määritetään permutaation σ = (1 3 5)(2 7)( ). pariteetti. Nyt (1 3 5) = (1 5)(1 3) eli 3-sykli (1 3 5) on kahden parittoman transpoosin tulo, eli parillinen. Vastaavasti ( ) = (4 8)(4 6)(4 9) eli permutaation 4-sykli on kolmen parittoman transpoosin tulo, eli pariton. Kokonaisuudessaan permutaatio on kahden parittoman syklin ja yhden parillisen syklin tulo, eli pariton pariton parillinen = parillinen. 24

26 Huomautus 5.1. Yleisemmin sykli α = ( r) on parillinen, jos ja vain jos r on pariton luku ja pariton, jos ja vain jos r on parillinen luku. Lemman 3.10 mukaan jokainen sykli voidaan esittää transpoosien tulona (1 r)(1 r 1) (1 2). Tulossa on r 1 kappaletta transpooseja, joten F (α) = ( 1) r 1. Tulo on 1, kun r on pariton ja 1, kun r on parillinen. 5.2 Alternoiva ryhmä A n Homomorsmi F : S n ({1, 1}, ) on siis surjektio. Parilliset permutaatiot toteuttavat ehdon F (σ) = 1, ja muodostavat siis homomorsmin F ytimen. Lauseen 2.10 mukaan Ker(F ) S n eli parilliset permutaatiot muodostavat ryhmän S n normaalin aliryhmän. Määritelmä 5.3. Ryhmän S n parillisista permutaatioista muodostuvaa normaalia aliryhmää kutsutaan alternoivaksi ryhmäksi ja merkitään A n. Lause 5.3. Alternoivan ryhmän kertaluku on n! 2. Todistus. Ks. [2] Lause 3.3.3, s.122 Edellä on jo todettu, että homomorsmi F : S n ({1, 1}, ) on surjektio ja sen ytimen muodostaa alternoiva ryhmä A n. Tällöin homomorsmien peruslauseen(lause 2.12) mukaan Im(F ) = S n /Ker(F ) eli S n /A n = ({1, 1}, ) Siispä Tästä seuraa, että 2 = {1, 1} = S n /A n = S n, kun n > 1. A n A n = S n 2 = n! 2. Esimerkki 5.2. Kootaan sivun 26 taulukkoon 1 ryhmän S 4 alkioiden syklirakenne, kertaluku, pariteetti ja lukumäärä ryhmässä. Tehdään myös lisäksi alternoivan ryhmän A n alkioista toinen taulukko(taulukko 2), josta käy ilmi syklirakenne ja lukumäärä. 25

27 S 4 syklirakenne kertaluku pariteetti lkm (1) 1 parillinen 1 (a b) 2 pariton 6 (a b)(c d) 2 parillinen 3 (a b c) 3 parillinen 8 (a b c d) 4 pariton 6 yht. 24 Taulukko 1: ryhmä S 4 A 4 syklirakenne lkm (1) 1 (a b)(c d) 3 (a b c) 8 yht. 12 Taulukko 2: Alternoiva ryhmä A Alternoivan ryhmän yksinkertaisuus Määritelmä 5.4. Ryhmää G sanotaan yksinkertaiseksi, jos sen ainoat normaalit aliryhmät ovat {1} ja G. Tässä alaluvussa todistetaan tulos, jonka mukaan alternoiva ryhmä A n on yksinkertainen aina, kun n 5. Yksinkertaisia ryhmiä on muitakin ja ne toimivat eräänlaisina peruspalikoina kaikkia äärellisiä ryhmiä tarkastaeltaessa. Itse asiassa kaikki yksinkertaiset äärelliset ryhmät on jo löydetty ja luokiteltu. Tämän luokittelun valmistuminen työllisti satoja matemaatikkoja ympäri maailmaa ja kesti yli sata vuotta. Osoitetaan ensin muutama aputulos. 26

