Äärellisten ryhmien hajotelmat suoriksi tuloiksi

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkelma Vel-Matt Nemnen Äärellsten ryhmen hajotelmat suorks tuloks Informaatoteteden ykskkö Matematkka Kesäkuu 2016

Tampereen ylopsto Informaatoteteden ykskkö NIEMINEN, VELI-MATTI: Äärellsten ryhmen hajotelmat suorks tuloks Pro gradu -tutkelma, 29 s. Matematkka Kesäkuu 2016 Tvstelmä Tämän tutkelman päälauseessa todstetaan Krulln, Remakn ja Schmdtn lauseen ertystapaus. Tapauksessa rajotutaan tarkastelemaan äärellsä ryhmä, joden keskus on trvaal. Tulos esttää, että epätrvaallle äärellselle ryhmälle, jonka keskus on trvaal, on olemassa tekjöden järjestystä valle ykskästtenen hajotelma epätrvaalen hajoamattomen normaalen alryhmensä suoraks tuloks. Luvussa kaks estetään kertausluontosest ja tvst ryhmäteoraa ja estellään Oomega-ryhmät, jotka helpottavat luvun vs kästtelyä. Luvussa kolme perehdytään ryhmen suorn tulohn ja estellään tutkelmassa oleellsest käytettävä samastus ssäsen ja ulkosen suoran tulon välllä. Luvussa neljä kesktytään keskuksen kästteeseen. Vmesen luvun aluks estetään tarvttava määrtelmä ja aputuloksa, jota tarvtaan luvun päättävän päälauseen todstuksessa. Tutkelman päälähteenä on käytetty John S. Rosen teosta A Course on Group Theory. 2

Ssältö 1 Johdanto 4 2 Ryhmäteoran peruskästtetä ja -tuloksa 5 2.1 Ryhmäteoran kertausta........................ 5 2.2 Ω-ryhmät............................... 8 3 Ryhmen suorat tulot 10 4 Keskus 14 5 Krulln, Remakn ja Schmdtn lause 18 Lähteet 29 3

1 Johdanto Tässä tutkelmassa kästellään äärellsten ryhmen hajotelma suorks tuloks. Ryhmen suora tuloja on kahdenlasa, ulkosa ja ssäsä. Ulkosen suoran tulon avulla vodaan kahdesta ta useammasta ryhmästä konstruoda uus ryhmä. Melenkntosemp tapaus on ssänen suora tulo, joka mahdollstaa jodenkn ryhmen jakamsen tekjöhn normaalen alryhmensä avulla. Ssänen ja ulkonen suora tulo ovat keskenään somorfset. Ryhmän estystä epätrvaalen normaalen alryhmensä ssäsenä suorana tulona kutsutaan ryhmän hajotelmaks. Krulln, Remakn ja Schmdtn ryhmä koskeva lause esttää, että jos ryhmälle on olemassa kaks hajotelmaa hajoamattomen epätrvaalen normaalen alryhmensä ssäsenä suorana tulona, nn suoran tulon tekjöden lukumäärä on sama molemmssa estyksssä ja kullekn tekjälle löytyy somorfnen vastne. Lsäks lauseen nojalla yksttäsä suoran tulon tekjötä vodaan vahtaa estysten välllä. Tämän tutkelman päälauseena todstetaan lauseen ertystapaus, joka rajottuu tarkastelemaan epätrvaaleja äärellsä ryhmä, joden keskus on trvaal. Tässä ertystapauksessa ryhmälle saatavat kaks estystä ovat tekjöden järjestystä valle ykskästteset. Krulln, Remakn ja Schmdtn lausetta e ole nmetty lauseen ensmmäsen esttäjän mukaan. Lauseen estt J.M.H. Wedderbun vuonna 1909, mutta estetty todstus ol vrheellnen. R. Remak estt vuonna 1911 ensmmäsenä pätevän todstuksen äärellsten ryhmen tapaukselle ja O.J. Schmdt yksnkertastetumman todstuksen vuonna 1912. W. Krull laajens tuloksen kattamaan modult vuonna 1925 ja O.J. Schmdt Ω-ryhmät vuonna 1928. [5, s. 144] Lukjan oletetaan tuntevan algebran perusteet. Luvun kaks ensmmäsessä alaluvussa kutenkn kerrataan tälle tutkelmalle oleellsmmat algebran peruskästteet ja tulokset. Kertausluontosuuden vuoks kästtelyyn e käytetä paljoa akaa. Luvun kaks jälkmmäsessä alaluvussa tutustutaan pääluvun kästtelyä oleellsest yksnkertastavan Ω-ryhmän kästteeseen. Luku kolme keskttyy ryhmen suorn tulohn, jotka ovat tämän tutkelman oleellsta anta. Ulkosen ja ssäsen suoran tulon määrttelyn jälkeen estetään loppututkelman kästtelyä helpottava samastus ssäsen ja ulkosen suoran tulon välllä, jota havannollstetaan esmerken. Luku neljä keskttyy ertysest keskuksen kästteeseen, sllä keskusta koskeva oletus oleellnen päälausetta ajatellen. Lukujen kolme ja neljä vmesmpnä tuloksna estetään päälauseen todstuksessa tarvttava apulauseta. Luvun vs alussa estetään tarvttava kästtetä ja tuloksa, jota hyödynnetään luvun päättävän päälauseen todstuksessa. Suurn osa estetystä havannollstavsta esmerkestä ovat joko tutkelman tekjän tse kehttämä ta lähdeteosten harjotustehtävä. Myös osa estetystä apulausesta on lähdeteosten harjotustehtävä. Tutkelman päälähteenä on käytetty John S. Rosen teosta A Course on Group Theory [4]. 4

2 Ryhmäteoran peruskästtetä ja -tuloksa Tässä luvussa estellään tutkelmassa myöhemmn tarvttava ryhmäteoran peruskästtetä ja -tuloksa. Alaluvussa 2.1 estellään kertauksenomasest ryhmn, kuvauksn ja homomorfsmehn lttyvä määrtelmä ja tuloksa, joden oletetaan olevan lukjalla ennalta tuttuja. Nän ollen kästtelyyn e käytetä paljoa akaa, ekä tulosten yhteydessä estetä juurkaan esmerkkejä. Lähtenä alaluvussa 2.1 on käytetty Bhattacharyan, Jann ja Nagpauln teosta Basc Abstract Algebra [1], Een ja Changn teosta A Course on Abstract Algebra [2], Rosen teosta A Course on Group Theory [4] sekä Scottn teosta Group Theory [6]. Alaluvussa 2.2 estellään Ω-ryhmen käste ja nhn lttyvä perustuloksa, joden e oleteta olevan lukjalle ennalta tuttuja. Ω-ryhmät tulevat olemaan merkttävässä roolssä päälauseen todstuksessa. Tämän alaluvun lähtenä on käytetty Rosen teoksen A Course on Group Theory [4] svuja 22 ja 137-138 sekä Rotmann teoksen An Introducton to the Theory of Groups [5] svua 151. 2.1 Ryhmäteoran kertausta Alotetaan kertaamalla ryhmäteoran perustkästtetä, kuten ryhmä, alryhmä ja normaal alryhmä. Määrtelmä 2.1. Puolryhmä on epätyhjä joukko varustettuna ltännäsellä laskutomtuksella. Ryhmä on puolryhmä, jolla on neutraalalko, ja jonka jokasella alkolla on kääntesalko. Van neutraalalkon ssältävää ryhmää kutsutaan trvaalks ryhmäks. Jos ryhmä e ole trvaal, stä kutsutaan epätrvaalks. Jatkossa merktään ryhmän neutraalalkota symbollla 1 ja ryhmän alkon g kääntesalkota symbollla g 1. Määrtelmä 2.2. Ryhmä G on äärellnen, jos se ssältää äärellsen määrän alkota. Ryhmän G ssältämen alkoden lukumäärää kutsutaan ryhmän G kertaluvuks ja tätä merktään G. Määrtelmä 2.3. Ryhmän G alryhmä on joukon G epätyhjä osajoukko, joka varustettuna alkuperäsen ryhmän G laskutomtuksella, rajotettuna joukkoon H, muodostaa ryhmän. Jos H on ryhmän G alryhmä, nn merktään H G. Ryhmän G alryhmä H on ato alryhmä, jos H G. Lause 2.4. Epätyhjä ryhmän G osajoukko H on ryhmän G alryhmä, jos ja van jos h 1 h 1 2 H pätee, kun h 1, h 2 H. Apulause 2.5. Olkoot H ja K ryhmän G alryhmä. Tällön myös H K on ryhmän G alryhmä. Määrtelmä 2.6. Olkoon H ryhmän G alryhmä. Tällön H on ryhmän G normaal alryhmä, merktään H G, jos ja van jos g 1 hg H pätee, kun h H ja g G. 5

