1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää

Transkriptio

1 Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id, (1234), (13)(24), (1432), (12)(34), (24), (14)(23), (13) } S 4. Etsi jokaisen alkion x D 8 keskittäjä ja laske indeksi [D 8 : C G (x)]. Vertaa kutakin indeksiä alkion x konjugaattiluokan kokoon. Mitkä alkioista kuuluvat ryhmän keskukseen? Ratkaisu: Tiedämme, että kunkin alkion keskittäjä on ryhmän D 8 aliryhmä. Aliryhmät on listattu harjoitusten 3 tehtävässä 5, joten keskittäjät löytyvät tuosta listasta. Luonnollisesti alkion (1) keskittäjä on ryhmä D 8. Esimerkin 4.9 nojalla tiedämme, että alkio (13)(24) on konjugaattiluokkansa ainoa alkio. Siten se ei muutu missään konjugoinnissa ja siis kommutoi kaikkien alkioiden kanssa. Alkion (13)(24) keskittäjä on siis koko ryhmä D 8. Muut alkiot eivät kuulu ryhmän keskukseen, joten niiden keskittäjät ovat pienempiä. Koska alkio (13)(24) kommutoi kaikkien alkioiden kanssa, se on jokaisen keskittäjän alkio. Siten loppujen alkioiden keskittäjät ovat epätriviaaleja aliryhmiä, joihin kuuluu alkio (13)(24). Koska jokainen alkio kuuluu omaan keskittäjäänsä, voidaan kunkin alkion keskittäjä nyt helposti poimia aliryhmien joukosta. 1

2 Näin saamme C D8 ((1)) = D 8, C D8 ((13)(24)) = D 8, C D8 ((1234)) = {(1), (1234), (1432), (13)(24)} C D8 ((1432)) = {(1), (1234), (1432), (13)(24)} C D8 ((12)(34)) = {(1), (12)(34), (14)(23), (13)(24)} C D8 ((14)(23)) = {(1), (12)(34), (14)(23), (13)(24)} C D8 ((13)) = {(1), (13), (24), (13)(24)} C D8 ((24)) = {(1), (13), (24), (13)(24)} Huomataan, että alkion konjugaattiluokan koko saadaan jakamalla ryhmän kertaluku 8 alkion keskittäjän kertaluvulla. Keskittäjän indeksi on siis sama kuin konjugaattiluokan alkioiden lukumäärä. Ainoat alkiot, jotka keskittävät kaikki alkiot, ovat (1) ja (13)(24). Siten ζd 8 = {(1), (13)(24)}. 2. a) Olkoon G ryhmä ja g G. Osoita, että konjugointikuvaus κ g : G G, κ g (x) = gxg 1 on ryhmäisomorfismi. b) Osoita, että ryhmän keskus on vaihdannainen ja normaali aliryhmä. Näytä lisäksi sopivien vastaesimerkkien avulla, että keskittäjät eivät välttämättä ole vaihdannaisia tai normaaleja. Ratkaisu: a) Olkoot x, y G. Nyt κ g (x)κ g (y) = gxg 1 gyg 1 = gxyg 1 = κ g (xy), joten κ g on homomorfismi. Sen käänteiskuvaus on κ g 1, sillä ja κ g (κ g 1(x)) = gg 1 xgg 1 = x κ g 1(κ g (x)) = g 1 gxg 1 g = x. Koska kuvauksella κ g on käänteiskuvaus, kyseessä on bijektio. b) Harjoitusten 3 tehvävässä 4 osoitettiin, että ryhmän keskus on aliryhmä. Olkoot x, y ζg. Koska x ja y kommutoivat kaikkien G:n alkioiden kanssa, ne kommutoivat myös toistensa kannsa. Siten xy = yx ja aliryhmä ζg on vaihdannainen. Osoitetaan sitten normaalisuuskriteerin avulla, että ζg on normaali. Olkoon g G ja z ζg. Koska z kommutoi kaikkien G:n alkioiden kanssa, niin gzg 1 = gg 1 z = z ζg. Kyseessä on siis normaali aliryhmä. 2

