PUTKIKELLON SUUNNITTELU 1 JOHDANTO 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA. dm Q dx = (1) Matti A Ranta

Samankaltaiset tiedostot
d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

Galerkin in menetelmä

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi

Monte Carlo -menetelmä

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Kanoniset muunnokset

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO

Tchebycheff-menetelmä ja STEM

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2

Sähköstaattinen energia

r i m i v i = L i = vakio, (2)

Mittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa

Mat Lineaarinen ohjelmointi

KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA

Jäykän kappaleen liike

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Työssä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa

Kvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

S , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon

3.5 Generoivat funktiot ja momentit

BL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen.

Kuluttajahintojen muutokset

4. A priori menetelmät

Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit

3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut

1, x < 0 tai x > 2a.

RIL lisäohjeet: Stora Enso CLT

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä

Hallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä Palautuspäivä

LEVYRESONAATTORIN MATEMAATTINEN LAATTAMALLINNUS

6. Stokastiset prosessit (2)

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Geneettiset algoritmit ja luonnossa tapahtuva mikroevoluutio

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

Mittaustulosten käsittely

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU

Tilastollisen fysiikan luennot

Kvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan

( ) ( ) Tällöin. = 1 ja voimme laskea energiatason i. = P n missä

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Taustaa KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT. Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama TTY / Tietoliikennetekniikka

5. KVANTTIMEKANIIKKAA

Yleistä. Teräsrakenteiden liitokset. Liitos ja kiinnitys

Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

MUODONMUUTOKSET. Lähtöotaksumat:

MO-teoria ja symmetria

Lagrangen mekaniikka. Luku Systeemin vapausasteet ja sidokset

Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

Kuntoilijan juoksumalli

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

VERKKOJEN MITOITUKSESTA

Venymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan AE AE

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

sin x cos x cos x = sin x arvoilla x ] π

Reaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin

Painokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti

SATE1140 Piirianalyysi, osa 1 kevät /8 Laskuharjoitus 8: Vaihtosähköpiireissä esiintyvät tehot

Uuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan

Todista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta. VASTAUS: ...

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Epätäydelliset sopimukset

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

2 Funktion derivaatta

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus diskreettiin matematiikkaan (Syksy 2008) 4. harjoitus Ratkaisuja (Jussi Martin)

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1

A = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A:

ER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Valmistelut INSTALLATION INFORMATION

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

LIGNIININ RAKENNE JA OMINAISUUDET

Asennus- ja käyttöohjeet. Videoterminaali

Hamiltonin mekaniikka

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

Transkriptio:

Matt A Aaltoylopsto Perusteteden korkeakoulu Matematkan ja systeemanalyysn latos PL 1100, 02015 Espoo matt.ranta@tkk.f 1 JOHDANTO Putkkellot kuuluvat lyömäsotnten ryhmään. Putkkellot koostuvat erptussta vrtetystä metallputksta. Ne on tavallsest valmstettu messngstä. Putket ovat yleensä halkasjaltaan 3040mm ja ptuudeltaan 75155cm. Ään syntyy, kun putka lyödään penellä nahka ta muovvasaralla. Vtteet [1], [2] ja [3]. Värähtelevän palkn teoran [4] avulla tetylle frekvensslle vrtettävän putken ptuus vodaan laskea er reunaehtoja vastaamaan. Värähtelevän palkn osttasdfferentaalyhtälö vodaan ratkasta ns. muuttujen erottamskenoa käyttäen. Se johtaa transkendenttfunktoon (16), jonka ratkasu määrttää putken ptuuden kaavan (22) avulla. 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA Teknllsen tavutusopn perusteet löytyvät helpost krjallsuudesta [4]. Tarkastellaan nfntesmaalsta dxptusta palkkalkota, johon vakuttaa momentt M, lekkausvoma Q ja ulkonen kuormtus p. Palkkalkon tasapanosta saadaan yhtälöt dm Q dx = (1) dq = p (2) dx Olkoon E palkn materaaln kmmokerron ja ρ sen theys. Palkn pokklekkauksen muoto ja koko määrttää palkn jäyhyysmomentn I ja pntaalan A. Merktään x dervaattaa plkulla ja t el akadervaattaa psteellä tapuman y päällä. Teknllnen tavutusopp antaa yhtälöt M EI yʹ ʹ = (3) 1