Esmerkk 2.7. Olkoon G ryhmä. Trvaal ryhmä {1} on ryhmän G alryhmä, sllä neutraalalkon kääntesalko on neutraalalko ja kahden neutraalalkon tulo on neutraalalko. Lsäks {1} on normaal, sllä g 1 1g = 1 {1} pätee, kun g G. Seuraava esmerkk osottaa, että Abeln ryhmän alryhmä on ana normaal. Esmerkk 2.8. Olkoon H Abeln ryhmän G alryhmä. Tällön, koska G on Abeln ryhmä, nn g 1 hg = g 1 gh = h H pätee, kun g G ja h H. Täten H G. Määrtelmä 2.9. Olkoon G ryhmä. Tällön G on yksnkertanen, jos sen anoat normaalt alryhmät ovat G ja trvaal alryhmä {1}. Apulause 2.10. Olkoon K ryhmän G normaal alryhmä ja K H G. Tällön K on ryhmän H normaal alryhmä. Apulause 2.11. Olkoon H ryhmän G alryhmä ja K ryhmän G normaal alryhmä. Tällön H K on ryhmän G alryhmä. Apulause 2.12. Olkoot H ja K ryhmän G alryhmä. Tällön HK on ryhmän G alryhmä, jos ja van jos H K = K H. Apulause 2.13. Olkoot H ja K ryhmän G normaaleja alryhmä. Tällön, jos H K ssältää van ryhmän G neutraalalkon 1, nn jokanen ryhmän H alko kommuto jokasen ryhmän K alkon kanssa. Määrtelmä 2.14. Olkoon H ryhmän G alryhmä ja olkoon g G. Tällön joukko gh = {gh h H} on alkon g määräämä alryhmän H vasen svuluokka. Määrtelmä 2.15. Olkoon K ryhmän G normaal alryhmä. Tällön kakken ryhmän G alryhmän K vasempen svuluokken joukko, merktään G/K, varustettuna laskutomtuksella (g 1 K)(g 2 K) = g 1 g 2 K, kun g 1, g 2 G, muodostaa ryhmän G tekjäryhmän. Lause 2.16. Olkoon K ryhmän G normaal alryhmä. Tällön tekjäryhmä G/K on ryhmä. Estellään tämän alaluvun lopuks oleellsmpa kuvauksn ja homomorfsmehn lttyvä kästtetä ja tuloksa, jota tullaan tarvtsemaan jatkossa. Määrtelmä 2.17. Epätyhjän joukon X Identtnen kuvaus, merktään I X, on kuvaus, joka kuvaa kakk joukon X alkot tselleen. Jos joukko X on asayhteydestä selvä, merktään joukon X denttstä kuvausta symbollla I. Määrtelmä 2.18. Olkoon φ: X Y ja olkoon joukko S joukon X osajoukko. Tällön kuvausta ψ : S Y, jolle pätee ehto s φ(s), kutsutaan kuvauksen φ rajottumaks joukon X osajoukkoon S. Tätä rajottumaa ψ merktään yleensä φ S. 6

Määrtelmä 2.19. Olkoon epätyhjä joukko S joukon X osajoukko. Tällön joukon X denttsen kuvauksen rajottuma joukkoon S el rajottuma I X S : S X on joukon S nkluuso joukolle X. Esmerkk 2.20. Ratonaallukujen joukon nkluuso kokonaslukujen joukolle on kuvaus I Q Z: Z Q. Määrtelmä 2.21. Olkoot G ja H ryhmä. Kuvaus φ: G H on homomorfsm, jos φ(ab) = φ(a)φ(b) pätee, kun a, b G. Homomorfsm, joka kuvaa kakk alkot neutraalalkolle, on trvaal homomorfsm, homomorfsm ryhmältä G tselleen on ryhmän G endomorfsm ja bjektvnen endomorfsm on automorfsm. Ryhmän G automorfsma merktään Aut G. Esmerkk 2.22. Kakk kuvauksen φ rajottumat ovat selväst homomorfsmeja, jos φ on homomorfsm. Apulause 2.23. Olkoot kuvaukset φ: K H ja ψ : G K homomorfsmeja. Tällön yhdstetty kuvaus φψ : G H on myös homomorfsm. Todstus. Olkoot a, b G. Tällön φψ(ab) = φ ( ψ(a)ψ(b) ), sllä ψ on homomorfsm ryhmältä G ryhmälle K. Edelleen, koska φ on homomorfsm ryhmältä K ryhmälle G, Nän ollen on osotettu, että pätee, kun a, b G. φ ( ψ(a)ψ(b) ) = φψ(a)φψ(b). φψ(ab) = φψ(a)φψ(b) Määrtelmä 2.24. Olkoon kuvaus φ: G H homomorfsm. Tällön kuvauksen φ ne alkot, jotka kuvautuvat maalryhmän neutraalalkolle muodostavat kuvauksen φ ytmen. Kuvauksen φ ydntä merktään Ker φ. Kuvauksen φ ne maaljoukon alkot, jotka kuvaus vo saada arvonaan muodostavat kuvauksen φ kuvajoukon. Kuvauksen φ kuvajoukkoa merktään Im φ. Apulause 2.25. Olkoon φ: G H homomorfsm. Homomorfsmn ydn on ryhmän G normaal alryhmä ja homomorfsmn kuvajoukko on ryhmän H alryhmä. Estellään velä lopuks homomorfalause ja tonen somorfalause, jota kumpaakn tarvtaan pääluvun 5 tuloksen todstamsessa. Lause 2.26 (Homomorfalause). Olkoon φ: G H homomorfsm. Tällön Im φ G/ Ker φ. Lause 2.27 (Tonen somorfalause). Olkoon H ryhmän G alryhmä ja K ryhmän G normaal alryhmä. Tällön H K on ryhmän H normaal alryhmä ja H/(H K) HK/K. 7

2.2 Ω-ryhmät Seuraavaks kästellään tämän tutkelman luvussa 5 paljon käytettyjen Ω-ryhmän ja Ω-homomorfsmn kästteet, jotka helpottavat päälauseen todstusta oleellsest. Alotetaan kutenkn ensn kertaamalla konjugaatn ja konjugaaton kästteet, jota tarvtaan esmerkssä 2.32. Lause 2.28. Olkoon G ryhmä. Jokaseen g G vodaan lttää ryhmän G automorfsm τ g, joka on määrtelty seuraavast: kun x G. τ g : x g 1 xg, Määrtelmä 2.29. Alkota τ g (x) = g 1 xg kutsutaan alkon g määräämäks alkon x konjugaatks. Ryhmän G automorfsma τ g kutsutaan alkon g määräämäks ryhmän G konjugaatoks. Määrtelmä 2.30. Olkoon Ω joukko ja G ryhmä. Tällön Ω on ryhmän G operaattoralue ja G on Ω-ryhmä, jos on olemassa kuvaus Ω G G, merktään (ω, g) g ω, jolle pätee (g 1 g 2 ) ω = g ω 1 gω 2, kun ω Ω ja g 1, g 2 G. Selväst Ω-ryhmän ja endomorfsmn määrtelmstä seuraa, että mkä tahansa ryhmän G endomorfsmen joukko kelpaa ryhmän G operaattoralueeks. Määrtelmä 2.31. Olkoon G Ω-ryhmä ja H ryhmän G alryhmä. Tällön sanotaan, että H on Ω-alryhmä, jos h ω H pätee, kun h H ja ω Ω. Huomattakoon, että jos H on ryhmän G Ω-alryhmä, nn Ω on myös ryhmän H operaattoralue. Esmerkk 2.32. Olkoon G ryhmä. Kuvaus G G G ehdolla (ω, g) g ω, mssä g ω = ω 1 gω, täyttää määrtelmän 2.30 ehdot, sllä konjugaatot ovat endomorfsmeja. Tosn sanoen G on G-ryhmä. Tämän G-ryhmän G-alryhmät ovat ryhmän G normaaleja alryhmä, sllä kun H on G-alryhmä, nn määrtelmän 2.31 nojalla g 1 hg = h g H pätee, kun g G ja h H. Ylläoleva esmerkk on jatkokästtelyä varten hyvn oleellsessa roolssa, sllä pääluvussa kästeltävät ryhmän G Ω-ryhmät ovat lähes pokkeuksetta edellsen esmerkn mukasa G-ryhmä. Määrtelmä 2.33. Olkoot G ja H ryhmä, jolla on sama operaattoralue Ω. Tällön homomorfsma φ ryhmältä G ryhmälle H kutsutaan Ω-homomorfsmks, jos φ(g ω ) = ( φ(g) ) ω pätee, kun g G ja ω Ω. Vastaavan ehdon toteuttavaa endomorfsma kutsutaan Ω-endomorfsmks. 8