28 Lemma 5.4. Olkoon n 3 ja τ 1 sekä τ 2 traspooseja ryhmässä S n. Tällöin τ 1 τ 2 on joko 3-sykli tai kahden 3-syklin tulo. Todistus. Ks. [2] Lemma 6.1.1, s Jos τ 1 = τ 2, niin τ 1 τ 2 = τ1 2 = e ja identiteettikuvaus on selvästi 3-syklien tulo, esimerkiksi e = (i j k)(i k j). Olkoon sitten τ 1 τ 2. Jos nyt τ 1 siirtää yhtä samaa alkiota kuin τ 2, esimerkiksi τ 1 = (i j) ja τ 2 = (i k), niin τ 1 τ 2 = (i j)(i k) = (i k j), joka on 3-sykli. Jos taas traspoosit ovat täysin erilliset, esimerkiksi τ 1 = (i j) ja τ 2 = (k l), niin τ 1 τ 2 = (i j)(k l) = (i l j)(i l k), joka on kahden 3-syklin tulo. Lemma 5.5. Ryhmän S n 3-syklit generoivat ryhmän A n. Toisin sanoen jokainen ryhmän A n alkio voidaan esittää 3-syklien tulona. Todistus. Ks. [2] Lemma 6.1.2, s Olkoon σ parillinen permutaatio. Permutaatio σ voidaan esittää transpoosien tulona ja tulossa on parillinen määrä transpooseja. Siis σ = τ 1 τ 2 τ 2i 1 τ 2i τ 2m 1 τ 2m eli σ on 2m transpoosin tulo. Lemman 5.4 mukaan tulossa jokainen τ 2i 1 τ 2i on joko 3-sykli tai kahden 3-syklin tulo. Täten σ on joko 3-sykli tai korkeintaan 2m 3-syklin tulo. Seuraa väite. Luvun 4 lauseen 4.3 perusteella 3-syklit konjugoivat keskenään ryhmässä S n. Osoitetaan, että ne konjugoivat myös ryhmässä A n. Lemma 5.6. Kaikki 3-syklit konjugoivat keskenään ryhmässä A n. Todistus. Ks. [2] Lemma 6.1.6, s. 218 Olkoon σ 1 ja σ 2 3-syklejä ryhmässä S n. Lauseen 4.3 mukaan ne konjugoivat. Olkoon σ 1 = (i j k) ja σ 2 = τ(i j k)τ 1, missä τ S n. Jos τ on parillinen permutaatio, niin väite on tosi. Jos τ on pariton permutaatio, niin ρ = τ(l m) on parillinen ja ρσ 1 ρ 1 = ρ(i j k)ρ 1 = τ(l m)(i j k)(l m) 1 τ 1 = τ(i j k)τ 1 = σ 2. Siis σ 1 ja σ 2 konjugoivat ja väite on tosi. 27