p =!!A!!y (4) Yhtälö (4) on palkn massan htaudesta johtuva kuormtusterm. Sjotetaan yhtälö (1) yhtälöön (2) ja shen stten yhtälöt (3) ja (4). Päädytään vakopokkpntasen palkn pokttasvärähtelyjen osttasdfferentaalyhtälöön!!y ( t, x) + EI 3 MUUTTUJIEN EROTTAMINEN!A y!!!! t, x ( ) = 0 (5) Nn sanottu muuttujen erottamnen on osottautunut tehokkaaks kenoks värähtelyprobleemoden kästtelyssä. Etstään yhtälön (5) ratkasua muodossa!!y ( t, x) + EI!A y!!!! t, x Sjotetaan tämä yhtälöön (5) ja jaetaan tulolla TY ( ) ( ) + EI!!T t T t!a Y!!!! ( ) = 0 (6) ( x) Y x ( ) = 0 (7) Yhtälö hajoaa kahden termn summaks, josta ensmmänen rppuu van ajasta t ja tonen pakkakoordnaatsta x. Tämä on mahdollsta van, jos kumpkn term on vako. Saadaksemme ajasta harmonsest rppuvan ratkasun merktään ensn separomsparametr T!! ( t ) T ( t) =!! 2 (9) joka antaa ratkasut snω t ja cosω t. Toseks x:stä el pakasta rppuvaks yhtälöks tulee Y ( x) Y( t) Käytetään lyhennysmerkntää 2 ρaω ʹ ʹ ʹ ʹ = 0 (10) EI 4 2 β ρaω = l EI (11) Y x Yrtetään koeratkasua ( ) rx ( β ) 4 ( ) = 0 4 r l Y x = e ja sjotetaan yhtälöön (10). Saadaan tulos, joka toteutuu, jos vako r saa arvot r 1,2 =± β l ta 3,4 r =± β l. 2

Pakasta rppuva osuus Y( x ) muodostuu funktosta Y( x) Acosh ( βx l) Bcos( βx l) Csnh ( βx l) Dsn ( βx l) = + + + (12) 4 REUNAEHDOT MÄÄRITTÄVÄT OMINAISMUODOT Knntystavasta johtuen palklla on rpustuspsteessä x = 0 nvel, jossa sekä tapuma että momentt hävävät el kaavojen (12) ja (3) mukaan ehdot ovat ( 0) 0 Y = A B 0 + = ja ( ) Yʹ ʹ 0 = 0 A B= 0 tulos on A= B= 0 (13) Vapaassa alapäässä x= l hävävät sekä momentt että lekkausvoma el kaavojen (1) ja (3) perusteella ehdot ovat ʹ ʹ = Csnh β Dsn β 0 Y ( l) 0 = ja Y ( l) 0 Nämä ehdot toteutuvat, jos yhtä akaa on vomassa ʹ ʹ ʹ = Ccosh β Dcos β = 0 (14) C sn cos D = β β snh β = cosh β (15) Tämä on mahdollsta, jos β on transkendenttsen yhtälön tan β = tanh β (16) juur. Kuten seuraavasta kuvasta nähdään, on tällä yhtälöllä äärettömän monta juurta Kuva 1. Yhtälön tan β = tanh β juuret. Taulukko 1. Yhtälön (16) kuus ensmmästä juurta β1 β2 β3 β4 β5 β6 3,9266 7, 0686 10, 2102 13,3518 16, 4934 19, 6350 3