Apulause 2.34. Olkoon φ ryhmän G Ω-homomorfsm. Tällön Im φ on Ω-alryhmä. Todstus. Apulauseen 2.25 nojalla Im φ G ja ( φ(g) ) ω = φ(g ω ) Im φ. pätee, kun φ(g) Im φ ja ω Ω. Nän ollen väte on todstettu. Esmerkk 2.35. Trvaalst melvaltasen ryhmän G operaattoralueena vodaan ajatella olevan Ω =, jollon G on Ω-ryhmä. Tällön kakk ryhmän G alryhmät ovat myös Ω-alryhmä. Apulause 2.36. Olkoot kuvaukset φ: K H ja ψ : G K Ω-homomorfsmeja. Tällön myös yhdstetty kuvaus φψ : G H on Ω-homomorfsm. Todstus. Määrtelmän 2.33 nojalla kuvaukset φ ja ψ ovat homomorfsmeja. Täten apulauseen 2.23 nojalla myös yhdstetty kuvaus φψ on homomorfsm. Nyt φψ(g ω ) = φ ( (ψ(g ω ) ) = φ ( ( (ψ(g) ) ω ) = ( φψ(g) ) ω pätee, kun g G ja ω Ω, sllä ψ on Ω-homomorfsm ryhmältä G ryhmälle H ja φ on Ω-homomorfsm ryhmältä K ryhmälle H. Apulause 2.37. Jos φ on ryhmän G Ω-endomorfsm, nn kaklla postvslla kokonasluvulla k myös φ k on Ω-endomorfsm. Todstus. Väte seuraa apulauseesta 2.36. Esmerkk 2.32 osottaa, että ryhmä G on ana myös G-ryhmä. Jatkossa vtataan lähnnä esmerkn mukasn G-ryhmn, joten on luontevaa sopa, että merknnällä g ω tarkotetaan tsätä eteenpän yksnomaan alkon ω määräämää alkon g konjugaatta el g ω = ω 1 gω. Jatkossa puhuttaessa G-endomorfsmsta, vtataan ana ryhmän G G- endomorfsmn. Jos kyseessä e ole ryhmän G G-endomorfsm, nn asa mantaan erkseen. 9

3 Ryhmen suorat tulot Tässä luvussa estellään määrtelmät ryhmen ulkoselle ja ssäselle suoralle tulolle, sekä estellään muutama suora tuloja koskeva tulos. Lukjan oletetaan tuntevan suora tuloja koskevat perustulokset, joten näden todstukset ohtetaan. Lähteenä on käytetty tämän tutkelman tekjän omaa kanddaatntutkelmaa Ryhmen suorat tulot [3], elle tosn manta. Määrtelmä 3.1. Olkoot G 1, G 2,..., G n ryhmä, mssä n on postvnen kokonasluku. Tällön ryhmen G 1, G 2,..., G n ulkonen suora tulo, merktään G 1 G 2 G n, on joukko { (g 1, g 2,..., g n ) g G, {1, 2,..., n} } varustettuna laskutomtuksella (g 1, g 2,..., g n )(g 1, g 2,..., g n) = (g 1 g 1, g 2g 2,..., g ng n). Lause 3.2. Ryhmen G 1, G 2,..., G n, mssä n on postvnen kokonasluku, ulkonen suora tulo G 1 G 2 G n on ryhmä. Apulause 3.3. Olkoon G ryhmä. Tällön pätee, kun g 1, g 2,..., g n G. (g 1 g 2 g n ) 1 = g 1 n g 1 n 1 g 1 1 Määrtelmä 3.4. Olkoot G 1, G 2,..., G n, mssä n on postvnen kokonasluku, ryhmän G normaaleja alryhmä. Tällön G on ryhmen G 1, G 2,..., G n ssänen suora tulo, jos jokaselle alkolle g G on olemassa ykskästtenen estys mssä g G, kun {1, 2,..., n}. g = g 1 g 2 g n, Lause 3.5. Olkoot G 1, G 2,..., G n ryhmän G normaaleja alryhmä, mssä n on postvnen kokonasluku. Tällön G on ryhmen G 1, G 2,..., G n ssänen suora tulo, jos ja van jos G = G 1 G 2 G n ja kun {1, 2,..., n}. G (G 1 G 1 G +1 G n ) = {1}, Esmerkk 3.6 (ks. [1, s. 140, harj. 1]). Osotetaan, että yhteenlaskuryhmä Z 10 on normaalen alryhmensä H = {0, 5} ja K = {0, 2, 4, 6, 8} ssänen suora tulo. Ratkasu. Ensnnäkn H ja K ovat selväst ryhmän Z 10 normaaleja alryhmä, joden lekkaus H K ssältää van ryhmän Z 10 neutraalalkon 0. Lsäks HK = {0 + 0, 0 + 2, 0 + 4, 0 + 6, 0 + 8, 5 + 0, 5 + 2, 5 + 4, 5 + 6, 5 + 8} = {0, 2, 4, 6, 8, 5, 7, 9, 11, 13} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = Z 10. 10

Nän ollen lauseen 3.5 nojalla väte on tos. Seuraava lause osottaa, että ssänen suora tulo on somorfnen ulkosen suoran tulon kanssa. Lause 3.7. Olkoot G 1, G 2,..., G n ryhmän G normaaleja alryhmä, mssä n postvnen kokonasluku. Tällön, jos G on normaalen alryhmensä G 1, G 2,..., G n ssänen suora tulo, nn G on somorfnen ryhmen G 1, G 2,..., G n muodostaman ulkosen suoran tulon kanssa, el G G 1 G 2 G n. Tehdään seuraavaks edellsen lauseen mahdollstama merknnällnen sopmus, jolla yksnkertastetaan jatkokästtelyä. Edellsen lauseen nojalla jos G on normaalen alryhmensä G 1, G 2,..., G n, mssä n on postvnen kokonasluku, muodostama ssänen suora tulo, nn se on somorfnen ullkosen suoran tulon G 1 G 2 G n kanssa. Nän ollen sovtaan, että jatkossa merknnällä G = G 1 G 2 G n tarkotetaan ryhmän G olevan normaalen alryhmensä G 1, G 2,..., G n muodostama ssänen suora tulo, elle tosn manta. Jatkossa puhuttaessa suorasta tulosta vtataan ssäseen suoraan tuloon. Esmerkk 3.8. Olkoon G ryhmä. Koska {1} G, G G ja g = g1 pätee, kun g G, nn määrtelmän 3.4 nojalla G = G {1}. Apulause 3.9. Olkoon G = G 1 G 2 G n. Tällön ryhmen G ja G j alkot kommutovat keskenään, kun, j {1, 2,..., n} ja j. Todstus. Lauseesta 3.5 seuraa, että G G j = {1} pätee, kun, j {1, 2,..., n} ja j. Lsäks, koska G = G 1 G 2 G n, nn G ja G j ovat molemmat ryhmän G normaaleja alryhmä. Nän ollen väte seuraa apulauseesta 2.13. Apulause 3.10. Olkoon G = H K. Tällön H K = K H. Todstus. Määrtelmän 3.4 nojalla ryhmät H ja K ovat ryhmän G normaaleja alryhmä ja jokaselle alkolle g G on olemassa ykskästtenen estys g = hk, mssä h H ja k K. Apulauseen 3.9 nojalla hk = kh pätee, kun h H ja k K. Täten jokaselle alkolle g G on olemassa ykskästtenen estys g = k h, mssä h H ja k K. Nän ollen G = K H. Apulauseesta 3.10 seuraa, että suora tulo G = G 1 G 2 G n, mssä n on postvnen kokonasluku, on rppumaton tekjödensä järjestyksestä. Määrtellään seuraavaks hajoava ryhmä ja estellään tästä muutama havannollstava esmerkk. Määrtelmä 3.11 (ks. [6, s. 67]). Olkoon G ryhmä. Ryhmä G on hajoava, jos ryhmällä G on olemassa epätrvaalt normaalt alryhmät H ja K, jolle G = H K. Hajoavan ryhmän G estystä normaalen alryhmensä suorana tulona kutsutaan ryhmän G hajotelmaks. Jos ryhmä G e ole hajoava, nn se on hajoamaton. 11