3 Esimerkiksi ryhmän D 8 alkion (1) keskittäjä on koko ryhmä D 8. Tämä keskittäjä ei ole vaihdannainen, sillä kaikki ryhmän alkiot eivät kommutoi keskenään. (Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että ζd 8 D 8.) Keskittäjä ei välttämättä ole vaihdannainen aliryhmä. Ryhmän S 3 alkion (12) keskittäjä on aliryhmä {(1), (12)}. Tämä aliryhmä ei ole normaali, joten keskittäjät eivät aina ole normaaleja aliryhmiä. 3. Olkoon G ryhmä. Merkitään C = ζg. Oletetaan, että tekijäryhmä G/C on syklinen eli että sen kaikki alkiot saadaan jonkin sivuluokan xc potensseina. Osoita, että ryhmä G on vaihdannainen. Ratkaisu: Tekijäryhmän G/C alkiot ovat muotoa gc, missä g G. Koska tekijäryhmä on syklinen, saadaan kaikki alkiot ryhmän virittäjän potensseina. Oletetaan, että alkio xc virittää tekijäryhmän. Nyt jokainen sivuluokka on muotoa (xc) n = x n C jollakin n Z. Tehtävänä on osoittaa, että G on vaihdannainen. Olkoot a, b G. Koska sivuluokat muodostavat ryhmän G osituksen, niin a ja b kuuluvat joihinkin sivuluokkiin. On siis olemassa sellaiset n, m Z, että a x n C ja b x m C. Nyt a = x n c 1 ja b = x m c 2 joillakin c 1, c 2 C = ζg. Huomataan, että ja ab = x n c 1 x m c 2 = x n x m c 1 c 2 = x n+m c 1 c 2 ba = x m c 2 x n c 1 = x m x n c 2 c 1 = x m+n c 2 c 1 = x n+m c 1 c 2. Koska ab = ba, niin G on vaihdannainen. Väitteestä seuraa, että G = ζg. Tekijäryhmä G/ζG on siis triviaali! 4. Osoita, että Rubikin ryhmän keskus sisältyy asentoryhmään R a. Ratkaisu: Olkoon α siirto, joka liikuttaa paloja ja ei siten kuulu asentoryhmään R a. Oletetaan, että α siirtää kuution palan paikasta A paikkaan B. Olkoon τ sellainen perussiirto, että se liikuttaa paikassa A olevaa palaa, mutta ei koske paikassa B olevaan palaan. Tutkitaan konjugaattia τατ 1 ja katsotaan, mitä se tekee paikassa A olevalle palalle x. Siirto τ 1 siirtää palan x pois paikasta A. Tämän jälkeen siirto α saatta liikutta palaa x, mutta ainakaan se ei vie sitä paikkaan B. Sinne menee nimittäin paikassa A oleva pala. Lopulta siirto τ saattaa vielä liikutta palaa x, 3

4 mutta se ei voi viedä sitä paikkaan B, sillä siirron τ oletettiin olevan sellainen, että se ei vaikuta paikkaan B. Nyt tiedämme, että pala x ei liiku konjugaatissa τατ 1 paikkaan B. Siirto α puolestaan siirtää palan x paikkaan B, mistä seuraa, että τατ 1 α. Voimme siis päätellä, että α / ζg. Siten kaikki siirrot, jotka ovat Rubikin ryhmän keskuksessa kuuluvat asentoryhmään R a. 5. Osoita, että neliön symmetriaryhmä D 8 (ks. tehtävä 1) ei ole minkään aliryhmiensä suora tulo. Aliryhmät on etsitty harjoitusten 3 tehtävässä 5. Ratkaisu: Mikä tahansa ryhmä G on tietenkin aliryhmien G ja {e} suora tulo, missä e on ryhmän neutraalialkio. Tässä tehtävässä oli tarkoitus osoittaa, että D 8 ei ole minkään epätriviaalien aliryhmiensä suora tulo. Oletetaan, että D 8 on suora tulo joistakin epätriviaaleista aliryhmistään. Lemman 5.5 nojalla näiden aliryhmien on oltava normaaleja ja niiden leikkauksen on oltava {(1)}. Ryhmän D 8 epätriviaalit normaalit aliryhmät ovat {(1), (13)(24)}, {(1), (1234), (1432), (13)(24)}, {(1), (13)(24), (13), (24)}, {(1), (13)(24), (12)(34), (14)(23)}. Koska alkio (13)(24) on jokaisessa normaalissa aliryhmässä, ei niistä voi muodostaa suoraa tuloa. 6. Luentojen määritelmän mukaan ryhmän G aliryhmät H ja K muodostavat sisäisen suoran tulon, jos seuraavat ehdot toteutuvat: 1) hk = kh kaikilla h H ja k K 2) H K = {e}, missä e on G:n neutraalialkio. Luennolla todistettiin myös, että sisäinen suora tulo toteuttaa seuraavat ehdot: 1 ) H ja K ovat G:n normaaleja aliryhmiä 2 ) jokaisella g G on yksikäsitteinen esitys g = hk, missä h H ja k K. Osoita, että sisäisen suoran tulon määritelmässä voidaan korvata ehto 1) ehdolla 1 ) ja ehto 2) ehdolla 2 ) (jompikumpi tai molemmat). 4

5 Ratkaisu: Lemman 5.5 tapaan tehtävässä on luonnollisesti oletettava, että G = HK. Osoitetaan aluksi, että ehdot 2) ja 2 ) ovat yhtäpitävät. Lemman 5.5 todistuksessa on osoitettu, että ehdosta 2) seuraa ehto 2 ). Oletetaan siis ehto 2 ) ja osoitetaan, että ehto 2) pätee. Olkoon x H K. Nyt x = xe, missä x H ja e K ja toisaalta x = ex, missä e H ja x K. Koska näiden kahden esityksen on oltava samat, niin x = e. Siten H K = {e}. Lemman 5.5 todistuksessa on osoitettu, että ehdosta 1) seuraa ehto 1 ). Osoitetaan vielä lopuksi, että ehdoista 1 ) ja 2 ) seuraa ehto 1). Oletetaan, että h H ja k K. Aliryhmä K on normaali, joten sivuluokat hk ja Kh ovat samat. Koska k K, niin on olemassa sellainen k K, että hk = k h. Itse asisassa voidaan valita k = hkh 1. Toisaalta myös H on normaali aliryhmä ja siksi hk = kh, missä h = khk 1 H. Koska ryhmän G = HK alkioiden esitys aliryhmien H ja K tulona on yksikäsitteinen, niin täytyy olla k = k = hkh 1 ja h = h = khk 1. Siten ehto 2) on voimassa. 5