Koska tanh β 1 kun on suur, saadaan juuret ensmmästä ehkä lukuun ottamatta lkkaavasta tan β = 1. Ne ss ovat β ( 14) + π (17) Tämä lkkaava antaa ensmmäsen juuren kohdalla lan suuren arvon. Sen jälkeen ero on korkentaan luokkaa 10!7, el merktyksetön. Värähtelyyhtälön (5) ratkasu vodaan nyt ehdon (15) ja uusen ntegromsvakoden A ja B avulla esttää sarjamuodossa n (18) = 1 y( t, x) = ( A snωt+ B cosωt) sn β snh ( β x l) + snh β sn ( β x l) Tässä on moodn muotoa esttävä funkto Y ( x) sn β snh ( β x l) snh β sn ( β x l) = + (19) Separomsparametr ω rppuu merknnän (11) perusteella omnasarvosta β el 2 2 E I l ω = β (20) ρ A Reunaehdot määrttvät frekvensst ja omnasmuodot mutta alkuehdot määrttäsvät värähtelyjen ampltudn. Ampltuda e usenkaan tarvtse ratkasta. Seuraavassa kuvassa näemme kolme ensmmästä mooda kaavasta (19) snh β :lla skaalattuna Kuva 2. Värähtelyprobleeman kolme ensmmästä skaalattua mooda. 4

5 PUTKEN PITUUDEN JA VÄRÄHDYSLUVUN VÄLINEN YHTEYS Koska ω = 2π f, saadaan kaavasta (20) putken ptuuden ja frekvenssn nelöjuuren välnen rppuvuus l f β E I = 2π ρ A 1/2 (21) Tästä kaavasta nähdään, että putken ptuuden ja sen ensmmäsen värähdysluvun nelöjuuren tulo rppuu tuentatavasta johtuvasta vakosta β1 2π 1,56649 sekä äänennopeudesta c I A. 6 ESIMERKKI = E ρ palkn materaalssa ja pokklekkauksen geometrasta Valtaan materaalks messnkputk, jonka senämän paksuus on h = 10mm ja ulkohalkasja on D = 40mm. Tällön on ssähalkasja d = D 2h= 20mm. Pokklekkauksen geometrasta johtuva vako on I A 11, 2 mm. Äänen nopeus messngssä on c= E ρ = 4700m s. Valtut värähdysluvut sekä ntä vastaavat putken ptuudet kaavasta (21), kun = 1, ovat seuraavassa taulukossa Taulukko 2. Ensmmäsen värähdysluvun ja putken ptuuden välnen rppuvuus l [ ] [ ] f Hz 261,6 293,7 329,6 349,2 392,0 440,0 493,9 mm 702,1 662,6 625,5 607,7 573,5 541,3 511,0 Sama asa näkyy myös seuraavassa kuvassa Kuva 3. Esmerkssä lasketut putken ptuudet frekvenssn funktona. 5

Normaala kuuloaluetta 2015000Hz vastaavat putken ptuudet nähdään seuraavassa kuvassa. Kuva 5. Ihmsen kuulon aluetta 2015000Hz vastaavat esmerkn putken ptuudet. Kuvasta 5 nähdään mten matalat äänet vaatvat ptkän putken esm. 20Hz vaat 2539,15mm mutta 15000Hz van 92,72mm. Korkella taajuukslla erot putken ptuuksssa ovat penet 7 LOPPUSANAT Tässä esmerkknä estetyn kellopeln rakentamnen onnstuu osaavan kässsä sopvsta hukkaputksta, jollon kustannukset ovat penet. Lopputuloksen vo vrttää haluamalleen värähtelyalueelle. Lan ohutsenäsä putka tulee välttää, jotte nssä syntys ääntä härtsevä kuorvärähtelyjä. VIITTEET [1] f.wkpeda.org/wk/putkkellot [2] www.acoustcs.hut.f/teachng/s89.2300/lectures/ch13.pdf [3] vsl.co.at/en/70/3196/3216/3217/5821.vsl [4] Arvo Ylnen, Kmmo ja lujuusopp osat I ja II, WSOY, 1948 ja 1950 6