Esmerkk 3.12. Jos ryhmä G on yksnkertanen, nn yksnkertasen ryhmän määrtelmän 2.9 nojalla sen anoat normaalt alryhmät ovat G ja trvaal ryhmä {1}. Nän ollen kakk yksnkertaset ryhmät ovat hajoamattoma. Esmerkk 3.13. Esmerkn 3.6 nojalla yhteenlaskuryhmä Z 10 on hajoava ryhmä. Esmerkk 3.14. Osotetaan, että kokonaslukujen yhteenlaskuryhmä Z on hajoamaton. Ratkasu. Kokonaslukujen yhteenlaskuryhmä on syklnen, joten myös jokanen tämän ryhmän alryhmä on syklnen. Täten kokonaslukujen yhteenlaskuryhmän epätrvaalt alryhmät ovat muotoa dz = {dz z Z}, mssä d on postvnen kokonasluku. Olkoot nyt mz ja nz kokonaslukujen yhteenlaskuryhmän epätrvaaleja normaaleja alryhmä. Jos m = 1 ta n = 1, nn selväst mz nz {1}. Oletetaan nyt, että m 1 ja n 1. Tällön tulo mn > 1 on postvnen kokonasluku. Koska mn mz, nm nz ja mn = nm, nn mn mz nz. Täten mz nz {1}. Nän ollen lauseen 3.5 nojalla Z mz nz. Täten Z on hajoamaton. Apulausetta 3.16 tullaan tarvtsemaan päälauseen todstuksen apuna. Ennen tämän lauseen todstusta estetään velä todstuksen apuna käytettävä Dedekndn sääntö. Apulause 3.15 (Dedekndn sääntö, ks. [4, s. 122]). Olkoot J, H, K ryhmän G alryhmä jolle H J. Tällön J (HK) = H(J K). Todstus. Selväst H(J K) J (HK), sllä H on ryhmän J alryhmä. Olkoon j J (HK). Tällön jollakn h H ja k K pätee j = hk. Tällön, koska H on ryhmän J alryhmä, nn h 1 j = k J K. Täten j H(J K). Sspä J (HK) H(J K). Nän ollen on osotettu, että J (HK) = H(J K). Apulause 3.16 (ks. [4, s. 167, harj. 402]). Olkoon ryhmä G normaalen alryhmensä H ja K hajotelma el G = H K, mssä H ja K ovat ryhmän G epätrvaaleja normaaleja alryhmä. Tällön, jos H J G, nn Todstus. Ensnnäkn J = H (J K). H (J K) = {1}, sllä trvaalst 1 J K ja oletuksen nojalla H K = {1}. Tosekseen, koska G = HK, nn Dedekndn säännön nojalla saadaan J = J G = J (HK) = H(J K). 12

Osotetaan seuraavaks, että H ja J K ovat ryhmän J normaaleja alryhmä. Koska H G ja H J G, nn apulauseen 2.10 nojalla H J. J K on ryhmän J epätyhjä osajoukko. Ryhmnä J ja K ovat molemmat laskutomtuksensa suhteen suljettuja ja nän ollen myös joukko J K on saman laskutomtuksen suhteen suljettu. Nän ollen J K J. Osotetaan velä, että J K on ryhmän J normaal alryhmä. Apulauseen 3.9 nojalla kakk ryhmen H ja K alkot kommutovat keskenään. Olkoon j J ja k J K. Koska J = H(J K), nn j = h jollakn h H ja J K. Nän ollen saadaan Täten j 1 k j = (h) 1 kh = 1 h 1 kh = 1 h 1 hk = 1 k J K. J K J. On ss osotettu, että H ja J K ovat ryhmän J sellasa normaaleja alryhmä, että J = H(J K) ja H (J K) = {1}. Nän ollen lauseen 3.5 nojalla J = H (J K). 13

4 Keskus Tässä luvussa estellään keskuksen ja keskttäjän määrtelmät ja ntä koskeva perustuloksa. Tutkelman päälause rajottuu tarkastelemaan tapausta, jossa ryhmän keskus on trvaal, joten keskusta koskeva oletus on keskesessä roolssa päälauseen todstuksessa. Määrtelmä 4.1 (ks. [1, s. 73]). Olkoon G ryhmä. Tällön ryhmän G keskus, merktään Z(G), on nden ryhmän G alkoden joukko, jotka kommutovat kakken ryhmän G alkoden kanssa el Z(G) = {g G gx = xg, kun x G}. Lause 4.2. Olkoon G ryhmä. Tällön ryhmän G keskus Z(G) on ryhmän G normaal alryhmä. Todstus (vrt. [1, s. 73]). Ryhmän G neutraalalkolle 1 pätee ana 1g = g = g1, kun g G. Täten 1 Z(G) ja nän ollen Z(G) on ryhmän G epätyhjä osajoukko. Olkoot a, b Z(G). Tällön ab 1 g = ab 1 g1 = ab 1 gbb 1 = ab 1 bgb 1 = a1gb 1 = agb 1 = gab 1 pätee, kun g G. Sspä ab 1 Z(G). Nän ollen Z(G) on lauseen 2.4 nojalla ryhmän G alryhmä. Lsäks g 1 hg = g 1 gh = 1h = h Z(G) pätee, kun g G ja h Z(G), joten Z(G) on ryhmän G normaal alryhmä. Estetään velä esmerkk, joka havannollstaa keskuksen ja Abeln ryhmän välstä yhteyttä. Lause 4.3 (vrt. [2, s. 48, harj. 6]). Olkoon G ryhmä. Tällön: 1. G on Abeln ryhmä, jos ja van jos Z(G) = G. 2. Z(G) on Abeln ryhmä. Todstus. Todstetaan kumpkn kohta erkseen. 1. Oletetaan, että Z(G) = G. Tällön kaklla x, g G pätee keskuksen määrtelmän nojalla Nän ollen G on Abeln ryhmä. gx = xg. 14