29 Lemma 5.7. Permutaatioryhmän S n ainoa ei-triviaali normaali aliryhmä on A n aina, kun n 5. Todistus. Ks. [2] Lause 6.1.7, s Olkoon N permutaatioryhmän S n sellainen normaali aliryhmä, että N {(1)} ja N S n. Olkoon lisäksi σ N ja σ (1). On olemassa transpoosi τ S n siten, että στ τσ. Lemman 4.2 nojalla τ 1 = στσ 1 on transpoosi. Siis permutaatio τ 1 τ = τστσ 1 (1) kuuluu ryhmään N, koska σ N ja τστ = τστ 1 N, sillä ryhmä N on permutaatioryhmän S n normaali aliryhmä. Siis kahden transpoosin tulo ττ 1 N. Jos transpooseilla τ ja τ 1 siirtää yhtä samaa alkiota niin ττ 1 on 3-sykli, kuten lemman 5.4 todistuksesssa nähtiin. Siis ryhmä N sisältää 3-syklin. Lauseen 4.3 mukaan kaikki 3-syklit konjugoivat permutaation ττ 1 kanssa ryhmässä S n, joten ryhmän N täytyy normaalina aliryhmänä sisältää kaikki 3-syklit. Lemman 5.5 mukaan 3-syklit generoivat alternoivan ryhmä A n, joten täytyy olla A n N. Oletetaan sitten, että transpoosit τ ja τ 1 ovat erilliset. Olkoon τ = (a b) ja τ 1 = (c d), jolloin (a b)(c d) N. Nyt n 5, joten (a e) S n. Tällöin (a e)(a b)(c d)(a e) 1 = (b e)(c d) N ja edelleen (a b)(c d)(b e)(c d) = (a b e) N. Eli myös tällöin N sisältää 3-syklin, joten A n N. Siis molemmissa tapauksissa ryhmä N sisältää ryhmän A n. Koska ryhmien A n ja S n välissä ei ole muita aliryhmiä ja N S n, täytyy olla N = A n. Aloitetaan varsinainen todistus osoittamalla ensin, että A 5 on yksinkertainen. Tulokselle on olemassa useita erilaisia todistuksia, joista yksi esitellään seuraavaksi. Lause 5.8. Alternoiva ryhmä A 5 on yksinkertainen ryhmä. Todistus. Ks. [6] Lause 2.81, s Olkoon H ryhmän A 5 normaali aliryhmä ja H {(1)}. Täytyy siis osoittaa, että H = A 5. Nyt ryhmän A 5 alkiot ovat parillisia, joten ne ovat joko 28

30 3-syklejä, kahden transpoosin tuloja tai 5-syklejä. Olkoon σ = (a b c) H. Lemman 5.6 mukaan 3-syklit konjugoivat ryhmässä A 5 ja ryhmä H on normaali, joten H sisältää kaikki 3-syklit. Lemman 5.5 mukaan 3-syklit generoivat ryhmän A n, joten H = A 5. Olkoon sitten σ = (a b)(c d) H. Merkitään τ = (c e)(a b). Nyt τστ 1 σ 1 H, koska H on normaali aliryhmä ja τστ 1 σ 1 = τστσ = (c e)(a b)(a b)(c d)(c e)(a b)(a b)(c d) = (c e)(c d)(c e)(c d) = (c e d), sillä (a b)(a b) = (1). Siis H sisältää 3-syklin ja kuten edellä todettiin, tällöin H = A 5. Olkoon σ = (a b c d e) ja merkitään ρ = (a c b). Nyt ρσρ 1 σ 1 H kuten edellä. Lisäksi ρσρ 1 σ 1 = (a c b)(a b c d e)(b c a)(e d c b a) = (a c d). Siis H sisältää taas 3-syklin ja kuten edellä on näytetty, tällöin H = A 5. Kaikissa kolmessa tapauksessa ryhmällä A 5 on vain triviaalit normaalit aliryhmät {(1)} ja A 5 eli ryhmä A 5 on yksinkertainen. Lemma 5.9. Alternoiva ryhmä A 6 on yksinkertainen ryhmä. Todistus. Ks. [6] Lemma 2.82, s Olkoon H ryhmän A 6 normaali aliryhmä, ja H {(1)}. Nyt täytyy siis osoittaa, että H = A 6. Oletetaan, että on olemassa sellainen permutaatio α H, missä α (1), joka säilyttää jonkin alkion i, missä 1 i 6. Olkoon F = {σ A 6 σ(i) = i}. Nyt α H F, joten H F {(1)}. Toisen isomoralauseen perusteella H F F. Nyt F on yksinkertainen ryhmä, sillä F = A 5. Ryhmän F ainoat normaalit aliryhmät ovat siis {(1)} ja F. Koska H F {(1)}, niin 29

31 täytyy olla H F = F ja siis F H. Siis ryhmä H sisältää jonkin 3-syklin. Lemmojen 5.5 ja 5.6 mukaan tällöin H = A 6. Oletetaan sitten, että ei ole olemassa permutaatiota α H, missä α {(1)}, joka säilyttää alkion i, missä 1 i 6. Tutkimalla alternoivan ryhmän permutaatioiden syklirakennetta, huomataan, että permutaation α täytyy tällöin olla muotoa (a b)(c d e f) tai (a b c)(d e f). Mikäli α = (a b)(c d e f), saadaan α 2 H, jolle α 2 = (a b) 2 (c d e f) 2 = (c e)(d f), joka säilyttää alkiot a ja b, mikä on ristiriidassa alkuperäisen oletuksen kanssa. Jos taas α = (a b c)(d e f), niin α(βα 1 β 1 ) H, missä β = (b c d). Tällöin α(βα 1 β 1 ) = (a b c)(d e f)(b c d)(f e d)(c b a)(d c b) = (a c b d e), eli permutaatio α(βα 1 β 1 ) säilyttää alkion f, mikä on taas ristiriidassa alkuperäisen oletuksen kanssa. Täten tällaista normaalia aliryhmää H ei voi olla olemassa. Siis H = A 6 ja A 6 on yksinkertainen ryhmä. Lause Alternoiva ryhmä A n on yksinkertainen ryhmä aina, kun n 5. Todistus. Ks. [6] Lause 2.83, s.193. Olkoon H ryhmän A n normaali aliryhmä ja H {(1)}. Täytyy jälleen osoittaa, että H = A n ja lemmojen 5.5 ja 5.6 mukaan taas riittää osoittaa, että ryhmä H sisältää 3-syklin. Olkoon β H ja β (1), jolloin on olemassa jokin alkio i, jota β siirtää. Olkoon siis β(i) = j i. Olkoon sitten α sellainen 3-sykli, joka siirtää alkion j, mutta säilyttää alkion i. Nyt permutaatiot α ja β eivät kommutoi, sillä βα(i) = β(i) = j ja αβ(i) = α(j) j. Olkoon sitten τ = (αβα 1 )β 1. Nyt τ H ja τ (1). Luvun 4 lemman 4.2 mukaan permutaatiolla βα 1 β 1 on sama syklirakenne kuin permutaatiolla α 1. Toisin sanoen βα 1 β 1 on 3-sykli. Siis τ = α(βα 1 β 1 ) on kahden 3-syklin tulo. Tällöin τ siirtää korkeintaan kuutta alkiota, merkitään niitä i 1,..., i 6. Olkoon sitten F = {σ A n σ säilyttää kaikki alkiot i, missä i i 1..., i 6 }. 30

32 Nyt F = A 6 ja τ H F, joten H F {(1)} ja H F F. Nyt F on yksinkertainen ryhmä, koska F = A 6 ja lemman 5.9 mukaan alternoiva ryhmä A 6 on yksinkertainen ryhmä. Täten H F = F ja siis F H. Tällöin H sisältää 3-syklin, joten H = A n. 31

33 6 Permutaatioryhmän rata Olkoon X = 1, 2,..., n ja G ryhmän S n aliryhmä. Siis G on astetta n oleva permutaatioryhmä. Määritellään nyt joukossa X relaatio seuraavasti: i j, jos g(i) = j jollakin g G. Osoitetaan, että on ekvivalenssirelaatio. (1) Nyt i i, sillä e(i) = i, missä e G on identiteettikuvaus. (2) Jos i j, niin on olemassa sellainen g G, että g(i) = j. Tällöin i = g 1 (j) ja koska G on ryhmä, niin g 1 G. Siis j i. (3) Jos i j ja j k, niin on olemassa sellaiset g, h G, että g(i) = j ja h(j) = k. Tällöin hg(i) = h(j) = k ja hg G, sillä G on ryhmä. Tällöin i k. Siis on ekvivalenssirelaatio ja X jakautuu erillisiin ekvivalenssiluokkiin T 1,..., T r : r r X = T i ja X = T i. i=1 i=1 Määritelmä 6.1. Edellä esille tulleita ekvivalenssiluokkia T 1,..., T r kutsutaan permutaatioryhmän G radoiksi joukkossa X. Sanotaan, että ryhmä G on transitiivinen joukossa X, jos ratoja on vain yksi. Jos siis i kuuluu ryhmän G rataan T, niin voidaan merkitä T = {g(i) g G}. Esimerkki 6.1. Olkoon G = {(1), (1 2)(3)}. Selvästi G S 3. Tutkitaan kuinka monta rataa on permutaatioryhmällä G. Rata johon alkio 1 kuuluu on T 1 = {g(1) g G} = {1, 2}. Alkio 2 kuuluu siis samaan rataan ja rata johon alkio 3 kuuluu on T 2 = {g(3) g G} = {3}. Permutaatioryhmällä G on siis kaksi rataa T 1 ja T 2. Lisäksi T 1 T 2 = {1, 2, 3} = X ja T 1 T 2 =. 32