Oletetaan nyt, että G on Abeln ryhmä ja x G. Täten gx = xg pätee, kun g G. Sspä x Z(G) ja nän ollen G Z(G). Lsäks trvaalst keskuksen määrtelmän nojalla Z(G) G. Nän ollen on oltava Z(G) = G. 2. Todstetaan seuraavaks esmerkn tonen kohta. Olkoon Z(G) jonkn melvaltasen ryhmän G keskus. Lauseen 4.2 nojalla Z(G) on ryhmän G alryhmänä tsessään ryhmä. Olkoot x, g Z(G). Keskuksen määrtelmän nojalla ertysest g G, joten gx = xg pätee. Alkot x ja g olvat melvaltasest valttuja, joten Z(G) on Abeln ryhmä. Määrtelmä 4.4 (vrt. [4, s. 48, harj. 122]). Olkoon H ryhmän G alryhmä. Tällön alryhmän H keskttäjä ryhmässä G, merktään C G (H), on nden ryhmän G alkoden joukko, jotka kommutovat kakken alryhmän H alkoden kanssa el C G (H) = {g G gh = hg, kun h H}. Huomattakoon, että edellä olevan määrtelmän nojalla C G (G) = Z(G). Lause 4.5 (vrt. [4, s. 48, harj. 122]). Olkoon H ryhmän G alryhmä. Tällön alryhmän H keskttäjä ryhmässä G on ryhmän G alryhmä. Todstus. Koska neutraalalko 1 G ja H G, nn 1h = h = h1 pätee, kun h H. Täten 1 C G (H). Olkoot a, b C G (H). Tällön ab 1 h = ab 1 h1 = ab 1 hbb 1 = ab 1 bhb 1 = a1hb 1 = ahb 1 = hab 1 pätee, kun h H. Sspä ab 1 C G (H). Nän ollen C G (H) on ryhmän G alryhmä. Alryhmä C G (H) e kutenkaan välttämättä ole ryhmän G normaal alryhmä. Esmerkk 4.6. Tarkastellaan symmetrstä ryhmää Σ 3 = {1, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)} ja sen alryhmä K = {1, (1 2 3), (1 3 2)} ja H = {1, (1 2)}. Nyt (1 2) (1 3) = (1 3 2) (1 2 3) = (1 3) (1 2), (1 2) (2 3) = (1 2 3) (1 3 2) = (2 3) (1 2), (1 2) (1 2 3) = (2 3) (1 3) = (1 2 3) (1 2), (1 2) (1 3 2) = (1 3) (2 3) = (1 3 2) (1 2), (1 3) (1 2 3) = (1 2) (2 3) = (1 2 3) (1 3), 15

ja (2 3) (1 3 2) = (1 2) (1 3) = (1 3 2) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) = 1 = (1 3 2) (1 2 3). Lsäks 1σ = σ = σ1, kun σ Σ 3. Nän ollen C Σ3 (K) = {1, (1 2 3), (1 3 2)} = K, ja C Σ3 (H) = {1, (1 2)} = H Z(Σ 3 ) = {1}. C Σ3 (K) on ryhmän Σ 3 normaal alryhmä, mutta C Σ3 (H) e ole ryhmän Σ 3 normaal alryhmä. Estetään velä luvun loppuun kaks apulausetta, jota käytetään päälauseen todstamsen yhteydessä. Apulause 4.7. Olkoon H ryhmän G alryhmä. Tällön Todstus. H C G (H) = Z(H). Z(H) = {g H gh = hg, kun h H} = {g G g H ja gh = hg, kun h H} = {g G g H} {g G gh = hg, kun h H} = H C G (H). Apulause 4.8 (vrt. [4, s. 167, harj. 406]). Olkoon G = G 1 G 2 G n, mssä n on postvnen kokonasluku. Tällön Z(G) = Z(G 1 ) Z(G 2 ) Z(G n ). Todstus. Ensnnäkn Z(G ) on ryhmän Z(G) normaal alryhmä, kun {1, 2,..., n}, sllä Z(G) on Abeln ryhmä. Oletuksen nojalla G (G 1 G 1 G +1 G n ) = {1} ja täten myös Z(G ) ( Z(G 1 ) Z(G 1 )Z(G +1 ) Z(G n ) ) = {1}, kun {1, 2,..., n}. Väte seuraa lauseesta 3.5, kunhan ensn todstetaan, että Z(G) = Z(G 1 )Z(G 2 ) Z(G n ). Oletetaan koko todstuksen ajan, että g = g 1 g 2 g n G, mssä g G, kun {1, 2,..., n}. Oletetaan ensn, että z Z(G ), kun {1, 2,..., n}. Täten z 1 z 2 z n Z(G 1 )Z(G 2 ) Z(G n ). Ensnnäkn kakk ryhmen G ja G j alkot kommutovat, kun, j {1, 2,..., n} ja j. Lsäks oletuksen nojalla kaklla {1, 2,..., n} pätee z g = g z. Täten saadaan (z 1 z 2 z n )(g 1 g 2 g n ) = z 1 g 1 z 2 g 2 z n g n = g 1 z 1 g 2 z 2 g n z n = (g 1 g 2 g n )(z 1 z 2 z n ). 16

Sspä z 1 z 2 z n Z(G). Täten on osotettu, että Z(G 1 )Z(G 2 ) Z(G n ) Z(G). Oletetaan nyt, että z Z(G). Ertysest z G ja nän ollen jollakn z G, mssä {1, 2,..., n}, pätee z = z 1 z 2 z n. Koska z Z(G), nn zg = g z el (z 1 z 2 z n )(g ) = (g )(z 1 z 2 z n ) pätee, kun g G G, mssä {1, 2,..., n}. Koska suoran tulon er tekjöden alkot kommutovat keskenään, nn edellsestä yhtälöstä seuraa Edelleen tästä seuraa (z g )z 1 z 2 z 1 z +1 z n = (g z )z 1 z 2 z 1 z +1 z n. z g = g z. Täten kaklla {1, 2,..., n} pätee z Z(G ) ja nän ollen z = z 1 z 2 z n Z(G 1 )Z(G 2 ) Z(G n ). Nän on osotettu, että Z(G) Z(G 1 )Z(G 2 ) Z(G n ). Täten on osotettu, että Z(G 1 )Z(G 2 ) Z(G n ) = Z(G). Esmerkk 4.9. Tarkastellaan symmetrstä ryhmää Σ 3 = {1, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)} ja sen alryhmä K = {1, (1 2 3), 1 3 2)} ja H = {1, (1 2)}. Määrtetään ryhmen Σ 3, K ja H välsen suoran ulkosen tulon keskus Z(Σ 3 K H). Esmerkn 4.6 nojalla Z(Σ 3 ) = {1}. Ryhmät K ja H ovat molemmat Abeln ryhmä, joten lauseen 4.3 nojalla Z(K) = K ja Z(H) = H. Nän ollen apulauseen 4.8 nojalla Z(Σ 3 K H) = Z(Σ 3 ) Z(K) Z(H) = {1} K H = {1} {1, (1 2 3), 1 3 2)} {1, (1 2)}. 17

5 Krulln, Remakn ja Schmdtn lause Lähtenä tässä luvussa on käytetty päälähdeteoksen el Rosen teoksen A Course on Group Theory [4] svuja 175-182 ja Rotmann teoksen An Introducton to the Theory of Groups [5] svua 144. Krulln, Remakn ja Schmdtn ylenen tapaus pätee kaklle äärellslle ryhmlle ja tetyt ehdot täyttävlle äärettömlle ryhmlle. Ylenen tapaus todstaa, että jos ryhmälle G on olemassa estykset G = H 1 H 2 H n = K 1 K 2 K m, mssä H 1, H 2,... H n, K 1, K 2,... K m ovat epätrvaaleja ja hajoamattoma ryhmä, nn tällön m = n ja tarvttaessa uudelleen luettelomalla, H K, kun {1, 2,..., n}. Tässä tutkelmassa rajotutaan tarkastelemaan tapausta, jossa G on epätrvaal ja äärellnen ryhmä, jonka keskus on trvaal. Tällön ryhmälle G estettävät hajotelmat epätrvaalehn ja hajoamattomn ryhmän G normaalehn alryhmn ovat keskenään tekjöden järjestystä valle ykskästteset. Alotetaan käymällä läp päälauseen todstukseen tarvttava estuloksa. Apulause 5.1. Olkoon G äärellnen ryhmä ja φ ryhmän G G-endomorfsm. Tällön 1. On olemassa sellanen postvnen kokonasluku k, että G = Ker φ k Im φ k. 2. Jos G on hajoamaton, nn tällön joko φ on ryhmän G automorfsm, ta φ k on ryhmän G trvaal endomorfsm jollakn postvsella kokonasluvulla k. Todstus. Todstetaan ensn ensmmänen väte. Merktään K j = Ker φ j, mssä j on postvnen kokonasluku. Olkoon n postvnen kokonasluku ja m {1, 2,..., n}. Oletetaan, että x K m. Tällön φ m+1 (x) = φ ( φ m (x) ) = φ(1) = 1. Täten x K m+1. Nän ollen K m K m+1. Lsäks apulauseen 2.25 nojalla K m, K m+1 G, joten nän ollen K m K m+1. Sspä K 1 K 2 K 3 G. Nän ollen, koska G on äärellnen, nn on olemassa sellanen k {1, 2,..., n}, että K k = K k+1. Osotetaan nduktolla, että K k = K k+p pätee, kun p {1, 2,..., n}. Trvaalst tämä pätee, kun p = 1. Oletetaan seuraavaks, että p > 1. Tehdään ndukto-oletus olettamalla, että K k = K k+p 1 pätee. Olkoon g K k+p. Tällön φ k+1( φ p 1 (g) ) = φ (k+1)+(p 1) (g) = φ k+p (g) = 1. 18