34 Määritelmä 6.2. Olkoon i X ja merkitään G i = {g G g(i) = i}. Saatua joukkoa G i kutsutaan alkion i stabiloijaksi ryhmässä G. Huomautus 6.1. Selvästi G i G. Lause 6.1. Olkoon G S n, T sen rata ja k T. Tällöin T = [G : G k ], missä G k on alkion k stabiloija ryhmässä G. Todistus. Ks. [5] Lause 1.5, s. 11. Olkoon ryhmän G esitys aliryhmän G k vasemmanpuoleisten sivuluokkien unionina G = r i=1 g ig k, missä g i G aina, kun i = 1,..., r. On siis osoitettava, että radalla T on saman verran alkioita kuin alkion k stabiloijalla on vasemmanpuoleisia sivuluokkia ryhmässä G. Toisin sanoen täytyy osoittaa, että joukoissa T = {g(k) g G} ja {g i G k i = 1,..., r} on saman verran alkioita. Oletetaan ensin, että x g i G k. Tällöin x = g i g, missä g G k. Siis x(k) = g i g(k) = g i (k). Oletetaan sitten, että h(k) = g j (k). Tällöin g 1 j h(k) = k, joten g 1 j h G k. Siis h g i G k Täten T = r = [G : G k ]. Huomautus 6.2. Lagrangen lauseen(lause 2.6) perusteella saadaan T = G G k, ja edelleen G = T G k. Ennen seuraavaa lausetta merkitään fix X (g) = {i X g(i) = i}, missä g G. Siis fix X (g) on niiden alkioiden joukko, jotka g säilyttää. Lause 6.2. (Ei-Burnsiden lemma) Olkoon G permutaatioryhmä joukon X suhteen. Tällöin permutaatioryhmän G ratojen lukumäärä joukossa X on 1 G fix X (g). g G 33

35 Todistus. Olkoon T 1, T 2,..., T r permutaatioryhmän G radat joukossa X ja r näiden ratojen lukumäärä. Tällöin X = r i=1t i ja T i T j = aina, kun i, j {1,..., r} ja i j. Tutkitaan pareja (i, g), missä i T j, g G ja g(i) = i. Olkoon n j tällaisten parien lukumäärä. Nyt siis n j = fix Tj (g). g G Toisaalta parien lukumäärä voidaan merkitä myös stabiloijien avulla seuraavasti: n j = l T j G l. Lauseen 6.1 mukaan T j = [G : G l ] ja huomautuksessa 6.2 nähtiin, että tällöin T j = G G l, eli G l = G T j, missä l T j. Siis Täten saadaan n j = l T j G l = l T j G T j = T j G T j = G. fix X (g) = r ( fix Tj (g) ) = r n j = r G = r G, g G j=1 g G j=1 j=1 josta seuraa, että r = 1 G fix X (g). g G 34

36 7 Esimerkkejä Tässä luvussa esitellään muutamia erilaisia esimerkkejä permutaatioiden ja niiden ominaisuuksien käytöstä. 7.1 Symmetriaryhmät Olkoon T R R = R 2 tasokuvio ja d(a, b) tason pisteiden a ja b etäisyys. Olkoon kuvaus σ : R 2 R 2 bijektio. Sanotaan, että σ on symmetria, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (1) σ(t ) = T ja (2) d(σ(a), σ(b)) = d(a, b). Nyt tasokuvion T kaikki symmetriat varustettuna kuvausten yhdistämisellä muodostavat tasokuvion T symmetriaryhmän. Esimerkki 7.1. Olkoon X = {1, 2, 3, 4} neliön kärkipisteiden joukko ja määritetään neliön symmetriaryhmä G. Kärkipisteet kuvautuvat kärkipisteille, joten ryhmän G alkiot permutoivat neliön kärkipisteiden joukkoa X. Voidaan siis ajatella, että G S 4. Nyt neliötä voidaan kiertää keskipisteen ympäri tai peilata eri akselien kautta. Sivulla 36 olevan kuvan 1 neljä ylintä neliötä esittää alkuperäistä neliötä(0 asteen kierto) ja sen 90 asteen, 180 asteen ja 270 asteen kiertoja myötäpäivään. 360 asteen kierto palauttaa neliön alkuperäiseen tilaansa. Vastaavat neliön kärkipisteitä permutoivat permutaatiot ovat: (1) = e (identiteettikuvaus vastaa neliön alkuperäistä asentoa), ( ) (90 asteen kierto myötäpäivään), (1 3)(2 4) (180 asteen kierto myötäpäivään), ( ) (270 asteen kierto myötäpäivään). 35

37

38 Kuvan 1 neljä alinta neliötä kuvaavat neliön peilauksia keskipisteen kautta pystysuunnassa ja vaakasuunnassa sekä halkaisijoiden 1-3 ja 2-4 suhteen. Peilauksia vastaavat permutaatiot ovat: (1 4)(2 3) (peilaus keskipisteen kautta vaakasuunnassa), (1 2)(3 4) (peilaus keskipisteen kautta pystysuunnassa), (2 4) (peilaus halkaisijan 1-3 kautta), (1 3) (peilaus halkaisijan 2-4 kautta). Nämä kahdeksan alkiota(neljä kiertoa ja neljä peilausta) muodostavat siis neliön symmetriaryhmän G. Säännöllisten n-kulmioiden symmetriaryhmiä sanotaan usein myös dihedraalisiksi ryhmiksi ja niissä on 2n alkiota. Dihedraalista ryhmää merkitään D 2n. Tarkastellaan esimerkkiä vielä toiselta kantilta. Jokaista alkiota (kulmaa) kohti on olemassa permutaatio g G siten, että se kuvaa alkion 1 tälle alkiolle. Toisin sanoen rata, johon alkio 1 kuuluu on T = {1, 2, 3, 4} = X eli ryhmä G on transitiivinen ja T = 4. Identiteettikuvauksen lisäksi on olemassa vain yksi permutaatio, joka säilyttää alkion 1 ja tuo permutaatio on (2 4). Siispä alkion 1 stabiloija on joukko G 1 = {(1), (2 4)}, joten G 1 = 2. Sovelletaan lauseta 6.1, jolloin saadaan, että G = T G 1 = 4 2 = 8. Symmetriaryhmän G alkioiden lukumäärä saatiin siis laskettua myös toisella tavalla. 7.2 Kombinatorisia tarkasteluja Tutkitaan aluksi yksinkertaista kombinatorista ongelmaa. On käytettävissä kahta eri väriä olevia samankokoisia Lego-palikoita, joista rakennetaan neljän palikan muodostama torni Lego-alustalle. Kuinka monta erilaista tornia on olemassa? Ratkaisu on yksinkertainen ja voidaan ratkaista helposti vaikkapa rakentamalla palikoista kaikki erilaiset tornit. Matemaattinen ratkaisu on myös yksinkertainen. Ensimmäinen(alimmainen) palikka voidaan valita 37