Sspä φ p 1 (g) K k+1 = K k. Nän ollen φ k+p 1 (g) = φ k ( φ p 1 (g) ) = φ k (1) = 1, joten g K k+p 1. Täten ndukto-oletuksen nojalla g K k. On ss osotettu, että K k+p K k. Tosaalta myös akasemmn todetun nojalla K k K k+p. Sspä oltava K k = K k+p, kun p {1, 2,..., n}. Olkoon nyt K = K k ja L = Im φ k. K on lauseen 2.25 nojalla ryhmän G normaal alryhmä. Kuvaus φ on oletuksen nojalla G-endomorfsm, joten apulauseen 2.37 nojalla myös φ k on G-endomorfsm. Täten L on ryhmän G G-alryhmä apulauseen 2.34 nojalla ja edelleen esmerkn 2.32 nojalla ryhmän G normaal alryhmä. Sspä apulauseen 2.11 nojalla K L on ryhmän G alryhmä. Olkoon x K L. Tällön φ k (x) = 1 ja jollakn y G. Täten x = φ k (y) φ 2k (y) = φ k (φ k ( y) ) = φ k (x) = 1 ja nän ollen y K 2k. Koska akasemmn osotetun nojalla K 2k = K k, nn y K k. Sspä x = φ k (y) = 1. Nän ollen K L = {1}. Täten tosen somorfalauseen 2.27 nojalla L K L/K. Tosaalta homomorfalauseen 2.26 nojalla myös L G/K. Nän ollen, koska K L on ryhmän G alryhmä ja G on äärellnen, Täten lauseen 3.5 nojalla G = K L. G = K L = Ker φ k Im φ k, ja nän ollen ensmmänen väte on todstettu. 19

Todstetaan seuraavaks lauseen tonen väte. Oletetaan, että äärellnen ryhmä G on hajoamaton. Tällön joko ta K = G ja L = {1} K = {1} ja L = G. Akasemmassa tapauksessa Im φ k = L = {1}, joten φ k on ryhmän G trvaal endomorfsm. Jälkmmäsessä tapauksessa Im φ k = L = G. Jos endomorfsm φ e ols automorfsm, nn tällön Im φ G, jollon ols myös Im φ k G. Nän ollen endomorfsmn φ on oltava ryhmän G automorfsm. Määrtellään seuraavaa apulauseen 5.1 tulosta laajentavaa apulausetta 5.5 varten homomorfsmen summa. Määrtelmä 5.2. Olkoot φ ja ψ ryhmän G homomorfsmeja ryhmälle H. Tällön homomorfsmen φ ja ψ summa on kuvaus, jolle pätee φ + ψ : G H φ + ψ : g φ(g)ψ(g), kun g G. Yleensä φ + ψ e ole tsessään homomorfsm, ekä yleensä päde φ + ψ = ψ + φ. Määrtelmä laajenee luonnollsella tavalla myös useamman homomorfsmn summalle. Olkoon n postvnen kokonasluku ja olkoot φ 1, φ 2,..., φ n homomorfsmeja ryhmältä G ryhmälle H. Tällön on kuvaus, jolle pätee kun g G. n φ : G H, n φ : g φ 1 (g)φ 2 (g) φ n (g), Merknnällä kφ, mssä k on postvnen kokonasluku, tarkotetaan homomorfsmen φ summaa φ + φ + + φ, jossa summattaven homomorfsmen lukumäärä on k. Esmerkk 5.3. Olkoot φ ja ψ ryhmän G homomorfsmeja ryhmälle H. Osota, että jos φ + ψ on homomorfsm, nn tällön φ + ψ = ψ + φ. 20

Ratkasu Olkoon x G. Tällön, koska φ ja ψ ovat homomorfsmeja, (ψ + φ)(x)(φ + ψ)(x 1 ) = ψ(x)φ(x)φ(x 1 )ψ(x 1 ) = ψ(x)φ(xx 1 )ψ(x 1 ) = ψ(x)1ψ(x 1 ) = ψ(xx 1 ) = 1. Nän ollen ( (ψ + φ)(x) ) 1 = (φ + ψ)(x 1 ). Täten, koska φ + ψ on homomorfsm, (φ + ψ)(x)((ψ + φ)(x)) 1 = (φ + ψ)(x)(φ + ψ)(x 1 ) = (φ + ψ)(xx 1 ) = 1. Tämä on yhtäptäväst (φ + ψ)(x) = (ψ + φ)(x). Nän ollen φ + ψ = ψ + φ. Seuraava todstus on aputulos apulauseen 5.5 todstusta varten. Apulause 5.4. Olkoot φ ja ψ keskenään kommutova ryhmän G endomorfsmeja ja olkoon n postvnen kokonasluku. Tällön mssä φ 0 1 = φ0 2 = I. (φ + ψ) n = n =0 ( ) n φ n ψ, Todstus. Todstetaan väte nduktolla luvun n suhteen. Jos n = 1, nn ( ) ( ) 1 1 (φ + ψ) 1 = φi + Iψ = φ 1 ψ 0 + φ 0 ψ 1. 0 1 Oletetaan nyt, että väte pätee postvsella kokonasluvulla n > 2. Tällön =0 (φ + ψ) n+1 = (φ + ψ)(φ + ψ) n = (φ + ψ) ( n = φ =0 ( ) ( n n )φ n ψ + ψ =0 ( ) n )φ n ψ. n =0 ( ) n φ n ψ Koska φ ja ψ ovat endomorfsmeja ja φψ = ψφ, nn edellnen lauseke saadaan muotoon n ( ) n n ( ) n n ( ) n n ( ) n φφ n ψ + ψφ n ψ = φ n+1 ψ + φ n ψ +1 ( ) n = φ n+1 0 ψ 0 + 0 = φ n+1 + n n =0 ( n ) φ n+1 ψ + =0 n 1 =0 ( n ) φ n ψ +1 + ( ) n n 1 ( ) n φ n+1 ψ + φ n ψ +1 + ψ n+1. =0 ( n n =0 ) φ n n ψ n+1 21

Muutetaan edellsen lausekkeen jälkmmäsen summan muuttuja seuraavast: n 1 =0 ( ) n φ n ψ +1 = n ( ) n φ n+1 ψ. 1 Nän ollen φ n+1 + = φ n+1 + = φ n+1 + n ( n n ( n n (( n ) φ n+1 ψ + ) φ n+1 ψ + ) + ( n 1 n 1 ( ) n φ n ψ +1 + ψ n+1 =0 n ( ) n φ n+1 ψ + ψ n+1 1 )) φ n+1 ψ + ψ n+1. Pascaln säännön nojalla ( ) ( n + n ) ( 1 = n+1 ), joten edellnen lauseke saadaan muotoon n ( ) n + 1 φ n+1 + φ n+1 ψ + ψ n+1 ( ) n + 1 n ( ) ( ) n + 1 n + 1 = φ n+1 0 ψ 0 + φ n+1 ψ + φ n+1 (n+1) ψ n+1 0 n + 1 n+1 ( ) n + 1 = φ n+1 ψ. Nän ollen on osotettu, että (φ + ψ) n+1 = n+1 ( n + 1 ) φ n+1 ψ. Täten väte seuraa nduktoperaatteesta. Apulause 5.5. Olkoon G äärellnen ryhmä, joka on epätrvaal ja hajoamaton. Oletetaan, että φ 1, φ 2,..., φ n, mssä n on postvnen kokonasluku, ovat sellasa G- endomorfsmeja, että j φ on G-endomorfsm, kun j = 1,..., n, ja n φ on ryhmän G denttnen automorfsm. Tällön anakn yks G-endomorfsmesta φ 1, φ 2,..., φ n on ryhmän G automorfsm. Todstus. Todstetaan väte nduktolla luvun n suhteen. Jos n = 1, nn väte ptää oletusten nojalla trvaalst pakkansa. Oletetaan nyt, että n = 2. Olkoon x G. Täten, koska φ 1 on endomorfsm ja φ 1 + φ 2 on denttnen automorfsm, φ 1 (x) = φ 1 ( (φ1 + φ 2 )(x) ) = φ 1 ( φ1 (x)φ 2 (x) ) = φ 2 1 (x)φ 1φ 2 (x). 22

Tosaalta myös φ 1 (x) = (φ 1 + φ 2 ) ( φ 1 (x) ) ( = φ 1 φ1 (x) ) ( φ 2 φ1 (x) ) = φ 2 1 (x)φ 2φ 1 (x). Täten φ 2 1 (x)φ 1φ 2 (x) = φ 2 1 (x)φ 2φ 1 (x). Koska G on ryhmä, nn tämä on yhtäptävä yhtälön φ 1 φ 2 (x) = φ 2 φ 1 (x) kanssa. Nän ollen φ 1 φ 2 = φ 2 φ 1. Olkoon ζ ryhmän G trvaal endomorfsm. Jos kumpkaan endomorfsmesta φ 1 ta φ 2 e ole ryhmän G automorfsm, nn tällön apulauseen 5.1 nojalla on olemassa sellaset postvset kokonasluvut k 1 ja k 2, että Tällön apulauseen 5.4 nojalla saadaan (φ 1 + φ 2 ) k 1+k 2 = φ k 1 1 = φk 2 2 = ζ. k 1 +k 2 =0 ( k1 + k 2 ) φ k 1+k 2 1 φ 2, mssä φ 0 1 = φ0 2 = I. Lsäks, koska φ 1 + φ 2 = I, nn myös (φ 1 + φ 2 ) k 1+k 2 = I. Kun 0 k 2, nn k 2 0. Tällön φ k 1+k 2 1 = ζ, sllä φ k 1 ollen φ k 1+k 2 1 φ 2 = ζ. Kun k 2 < k 1 + k 2, nn φ 2 = ζ, sllä φk 2 2 1 = ζ. Nän = ζ. Nän ollen φ k 1+k 2 1 φ 2 = ζ, sllä φk 1+k 2 1 on ryhmän G endomorfsm. On ss osotettu, että kun k 1 + k 2. Täten I = (φ 1 + φ 2 ) k 1+k 2 = φ 2 φk 1+k 2 1 = ζ, k 1 +k 2 =0 ( k1 + k 2 ) φ k 1+k 2 1 φ 2 = ζ. Ehdosta I = ζ seuraa, että G ols trvaal ryhmä. Tämä on kutenkn rstrta, sllä oletuksen nojalla G on epätrvaal ryhmä. Nän ollen vähntään tosen endomorfsmesta φ 1 ta φ 2 on oltava ryhmän G automorfsm. Oletetaan lopuks, että n > 2. Olkoon n 1 ψ = φ. Tällön oletuksen nojalla ψ ja φ n ovat ryhmän G G-endomorfsmeja ja ψ + φ n = I. Täten edellä todstetun nojalla, joko ψ ta φ n on ryhmän G automorfsm. 23

Jos φ n Aut G, nn väte on todstettu. Oletetaan nyt, että ψ Aut G. Tällön myös ψ 1 Aut G. Nän ollen n 1 n 1 I = ψ 1 ψ = ψ 1 φ = ψ 1 φ. Olkoot g, ω G. Koska ψ on G-endomorfsm, nn ψ(ψ 1 (g ω )) = g ω = (ψ(ψ 1 (g))) ω = ψ((ψ 1 (g)) ω ). Täten ψ 1 (g ω ) = (ψ 1 (g)) ω, koska ψ on automorfsm. Nän ollen ψ 1 on G- endomorfsm. Apulauseen 2.36 nojalla ψ 1 φ 1, ψ 1 φ 2,..., ψ 1 φ n ja n 1 ψ 1 φ = ψ 1 ψ ovat kakk kahden G-endomorfsmn yhdstettynä kuvauksna G-endomorfsmeja. Tällön ndukto-oletuksen nojalla ψ 1 φ Aut G, jollakn {1, 2,..., n 1}. Täten, koska ψ, ψ 1 φ Aut G, nn φ = ψ(ψ 1 φ ) Aut G, jollakn {1, 2,..., n 1}. Nän ollen nduktoperaatteesta seuraa väte. Apulause 5.6. Olkoon φ ryhmän G endomorfsm. Tällön φ on G-endomorfsm, jos kun g G. φ(g)g 1 C G (Im φ), Todstus. Olkoot g, ω G. Oletuksen nojalla φ(ω)ω 1 kommuto kakken ryhmän G kuvajoukon alkoden kanssa. Nän ollen φ(g ω ) = φ(ω 1 gω) = φ(ω 1 )φ(g)φ(ω) = φ(ω 1 )φ(g)φ(ω)ω 1 ω = φ(ω 1 )φ(ω)ω 1 φ(g)ω = φ(ω 1 ω)ω 1 φ(g)ω = ω 1 φ(g)ω = ( φ(g) )ω. Täten φ on G-endomorfsm. Huomattakoon, että vastaavan ehdon täyttävä homomorfsm φ joltakn ryhmältä G alryhmälleen H ols G-homomorfsm ryhmältä G ryhmälle H. Määrtelmä 5.7. Olkoon G = G 1 G 2 G n, mssä n on postvnen kokonasluku. Tällön ryhmän G projekto ryhmälle G on kuvaus jolle kun g n G n ja {1, 2,..., n}. π : G G, π : g 1 g 2 g n g, 24

Apulause 5.8. Olkoot ryhmällä G = G 1 G 2 G n, mssä n on postvnen kokonasluku, projektot π : G G, mssä {1, 2,..., n}. Tällön projektot π ovat G-homomorfsmeja ryhmältä G ryhmälle G. Todstus. Olkoon g = g 1 g 2 g n, mssä g j G j, kun j {1, 2,..., n}. Suoren tulojen er tekjöden alkot kommutovat keskenään, joten π on selväst homomorfsm ryhmältä G alryhmälleen G ja π (g)g 1 = g (g 1 g 2 g n ) 1 = g gn 1 gn 1 1 g 1 1 = g g 1 gn 1 gn 1 1 g 1 +1 g 1 1 g 1 1 = g 1 n g 1 n 1 g 1 +1 g 1 1 g 1 1 C G ( Im π ). Nän ollen väte seuraa apulauseesta 5.6. Apulause 5.9. Olkoon ryhmällä G = G 1 G 2 G n, mssä n on postvnen kokonasluku, projektot π : G G ja nkluusot φ : G G. Tällön kuvaus j φ π on G-endomorfsm, kun j {1, 2,..., n} ja kuvaus n φ π on ryhmän G denttnen automorfsm. Todstus. Apulauseen 5.8 nojalla kuvaus φ π on G-endomorfsm, kun {1, 2,..., n}. Täten j φ π on määrtelty, kun j {1, 2,..., n}. Olkoot g = g 1 g 2 g n ja h = h 1 h 2 h n ryhmän G alkota, mssä h, g G, kun {1, 2,..., n}. Ensnnäkn j φ π (g) = φ 1 π 1 (g)φ 2 π 2 (g) φ j π j (g) = g 1 g 2 g j, kun j {1, 2,..., n}. Nän ollen n φ π (g) = g, joten n φ π = I. Merktään selvyyden vuoks γ = j φ π. Nyt γ(gh) = γ(g 1 g 2 g n h 1 h 2 h n ) = γ(g 1 h 1 g 2 h 2 g n h n ) = g 1 h 1 g 2 h 2 g j h j = g 1 g 2 g j h 1 h 2 h j = γ(g)γ(h). Nän ollen γ on endomorfsm. Lsäks γ on apulauseen 5.6 nojalla G-endomorfsm, sllä Im γ = G 1 G 2 G j G ja γ(g)g 1 = g 1 j+1 g 1 j+2 g 1 n C G (Im γ). Ennen päälausetta osotetaan velä, että epätrvaallle äärellselle ryhmälle ylpäätään on olemassa hajotelma epätrvaalen hajoamattomen normaalen alryhmen suorana tulona. 25