39 kahdesta väristä kuten jokainen palikka sen jälkeenkin. Erilaisia torneja on siis 2 4 = 16 kappaletta. Palikoiden värivaihtoehtojen ja tornin korkeuden kasvaessa erilaisten tornien lukumäärä luonnollisesti kasvaa. Jos palikoiden värivaihtoehtoja on neljä ja torni muodostuu kuudesta palikasta, erilaisia torneja on 4 6 = 4096 kappaletta. Tämän toteaminen rakentamalla kaikki erilaiset tornit on jo työlästä, mutta matemaattinen ratkaiseminen edelleen varsin yksinkertaista. Irroitetaan seuraavaksi Lego-torni alustastaan. Huomataan, että torneista osa saadaan kääntämällä jokin toinen torni ylösalaisin. Ei välitetä nyt palikoiden pienestä epäsymmetrisyydestä vaan keskitytään pelkkiin väreihin. Ajatellaan nyt, että torni ei ole oleellisesti erilainen, jos se saadaan kääntämällä jokin toinen torni ylösalaisin. Tällaisten tornien lukumäärän laskeminen on jo matemaattisestikin haastavampi tehtävä. Seuraavassa esimerkissä lasketaan oleellisten erilaisten Lego-tornien lukumäärä käyttäen hyväksi luvun 6 lopussa esitettyä ei-burnsiden lemmaa(lause 6.2). Esimerkki 7.2. Olkoon Lego-palikoita aluksi kahta eri väriä, esimerkiksi punaisia ja sinisiä. Kootaan Lego-palikoista kuuden palikan muodostama torni, joka voidaan kääntää ylösalaisin. Lasketaan kuinka monta erilaista tornia on. Olkoon X kaikkien kuuden palikan kokoisten Lego-tornien joukko. Nyt siis X = {(p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6 ) p i {punainen, sininen}}. Permutaatio ( ) τ =. = (1 6)(2 5)(3 4) vastaa tornin kääntämistä väreineen ylösalaisin. Nyt τ 2 = (1), joten saadaan syklinen ryhmä < τ >= {(1), τ}. Tällöin < τ > = 2. Väritykseltään samanlaiset tornit ovat nyt samalla radalla joukossa X ja oleellisesti erilaisten tornien lukumäärä on yhtä suuri kuin permutaatioryhmän < τ > ratojen lukumäärä. Ei-Burnsiden lemman mukaan oleellisesti erilaisten tornien lukumäärä on siis 1 < τ > ( fix X(1) + fix X (τ) ) = 1 2 ( ) =

40 Summassa identiteettikuvaus säilyttää kaikki väritykset, joita on 2 6 kappaletta. Permutaatio τ säilyttää väritykset, joissa ylin ja alin, toiseksi ylin ja toiseksi alin sekä keskimmäiset kaksi palikkaa ovat keskenään samanväriset. Tällöin ylimmät kolme väriä voidaan valita 2 3 tavalla, jolloin lopuille värityksille jää vain yksi vaihtoehto. Täten τ säilyttää 2 3 väritystä. Saadut 36 erilaista torniakin olisi vielä melko helppo laskea rakentamalla kaikki tornit. Ei-Burnsiden lemman hyödyllisyys ilmenee, kun vaihtoehdot kasvavat. Jos Lego-palikoita onkin neljää eri väriä, oleellisesti erilaisten tornien lukumäärä on 1 < τ > ( fix X(1) + fix X (τ) ) = 1 2 ( ) = Siis kaikkiaan Lego-torneja on 4096 ja näistä 2080 on oleellisesti erilaisia. Edelleen, jos palikoita onkin kuutta eri väriä, erilaisia torneja on jo kappaletta. Tällaisten vaihtoehtojen tarkistaminen suoraan rakentamalla tai esimerkiksi piirtämällä on jo lähes mahdotonta. Lasketaan seuraavaksi vielä toinen esimerkki, joka hyödyntää ei-burnsiden lemmaa. Esimerkki 7.3. Väritetään kuution kaikki tahkot kolmea väriä käyttäen. Tutkitaan taas oleellisesti erilaisia värityksiä. Väritykset ovat samanlaiset, jos ne saadaan toisistaan kuutiota kiertämällä. Olkoon X kaikkien kuution väritysten joukko ja G kuution kaikkien kiertojen ryhmä. Ryhmä G siis permutoi joukkoa X. Merkitään kuution kärkiä numeroilla 1, 2,..., 8 ja kuution eri tahkoja seuraavasti(ks. kuva 2 sivulla 40): T 1 on kuution etutahko eli neliö 1342, T 2 on kuution vasen sivutahko eli neliö 1375, T 3 on kuution takatahko eli neliö 5786, 39

41

42 Kärkien 1 ja 8 määräämän akselin suhteen kierretään 120 astetta. Tätä kiertoa vastaa permutaatio R 4 = (T 1 T 5 T 2 )(T 3 T 6 T 4 ). Vastaavanlaisia kärkipareja on yhteensä neljä, joten tällaisia kiertoja on neljä kappaletta. Samojen kärkien määräämän akselin suhteen kierretään 240 astettta. Kiertoa vastaava permutaatio on R 5 = R4 2 = (T 1 T 2 T 5 )(T 3 T 4 T 6 ). Myös tämän tyyppisiä kiertoja on neljä kappaletta. Särmien 2 6 ja 3 7 keskipisteiden kautta kulkevan akselin suhteen kierretään kuutiota 180 astetta. Tätä kiertoa vastaava permutaatio on R 6 = (T 1 T 3 )(T 2 T 6 )(T 4 T 5 ). Vastakkaisia särmäpareja on yhteensä kuusi kappaletta, joten tämän tyyppisiä kiertoja on myös kuusi kappaletta. Lisäksi täytyy ottaa huomioon tilanne, jossa kuutio säilyy ennallaan. Tätä vastaa identiteettikuvaus (1). Kuution samanlaiset väritykset ovat ryhmän G samalla radalla joukossa X. Käytetään taas oleellisesti erilaisten väritysten lukumäärän laskemiseen ei-burnsiden lemmaa. Erilaisia värityksiä on siis jälleen saman verran kuin ryhmällä G on ratoja joukossa X. kiertotyyppi lukumäärä säilyvät väritykset lisäys summaan (1) = 729 R = 81 R = 243 R = 81 R = 36 R = 36 R = 162 Taulukko 3: Eri kiertotyyppien säilyttämien väritysten lukumäärä ja lisäys summaan g G fix X(g) 41

43 Sivun 41 taulukkoon 3 on koottu erilaisten kiertotyyppien lukumäärät, säilyvät väritykset ja lisäys ei-burnsiden lemman laskukaavassa olevaan summaan. Kaikkiaan erilaisia kuution kiertoja on G = 24 kappaletta. Täten ryhmän G ratojen lukumäärä joukossa X on 1 G fix X (g) = 1 24 ( ) = = g G Siis kuutiolla on 57 oleellisesti erilaista väritystä. 42

44 Lähdeluettelo [1] Richard A. Dean: Elements of Abstract Algebra, John Wiley and Sons, Inc., kolmas painos, 1967 [2] I. N. Herstein: Abstract Algebra, Prentice-Hall, kolmas painos, 1996 [3] John F. Humphreys: A Course in Group Theory, Oxford University Press, 1996 [4] Markku Niemenmaa: Algebra I, luentomoniste ja muistiinpanot vuodelta 2004 [5] Markku Niemenmaa: Algebra II, luennot ja muistiinpanot, luentomonisteen toimittanut Jukka Taimisto, Oulun Yliopisto, 1998 [6] Joseph J. Rotman: A First Course in Abstract Algebra, Prentice-Hall, toinen painos,