Lause 5.10. Olkoon G jokn epätrvaal äärellnen ryhmä. Tällön on olemassa sellaset epätrvaalt hajoamattomat ryhmän G normaalt alryhmät G 1, G 2,..., G n, että G = G 1 G 2 G n, mssä n on postvnen kokonasluku. Todstus. Todstamme vätteen nduktolla ryhmän G alkoden lukumäärän suhteen. Jos G on hajoamaton, nn asetetaan n = 1 ja G 1 = G. Tällön väte on todstettu. Oletetaan nyt, että G on hajoava. Tällön on olemassa ryhmän G epätrvaalt normaalt alryhmät H ja K sten, että G = H K. Tästä seuraa myös, että ryhmät H ja K ovat atoja alryhmä, joten kummankn ryhmän alkoden lukumäärä on penemp kun ryhmän G alkoden lukumäärä. Täten ndukto-oletuksen nojalla on olemassa epätrvaalt ja hajoamattomat ryhmän H normaalt alryhmät G 1, G 2,..., G m ja epätrvaalt ja hajoamattomat ryhmän K normaalt alryhmät G m+1, G m+2,..., G n jolle H = G 1 G 2 G m ja K = G m+1 G m+2 G n. Täten ryhmät G 1, G 2,..., G n ovat epätrvaaleja ja hajoamattoma ryhmän G normaaleja alryhmä ja G = (G 1 G 2 G m ) (G m+1 G m+2 G n ) = G 1 G 2 G n. Nän ollen nduktoperaatteesta seuraa väte. Päälause 5.11 (Krulln, Remakn ja Schmdtn lause). Olkoon G epätrvaal ja äärellnen ryhmä, jonka keskus on trvaal el Z(G) = 1. Oletetaan, että ryhmällä G on hajotelmat G = H 1 H 2 H m = K 1 K 2 K n, mssä luvut m ja n ovat postvsa kokonaslukuja ja ryhmät H 1, H 2,... H m, K 1, K 2,..., K n ovat ryhmän G epätrvaaleja ja hajoamattoma normaaleja alryhmä. Tällön m = n ja on olemassa sellanen uudelleenluettelont, että H = K, kun {1, 2,..., n}. Todstus. Todstetaan väte nduktolla luvun n suhteen. Jos n = 1, nn tällön m = 1 ja H 1 = K 1, sllä ryhmä K 1 on hajoamaton ja ryhmät H 1, H 2,..., H m ovat epätrvaaleja. Oletetaan nyt, että n > 1. Tällön, koska ryhmät K 1, K 2,..., K n ovat epätrvaaleja ja H 1 on hajoamaton, nn myös m > 1. Osotetaan seuraavaks, että jollakn {1, 2,..., n} ryhmen H 1 ja K vällle on löydettävssä njektvnen kuvaus. Olkoon π 1 projekto G H 1, ρ projekto G K ja κ nkluuso K G kaklla {1, 2,..., n}. Olkoon π = π 1 κ = π 1 K 1 : K H 1 26

ja ρ = ρ H 1 : H 1 K. Jokanen kuvaus π ρ on apulauseden 5.8 ja 2.36 nojalla ryhmän H 1 G-endomorfsm ja nän ollen myös ryhmän H 1 H 1 -endomorfsm. Apulauseen 5.9 nojalla j κ ρ on ryhmän G G-endomorfsm, kun j {1, 2,..., n}. Nän ollen, apulauseen 2.36 nojalla π 1 ( j κ ρ ) on G-homomorfsm ryhmältä G ryhmälle H 1. Lsäks, koska π 1 on G-homomorfsmna homomorfsm, j π 1 ( κ ρ ) = j π 1 κ ρ = j π ρ. Tämän kuvauksen rajottuma ryhmään H 1 on π ρ, joka on nän ollen ryhmän H 1 G-endomorfsm ja täten myös ryhmän H 1 H 1 -endomorfsm. Olkoon h H 1, tällön h = π 1 (h) = π 1 ((ρ 1 (h))(ρ 2 (h)) (ρ n (h)) = (π 1 ρ 1 (h))(π 1 ρ 2 (h)) (π 1 ρ n (h)) n = (π1 ρ 1 (h))(π 2 ρ 2 (h)) (π n ρ n(h)) = π ρ (h). Nän ollen n π ρ on ryhmän H 1 denttnen automorfsm. Lsäks H 1 on epätrvaal ja hajoamaton. Nän ollen apulauseen 5.5 ehdot täyttyvät ja täten j π ρ Aut H 1, jollakn {1, 2,..., n}. Vodaan olettaa, että luettelont on valttu sten, että π1 ρ 1 Aut H 1, koska suoran tulon tekjät ovat kommutatvsa. Tästä seuraa ertysest, että ρ 1 on njektvnen. Olkoot J = H 2 H m ja Tällön oletuksen nojalla L = K 2 K n. H 1 J = K 1 L. Koska ryhmän G keskus on trvaal, nn apulauseen 4.8 nojalla Z(H 1 ) = Z(J) = Z(K 1 ) = Z(L) = {1}. Koska H 1 ja J ovat ryhmän G normaaleja alryhmä ja J C G (H 1 ) G = H 1 J, 27

nn apulauseen 3.16 nojalla C G (H 1 ) = (H 1 C G (H 1 )) J. Apulauseen 4.7 nojalla H 1 C G (H 1 ) = Z(H 1 ) = {1}, joten saadaan edelleen C G (H 1 ) = Z(H 1 ) J = {1} J = J. Täysn samon perusten C G (J) = H 1, C G (K 1 ) = L ja C G (L) = K 1. Koska L = Ker ρ 1 ja ρ 1 on akasemmn osotetun nojalla njektvnen, nn {1} = Ker ρ 1 = H 1 Ker ρ 1 = H 1 L. Täten apulauseen 2.13 nojalla hl = lh, kun h H 1 ja l L. Sspä H 1 C G (L). Nän ollen H 1 K 1 G = H 1 J, ja täten apulauseen 3.16 nojalla K 1 = H 1 (K 1 J). Koska oletuksen nojalla K 1 on hajoamaton ja H 1 {1}, nn on oltava K 1 = H 1. Sspä J = C G (H 1 ) = C G (K 1 ) = L. Täten J = H 2 H m = K 2 K n. Koska Z(J) = {1}, nn ndukto-oletuksen nojalla m = n ja, okealla luettelonnlla, H = K, kun {2,..., m}. Nän ollen nduktoperaatteesta seuraa väte. 28

Lähteet [1] Bhattacharya, P. B. & Jan, S. K. & Nagpaul, S. R., Basc Abstract Algebra. 2. panos, Cambrdge Unversty Press, 1994. [2] Ee, Mnkng & Chang Shou-Te, A Course on Abstract Algebra. 1. panos, World Scentfc, 2010. [3] Nemnen, Vel-Matt, Ryhmen suorat tulot. Tampereen ylopsto, Informaatoteteden ykskkö, Kanddaatn tutkelma, 2013. [4] Rose, John S., A Course on Group Theory. 1. panos, Dover, 2012. [5] Rotman, Joseph J., An Introducton to the Theory of Groups. 4. panos, Sprnger Verlag, 1995. [6] Scott, W.E., Group Theory. 1. panos, Dover, 1964. 29